Василий олегович геометрия и комбинаторика виртуальных узлов

На правах рукописи

УДК 515 МАНТУРОВ Василий Олегович ГЕОМЕТРИЯ И КОМБИНАТОРИКА ВИРТУАЛЬНЫХ УЗЛОВ 01.01.04 геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико–математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре геометрии Московского государственного областного университета.

доктор физико-математических наук, профессор ВИРО Олег Янович доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

НЕЦВЕТАЕВ Никита Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор ЧЕРНАВСКИЙ Алексей Викторович Институт математики имени С.Л.Соболева Сибирского отделения

Ведущая организация:

Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится “ ” 2008 г. в 16 ч. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ле нинские Горы, Московский государственный университет, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического фа культета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан “ ” 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84, доктор физико- А.О.Иванов.

математических наук, профессор 1

Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы диссертации В последние десятилетия первостепенную роль в геометрии и топологии стали иг рать проблемы, связанные с топологией малых размерностей (инварианты узлов, трех мерных и четырехмерных многообразий, гладкие структуры на четырехмерных мно гообразиях, лежандровы узлы1, инварианты Зайберга-Виттена 2, гомологии Хегора Флоера3 ). При этом особое значение приобрели новые методы в теории узлов, а также широкое обобщение теории узлов то, что теперь называется “теорией виртуальных узлов”. Важные инварианты и результаты получаются часто с использованием ком бинаторных методов, а также методов, разработанных в теории виртуальных узлов и теории гомологий Хованова. Исследованию последних двух теорий и посвящена на стоящая диссертация.

Со времен Рейдемейстера4 классический узел понимается комбинаторно как класс эквивалентности вложенных в плоскость четырехвалентных графов со структурой проход–переход по локальным перестройкам (и сохраняющим ориентацию автомор физмам плоскости);

эти перестройки, называются движениями Рейдемейстера и обо значаются 1, 2, 3.

Классические инварианты узлов, определяемые в топологических терминах (поли ном Александера, сигнатура) не смогли дать ответа на многие вопросы в теории узлов.

Прорыв в современной теории узлов, начавшийся с работы Конвея5, основан на ком бинаторном определении инвариантов.

Все эти комбинаторные инварианты определяются, исходя из диаграмм узлов. Та ковы, например, скейн-инварианты это инварианты, определяемые на всех ориен тированных зацеплениях, которые для каждой тройки “похожих” диаграмм (тройки Конвея), отличающихся только в малой окружности удовлетворяют определенному линейному соотношению.

Важным развитием теории инвариантов узлов является теория инвариантов Васи льева6. Инварианты Васильева (инвариантами конечного порядка) изначально были определены топологически (посредством спектральной последовательности, вычисля ющей гомологии пространства сингулярных отображений окружности в трехмерное 1 Fuchs, D. and Tabachnikov, S. (1997), Invariants of Legendrian and transverse knots in the standard contact space, Topology, 36, pp. 1025–1053.

2 см., напр., Дж.Д. Мур, Лекции об инвариантах Зайберга-Виттена, МЦНМО, М., 3 Oszvth, P, Szab,Z. (2006), Heegaard Diagrams and Floer Homology, Proc. ICM-2006, Madrid, EMS, vol. 2., pp. 1083 a o 4 Reidemeister, K. (1932) Knotentheorie, (Berlin: Springer).

5 Conway, J.H, (1970), An enumeration of knots and links and some of their algebraic properties, In: Computational Problems in

Abstract

Algebra (New York, Pergamon Press), pp. 329–358.

6 Vassiliev, V. A. (1990), Cohomology of knot spaces, in Theory of Singularities and its applications, Adv. in Sov. Math.,1, pp. 23–70.

пространство), но затем появилось их комбинаторное определение, которое состоит в следующем.

Пусть f инвариант узлов. Тогда можно задать его значение на сингулярных узлах иммерсиях окружности общего положения, все особенности которых исчерпываются конечным числом двойных трансверсальных точек. Определим индуктивно производ ные инварианта f по правилу f (n+1)( ) = f (n) ( ) f (n) ( (1) ).

Здесь f 0 f исходная функция на обычных узлах, а значение функции f (n+1) на сингулярных узлах с (n + 1) перекрестком определяется, исходя из значений функции f (n) на диаграммах с n перекрестками, получаемых разрешением этого перекрестка согласно (1). Инвариант f называется инвариантом (Васильева) конечного порядка (порядка n), если f (n+1) 0.

Важным примером скейн-полиномов является полином Джонса7.

Оказывается, что этот полином (после простой замены переменной) может быть выражен посредством более простого соотношения. А именно, скобка Кауфмана 8 от одной переменной a, задаваемая с помощью соотношения + a1 (2) =a, после нормировки (умножения на некоторую степень от (a)) дает инвариантный полином X, который получается из полинома Джонса заменой переменной.

Соотношение (2) выражает значение скобки Кауфмана для диаграммы с n пере крестками через значение скобки на диаграммах со строго меньшим количеством пе рекрестков. Для всякой неориентированной диаграммы L с n (классическими) пере крестками скобку Кауфмана можно записать в виде суммы 2n слагаемых a(s)(s) (a2 a2)(s)1, (3) L= s где сумма берется по всевозможным состояниям s (разведениям всех перекрестков), это количество перекрестков, разведенных положительно:, (s) = (s) n (s), а (s) число окружностей в разведенном состоянии s. Состояния можно рассматривать как вершины дискретного куба {0, 1}n, где 0 соответствует положи отрицательному. Здесь величина (a2 a2 )k тельному разведению, а 1 это значение скобки Кауфмана на тривиальном зацеплении с k компонентами.

Инвариант X(L) равен (a)3w(L) |L|, где |L| диаграмма, полученная из L “за быванием ориентации”, а w(L) сумма знаков классических перекрестков диаграммы Jones, V. F. R. (1985), A polynomial invariant for links via Neumann algebras, Bull. AMS, 129, pp. 103–112.

Kauman, L.H. (1987), State Models and the Jones Polynomial, Topology, 26 (1987), pp. 395–407.

L (перекресток считается положительным, а перекресток отрицательным).

Революционная идея Хованова9 состоит в переходе от полиномов к линейным граду ированным пространствам, от линейных комбинаций к комплексам, а от инвариант ного полинома (нормированной скобки Кауфмана) к гомологиям биградуированного комплекса (которые оказываются инвариантными относительно движений Рейдемей стера);

здесь в структуре куба используется не только количество окружностей в каждом состоянии, но и их взаимное расположение и перестройка.

Замечание. Здесь правильнее было бы говорить о когомологиях, но в литературе устоялось название гомологии Хованова, которого мы и будем придерживаться.

Обозначения в теориях Хованова и Кауфмана несколько отличаются друг от дру га нормировкой на тривиальном узле и заменой переменной. А именно, у Хованова q = a2, где a обычная переменная, используемая в скобке Кауфмана. Соответ ствующий полином Джонса, принимающий на тривиальном узле значение (q + q 1), обозначается через J.

Опишем конструкцию гомологий Хованова для классических узлов, следуя9.

Рассмотрим биградуированные комплексы, у которых первая градуировка будет называться высотой, а вторая просто градуировкой. Дифференциал в комплексе сохраняет градуировку и повышает высоту на единицу.

Пусть дана диаграмма L с n классическими перекрестками. Ей соответствует дис кретный куб {0, 1}n, с каждой вершиной s которого связано некоторое количество окружностей (s). Сопоставим каждой вершине куба биградуированный модуль V (s) [(s)]{(s)}[n]{n+ 2n}. Здесь V биградуированный модуль, порожден ный элементами 1 и X градуировок (0, 1) и (0, 1) соответственно. Далее, (s) вы сота вершины, n+ и n количества положительных и отрицательных перекрестков, а [·] и {·}, означают сдвиг первой и второй градуировки соответственно. Простран ство цепей комплекса есть прямая сумма пространств цепей, соответствующих всем вершинам куба.

Оказывается, можно так определить дифференциал на этом биградуированном мо дуле, что градуированная эйлерова характеристика полученного комплекса будет рав на полиному Джонса J (который отличается от обычного полинома Джонса норми ровкой и заменой переменной).

Дифференциал представляет собой сумму частичных дифференциалов, каждый из которых действует вдоль ребер куба в направлении, увеличивающем координату.

В случае классических зацеплений частичный дифференциал определяется отображе ниями умножения m : V V V и коумножения : V V V (на некоторых ребрах ставится также знак минус, чтобы квадрат результирующего дифференциала был равен нулю). Мы полагаем Khovanov, M. (1997), A categorication of the Jones polynomial, Duke Math. J,101 (3), pp.359-426.

1 X X, 1 1 1, (4) m:

X 1 X, X X 11X +X (5) :

X X X.

Частичный дифференциал вдоль ребра куба представляет собой тензорное про изведение ± или ±m и набора отображений Id;

здесь ± или ±m относятся к тем окружностям, которые перестраиваются в данном перекрестке, а Id к остальным.

Получим биградуированное пространство цепей C с дифференциалом на нем.

