Александр викторович приближения в геометрии и анализе: орторекурсивные и синтетические методы

На правах рукописи

УДК 517.51+514.74 Словеснов Александр Викторович ПРИБЛИЖЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ И АНАЛИЗЕ:

ОРТОРЕКУРСИВНЫЕ И СИНТЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 01.01.01 – вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Сабитов Иджад Хакович, доктор физико-математических наук, профессор Лукашенко Тарас Павлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Штогрин Михаил Иванович, кандидат физико-математических наук, Куликова Татьяна Юрьевна.

Ведущая организация: Самарский государственный университет.

Защита диссертации состоится 22 октября 2010 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском го сударственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факуль тет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математиче ского факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 22 сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящей диссертации рассматриваются три задачи, возникшие в метрической геометрии и функциональном анализе, две из которых непосредственно относятся к теории приближений, а тре тья тесно с ней связана. А именно, в работе решается вопрос об интер поляции плоских кривых с помощью гладко сопряженных круговых дуг;

обсуждаются орторекурсивные методы разложения интегрируемых по Ле бегу функций по неортогональным системам;

изучаются ленты Мебиуса с плоской метрикой и свойства их средних линий, связанные, в частно сти, с интегральным кручением этих линий. Все эти вопросы появились в математических исследованиях последних десятилетий, а их истоки обна руживаются еще в классической литературе.

Открытая более 150 лет назад, лента Мебиуса и сегодня является самым популярным примером неориентируемой поверхности. Наиболее известна ее конструкция в виде склейки прямоугольного листа бумаги с отождеств лением одной пары противоположных сторон, при котором диагонали ста новятся замкнутыми кривыми. С точки зрения топологии строение полу ченной таким образом поверхности представляется несложным, в то время как задача ее аналитического описания оказалась весьма нетривиальной.

При отсутствии каких-либо метрических ограничений на поверхность, первый явный пример ленты Мебиуса был найден Г. Машке1 еще в 1900 г.

Гауссова кривизна этой поверхности всюду отрицательна, и, следовательно, ее нельзя рассматривать как изометрический образ плоского прямоуголь ника. Описание примера стандартной ленты Мебиуса как аналитической поверхности с локально-евклидовой метрикой, которая в целом изометрич на прямоугольному листу Мебиуса, было дано Г. Шварцем2 лишь в г. При этом доказательство существования таких поверхностей было полу чено гораздо раньше и, по-видимому, впервые опубликовано В. Вундерли хом3. В современной литературе этот вопрос также получил освещение, и здесь стоит отметить работу К. Чиконе и Н. Калтона4.

Изучение плоских лент Мебиуса во многом основано на использовании Mashke H. Note on the unilateral surface of Moebius // Trans. Amer. Math. Soc., 1900, 1:1, p. 39.

Schwarz G. A pretender to the title „Canonical Moebius strip“// Pacic J. Math. Soc., 1990, 143:1, p.

195-200.

Wunderlich W. Uber ein abwickelbares Mbiusband // Monatsh. Math., 1962, 66:3, p. 276-289.

o Chicone C., Kalton N.J. Flat Embeddings of the Mbius Strip in R3 // Comm. Appl. Nonlinear Anal., o 2002, 9:2, p. 31-50.

асимптотической параметризации развертывающейся поверхности. Если в качестве направляющей выбирается образ средней линии прямоугольного листа Мебиуса, который мы называем средней линией ленты Мебиуса, то свойства этой кривой полностью определяют поверхность, и поэтому они заслуживают специального исследования. Интересные результаты в этой области были получены Т. Рандрупом и П. Родженом5, а основательное изучение данной тематики проведено И.Х. Сабитовым6.

Несмотря на множество работ, посвященных лентам Мебиуса, до сих пор неисследованными оставались вопросы о сохранении регулярности асимп тотической параметризации при вариации направляющей и об изгибаемо сти плоских лент Мебиуса. Эти вопросы рассмотрены в первой главе, где в ходе исследования мы также получили новые и довольно неожиданные результаты о поведении интегрального кручения кривых при сжатии их к плоскости.

