авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Дмитрий александрович структурные и линейно–метpические свойства максимальных f алгебр голоморфных функций в полуплоскости

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова механико–математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.547.54/517.547.7 Ефимов Дмитрий Александрович Структурные и линейно–метpические свойства максимальных F алгебр голоморфных функций в полуплоскости 01.01.01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учной степени е кандидата физико–математических наук

Москва 2007

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государ ственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Гаврилов Валериан Иванович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Суетин Павел Кондратьевич;

кандидат физико-математических наук доцент Вячеславов Николай Степанович.

Ведущая организация: Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 14 ноября 2007 года в 16.15 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 в Московском го сударственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 9 октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001. доктор физико-математических наук профессор Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Исторически первыми из максимальных классов голоморфных функций изучались классы, определенные в круге1. Интерес к про странствам функций, голоморфных в областях с границей бесконеч ной меры, впервые возник в начале 30-ых годов прошлого века в связи с исследованиями Р.Пэли и Н.Винера свойств преобразования Фурье. В работах Э.Хилле и Я.Д.Тамаркина 2 были рассмотрены классы H p (D), p 1, таких голоморфных функций f в полуплоско сти D = {z = x + iy | y 0}, для которых + |f (x + iy)|p dx +, p sup 1, y (аналоги пространств Харди в случае круга), а в основе изучения лежало установленное ими наблюдение о представимости функций из H p (D), p 1, абсолютно сходящимся интегралом Коши.

Немногими годами позже советский математик В.И.Крылов провел системное исследование более широких, чем H p (D), классов голоморфных функций в полуплоскости (и в частности, введенного им аналога класса Неванлинны в круге). Определенная часть достиг нутых в рассматриваемой области результатов, включающая полу ченные с применением методов функционального анализа, отражена в монографиях 4, 5.

Дальнейший интерес к данной тематике возник в самом конце Friedrich Riesz. Uber die Randwerte einer analytischen Funktion. Math.Zeit., 18(1923), 1/ Heft, 87– E.Hille, J.D.Tamarkin. Annals of Mathematics, (2), 34(1933), 606–614;

Fund.Math., (2), 25(1935), 329– В.И.Крылов. О функциях, регулярных в полуплоскости.Математический сборник, 6 48, 1939, N.1, 95– К.Гофман. Банаховы пространства аналитических функций. М., ИЛ, 1963, 312 с П.Кусис. Введение в теорию пространств H p. М., Мир, 1984, 368 с XX века, когда японские математики Н.Мочизуки 6 и Я.Иида 7 про должили исследования В.И.Крылова. Однако изучавшиеся ими мно жества голоморфных функций, как и классы В.И.Крылова, не обра зуют линейных пространств, что осложняет их изучение методами функционального анализа. В это же время Л.М.Ганжула 8 (учени ца В.И.Гаврилова) рассмотрела новый вид максимальных классов, а именно, пространство M (D) таких голоморфных в полуплоскости D функций f, для которых справедливо отношение + + ln(1 + M f (x)) dx = ln(1 + sup |f (x + iy)|) dx +, y и доказала, что класс M (D) образует F алгебру относительно опре деленной в нем естественной инвариантной метрики.

Диссертант изучает общие классы M q (D), q 0, голоморфных функций f в полуплоскости, для которых + + lnq (1 + M f (x)) dx = lnq (1 + sup |f (x + iy)|) dx +, q 0, y (1) q p отмечая, что каждый M (D), q 0, содержит классы Харди H (D) для всех 0 p q. Аналоги классов M q (D) в круге и шаре рассмат ривались в статье 9.

Параллельно в диссертации изучаются классы N q (D), q 0, всех N.Mochizuki. Nevanlinna and Smirnov classes on the upper half plane. Hokk.Math.J., 20, 1991, 609– Y.Iida. Nevanlinna-type spaces on the upper half plane. Nihonkai Mathematical Journal, 12, No.2, 2001, 113– Л.М.Ганжула. Об одной F -алгебре голоморфных функций в верхней полуплоскости.

Mathematica Montisnigri, XII, 2000, 33–45.

В.И.Гаврилов, А.В.Субботин. F-алгебры голоморфных функций в шаре, содержащие класс Неванлинны. Math. Montisnigri, XII, 2000, 17–31.

голоморфных в D функций f, у которых + lnq (1 + |f (x + iy)|) dx +, q 0, sup (2) y (аналоги классов И.И.Привалова для круга 10 ).

В диссертации строится теория относительно этих классов, дока зывается, что они обладают хорошими линейно-метрическими свой ствами, описывается структура их подпространств и линейных изо метрий, формулируется и доказывается целый ряд структурных свойств.

Цель работы.

