Игорь викторович сходимость и расходимость почти всюду рядов фурье по переставленным системам уолша и виленкина

На правах рукописи

УДК 517.521 Поляков Игорь Викторович СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО ПЕРЕСТАВЛЕННЫМ СИСТЕМАМ УОЛША И ВИЛЕНКИНА Специальность 01.01.01. - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2012

Работа выполнена на кафедре Теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Скворцов Валентин Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бочкарев Сергей Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент Щербаков Виктор Иннокентьевич

Ведущая организация: Институт Математики и Механики Уральского отделения РАН

Защита диссертации состоится 16 марта 2012 года в 16 часов 40 минут на заседа нии диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государтсвенном универси тете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического фа культета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Афтореферат разослан 15 февраля 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Система Уолша была введена в 1923 году1. Данное ей изначально опре деление было рекурсивным и не использовало функции, введенные Раде махером в 1922 году2. Первым, кто понял, что функции Уолша являются произведениями функций Радемахера, был Пэли. Нумерация, предложен ная им в 1932 году Также широко известна нумерация Качмажа, введенная Шнейдером в 1948 году3. Шиппу4 принадлежит понятие кусочно-линейных перестановок системы Уолша-Пэли, с помощью которых могут быть полу чены нумерация Качмажа и оригинальная нумерация самого Уолша. Си стема Виленкина5 была введена в 1947 году как система характеров топо логической группы, удовлетворяющей специальным свойствам. Она может быть рассмотрена как на группе, так и на отрезке. Ее частным случаем является система Уолша.

В настоящее время функции Уолша получили широкое распространение в области передачи сигналов и сжатия изображений, что связано с их бо лее простым устройством по сравнению с тригонометрической системой и меньшей вычислительной сложностью алгоритма быстрого преобразования Фурье, обусловленной тем фактом, что функции Уолша принимают лишь 2 значения: 1 и -1.

Walsh J.L. A closed set of normal orthogonal functions // Amer. J. Math. 1923. V. 45. p. 5-24.

H.A. Rademacher Einige Satze Uber Reihen von allgemeinen Orthogonalenfunctionen // Math. Annalen 1922. V. 87. p. 112-138.

А. А. Шнейдер,О рядах по функциям Вальша с монотонными коэффициентами, Изв. АН СССР.

Сер. матем., 1948, 12:2, 179- F. Schipp, Некоторые перестановки системы Уолша, Мат. заметки 18 (1975) 193-201.

Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем // Изв. АН СССР Сер. мат. 1947.

Т. 11. с. 363- Изучение проблемы поточечной сходимости рядов Фурье впервые нача лось в теории тригонометрических рядов. В 1915 году Н.Н. Лузин публи кует свою диссертацию "Интеграл и тригонометрический ряд"6, к числу основных результатов которой принадлежит критерий сходимости почти всюду ряда Фурье интегрируемой с квадратом функции. На основании ана лиза этого критерия Лузин выдвигает гипотезу, что тригонометрический ряд Фурье любой функции из L2 [0, 2) сходится почти всюду.

В 1922 году А.Н. Колмогоров7, исследуя проблему Лузина, построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой по тригонометриче ской системе расходится почти всюду. Им же было отмечено, что построен ная функция не принадлежит L2 [0, 2). Колмогоровым, Селиверстовым8 и Плеснером9 впервые была получена оценка в положительном направлении:

если f принадлежит L2 [0, 2), то почти всюду выполнено Sn (f, x) = o((ln n) 2 ).

Дж. Литтлвуд и Р. Пэли10 обобщили эту оценку для более широких классов функций: если f принадлежит Lp [0, 2), p 1, то почти всюду выполнено Sn (f, x) = o((ln n) p ).

Этот результат до середины 60-х годов прошлого века оставался наибо лее сильным и общим результатом в положительном направлении изучения Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М. 1915. Докт. дисс. 242 с.

Kolmogoro A. Une serie de Fourier-Lebesgue divergente preque partout // Fund. math. 1923 V.4 p.

