Игорь юрьевич асимптотические разложения в центральной предельной теореме в многомерных пространствах

На правах рукописи

УДК 519.214.4 Осмоловский Игорь Юрьевич АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Специальность: 01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009 г.

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико математического факультета в Московском Государственном Универси тете имени М. В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук Сенатов Владимир Васильевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Круглов Виктор Макарович, доктор физико-математических наук профессор Хохлов Юрий Степанович.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение мате матического института.

Защита диссертации состоится 29 мая 2009 года в 16 часов 40 ми нут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Москов ском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по ад ресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, Главное Здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 28 апреля 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И.Н.Сергеев 1

Общая характеристика работы

Актуальность темы Одним из фундаментальных результатов теории вероятностей являет ся центральная предельная теорема (ЦПТ), которая утверждает, что при достаточно широких условиях сумма многих случайных величин име ет приблизительно нормальное распределение. В ЦПТ рассматриваются независимые и слабо зависимые случайные величины, одинаково и раз лично распределенные случайные величины, действительные случайные величины и случайные величины, принимающие значения в многомер ных пространствах и т.д. Простейший вариант ЦПТ связан с независи мыми одинаково распределенными случайными величинами (н.о.р.с.в.) с конечными дисперсиями, при этом без ограничения общности можно считать, что среднее значение этих случайных величин равно нулю, а дисперсия - единице. В этом случае ЦПТ можно сформулировать в сле дующем виде.

Пусть X1, X2,... - н.о.р.с.в. с EX1 = 0 и DX1 = 1. Обозначим че рез F общую функцию распределения (ф.р.) этих случайных величин и Fn (x) = P( X1 +···+Xn x) - функцию распределения нормированной n X1 +···+Xn суммы первых n из этих случайных величин. ЦПТ утверждает, n что Fn (x) (x) при n x 1 eu / равномерно по x, где (x) = du - функ ция распределения стандартного нормального закона. При выполнении некоторых дополнительных условий у ф.р. Fn (x) существует плотность pn (x) и pn (x) (x) при n равномерно по x, где (x) = 1 ex /2 - плотность стандартного нормального закона.

Важность ЦПТ объясняется тем, что она позволяет в практических расчетах заменять (при больших n) ф.р. Fn на ф.р., работа с которой не представляет трудностей. Функцию распределения Fn (x) можно за писать в виде F n ( nx), где n означает nкратную свертку функции распределения F, точнее, F n (x) =... F (xy1 · · ·yn1 )dF (y1 )... dF (yn1 ), x, n то есть Fn (x) является многократной нормированной сверткой ф.р. F с самой собою. Хорошо известно, что свертки распределений в явном виде вычисляются лишь в исключительных случаях, и даже в этих случаях расчет многократных сверток напрямую обычно невозможен.

Например, в случае, когда F (x) является экспоненциальным рас пределением с параметром единица, то есть F (x) = 0 при x 0 и F (x) = 1 ex при x n1 r x x n F (x) = 1 P (X1 + · · · + Xn x) = 1 e r!

r= при x 0. Прямые расчеты по этой формуле при больших n невоз можны хотя бы из-за того, что 70! 10100. Как уже отмечалось, ЦПТ позволяет заменять многократные свертки нормальными законами, ра бота с которыми не вызывает трудностей. Однако, при такой замене мы всякий раз (за исключением тривиального случая, когда F – нормаль ная функция распределения) совершаем некоторую ошибку, и возникает естественный вопрос о величине этой ошибки, или, как иногда говорят, о точности аппроксимации в ЦПТ.

Одним из самых известных результатов в этом направлении является теорема Берри1 –Эссена2, которая гарантирует, что E|X1 | c, (Fn, ) = sup |Fn (x) (x)| (1) n x где c - некоторая константа. Эта оценка является неулучшаемой с точно стью до значения константы c, для которой известна как верхняя оценка 3+ = 0, 409...4. К сожалению, c 0, 7056, так и нижняя оценка c 6 точность оценки Берри-Эссена невелика. Если мы захотим гарантиро 103, то в вать с помощью (1) справедливость неравенства (Fn, ) силу того, что E|X1 |3 1 (это следует из неравенства Ляпунова), вели чина n должна быть более (103 c)2 160000. В случае, когда нормирован ная сумма состоит из нескольких десятков слагаемых, оценка теоремы Берри-Эссена, по существу, бессодержательна.