Побудительным мотивом к постановке задачи, исследуемой во второй главе, было желание найти какие-нибудь подходы к построению конформ ного отображения круга на область, граница которой задана ее кривизной k(s) как функцией длины дуги s при известной общей длине кривой. Из вестно, что при таких условиях кривая определяется однозначно с точно стью до движения своими так называемыми натуральными уравнениями, а ее замкнутость получается лишь при некоторых специальных условиях на функцию k(s). И.Х. Сабитовым7 было получено интегральное уравне ние, впрочем, очень сложное и сильно нелинейное, решение которого дало бы условие жордановости кривой с данной кривизной и способ нахождения конформного отображения круга на область, ограниченную этой кривой. В этом уравнении искомая кривая участвует через ее кривизну, а при посто янстве кривизны решение уравнения приводит, как и положено, к окружно сти. Идея была в том, чтобы приблизить k(s) кусочно-постоянными функ циями и попытаться решить это уравнение при таких аппроксимациях, а затем, бесконечно измельчая размер ступенек приближающей функции, в общем случае получить решение как предел последовательности кривых, состоящих из гладко сопряженных круговых дуг. Реализовать эту програм му пока не удалось, но появился естественный вопрос об аппроксимации данной кривой C 1 -гладкими круговыми сплайнами с сохранением длины.

Randrup T., Rogen P. Sides of the Mbius strip // Arch. Math. (Basel), 1996, 66:6, p. 511-521.

o Сабитов И.Х. Изометрические погружения и вложения плоского листа Мебиуса в евклидовы про странства // Изв. РАН, cер. мат., 2007, т. 71, №5, с. 197-224.

Сабитов И.Х. Локально-евклидовые метрики с данной геодезической кривизной края // Труды Математического института им. Стеклова, 2009, т. 266, с. 218-226.

В известной автору литературе есть несколько работ, посвященных ис пользованию круговых дуг при интерполяции кривых. Среди них преж де всего стоит упомянуть статью В.А. Леуса8, где рассматриваются C 1 -гладкие приближения плоских кривых, представляющие собой весовую сумму двух окружностей. Как результат, предлагается алгоритм постро ения аппроксимирующих кривых такого рода со стандартными оценками порядка сходимости к исходной кривой, но при этом вопрос о соотношении длин исходной и аппроксимирующих кривых остается вне рассмотрения. В работе А.И. Курносенко9 обсуждаются плоские кривые с монотонным из менением кривизны или, так называемые, спиральные кривые. Здесь автор не ставит своей целью построение конкретного алгоритма аппроксимации, а предлагает оценку детерминированности данной кривой при некоторых ограничениях на выбор узлов интерполяции. Вопрос о длинах кривых здесь также не обсуждается.

В отличие от этих работ, во второй главе мы рассматриваем задачу о приближении плоских кривых круговыми сплайнами в классической поста новке, где качественно новым требованием выступает условие равенства длин исходной и аппроксимирующих кривых. Мы приводим конкретный алгоритм интерполяции и получаем в некотором смысле неулучшаемые оценки погрешности. При этом наш метод пригоден как для замкнутых, так и незамкнутых кривых, а также допускает наличие самопересечений у исходной кривой.

В третьей главе, которая посвящена методам аппроксимации в теории функций, мы изучаем орторекурсивные разложения элементов гильберто ва пространства по неортогональным системам. Это обобщение классиче ских рядов Фурье, наследующее такие их свойства как тождество Бесселя, неравенство Бесселя, эквивалентность равенства Парсеваля и сходимости разложения и др., было предложено Т.П. Лукашенко10. В отличие от клас сического определения, здесь очередной коэффициент Фурье зависит от предыдущих, а сам процесс разложения строится рекурсивным образом.

При таком подходе существует две принципиально разные возможности:

система разложения либо фиксируется, либо меняется во время разложе ния и зависит от результатов, полученных на предыдущих шагах. Первый Леус В.А. Гладкая окружностная интерполяция кривых // Вычислительные системы, 1970, №38, с. 102-127.

Курносенко А.И. Интерполяционные свойства плоских спиральных кривых // Фундаментальная и прикладная математика, 2001, т.7, №2, с. 441-463.

Лукашенко Т.П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестн. МГУ, сер. 1, 2001, №1, с. 6-10.