324- Kolmogoro A., Seliversto G. Sur la convergence des series de Fourier // Rend. Acad. Naz. Lincei. V.3 p. 307- Plessner A. Uber Konvergenz von triginometrischen Riehen // Journal fur reine und angew. Math. V. 155 p. 15- Littlewood J.E., Paley R.E.A.C. Theorems on Fourier series and power series // (1) Proc. London. Math.

Soc. 1936. V. 42. p. 52-89, (2) Proc. London. Math. Soc. 1937. V. 43. p. 105-126.

проблемы Лузина. Истинность гипотезы Лузина не была даже установлена для непрерывных функций.

В 1966 году Л. Карлесон, используя новый метод, установил справдели вость гипотезы Лузина. В его работе11 было установлено несколько резуль татов.

1. Если f L(ln+ L)1+ ([0, 2)), 0, то почти всюду Sn (x, f ) = o(ln ln n).

2. Если f L1+ ([0, 2)), 0, то почти всюду Sn (x, f ) = o(ln ln ln n).

3. Если f L2 [0, 2), то ее ряд Фурье сходится к ней почти всюду.

Исследования Карлесона были развиты Хантом12 в 1968 году. Пусть M (f, x) = supn1 |Sn (f, x)| - мажоранта частичных сумм тригонометриче ского ряда Фурье функции f. Пусть F (x) - характеристическая функция измеримого множества F [0, 2), |F | - его мера по Лебегу. Хантом была получена оценка |{x [0, 2) : M (F, x) y}| (Bp )p y p |F |, (1) где y 0, 1 p, Bp C p1. Из нее были получены следствия.

p L. Carleson, On the convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta. Math. 116 (1966), 135-157.

Hunt R.A. On the convergence of Fourier series // Orthogonal expansions and their continuous analogues.

SIU Press, Carbondale, Illinois. 1968. p 235- 1. ||M (f, )||p Cp ||f ||p при 1 p, f L ([0, 2)), 2. ||M (f, )||1 C |f (x)|(ln |f (x)|)2 dx + C + при f L(Ln+ L)2 ([0, 2)), 3. |{x [0, 2) : M (F, x) y}| C exp( ||f || ) при y 0, f Cy L ([0, 2)).

Из второй оценки следует, что для всякой f L(ln+ L)2 ([0, 2)) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду. По сле появления работ Карлесона и Ханта многие авторы начали развивать данные методы и переносить их на случай систем Уолша и Виленкина. Наи более заметные в этом направлении результаты принадлежат П. Шелину13, который заметил, что путем выбора оптимального числа p для каждого y оценка (1) может быть приведена к виду 11 |{x U, M (F, x) y}| C ln |F |, 0 y, (2) yy e где U отрезок [0, 2) для тригонометрических мажорант и [0, 1) для мажо рант по системе Уолша-Пэли, C - абсолютная константа. С помощью этой оценки Шелиным были получены новые результаты.

1. Для всякой f L ln+ L ln+ ln+ L([0, 2)) ее ряд Фурье по тригоно метрической системе сходится к ней почти всюду.

2. Для всякой f L ln+ L ln+ ln+ L([0, 1)) ее ряд Фурье по системе Уолша-Пэли сходится к ней почти всюду.

Sjolin P. An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh-Fourier series. // Arkiv for mat. 1969.

V.7. p. 551- Антонов получал усиление данных результатов в 90-x годах14, Он по казал, что для любой f L ln+ L ln+ ln+ ln+ L ее ряд Фурье по тригоно метрической системе или системе Уолша-Пэли сходится к ней почти всюду.

На данный момент этот результат является наиболее сильным в положи тельном направлении.

Гипотеза Лузина для системы Виленкина-Пэли в случае pi = p для всех i была доказана Хантом и Тейблсоном16. Для случая ограниченной после довательности {pi } - Госселином17.

Сходимость рядов Фурье по системе Уолша также изучалась для различ ных нумераций этой системы. Для системы Уолша-Качмажа В.С.Юнг по казал18, что для всякой функции f из класса L(ln+ L)2 ([0, 1)) ее ряд Фурье Уолша-Качмажа сходится к ней почти всюду.

