Дмитрий александрович структурные и линейно–метpические свойства максимальных f алгебр голоморфных функций в полуплоскости

На правах рукописи

УДК 517.547.54/517.547.7 Ефимов Дмитрий Александрович Структурные и линейно–метpические свойства максимальных F алгебр голоморфных функций в полуплоскости 01.01.01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учной степени е кандидата физико–математических наук

Москва 2007

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государ ственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Гаврилов Валериан Иванович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Суетин Павел Кондратьевич;

кандидат физико-математических наук доцент Вячеславов Николай Степанович.

Ведущая организация: Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 14 ноября 2007 года в 16.15 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 в Московском го сударственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 9 октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001. доктор физико-математических наук профессор Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Исторически первыми из максимальных классов голоморфных функций изучались классы, определенные в круге1. Интерес к про странствам функций, голоморфных в областях с границей бесконеч ной меры, впервые возник в начале 30-ых годов прошлого века в связи с исследованиями Р.Пэли и Н.Винера свойств преобразования Фурье. В работах Э.Хилле и Я.Д.Тамаркина 2 были рассмотрены классы H p (D), p 1, таких голоморфных функций f в полуплоско сти D = {z = x + iy | y 0}, для которых + |f (x + iy)|p dx +, p sup 1, y (аналоги пространств Харди в случае круга), а в основе изучения лежало установленное ими наблюдение о представимости функций из H p (D), p 1, абсолютно сходящимся интегралом Коши.

Немногими годами позже советский математик В.И.Крылов провел системное исследование более широких, чем H p (D), классов голоморфных функций в полуплоскости (и в частности, введенного им аналога класса Неванлинны в круге). Определенная часть достиг нутых в рассматриваемой области результатов, включающая полу ченные с применением методов функционального анализа, отражена в монографиях 4, 5.

Дальнейший интерес к данной тематике возник в самом конце Friedrich Riesz. Uber die Randwerte einer analytischen Funktion. Math.Zeit., 18(1923), 1/ Heft, 87– E.Hille, J.D.Tamarkin. Annals of Mathematics, (2), 34(1933), 606–614;

Fund.Math., (2), 25(1935), 329– В.И.Крылов. О функциях, регулярных в полуплоскости.Математический сборник, 6 48, 1939, N.1, 95– К.Гофман. Банаховы пространства аналитических функций. М., ИЛ, 1963, 312 с П.Кусис. Введение в теорию пространств H p. М., Мир, 1984, 368 с XX века, когда японские математики Н.Мочизуки 6 и Я.Иида 7 про должили исследования В.И.Крылова. Однако изучавшиеся ими мно жества голоморфных функций, как и классы В.И.Крылова, не обра зуют линейных пространств, что осложняет их изучение методами функционального анализа. В это же время Л.М.Ганжула 8 (учени ца В.И.Гаврилова) рассмотрела новый вид максимальных классов, а именно, пространство M (D) таких голоморфных в полуплоскости D функций f, для которых справедливо отношение + + ln(1 + M f (x)) dx = ln(1 + sup |f (x + iy)|) dx +, y и доказала, что класс M (D) образует F алгебру относительно опре деленной в нем естественной инвариантной метрики.

Диссертант изучает общие классы M q (D), q 0, голоморфных функций f в полуплоскости, для которых + + lnq (1 + M f (x)) dx = lnq (1 + sup |f (x + iy)|) dx +, q 0, y (1) q p отмечая, что каждый M (D), q 0, содержит классы Харди H (D) для всех 0 p q. Аналоги классов M q (D) в круге и шаре рассмат ривались в статье 9.

Параллельно в диссертации изучаются классы N q (D), q 0, всех N.Mochizuki. Nevanlinna and Smirnov classes on the upper half plane. Hokk.Math.J., 20, 1991, 609– Y.Iida. Nevanlinna-type spaces on the upper half plane. Nihonkai Mathematical Journal, 12, No.2, 2001, 113– Л.М.Ганжула. Об одной F -алгебре голоморфных функций в верхней полуплоскости.

Mathematica Montisnigri, XII, 2000, 33–45.

В.И.Гаврилов, А.В.Субботин. F-алгебры голоморфных функций в шаре, содержащие класс Неванлинны. Math. Montisnigri, XII, 2000, 17–31.

голоморфных в D функций f, у которых + lnq (1 + |f (x + iy)|) dx +, q 0, sup (2) y (аналоги классов И.И.Привалова для круга 10 ).

В диссертации строится теория относительно этих классов, дока зывается, что они обладают хорошими линейно-метрическими свой ствами, описывается структура их подпространств и линейных изо метрий, формулируется и доказывается целый ряд структурных свойств.

Цель работы.

