Александр сергеевич инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп ли

На правах рукописи

УДК 514.765 Воронцов Александр Сергеевич Инварианты и геометрические свойства орбит коприсоединенного действия групп Ли Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2010

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложе ний Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители: академик РАН Фоменко Анатолий Тимофеевич, доктор физико-математических наук, профессор Болсинов Алексей Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Нецветаев Никита Юрьевич кандидат физико-математических наук Морозов Павел Валерьевич

Ведущая организация: Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Защита диссертации состоится 25 марта 2011 г. в 16 ч. 45 м. на заседа нии диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государствен ном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федера ция, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ им. М.В. Ломоно сова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 25 февраля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А.О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы Диссертация относится к такому разделу дифференциальной геометрии как геометрия однородных пространств и посвящена описанию орбит и ин вариантов коприсоединенного действия групп Ли. Этот вопрос имеет при ложение в теории вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых си стем. Орбиты коприсоединенного действия групп Ли являются естествен ным примером симплектических многообразий. Задание на 2-мерной ор бите коприсоединенного действия группы Ли набора функций в инволю ции, содержащего независимых функций эквивалентно заданию на этой орбите вполне интегрируемой гамильтоновой системы, в качестве гамиль тониана можно взять любую из функций. В частности, многие классиче ские динамические системы можно рассматривать как системы на орби тах коприсоединенного действия групп Ли. А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко, рассматривая подобные системы ввели важное понятие интегрируемости алгебры Ли 1 Определение. Алгебра Ли g называется интегрируемой, если на двой ственном пространстве g* существует функционально независимых функ ций 1,..., в инволюции относительно скобки Пуассона–Ли, причем = 1 (dim g + ind g).

и сформулировали гипотезу Гипотеза 1. Любая алгебра Ли интегрируема в классе полиномов.

Эта гипотеза известна как гипотеза Мищенко–Фоменко. Сами авторы доказали ее для редуктивных алгебр Ли, позднее ими и другими авторами гипотеза была доказана для других классов алгебр Ли.

Для доказательства гипотезы А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко использо вали конструкцию, получившую название метод сдвига аргумента. Сейчас А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко, Уравнения Эйлера на конечномерных алгебрах Ли, Изв. АН СССР.

сер. матем. 1978. 42, №2. 396- А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко, Интегрирование уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли, ДАН СССР. 1976,т.231, No.3, с.536- наборы полиномов, получаемых таким образом играют важную роль в изу чении алгебр Ли.3 А.В. Болсинов исследовал границы применимости метода сдвига аргу мента, дав его переформулировку в терминах согласованных Пуассоновых структур5. Этот подход оказался крайне плодотворным для исследования свойств динамических систем на алгебрах Ли6.

Окончательная точка в доказательстве гипотезы Мищенко–Фоменко бы ла поставлена С.Т. Садэтовым, доказавшем ее для произвольной алгебры Ли.7 Садэтов показал возможность построения полных коммутативных на боров по индукции, переходя на каждом шаге к алгебре Ли меньшей раз мерности.

В диссертации можно выделить три основных направления исследова ния: описание топологии и симплектической структуру на орбитах коприсо единенного представления произвольных групп Ли, получение явных фор мул для инвариантов коприсоединенного представления в случае алгебр Ли типа полупрямых сумм;

демонстрация возможности приложения тео рии бигамильтоновых структур в алгебраических задачах.

Цель работы 1. дать описание структуры орбит коприсоединенного действия для про извольной алгебры Ли, 2. описать орбиты и инварианты коприсоединенного действия для ал гебр Ли, представимых в виде полупрямой суммы классической по лупростой алгебры Ли с коммутативным идеалом по представлению минимальной размерности, Л.Г. Рыбников, Метод сдвига инвариантов и модель Годена, Функц. анализ и его прилож., 40, N (2006) 30– В.В. Шувалов, О пределах подалгебр Мищенко–Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли, Функц. анализ и его прилож., 36, N4 (2002) 298– А. В. Болсинов, Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:1 (1991), 68- A. V. Bolsinov, A.A. Oshemkov, Bi-Hamiltonian Structures and Singularitiesof Integrable Systems, Regular and Chaotic Dynamics, 2009, Vol. С.Т. Садэтов, Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко, Докл. РАН. 2004. 397. №6. 751-754.

3. исследовать возможность применения бигамильтонова подхода для анализа свойств коприсоединенного представления алгебр Ли.