Сходимость рядов Фурье по произвольным-кусочно линейным переста новкам изучалась Шиппом19. Он показал, что для всякой функции f из класса L2 ([0, 1)) ее ряд Фурье по произвольной кусочно-линейной переста новке системы Уолша сходится к данной функции почти всюду.

Госселин и Юнг ввели специальный класс перестановок системы Виленкина Пэли, расширяющий понятие кусочно-линейных перестановок системы Уолша Antonov N. Y. Convergence of Fourier series, East Journal on Approximations. 1996. V. 2. n. 2. P.

187-196.

Антонов Н.Ю, Сходимость почти всюду рядов Фурье и смежные вопросы. Докт. дисс. Екатеринбург 2009. 162 с.

Hunt. R.A., Taibleson M.H. Almost everywhere convergence of Fourier series on the ring of integers of local eld // SIAM J. Math. Anal. 1971. V.2 p. 607-624.

Gosselin J. Almost everywhere convergence of Vilenkin-Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1973.

V.185. P. 345-370.

Wo-Sang, Young, On a.e. Convergence of Walsh-Kaczmarcz-Fourier Series. Proc. Amer. Math. Soc. (1974), 353-358. (From p. 635) F. Schipp On the dyadic derivative // Acta. Math. Hung. 1976. V. 28. p. 145-152.

Пэли20. Они показали, что для всякой функции из L2 ее ряд Фурье по пере становке системы Виленкина из данного класса сходится к ней почти всюду.

В то же время, для некоторых перестановок, которые были названы ими ”блочными”, достаточно принадлежности функции классу L(ln+ L)2 ln+ ln+ L.

Параллельно с этими исследованиями многими авторами были начаты попытки получения примеров функций с наложенными на них дополни тельными условиями и плохим поведением частичных сумм их рядов Фурье по тригонометрической и другим системам. Исторически первым примером такого рода был, уже упомянутый выше, пример Колмогорова. Прохорен ко21 и Чень22 построили примеры функций из классов L(ln+ ln+ L) ([0, 2)), 0 1 с расходящимися почти всюду рядами Фурье по тригонометриче ской системе. Бочкарев23 построил аналог конструкции Колмогорова для широкого класса ортонормированных систем. Тотик24 показал, что если в некотором классе F (L)([0, 2)) существует функция с тригонометрическим рядом Фурье, расходящимся на множестве положительной меры, то в этом же классе найдется функция, ряд Фурье которой неограниченно расходит ся всюду. Как показал Казарян25, этот результат не может быть обобщен для произвольной ортонормированной системы.

J.A. Gosselin, W.S. Young, On rearrangements of Vilenkin-Fourier series which preserve almost everywhere convergence, Trans. of the Amer. Math. Soc. 209, 1975, p. 157- Прохоренко В.И. О расходящихся рядах Фурье // Мат. сборник. 1968. Т. 75. (117), 2, с. 185- Chen Y.M. An almost everywhere divergent Fourier series of class L(Ln+ Ln+ L)1 // J. London Math.

Soc. 1969. V. 44. p. 643-654.

Бочкарев С.В. Расходящийся на множестве положительной меры ряд Фурье для произвольной ограниченной ортонормированной системы // Мат. сб. 1975. Т. 98. н. 3, 436- Totik V. On the divergence of Fourier series // Publ. Math. (Debrecen) 1982. V. 29. p. 251- К. С. Казарян. О некоторых вопросах теории ортогональных рядов // Мат. сб. 1982. Т. 119. н. 2.

С. 278-294.

Наилучший на сегодняшний день результат, касающийся расходимости всюду для рядов Фурье по тригонометрической системе, принадлежит Ко нягину26.

