Александр сергеевич функционально-геометрический метод решения задач со свободной границей для гармонических функций

На правах рукописи

УДК 517.57 Демидов Александр Сергеевич Функционально-геометрический метод решения задач со свободной границей для гармонических функций Специальность 01.01.02 – дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Плотников Павел Игоревич (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН) доктор физико-математических наук, профессор Афендиков Андрей Леонидович (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН) доктор физико-математических наук, профессор Радкевич Евгений Владимирович (Мехaнико-мaтемaтический фaкультет МГУ) Ведущая организация Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Защита диссертации состоится 27 февраля 2009 г. в 16 на заседании диссертационного совета Д 501.001. при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 16-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 23 января 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор И.Н. Сергеев 1.

Общая характеристика работы

В диссертации разработан функционально-геометрический метод иссле дования широкого круга задач со свободной границей для гармонических функций двух переменных. Этот метод заключается во взаимосвязанном анализе функциональных и геометрических характеристик исходных задач со свободной границей и соответствующих им нелинейных задач Римана– Гильберта с нелинейными функциональными ограничениями. Этот метод позволил найти условия существования или несуществования, единствен ности или неединственности решений рассмотренных в диссертации задач и установить некоторые качественные свойства решений. В диссертации рассмотрены прямая и обратная задачи о равновесии плазмы в токама ке, задача о течениях с минимальным отношением экстремальных значе ний давления на свободной границе, задача об обтекании криволинейно го препятствия, частично поглощающего энергию потока, задача Стокса– Лейбензона для Хиле-Шоу течения. Кроме того, разработанный в диссер тации функционально-геометрический метод позволил по-новому подойти к вопросу о высокочастотных асимптотиках для гармонических функций и получить в сильной метрике экспоненциально точные вплоть до границы области асимптотики.

Актуальность представленной работы обусловлена как трудностью изучения задач со свободной границей, так и разнообразием важных при ложений этого круга задач. К их числу относятся проблемы нелинейной динамики свободной поверхности идеальной жидкости1, включая пробле му цунами2, потенциальные течения однофазных3 и многофазных сред4, кавитационные и струйные течения5, задачи фильтрации6, экстремальные задачи со свободной границей7 и ряд других задач8.

А.И. Дьяченко, В.И. Захаров, Е.А. Кузнецов (1996) Нелинейная динамика свободной поверхности идеальной жидкости. Физика плазмы, Т. 22, № 10, 916–929.

S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya. Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, B. Volkov (2006) Explicit asymptotics for tsunami waves in framework of the piston model. Rus. J. Earth. Sci., 8, ES4003, doi: 10.2205/2006 ES000215.

См., например, §3 и §5 диссертации.

См., в частности, следующие работы:

G. Caginalp (1989) Stefan and Hele-Shaw type problems as asymptotics limits of the phase eld equations.

Physics Review A 39, No. 11, 5887– П.И. Плотников, В.Н. Старовойтов (1993) Задача Стефана, как предел системы фазового поля.

Дифф. уравнения, Т. 29, № 3, 461– В.Г. Данилов, Г.А. Омельянов, Е.В. Радкевич (1995) Асимптотическое решение системы фазового поля и модефицированная задача Стефана. Дифф. уравнения Т. 31, № 3, C. 483– G. Caginalp, X. Chen (2000) Convergence of the phase eld model to its sharp interface limits. Eur. J.

Appl. Math. 12, 20–42.

См., например, Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло (1964) Струи, следы и каверны. “Мир”, Москва М.И. Гуревич (1979) Теория струй идеальной жидкости. Отрывные и кавитационные течения. 2-ое изд.,“Наука”, Москва. См. также §4 диссертации.

П.Я. Кочина /П.Я. Полубаринова-Кочина/ (1991). Избранные труды. Гидродинамика и теория фильтрации. “Наука”, Москва. См. также §4 диссертации.

См., например, §3 и §4 диссертации.

См., в частности, обзор: Дж.Р. Окендон, С.Д. Ховисон (2002) Кочина и Хиле-Шоу в современной Одной из таких задач является задача, которая была нами поставле на и решена в связи с вопросом, поднятым Е.П. Велиховым в 1972 году о возможности распада на отдельные компоненты связности плазменного разряда. Простейшая задача, соответствующая этому вопросу, такова.

Заданы число M 0 и симметричная относительно осей x и y плоская спрямляемая кривая, ограничивающая односвязную область S R2.

y y 1 + 1 2 x x + 1 2 a) b) Рис. Требуется выяснить существует ли расположенные в S “плазменные” области 1 и 2, представляющие ортогональные сечения шнура плаз менного разряда, состоящие, соответственно, из одной и двух односвяз ных компонент связности (см. рис. 1), спрямляемые границы которых + 1 и 2 = 2 2 симметричны относительно осей x и y, причем эти области 1 и 2 таковы, что выполнено следующее свойство.

В “вакуумных” областях 1 = S \ (1 1 ) и в 2 = S \ (2 2 ) существуют определенные в k, где k = 1 или k = 2, гармонические функции u = uk : k R,удовлетворяющие таким граничным условиям:

u I u = M, и u = 0, =. (1) || Здесь I 0 заданная константа (равная 4 в случае наличия двух осей симметрии), а || заранее не заданная длина9 искомого контура = k.

Функционально-геометрический метод в отношении случая b) этой задачи характеризуется взаимосвязанным изучением таких двух объектов. Это 1) геометрия области = 2 R2 (см.10 рис. 2b ) с заданным углом ++ N (s) между осью x и внешней нормалью к в точке Ps R2 и ++ 2) соответствующая этой геометрии и условию (1) нелинейная задача Римана–Гильберта для аналитической функции A + iB комплексного пе ременного w = u + iv, определенной в прямоугольнике Q = {0 u M, 0 v 1} Q = w() (2) и подчиненной таким нелинейным граничным условиям:

B(u, 0) = 0, B(M, v) = (v), B(u, 1) = (u), Bu (0, v) = 0. (3) математике, естественных науках и технике. Прикл. Мат. и Механика, Т. 66, вып. 3, 515–524.

Нормальная производная u/ определена почти всюду, ввиду сделанного предположения о спрямляемости.

def Здесь и ниже R2 = {x 0, y 0}.

++ v y N (s) B = / B= C u = C Ps x P v=1 v=0 Q = w() B = N (s(v)) Bu = 0 B = u 0 B=0 M ) ) Рис. 2b. Сепаратриса { (x, y) 2 | u(x, y) = C } проходит через начало координат. Она разделяет топологически различные типы линий уровня функции u : 2 R. Через обозначена область 2 R2. ++ v eA(M,) d, Здесь (v) = N (s(v)), s(v) = s(1) = ||/4.

(u) = /2 при C u M, (u) = при 0 u C, а число C (заключенное между нулем и M ) характеризуется тем, что вы полнено следующее нелинейное функциональное ограничение:

v = 0 при v= def J(v) = cos B(0, )d (4) 0 при v (0, 1).

Отметим здесь же, что рассмотрение поставленной задачи в случае a), т.е. задачи (иллюстрируемой на рис. 1a) о существовании кривой = 1, го меоморфной окружности, связано с задачей Римана-Гильберта для функ ции A+iB в том же прямоугольнике Q, при тех же граничных условиях (3), но при ином функциональном ограничении, а именно:

C = 0, а J(v) 0 при 0 v 1. (5) В случае задачи Римана-Гильберта для аналитической функции A + iB, подчиненной необходимым условиям разрешимости (3) и (4) или же необ ходимым условиям (3) и (5) термин функционально-геометрический метод означает не только то, что указанные необходимые условия были полу чены на основе геометрических рассмотрений, учитывающих геометриче ский смысл вещественной и мнимой частей функции A + iB, названной в диссертации функцией Гельмгольца–Кирхгофа. Термин “функционально геометрический метод” в данном случае означает также следующее:

i) анализ условий (3) и (5), использующий эллиптическую теорию, тео рию интеграла Лебега, а также вариант теории степени отображений Лере– Шаудера, учитывающий (что особенно важно) геометрические характери стики исходной задачи со свободной границей;

ii) анализ условий (3) и (4) с помощью принципа максимума для эллип тических уравнений.

Это позволило установить, что при 0 N (s) /2 есть разрешимость исходной задачи со свободной границей = 1, гомеоморфной окружности, но не существует области = 2 с границей = 2 (как на рис. 2).

Цели диссертации таковы.

Во-первых, разработка функционально-геометрического метода иссле дования широкого круга задач со свободной границей для гармонических функций, изучение которых ранее вызывало затруднения.

Важный класс таких задач характеризует следующее Условие Гельмгольца11. Пусть w = u + iv комплексный потенциал скорости V = u течения несжимаемой жидкости в некоторой искомой области R2. Требуется, чтобы искомая область однолистно отобра жалась на фиксированную односвязную область Q функцией w: z = x + iy w(z) = u(x, y) + iv(x, y) Q.