Теория виртуальных узлов, изобретенная Кауфманом в работе10 возникает как ком бинаторное обобщение классической теории узлов (вводится новый вид перекрестка, называемый виртуальным и обобщаются движения Рейдемейстера). При этом она име ет также геометрический аспект: виртуальные узлы это узлы в утолщенных поверх ностях вида M [0, 1], где M ориентированная двумерная компактная поверхность, рассматриваемая с точностью до добавления/удаления ручек. Более точно, виртуаль ные узлы имеют три определения.

Первое (комбинаторное): классы эквивалентности диаграмм по преобразованиям.

Новый тип перекрестка называется виртуальным и изображается кружочком. Набор обобщенных движений Рейдемейстера таков: это все обычные движения Рейдемейсте ра, относящиеся к классическим перекресткам, а также движение объезда. Последнее состоит в том, что дуга, содержащая последовательно несколько виртуальных пере крестков, но не содержащая классических перекрестков, может быть преобразована в любую другую дугу с теми же начальной и конечной точками;

на месте пересечений новой дуги с оставшейся частью диаграммы узла ставятся виртуальные перекрестки.

Движение объезда можно заменить его локальными версиям виртуальным движе ниям Рейдемейстера, которые состоят из: чисто виртуальных движений Рейдемейсте ра 1, 2, 3, которые получаются из классических движений Рейдемейстера заменой всех участвующих в них классических перекрестков виртуальными перекресткамии полувиртуальной версии третьего движения Рейдемейстера, которая состоит в том, что дуга, содержащая два виртуальных перекрестка, может быть перенесена сквозь классический перекресток.

Наличие движения объезда подводит к следующей трактовке виртуальных узлов.

Известно, что классические узлы задаются гауссовыми диаграммами.

Гауссовой диаграммой, соответствующей плоской диаграмме (виртуального) узла K, называется диаграмма, состоящая из ориентированной окружности (с фиксирован ной точкой), на которой прообразы прохода и перехода (для каждого классического Kauman, L. H. (1999), Virtual knot theory, Eur. J. Combinatorics 20(7), pp. 662–690.

Рис. 1: Гауссова диаграмма виртуального узла перекрестка) соединены стрелками;

каждая стрелка направлена от прообраза перехода к прообразу прохода и снабжена знаком, который совпадает со знаком перекрестка.

Произвольные гауссовы диаграммы, вообще говоря, не могут быть реализованы в виде вложения графа в плоскость, но можно их реализовать посредством погруже ния общего положения, отмечая точки, имеющие больше одного прообраза (в случае общего положения ровно два прообраза), виртуальными перекрестками, см. рис. 1.

На самой гауссовой диаграмме виртуальные перекрестки не отмечаются.

Это естественным образом приводит к следующему (второму) определению вирту альных узлов (не зацеплений). Рассмотрим все формальные гауссовы диаграммы и опишем формально движения Рейдемейстера (как в случае классических диаграмм).

При этом классы эквивалентности гауссовых диаграмм по формальным движениям Рейдемейстера и будут представлять виртуальные узлы. Отметим, что нам не понадо бится движение объезда, так как гауссова диаграмма “не знает” ничего о расположении виртуальных перекрестков на плоскости, а “знает” лишь классические перекрестки и то, как они соединены между собой.

Тот факт, что две ветви виртуального узла, имеющие виртуальное пересечение, от носятся к двум “далеко стоящим” частям узла, приводит к (третьему, топологическо му) определению виртуальных узлов как узлов в утолщенных поверхностях S I, где S двумерная ориентированная замкнутая поверхность, а I отрезок;

при этом утолщенные поверхности должны рассматриваться с точностью до стабилизации, т.е.

с точностью до добавления (удаления) ручек к поверхности S так, чтобы добавляе мые утолщенные ручки не затрагивали соответствующего узла. Здесь и далее пред полагается, что на утолщенной поверхности S I фиксирована структура прямого произведения и указано, какой край является верхним, а какой нижним. Никакой струкутры на S не фиксируется, так что можно считать, что S рассматривается с точностью до гомеоморфизма, сохраняющего ориентацию. Аналогичная теория узлов в ориентированных утолщениях произвольных двумерных замкнутых поверхностях носит название теории скрученных узлов11.

В случае зацепления разрешим также несвязные поверхности S1 · · · Sk. Зацепле Bourgoin, M. O., Twisted Link Theory, arxiv: math. GT/0608233.

ния в S I описываются диаграммами на S с проходами и переходами. В этом смысле виртуальные диаграммы получаются с помощью регулярных проекций общего поло жения диаграмм c S на плоскость: перекрестки переходят в классические перекрестки, а новые пересечения (дефекты проекции) отмечаются виртуальными перекрестками.

Движения Рейдемейстера для диаграмм на S (те же, что и в случае классических диа грамм узлов) соответствуют классическим движениям Рейдемейстера для диаграмм на R2 ;

существуют также преобразования, которые не меняют комбинаторной струк туры диаграммы на S, но меняют комбинаторную структуру проекции на плоскость:

им соответствует движение объезда. Таким образом, виртуальные узлы сами по себе представляют объекты маломерной топологии. Поэтому любая задача про виртуаль ные узлы (решенная, например, из диаграмматических соображений) представляет собой некоторый факт из маломерной топологии. Теорема об эквивалентности раз личных определений виртуальных узлов была анонсирована в первой работе Кауфма на о виртуальных узлах и доказана различными авторами, в том числе Кауфманом.

Полное подробное доказательство можно найти, например, в [Ма1].

Отметим, что гауссовы диаграммы являются важнейшим инструментом при постро ении инвариантов Васильева узлов. А именно, М.Н.Гусаровым12 доказана теорема о существовании комбинаторных формул типа Виро-Поляка13 для вычисления произ вольных инвариантов Васильева классических узлов. Каждая комбинаторная форму ла связана с подсчетом вхождений (с коэффициентами) в данную гауссову диаграмму фиксированных поддиаграмм из данного набора. При этом в числе фиксированных диаграмм могут встречаться и нереализуемые диаграммы диаграммы, соответству ющие виртуальным узлам. Это послужило мотивом для построения аналогичной тео рии инвариантов конечного порядка для виртуальных узлов, предложенной в12. Таким образом, виртуальные узлы были использованы для решения задачи об инвариантах классических узлов.

Другое (более общее) определение инвариантов конечного порядка было приведено в последней редакции работы Кауфмана10.

На виртуальные узлы естественным образом обобщаются как комбинаторные (поли ном Джонса), так и топологические (фундаментальная группа) инварианты классиче ских узлов. Полином Джонса получается нормировкой скобки Кауфмана, задаваемой по формуле (3), при этом разводятся только классические перекрестки.

Изучение виртуальных узлов мотивировано следующими обстоятельствами. Поня тие виртуального узла является естественным и ближайшим обобщением понятия классического узла. Действительно, диаграмма классического узла представляет со Goussarov M., Polyak M., and Viro O.(2000), Finite type invariants of classical and virtual knots, Topology 39, pp.

1045–1068.

13 Polyak, M. and Viro, O. (1994), Gauss diagram formulae for Vassiliev invariants, Int. Math Research Notes, 11, pp.

445–453.

бой набор классических перекрестков на плоскости, соединенных между собой пред писанным образом. При этом линии соединения не пересекаются между собой. Если при соединении окрестностей перекрестков предписанным образом возникают пересе чения соединяющих линий, то соответствующая диаграмма определяет виртуальный узел. Тем самым виртуальные узлы относятся к классическим узлам так же, как про извольные графы к планарным графам. Кроме того, естественность обобщения “клас сический узел виртуальный узел” соответствует переходу от утолщенной двумерной сферы к утолщенным двумерным поверхностям. Таким образом, теория виртуальных узлов существенно богаче, чем теория классических узлов и является естественным обобщением последней. Методы теории узлов последнего времени в большой степе ни могут быть перенесены на случай виртуальных узлов в силу внутреннего родства обеих теорий. Речь идет о четырехвалентных графах и структуре проход/переход в перекрестках. Таким образом, из классической задачи описания отображений окруж ности в трехмерное многообразие выделяется большая часть (а именно, отображение окружности в утолщенные двумерные поверхности), исследованная в диссертации.

2 Цель работы Построить теорию гомологий Хованова для виртуальных узлов. Изучить свойства гомологий Хованова классических и виртуальных узлов применительно к оценкам характеристик узлов (число перекрестков и др).

Выявить феномены теории виртуальных узлов, которые не имеют места для клас сических узлов.

Построить теорию инвариантов длинных виртуальных узлов.

Выяснить связь между инвариантами Васильева классических и виртуальных уз лов.

Доказать гипотезу Васильева о планарности графов с крестовой структурой.

Доказать алгоритмическую распознаваемость виртуальных узлов.

Построить инварианты виртуальных кос и выявить их связь с классическими коса ми.

Разработать методы, устанавливающие неклассичность виртуальных узлов.

3 Методы исследования Одним из основных методов исследования, используемых в настоящей диссертации является разработанный автором метод кодирования узлов и виртуальных узлов по средством так называемых атомов14 (а также d-диаграмм для классических узлов).