Он показал, что для всякой функции : [0, +) [0, +) и после довательности {(m)} со следующими свойствами: функция (u)/u явля ется неубывающей на (0, +), (m) 1 (m = 1, 2,... ) и (m)(m) = o(m ln m/ ln ln m) при m, найдется функция f L[, ] такая, что (|f (x)|)dx и lim supm Sm (f, x)/(m) = для всех x [, ]. Здесь Sm (f ) это m-я частная сумма тригонометрического ряда Фурье функции f. В част ности, верно, что для всякой функции : [0, +) [0, +) со следую щими свойствами: функция (u)/u является неубывающей на (0, +) и (m) = o(m ln m/ ln ln m) при m, найдется функция f L[, ] такая, что (|f (x)|)dx, и ее ряд Фурье неограниченно расходится всюду.

Для системы Уолша-Пэли наиболее сильный результат был получен Боч каревым27. Он показал, что для всякой F (u) = uf (u), где f (u) - неубы вающая непрерывная на [0, ) функция, f (0) = 1 и f (u) удовлетворяет условию f (u) = o( log u), при u, S.V. Konyagin, On divergence of trigonometric Fourier series everywhere // C. R. Acad Sci. Sci. Paris Ser I. Math. 1999. V. 329. n. 8. P. 693- Бочкарев С. В., Всюду расходящиеся ряды Фурье-Уолша // Докл. РАН. 2003. Т. 390. н. 1. С. 11-14.

существует такая функция g F (L), ряд Фурье-Уолша-Пэли которой рас ходится всюду на [0, 1).

Для нумерации Уолша-Качмажа были получены более сильные резуль таты о расходимости всюду, чем для нумерации Пэли. Это связано с тем, что свойства ядер Дирихле в нумерации Качмажа существенно отлича ются от свойств ядер Дирихле в нумерации Пэли. Балашов показал, что для всякого (0, 1) найдется функция f из класса L(ln+ L)1 [0, 1], ряд Фурье-Уолша-Качмажа которой имеет монотонные коэффициенты и расхо дится почти всюду в [0,1]. Отметим, что для системы Уолша-Пэли всякий ряд с монотонными коэффициентами, которые стремятся к нулю, сходится всюду за исключением, быть может, нуля. Результат Балашова показывает, что для нумерации Качмажа это свойство не выполняется.

В связи с существованием большого количества примеров интегрируе мых функций, ряд Фурье которых по различным системам расходится по чти всюду или даже всюду, актуальным стал вопрос изучения методов сум мирования ортогональных рядов. Наибольший интерес в этом отношении представляет метод (C, 1). Для тригонометрической системы хорошо изве стен классический результат Лебега28 о том, что чезаровские средние ряда Фурье интегрируемой функции сходятся к ней почти всюду. Попытки изу чения данного метода для рядов Фурье-Уолша начались значительно поз же. Доказательство аналога теоремы Лебега для системы Уолша-Пэли при надлежит Файну29. Вопросы сходимости чезаровских средних рядов Уолша Качмажа изучались Скворцовым30. Долгое время оставалось неизвестным, Lebesgue H. Recherches sur la convergence des series de Fourier M.F. 1905. V. 61. p. 251-280.

Fine N.J. Cesaro summability of Walsh-Fourier series // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1955. V.46 p. 588-591.

Skvorcov V. A., On Fourier series with respect to the Walsh-Kaczmarz system, Analysis Mathematica, 7 (1981), 191- является ли справедливой теорема Лебега для системы Уолша-Качмажа, до тех пор пока Гаттом31 не была исследована поточечная сходимость чеза ровских средних рядов Фурье-Уолша-Качмажа и рядов Фурье-Виленкина Качмажа, в случае системы Виленкина, построенной по постоянной после довательности простых чисел (p, p,...).

Цель работы. Цель работы состоит в изучении поведения рядов Фурье по системам Уолша и Виленкина в различных нумерациях с точки зрения расходимости почти всюду.

Методы исследований. В работе использованы методы теории функ ций и теории аппроксимации.

Научная новизна. Основные результаты работы диссертации явля ются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано, что в случае системы Виленкина-Качмажа, построенной по последовательности простых чисел, не стремящейся к бесконечности, найдется функция из класса Lo( ln+ L), ряд Фурье-Виленкина кото рой расходится всюду.