Berry A. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates. Trans.

Amer. Math. Soc. 1941. V.49. № 1. P. 122-136.

Esseen C.-G. On the Liapuno limit of error in the theory of probability. Ark. Mat. Astr. Fys. 1942.

V.28A. № 9. P. 1-19.

Шевцова И.Г., Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссена, Теория вероятностей и ее применения, 2006, т. 51, в. 3, с.с. 622 - 626.

Esseen, Moment inequalities with application to the Central Limit Theorem, Scand. Actuarietidskrist.

N 34. 1956. P.160-170.

Малая точность аппроксимации в ЦПТ - факт, давно и хорошо извест ный. Он привел к развитию нескольких направлений в оценках точности аппроксимации в ЦПТ, среди которых изучение неравномерных оценок и изучение оценок, содержащих псевдомоменты. Примером неравномер ной оценки является неравенство E|X1 |, |Fn (x) (x)| C (2) (1 + |x|3 ) n а пример оценки, содержащей псевдомоменты, дает неравенство 3 (F, ) (Fn, ) C при n 4, (3) n где C - некоторые постоянные, а 3 - метрика на множестве функций распределения, которая называется вариацией с весом (здесь вес равен |x|3 ) и определяется равенством |x|3 |d(V W )(x)| = sup x3 w(x)d(V W )(x), 3 (V, W ) = где верхняя грань берется по множеству таких измеримых функций w, что |w(x)| 1, x, а V и W - произвольные функции распре деления.

Значения постоянных в этих оценках оказывается существенно боль ше значения постоянной c в неравенстве (1).

Таким образом, оценка (2) не имеет преимуществ перед (1) при не очень больших |x|, а (3) не имеет преимущество перед (1), если расстоя ние 3 (F, ) не очень мало.

По-видимому, малая точность аппроксимации, которую гарантируют приведенные оценки, связана с тем, что они применимы для очень ши рокого класса распределений F : они справедливы для любой ф.р. F с конечным третьим моментом. Существенное продвижение в оценках точ ности аппроксимации в ЦПТ можно получить за счет сильного сужения множества функций распределения исходных случайных величин. Так известно, что если для некоторого натурального m 2 абсолютный мо мент m+2 функции распределения F конечен, моменты F совпадают с Ульянов В.В. К уточнению оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме.

Теория вероятностей и ее применения. 1978. Т23. Вып. 3. С. 684-687.

моментами вплоть до порядка m + 1, F обладает некоторой гладко стью, то m+2 (Fn, ) c m/2 + o, (4) nm/ n где c зависит лишь от m. Известны явные оценки величин o nm/2. Это неравенство приводилось в спецкурсе "Дополнительные главы теории ве роятностей", прочитанном В.В. Сенатовым на механико-математическом факультете МГУ в 2002 г.

Для справедливости (4) необходимо наложить на F ограничения, свя занные с ее гладкостью. Эти условия, по крайней мере, должны гаран тировать нерешетчатость F, поскольку для любой решетчатой ф.р. F h величины (Fn, ) 0.125 n для всех n, начиная с некоторого, где h шаг распределения F, при любых (сколь угодно сильных) ограничениях на моменты.

Одним из условий на гладкость F, которое гарантирует выполнение (4), является условие Крамера lim sup |f (t)| 1, |t| где f - характеристическая функция распределения F. Выполнение этого условия гарантирует существование у F непрерывной компоненты в ее лебеговом разложении. При выполнении условия Крамера и упомянутых выше условий на моменты справедливо неравенство (4), в котором для o nm/2 можно получить явную оценку, в которую входит величина (T ) = sup{|f (t)| : t T} для некоторого T 0. При этом o nm/2 из неравенства (4) при росте n убывает экспоненциально быстро.