Целью работы является изучение пространств M q (D) и N q (D), q 0, голоморфных функций f в полуплоскости D. Перед автором стояли следующие задачи:



• исследовать граничные свойства и оценить рост функций из указанных классов;

• найти связи между ранее известными классами и вновь введен ными;

• доказать линейные свойства пространств, описать их ограни ченные и вполне ограниченные подмножества;

• найти общий вид линейных изометрий пространств N q (D).

Методы исследования.

Результаты диссертации получены с использованием методов тео рии функций комплексного переменного, математического анализа и функционального анализа.

И.И.Привалов. Граничные свойства однозначных аналитических функций. М.: Изд-во МГУ, 1941, 206 с.

Научная новизна.

Все основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Установлены связи изучаемых классов с известными макси мальными классами в полуплоскости: в частности, доказано, что M q (D) и N q (D) совпадают как множества в случае q 1;

2. Исследовано граничное поведение и получены оценки роста для функций из классов M q (D) и N q (D), q 0;

3. Предложено новое факторизационное представление функций из M q (D), q 1, с помощью произведения Бляшке, построенного по нулям этих функций;

4. Доказано, что классы M q (D) и N q (D), q 0, образуют F алгебры относительно естественных метрик;

5. Доказаны критерии свойств ограниченности и полной ограни ченности подмножеств в пространствах M q (D), q 0;

6. Установлен общий вид линейных изометрий в N q (D), q 0.

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные резуль таты могут найти применение в теории функций комплексного пере менного, функционального анализа, а также, в теории аппроксима ций аналитических функций.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре кафедры математического анализа в МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф. В.И.Гаврилова (неоднократно, 2001–2007 гг.);

• на 24-й конференции молодых ученых механико математического факультета МГУ (2002 г.);

• в Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приближения" (Саратов, 2006 г.);

• на научном семинаре природно-математического факультета Университета Черногории (2006 г.);

• на конференции "Ломоносовские чтения" в МГУ (2007 г.).

Публикации.

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [1]–[4], список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 32 наименования. Общий объем работы – 69 страниц.

Содержание работы Во введении изложена краткая история вопроса, показана ак туальность темы и сформулированы основные задачи и результаты диссертации.

В первой главе приводятся определения основных пространств функций, голоморфных в полуплоскости D = {z = x + iy | y 0}, рассматриваемых в диссертации, а именно:

1) пространства Харди H p (D) голоморфных функций f в полу плоскости D, для которых + |f (x + iy)|p dx +;

sup y 2) класс Крылова N(D) голоморфных в D функций f, удовле творяющих условию + sup ln+ |f (x + iy)| dx +, y где ln+ a = max(ln a, 0), a 0 и ln+ 0 = 0;

3) классы Nq (D), q 0, рассмотренные в 7 и определяемые как множества голоморфных в D функций f, для которых + (ln+ |f (x + iy)|)q dx +;

sup y 4) классы M q (D), q 0, определяемые с помощью (1);

5) классы N q (D), q 0, определяемые с помощью (2).

В пространствах M q (D) и N q (D) рассматриваются характери стики f M q и f N q как q -ые степени левых частей в (1) и (2) с q = min(1, 1/q), q 0.

Во втором параграфе первой главы изучаются структурные свой ства классов M q (D) и N q (D), q 0. Сформулируем основные из них.

Теорема (аналог теоремы Ф. и М. Риссов). Пусть f M q (D), q 0. Тогда, 1) f имеет граничные пределы f + (x) = lim f (x+iy) почти всюду y на R;

2) граничная функция f + обладает свойством + lnq 1 + |f + (x)| dx +;

3) для fh (z) = f (z + ih), h 0, выполняется равенство + lnq (1 + M (fh f )(x)) dx = 0.

lim h0+ Теорема (о связи между пространствами).

1) Для каждого q 1 множество M q (D) совпадает с множе ством N q (D);

H p (D) M q (D).

2) 0p q Отмечается также, что в отличие от классов Харди в круге, про странства M q (D) не связаны между собой никакими включениями при различных q 0.

Для функций из пространств M q (D) справедливы оценки роста.

Теорема (оценка роста). Для любой функции q f M (D), q 0, справедливо неравенство q Eq f M q ln(1 + |f (z)|), z = x + iy D, y 1/q где постоянная Eq не зависит от f и q = max(1, 1/q).

Аналогичное неравенство верно и для функций из пространств q N (D).

Первая глава завершается факторизационной теоремой.

Теорема (факторизационная теорема). Пусть q 1. Тогда любая функция f M q (D) представляется в виде произведения двух функций:

f (z) = bf (z)F (z), где bf – произведение Бляшке для функции f :

z z |z i| |z + i| bf (z) = · ·, z z z i z + i () по последовательности {z } нулей функции f в D, удовлетворяю щей условию y +, z = x + iy, y 0, 1 + x2 + y () сходимости bf, а функция F M q (D) и F (z) = 0, z D. И обратно, если функция f представляется в указанном виде, то она принадлежит класcу M q (D).