Научная новизна 1. решена задача описания топологии орбит коприсоединенного дей ствия, а именно дано индуктивное описание структуры орбит копри соединенного действия для произвольной алгебры Ли путем сведения к описанию орбиты в алгебре Ли меньшей размерности, 2. решена задача явного описания топологии орбит и инвариантов копри соединенного дейсвия в ряде частных случаев (алгебры Ли, предста вимых в виде полупрямой суммы классической полупростой алгебры Ли с коммутативным идеалом по представлению минимальной раз мерности), 3. продемонстрирована эффективность бигамильтонова подхода для ана лиза свойств коприсоединенного представления алгебр Ли, в частно сти получены новые доказательства ряда классических теорем 4. доказана новая нижняя оценка на степени инвариантов коприсоеди ненного действия, Основные методы исследования В работе используются методы дифференциальной геометрии и аппарат групп и алгебр Ли. Идея редукции, применяемая при описании орбит, свя зана с методом С.Т. Садэтова, предложенным им для доказательства ги потезы Мищенко–Фоменко.

Явные формулы для инвариантов коприсоединенного представления для алгебр ли имеющих вид полупрямой суммы с коммутативным идеалом обобщают результаты, полученные А.В. Болсиновым, А.Ю. Браиловым, А.

Гусейновым.

Для исследования свойств инвариантов используется бигамильтонов подход, теорема Кронекера–Жордана о каноническом виде пары форм и идея сдвига аргумента, предложенная А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко.

Теоретическая и практическая ценность работы Результаты имеют теоретическое значение. Они могут быть полезны для описания топологии слоения Лиувилля интегрируемых гамильтоновых си стем и для описания свойств кольца инвариантов алгебры Ли.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались:

многократно (в 2005 — 2010 годах) на семинаре «Современные геомет рические методы» под руководством академика РАН А.Т. Фоменко и проф., д.ф.-м.н. А.С. Мищенко (мех-мат МГУ), в 2006 году на семинаре Prof. Flenner в Ruhr-Universitt Bochum, Гер a мания, в 2010 году на семинаре Prof. Pidstrygach в Georg-August-Universitt a Gttingen, Германия, o на Международной конференции “Александровские чтения”, (Москва,2006), на международной конференции “Geometry, Dynamics and Integrable systems” (Белград, 2008), в 2010 году на “Городском топологическом семинаре” ПОМИ РАН им.

В.А. Стеклова.

Публикации Результаты по теме диссертации опубликованы в 5 работах автора. Список работ приведен в конце автореферата [1 – 5].

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из 3 глав и введения. Список литературы включает 28 наименований. Общий объем диссертации составляет 94 стра ницы.

Краткое содержание работы Во введении формулируется цель работы, кратко излагаются ее резуль таты и содержание, вводятся основные понятия а так же освещается место данных результатов в современной теории интегрируемых систем.

В первой главе излагаются результаты Rawnsley и Baguis о структуре орбит коприсоединенного действия групп Ли, которые затем обобщаются на случай, когда коммутативный идеал не выделяется в качестве полупря мого слагаемого.

Основной подход состоит в следующем: автор рассматривает алгебру Ли g, содержащую идеал и соответствующую группу Ли. Вложение g определяет естественную проекцию : g* *. Поскольку явля ется идеалом, действие, индуцируемое на * коприсоединенным действием группы является фактически действием группы Ли /. Это действие обо значается, а его дифференциал —. Проекция превращает орбиты ко присоединенного действия группы Ли в расслоения над орбитами этого действия. Автор доказывает следующие теоремы, описывающие структуру этих расслоений.

Теорема 1. Пусть алгебра Ли g содержит коммутативный идеал. То гда орбита элемента при коприсоединенном действия соответству ющей группы Ли является локально тривиальным расслоением. База расслоения — орбита (()) * элемента () при действии, а слой над точкой является прямым произведением орбиты копри соединенного действия в Ann()* и линейного пространства, причем dim = dim.

Теорема 2. Пусть — группа Ли, такая что алгебра Ли g содержит (2 + 1)-мерный идеал h, изоморфный алгебре Гейзенберга. Тогда суще ствует подалгебра k, такая что g = h + k и h k = (h), а орбита ко присоединенного действия группы представляет собой расслоение над базой 2, слоем которого является орбита коприсоединенного действия элемента () в k*, где — проекция на второе слагаемое в разложении g = h + k.

Доказанные теоремы дают простую геометрическую интерпретацию коммутативного набора полиномов, построенного с помощью метода Сад этова. Слоение Лиувилля, задаваемое полными коммутативными наборами полиномов, построенными по Садэтову согласовано со структурой рассло ения, описанной в теоремах 1 и 2, при этом слои имеют вид R, где — слои, получаемые из аналогичного набора для меньшей алгебры Ли.

Таким образом слоение определяется набором полиномов для полупростой алгебры Ли, которые строятся методом сдвига аргумента.