Условия, при которых доказывается неравенство (4) близки, а при четных m совпадают с условиями одной теоремы И.А. Ибрагимова7, устанавливающей связь между скоростью стремления к нулю величины (Fn, ) и значениями моментов F.

По-видимому, точности, которую гарантирует неравенство (4), доста точно для большинства практических расчетов уже при не очень боль ших m, скажем, для m, больших 3-5, однако ограничение, связанное с Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей. М.: Изд-во иностр. литер., 1947.

Ибрагимов И.А. О точности аппроксимации распределения сумм независимых величин нор мальным распределением, Теория вероятностей и ее применения. 1966. Т.11. Вып.4. С.632-655.

совпадением моментов F и вплоть до порядка m + 1, очень сильно сужает область применения неравенства (4).

Хорошо известен еще один подход к аппроксимации распределений Fn, он связан с так называемыми асимптотическими разложениями. В этом подходе нормальный закон рассматривается только как первое приближение распределения Fn и аппроксимация Fn ищется в виде сум мы и некоторых слагаемых, стремящихся к нулю при росте n. Асимп тотические разложения в ЦПТ появились в работах Грама8 1883 года, Шарлье9 1913-1914 годов и в работе Эджворта10 1905 года. В 1920-х го дах асимптотические разложения интенсивно изучались Г. Крамером11, а затем и другими исследователями, которыми были получены важные результаты, однако подавляющее большинство этих результатов давало оценки точности для асимптотических разложений в терминах O na и o na, где a 0 - некоторое число, зависящее от количества моментов, которые существуют у распределения F. По-видимому, первые резуль таты с явными оценками точности для асимптотических разложений по явились в конце 20-го века в работах Шимицу12, Добрич, Гош13. В 1990-х годах появились результаты В. Сенатова, которые были получены с ис пользованием сопровождающих зарядов.

Основные результаты по исследованию явных оценок асимптотиче ских разложений в ЦПТ были получены В. В. Сенатовым. Им были по лучены явные равномерные оценки остаточных частей разложений.

Данная работа обобщает полученные разложения на многомерный случай. При этом оценки остаточных членов получены в явном виде.

Таким образом, тема диссертации представляется актуальной с теорети ческой точки зрения, а полученные в ней результаты могут быть прак тически применимы.

Цель работы Цель диссертации - получить новые, более точные, чем известные, асимптотические разложения в центральной предельной теореме в мно гомерном случае с явными оценками их остаточных частей.

Gram J.P., J. reine und angew. Math, 1883, Bd 94, S. 41-43.

Charlier C.V.L., Arkiv. Mat. Astr. Fys., 1913/1914, Bd 9, N 25, S. 1-17.

Edgeworth, The law of error, Camb. Phil. Soc. Proc. 20, 1905, 36-141.

Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей. М.: Изд-во иностр. литер., 1947.

Shimizu R., On the remainder term for the central limit theorem, Ann. Inst. Stat. Math. 1974. V.26.

P.195-201.

Dobric V., Ghosh B.K. Some analogs of the Berry-Esseen bound for rst order Chebychev-Edgeworth expansions, Stat. Decis. 1996. V.14.

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в сле дующем:

• Исследованы многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита, использующиеся при получении асимптотических разложений в мно гомерном случае.

• Получены новые асимптотические разложения для гладких распреде лений в многомерном случае.

• Получены асимптотические разложения для решетчатых распределе ний в многомерном случае.

• Для всех асимптотических разложений получены явные оценки оста точных членов.

Методы исследования В работе используются методы теории вероятностей, математическо го и функционального анализа. В частности, для построения асимпто тических разложений применяется метод характеристических функций, формулы обращения, теорема Фубини. Также применяются некие новые объекты, многомерные аналоги многочленов Чебышева–Эрмита, кото рые описаны в работе.