случай представлен в работах В.В. Галатенко11 и Т.П. Лукашенко, В.А. Са довничего12 ;

а второй, к которому, в частности, относятся так называемые „жадные алгоритмы“, исследуется в статьях В.В. Галатенко13 и В.Н. Тем лякова14. Стоит также отметить, что, возможно, впервые рекурсивный про цесс разложения был рассмотрен Б.С. Стечкиным и С.Б. Стечкиным15.

При изучении орторекурсивных методов приближения L2 -функций ин тересной задачей представляется построение в L2 -пространстве системы разложения, порожденной сжатиями и сдвигами некоторой одной функ ции. Если основным требованием в этой задаче является L2 -сходимость ор торекурсивного ряда Фурье к разлагаемому элементу, то дополнительным условием может выступать его равномерная сходимость в случае непрерыв ных функций. В третьей главе мы описываем пример такой системы разло жения, используя при этом некоторые вспомогательные факты из теории фреймов, отдельные из которых представляют самостоятельный интерес.

Понятие абстрактного фрейма в гильбертовом пространстве впервые по явилось в 1952 году в работе Р. Даффина и А. Шеффера16 при рассмот рении последовательностей, обладающих равномерной плотностью. В со временной литературе многие авторы используют это понятие в основном в теории всплесков, основы которой можно найти в книгах И. Добеши и И.Я. Новикова, В.Ю. Протасова, М.А. Скопиной18, а также в многочис ленных приложениях. К последним можно отнести книгу С. Малла19 по обработке сигналов.

Системы элементов, образующие фрейм, можно рассматривать как в гильбертовых пространствах (пространствах бесконечного числа измере ний), так и в конечномерных, евклидовых или унитарных. В обоих случа ях одной из главных задач является построение или конструктивное опи сание фреймов общего вида. В гильбертовых пространствах конструктив Галатенко В.В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций с ошибками при вычислении коэффициентов // Мат. сборник, 2004, т. 195, №7, с. 21 - 36.

Лукашенко Т.П., Садовничий В.А. О рекурсивных разложениях по цепочке систем // Доклады АН, 2009, т. 425, №6, с. 1-6.

Галатенко В.В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций // Изв. РАН, сер.

Матем., 2002, т. 66, №1, с. 59 - 70.

Temlyakov V.N. Weak greedy algorithms // Adv. in Comp. Math., 2000, v. 12, №2-3, p. 193 - 208.

Стечкин Б.С., Стечкин С.Б. Среднее квадратическое и среднее арифметическое // Докл. АН СССР, 1961, т. 137, №2, с. 287 - 290.

Dun R.J., Schaeer A.C. A class of nonharmonic Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc., 1952, 72, p. 341-366.

Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика“, 2001.

Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: МИР, 2005.

ный подход в решении этого вопроса обеспечивает теорема, истоки кото рой можно отнести к результатам М.А. Наймарка20, полученным еще до появления работы Р. Даффина и А. Шеффера. Согласно этой теореме, любой фрейм Парсеваля можно понимать как образ ортонормированного базиса при ортогональном проектировании на подпространство. Аналогич ное описание произвольных фреймов, но с использованием базисов Рисса, можно найти в работе Б.С. Кашина и Т.Ю. Куликовой21. Если говорить о фреймах в конечномерных пространствах, то здесь можно отметить рабо ты Е.С. Драбковой и С.Я. Новикова22 и монографию О. Христенсена23. В первой из них, в частности, представлены необходимые и достаточные усло вия для системы векторов, при которых она является фреймом, а также показано существование равномерных (состоящих из векторов одинаковой длины) фреймов Парсеваля произвольных объемов.

В третьей главе мы строим алгоритм дополнения произвольного бази са евклидова пространства до жесткого фрейма, приводим оценки на его объем и используем полученные результаты при описании указанной выше системы орторекурсивного разложения.

Цель работы. Основные задачи

настоящей работы следующие:

• Изучить вопросы об изгибаемости ленты Мебиуса с плоской метрикой и о сохранении регулярности ее асимптотической параметризации при вариации направляющей. Изучить предельное поведение интеграль ного кручения замкнутых аналитических пространственных кривых при сжатии их к плоскости.

• Построить алгоритм приближения плоских кривых круговыми сплай нами, отвечающий требованию сохранения длины исходной кривой и пригодный как для замкнутых, так и незамкнутых кривых;

получить оценки погрешности аппроксимации.