Атом был впервые определен А.Т.Фоменко в работе Fomenko A. T. (1991), The theory of multidimensional integrable hamiltonian systems (with arbitrary many degrees of freedom). Molecular table of all integrable systems with two degrees of Понятие d-диаграммы и кодировка узлов посредством атомов и d-диаграмм изложена в15. Так, метод атомов использован автором при построении теории гомологий Хо ванова виртуальных узлов, а также при доказательстве гипотезы Васильева. Этот метод также широко применяется в проблемах распознавания минимальности диа грамм классических и виртуальных зацеплений и позволяет установить единую точку зрения на все виртуальные узлы, неотъемлемой частью которых являются классиче ские узлы [Ма1, Ма5, Ма6, Ма11, Ма12, Man1, Man9]. Идея d-диаграмм состоит в том, что вместо трансверсального обхода диаграммы узла или четырехвалентного графа рассматривается поворачивающий обход. Такие обходы также приводят к хордовым диаграммам, при этом планарным графам (соотв., классическим зацеплениям) отве чают d–диаграммы (хородвые диаграммы, хорды которых состоят из двух семейств, в каждом из которых хорды попарно незацеплены), в то время как виртуальным за цеплениям и непланарным графам отвечают произвольные хордовые диаграммы.

Для построения теории гомологий Хованова с произвольными коэффициентами для произвольных виртуальных узлов в главе 6 потребовалось использовать набор новых предложенных автором идей: скрученные коэффициенты, взятие внешнего произве дения вместо симметрического и замена базиса в алгебре Фробениуса.

В главах 4, 5 и 6 использовались также стандартные методы, используемые в теории гомологий Хованова: метод сокращения для комплексов, метод затягивающего дерева Тистлтуэйта (–Верли-Кофмана–Чампанеркара) В теории длинных виртуальных узлов автором предложен метод длинных груп поидов;

с помощью этого метода решена проблема некоммутируемости виртуальных узлов.

В диссертации также использовались классические методы и их обобщения. Так, для доказательства алгоритмической распознаваемости виртуальных зацеплений, а также для доказательства нетривиальности связной суммы виртуальных зацеплений были использованы методы трехмерной топологии теория Хакена-Хемиона-Матвеева в сочетании со структурной теоремой Куперберга 17 о единственности минимального представителя заданного класса вирутальных зацеплений.

При построении различных комбинаторных инвариантов виртуальных узлов, авто ром предложено рассматривать дополнительную алгебраическую структуру в вирту альных перекрестках (виртуальные группоиды).

В диссертации используются методы трехмерной топологии, алгебраические мето ды, связанные с дистрибутивным группоидом и его обобщениями, различные полино миальные инварианты, в том числе матричные, формально комбинаторные, различ freedom, Adv. Sov. Math, 6, pp. 1-35.

15 Мантуров, В.О. (2000), Скобочная полугруппа узлов, Мат. Заметки, 67, (4), сс. 449-462.

16 Matveev, S.V. (2003), Algorithmic topology and classication of 3-manifolds, (N.-Y.: Springer Verlag).

17 Kuperberg, G. (2002), What is a Virtual Link?, Algebraic and Geometric Topology, 2003, 3, 587-591.

ные подходы к скобке Кауфмана и теории гомологий Хованова.

4 Научная новизна Настоящая диссертация является первым систематическим исследованием, целиком посвященным новой бурно развивающейся ветви маломерной топологии теории вир туальных узлов (сотни публикаций за последние несколько лет). В ней модернизиро вано определение гомологий Хованова для классических узлов, и построена теория гомологий Хованова для виртуальных узлов. Кроме того, в диссертации доказана ги потеза Васильева о планарности сингулярных зацеплений, доказан ряд стуктурных теорем (о нетривиальности связной суммы нетривиальных узлов, о некоммутируемо сти длинных узлов) и установлена единая точка зрения на виртуальные и классические узлы, связанная с атомами.

Все основные положения диссертации, выдвигаемые на защиту, являются новыми.

5 Теоретическая и практическая ценность Виртуальные узлы представляют собой естественное обобщение классических узлов.

Теория виртуальных узлов представляет собой раздел маломерной топологии, более широкий, чем обычная теория узлов, но допускающий удобную комбинаторную интер претацию. Тем самым каждый результат из теории виртуальных узлов представляет собой результат из трехмерной топологии. Частными случаями являются: зацепления в утолщенном торе (который можно трактовать как дополнение к зацеплению Хопфа), а также узлы в трехмерном проективном пространстве, которые представляют собой частный случай скрученных узлов важного обобщения виртуальных узлов, для ко торых в настоящей диссертации построена теория гомологий Хованова. Последние две тесно связаны с классификацией скрещивающихся конфигураций прямых в трехмер ном пространстве.

Важным примером применения теории виртуальных узлов к теории классических узлов послужила теорема Гусарова12. Еще одним примером являетя (незаконченная) работа Хованова-Розанского, в которой строится категорификация полинома Кауф мана для классических узлов посредством виртуальных узлов18.

Изучение феноменов теории виртуальных узлов, не имеющих место в классической теории узлов (некоммутируемость длинных узлов, существование узлов с нетриви альным полиномом Джонса и тривиальной фундаментальной группой) показывают неприменимость методов алгебраической топологии для понимания структуры инва риантов узлов.

Khovanov, M., Rozansky, L.,Virtual crossings, convolutions and a categorication of the SO(2N) Kauman polynomial, arXiv.Math:GT/0701333.

Теория гомологий Хованова дает подход к решению различных задач в теории уз лов: доказательство минимальности диаграмм узлов, оценки рода Зейферта, числа заузленности, а также неэквивалентность понятий кусочно-линейной и гладкой сре занности узла.

После построения теории гомологий Хованова для виртуальных узлов многие из этих результатов и оценок прямо или с небольшими модификациями переносятся на более широкий класс объектов трехмерной топологии.

Комбинаторика виртуальных узлов стимулирует постановку новых задач и постро ение новых теорий (напр., теория виртуальных трехмерных графов Меллора и Флем минга19).

Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы спе циалистами в теории узлов и алгебраической, геометрической и маломерной тополо гии: в теории узлов, трехмерных и четырехмерных многообразий, в теории представ лений групп и алгебр Ли, групп кос.

6 Апробация работы Результаты диссертации докладывались на:

1 Международном математическом конгрессе-2002, Пекин.

2 Международном математическом конгрессе-2006, Мадрид.

3 Международной российско-французской конференции “Autour des tresses”, Москва, 2002.

4 Конференции “Knots in Poland”, Варшава-Бедлево, 2003, два доклада.

5 Международной конференции, посвященной столетию со дня рождения Л.В.Кел дыш, Москва, 2004 (приглашенный доклад), 6 Конференции “Categorication in algebra and topology”, Uppsala, Швеция, 2006, 7. Конференции “Algebraic Topology - old and new”, посвященной памяти М.М.Пост никова, Бедлево, Польша, 8. Конференции “Geometry and Physics - in Memory of Xiao-Song Lin”, Тяньцзинь, КНР, 2007.

а также на семинарах:

1. Семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений, рук. акад. РАН А.Т.Фоменко, МГУ, 2004, 2006, 2007 многократно.

2. Семинаре “Современные геометрические методы” под рук. акад. РАН А.Т.Фоменко, проф. А.С.Мищенко, проф. А.В.Болсинова, МГУ (2002,2003).

3. Семинаре “Узлы и дискриминанты” акад. РАН В.А.Васильева (Независимый мос ковский университет, 2002, дважды в 2004).

Flemming,T., Mellor, B., Virtual Spatial Graphs, arXiv.Math:GT, 4. Семинаре по алгебраической топологии проф. В.М.Бухштабера и проф. А.В.Чер навского (МГУ, трижды в 2005 и один раз в 2007).

5. Семинаре под руководством акад. РАН О.Б.Лупанова, МГУ, 2003, 2005.

6. Семинаре им. П.С.Александрова, МГУ, рук. проф. В.В.Федорчук, 2004.

7. Семинаре по теории особенностей акад. В.И.Арнольда, акад. В.А.Васильева, проф. В.М.Закалюкина, проф. С.М.Гусейн-Заде (МГУ, 2005).

8. Семинаре проф. А.С.Мищенко, проф. И.К.Бабенко, проф. Е.В.Троицкого, проф.

В.М.Мануйлова (МГУ, 2007, дважды).

9. Семинаре проф. О.М.Касим-Заде (2003, МГУ).

10. Петербургском городском топологическом семинаре им. В.А. Рохлина, рук. проф.

Н.Ю.Нецветаев и проф. В.М.Нежинский (2005, дважды).

11. Семинаре по маломерной математике “Москва-Петербург” (С.-Петербург, ст. на учн. сотр. С.В.Дужин, СПОМИ РАН, 2005).

12. Семинаре проф. В.М.Нежинского (С.-Петербург, 2005).

13. Семинаре под руководством проф. С.С.Рышкова, проф. Н.П.Долбилина, д.ф.-м.н. Н.Г.Мощевитина, МГУ, 2004.

14. Семинарах в Ruhr-Universitt Bochum (Hubert Flenner, Uwe Abresch), 2002.

a 15. Семинаре в Alfred Renyi Intezet, Budapest (Andras Szcs), 2005.

u 17. Семинаре проф. О.Я.Виро (Uppsala Universitetet), многократно в 2006.

7 Струкутра и объем диссертации. Краткое содержание диссертации Общий объем диссертации составляет 387 страниц. Список литературы 204 наиме нования.