Теоретическая и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Были исследованы многомер ные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита, с помощью которых по лучена аппроксимация плотностей распределений в многомерных про странствах, а также аппроксимация решетчатых распределений. Полу ченные результаты можно применять в реальных задачах аппроксима ции.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсужда лись на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико математического факультета МГУ (руководитель - член-корр. РАН А.Н.

Ширяев) в 2008 году и на семинаре кафедры статистики ВМК МГУ (руководитель - академик Ю. В. Прохоров) в 2008 году. Был сделан доклад на международной конференции "Ломоносов-2009". Результаты диссертации были представлены на семинаре "Прикладные аспекты тео рии вероятностей и математической статистики"кафедры теории веро ятностей и математической статистики РУДН (руководитель - д.ф.-м.н.

Ю.С.Хохлов) в 2009 г.

Публикации По теме диссертации опубликованы 3 работы. Список приведен в кон це автореферата [1] - [3].

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения и списка ли тературы, насчитывающего 33 наименования и организованного в алфа витном порядке. Результаты, полученные автором диссертации, оформ лены в виде Теорем и Лемм. Нумерация лемм и теорем состоит из двух чисел. Первое число относится к номеру главы, второе к номеру утвер ждения (леммы или теоремы). Нумерация формул - сквозная. Общий объем работы составляет 78 страниц.

2 Краткое содержание диссертации Целью работы является обобщение результатов, о которых говорилось выше, на многомерный случай. При этом используются многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита, введенные В.В. Сенатовым14.

В первой главе дается определение многомерных аналогов много членов Чебышева-Эрмита как полилинейных функционалов, получен ных с помощью дифференцирования по Фреше функций, связанных с плотностью нормального закона, для некоторых из них указывается яв ный вид, перечисляются известные свойства этих функционалов, фор мулируются и доказываются утверждения, обобщающие свойства одно мерных многочленов Чебышева-Эрмита на эти функционалы.

Обозначим E d - евклидово пространство размерности d, (·, ·) - скаляр Сенатов В.В. Об одном многомерном аналоге разложения Чебышева, Теория вероятностей и ее применения, 2007, т. 52, в. 3, с.с. 603 - 610.

ное произведение в E d, | · | - норму в E d, m - m-й момент одномерного стандартного нормального распределения, (x) = (2)d/2 e|x| /2 - плот ность нормального закона с нулевым средним и единичной матрицей ко вариаций в E d. Многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита (2j) это множество многочленов Hl, l, j = 0, 1, 2,..., которое являются по следовательностью серий, состоящих из счетного числа элементов. Пер вый элемент каждой серии является функцией на E d, второй элемент каждой серии - линейный функционал, третий элемент - билинейный функционал и т.д.

Эти многочлены можно свести в таблицу (0) (0) (0) (0) (0) (0) H0, H1, H2, H3, H4, H5,...

(2) (2) (2) (2) H0, H 1, H 2, H 3,...

(4) (4) H0, H 1,...

......

Многочлены Чебышева-Эрмита из первой серии (ей соответствует (0) j = 0), точнее, действие многочленов Hl (x) на векторы h1,..., hl E d, можно получить по формуле (0) Hl (x)(h1,..., hl ) = (1)l ((x))(l) (h1,..., hl )/(x) (производная понимается в смысле Фреше), которая аналогична равен ству Hl (x) = (1)l ((x))(l) /(x), справедливому в одномерном слу (0) чае. Величина Hl (x)(h1,..., hl ) является симметрической функцией переменных h1,..., hl, поэтому мы иногда будем записывать ее в виде (0) Hl (x)({h1,..., hl }), где {h1,..., hl } означает множество, состоящее из векторов h1,..., hl.

Первый элемент первой серии - функция на E d, тождественно равная 1, второй элемент первой серии - линейный функционал (x, ·), третий элемент этой серии - билинейный функционал (x, ·)(x, ·) (·, ·), x E d, и т.д.

Справедлива формула обращения il (0) ei(t,x) e|t| / (t, h1 )... (t, hl )dt = Hl (x)(h1,..., hl )(x), (2)d Ed где i - мнимая единица.