Вслед за пионерской работой Гельмгольца11 о форме вытекающей из ще ли плоской струи было решено12 немало задач этого класса с помощью ме тода годографа в интерпретации, восходящей к Кирхгофу13 и получившей развитие в работах М. Планка14, Релея15, Н.Е. Жуковского16, С.А. Чап лыгина17, Т. Леви-Чевита18 и многих других. Кирхгоф обратил внимание на то, что если можно найти область K = dz/dw (назовем ее обла wQ стью Кирхгофа;

она очевидным образом связана с областью годографа def dz H = dw/dz ), то тогда искомая область = { z(w) = dw dw, w Q} z может быть найдена путем построения отображения : Q K посред ством однолистных отображений k и q в следующей диаграмме k dz K C+ k (w) dw q w Q C+ q(w).

H. Helmholtz (1868) Ueber discontinuirliche Flssigkeitsbewegungen. Prussichen Academie der Wis u senschaften zu Berlin Monatsberichte der Kniglick, 215–228.

o См., в частности, примечание С.А. Чаплыгина на стр. 74 к переводу 1902 года в московском изд-ве ПАЛЛА статьи Гельмгольца, учебник Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе (1963) Теоретическая гидромеханика. 6-ое изд., “Физматгиз”, Москва, а также монографии5 М.И. Гуревича и Г. Биркгофа, Э. Сарантонелло.

G. Kirchho (1869) Zur Theorie freier Flssgkeitsstrahlen. J. reine angew. Math. Grell. Berlin 70, 269– u 298 (см. также: Механика. Лекции по математической физике, АН СССР, Москва, 1962).

M. Planck (1884) Wiedemann Ann., V.XXI, ser. 2.

Lord Rayleigh /J.W. Strutt/ (1876) On the resistance of uids. Phil. Mag., v.II, ser. 5.

Н.Е. Жуковский (1890) Видоизменение метода Кирхгофа для определения движения жидкости в дух измерениях при постоянной скорости, данной на неизвестной границе. Матем. сборник, Т. XV, вып. 1, 121–278 (см. также Собрание сочинений, Т. II, ГИТТЛ, М.-Л., 1949г.).

С.А. Чаплыгин (1897) О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости, Мат. сб., Т. XX.

T. Levi-Civita (1907) Scie e leggi di resistenzia. Rend. Circolo Math. Palermo, 23, 1–37.

Согласно этой диаграмме, dz/dw = (w), где (w) = k 1 aq(w)+b, а ко cq(w)+d эффициенты a, b, c и d дробно-линейного автоморфизма полуплоскости C+ находятся (с точностью до пропорциональности) из соответствий, задан ных отображениями k и q. В этом и заключается суть метода годографа.

Итак, в тех простейших случаях, т.е. когда область Кирхгофа K может dz быть описана явно19, задачу построения искомого отображения dw можно свести к построению однолистного отображения : Q K. Это то, чем занимались классики. Но в общем случае область K не поддается явному описанию, поскольку она характеризуется (например, как в (3)–(4) или в (3), (5)) решением, вообще говоря, нелинейной задачи Римана–Гильберта с нелинейными ограничениями для функции Гельмгольца–Кирхгофа dz def A + iB : Q = w() w = u + iv A(u, v) + iB(u, v) = ln.

dw Эта функция полностью20 решает исходную задачу нахождения искомой области течения и его скорости, ибо w eA(u,v)+iB(u,v) dw, = { z(w) = z0 + w Q, z0 = z(w0 ) }, (6) w V (z) = eA(u,v)+iB(u,v).

u+iv=w(z) Именно такая общая ситуация, в том числе та, когда область Q = w() не является фиксированной и/или односвязной, представляет особый ин терес и значимость. Именно ей посвящена диссертация, в которой вместо метода годографа разработан функционально-геометрический метод для непосредственного построения и анализа функции A + iB, т.е. решения задачи Римана–Гильберта, соответствующей исходной задаче со свободной границей.

Вторая цель диссертации – применение функционально-геометрического метода при решении широкого спектра задач со свободной границей для гармонических функций, инициированных прикладными запросами (фи зики, механики,...). Этому посвящены Глава 1. Прямая и обратная задачи о равновесии плазмы в токамаке §1. Обратная задача о равновесии плазмы в токамаке §2. Прямая задача о равновесии плазмы в токамаке Глава 2. Эстремальные задачи со свободной границей §3. Плоские стационарные течения с минимальным отношением экст ремальных значений давления на свободной границе В таких случаях область K обычно выявляется из общефизических соображений, которые могут быть обоснованы апостериори или с помощью не всегда тривиальных математических рассуждений.

При условии, что формула (6) определяет однолистное отображение. Это надо проверять отдельно.

§4. Стационарное обтекание по схеме Кирхгофа криволинейного препятствия, частично абсорбирующего энергию потока, и оценка максимально возможного КПД турбин в открытом потоке Глава 3. Задача Стокса–Лейбензона (для Хиле-Шоу течения) §5. Возмущение окружности §6. Квазиконтурная модель. Аттрактирующее многообразие Третья цель диссертации состоит в том, чтобы показать возможности применения разработанного функционально-геометрического метода к ино го рода задачам. Этому посвящена Глава 4. Высокочастотные асимптотики §7. Векторные поля, определяющие экспоненциально точные высокочас тотные асимптотики гармонических функций в плоской области §8. Задача Олейник–Темама об усреднении §9. Асимптотика в областях с сильно гофрированной границей Методы исследования это взаимосвязанный анализ геометриче ских характеристик исходной задачи со свободной границей и функцио нальных свойств соответствующей ей линейной или нелинейной задачи Римана–Гильберта с нелинейными функциональными соотношениями на ее решение, методы общей теории эллиптических дифференциальных урав нений, функциональный анализ, теория степени Лере-Шаудера и теория функций комплексного переменного. В ряде случаев проводимые исследо вания дополняются построением асимптотик и численным анализом.

Научная новизна и основные результаты.

Все результаты диссертации впервые получены автором. При этом был применен разработанный в диссертации функционально-геометрический метод. Вкратце, результаты таковы.

(1) Получена двусторонняя поточечная оценка u u u ekM ekM, k = k() (7) P p=p(P ) P для искомой гармонической функции u, определенной в двусвязной обла сти (,, M ), ограниченной искомой линией уровня = {u(x, y) = 0} и ср. с (1) заданной кривой = {u(x, y) = M } при условии, что u/ d = 1.

Этот результат22 имеет отношение к одной из центральных проблем управ ляемого термоядерного синтеза, а именно, к так называемой обратной за Отметим, что u/ = u/ e2M = (1/2) в случае, когда и концентрические окруж ности радиусов, равных, соответственно, R = 1 и = exp (2M ).

Первая, но более слабая оценка u p была ранее получена автором и его аспиранткой в работе А.С, Демидов, В.В. Петрова (1994) Обратная задача со свободной границей в теории равновесной плазмы. Дифф. уравнения, Т. 30, №6, 1034–1038.

даче23 о равновесии плазмы, в которой ставится вопрос о возможности классификации различных типов распределения тока в плазме по данным магнитной диагностики, т.е. по значениям u.

Вспомогательной в решении проблемы классификации распределения тока в плазме является прямая задача. Один из ее вариантов это обоб щение задачи о гармонической функции u в области, у которой зада на внешняя граница, а внутренняя, являющаяся искомой, подчинена условиям (1). Обобщение заключается в том, что условие u/ = I/|| заменяется на условие u q(s/||) =, (8) s || т.е. условие того типа, которое фигурирует в оценке (7). Здесь s нату ральный параметр на искомом контуре, а q заданная положительная функция на [0, 1]. Задание функции q частично определяет прямое, т.е.

непосредственное задание распределения тока в плазме. В терминах функ ции q и геометрических характеристик заданной кривой = {u(x, y) = M } для этой прямой задачи получены достаточные условия как для существо вания, так и для несуществования, как для единственности, так и для неединственности равновесных плазменных конфигураций = k в за данном топологическом классе, соответствующем k компонентам связности плазмы. Для скинированного тока, что соответствует условию u/ = I/||, (9) и для специального семейства внешних контуров, имеющих две оси сим метрии, дано полное описание всех симметричных, а также несимметрич ных плазменных конфигураций, включая их бифуркацию и топологиче ские перестройки. Кроме того, в случае q = const доказано существование выпуклой кривой = 1 для произвольного выпуклого контура24.

Вот два замечания о научной новизне результатов по прямой задаче.

Замечание 1. Условие (9) было сформулировано в работах автора в со ответствии с анализом размерности. Если пренебречь этой физической ар гументацией и заменить условие (9) на более “простое” u/ = C, C = const, (10) то возникнут трудности25 даже при полярной симметрии: если – окруж ность единичного радиуса, а 1 – искомый радиус окружности, концен Эта задача о реконструкции функции j : S R исходя из приведенных ниже соотношений (13)– (17). Об имеющихся на данный момент математических результатах по обратной задаче см. сноску47.