2. Установлено, что для всякой положительной и возрастающей последо вательности {n } такой, что ряд nn расходится, верхний предел n= отношения ядер Дирихле по системе Уолша-Качмажа к членам данной последовательности равен бесконечности почти всюду.

3. Показано существование функции из класса Lo(ln+ L), ряд Фурье Уолша-Качмажа которой имеет монотонные коэффициенты и расхо дится почти всюду.

Gat G., Cesaro summability of the character system of the p-series eld in the Kaczmarz rearrangement // Anal. Math. 2002 28, n. 1. 1–23.

4. Для кусочно-линейных перестановок системы Уолша-Пэли из специ ально выделенного множества P построены примеры функций из клас са Lo( ln+ L), у которых ряды Фурье-Уолша по данной перестановке расходятся всюду.

5. Установлено, что в случае системы Виленкина-Качмажа, построен ной по ограниченной последовательности простых чисел, средние ряда Фурье-Виленкина-Качмажа интегрируемой функции сходятся к дан ной функции почти всюду.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит тео ретический характер;

результаты диссертации могут быть использованы специалистами по теории ортогональных рядов.

Аппробация работы. Результаты диссертации были доложены на сле дующих научных семинарах и конференциях:

• семинар ”Теория ортогональных и тригонометрических рядов” под ру ководством профессора М.К. Потапова, профессора М.И. Дьяченко, профессора В.А. Скворцова, профессора Т.П. Лукашенко (2009- гг., неоднократно);

• научно-исследовательский семинар по теории функций под руковод ством чл.-кор. РАН, профессора Б.С. Кашина, профессора С.В. Ко нягина, профессора М.И. Дьяченко, профессора Б.И. Голубова ( г.);

• конференция ”Современные проблемы теории функций и их приложе ния” в Саратове (2010г.);

• конференция ”Современные методы теории функций и смежные во просы” в Воронеже (2009 г., 2011 г., неоднократно);

• конференция ”Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” в Казани (2011 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах авто ра, список которых приведен в конце автореферата [1-8]. Работы [1-3] опуб ликованы в журналах из действующего Перечня ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 81 наименова ние. Общий объем диссертации составляет 75 страниц. Нумерация теорем в автореферате совпадает с нумерацией теорем в диссертации.

Краткое содержание работы Во введении содержится обзор исследований по тематике диссертации и проводится краткий обзор содержания диссертации.

Первая глава посвящена определению основных понятий, используе мых в тексте диссертации. В ней определяются системы Уолша и Виленки на и некоторые классы их перестановок. Введем понятие кусочно-линейной перестановки системы Уолша.

Определение 1.1. Пусть задано семейство невырожденных матриц {An } n= над полем Z2, причем An имеет размеры n n. Построим семейство отоб ражений n (x) : G G, y = n (x), yi = xi, при i n, yi = n1 Ai,j xj при j=0 n i n. Здесь сложение понимается по модулю 2. Все эти отображения бу дут биективными в силу невырожденности матриц. Пусть 2m n 2m+1, тогда положим n (x) = rm (x)n2m (m (x)) = n (m (x)).

Отметим, что если семейство {An } состоит из матриц вида 0 0... 0 0 0... 1... 0 1... 0 1 0... 0 то нумерация порождаемая этим семейством называется нумерацией Уолша Качмажа. Если же матрицы {An } имеют вид 1 1 0 0... 0 0 1 1 0... 0 0 0 1 1... 0...... 0 0 0... 1 1 0 0 0... 0 1 0 0 0... 0 0 то будет получена нумерация, в которой система функций изначально бы ла введена самим Уолшем. Для системы Виленкина-Пэли, построенной по последовательности {p0, p1,...}, существует аналог кусочно-линейных пе рестановок. Положим mi = p0 p1 · · · pi1. Пусть задано семейство переста новок {n,i }, n,i : {0, 1,..., n 1} {0, 1,..., n 1}, i = 1,..., pn 1.