(2j) Для любого j 1 многочлены Hl (x), l = 0, 1, 2,..., определяются равенствами i2j+l (2j) ei(t,x) e|t| / (t, t)j (t, h1 )... (t, hl )dt.

Hl (x)(h1,..., hl )(x) = (2)d Ed В первой главе указан явный вид некоторых из этих многочленов и рассматриваются их простейшие свойства.

В одномерном случае многочлены Чебышева-Эрмита являются мно гочленами Аппеля, то есть для них справедливо равенство Hl (x) = lHl1 (x), l = 1, 2,...

(0) Аналог этого свойства для многочленов Hl (x) имеет вид l (0) (0) Hl (x)(h1,..., hl ) (hl+1 ) = (hl+1, hr )Hl1 (x)({h1,..., hl } \ {hr }).

x r= Также выполнено рекуррентное соотношение (0) (0) Hl+1 (x)(h1,..., hl+1 ) = (x, hl+1 )Hl (x)(h1,..., hl ) l (0) (hl+1, hr )Hl1 ({h1,..., hl } \ {hr }). (5) r= Эти равенства получены В.В. Сенатовым в упомянутой работе14.

Для многомерных аналогов многочленов Чебышева-Эрмита произ вольной строки в первой главе получены соотношения l (2j) (2j) Hl (x)(h1,..., hl ) (hl+1 ) = (hl+1, hr )Hl1 (x)({h1,..., hl } \ {hr })+ x r= (2j2) + 2jHl+1 (x)({h1,..., hl+1 }) и рекуррентная формула (2j) (2j) Hl+1 (x)(h1,..., hl+1 ) = (x, hl+1 )Hl (x)(h1,..., hl ) l (2j) (2j2) (hl+1, hr )Hl1 (x)({h1,..., hl } \ {hr }) 2jHl+1 (x)({h1,..., hl+1 }).

r= Во второй главе в многомерном случае строятся новые асимптоти ческие разложения плотностей нормированных сумм независимых слу чайных величин, у которых конечны моменты 5 и 6 порядков (асимптоти ческие разложения в случае конечности моментов меньших порядков по лучены в работе В.В. Сенатова15 Эти асимптотические разложения стро ятся с использованием вспомогательных сопровождающих зарядов, ко торые представляют собой функции, получаемые интегрированием мно гомерных аналогов многочленов Чебышева-Эрмита по распределению исходных случайных величин. Приводятся явные оценки остаточных ча стей разложений.

Здесь и далее мы будем действовать в рамках следующих обозначений и предположений.

Пусть X1, X2,... - независимые одинаково распределенные величины в E d с нулевым средним и единичным ковариационным оператором и P - распределение X1. Пусть для характеристической функции f (t) рас пределения P выполнено условие |f (t)| dt (a) Ed для некоторого 0, и для некоторой пары (µ, T ), где функция e|t| /2 µ(t) 1 и число T 0, выполняется неравенство |f (t)| µ(t) при всех |t| T.

Через Pn обозначим распределение нормированной суммы X1 +···+Xn.

n При выполнении условия (a) для всех n существует плотность pn (x), x E d, распределения Pn, которую можно вычислить по формуле обра щения.

Определим моментные характеристики распределения P, которые нам понадобятся. Для s N и вектора e E d, (e, e) = 1, положим (e, u)s P (du), s (e) = s (e, P ) := |(e, u)|s P (du), s (e) = s (e, P ) := Ed Ed |s | = sup |s (e)|, s = sup s (e), s = 0, 1,...

|e|=1 |e|= Легко видеть, что s (e) и s (e) - момент и абсолютный момент s-го по рядка проекции P на направление вектора e.

Сенатов В.В. Несколько асимптотических разложений в ЦПТ в многомерном случае. Теория вероятностей и ее применения, 2008, т. 53, в. 2, с.с. 293 - 306.

Во всех леммах и теоремах мы будем предполагать, что для некото рого m N величина m+2 конечна.