• Описать способ дополнения произвольного базиса конечномерного ев клидова пространства до жесткого фрейма и исследовать вопрос о его объеме.

Наймарк М.А. Спектральные функции симметрического оператора // Изв. АН СССР, 1940, т. 4, №3, с. 277-318.

Кашин Б.С., Куликова Т.Ю. Замечание об описании фреймов общего вида // Мат. заметки, 2002, т. 72, вып. 6, с. 941-945.

Драбкова Е.С., Новиков С.Я. Объем фрейма Парсеваля // Вестник СамГУ, Естественнонаучная серия, 2007, №9/1(59), с. 91-106.

Christensen O. Introduction to Frames and Riesz Bases. Boston: Birkhauser, 2002.

• Построить в гильбертовом пространстве интегрируемых по Лебегу функций систему орторекурсивного разложения, порожденного сжа тиями и сдвигами одной функции, для которой орторекурсивный ряд Фурье непрерывных функций сходится к разлагаемому элементу в равномерной метрике.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состо ят в следующем:

• Установлено, что стандартная лента Мебиуса допускает нетривиаль ное изгибание скольжения. Показано, что регулярность асимптотиче ской параметризации плоской ленты Мебиуса не обладает устойчиво стью при вариации направляющей. Введено понятие предельного ин тегрального кручения (ПИК) замкнутой аналитической кривой при сжатии ее к плоскости и найдены все возможные его значения.

• Описан алгоритм приближения плоских C 3 -гладких кривых круговы ми сплайнами, отвечающий требованию сохранения длины исходной кривой, с качественно неулучшаемыми оценками погрешности аппрок симации.

• Получен алгоритм дополнения произвольного базиса евклидова про странства до жесткого фрейма и показано, что в случае общего по ложения объем такого фрейма превышает объем исходной системы векторов как минимум вдвое.

• В пространстве интегрируемых по Лебегу функций построена систе ма орторекурсивного разложения, порожденная сжатиями и сдвигами одной функции. Доказано, что в случае непрерывных функций орторе курсивный ряд Фурье сходится к разлагаемому элементу равномерно;

приведены оценки нормы остатка разложения в равномерной метрике.

Методы исследования. Поставленные задачи в настоящей диссерта ции в основном решаются методами классического математического анали за, линейной алгебры и дифференциальной геометрии, а некоторые идеи заимствованы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теорети ческий характер. Результаты могут быть использованы в исследованиях развертывающихся поверхностей, в теории кривых и ее приложениях в ин женерных задачах, в теории конформных отображений, вычислительной геометрии и теории приближений функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семи наре „Геометрия в целом“ под руководством проф. И.Х. Сабитова ( - 2010);

на семинаре „Ортоподобные системы“ под руководством проф.

Т.П. Лукашенко, доц. Т.В. Родионова, доц. В.В. Галатенко (2009);

на се минаре „Актуальные проблемы геометрии и механики“ под руководством проф. Д.В. Георгиевского, ст.н.с. М.В. Шамолина, проф. С.А. Агафоно ва (2008, 2009);

на семинаре „Ортогональные ряды“ под руководством член-корр. РАН Б.С. Кашина и проф. С.В. Конягина (2009);

на научно исследовательском семинаре кафедры Вычислительной математики под руководством проф. Г.М. Кобелькова (2009);

а также на 15-й Саратовской зимней школе (2010) и международной конференции „Метрическая геомет рия поверхностей и многогранников“, посвященной 100-летию со дня рож дения Н.В. Ефимова (2010).

Публикации. Результаты диссертации были опубликованы в 5 рабо тах. Из совместной работы [2] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту. Списку ВАК соответствуют работы [1]-[3].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из наименований. Общий объем диссертации 80 стр.

Краткое содержание работы В первой главе изучаются ленты Мебиуса с плоской метрикой и неко торые сопряженные с ними свойства пространственных кривых. Введем следующее Определение. Поверхность S нулевой гауссовой кривизны, диффео морфную прямоугольному листу Мебиуса D, назовем лентой Мебиуса с плоской метрикой или плоской лентой Мебиуса. При дополнительном условии изометричности S прямоугольнику D в целом, соответствующую ленту Мебиуса будем называть стандартной.