Первая глава диссертации является введением. В ней приведены различные определения виртуальных узлов, а также история развития теории узлов. В первой главе описывается мотивация диссертационного исследования, перечисляются основ ные результаты, а также апробация работы.

Вторая глава посвящена взаимосвязи теории виртуальных узлов с трехмерной то пологией. Здесь используется определение виртуального зацепления как зацепления в утолщенной ориентированной поверхности, рассмотренное с точностью до изотопии зацепления и стабилизации/дестабилизации поверхности (и гомеоморфизмов поверх ности на себя, сохраняющих ориентацию).

Дестабилизация (удаление ручек) позволяет упрощать исходную поверхность. Это приводит к естественному вопросу о минимальном представителе таком задании виртуального зацепления в утолщенной поверхности, к которому дальнейшая деста билизация не применима. Теорема Куперберга утверждает, что минимальный предста витель определен однозначно. Род “минимальной” поверхности M такой, что узел K представим в виде узла в M I, называется подлежащим родом виртуального узла. Из теоремы Куперберга следует, в частности, что теория классических узлов естественно “вкладывается” в теорию виртуальных узлов, иными словами, если два классических зацепления эквивалентны как виртуальные зацепления, то они изотопны.

Теорема 1. Пусть K1, K2 два виртуальных узла (не зацепления), и пусть K1#K некоторая их связная сумма. Если K1#K2 тривиальный узел, то каждый из узлов K1 и K2 тривиален.

В отличие от классических узлов, в виртуальном случае связная сумма не является корректно определенной. Это связано с тем, что в виртуальном случае классификация “длинных узлов”, т.е. узлов с концами, вытянутыми на бесконечность, не совпадает с соответствующей классификацией компактных узлов, получаемых как замыкания длинных узлов. Длинные виртуальные узлы подробно исследуются в третьей главе.

Теорема о нетривиальности связной суммы в классическом случае доказана Шубер том 20 с использованием рода Зейферта узла. Для ее доказательства в виртуальном случае доказываются неравенства о подлежащем роде узла.

Теорема 2. Существует алгоритм, распознающий, эквивалентны ли два виртуаль ных зацепления или нет.

Доказательство этой теоремы опирается на теорему Куперберга и основные поло жения теории нормальных поверхностей Хакена(-Хемиона-Матвеева).

Теорема об алгоритмическом распознавании виртуальных зацеплений опирается на алгоритмическую распознаваемость минимальности заданного представителя вирту ального зацепления, а также распознаваемость некоторого класса трехмерных много образий с краем. Эти утверждения основаны на ряде лемм о нормальных поверхно стях.

Третья глава диссертации посвящена изучению комбинаторного аспекта теории виртуальных узлов, построению различных инвариантов виртуальных узлов и длин ных виртуальных узлов, а также выявлению различных феноменов, встречающихся в теории виртуальных узлов.

К числу таких феноменов относится, например, следующий. Общеизвестно, что нетривиальный классический узел имеет нетривиальную (неизоморфную группе Z) фундаментальную группу. В случае виртуальных узлов это неверно.

В классической теории узлов фундаментальная группа, а также некоторые полино миальные (скейн)-инварианты могут быть определены посредством так называемого дистрибутивного группоида или квандла, предложенного независимо С.В.Матвеевым и Д.Джойсом, см. 21,22.

Шуберт, Х. (1966), Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые, Математика, 10 (4), сс. 57–104.

Матвеев, С.В. (1982), Дистрибутивные группоиды в теории узлов, Мат. Сборник, 119 (1), pp. 78–88.

22 Joyce D. (1982), A classifying invariant of knots, the knot quandle, J. of Pure and Applied Algebra, 23 (1), pp. 37–65.

Эта конструкция состоит в следующем. Пусть дана диаграмма классического ориен тированного зацепления. Дугами этой диаграммы называются ее связные компоненты, т.е. части диаграммы, расположенные между двумя соседними проходами. В каждом классическом перекрестке этой диаграммы сходятся три дуги. Одна из них проходит сверху (обозначим ее через b), а две другие снизу. Обозначим дугу, расположенную справа от b относительно ориентации дуги b, через a, а дугу, расположенную слева, через c.

Сопоставим дугам элементы формального алгебраического объекта, а перекрест кам соотношения вида a b = c в этом объекте. Напомним, что при построении копредставления Виртингера группы узла, соотношения на соответствующие элемен ты группы имеют вид bab1 = c.

В общем случае (для инвариантности объекта, который мы строим, относительно обобщенных движений Рейдемейстера) на операцию нужно наложить следующие условия: a : a a = a;

b, c, !x : x b = c;

a, b, c : (a b) c = (a c) (b c). Операцию, обратную к, обозначают через /. Таким образом, мы имеем: a b = c c/b = a.

Множество с операциями и /, удовлетворяющее перечисленным выше свойствам, называется дистрибутивным группоидом. Каждому классическому зацеплению L со ответствует дистрибутивный группоид зацепления (L) формальный группоид, со отношения которого происходят из перекрестков. Теорема Матвеева и Джойса утвер ждает, что дистрибутивный группоид в классическом случае различает узлы с точно стью до двойной инволюции: замены ориентации пространства и узла в нем. Кауфман показал, что дистрибутивный группоид прямо обобщается на виртуальные узлы и за цепления: здесь в качестве образующих нужно брать длинные дуги части диаграммы узла, идущие от прохода до следующего прохода и содержащие внутри, быть может, переходы и виртуальные перекрестки. Эта (почти) полнота приводит к доказатель ству того, что классическая теория узлов вкладывается в теорию виртуальных узлов.

Это было показано Гусаровым, Поляком и Виро (исторически раньше доказательства Куперберга).

Как оказалось, дистрибутивные группоиды в виртуальном случае не столь сильны, что побудило автора диссертации, а также других авторов (Кауфман-Рэдфорд, Са воллек и др., см. ссылки далее) искать усиления этой структуры. Один из возможных способов усиления дистрибутивного группоида добавление алгебраической струк туры в виртуальных перекрестках. Пусть дано виртуальное зацепление L, и пусть множество его дуг. Мы будем использовать операцию для записи со a1,..., ak отношений между дугами, инцидентными классическому перекрестку как и раньше;

кроме того, мы введем формальную (унарную) операцию f для виртуальных пере крестков, а именно: пусть в некотором виртуальном перекрестке Xj сходятся четыре дуги, которым соответствуют образующие aj1, aj2, aj3, aj4 так, как показано на рис. 2.

aj aj = f (aj ) 4 2 d s    d   dV   d  d  d   d   d a aj = f (aj ) j1 3 Рис. 2: Соотношение для виртуального перекрестка Положим (6) aj2 = f (aj1 );

aj3 = f (aj4 ) В результате мы получим виртуальный группоид, cоответствующий виртуальному узлу. При этом под виртуальным группоидом мы понимаем следующее.

Определение. Назовем виртуальным группоидом дистрибутивный группоид (M, ), на котором задан автоморфизм f : M M, т.е. взаимно однозначное отображение, такое что для любых a, b M f (a b) = f (a) f (b).

С помощью виртуального группоида можно построить различные инварианты вир туальных узлов согласно следующему принципу: если в некоторой категории (состоя щей из групп или модулей над фиксированным кольцом) можно ввести операции, /, f, удовлетворяющие аксиомам виртуального группоида, то в этой категории можно строить инварианты виртуальных узлов.

Так, например, для групп можно рассмотреть операции a b = bn abn, f (a) = qaq 1, где q фиксированный элемент группы, n фиксированное натуральное число.

В случае модулей над кольцом можно рассмотреть операции a b = ta + ( t)b, f (a) = sa (модуль над Z[t, s]) или a b = ta + (1 t)b, f (a) = a + (модуль над Z[t] с выделенным элементом ). Эти модули являются обобщениями модуля Александера.

Первый подход привел автора к построению полиномиальных инвариантов, а второй к построению полинома V A, [Ма2, Ма4, Ма10, Ма13, Man6, Man7]. Оба эти полинома обращаются в нуль на классических узлах, поэтому они полезны при определении неклассичности различных классов узлов.

Интересно, что к тому же полиному (с точностью до замены переменной и норма лизации) пришли одновременно несколько групп авторов: Кауфман-Рэдфорд 23, Са воллек 24, Сильвер-Уильямс 25, исходя из других идей: они рассматривали дополни тельные алгебраические структуры не в виртуальных, а в классических перекрестках.

Kauman, L.H. and Radford, D. (2002), Bi-Oriented Quantum Algebras and a Generalized Alexander Polynomial for Virtual Links, AMS Contemp. Math, 318, pp. 113–140.

24 J. Sawollek (2003), On Alexander-Conway polynomials for virtual knots and links, arXiv:math.GT/9912173 21 Dec 1999.

J. Knot Theory Ramications 12, no. 6, 767–779.

25 D. S. Silver and S. G. Williams (2001), Alexander Groups and Virtual Links, Journal of Knot Theory and Its Ramications, 10 (1),pp. 151-160.

После этого Р.Фенном 26 было доказано, что эти полиномы совпадают.

Автором приведены также различные обобщения инвариантов типа дистрибутив ного группоида на случай зацеплений из многих компонент, инварианты виртуальных зацеплений со значениями в (бесконечномерных) алгебрах Ли и др.[Ма1, Ма4, Ма9, Ма10, Ма13, Man1, Man5, Man6, Man7, Man8, KM1].