Мы будем использовать многомерные моменты Чебышева-Эрмита s, s = 0, 1,..., которые определяются следующим образом:

[s/2] [s/2] (1)j s2j (e) (1)j s s (e) (e, u)s2j P (du), = := = j!2j (s 2j)! j!2j (s 2j)!

s! s! j=0 j= Ed а также величины |s | = sup |s (e)|, s = 0, 1,..., |e|= s/2 |s2j | j!2j (s 2j)!, для четных s s j= :=, s [s/2] |s2j | s! +, для нечетных s s! j=1 j!2j (s 2j)!

В оценках остаточных частей асимптотических разложений будут ис (m) пользоваться величины s, которые определяются формулами для s, в которых нужно положить |l | = 0 при l s + 1.

Отметим, что s (e) - момент Чебышева-Эрмита s-го порядка проекции P на направление вектора e.

Пусть (x) - нормальный закон с нулевым средним и единичным ко вариационным оператором в E d. Для e E d,|e| = 1, и натуральных s обозначим (e, u)s (P )(du), s = sup |s (e)|, s (e) = |(e, u)|s (du).

s (e) = e Ed Ed Отметим, что для любого e E d, |e| = 1, величина s (e) совпадает с s м абсолютным моментом одномерного стандартного нормального закона.

Введем следующие величины 1 1 t |t|s e|t| / |t|s µn Bs = dt, Bs,n = dt.

(2)d (2)d n Ed |t| T n 1 s/ Величина Bs асимптотически (при d ) равна d. Для распре 2 d/ делений с конечным четвертым моментом пару (µ, T ) можно подобрать так, чтобы Bs,n Bs при n для любого фиксированного s 0.

Также отметим, что из формулы Тейлора с остаточным членом в ин тегральной форме следует, что для любого действительного k is s k+ i e= +, (6) s! (k + 1)!

s= где k - произвольное неотрицательное целое число и - непрерывная комплекснозначная функция такая, что || 1.

Итак, пусть pn (x) - плотность нормированной суммы (X1 +..+Xn ), n qn (x) - плотность нормированной n-кратной свертки заряда.

Мы можем записать плотность pn (x) в виде pn (x) = qn (x) + [pn (x) qn (x)].

В случае использования заряда доказательство состоит из двух шагов:

• оценка близости плотностей нормированных сумм |pn (x) qn (x)|;

(2j) • разложение плотности qn (x) по многочленам Hl (x) с некоторой по грешностью.

Полученные асимптотические разложения можно рассматривать как цепочку результатов, где каждое последующее разложение получается из предыдущего путем переноса (с соответствующими изменениями) неко торых членов из остаточной части в главную.

Оценки остаточных частей для каждого разложения указаны в явном виде. Получены следующие разложения.

Теорема 2.4 Пусть распределение P таково, что 5 и 4 9.

Тогда в рамках введенных обозначений и предположений для всех n max(3, ) таких, что |4 | |4 |(d 1) |4 |d(d + 2) = + + 6 3n 72n (при 4 9 величина 1 для всех n, начиная с некоторого), при всех x E d для плотности pn (x) справедливо равенство (x) (0) pn (x) = (x) + H3 (x)(u, u, u)P (du)+ 6n Ed (x) (0) (4) + H4 (x)(u, u, u, u)P (du) 3H0 (x) + 24n Ed (x) (0) + H6 (x)(u, u, u, v, v, v)P (du)P (dv)+ 72n Ed Ed (x) (0) + H7 (x)(u, u, u, v, v, v, v)P (du)P (dv) 144n3/ Ed Ed (x) (4) H3 (x)(u, u, u)P (du)+ 48n3/ Ed (x) (0) + H9 (x)(u, u, u, v, v, v, w, w, w)P (du)P (dv)P (dw) + R, (3!)4 n3/ Ed Ed Ed где R = O n3/2, n, - остаточная часть, для которой выписыва ется явная оценка.