Параллельно, этот результат, как решение задачи А.С. Демидова, был получен с помощью вариа ционных неравенств Йонгом Лю (диссертантом Авнера Фридмана) в работе Y. Liu (1995) The equilibrium plasma subject to skin eect. SIAM J. Math. Anal., 26, No. 5(Sept.), 1157-1183.

И.И. Данилюк (1972) Об интегральных функционалах с переменной областью интегрирования.

Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова, Т. 118.

тричной с, то при C M e задача имеет два решения, определяемых из уравнения C ln(1/) = M, но не имеет ни одного решения, если C M e.

Впрочем, таких трудностей не возникает, если свободная граница (го меоморфная окружности) является внешней по отношению к заданной гра нице. В частности, при полярной симметрии однозначная разрешимость есть следствие того, что функция ln(1/) строго монотонно убывает при 1. Соответствующая этому случаю физическая задача приводит26 к условию (10). При этом имеется теорема об однозначной разрешимости27.

Замечание 2. Различным постановкам прямой задачи о равновесии (т.е.

различным способам задания распределения тока) посвящено множество вычислительных работ физиков28. Первая математическая работа29 [1] по этой тематике была начальной для того направления математического ис следования этой задачи, которое развивалось диссертантом [1]-[7], [9], [13], [15]-[17]. Спустя год после публикации [1] возникло второе направление ма тематического исследования прямой задачи о равновесии плазмы в тока маке. Оно было начато в статье Р. Темама30, последующей заметке А. Бе рестики и Х. Брезиса31 и продолжено в исследованиях многих авторов32.

Если говорить коротко, в этом направлении исследований задается функ ция f : R u f (u) 0, равная нулю при u 0, и анализируется вопрос существования решения u C 1 (S) уравнения u = f (u), подчиненное условию: u S = M 0, S f (u(x, y)) dxdy = 1. Однако при этом возникает (отнюдь не простой) вопрос: чем является множество нулей этого решения?

Частично этот вопрос был изучен в работах33 Каффарелли, Киндерлерера, A. Beurling (1957) On free-boundary problems for the Laplace equation. Semin. on Analytic Functions., N.Y. Inst. Adv. Study, V.I, 248–263.

A. Acker (1989) On the qualitative theory of parametrized families of free boundaries. J. Reine Angew.

Math., V. 393, 134–169.

См., в частности, библиографию в книгах J.P. Freidberg (1987) Ideal Magnetohydrodynamics, Plenum, New York.

J. Blum (1989) Numerical Simulation and Optimal Control in Plasma Physics (With Applications to Tokamaks). Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore. John Wiley & Sons.

Ю.Н. Днестровский, Д.П. Костомаров (1993) Математическое моделирование плазмы. “Наука”, Москва.

В квадратных скобках указаны работы из списка, приведенного в конце автореферата.

R. Temam (1975) A non-linear eigenvalue problem: The shape at equilibrium of a conned plasma. Arch.

Ration. Mech. 60, №1, 51–73.

H. Berestycki, H. Brezis (1976) Sur certains probl`mes de fronti`re libre. C.R. Acad. Sci. Paris 283, e e Srie A, 1091–1094.

e Отметим лишь следующие работы:

R. Temam (1977) Remarks on a free boundary problem arising in plasma physics. Commun. P.D.F. 2, №6, 563–585.

J.-P. Puel (1977) Sur un probl`me de valeur propre non linaire et de fronti`re libre. C.R. Acad. Sci. Paris e e e 284 Srie A, 861–863.

e H. Berestycki, H. Brezis (1980) On a free boundary problem arising in plasma physics. Nonlinear Anal.

Theory Methods Appl. 4, 415–436.

A. Ambrosetti, G. Mancini (1980) A free boundary problem and a related semilinear equation Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl., v. 4, 909–915.

M. Sermange (1980) Bifurcation of free boundary plasma equilibria. Duke Math. J. 47 923–942.

D. Kinderlehrer, L. Nirenberg (1977) Regularity in free boundary problems. Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa, Ниренберга и Спрука (см. также библиографию в книге34 А. Фридмана).

Первое же направление исследований имеет непосредственное отноше ние к физике дела. Здесь речь заранее идет о (спрямляемой) нулевой линии уровня функции u, а вовсе не о каком-то множестве нулей этой функции.

Кроме того, в качестве аргумента прямой задачи здесь предъявляется не та характеристика, которая является искомой в основной (т.е. обратной) задаче о равновесии, а функция q в условии (8), т.е. та величина, которая может быть в какой-то мере известна, в частности, благодаря оценке (7).

(2) В качестве одного из примеров задачи о плоском стационарном по тенциальном течении несжимаемой жидкости (или, в другой интерпрета ции, о стационарном тепловом потоке) с минимальным отношением экстре мальных значений модуля скорости на свободной границе, рассмотрена за дача, возникшая в авиационном научно-техническом комплексе им. А.Н. Ту полева. Задача связана с проблемой обледенения элементов корпуса лета тельных аппаратов. Речь идет о выборе формы полоски фольги, по ко торой пропускается электрический ток. Требуется минимизировать риск перегорания фольги за счет выбора формы полоски фольги, обе кромки которой ± вынуждены (в силу некоторых конструктивных особенностей) проходить через заданные точки. Математическая формулировка такова:

выбрать такую криволинейную полоску, кромки которой ± проходят через заданные точки, чтобы было минимально значение функционала () = max | u(P )| min | u(P )|, = +, u = ±µ, (11) ± P P где u гармонична в, а µ 0 заданная константа. Доказаны теоре мы о разрешимости, даны конструктивные формулы для кривых ± и их асимптотических приближений при µ 0. Диссертанту неизвестны рабо ты других авторов по экстремальной задаче для функционала (11).

(3) Получены теоремы о разрешимости, а также конструктивные фор мулы для решения стационарной задачи о максимизации отбора энергии у плоского потенциального бездивергентного потока, набегающего (по схе ме Кирхгофа) на объект, частично поглощающий этот поток и, соответ ственно, его энергию. Такой объект, являясь препятствием для частично обтекающего его потока, моделирует35 турбину в открытом потоке реки, океанского течения. Как максимизировать отбор энергии у потока?

Serie IV, 4 No. 1, 373–391.

D. Kinderlehrer, G. Spruck (1978) Regularity in free boundary problems. Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa, Serie IV,5 No. 1, 131–148.

L.A. Caarelli, G. Spruck (1982) Convexity properties of solutions of some classical variational problems.

Commun. in P.D.E. 7, 1337–1379.

А. Фридман (1990) Вариационные принципы и задачи со свободными границами, “Наука”, Москва.

A.N. Gorban’, A.N. Gorlov, V.M. Silantyev (2001) Limits of the Turbine Eciency for Free Fluid Flow.

Journal of Energy Resources Technology 123, no. 4, December, 311–317.

Если сопротивление, которое турбина оказывает потоку, слишком ма ло, то поток почти беспрепятственно просачивается. Если сопротивление слишком велико, то поток стремится обойти турбину-препятствие. Золотая середина достигается выбором оптимальных управляющих параметров, за дающих вектор скорости вхождения потока в объект. В диссертации дано весьма существенное обобщение предложенной ранее модели36 : получены теоремы о разрешимости и даны конструктивные алгоритмы при весьма общем распределении углов входа течения в это препятствие (а не пла стины, ортогональной симметричному потоку с одним варьируемый углом входа36 ).

(4) Для задачи Стокса–Лейбензона, одна из интерпретаций которой есть динамика контура нефтеносного пласта (или динамики зажатого между пластинами пятна вязкой жидкости с нулевым поверхностным натяжени ем), получено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для соот ветствующей этой задаче функции Гельмгольца–Кирхгофа. Анализ этого уравнения и его матричного приближения позволил впервые получить объ яснение следующего “загадочного” явления: некоторые вполне регулярные контура, охватывающие жидкость, казалось бы, ничем не отличающиеся от подавляющего большинства других, вдруг при отводе этой жидкости из скважины, резко меняют свою форму с образованием так называемых “языков” (в терминологии П.Я. Кочиной37 ), или иначе говоря38, “пальцев”.

В диссертации представлена теорема [14] автора о тех H 2 -возмущениях окружности, которые в случае источника, т.е. подвода жидкости, дефор мируются бесконечно долго. Другие полученные к настоящему времени результаты39 о бесконечно долгой эволюции в случае источника предпола гают аналитичность или существенную гладкость начального контура.

(5) С помощью функционально-геометрического метода построена, со гласно оценке (12), экспоненциально точная при 0 асимптотика u решения U следующей краевой задачи для уравнения Лапласа U = 0, U = f (s/) s в плоской области с кусочно-аналитической границей =. Здесь A. Gorban’, M. Braverman, V. Silantyev (2002) Modied Kirchho ow with a partially penetrable obstacle and its application to the eciency of free ow turbines. Mathematical and Computer Modelling 35, no. 13, June, 1371–1375.