Центральное место в третьей главе диссертации занимает теория длинных вирту альных узлов.

Назовем длинной виртуальной диаграммой погружение общего положения ориен тированной вещественной прямой R на плоскость Oxy, совпадающее вне некоторого большого круга с тождественным отображением R Ox и снабженное в каждом пересечении (в случае общего положения двойное и трансверсальное) структурой классического или виртуального перекрестка. Длинные виртуальные диаграммы бу дем предполагать ориентированными согласно ориентации прямой слева направо.

У длинной виртуальной диаграммы имеются две выделенные некомпактные ду ги (по определению дуга идет от прохода до следующего прохода). Дуга называется некомпактной, если она содержит образ точки x R, такой что ограничение отоб ражения R1 R2 на полуинтервалы (, |x|] и [|x|, ) является тождественным вложением R1 R1.

Назовем длинным виртуальным узлом класс эквивалентности длинных виртуаль ных диаграмм относительно обобщенных движений Рейдемейстера. Классическим на зывается длинный виртуальный узел, имеющий диаграмму без виртуальных пере крестков. Тривиальным называется длинный виртуальный узел, имеющий диаграмму без перекрестков. Этот узел является единственным, у которого есть диаграмма, две некомпактные дуги которой совпадают.

Имеются две операции, превращающие длинный узел в компактный и наоборот.

Первая из них (замыкание длинного узла), K Cl(K) определена корректно и сопо ставляет длинному виртуальному узлу компактный виртуальный узел. Она состоит в том, что две некомпактные дуги обрываются “в окрестности бесконечности” и соеди няются. При этом получившийся компактный узел наследует ориентацию длинного узла.

Вторая операция, являющаяся обратной к первой, состоит в том, что мы выбираем на диаграмме ориентированного виртуального узла L точку, отличную от перекрестка, разрываем этот узел в данной точке и вытягиваем концы на бесконечность так, чтобы получить длинный узел. В случае, если концы можно вытянуть на бесконечность, так чтобы не возникло дополнительных перекрестков, мы будем делать это именно таким образом;

в противном случае все новые перекрестки нужно определить, как вирту Bartholomew, A. and Fenn. R. (2003), Quaternionic Invariants of Virtual Knots and Links, www.maths.sussex.ac.uk/ Sta/RAF/Maths/Current/Andy/equivalent.ps альные перекрестки. Эта операция не является корректно определенной: существуют нетривиальные длинные узлы с тривиальным замыканием.

При построении группоида элементы, соответствующие двум некомпактным дугам, являются инвариантными. Кроме того, все классические перекрестки длинного груп поида можно разбить на два класса: те, в которых прохождение верхней ветви пред шествует прохождению нижней ветви (ранний переход) и те, в которых прохождение нижней ветви предшествует прохождению нижней ветви (ранний проход). В первом случае мы будем использовать формальную операцию (с левой обратной /), а во втором операцию (с левой обратной //). Из анализа обобщенных движений Рей демейстера выводится ряд аксиом, который приводит к построению длинного группо ида длинного виртуального узла ДГ(K), в котором выделены начальный и конечный элементы a(K) и b(K). Зададим множество Admi допустимых слов, порождаемых операциями,, /, //, f. Тогда дистрибутивный группоид определяется как множе ство классов эквивалентности слов из набора Admi по отношению эквивалентности, порождаемому следующими элементарными эквивалентностями:

1. A Admi : A A A, A/A A, A A A, A//A A, 2. A, B Admi : (A B)/B (A/B) B A, A, B Admi : (A B)//B (A// B) B A, 3. A, B, C Admi : (AB)C (AC)(BC), где, {,, /, //}, 4. x, y, z Admi : x(y z) x(y z);

x(y/z) x(y//z) для {,, /, //}.

5. A, B Admi {,, /, //} : f (AB) = f (A)f (B).

6. i = 1,..., l : ri1 ri2.

Здесь все соотношения, кроме последней серии, это общие соотношения, присущие каждому длинному группоиду (по определению);

последний набор соотношений вида ri1 ri2 относится к конкретной диаграмме виртуального узла. А именно, в каждом классическом перекрестке мы выписываем соотношение a b c (так же, как в случае обычного группоида) либо a b c;

операция выбирается в случае раннего перехода, а операция в случае раннего прохода. В виртуальных перекрестках мы выписываем соотношения видов (6), см. рис. 2.

Назовем [Ма9, Man5] длинным группоидом множество M с выделенными элемен тами a и b и заданными бинарными операциями, и унарной операцией f, такое что:

1. Множество M является виртуальным группоидом относительно (f, ) (операция, обратная к, обозначается через /).

K K Рис. 3: Некоммутирующие узлы K1 и K 2. Множество M является виртуальным группоидом относительно (f, ) (операция, обратная к, обозначается через //).

3. Операции,, /, // являются право-дистрибутивными по отношению друг к другу.

4. Имеют место следующие “странные” соотношения, состоящие в следующем. Пусть некоторая операция из списка {,, /, //}. Тогда для любых x, y, z M имеют место тождества:

x(y z) = x(y z) (7) x(y/z) = x(y//z) Элементы a и b называются начальным и конечным элементами длинного группо ида.

Используя приведенные выше соотношения, мы сопоставляем каждой виртуальной диаграмме K некоторый длинный группоид ДГ(K).

Автором доказана Теорема 3. Пусть K, K диаграммы эквивалентных длинных виртуальных узлов.

Тогда существует гомоморфизм h : (ДГ(K), aK, bK ) (ДГ(K ), aK, bK ), согласованный с операциями, и f и пере водящий элемент aK в элемент aK, элемент а bK в bK.

Такие длинные группоиды имеют простую алгебраическую модель, с помощью ко торой доказывается следующий феномен: длинные виртуальные узлы, вообще говоря, не коммутируют. В частности, приведенные на рис. 3 длинные узлы не коммутируют, из чего следует их неэквивалентность и неклассичность каждого из них (отметим, что замыкание каждого из этих узлов тривиально).

Четвертая глава посвящена изучению свойств полинома Джонса (скобки Кауф мана) для виртуальных узлов и построению их обобщений.

Доказано несколько обобщений теоремы Мурасуги, утверждающей, что альтерни рованные неприводимые диаграммы узлов минимальны.

Основным результатом является построение инварианта, который использует в себе две идеи формально-комбинаторное определение скобки Кауфмана и трехмер ную топологию виртуальных узлов.

Рассмотрим множество S пар (двумерная поверхность конечный набор замкну тых кривых на ней). Здесь двумерная поверхность подразумевается ориентированной, замкнутой и имеющей конечное число компонент связности (если поверхность несвяз на, то ориентированной предполагается каждая из ее компонент связности).

Будем рассматривать элементы из S с точностью до отношения эквивалентности, порождаемого следующими элементарными эквивалентностями: 1) сохраняющими ори ентацию гомеоморфизмами поверхностей, переводящих кривые в кривые и сохраняю щими ориентацию и отношение порядка;

2) стабилизациями, т.е. добавлениями ручек, согласованными с ориентацией поверхности и не пересекающих кривые, а также деста билизациями;

3) свободными гомотопиями кривых по поверхности;

4) добавлениями (удалениями) простых неориентированных кривых, ограничивающих диск на поверх ности и не пересекающихся с другими кривыми.

Обозначим множество классов экививалентности через S. Вопрос о том, представля ют ли два элемента из S один и тот же класс эквивалентности в S, легко распознается алгоритмически очевидной модификацией метода, предложенного в работе27.

Опишем функцию [Ма7, Man3] на ориентированных виртуальных зацеплениях со значениями в модуле ZS[a, a1 ];

значения этой функции представляют собой линейные комбинации элементов из S с коэффициентами из Z[a, a1], при этом коэффициенты строятся так же, как слагаемые в разложении скобки Кауфмана, а элементы из S представляют собой “геометрию” виртуальных узлов.

Пусть дана виртуальная диаграмма K. Рассмотрим соответствующее представле ние виртуального узла в виде диаграммы на ориентированной двумерной поверхности M, получаемое следующим образом. Каждое виртуальное зацепление L представимо зацеплением в некоторой утолщенной поверхности Sg I. При проекции на Sg вдоль I оно задает набор кривых в количестве, равном количеству компонент зацепления L.

В этом случае все разведения диаграммы можно производить непосредственно на поверхности M. Зафиксируем тень зацепления K на поверхности M. Она представ ляет собой некоторый набор ориентированных замкнутых кривых. Далее, каждому состоянию s неориентированной диаграммы |K| (которое также можно рассматривать на поверхности M) соответствует некоторый набор (s) неориентированных замкну тых кривых на M.

Таким образом, мы получаем набор кривых (часть из них ориентирована, часть не ориентирована) p(s) = (s) (s), который можно рассматривать как элемент из Reinhart, B.L. (1962), Algorithms for Jordan Curves on Compact Surfaces, Annals of Mathematics, 75, No. 2., pp, 209–222.

множества S и, следовательно, как элемент из S. Рассмотрим теперь свободный модуль M = ZS[a, a1 ] над кольцом полиномов Лорана от переменной a;

образующими этого модуля будут элементы из S.