В аналитическом классе плоская лента Мебиуса представляет собой раз вертывающуюся поверхность, на которой естественным образом возника ет так называемая асимптотическая параметризация. В большинстве ис следований плоских лент Мебиуса в качестве направляющей используется замкнутая линия, при обходе вдоль которой нормаль к поверхности пово рачивается на 180. Такую линию мы будем называть петлей. Посколь ку направляющая на линейчатой поверхности определяется неоднозначно, возникает вопрос об устойчивости регулярности асимптотической парамет ризации при вариации петли. Ответ на поставленный вопрос оказывается отрицательным, а именно справедлива Теорема 1.1. Пусть на аналитической плоской ленте Мебиуса вы брана какая-то петля, нигде не касающаяся образующих. Тогда в сколь угодно малой ее окрестности можно построить новую направляющую, которая, будучи петлей, в некоторой точке касается образующей.

Одним из основных в метрической теории поверхностей является вопрос об изгибаемости/неизгибаемости рассматриваемой поверхности. В случае стандартной ленты Мебиуса мы доказываем ее изгибаемость, построив так называемое изгибание скольжения.

Определение. Пусть аналитическая стандартная лента Мебиуса S, от вечающая прямоугольному листу Мебиуса D, D = {(u, v) R2 |0 u L, h v h}, задается аналитическим отображением F : D R3. Продолжим это отоб ражение в полосу {(u, v) R2 | u +, h v h} с помощью равенства F (u + L, v) = F (u, v), которое изначально соот ветствует склейке вертикальных границ D. Зафиксируем число 0 и определим отображение F : D S формулой F (u, v) = F (u +, v). То гда композицию g = F F 1 : S S назовем деформацией скольжения ленты Мебиуса S.

Мы доказываем, что для некоторого 0 0 соответствующая деформа ция g0 является изометрией и не порождается движением всего простран ства R3, откуда следует Теорема 1.2. Любая аналитическая стандартная лента Мебиуса до пускает нетривиальное изгибание.

При изучении плоских лент Мебиуса в некоторых случаях возникает необходимость в установлении существования аналитической замкнутой кривой с заданным значением интегрального кручения. В положительном смысле этот вопрос решается в книге С. Сьюнга24, однако без достаточно подробного изложения. Используя идею указанной работы, мы приводим полное доказательство аналогичного утверждения, усилив его требованием отсутствия самопересечений у искомой кривой. Имеет место Теорема 1.3. Для любого числа 0 существует замкнутая аналити ческая кривая без самопересечений с интегральным кручением 0.

Сам факт существования, установленный в теореме 1.3, большого инте реса не представляет, однако схема доказательства заслуживает внимания.

Так, в процессе доказательства, некоторая замкнутая кривая подвергает ся сжатию к плоскости, а ее интегральное кручение при этом стремится к нулю. Такое поведение интегрального кручения вполне ожидаемо, однако оно имеет место лишь в частных случаях. Чтобы описать общий случай, нам потребуется следующее Определение. Рассмотрим пространственную замкнутую аналитиче скую кривую r(t), t [0, T ], и некоторую плоскость с нормалью e.

Определим семейство кривых { (t), [0, 1]} формулой r r (t) = r(t) (1 )(, r(t)), e e t [0, T ], а через int () обозначим интегральное кручение кривой r (t). Тогда пре дельным интегральным кручением (ПИК) кривой r(t) при сжатии к плос кости назовем величину lim int ().

0+ Мы доказываем, что все возможные значения предельного интеграль ного кручения образуют дискретное множество, а именно справедлива Теорема 1.4. Предельное интегральное кручение замкнутой аналити ческой кривой при сжатии к любой плоскости кратно числу.

Интересной задачей представляется нахождение каких-либо достаточ ных условий, при которых предельное интегральное кручение отлично от нуля. Для ее решения нам потребуется разбиение всех замкнутых анали тических кривых на два непересекающихся класса.

Hsiung C.-C. A rst course in dierential geometry. New York: Wiley, 1981.

Определение. Пусть r замкнутая аналитическая кривая с подвиж ным аналитическим репером Френе {,, }. Касательный вектор явля ется периодической функцией, а векторы главной нормали и бинормали и могут быть как периодическими, так и антипериодическими. Следуя терминологии И.Х. Сабитова, в первом случае кривую назовем ориенти руемой, а во втором полуориентируемой.