П.Я. Кочина, А.Р. Шкирич (1954) К вопросу о перемещении контура нефтеносности (эксперимент) Известия АН СССР, отд. технич. наук, №11, 105–107.

P.G. Saman, G.I. Taylor (1958) The penetration of a uid into a porous medium of Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. Proc. Royal Soc. A, 245, 312–329.

A.M. Meirmanov, B. Zaltzman (2002) Global in time solution to the Hele-Shaw problem with a change of topology. Euro. Jnl of Applied Mathematics, 13, 431–447.

B. Gustafsson, D. Prokhorov, and A. Vasil’ev (2004) Innite lifetime for the starlike dynamics in Hele-Show cells Proc. of American Math. Soc., v. 132, No.9, 2661–2669.

f H 1/2 (), 0, а s натуральным параметр на. Доказана оценка C e /, u U где 0. (12) H () Есть три отличия от традиционных построений40 : 1) не исключен случай, когда граничные значения U принадлежат почти максимальному клас су в шкале соболевских пространств, в которых есть единственность соот ветствующей гармонической функции U ;

2) асимптотика экспоненциально близка к решению краевой задачи;

3) оценка погрешности дается в наибо лее сильной норме, в которой ограничена сама функция U.

Дано также обобщение такого построения асимптотики для решения двумерного квазилинейного эллиптического уравнения 2-го порядка.

(6) Рассмотрена поставленная41 О.А. Олейник и Р. Темамом задача о построении при 0 равномерной вплоть до границы = области асимптотики для решения краевой задачи U = 0 в, U = F (x/, y/) на, где F (x, y) периодическая по каждому переменному функция, знако постоянная на полупериоде, равном единице. С помощью функционально геометрического метода построена экспоненциально точная (в смысле, ана логичном оценке (12)) асимптотика для любой кусочно-аналитической гра ницы = в случае двузначной функции F.

(7) Функционально-геометрическим методом построена экспоненциаль но точная при 0 асимптотика решения краевой задачи для уравнения Лапласа в областях с сильно гофрированной границей с частотой волны гофра порядка 1/. При этом оценка остаточного члена получена в наи более сильной норме, в которой существует решение. Известные к настоя щему времени иные методы42 построения асимптотики дают для этой зада чи оценку остаточного члена только порядка 3/2 и то лишь в метрике H 1.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее значимость заключается в разработке такого функционально-геометрического подхода, который позволяет получать • теоремы существования и несуществования, единственности и неедин ственности в отношении широкого спектра двумерных задач со свободной границей для гармонических функций;

См., например, Г.П. Панасенко (1979) Асимптотики высших порядков для решений задач о кон такте периодических структур. Матем. Сборник Т. 110(152), № 4, 505–538.

См., в частности, O.A. Oleinik, R. Temam, G.A. Yosian (1995) Some nonlinear homogenization problems Applicable Analysis Vol. 57, No. 1-2, 101–118.

См., например, N. Neuss, M. Neuss-Radu, A. Mikeli (2006) Eective laws for the Poisson equation on domains with c curved oscillating boundaries Applicable Analysis, Vol. 85, No. 5, 479–502.

• явные конструкции и формулы, задающие решения этих задач;

• экспоненциально точные (относительно сильной нормы) асимптоти ки для гармонических функций, быстро осциллирующих весьма сложным образом на границе области определения.

Как уже было отмечено, обозначенный класс задач богат приложения ми. Явные же конструкции и формулы, задающие решения этих задач, могут быть использованы при тестировании вычислительных алгоритмов более сложных, например, трехмерных задач и при выборе подходящего начального приближения в соответствующих итерационных алгоритмах.

Апробация работы:

• приглашенный докладчик на международных конференциях "Singular Perturbations and Boundary Layer Theory", Lyon (1976) /France/, "Inverse Problems, Control and Shape Optimization", Carthage (2002) /Tunisie/ и “two months” E. Magenes–Seminar "Free Boundary Problems", Pavia (1979) /Italy/;

• докладчик на многих международных конференциях, в том числе:

"Diern.Eq. and Related Topics"dedicated to I.G. Petrovskii, Moscow (1978, 1983, 1986, 1998, 2001, 2004);

"Complex Analysis and FBR", St.-Petersburg (1994);

"PDE and Applications", Lyon (1999) /France/;

"Parabolic and Elliptic Problems", Gaeta (2001) /Italy/;

"Free Boundary Problems", Tours (2003) /France/;

"Kolmogorov and Comtemporary Mathematics", Moscow (2003);

"Comput. Methods in Appl. Sciences", Jyvaskyla (2004) /Finland/;

"Global and Geometric Aspects of Nonlinear PDF", Erevan (2004);

"System Modeling and Optimization", Turin (2005) /Italy/;

"Tikhonov and Contemporary Math.", Moscow (2006);

"New Trends in Complex and Harmonic Analysis", Voss (2007) /Norway/;

"Pontryagin 100-Anniversary Conference", Moscow (2008);

• докладчик на многочисленных научных семинарах в научных центрах России, Германии, Италии, Португалии, США, Франции,..., в том числе:

в институте АН СССР им. И.В. Курчатова на семинаре (1973 г.) п/р М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева;

в МГУ на семинаре им. И.Г. Петровского (1974 г.) п/р В.И. Арнольда, М.И. Вишика, О.А. Олейник и Я.Г. Синая;

в Rutgers University, Depart. Math. на семинаре (1997 г.) п/р И.М. Гельфанда;

в МИРАН им. В.А. Стеклова на семинаре (2002 г.) п/р О.В. Бесова, С.М. Никольского и С.И. Похожаева;

в РНЦ "Курчатовский институт" на семинаре (2006 г.) п/р В.Д. Шафранова.

Поддержка работ автора по теме диссертации:

1992 - 1995: Soros Foundation grant (NAW000, NAW300) руководитель;

1998 - 2000: PAST grant Министерства Образования и Науки Франции;

1994 - по настоящее время: гранты РФФИ исполнитель, руководитель;

2001 - 2003: French-Russian grant PICS/RFBR координатор;

2002 - 2004: Grant of the Liapunov French–Russian Institute исполнитель;

2005 - 2008: French-Russian grant PICS/RFBR руководитель.

Публикации. Основных публикаций по теме диссертации 21. Их спи сок приведен в конце автореферата. 16 работ из этого списка опубликованы в изданиях, которые рекомендует ВАК;

6 из них в соавторстве. Вклад со авторов в совместные работы отражен в приведенном списке.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, че тырех глав и списка литературы. Работа изложена на 132-х страницах, включая 14 рисунков и список литературы из 132 наименований.

2. Краткое содержание работы Функционально-геометрический метод заключается во взаимосвя занном анализе функциональных и геометрических построений при ис следовании рассматриваемых задач. Эта общая характеристика частично конкретизируется в комментариях, касающихся элементов доказательств некоторых из приводимых ниже теорем. Эти теоремы достаточно полно отражают основное содержание диссертации.

В главе 1 (параграфы 1 и 2) рассмотрены задачи, относящиеся к од ной из центральных проблем управляемого термоядерного синтеза: рекон струкции по данным магнитных измерений распределения тока j, протека ющего по горячей плазме, заключенной в камере токамака (ТОроидальной КАмере с МАгнитными Катушками). Плазма отделена от металлического кожуха (оболочки) камеры вакуумной зоной, в которой плазма “подвешена” с помощью магнитного поля, создаваемого протекающим по плазме током j и управляющими токами, в том числе в трансформаторных катушках токамака.

u j Pj Pj u = f (u) P =? u = f =? = ( = ) u u = 0, =?

u =M u Pn u = 0, = P a) b) Рис. 3. Две подзадачи обратной задачи о равновесии плазмы.

10. К математическому анализу этой проблемы относятся так называ емые прямая и обратная задачи о равновесии. Базовая математическая формулировка обратной задачи иллюстрируется на рис. 3, где изображено ортогональное к оси z сечение S R2 камеры токамака, рассматриваемой xy в первом приближении в виде бесконечного цилиндра с образующей вдоль оси z. Граница области S задана. Это кривая, диффеоморфная окружно сти, представляющая сечение кожуха камеры токамака. В предположении, что искомая “плазменная” область имеет одну компоненту связности, ее свободная граница = диффеоморфна окружности. Кольцеобраз ная “вакуумная” область отделяет “плазменную” область от заданной кривой. Известно, что z-компонента u : S R векторного потенциала магнитного поля является решением так называемого уравнения Грэда– Шафранова, которое в цилиндрическом приближении токамака принимает вид:

2u 2u + = j(x, y) в S, (13) x2 y где правая часть имеет следующую структуру f u(x, y) при (x, y), j(x, y) = (14) 0 при (x, y) = S \.