Определим инварианты (Васильева) конечного порядка виртуальных узлов посред ством введения сингулярных виртуальных узлов и формализма (1): инвариант имеет порядок n, если его (n+1)-я производная (определенная согласно (1)) тождественно обращается в нуль.

Сопоставим теперь диаграмме L элемент (L) M согласно следующей формуле:

(L) = (a)3w(s) p(s)a(s)(s) (a2 a2 )((s)1), (8) s где (s), (s), (s) имеют тот же смысл, что и в случае скобки Кауфмана.

Теорема 4. Функция, определенная формулой (8), задает инвариант виртуальных зацеплений.

Далее (в главе 8) показано, что полином приводит к трехпараметрической серии инвариантов Васильева для виртуальных узлов. Приводятся различные примеры, по казывающие силу полинома.

Пятая глава посвящена построению теории гомологий Хованова для виртуальных узлов.

Пусть L ориентированная диаграмма виртуального зацепления. Перенумеруем ее классические перекрестки a1,..., an. Под кубом перестроек мы понимаем куб {0, 1}n, в каждой вершине которого указано количество окружностей в соответствующем состо янии, а на каждом ребре следующим образом указано, какие окружности перестраива ются при переходе от одного состояния к соседнему согласно этому ребру. Сопоставим каждой окружности модуль V, порожденный двумя векторами 1 и X, где вектора и X имеют градуировку +1 и 1 соответственно. Имеем: qdimV = (q + q 1 ). Каждой вершине куба s = {a1,..., an} соответствует некоторое количество окружностей (s).

Сопоставим каждой такой вершине векторное пространство V (s){ n ai }, получа i= ющееся из тензорной степени пространства V сдвигом градуировки. Градуированной размерностью градуированного пространства V = Vi назовем qdimV = i q i dimVi, формальная переменная. Замена (q + q 1) на пространство V, такое что где q qdimV = (q + q 1), представляет собой важный шаг категорификации. Определим пространство цепей высоты k как прямую сумму пространств, относящихся ко всем вершинам куба высоты k.

Мы корректно задали цепи градуированного комплекса. Тем самым вне зависимо сти от дифференциала в комплексе мы получаем (Kh(L)) = J(L), где Kh(L) озна чает биградуированную группу гомологий того комплекса, который мы собираемся полином Джонса, а эйлерова характеристика представляет собой аль строить, J тернированную сумму (по высоте) градуированных размерностей пространств цепей.

Определим частичные дифференциалы на цепях, действующие вдоль ребер куба по направлению стрелок, т.е. от A к B, следующим образом. Пусть ребро a соответствует переходу из состояния s в состояние s, при этом l окружностей, которые не при мыкают к рассматриваемому перекрестку, не претерпевают изменений. В перекрестке диаграммы |L|, соответствующем ребру a, происходит перестройка либо одной окруж ности в две, либо двух окружностей в одну, либо одной окружности в одну. В первых двух случаях мы определим дифференциал так же, как он определяется в случае клас сических узлов, т.е. как Idl {1} или m Idl {1}. Сдвиг {1} добавляется согласно общему правилу сдвига градуировки на элементах куба.

Корректное определение полного дифференциала вида (1 1) представляет собой главную трудность в общем случае (в случае Z);

в случае Z2 эта трудность легко пре одолевается. А именно, положим все дифференциалы, соответствующие перестройкам типа 1 1, равными нулю.

Теорема 5. В случае поля Z2 комплекс C(L) корректно определен и является ин вариантом зацепления L;

градуированная эйлерова характеристика (Kh(L)) равна J(L).

Назовем атомом двумерное замкнутое многообразие M, в которое вложен четы рехвалентный граф M, делящий многообразие M на клетки с фиксированной шахматной раскраской двумерных клеток. Граф называется остовом атома. Атом рассматривается с точностью до естественной комбинаторной эквивалентности. Каж дый атом (более точно, его класс эквивалентности) может быть полностью восстанов лен по следующим комбинаторным данным:

1. Остов (четырехвалентный граф);

2. A–структура (делящая четыре полуребра, исходящие из каждой вершины, на две пары, называемые противоположными;

отношение противоположности определя ется в соответствии с расположением ребер на поверхности);

3. B–структура (в каждой вершине выделены две пары соседних полуребер (или двух углов), которые образуют границы черных клеток).

Атом (M, ) называется ориентируемым, если M ориентируемо.

Каждой виртуальной диаграмме соответствует атом, который строится следующим образом. Вершинами атома являются классические перекрестки диаграммы зацепле ния;

ребра атома это ветви диаграммы, проходящие от одного классического пере крестка до другого и содержащие внутри лишь виртуальные перекрестки. A-структура атома наследуется из плоской диаграммы: локально противоположные на плоскости ребра остаются противоположными и на атоме. Далее, B-структура определяется ло кально из структуры проход-переход: при движении на плоскости по часовой стрелке внутри “черного” угла мы идем от ребра прохода к ребру перехода.

Ключевым свойством является ориентируемость атома. Оказывается, для ориен тированных атомов все перестройки в кубе состояний Хованова имеют вид 1 2 или 2 1 (т.е. можно обойтись без дополнительных алгебраических операций) и для таких диаграмм можно корректно определить гомологии Хованова (пока не утверждается их инвариантность относительно каких-либо движений). Если D2 (K) диаграмма, соот ветствующая удвоению диаграммы K (т.е. состоящая из двух параллельных копий), то атом, соответствующий диаграмме D2(K) ориентируемый.

Теорема 6. Пусть n натуральное число. Тогда образ отображения L Kh(D2n(L)) является инвариантом оснащенных виртуальных зацеплений.

Иной способ определения гомологий Хованова рассмотрение двулистных накры диаграмма зацепления, V 2 (L) тий над атомами. А именно, пусть L двулист ное накрытие над соответствующим атомом;

соответствующий узел обозначим через K(V 2 (L)).

Теорема 7. Отображение L Kh(K(V 2(L))) задает корректно определенный ин вариант виртуальных зацеплений.

Далее в пятой главе строятся обобщения этих конструкций для получения более богатой теории гомологий, которая в классическом случае совпадает с обобщениями, предложенными Ховановым 28.

Шестая глава посвящена построению теории гомологий Хованова для виртуаль ных зацеплений с произвольными коэффициентами.

Основной трудностью, которая преодолена в шестой главе, является определение дифференциала для комплексов, соответствующих произвольным виртуальным уз лам, когда возникают перестройки типа 1 1 и приходится иметь дело с более слож ной алгебраической структурой и проверять значительно больше случаев, чем для классических узлов.

Эта трудность преодолевается посредством построения нового комплекса, имеющего те же гомологии, что и исходный комплекс Хованова. Первой ключевой идеей являет ся следующая: при переходе от одного перекрестка узла к другому вдоль окружности состояния нужно менять базис алгебры Фробениуса, задающей гомологии Хованова тривиального узла (что связано с выбором локальной ориентации соответствующей окружности, происходящим из перекрестка). Вторая ключевая идея состоит в том, что вместо обычного тензорного произведения, соответствующего нескольким окруж ностям в некотором состоянии, мы берем внешнее произведение соответствующих гра Khovanov, M. (2004), Link homology and Frobenius extensions, Arxiv.Math:GT/0411447.

дуированных пространств. Это избавляет нас от “искусственной” операции переделы вания коммутативного куба в косокоммутативный, как это проделано в главе 5. Диф ференциалы определяются в “локальных координатах”, соответствующих перекрестку и состоянию.

Каждой диаграмме виртуального зацепления мы сопоставляем биградуированный комплекс, группы гомологий которого инвариантны при обобщенных движениях Рей демейстера. Отметим некоторые важные свойства нашей конструкции.

1. Комплекс строится с использованием атомов;

он является инвариантным при вир туализации преобразования диаграммы, не меняющего атома и значения поли нома Джонса (каждой грани перестроек соответствует атом с двумя вершинами).

2. Существует естественное отображение из множества “скрученных виртуальных узлов” во множество виртуальных узлов по модулю виртуализации. Тем самым построена теория гомологий Хованова скрученных узлов.

Частным случаем скрученных виртуальных узлов (узлов в ориентированных утол щениях неориентируемых двумерных поверхностей с точностью до стабилизации) являются узлы в проколотом трехмерном проективном пространстве. Поэтому приводимая в настоящей главе теория приводит к построению гомологий Хова нова и для узлов в RP 3.

3. В случае коэффициентов над полем Z2 комплекс в точности совпадает с комплек сом из теоремы 5 (без введения скрученных коэффициентов, внешнего произведе ния и др).

4. Для ориентируемых атомов (в частности, для классических узлов) этот комплекс имеет те же гомологии, что и комплекс Хованова, построенный в главе 5.

5. Доказательство инвариантности является локальным;

оно аналогично доказатель ству инвариантности в классическом случае;

главная трудность состоит в кор ректном определении дифференциала таком подборе знаков, при котором куб становится антикоммутативным.

Пусть дан неупорядоченный набор векторных пространств. Упорядочим их произ вольным образом: V1,..., Vn.

Определим новое пространство, не зависящее от порядка, которое будем обозна чать через V1 V2 · · · Vn, следующим образом. Рассмотрим всевозможные тензор ные произведения этих пространств и отождествим их элементы согласно следующему правилу. Пусть xi Vi, i = 1,..., n. Положим x1 · · · xn = sign()x1 · · · xn.