Чтобы добиться ненулевого предельного интегрального кручение, мы ограничимся полуориентируемыми кривыми, а также исключим некоторые плоскости сжатия.

Определение. Плоскость с нормалью e, || = 1, назовем регулярной e по отношению к кривой r(t), t [0, T ], если ни один из векторов {(t), t [0, T ]} не коллинеарен e.

Достаточные условия, при которых предельное интегральное кручения отлично от нуля, обеспечивает Теорема 1.5. Предельное интегральное кручение замкнутой анали тической кривой при сжатии к регулярной плоскости кратно числу с четным коэффициентом пропорциональности, если кривая ориентируе мая, и кратно с нечетным коэффициентом пропорциональности, если кривая полуориентируемая.

Во второй главе рассматриваются плоские C 3 -гладкие кривые и реша ется задача о приближении данной кривой дугами сопряженных окружно стей, в которой основным требованием выступает равенство длин исходной и аппроксимирующей кривых. Мы считаем, что кривая задана своей C 1 гладкой функцией кривизны k(s), зависящей от натурального параметра s [0, L], и тем самым определена с точностью до движения. Сначала мы решаем поставленную задачу в частном случае, ограничившись моно тонными функциями кривизны или, что то же самое, выбирая в качестве аппроксимируемой некоторую спиральную кривую.

Теорема 2.1. Пусть функция кривизны k(s) кривой, зависящая от натурального параметра s [0, L], непрерывна, положительна, моно L тонно строго возрастает и 0 0 k(s)ds. Тогда существует C 1 гладкая аппроксимирующая кривая, имеющая такую же длину L и со стоящая из дуг двух окружностей, причем а) концы и касательные векторы в них совпадают соответственно с концами и касательными векторами исходной кривой ;

б) радиусы окружностей, дуги которых составляют, можно вы брать таким образом, чтобы они подчинялись условию 1 rR, k2 k где k1 = k(0), k2 = k(L).

Мы показываем, что теорема 2.1 остается верной и при k1 = 0, а также в случае монотонной функции кривизны произвольного знака. Поэтому, предположив, что данная кривая разбивается на спиральные участки и участки постоянной кривизны (среди которых содержатся дуги окружно стей и отрезки прямых линий), мы можем построить для аппроксимацию в целом:

Теорема 2.2. Произвольная C 3 -гладкая кривая, допускающая разби ение на конечное число участков, на каждом из которых кривизна по стоянна или представляет собой строго монотонную знакопостоянную функцию, может быть аппроксимирована в целом дугами сопряженных окружностей с сохранением длины на каждом из участков.

За счет условия б) теоремы 2.1 нетрудно получить оценки погрешности аппроксимации:

Теорема 2.3. Пусть на C 3 -гладкой кривой выбраны точки P1,..., Pn так, что на каждом участке Pi Pi+1, i = 1,..., n1, кривизна постоянна или представляет собой строго монотонную знакопостоянную функцию.

Если кривая приближение, построенное в соответствии с теоре мой 2.1, то в точках, отличных от узлов P1,..., Pn, для координатных функций и справедливы неравенства max |x(n) (s) x(n) (s)| C · max(sk+1 sk )3n, n = 0, 1, 2, k [0,L] где C некоторая абсолютная постоянная.

В третьей главе изучаются орторекурсивные методы разложения ин тегрируемых по Лебегу функций и смежные вопросы теории фреймов в ко нечномерных пространствах. В частности, нас интересуют жесткие фрей мы, для которых мы используем следующее Определение. Пусть V n-мерное евклидово пространство. Система ненулевых векторов = {k, k = 1,..., l} из V образует жесткий фрейм, v если существует положительное число такое, что для любого вектора v V выполняется равенство l (, vk )k = · v.

v v k= Число при этом называется границей фрейма.

Из фрейма, как следует из определения, всегда можно выделить подси стему векторов, образующую базис. В связи с этим, интересной представ ляется в некотором смысле обратная задача о дополнении данного базиса до жесткого фрейма. Ее решение мы формулируем в виде теоремы, кон структивное доказательство которой по своей сути является алгоритмом.

Теорема 3.1. Любой базис = {k, k = 1,..., n} конечномерного ев клидова пространства V можно дополнить до жесткого фрейма с неко торой границей 0, добавив к нему систему = {k, k = 1,..., n}, состоящую из такого же числа векторов.