Равновесие плазмы эквивалентно тому, что граница области есть линия уровня функции u, для определенности, нулевая:

u=0 на искомом контуре. (15) На внешней по отношению к кривой, являющейся границей области S, функцию u тоже можно считать известной. В случае отсутствия внешних управляющих токов металлический кожух токамака “вморожен” в силовые линии магнитного поля и тогда u=M на, (16) где M 0 это величина, равная интегралу l | u| dl вдоль той линии l, соединяющей искомый контур с заданной кривой, которую касается градиент функции u. Число M характеризует “отдаленность” плазмы от кожуха камеры. В реальном токамаке эта отдаленность может задаваться с помощью так называемого лимитора стержня, направленного внутрь камеры, свободный конец которого, соприкасаясь при разряде с плазмой, лимитирует ее границу. Тем самым, число M может считаться заданным.

В общем случае (т.е. при наличии управляющих токов) можно, исполь зуя вспомогательную процедуру, подобрать подходящий внешний контур, имитирующий кривую, и считать, что условие (16) выполнено.

Согласно формуле (14), функция f определяет одну из важнейших ха рактеристик плазменного разряда: распределение протекающего по плазме тока. Знание этой величины необходимо не только для понимания физиче ских процессов, протекающих при разряде, но и для эффективного управ ления самим разрядом, для подавления неустойчивостей плазмы.

Однако эта характеристика не может быть найдена ни теоретически (в силу отсутствия соответствующей теории), ни непосредственно в экс перименте (ибо температура в плазме сравнима с температурой Солнца).

Известна лишь величина полного тока I, которая может быть принята за единицу измерения тока:

j(x, y) dxdy = I. (17) S Для реконструкции функции f недостаточно наличие лишь системы со отношений (13)–(17), если только множество функций, в котором ищется правая часть уравнения Грэда-Шафранова, не одномерно. Нужны допол нительные данные. Основным их источником являются данные магнит ных измерений, позволяющие замерить градиент функции u в ряде точек Pj, где расположены датчики на кожухе камеры токамака.

Таким образом, возникает задача43 о реконструкции функции f и кон тура из системы соотношений (13)–(17) и аппроксимативного задания нормальной производной функции u в конечном числе точек Pj кривой = {(x, y) R2 | u(x, y) = M 0}.

20. Ниже обозначена функционально-геометрическая конструкция од нолистного изометрического отображения аналитической кривой. С помо щью такого отображения в диссертации установлена Теорема 1 Пусть G = G(;

P1,..., Pn ;

d1,..., dn ;

) множество таких положительных аналитических функций g на кривой класса C 1,, го меоморфной окружности, что выполнено44 условие аппроксимации |g dj |, где j = 1,..., n, а 0 1, (18) Pj и условие нормировки (17) (13) g d = 1 = f (u(x, y)) dx dy = u dx dy = u/ d. (19) S S Тогда для любой функции g G можно предъявить такие числа Mg и Mg 0, что См., в частности, А.С. Демидов, Л.Е. Захаров (1974) Прямая и обратная задачи в теории равновесия плазмы. Успехи матем. наук, Т. 29, № 6, 203.

J. Blum, H. Buvat (1997) An inverse problem in plasma physics: the identication of the current density prole in a tokamak. IMA volumes in mathematics and its applications 92, Springer-Verlag, 17-36.

В работе А.Д. Валиев, А.С. Демидов (1997) О неотрицательных тригонометрических полиномах с фиксированным средним, проходящих через заданные точки. Матем. заметки, 62, № 3, 468– приведены 3 алгебраических критерия того, что тригонометрический полином g G, степени не выше n 1, удовлетворяет условиям (18)–(19).

во-первых, при любом M (0, Mg ] найдется аналитическая кривая = g S, диффеоморфная окружности, для которой задача u u = 0 в, u = 0, u =M и =g (20) имеет решение u = ug ;

во-вторых, для45 µ = min(1/2, Mg M, Mg ) справедлива оценка u u u e4M/µ e4M/µ, (21) P p=p(P ) P где p(P ) та точка, в которую приходит выходящая из точки P линия, касающаяся градиента функции u.

Комментарий. Основой построений, с помощью которых доказывается эта теорема является изометрическое однолистное отображение аналити ческой46 кривой на окружность T = { C || = 1}. Это отображение задается формулой z : V z (z) = 1 + exp(A + iB) dz VT, (22) где V некоторой окрестность кривой, VT соответствующая ей окрест ность окружности T, а функция Гельмгольца–Кирхгофа A + iB : V C характеризуется следующими условиями B B = s N (s), A =0 =0. (23) s s Здесь N (s) угол между осью x и внешней нормалью к в точке s.

Равенство A = 0 эквивалентно условию изометрии s |z ()| 1 для T. (24) Поэтому, обозначая через z вещественную часть комплексного числа z, получаем, что функция 1 1 gk k (r k )eik, Ug () = M + ln r + r = ||, = arg 2 2 k r k определяет решение ug (z) = Ug ((z)) задачи (20) при тех M, для которых линии уровня { VS Ug () = m [0, M ]} гомеоморфны окружности.

30. Теорема 1 сводит обратную задачу в области S, схематично представ ленную на рис. 3a, к чуть упрощенной обратной задаче в фиксированной Формула для числа µ получена дипломником диссертанта В.М. Силантьевым.

Случай C 1, сводится к рассмотренному с помощью теоремы Келлогга и конформного отоб ражения области на достаточно близкую область с аналитической границей.

“плазменной” области, представленной на рис. 3b, а именно47 к рекон струкции функции f : u f (u) из априори заданного функционального класса по таким данным: u = 0, u/ g.

Некоторая полезная информация в отношении обратной задачи может быть получена при анализе вспомогательной задачи, в которой ставится вопрос о разрешимости соотношений (13)–(17) относительно функции u, но лишь в области, при условии задания u, т.е. той характеристики, связанной с искомой функцией f, которая может быть приближено най дена, например, с помощью численного решения соответствующей задачи Коши с учетом гарантированной оценки (21).

Такого рода задача относится к числу так называемых прямых задач.

Они называются так потому, что решение u дифференциального уравне ния ищется при непосредственно, иначе говоря, прямым образом заданной величине, полностью или частично определяющей искомую функцию f.

В этом пункте представлены основные теоремы диссертации по ряду постановок прямой задачи.

Прежде всего, представим результаты, относящиеся к таким областям, которые имеют две оси симметрии и схематично изображены на рис. 0.1.

Их внешняя заданная граница полностью характеризуется функций || def def N : [0, ] s N (s) [N, N+ ], N = inf N, N+ = sup N, (25) задающей угол N (s) (см. рис. 2b ) между осью x и внешней нормалью к в точке s R2, отождествленной с соответствующим ей натуральным ++ параметром, отсчитываемым от точки P0 {x 0, y = 0}.

При оговоренных свойствах симметрии области, внутренняя искомая def граница также характеризуется своей четвертью + = R2. Поэтому ++ В работах А.С. Демидов (2000) Об обратной задаче для уравнения Грэда–Шафранова с аффинной правой частью. Успехи Матем. Наук, Т. 55, № 6, 131–132.

A.S. Demidov, M. Moussaoui (2004) An inverse problem originating from magnetohydrodynamics. Inverse Problems, v. 20, 137–154.

доказана Теорема A ( = 0). Если односвязная область не круг, то при = 0 существует не более конечного числа аффинных функций f : u f (u) = au + b, которые могут быть решениями обратной задачи (в отличии от континуального числа таких функций в случае, когда есть круг).

Эта теорема обобщает результат работы M. Vogelius (1994) An inverse problem for the equation u = cu d. Ann. Inst. Fourier, v. 44, No. 4, 1181–1209, а предложенный автором метод доказательства теоремы A, позволил недавно: 1) усилить теорему A, показав для широкого класса областей единственность решения;

2) показать, что справедлива Теорема B ( 0). Если 0, то даже в классе аффинных функций f для любого 0 найдется такое счетное множество распределений тока jk (x, y) = ak uk (x, y) + bk, которые в равномерной метри ке попарно различаются более чем на. Эти распределения являются членами последовательности, сходящейся к току, сосредоточенному на.

Алгоритм поиска существенно различных f в классе полиномиальных функций предложен в работе А.С. Демидов, А.С. Кочуров и А.Ю. Попов (2009) К задаче о реконструкции нелинейностей в уравне ниях математической физики.Труды семинара им. И.Г. Петровского, вып. 27.