В связи с этим приобретают интерес другие способы построения полных наборов полиномов, задающих более интересную динамику на орбитах ко присоединенного действия. Одним из возможных способов построения яв ляется метод цепочек подалгебр. В случае, если алгебра Ли g представля ет собой полупрямую сумму алгебры Ли r с коммутативным идеалом :

g = r +, естественное вложение r g позволяет воспользоваться этим методом. Приводится кратко описание метода цепочек подалгебр и дока зываем критерий, показывающий когда его применение для полупрямой суммы дает полный набор функций:

Теорема 3. Набор функций на g*, получаемый с помощью цепочки r g, будет полным, если полным будет набор функций на r*, получаемый из цепочки Ann () r.

Во второй главе рассматриваются алгебры Ли вида полупрямой сум мы классической алгебры Ли с коммутативным идеалом. Алгебры Ли такого вида возникают в прикладных задачах, например, алгебра Ли 3 = (3) + R3 является естественным пространством для описания ди намики трехмерного твердого тела с закрепленной точкой в поле силы тя жести. Алгебра Ли () + R соответствует -мерному обобщению этой задачи.

Для алгебр Ли вида () + R, () + R и () + R2 в явном виде выписаны инварианты и описана топология орбит коприсоединенного действия для таких алгебр Ли.

Явный вид инвариантов позволяет применить метод сдвига аргумента и получить конкретные полные коммутативные наборы, соответствующие некоторым интегрируемым системам на двойственном пространстве к ал гебре Ли.

Информация о топологии орбит может быть полезна при исследовании топологии соответствующих Лиувиллевых слоений.

Третья глава диссертации посвящена исследованию бигамильтоновой структуры на алгебрах Ли. Опираясь на теорему Кронекера–Жордана о каноническом виде пучка кососимметрических форм автор изучает пучок форм, порождаемый скобкой Пуассона–Ли и скобкой с замороженным ар гументом.

В каноническом виде для пара форм приводится к блочно диагональному виду с двумя типами блоков: жордановыми и кронекеровы ми клетками. Для указанной пары форм разложение связано с естествен ными характеристиками алгебры Ли, например количество кронекеровых блоков равно индексу алгебры.

Применяя указанный подход автор получает элементарные доказатель ства критерия Болсинова, теоремы Костанта и теоремы Винберга Теорема 4 (А.В. Болсинов). Пусть g — произвольная конечномерная ком плексная алгебра Ли, = { g* | dim Ann() ind g} — множество сингулярных элементов в g, — регулярный элемент, то есть.

Инволютивное семейство, полученное сдвигом инвариантов на элемент полно на g* тогда и только тогда, когда codim 2.

Теорема 5 (Костант). Пусть g — полупростая алгебра Ли. Пусть — канонические инварианты коприсоединенного представления. Тогда гра диенты независимы во всех регулярных точках g*.

Теорема 6 (Э.Б.Винберг). Пусть g — конечномерная алгебра Ли, g* — произвольный элемент. Тогда ind Ann() ind g.

Также с помощью приведения пучка скобок к каноническому виду вво дится понятие кронекеровых индексов алгебры Ли, которые обобщают по нятие показателей для полупростой алгебры Ли. При этом вычисление кро некеровых индексов сводится к задачам линейной алгебры.

Автор доказывает новую оценку снизу на степени полиномиальных ин вариантов алгебры Ли в терминах кронекеровых индексов:

Теорема 7. Пусть g — алгебра Ли, 1,..., ( = ind g) — набор алгеб раически независимых полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления и deg 1 deg 2.... Тогда deg, где 1 2 · · · — кронекеровы индексы алгебры Ли g.

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям академику РАН Анатолию Тимофеевичу Фоменко и д.ф.-м.н., профессо ру Алексею Викторовичу Болсинову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Автор благодарит участников семинара “Современные геометрические методы” и всех сотрудников кафедры за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Работы автора по теме диссертации [1] А. С. Воронцов, Инварианты алгебр Ли, представимых в виде полупря мой суммы с коммутативным идеалом Матем. сб., 200:8 (2009), 45- [2] А.С. Воронцов, Кронекеровы индексы алгебры Ли и оценка степеней инвариантов, Вестн. моск. ун-та, сер. 1, Математика. Механика, 2011, No. 1, 26– [3] А.С. Воронцов, Рациональная точность формы Ли-Кириллова на неко торых алгебрах Ли, Тезисы конференции “Александровские чтения 2006” [4] А.С. Воронцов, О рациональном прообразе формы Кириллова, Тезисы конференции Суздаль- [5] А.С. Воронцов, Форма Кириллова как дифференциал рациональной 1 формы, Тезисы воронежской школы им. С.Г. Крейна