(0) (4) (4) Явный вид многочленов Hl, l = 3, 4, 6, 7, 9, H0 и H3 указан в главе 1. В частности, (0) H3 (x)(u, u, u) = (x, u)3 3(x, u)(u, u), поэтому слагаемое в асимптотическом разложении pn (x), связанное с (0) H3, можно записать в виде (x) E (x, X1 )3 3(x, X1 )(X1, X1 ) = 6n (x) = |x|3 E(X1, ex )3 3|x|E(X1, ex )(X1, X1 ), 6n x где ex = |x|, X1 - с.в. распределения P. Величина E(X1, ex )3 являет ся третьим моментом проекции с.в. X1 на направление вектора ex, а E(X, ex )(X, X) можно рассматривать как некий смешанный момент тре тьего порядка с.в. X.

Все интегралы в приведенном асимптотическом разложении являют ся величинами, зависящими от |x| и от моментов исходных случайных величин X1, X2,... (среди этих моментов - моменты проекций с.в. X на направление вектора ex, четвертый момент нормы E|X1 |4, смешанные моменты, моменты E(X1, X2 )3 и т.д.) В цитировавшейся работе В.В. Сенатова было получено разложение, главная часть которого совпадает с суммой первых четырех слагаемых из теоремы 2.4, а в оценке остаточной части присутствуют слагаемые, оценивающие пятое, шестое и седьмое слагаемые разложения из теоремы 2.4. Включение этих слагаемых в главную часть разложения позволяет существенно уточнить оценку, полученную В.В. Сенатовым, правда, ско рость стремления к нулю при росте n остаточной части остается преж ней. Для того, чтобы получить разложение, оценка остаточной части которого убывает быстрее n3/2, необходимо потребовать существования момента шестого порядка.

Теорема 2.6 Пусть распределение P таково, что 6 и 4 9.

Тогда при всех x E d для всех n max(3, ) таких, что |4 | |4 |(d 1) |4 |d(d + 2) = + + 1, 6 3n 72n для плотности pn (x) справедливо равенство (x) (0) pn (x) = (x) + H3 (x)(u, u, u)P (du)+ 6n Ed (x) (0) (4) + H4 (x)(u, u, u, u)P (du) 3H0 (x) + 24n Ed (x) (0) + H6 (x)(u, u, u, v, v, v)P (du)P (dv)+ 72n Ed Ed (x) (x) (0) (2) + H5 (x)(u, u, u, u, u)P (du) H3 (x)(u, u, u)P (du)+ 120n3/2 12n3/ Ed Ed (x) (0) + H7 (x)(u, u, u, v, v, v, v)P (du)P (dv) 144n3/ Ed Ed (x) (4) H3 (x)(u, u, u)P (du)+ 48n3/ Ed (x) (0) + H9 (x)(u, u, u, v, v, v, v, w, w, w)P (du)P (dv)P (dw)+R, (3!)4 n3/ Ed Ed Ed где R = O( n2 ), n, - остаточная часть, для которой выписывается явная оценка.

Главная часть разложения из теоремы 2.6 отличается от главной части разложения теоремы 2.4 тем, что в нее добавились величины, связанные (0) (2) с H5 и H3, за счет этого улучшается скорость стремления к нулю остаточной части.

В приведенных теоремах оценки остаточных частей R в каждой следу ющей теореме лучше, чем в предыдущей (во всяком случае, при больших n).

Явный вид оценок остаточных частей не приведен в автореферате ввиду их громоздкости.

В третьей главе рассматриваются асимптотические разложения для плотностей в общем случае (без использования вспомогательного заряда). Здесь получены явные оценки остаточных частей разложений, главные части которых были известны, но оценки остаточных частей да вались в виде, непригодном для численных расчетов. Построение асимп тотических разложений состоит из двух шагов:

• с некоторой погрешностью представляем pn (x) (x) в виде суммы, зависящей от разностей моментов P и, то есть от величин (e, u)s (P )(du);

s (e) = Ed • слагаемые из, убывающие при росте n как O( n(m+1)/2 ), включаем в остаточную часть разложения, оставшиеся слагаемые - в главную.