Мы показываем, что увеличение объема системы вдвое, при дополнении данного базиса до фрейма, соответствует случаю общего положения, и при этом существуют примеры, в которых это дополнение состоит из единствен ного вектора. Полученные результаты мы используем при изучении орто рекурсивных методов разложения элементов гильбертова пространства по неортогональным системам.

Определение. Пусть H сепарабельное гильбертово пространство над полем действительных или комплексных чисел с выделенной системой за мкнутых подпространств {H n }, H n H. Зафиксируем в каждом под n= пространстве H жесткий фрейм n = {n, k = 1,..., K n }25 с границей n k 1 и определим орторекурсивное разложение элемента f H следующим образом:

1) пусть нулевой остаток приближения r0 = f ;

2) если задан остаток приближения rn1, то полагаем Kn n n fk = (rn1, n ), k = 1,..., K n, и rn = rn1 fk n.

k k k= Здесь K n может быть конечным числом или.

n При этом числа fk называются орторекурсивными коэффициентами Фу рье, а выражения вида Kn Kn N n n fk n и S N = fk n = f rN k k n=1 k=1 n=1 k= орторекурсивным рядом Фурье и его частичными суммами.

Далее мы работаем с гильбертовым пространством L2 [0, 1], в котором рассматриваем орторекурсивные разложения по вложенным подпростран ствам {V n }, порожденным сжатиями и сдвигами одной функции. По n= рождающая функция g 0 C[1, 1] образована индикатором некоторого отрезка, называемого основным, который по краям дополняется двумя кан торовыми лестницами восходящей и нисходящей. При этом длина ос нований канторовых лестниц может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с длиной основного промежутка, поэтому порождающую функ цию можно понимать как непрерывное продолжение индикатора.

Мы показываем, что g 0 раскладывается в линейную комбинацию четы рех своих сжатий и сдвигов, и на этой основе строим в L2 [0, 1] цепочку {V n }, выбирая в качестве базиса подпространства V n сдвиги функции n= g, сжатой в 3n раз. Указанный базис, согласно теореме 3.1, дополняется до жесткого фрейма с границей 1, поэтому мы вправе рассмотреть орто рекурсивное разложение элементов f L2 [0, 1] по системе {V n }. Здесь, n= помимо сходимости орторекурсивного ряда Фурье к разлагаемому элемен ту по норме L2 [0, 1], справедлива также Теорема 3.2. Для любой функции f C1 [0, 1] = {f C[0, 1] | f (0) = f (1)} ее орторекурсивный ряд Фурье по цепочке подпространств {V n } n= сходится к f равномерно.

При доказательстве теоремы 3.2 мы получаем оценку для C-нормы остатка разложения вида rn · 3n.

C · wf C[0,1] Автор выражает искреннюю и глубокую благодарность своим науч ным руководителям профессору Иджаду Хаковичу Сабитову и профессору Тарасу Павловичу Лукашенко за постановку задач, многочисленные кон сультации, полезные замечания и постоянный интерес к работе.

Публикации автора по теме диссертации [1] Словеснов А.В. Ленты Мебиуса с плоской метрикой // Вестн. Моск.

Ун-та, cер. 1, 2009, №5, c. 7-10.

[2] Сабитов И.Х. Словеснов А.В. Приближения плоских кривых круго выми дугами // Журнал выч. мат. и мат. физ., 2010, т. 50, №8, c. 1-10.

В данной работе И.Х. Сабитову принадлежит постановка задачи и общее описание подходов к ее решению. Формулировки теорем и доказательства принадлежат А.В. Словеснову.

[3] Словеснов А.В. Рекурсивные разложения по цепочке подпро странств // Фундаментальная и прикладная математика, 2010, т. 16, № 3, с. 197-215.

[4] Словеснов А.В. Рекурсивное разложение по цепочке подпространств.

Материалы 15-ой Саратовской зимней школы, 2010, Саратов: изд-во Сара товского университета, с. 162-163.

[5] Словеснов А.В. Предельное интегральное кручение пространствен ных кривых. Сборник тезисов международной конференции „Метрическая геометрия поверхностей и многогранников“, посвященной 100-летию со дня рождения Н.В. Ефимова, 2010, Москва: МАКС Пресс, с. 58-59.