Во второй главе диссертации исследуются линейно метрические свойства изучаемых пространств. Утверждается, что характеристики · Mq и · N q образуют квазинормы (в смысле К.Иосиды ) в соответствующих классах. Как и в любом квазинормированном пространстве, в M q (D) и N q (D) существуют естественные инвариантные метрики, порожденные квазинормами:

f, g M q (D), M q (f, g) = f g Mq, f, g N q (D), N q (f, g) = f g Nq, и в топологиях, определяемых этими метриками, классы представ ляют собой линейно-топологические пространства.

Оказывается, что пространства обладают дополнительными структурами:

Теорема. Каждое M q (D), q 0, образует F алгебру, т.е.

такое F пространство, в котором введена алгебраическая опера ция умножения, превращающая M q (D) в алгебру, и эта операция умножения непрерывна в метрике M q.

Теорема. Каждое N q (D), q 0, образует F алгебру.

Во втором параграфе второй главы описываются ограниченные и вполне ограниченные подмножества классов M q (D), q 0. Дока заны следующие критерии.

Теорема (критерий ограниченности). Множество q L M (D), q 0, ограничено тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

К.Иосида. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с.

(а) существует такое число K 0, что + lnq (1 + M f (x)) dx K для любой f L, то есть множество L ограничено по метрике q ;

(б) для любого 0 существует такое = () 0, что lnq (1 + M f (x)) dx E для любой f L и любого измеримого множества E R с лебе говой мерой µE, то есть первообразные семейства функций lnq (1 + M f (x)) равностепенно абсолютно непрерывны на R.

Теорема (критерий полной ограниченности). Множество L вполне ограничено в пространстве M q (D), q 1, тогда и только тогда, когда (а) L ограничено в M q (D);

(б) множество функций {f + }, f L, относительно компактно в топологии сходимости по лебеговой мере µ на прямой;

(в) для любого 0 существует такое A 0, что A + lnq (1 + M f (x)) dx + lnq (1 + M f (x)) dx A для всех f L.

Третья глава диссертации посвящена изучению линейных изометрий классов N q (D), q 0. Конус в линейном пространстве определяется как множество, замкнутое относительно умножения на положительные числа. Ключевым утверждением в описании общего вида линейных изометрий этих пространств является следующая Лемма. Пусть q 0 и положительно–одноpодное отобpаже ние I конуса C ln Lq (R), где ln Lq (R) – класс функций f, для + lnq (1 + |f (x)|) dx +, яв которых выполняется неравенство ляется ln Lq (R)–изометpичным, то есть + + lnq (1 + |f (x)|) dx = lnq (1 + |If (x)|) dx, f C.

Тогда отобpажение I будет также и Lp (D)–изометpичным, то есть + + |f (x)|p dx = |If (x)|p dx, f C, для всех p вида q + l, где l Z+ и l q + 1.

Основным результатом третьей главы является Теорема. Пусть q 0 и I – пpоизвольная линейная изометpия пpостpанства N q (D). Тогда I имеет вид (If )(z) = c( (z))1/p f ((z)), z D, f N q (D), где c C, |c| = 1, = 1, (z) = (z i)(z + i)1, – конформное отображение открытого единичного круга на себя, и – производная.

Обpатно, если I имеет вышеуказанный вид для некотоpого отображения = 1, то I линейная изометpия пpо q стpанства N (D).

Автор выражает глубокую признательность своему научному ру ководителю В.И.Гаврилову за постоянное внимание, искреннюю за интересованность, постановку интересной задачи, многочисленные обсуждения и ценные советы, а также всестороннюю поддержку в течение всего диссертационного исследования.

Работы автора по теме диссертации [1] Ефимов Д.А. Об F алгебрах голоморфных функций в по луплоскости, определяемых посредством максимальной функ ции. // Доклады РАН, том 416, №6, 2007, с.732–734.

[2] Ефимов Д.А., Субботин А.В. Некоторые F -алгебры го ломорфных функций в полуплоскости. // Mathematica Montisnigri, Vol XVI, 2003, с.69–81.

(Субботину А.В. принадлежит постановка задачи в данной те матике, Ефимову Д.А. принадлежат доказательства).

[3] Ефимов Д.А., Субботин А.В. Некоторые F-пространства голо морфных функций в полуплоскости. // Труды 24 конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, 8-13 апреля 2002(вып. 1), изд во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2002, с.71–73 (РЖМат 04.03-13Б.168).

(Субботину А.В. принадлежит постановка задачи в данной те матике, Ефимову Д.А. принадлежат доказательства).

[4] Ефимов Д.А. Пространства M q, q 0, в полуплоскости. // Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы "Современ ные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, изд."Научная книга", 2006, с.67–68.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.