Представление разности плотностей с помощью s (et ) дает Лемма 3.1 Во введенных предположениях и обозначениях при max(, 2m) существует плотность pn (x) и для любого x E d n справедливо равенство pn (x) (x) = k m m+1 s s 1 i s (et ) t 2 k|t| |t| ei(t,x) e k = Cn e dt + R, 2 2n (2)d s! n s= k= |t| T n t где et = и R - остаточная часть, для которой выписывается явная |t| оценка.

При помощи этой леммы получен следующий результат Теорема 3.1 В рамках введенных предположений и обозначений при всех n max(, 2m) у распределения Pn нормированной суммы суще ствует плотность pn (x) и для всех x E d pn (x) = (x)+ m n! 1 (x) + (n k)!k3 ! · · · km+1 ! (3!)k3... ((m + 1)!)km+1 n(3k3 +···+(m+1)km+1 )/ k=1 k3,...,km+ J (1)j r j (2j) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (m+1) ··· Hl (u1, u1, u1,..., uk3, uk3, uk3,..., ukm+1,...

j!2j n j= Ed Ed (m+1) (3) (3) (m+1) (m+1)..., ukm+1 )Q(du1 ) · · · Q(duk3 ) · · · Q(du1 ) · · · Q(dukm+1 ) + R, где Q = P и внутреннее суммирование ведется по всем наборам k3,..., km+1 таким, что k3 + · · · + km+1 = k, 3k3 + · · · + (m + 1)km+1 m + 2k, m k3 + · · · + (m 1)km+ J=, 2 а B3(m+1),n(m+1) m+1 m+ |R| Cn DT + 3(m+1) n m+ B3(l1)+m+2,nl m+2 + m+2 l l + Cn DT + (m + 2)! 3(l1)+m+ n l= nd/2 n |f (t)| dt + + (T ) L1,0 (T n)+ (2)d (2)d |t| T lT m m ml l l 2 + Cn Cn l e lT 2 Dl Bm+2l+1 + Dl + e + Bm+2l + m+1 m+ (2)d 2 +l 2 +l n n l=1 l= m Dl l + Cn L1,3m+l1 (T n), (2)d l= ar d d/ e rb dr, где для действительных a, b, 1 обозначено La,b (1 ) = ( d +1) а для натурального l и положительного действительного T m+1 m+ s s s D=, DT = T.

s! s!

s=3 s= В четвертой главе рассматриваются асимптотические разложения в локальной форме ЦПТ для решетчатых распределений. Показано, как из асимптотических разложений, полученных во второй и третьей гла вах, можно получать главные части соответствующих разложений для вероятностных мер точек роста многомерных решетчатых распределе ний и указывается, как при этом необходимо изменить оценки остаточ ных частей разложений.

В пятой главе получен один результат, связанный с асимптотиче скими разложениями для вероятностных мер, соответствующих норми рованным суммам, на шарах в пространстве E d. При этом приходится использовать функции Бесселя, точнее, разложения этих функций в ря ды. Асимптотические разложения получаются в виде рядов, которые до вольно быстро сходятся, но представить эти ряды в виде суперпозиций элементарных функций не удается. По этой причине в главе 5 пришлось ограничиться лишь одним результатом, тем более, что обобщения этого результата на общий случай достаточно очевидны.

3 Благодарности Автор выражает глубокую благодарность доктору физико математических наук Владимиру Васильевичу Сенатову, под руко водством которого проходила работа над диссертацией, за постановку задачи и постоянное внимание.

4 Список публикаций автора по теме диссертации [1] Осмоловский И.Ю. "О некоторых свойствах многомерных аналогов многочленов Чебышева-Эрмита", Теория вероятностей и ее приме нения, 2008, т. 53, в. 2, сс. 373 - 378.

[2] Осмоловский И.Ю. "Об оценке точности аппроксимации для асимп тотических разложений в многомерном случае", Теория вероятно стей и ее применения, 2009, т. 54, в. 1, сс. 152 - 158.

[3] Осмоловский И.Ю. "Об оценке точности аппроксимации для асимп тотических разложений в многомерном случае", Деп. В ВИНИТИ 24.03.2009 № 152-В2009.