Рассмотрим последовательность, полученную из последовательности P пе рестановкой первых n членов :

Pn,i = (pn,i (0),..., pn,i (n1), pn,...).

n,i Пусть GPn,i — P -ичная группа, построенная по ней, и m — m-я функция Виленкина—Пэли на этой группе, которую будем обозначать m. По виду аргумента всегда можно будет определить, на какой группе она задана.

На группе GPn,i определены ядра Дирихле и Фейера по системе Вилен кина—Пэли, обозначаемые Dm, Km ( по аргументу видно, к какой группе они относятся ). Определим отображение n,i : GP GPn равенством n,i (x) = (xn,i (0),..., xn,i (n1), xn,...).

Тогда n-я функция Виленкина в новой нумерации имеет вид 2in x |n|1 |n|,n|n| (i) i 2in|n| x|n| + i=0 p p|n| n|n| (i) |n|,n|n| n (x) = r|n| (x)nn|n| m|n| (|n|,n|n| (x)) =e = n (x), |n| ni mi, m0 = 1, mi = p|n|,n|n| (0) · · · p|n|,n|n| (i1).

где n n|n| m|n| = i= Заметим, что n [n|n| m|n|, (n|n| + 1)m|n| ). Таким образом, это просто пе ренумерация системы Виленкина—Уолша. Видно, что эта перенумерация происходит внутри P -ичных пачек, а это означает, что Dmi (x) = Dmi (x), где Dn — ядро Дирихле для системы {}. Отметим, что в случае если (n,i (0), n.i (1),..., n,i (n 1)) = (n 1, n 2,..., 0) мы получаем систему Виленкина-Качмажа. Если для всех n N, i = 1,..., pn 1, m = 0,... n выполнено (n,i (0),..., n,i (m)) = (K, K + 1,..., K + m), для некоторого целого неотрицательного K, то считается, что полученная перестановка системы Виленкина-Пэли удовлетворяет условию блочности.

В работе также выделяются специальные классы кусочно-линейных пе рестановок системы Уолша-Пэли, для которых исследуются вопросы рас ходимости почти всюду ряда Фурье.

Введем класс Шипповских перестановок P. Перестановка принадлежит этому классу, если для семейства матриц {An } найдутся последователь n= ности {gn }, {pn }, {fn }, для которых выполнено Ai,j = 0 при i gn pn, j fn, (3) gn lim pn =, n lim fn =, n gn+1 gn.

Пусть kn = [ pn3 ], тогда limn kn =. Переходя, если необходимо, к подпоследовательностям, можно считать, что выполнено kn+1 2kn, fn+1 gn.

Для всякого натурального k определим класс Шипповских перестановок Pk. Перестановка принадлежит этому классу, если для семейства матриц {An } выполнено n= Ai,j = 0, при j i + k n для всех натуральных n k, 0 i n k. Отметим, что систему Уолша в классической нумерации (в той, в которой ее изначально рассматривал Уолш) можно получить из нумерации Пэли, с помощью Шипповской пере становки класса P1.

Заметим, что при k m верно Pm Pk. В то же время, класс P нахо дится в общем положении с каждым классом Pk.

Вторая глава посвящена построению примеров функций, ряд Фурье Уолша которых расходится почти всюду по некоторой перестановке систе мы Уолша-Пэли.

Параграф 2.1 посвящен доказательству следующего утверждения.

Лемма 2.1. Для всякой положительной и возрастающей последова тельности {n } такой, что =, nn n= выполнено:

Dn (x) = для почти всех x [0, 1].

lim sup n n С помощью нее в параграфе 2.2 доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Для всякой F (u) = uf (u), где f (u) - неубывающая неп рерывная на [0, ) функция, f (0) = 1 и f (u) удовлетворяет условию f (u) = o(log u), при u, существует такая функция g F (L), ряд Фурье-Уолша-Качмажа кото рой расходится почти всюду на [0, 1).

Теорема 2.2. Для всякой положительной и возрастающей последова тельности {n }, такой что = nn n= найдется f из L(G), такая что Sn (x, f ) lim sup | | = для почти всех x [0, 1] n n В параграфе 2.3 доказывается Теорема 2.3. Пусть k - произвольное неотрицательное целое число.