задание производной u, отвечающее постановке прямой задачи, доста точно осуществить лишь на +. В диссертации это делается таким образом:

u q(r(p)) s(p) =, r(p) =. (26) |+ | |+ | p+ Здесь q C 1 [0, 1] заданная функция, удовлетворяющая условиям:

q 0, q(r) dr = 1, (27) а s(p) [ 0, |+ | ] это длина дуги pp0 контура, где p0 это точка на с нулевой ординатой и максимальной абсциссой.

r Всюду ниже q (r) = dq(r), а r(v) функция, обратная к v(r) = 0 q()d.

dr Теорема 2 (1 ) Для любого числа M 0 существует внутри заданного контура такая кривая = 1, диффеоморфная окружности и симмет ричная относительно осей x и y, что в кольцеобразной области = (см. рис. 1a), заключенной между = 1 и кривой, найдется гармони ческая функция u, удовлетворяющая условиям u q(r(p)) (26)(27) u = M и u = 0, =, (28) ||/ p если C+ q (r) C+ (0, v) 2 (0, v) v [0, 1], (29) u q (r) u r=r(v) где C и C+ гармонические в Q = {0 u M, 0 v 1} функции, подчиненные соответственно таким граничным условиям:

C (0, v) = 0, C (u, 0) = 0, C (M, v) = N, C (u, 1) =, (30) C+ (0, v) =, C+ (u, 0) = 0, C+ (M, v) = N+, C+ (u, 1) =. (31) 2 см.(25) Теорема 3 ( 2 )Пусть N+ = /2 и пусть q (r) C 0 (0, v) v [0, 1]. (32) q 2 (r) u r=r(v) Тогда ни при каком M 0 внутри контура не существует контура = 2, симметричного относительно системы координат (x, y) и гомео морфного двум окружностям (т.е. такой, как на рис. 1b), для которого в области = 2, заключенной между и, нашлась бы гармоническая в функция u, удовлетворяющая условиям (28).

Теорема 4 (2 ) Пусть = a такой полигональный контур длины || = 4, для которого функция (25) принимает ровно два значения48, а именно:

N (/2, /2), если 0 s a, N (s) = N+ [/2, + N ), если a s 1 = ||/4, Пусть C0 q (r) (0, v) 2 0 v [0, 1], (33) u q (r) r=r(v) где49 C0 гармоническая в Q = {0 u M, 0 v 1} функция, подчиненная таким граничным условиям:

C0 (0, v) =, C0 (u, 0) =, C0 (M, v) = max(N+, N + ), C0 (u, 1) =.

2 Пусть M 0, если N 0, а если N 0. то пусть M 1.

50 Тогда можно указать числа 0 и (, cos N ), что если a cos N + (1 a) cos N+, (34) то найдется, как минимум, один51 контур = 2, диффеоморфный двум окружностям, который симметричен относительно системы коорди нат (x, y) и для которого в области = 2, заключенной между и, существует гармоническая в функция u, удовлетворяющая услови ям (28).

Теорема 5 ( 1 ) Пусть = a контур, такой же, как в теореме 4, но N+ (/2, + N ), т.е. исключена возможность того, чтобы N+ = /2.

Тогда для q C 1 [0, 1] M0 0 M M0 M 0, что если 0 a cos N + (1 a) cos N+ M, (35) то ни для какой кривой = 1, гомеоморфной окружности и симметрич ной относительно координатных осей x и y, в области = 1, заключен ной между и, не существует ни одной гармонической в функции, удовлетворяющей условиям (28).

Пересечение условий теорем 2 и 4 дает ответ на вопрос, поставленный Е.П. Велиховым. В частности, справедлива Например, как на рисунках 4–6, где a (1/2, 1], N = /4 и N+ = 3/4.

Если N+ = /2, то q = const, ввиду неравенства (33).

= 0, например, при q = 1 и N /2.

Можно дать (см. рис. 5) достаточные условия существования двух различных контуров типа 2.

конфигурации 1, 2, 2, а корни уравнения a = S1 1 (),, 3 () опреде ляют несимметричные конфигурации и #.

Без каких-либо предположений о симметрии контура доказана Теорема 8 ( выпуклый контур 1 ) Если выпуклая кривая, то для любого M 0 существует выпуклая аналитическая кривая = 1, для которой в кольцевой области = 1, заключенной между и, суще ствует гармоническая функция, удовлетворяющая условиям u u =M, u =0 и =. (36) || Комментарий. Функционально-геометрический метод в части, касающей ся доказательства приведенных здесь теорем существования, имеет некото рые специфические особенности. Проиллюстрируем одну из них на примере теоремы 7 о несимметричных конфигурациях. По-существу, все сводится к поиску мультипараметра = (1, 2, 3 ), компоненты которого удовле творяют следующим условиям: 0 = 0 1 2 1 3 4 = и S1 = S4 S 2 = S3, (37) где j M B Sj (1, 2, 3 ) = exp (u, v)du dv, (38) v j1 а B = B гармоническая функция в Q2 = {0 u M, 0 v 2}, удовлетворяющая таким граничным данным:

B(u, 0) = 0, B(u, 1) =, Bu (0, v) = 0, B(M, v) = (v), (39) где /4 при v (0, 1 ) (2, 3 ), (v) = (40) 3/4 при v (1, 2 ) (3, 2).

Ясно, что формулы (37) выражают геометрические соотношения между длинами Sj последовательных четырех сегментов ломанной a R2. Асимп + тотический анализ [3] интегралов, представляющих функции Sj, позволя def ет показать, что при достаточно малом = 2 существуют такие пара метры53 1 = O(2 ) и 3 = 3 (), для которых выполнены соот ношения (37). При этом, малость параметра приводит к малости “пе решейка” контура a (где 1/2 a 1, см. рис. 5). Это означает, что В кандидатской диссертации В.В. Петровой (см. также [9]) теорема 8 обобщена на случай, когда u условие = заменено на более общее, типа (26), с некоторыми ограничениями на функцию q, || обеспечивающими выпуклость искомой кривой.

Показатель в формуле 1 = O( ) зависит от величины углов между сегментами контура a.

M S1 1 (),, 3 () = 0 exp 0 B (u, v)du dv 1/2 при 0. Анало v гичные построения проводятся при доказательстве теорем 4 и 6. Что же касается теорем 2 и 8 для криволинейных контуров, то, следуя идее Н.Е. Жуковского54, в ряде случаев воплощенной В.Н. Монаховым55, кри волинейный контур предварительно аппроксимируется полигональным Rm, со m. Проблема поиска мультипараметра = (1,..., m ) Dm ответствующего контуру m, т.е. проблема аналогичная указанной выше в доказательстве теоремы 7, формулируется в этом случае в форме поис ка неподвижной точки для гомотопически эквивалентных при [0, 1] отображений Fm : Dm Fm () Rm, соответствующих удовлетворя ющей определенным геометрическим ограничениям деформации контура m в квадрат (которому отвечает почти идентичное отображение Fm ). Эта проблема неподвижной точки отображения Fm решается с помощью тео рии Лере–Шаудера. Здесь важно отметить следующее. В случае банахо вого пространства X требуемая в теореме Лере–Шаудера компактность отображения K = I F : D X эквивалентна тому, что K яв ляется равномерным пределом конечномерных отображений. При доказа тельстве теорем 2 и 8 также применяются конечномерные аппроксимации Km = I Fm : Dm Rm, но они напрямую связаны с геометрическими характеристиками контура (с его самонепересекаемостью), а не с тре бованием равномерной сходимости. А это позволяет снять обременитель ное ограничение компактности отображения K : D X, которое при непосредственном применении теоремы Лере–Шаудера в пространстве X гельдеровских функций (возникающих в случае криволинейного контура ) приводит к очень жестким ограничениям на геометрию.

Отметим еще одну особенность функционально-геометрического мето да, которая позволила сравнительно легко завершить доказательство тео рем существования при переходе от полигональных контуров m к спрям ляемому контуру. Она опять-таки связана с геометрией: с геометриче ски очевидной оценкой |zm (w)| C, m 1 для функции zm, биективно (2) отображающей границу прямоугольника Q = {0 u M, 0 v 1} на m. Поэтому существует такая подпоследовательность zmk, которая равномерно сходится на каждом компакте K Q к искомой гармониче ской функции w Q w z(w) = z(0) + exp(A + iB).

Она выражена в заключительных словах его работы16 о перспективе решения задачи обтекания плоского криволинейного препятствия: “Может быть, эта задача могла бы быть разрешена, как пре дельный случай задачи об ударе (т.е. обтекании А.Д.) потока на многогранный контур”.

В.Н. Монахов (1977) Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем урав нений. 2-ое изд., “Наука”, Новосибирск.

Глава 2 (параграфы 3 и 4) посвящена экстремальным задачам со сво бодной границей. Рассмотрена, в частности, задача u u () inf, где () = max (P ) min (P ). (41) P P Здесь u функция, гармоническая в центрально-симметричной (см. рис. 7) области =, ограниченной отрезками M3 M0, M1 M2 и кривыми и = +. Положительные числа µ,, h заданы. N (s) угол между осью x и нормалью к в точке Ps. Q = w(), где w = u + iv однолистное отображение, причем u = ±µ на ±, v = 1 на M3 M0 и v = 1 на M1 M2.

y v M2 (1 h, ) M1 (1, ) v=1 N (s) Q = w( ) Ps µ u µ u=µ u = µ = + w = u + iv v = x M3 (h, 0) M0 (0, 0) Рис. 7.