Целью работы является изучение пространств M q (D) и N q (D), q 0, голоморфных функций f в полуплоскости D. Перед автором стояли следующие задачи:

• исследовать граничные свойства и оценить рост функций из указанных классов;

• найти связи между ранее известными классами и вновь введен ными;

• доказать линейные свойства пространств, описать их ограни ченные и вполне ограниченные подмножества;

• найти общий вид линейных изометрий пространств N q (D).

Методы исследования.

Результаты диссертации получены с использованием методов тео рии функций комплексного переменного, математического анализа и функционального анализа.

И.И.Привалов. Граничные свойства однозначных аналитических функций. М.: Изд-во МГУ, 1941, 206 с.

Научная новизна.

Все основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Установлены связи изучаемых классов с известными макси мальными классами в полуплоскости: в частности, доказано, что M q (D) и N q (D) совпадают как множества в случае q 1;

2. Исследовано граничное поведение и получены оценки роста для функций из классов M q (D) и N q (D), q 0;

3. Предложено новое факторизационное представление функций из M q (D), q 1, с помощью произведения Бляшке, построенного по нулям этих функций;

4. Доказано, что классы M q (D) и N q (D), q 0, образуют F алгебры относительно естественных метрик;

5. Доказаны критерии свойств ограниченности и полной ограни ченности подмножеств в пространствах M q (D), q 0;

6. Установлен общий вид линейных изометрий в N q (D), q 0.

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные резуль таты могут найти применение в теории функций комплексного пере менного, функционального анализа, а также, в теории аппроксима ций аналитических функций.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре кафедры математического анализа в МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф. В.И.Гаврилова (неоднократно, 2001–2007 гг.);

• на 24-й конференции молодых ученых механико математического факультета МГУ (2002 г.);

• в Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приближения" (Саратов, 2006 г.);

• на научном семинаре природно-математического факультета Университета Черногории (2006 г.);

• на конференции "Ломоносовские чтения" в МГУ (2007 г.).

Публикации.

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [1]–[4], список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 32 наименования. Общий объем работы – 69 страниц.

Содержание работы Во введении изложена краткая история вопроса, показана ак туальность темы и сформулированы основные задачи и результаты диссертации.

В первой главе приводятся определения основных пространств функций, голоморфных в полуплоскости D = {z = x + iy | y 0}, рассматриваемых в диссертации, а именно:

1) пространства Харди H p (D) голоморфных функций f в полу плоскости D, для которых + |f (x + iy)|p dx +;

sup y 2) класс Крылова N(D) голоморфных в D функций f, удовле творяющих условию + sup ln+ |f (x + iy)| dx +, y где ln+ a = max(ln a, 0), a 0 и ln+ 0 = 0;

3) классы Nq (D), q 0, рассмотренные в 7 и определяемые как множества голоморфных в D функций f, для которых + (ln+ |f (x + iy)|)q dx +;

sup y 4) классы M q (D), q 0, определяемые с помощью (1);

5) классы N q (D), q 0, определяемые с помощью (2).

В пространствах M q (D) и N q (D) рассматриваются характери стики f M q и f N q как q -ые степени левых частей в (1) и (2) с q = min(1, 1/q), q 0.

Во втором параграфе первой главы изучаются структурные свой ства классов M q (D) и N q (D), q 0. Сформулируем основные из них.

Теорема (аналог теоремы Ф. и М. Риссов). Пусть f M q (D), q 0. Тогда, 1) f имеет граничные пределы f + (x) = lim f (x+iy) почти всюду y на R;

2) граничная функция f + обладает свойством + lnq 1 + |f + (x)| dx +;

3) для fh (z) = f (z + ih), h 0, выполняется равенство + lnq (1 + M (fh f )(x)) dx = 0.

lim h0+ Теорема (о связи между пространствами).

1) Для каждого q 1 множество M q (D) совпадает с множе ством N q (D);

H p (D) M q (D).

2) 0p q Отмечается также, что в отличие от классов Харди в круге, про странства M q (D) не связаны между собой никакими включениями при различных q 0.

Для функций из пространств M q (D) справедливы оценки роста.

Теорема (оценка роста). Для любой функции q f M (D), q 0, справедливо неравенство q Eq f M q ln(1 + |f (z)|), z = x + iy D, y 1/q где постоянная Eq не зависит от f и q = max(1, 1/q).

Аналогичное неравенство верно и для функций из пространств q N (D).

Первая глава завершается факторизационной теоремой.

Теорема (факторизационная теорема). Пусть q 1. Тогда любая функция f M q (D) представляется в виде произведения двух функций:

f (z) = bf (z)F (z), где bf – произведение Бляшке для функции f :

z z |z i| |z + i| bf (z) = · ·, z z z i z + i () по последовательности {z } нулей функции f в D, удовлетворяю щей условию y +, z = x + iy, y 0, 1 + x2 + y () сходимости bf, а функция F M q (D) и F (z) = 0, z D. И обратно, если функция f представляется в указанном виде, то она принадлежит класcу M q (D).