Система {n } получена из системы Уолша - Пэли с помощью некоторой перестановки из класса Pk. Для всякого 1 0 найдется функция f L(ln+ ln+ )1 L, такая что Sn f расходится почти всюду в G.

В параграфе 2.4 получена Теорема 2.4. Пусть F (u) = uf (u), где f (u) - неубывающая непрерыв ная на [0, ) функция, f (0) = 1 и f (u) удовлетворяет условию f (u) = o( (log u)) при u.

Система {n } получена из системы Уолша с помощью некоторой пер становки класса P. Тогда существует функция g F (L), у которой ряд Фурье по данной системе расходится всюду в [0, 1).

Третья глава полностью посвящена обощению примера Бочкарева на случай системы Виленкина-Пэли Теорема 3.1. Пусть F (u) = uf (u), где f (u) - неубывающая непрерыв ная на [0, ) функция, f (0) = 1 и f (u) удовлетворяет условию f (u) = o( (log u)) при u.

Пусть система Виленкина построена по последовательности простых чисел, не стремящейся к бесконечности. Тогда существует функция g F (L), у которой ряд Фурье по системе Виленкина расходится всюду в [0, 1).

Четвертая глава посвящена вопросам суммируемости почти всюду ря дов Фурье по системе Виленкина-Качмажа, а также вопросам равномерной сходимости (C, 1) средних ряда Фурье непрерывной функции по произволь ной кусочно-линейной перестановке системы Уолша-Пэли. В параграфе 4.1 доказывается Теорема 4.1. Пусть - произвольная кусочно-линейная перестанов ка системы Уолша-Пэли. Для всякой f C(G) ее Чезаровские средние n (x, f ) равномерно сходятся к f (x).

В параграфе 4.2 получена Теорема 4.2. Пусть f L([0, 1)), система Виленкина-Качмажа по строена по ограниченной последовательности простых чисел. Тогда сред ние n f ряда Фурье-Виленкина-Качмажа функции f сходятся к f почти всюду.

Благодарности. Автор благодарит научного руководителя профессо ра Валентина Анатольевича Скворцова за предложенную тему, постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения, а также участников се минара ”Теория ортогональных и тригонометрических рядов” под руковод ством профессора М.К. Потапова, профессора М.И. Дьяченко, профессора В.А. Скворцова, профессора Т.П. Лукашенко за ценные замечания к рабо те.

Список публикаций автора по теме диссертации.

[1] И. В. Поляков, Пример расходящегося ряда Фурье по системе Вилен кина, Матем. заметки, 2011, том 89, выпуск 5, 780- [2] И.В. Поляков, Пример расходящегося ряда Фурье по переставленной системе Уолша-Пэли, Вестник МГУ, 2010, том 65, номер 6, стр 229- [3] И.В. Поляков, (C, 1) - суммирование рядов Фурье по переставленной системе Виленкина, Вестник МГУ, 2010, том 65, номер 4, стр 140- [4] И.В. Поляков, Равномерная (C,1) суммируемость ряда Фурье непре рывной функции по переставленной системе Уолша-Пэли, Труды ма тем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2011, т.43, 289- [5] И.В. Поляков, Примеры расходящихся рядов Фурье для специально го класса перестановок системы Уолша-Пэли, Материалы междуна родной научной конференции, посвященной 105-летию академика С.М.

Никольского, 2010, 32- [6] И.В. Поляков, Примеры расходящихся рядов Фурье для широкого класса переставленных систем Уолша-Пэли, Материалы Воронежской зимней математической школы, 2011, 269- [7] И.В, Поляков, Пример расходящегося ряда Фурье по системе Вилен кина, Материалы Воронежской зимней математической школы, 2009, 145- [8] И.В. Поляков, Расходящиеся почти всюду ряды Фурье по переставлен ной системе Уолша, Материалы 15-й Саратовской зимней школы, 2010, 142-