Мы будем обозначать такое тензорное произведение x1 · · · xn элементов xi Xi через x1 x2 · · · xn. Назовем такое тензорное произведение упорядоченным.

Замечание. Чтобы избежать путаницы, заметим, что когда мы пишем X X, мы всегда имеем в виду, что первый элемент X и второй элемент X принадлежат разным (пусть даже изоморфным) пространствам. Таким образом X X не равно нулю (в отличие от внешних произведений 1-форм на себя).

Для того, чтобы куб перестроек был антикоммутативным, нам нужно добавить две новые составляющие:

1. Каждой окружности C в каждом состоянии мы сопоставляем векторное простран ство градуированной размерности q + q 1. А именно, пусть дана ориентация o некоторой окружности C в некотором состоянии;

сопоставим этой окружности градуированное векторное пространство, порожденное элементами 1 и XC,o. При замене ориентации o окружности на противоположную, o, мы имеем XC,o = XC,o, 1C,o = 1C,o.

2. Пусть дано состояние s диаграммы виртуального зацепления с k окружностями C1,..., Ck в нем. Этому состоянию мы сопоставим упорядоченное тензорное про изведение V k ;

в качестве базиса этого произведения выберем упорядоченные тен зорные произведения (p1)Ca1 (p2)Ca2 · · · (pk )Cak, где (pi)Cai означает элемент базиса пространства VCai.

Таким образом, мы определили пространство цепей комплекса, соответствующего виртуальной диаграмме K, которое мы обозначим через [[K]]. Все базисные элемен ты этого пространства соответствуют состояниям диаграммы K с дополнительным выбором элементов вида ±1 или ±X на каждой из окружностей состояния. Пусть s состояние диаграммы K с набором окружностей C1,..., Cl, при этом на данных окружностях выбраны элементы 1,..., l. Эти элементы образуют цепь комплекса [[K]], которой мы сопоставляем высоту h, где h количество разведений типа B в состоянии s, и градуировку, равную h + #1 #X, где #1 – это количество элементов вида ±1 среди 1,..., l, а #X это количество элементов ±X среди 1,..., l.

Пусть n+ и n обозначают число положительных и отрицательных перекрестков соответственно.

Обозначим через C(K) комплекс, полученный из [[K]] сдвигом высоты и градуи ровки: C(K) = [[K]]{n+ 2n}[n], т.е. высота каждой цепи уменьшается на n, а градуировка увеличивается на (n+ 2n );

все дифференциалы сдвигаются согласо ванно.

Примем, что ветви классических перекрестков ориентированы снизу вверх.

Рассмотрим некоторое состояние s диаграммы ориентированного виртуального за цепления. Выберем классический перекресток и рассмотрим все окружности состоя ния s, инцидентные этому перекрестку. Этих окружностей может быть либо одна, либо две. Фиксируем ориентации этих окружностей согласно ориентации ребра, исходящего X X X X -X -X -X -X Рис. 4: Задание базиса в перекрестке в направлении направо вверх и против ориентации ребра, входящего в перекресток сле ва снизу, см. верхнюю часть рис. 4. Как мы увидим далее, эти две заданные локально ориентации могут не быть согласованными;

в этом случае частичный дифференциал будет полагаться равным нулю.

Таким образом, заданная ориентация окружностей состояния s согласуется локаль но с ориентацией ребра, исходящего локально в направлении направо вверх (а также ребра, входящего справа снизу) и противоположно направлению ребер с левой стороны перекрестка: мы ориентируем полуребра, инцидентные перекрестку, так, как указано в левой нижней части рис. 4. Тем самым мы фиксировали выбор образующей X на каждой окружности, инцидентной выбранному перекрестку. Отметим, что в другом перекрестке для той же окружности выбор образующей X может отличаться от ис ходного знаком.

Частичные дифференциалы определяются согласно ориентациям окружностей в пе рекрестках и локальному упорядочению компонент по следующему правилу. Описан ная выше ориентация окружностей состояний является корректно определенной за исключением случая, когда ребро куба, соответствующее перекрестку, переводит одну окружность в одну окружность. В таких ситуациях мы полагаем частичный диффе ренциал, соответствующий ребру, равным нулю.

Пусть теперь мы имеем перестройку типа 1 2 или 2 1 в некотором перекрестке.

Если мы имеем дело с двумя окружностями, инцидентными перекрестку с противо ложных сторон, мы упорядочиваем их таким образом, чтобы верхняя (соотв., левая) окружность считалась первой;

нижняя (соотв., правая) окружность будет считаться второй. В дальнейшем при определении частичных дифференциалов мы предпола гаем, что все окружности упорядочены таким образом, что те окружности, которые участвуют в перестройке, находятся на самых начальных местах в нашем упорядо ченном тензорном произведении;

этого всегда можно добиться посредством предвари тельной перестановки, которая приведет, быть может, к замене знака. На остальных окружностях отображение действует тождественно.

Пусть дано ребро куба перестроек, которому соответствует изменение количества m m Рис. 5: Определение операций m и окружностей в состояниях на единицу. Эта перестройка происходит в некотором пере крестке, таким образом, возможны два случая либо две окружности перестраива ются в одну, либо одна в две. В том из двух состояний, где имеются две окружности, инцидентные данному перекрестку, они упорядочены. Кроме того, все три окружности ориентированы, тем самым выбран базис для пространства, соответствующего каждой из этих окружностей.

Зададим теперь отображения : V V V и m : V V V локально согласно предписанному выше выбору образующих в перекрестке и предписанному упорядо чению: (1) = 11 X2 + X1 12;

(X) = X1 X2 и m(11 12) = 1;

m(X1 12) = m(11 X2 ) = X;

m(X1 X2 ) = 0, см. рис. 5.

Отметим, что отображение m является сюръективным, а отображение инъек тивным.

При наличии окружностей C1,..., Cl, не инцидентных перекрестку, в котором про исходит перестройка, и элементов 1,..., k на них, мы определяем частичные диф ференциалы по правилу:

(1 1 · · · k ) = (1)1 · · · k = 11 X2 1 · · · k + X1 12 1 · · · k ;

(X 1 · · · k ) = (X)1 · · · k = X1 X2 1 · · · k (в случае перестройки типа 1 2) и (11 12 1 · · · k ) = m(11 12) 1 · · · k = 1 1 · · · k ;

(X1 12 1 · · · k ) = (11 X2 · · · k ) = m(X1 12) 1 · · · k = m(11 X2 ) 1 · · · k = X 1 · · · k ;

(X1 X2 1 · · · k ) = m(X1 X2 ) 1 · · · k = 0 (в случае отображения типа 2 1).

Определим действие дифференциала на пространстве цепей, соответствующем вершине куба, как сумму частичных дифференциалов по всем ребрам, исходящим из данной вершины.

Основным результатом главы 6 является Теорема 8. 1. Набор групп C(K) с дифферецниалом задает корректно определен ный биградуированный комплекс.

2. Гомологии Kh(K) этого комплекса представляют собой инварианты виртуаль ных зацеплений 3. В случае классических узлов гомологии Kh(K) совпадают с обычными гомологи ями Хованова.

4. Градуированная эйлерова характеристика комплекса C(K) равна J(K).

Отметим, что в случае классических узлов конструкция шестой главы дает ком плекс, имеющий те же гомологии, что и изначальный комплекс Хованова, но комплекс, доставляемый 6 главой, изначально является антикоммутативным, т.е. не требует до полнительного введения знаков в куб перестроек.

Седьмая глава посвящена изучению виртуальных кос. Э.Артин 29 построил дей ствие группы кос на свободной группе и доказал, что это действие точно. В диссерта ции это действие обобщается до действия виртуальных кос на свободной группе с од ной дополнительной образующей. Обсуждаются свойства этого действия. Из точности действия Артина следует, что естественное отображение классических кос в виртуаль ные косы является вложением (эта теорема впервые доказана Р.Фенном, Р.Риманьи, К.Рурком 30). Точность этого действия выдвигается в качестве гипотезы.

Сначала строится инвариант F, сопоставляющий виртуальной косе из n нитей n классов смежности свободной группы, порожденной элементами a1,..., an, t по под группам, порожденным элементами a1,..., an соответственно. Этот инвариант F за дает представление группы V Bn в группу автоморфизмов свободной группы F Bn+ с образующими a1,..., an, t по правилу (i = 1,..., n):

ai tai+1 t ai ai ai+1ai ai+1 t1 ai t ai+1 ai (9) (i) = ;

(i ) = al al, l = i, i + 1 al al, l = i, i + tt t t.

Отметим, что проблема распознавания виртуальных кос решена В.Г.Бардаковым в.

Восьмая глава посвящена разным аспектам теории инвариантов Васильева клас сических и виртуальных узлов.

Инвариант, коэффициенты которого при элементах из S являются полиномами Лорана от переменной a, можно преобразовать в формальный ряд заменой перемен ной a = ex и разложением экспоненты по формуле Тейлора. Для удобства мы будем использовать ту же букву для обозначения полученного ряда от переменной x.