Теорема 9 Пусть max N min N, а N (0) = N (||) = 0. В этом случае функционал, определенный формулой (41), достигает минимум, если ограничена гёльдеровская норма функции N. При этом, кривая, доставляющая минимум, определяется, как множество точек v z(µ, ·) : [1, 1] v z(µ, v) = i exp () + i() d, где (, ) решение задачи F0 () inf, F1 (, ) = 0, F2 (, ) = 0. Здесь F0 () = +, + = max (v), = min (v), |v|1 |v| 1 (v) e(v) sin (v) dv, F1 (, )= e cos (v) dv, F2 (, )=1 + 1 а - ордината точки M1 (1, ).

В главе 3 (параграфы 5 и 6) рассмотрена задача Стокса–Лейбензона об эволюции односвязной ограниченной области t R2, заданной в момент t = 0 своей достаточно гладкой границей 0, окружающей начало коор динат {0}. Закон деформации области t соответствует динамике пятна жидкости с нулевым поверхностным натяжением, зажатой между двумя пластинами при наличии источника или стока этой жидкости, локализо ванного в начале координат {0} 0. Иными словами, в момент t точка s(t) = (x(t), y(t)) границы t области t движется со скоростью s = (x, y), определяемой кинематическим граничным условием s= u на t, (42) где u = (ux, uy ) градиент функции u(t;

·, ·) : t R, удовлетворяющей условию Стокса uxx + uyy = q(x, y) в t (43) и динамическому граничному условию Лейбензона u = 0 на t. (44) Здесь (x, y) это -функция Дирака, сосредоточенная в начале коорди нат, а коэффициент q характеризует мощность источника (стока). Случай источника соответствует tq 0, а случай стока соответствует tq 0. Пред полагается, что область t симметрична относительно оси x, а q = 2.

Для каждого фиксированного t можно запараметризовать точку s(t) + t = t R2 той линией уровня {(x, y) t v(t;

x, y) = } функции + + v, гармонически-сопряженной к u в t = t R+, которая содержит эту точку s(t). В силу симметрии t параметр меняется от нуля до единицы.

Тем самым, определена непрерывная функция s(t, ) = |P0 P | [0, |+ | ], s(t, ·) : [0, 1] (45) t где |P0 P | длина дуги P0 P кривой +, отсчитываемая в положительном t направлении от точки P0 ее пересечения с положительной полуосью x до точки P ее пересечения с линией уровня {v(t;

x, y) = }.

Декартовы координаты (x, y) точки Pv t представимы в виде v v a(t,) ea(t,) cos b(t, ) d, x(t, v) = x0 (t) e sin b(t, ) d, y(t, v) = 0 (46) 0 A(t;

u,0) где x0 (t) = e du, а a(t, v) + ib(t, v) = A(t;

0, v) + iB(t, 0, v). (47) Здесь z(t;

w) z(t;

w) z = x+iy +, (48) A(t;

u, v)+iB(t;

u, v)= ln +i arg, t w w где (при каждом t) w = u + iv Q = { u 0, 0 v 1}.

В диссертации получено такое необходимое условие разрешимости за дачи (42)–(44): функции a и b удовлетворяют интегро-дифференциальному уравнению v def b, a def b(t, v) = e2a a + b ea ea a ea b d, b= a=. (49) t v Если t окружность, то b(t, v) = v. Рассматривая t, как возмущение окружности, введем функцию def : [0, 1] v (t, v) = b(t, v) v = k (t) sin kv, (50) k удовлетворяющую (в силу симметрии и дифференцируемости кривой ) такому условию: (t, 0) = (t, 1) = 0. Коэффициенты Фурье k (t) опреде ляют, согласно (46), эволюцию контура t, ибо k (t)eku cos kv.

A(t;

u, v) = a0 (t) + u + (51) k где a0 (t) функция, которая тоже полностью определяется коэффициен тами k (t). Справедлива Теорема 10 Эволюция коэффициентов Фурье k (·) задается динамиче ской системой вида K() = F(), (52) 2(t + t0 ) эквивалентной уравнению (49). Покоординатно система (52) такова:

1 + r1 () = 2 + 2(t + t0 ) 1 j2 j +s1 (), (53) для k 2, 2(t + t0 ) k + rk () = (k + 2)k + sk () где 1+sgn |k1| 2+sgn |k1| |rk ()| C 0, |sk ()| C, (54) 1 а 2 = max kk (t), = max k (t).

1 t t k1 k Теорема 10 служит не только базой для доказательства нижеследующей теоремы 11 о тех H 2 -возмущениях окружности, которые, подчиняясь кине матическому условию (42), преобразуются за бесконечное время в окруж ность, но также выявляет принципиальное отличие уравнения (52)(49) от обычно исследуемого в работах по задаче Стокса–Лейбензона уравнения Галина–Кочиной 1 f f z = ei D, = 1, D = {z C |z| 1 } (55) z t z относительно однолистного отображения f (t, ·) : D z f (t, z) t, f (t, 0) = 0, гомеоморфного вплоть до границы диска D и задающего искомый контур t = f (D). В отличие от уравнения (55), описывающего лишь дефор мацию контура, уравнение (52) задано в терминах коэффициента a(t, ·) продольного сжатия-растяжения контура t и эволюции касательного по ля b(t, ·) к нему. Благодаря этому уравнение (52) позволяет обнаружить наличие аттракторов (и репеллеров) в пространстве контуров t. На них оператор I K() вырождается. В частности, линеаризованное на окруж ности (т.е. для = 0) уравнение (52), имеющее, согласно теореме 10, такой вид k+ (k 1) k + k = 0, (56) 2(t + t0 ) вырождается для амплитуды первой гармоники возмущения (50).

В связи с только-что сказанным, подчеркнем, что уравнение (49) было получено посредством применения функционально-геометрического мето да к задаче Стокса–Лейбензона.

def Пусть SR(0) = { |z | = R(0) }, а 0 слабое возмущением окружности SR(0), а именно: определяющая контур 0 функция [0, 1] v b(0, v) = v + n sin nv (57) n подчинена для некоторых положительных чисел µ 1 и 1/8 условию (kk )2 (µ)1/2 |1 |3/2, 0 0 0 |1 | µ. (58) k Теорема 11 Существует такое (0, 1/8), что если выполнено усло вие (58) при том или ином µ (0, 1], то эволюция t t при t 0 (т.е. в случае источника) продолжается бесконечно долго и она единственна на любом временном интервале. При этом для любого t 0 кривая t ана литична и ее отклонение от окружности радиуса R(t) = R2 (0) + 2t/ стремится к нулю при t. Более того, существует такая констан та С, что для коэффициентов Фурье k (t) функции def : [0, 1] v (t, v) = b(t, v) v = k (t) sin kv, k задающей согласно (46)–(48) эволюцию контура t, справедливы оценки 1 (t) 1 (t) Cµ, k (t) k (t) Cµ, (59) k k (0) где k (t) =, k 2, (60) (1 + t/t0 )k/2+ Условие (58) позволяет обойти особенности, связанные с вырождением (56).

а t 1 d 2 2 1 (t) = t0 1 (0) +2 k (0). (61) (1 + /t0 )k+ t + t0 k Замечание 1 Если предположить, что система уравнений (53) разре шима для t (T, 0) при каком-нибудь T 0, то тогда можно по казать, что начальный контур 0 необходимо аналитичен и справедли вы формулы (59)–(61). Формулы (60) проясняют причину аналитичности начального контура 0 в этом случае, т.е. в случае стока. Действитель но, функция (50) будет определена при некотором сколь угодно малом t 0 лишь тогда, когда коэффициенты Фурье k = k (0) функции (57) экспоненциально быстро убывают. Тем самым, они определяют анали тическую функцию.

В случае произвольного начального контура уравнение (52) аппрокси мировалось матричным уравнением вида Q(N, )N = P (t, N, ).

Здесь N = (N1,..., Nm ), Nj угол между осью x и внешней нормалью к j-ой стороне полигонального квазиконтура, а параметр = (1,..., m ) характеризует длины его сторон. Численный анализ показал, что в про странстве квазиконтуров имеется гиперповерхность Nm = {(N, ) det Q(N, ) = 0}.

В случае источника (при t 0) эта поверхность коразмерности 1 явля ется притягивающим многообразием (аттрактором). Если обратить время, т.е. рассмотреть случай стока, то эта гиперповерхность превращается в от талкивающее многообразие, как говорят, репеллер (анти-аттрактор). Чис ленный анализ показывает, что вполне “приличный”, внешне ничем особо не выделяющийся контур 0, представленный точкой P0, расположенной очень близко к этой гиперповерхности, почти мгновенно изменяет свою форму. Дело в том, что точка P0 с громадной скоростью “отлетает” от ги перповерхности и через мгновение находится вдали от нее, представляя контур, существенно отличный от 0. Отличие связано с тем, что сильно растут гармоники, соответствующие вырождению оператора I K, стоя щему при в уравнении (52). При этом площадь, охватываемая контуром, за столь короткое время почти не уменьшается (т.к. мощность стока по стоянна). Поэтому возникают так называемые “пальцы”, компенсирующие скачк кривизны контура (вызванные ростом некоторых гармоник) при и почти постоянной площади, охватываемой этим контуром.