Во второй главе диссертации исследуются линейно метрические свойства изучаемых пространств. Утверждается, что характеристики · Mq и · N q образуют квазинормы (в смысле К.Иосиды ) в соответствующих классах. Как и в любом квазинормированном пространстве, в M q (D) и N q (D) существуют естественные инвариантные метрики, порожденные квазинормами:

f, g M q (D), M q (f, g) = f g Mq, f, g N q (D), N q (f, g) = f g Nq, и в топологиях, определяемых этими метриками, классы представ ляют собой линейно-топологические пространства.

Оказывается, что пространства обладают дополнительными структурами:

Теорема. Каждое M q (D), q 0, образует F алгебру, т.е.

такое F пространство, в котором введена алгебраическая опера ция умножения, превращающая M q (D) в алгебру, и эта операция умножения непрерывна в метрике M q.

Теорема. Каждое N q (D), q 0, образует F алгебру.

Во втором параграфе второй главы описываются ограниченные и вполне ограниченные подмножества классов M q (D), q 0. Дока заны следующие критерии.

Теорема (критерий ограниченности). Множество q L M (D), q 0, ограничено тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

К.Иосида. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с.

(а) существует такое число K 0, что + lnq (1 + M f (x)) dx K для любой f L, то есть множество L ограничено по метрике q ;

(б) для любого 0 существует такое = () 0, что lnq (1 + M f (x)) dx E для любой f L и любого измеримого множества E R с лебе говой мерой µE, то есть первообразные семейства функций lnq (1 + M f (x)) равностепенно абсолютно непрерывны на R.

Теорема (критерий полной ограниченности). Множество L вполне ограничено в пространстве M q (D), q 1, тогда и только тогда, когда (а) L ограничено в M q (D);

(б) множество функций {f + }, f L, относительно компактно в топологии сходимости по лебеговой мере µ на прямой;

(в) для любого 0 существует такое A 0, что A + lnq (1 + M f (x)) dx + lnq (1 + M f (x)) dx A для всех f L.

Третья глава диссертации посвящена изучению линейных изометрий классов N q (D), q 0. Конус в линейном пространстве определяется как множество, замкнутое относительно умножения на положительные числа. Ключевым утверждением в описании общего вида линейных изометрий этих пространств является следующая Лемма. Пусть q 0 и положительно–одноpодное отобpаже ние I конуса C ln Lq (R), где ln Lq (R) – класс функций f, для + lnq (1 + |f (x)|) dx +, яв которых выполняется неравенство ляется ln Lq (R)–изометpичным, то есть + + lnq (1 + |f (x)|) dx = lnq (1 + |If (x)|) dx, f C.

Тогда отобpажение I будет также и Lp (D)–изометpичным, то есть + + |f (x)|p dx = |If (x)|p dx, f C, для всех p вида q + l, где l Z+ и l q + 1.

Основным результатом третьей главы является Теорема. Пусть q 0 и I – пpоизвольная линейная изометpия пpостpанства N q (D). Тогда I имеет вид (If )(z) = c( (z))1/p f ((z)), z D, f N q (D), где c C, |c| = 1, = 1, (z) = (z i)(z + i)1, – конформное отображение открытого единичного круга на себя, и – производная.

Обpатно, если I имеет вышеуказанный вид для некотоpого отображения = 1, то I линейная изометpия пpо q стpанства N (D).

Автор выражает глубокую признательность своему научному ру ководителю В.И.Гаврилову за постоянное внимание, искреннюю за интересованность, постановку интересной задачи, многочисленные обсуждения и ценные советы, а также всестороннюю поддержку в течение всего диссертационного исследования.

Работы автора по теме диссертации [1] Ефимов Д.А. Об F алгебрах голоморфных функций в по луплоскости, определяемых посредством максимальной функ ции. // Доклады РАН, том 416, №6, 2007, с.732–734.

[2] Ефимов Д.А., Субботин А.В. Некоторые F -алгебры го ломорфных функций в полуплоскости. // Mathematica Montisnigri, Vol XVI, 2003, с.69–81.

(Субботину А.В. принадлежит постановка задачи в данной те матике, Ефимову Д.А. принадлежат доказательства).

[3] Ефимов Д.А., Субботин А.В. Некоторые F-пространства голо морфных функций в полуплоскости. // Труды 24 конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, 8-13 апреля 2002(вып. 1), изд во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2002, с.71–73 (РЖМат 04.03-13Б.168).

(Субботину А.В. принадлежит постановка задачи в данной те матике, Ефимову Д.А. принадлежат доказательства).

[4] Ефимов Д.А. Пространства M q, q 0, в полуплоскости. // Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы "Современ ные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, изд."Научная книга", 2006, с.67–68.