Artin, E. (1925), Theorie der Zpfe. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 4, pp. 27–72.

o Fenn, R.A., Rimanyi, P. and Rourke, C.P. (1997), The braid–permutation Group, Topology, 36(1), pp. 123–135.

31 Bardakov, V.G., The virutal and universal bradis, Fund. Math., 184, 1-18.

Пусть L виртуальное зацепление. Пусть m (L) коэффициент в ряде (L) при m x. Он представляет собой линейную комбинацию элементов из S с рациональными коэффициентами.

В главе 7 доказана следующая теорема.

Теорема 9. Для каждого m N+ инвариант m является инвариантом Васильева виртуальных узлов порядка не более m.

Каждый инвариант Васильева порядка n классических узлов является инвариантом первого порядка сингулярных узлов с (n 1) точкой самопересечения (обратное, вооб ще говоря, неверно). Исследование инвариантов первого порядка (n 1)-сингулярных узлов дает важную информацию о комбинаторных формулах для инвариантов конеч ного порядка классических узлов.

Для определения структуры когомологий пространства сингулярных узлов и ре шения задачи о том, имеются ли для данного инварианта Васильева комбинаторные формулы Виро-Поляка с целочисленными коэффициентами, В.А.Васильев 32 сформу лировал следующую гипотезу, которая доказана в диссертации:

Теорема 10. Оснащенный 4-граф не реализуем на плоскости тогда и только то гда, когда у него найдутся два цикла, без общих ребер, имеющие ровно одну точку перекрестья.

Здесь под оснащением понимается задание в каждой вершине графа структуры креста (A-структуры атома) разбиение исходящих полуребер на две пары (противо положных);

реализуемость означает вложение, в котором индуцируемое соотношение противоположности полуребер совпадает с предписанным;

под точкой перекрестья по нимается общая вершина двух циклов, в которой каждый из этих циклов переходит с ребра на формально противоположное. При доказательстве этой теоремы использо ваны атомы и d-диаграммы, см. выше.

8 Основные положения диссертации, выносимые на защиту • Теорема о том, что связная сумма двух виртуальных узлов нетривиальна, если хотя бы один из узлов нетривиален (глава 2).

• Построение теории виртуальных длинных узлов с использованием новой техни ки длинных группоидов (теорема 3, в частности, доказательство того, что длинные виртуальные узлы в общем случае не коммутируют, стр. 3), глава 3.

Васильев, В.А., Инварианты первого порядка и когомологии пространств вложений самопересекающихся кривых в Rn, Известия РАН, т. 69 5, сс. 3–52.

• Построение инвариантного полинома (теорема 4), исследование свойств этого полинома для оценки минимальности некоторых диаграмм виртуальных зацеплений (глава 4).

• Построение теории гомологий Хованова для виртуальных узлов с произвольны ми коэффициентами. Обобщение конструкции Хованова фробениусовых расширений для получения теории гомологий виртуальных зацеплений. Построение затягивающе го дерева для комплекса Хованова. Применение гомологий Хованова к оценкам на минимальный род атома и минимальное количество перекрестков диаграммы (вирту ального) зацепления. Доказательство минимальности нескольких бесконечных серий виртуальных диаграмм (глава 5).

• Основным результатом главы 6 является построение для произвольного поля ко эффициентов по диаграмме произвольного виртуального зацепления комплекса, ко торый в классическом случае гомотопически эквивалентен оригинальному комплексу Хованова.

• Решение гипотезы Васильева о реализуемости сингулярных зацеплений на плос кости (глава 8).

8.1 Другие важные результаты Отметим также ряд новых результатов, полученных в диссертации.

• Теорема о том, что виртуальные узлы алгоритмически распознаваемы (глава 2).

• Построение теории виртуальных группоидов, определение ряда инвариантов, с ними связанных, и установление некоторых свойств этих инвариантов (глава 3).

• Построение инвариантов виртуальных и классических узлов со значениями в (бес конечномерных) алгебрах Ли (глава 3).

• Построение инвариантов иерархических виртуальных узлов (гл.3).

• Построение инварианта виртуальных кос, обобщающего один полный инвариант классических кос (глава 7).

• Построение нескольких серий инвариантов Васильева классических и виртуаль ных узлов (глава 8).

Я глубоко признателен проф. Л.Х.Кауфману, акад. РАН А.Т.Фоменко, акад. РАН В.А.Васильеву и проф. М.Г.Хованову за постоянное внимание к работе и многочис ленные плодотворные консультации.

Все основные результаты диссертации опубликованы в приведенных ниже книгах и статьях автора, а также двух совместных статьях [KM1, KM2] В работе [KM1] авто ру принадлежит построение виртуальных группоидов и бигруппоидов, бигруппоидов, связанных с длинными виртуальными узлами, инвариантов узлов со значениями в бесконечномерных алгебрах Ли. В работе [KM2] автору приндадлежат доказательство теоремы об алгоритмической распознаваемости виртуальных зацеплений и о нетриви альности связной суммы нетривиальных виртуальных узлов.

Публикации автора по теме диссертации:

[Ма1] Мантуров, В.О. (2005), Теория узлов, Регулярная и хаотическая динамика, М. Ижевск, 512 сс.

[Ма2] Мантуров В.О. (2004), О полиномиальных инвариантах виртуальных зацепле ний, Труды ММО, 65 (1), сс. 175-200.

[Ма3] Мантуров В.О. (2003), О распознавании виртуальных кос, Записки научных се минаров ПОМИ, 299. Геометрия и топология. 8, сс. 267-286.

[Ма4] Мантуров В.О. (2002), Инварианты виртуальных зацеплений, Доклады РАН, 384 (1), сс. 11-13.

[Ма5] Мантуров В.О. (2003), Атомы и минимальные диаграммы виртуальных зацеп лений, Доклады РАН, 391 (2), сс. 166-168.

[Ма6] Мантуров В.О. (2004), Полином Хованова для виртуальных узлов, Доклады РАН, 398 (1), сс. 15-18.

[Ма7] Мантуров В.О. (2003), Кривые на поверхностях, виртуальные узлы и полином Джонса-Кауфмана, Доклады РАН, 390 (2), сс. 155-157.

[Ма8] Мантуров В.О. (2004) Инварианты конечного порядка виртуальных зацеплений и полином Джонса-Кауфмана, Доклады РАН, 395 (1) сс. 18-21.

[Ма9] Мантуров В.О. (2005) О длинных виртуальных узлах, Доклады РАН, 401 (5), сс. 595-598.

[Ма10] Мантуров В.О. (2002) Инвариантный полином двух переменных для виртуаль ных зацеплений, Успехи мат. наук, 57, No. 5, сс. 141-142.

[Ма11] Мантуров В.О. (2005) Комплекс Хованова для виртуальных узлов, Фундамен тальная и прикладная математика, т. 11., 4, сс. 127-152.

[Ма12] Мантуров В.О. (2005) Доказательство гипотезы Васильева о планарности син гулярных зацеплений, Известия РАН, т. 69, 5, сс. 169-178.

[Ма13] Мантуров В.О. (2003) Комбинаторные вопросы теории виртуальных узлов, Ма тематические вопросы кибернетики, т. 12, сс. 147-178.

[Ма14] Мантуров В.О. (2006) Комплекс Хованова и минимальные диаграммы узлов, Доклады РАН, 406 (3) сс. 308-311.

[Ма15] Мантуров В.О. (2007) Гомологии Хованова виртуальных узлов с произвольны ми коэффициентами, Известия РАН, 71 (5), сс. 111-148.

[Man1] Manturov V.O (2004), Knot Theory, CRC-Press, Boca Raton, 416 pp.

[Man2] Manturov V.O. (2003), Multivariable polynomial invariants for virtual knots and links, Journal of Knot Theory and Its Ramications, 12 (8), pp. 1131-1144.

[Man3] Manturov V.O. (2004) Kauman-like polynomial and curves in 2-surfaces, Journal of Knot Theory and Its Ramications, 12 (8), pp. 1145-1153.

[Man4] Manturov V.O. (2005) Vassiliev invariants for virtual links, curves on surfaces and the Jones-Kauman polynomial, Journal of Knot Theory and Its Ramications, (2), pp. 231-242.

[Man5] Manturov, V.O. (2004), Long virutal knots and their invariants, Journal of Knot Theory and Its Ramications, 13 (8), pp. 1029-1039.

[Man6] Manturov V.O. (2002) On Invariants of Virtual Links, Acta Applicandae Mathematicae, 72 (3), pp. 295-309.

[Man7] Manturov V.O. (2004) Virtual Knots and Innite-dimensional Lie algebras, Acta Applicandae Mathematicae, 83 (3), pp. 221-233.

[Man8] Manturov V.O. (2005), Flat Hierarchy, Fundamenta Mathematicae, vol. 188, pp.

147-154.

[Man9] Manturov V.O (2007), Khovanov Homology for Virtual Links with Arbitrary Coecients, Journal of Knot Theory and Its Ramications, 16 (3), pp. 345-377.

[KM1] Kauman L.H, Manturov V.O (2005), Virtual Biquandles, Fundamenta Mathematicae, 188, pp. 103- [KM2] Кауфман, Л.Х., Мантуров В.О. (2006), Виртуальные узлы и зацепления, Труды МИРАН им. В.А.Стеклова, т. 252, N.1., сс. 114-133.