Глава 4 (§7 §9) диссертации посвящена построению (с помощью отоб ражений типа (22)) экспоненциально точной асимптотики гармонической функции в области с сильно гофрированной границей, а также построению такого асимптотического приближения u решения U краевой задачи U где f H (), U = 0, U + = f (s/), 0, s= для которого справедлива следующая оценка C e /, u U где 0, а = + 1/2 + sign 0.

H () Кроме того, в параграфе 8 рассмотрена задача Олейник-Темама об усред нении. Речь идет об асимптотике в при 0 решения задачи Дирихле R2, U = 0 в U = F (x/, y/) на =. (62) || = |T | = 2 3 || s= = ei = ||ei z() T T () b) c) a) f () = F ( x, y ), (x, y) s, 1 2 3 4 5 6 7 8 = 0 = d) f( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 = 0 = e) Рис. Предполагается, что функция F в (62) периодична и нечетна по каждо му переменному, двузначна и постоянна на полупериоде, равном единице.

Пусть для определенности область односвязна (см. рис.7a), а аналити ческая кривая, длины || = 2, задается функцией N : T N () = F0 + (Fk cos k + Gk sin k), (63) k определенной на окружности T (см. рис. 7b). Здесь N (s) угол между осью x и внешней нормалью к в точке s. Пусть отображение i z: VT = e z() = z0 + exp(A + iB) d V, z0, (64) некоторой окрестности VT на окрестность V кривой построено (ср. с (22)) посредством функции Гельмгольца–Кирхгофа A + iB, где A : = ei A(, ) = (k k ) [Gk cos k Fk sin k], k B : = ei B(, ) = F0 + (k + k ) [Fk cos k + Gk sin k].

k При заданном числе 0 построение асимптотики осуществляется так. На фиксируется след функции (x, y) F (x/, y/). Развертка этого следа, параметризованная точками k (см. рис.7d), переносится в виде графика функции f () на окружность T (см. рис.7b). При сделанном предпо ложении о двузначности функции F существует аналитический автомор физм : () окружности T, (см. рис.7c), при котором функция f (()) нечетна. Такой автоморфизм может, очевидно, задаваться полиномом, принимающим значение k в точке k = k (см. рис. 7d и рис. 7e). С помощью указанного автоморфизма : () в некоторой окрестности VT окружности T строится отображение = µei () = 1 + : VT exp(a + ib) d (VT ), (65) где функции a = a(µ, ) и b = b(µ, ) представлены через коэффициенты ck, dk, fk и gk разложений в ряды Фурье 2-периодических функций () () = f0 + (fk cos k+gk sin k), = k(ck cos k+dk sin k) () k1 k следующими рядами dk + gk k dk gk ck + fk k ck fk a0 + µ+ cos k µ+ sin k, 2µk 2µk 2 k ck + fk k ck fk dk + g k k dk g k f0 + µ cos k + µ sin k, 2µk 2µk 2 k где константа a0 определяется из нормировки: 0 ea(1,) d = 2.

Заметим, что отображение (65) однолистно и на T совпадает с.

Теорема 12 Пусть maxk (k k1 ) = O() при 0. Тогда искомая экспоненциально точная асимптотика решения задачи (62) представи ма в виде u : z = x + iy u (z) = (z) · v (z). Здесь гладкая в функция, равная 1 вблизи и нулю вне некоторой ее окрестности, v решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в дис ке с граничной функцией f (/), представленной на рис.7e, а отображе ние z ((z)) обратно к отображению (64)(65) =µei z : VT z(()). (66) При этом, линии уровня u (x, y) = 0 искомого асимптотического реше ния u вкладываются в поле трансверсалей к, которое есть образ нор малей к окружности T при отображении (66).

3. Основные публикации по теме диссертации ( Публикации [1]–[16] из официального Перечня ВАК ) [1] Прямая и обратная задачи в теории равновесия плазмы. Успехи ма тем. наук, 1974, Т. 29, № 6, 203. (Диссертант доказал теоремы, относящиеся к прямой задаче о равновесия плазмы. Соавтор Л.Е. Захаров /институт им.

Курчатова/ показал, что обратная задача в предположении однородности распределения тока имеет единственное решение в случае квадрупольного поля. Результат Л.Е. Захарова не включен в диссертацию).

[2] The form of a steady plasma subject to the skin eect in a tokamak with non-circular cross-section. Nuclear Fusion, 1975, v. 15, 765-768.

[3] Sur la perturbation "singuli`re"dans un probl`me ` fronti`re libre. Lecture e ea e Notes in Math., Springer-Verlag, 1977, v. 594, 123-130.

[4] Equilibrium form of a steady plasma Physics of Fluids, 1978, v. 21, 902 904.

[5] Об одной задаче со свободной границей в теории равновесия плазмы.

Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1978, вып. 4, 65-82.

[6] Теоремы существования, несуществования и регулярности в одной задаче со свободной границей. Успехи матем. наук, 1983, вып. 5, 151-152.

[7] Теоремы существования, несуществования и регулярности в одной задаче со свободной границей. Математический сборник АН СССР, 1983, №1, 1983, 421-444. (Соавтор А.Баджади /Алжир, аспирант диссертанта/ доказал в данной статье утверждения в замечаниях 1.1, 4.1 и 4.2, принял участие в доказательстве леммы 1.2 и предложения 3.3. Результаты, пред ставленные в автореферате и в диссертации, получены диссертантом).

[8] Об одной экстремальной задаче со свободной границей. Успехи ма тем. наук, 1986, вып.4, 190-191. (Соавтор А.А. Созыкин /канд. техн. наук/ выполнил численные расчеты по написанной им программе, алгоритм ко торой соответствует конструктивной теореме, доказанной диссертантом).

[9] On inverse and direct free boundary problems in the theory of plasma equilibrium in a Tokamak. C.R. Acad. Sci. Paris, 1996, Т. 323, Srie I, 353- e (Соавторы ученики диссертанта: канд. ф.-м.наук В.В. Петрова и диплом ник В.М. Силантьев. Их вклад в эту заметку упомянут, соответственно, в примечании52 и примечании45. Все основные конструкции доказательств теорем этой публикации принадлежат диссертанту).

[10] Полная асимптотика решения задачи Дирихле для 2-мерного урав нения Лапласа с быстро осциллирующими граничными данными. Доклады РАН, 1996, Т. 346, № 6, 732-734.

[11] Полигональная модель для течения Хил-Шоу. Успехи матем. наук, 1998, вып. 4, 195-196.

[12] Конечноточечная модель задачи Стокса-Лейбензона для Хил-Шоу течения. Фундамент. и прикл. математика, 1999, № 5, 67-84. (Соавтор канд. физ-мат наук О.А. Васильева выполнила численные расчеты. Поста новка задачи и все теоретические результаты принадлежат диссертанту).

[13] Some Applications of the Helmholtz-Kirchho Method. Russian J. Math.

Ph., 2000, v. 7, No. 2, 166-186.

[14] Об эволюции слабого возмущения окружности в задаче о течении Хил-Шоу. Успехи матем. наук, 2002, вып. 6, 177-178.

[15] An inverse problem originating from magnetohydrodynamics. Inverse Problems, 2004, v. 20, No.1, 137-154 (Соавтор: проф. M. Moussaoui /Lyon/;

его вклад в работу (стр. 145-146) никак не отражен в диссертации).

[16] Метод Гельмгольца–Кирхгофа и граничное управление при обте кании плоским потоком. Фундамент. и прикл. математика, 2006, № 4, 65-77.

[17] Congurations du plasma stationnaire quilibr. Free Boundary Problems.

e e Proceedings of a Sem. held in Pavia, Roma, 1980, v. I, 467-486.

[18] The Stokes–Leibenson Problem for Hele-Shaw Flows. Patterns and Waves (Eds. A. Abramian, S. Vaculenko, V. Volpert), Saint Peresburg, 2003, 103- (Соавтор: Dr. J.-P. Loheac /Lyon/ выполнил численные расчеты по написан ной им программе;

теоретические результаты принадлежат диссертанту).

[19] Evolution of a perturbation of a circle in a problem for Hele-Shaw ows Journ. of Math. Sciences, 2004, No. 8, 4381-4403.

[20] О минимуме непрерывных функционалов от производных гармо нической функции, параметризованной ее искомой линией уровня и/или другими граничными данными. Современная математика и ее приложе ния, ВИНИТИ, 2005, T. 24 (Динамические системы и оптимизация), 35-50.

[21] Evolution of a perturbation of a circle in a problem for Hele-Shaw ows.

Part II. Journ. of Math. Sciences, 2006, No. 6, 7064-7078.