Анастасия владимировна асимптотические разложения решений пятого уравнения пенлеве

На правах рукописи

УДК 517.925 Парусникова Анастасия Владимировна АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ПЯТОГО УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ 01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2012

Работа выполнена на кафедре теории динамических систем Механико математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук профессор Александр Дмитриевич Брюно

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Андрей Игоревич Шафаревич, кафедра дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, профессор кандидат физико-математических наук Ренат Равилевич Гонцов, Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН, старший научный сотрудник

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Защита диссертации состоится 14 декабря 2012 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государ ственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП 1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математичес кого факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Данная диссертация является исследованием в области аналитической теории дифференциальных уравнений. Рассматривается пятое уравнение Пенлеве. Методами двумерной и трёхмерной степенной геометрии отыски ваются асимптотические разложения и асимптотики его решений в окрест ности особых и неособых точек уравнения.

Л. Фукс в работе 1884 года1 и А. Пуанкаре в работах 1885-1886 годов2,3, предложили искать в классе нелинейных дифференциальных уравнений те, решения которых не имеют критических подвижных особых точек, и при этом не выражаются через уже известные функции, в том числе и через спецфункции (особая точка функции называется критической, если при обходе этой точки значение функции меняется;

особая точка решения уравнения называется подвижной особой точкой, если её положение зави сит от начальных условий). Фукс показал, что уравнения вида P (w, z) w=, Q(w, z) где P (w, z), Q(w, z) по w многочлены, а по z аналитичны, будут уравнениями с неподвижными критическими точками, если и только если они являются уравнениями Риккати, т. е. имеют вид w = a0 (z)w2 /2 + a1 (z)w + a0 (z).

Дальнейшее развитие проблематики сузило поставленную задачу. В 1887 году Э. Пикар5 предложил исследовать класс ОДУ второго поряд ка вида w = F (z, w, w ), (1) где F (z, w, w ) мероморфная по z и рациональная по w, w функция, и уже из уравнений этого класса выделить те уравнения, решения которых не имеют подвижных критических особых точек.

L. Fuchs, Uber dierentiagleichung deren integrale feste verzweigung-spucte besitzen // Sitz. Acad.

Wiss. Berlin. 1884.669-720.

A. Poincare, Sur les integrales irregullieres des equations lineaires // C. r. Acad. sci. 1885. 101. 939-941.

Oeuvres. IV. 611-613.

A. Poincare, Sur les integrales irregullieres des equations lineaires// C. r. Acad. sci. 1885. 101. 990-991.

Oeuvres. IV. 614-615.

A. Poincare, Sur les integrales irregullieres des equations lineaires // Acta Math. 1886. 8. Oeuvres. I.

167-222.

E. Picard, Demonstration d’ un theoreme generale sur les fonctionsuniformes linees par une relation algebraique // Acta Math. 1887. 11. 1-12.

В такой постановке в начале двадцатого века задачу решил П. Пенлеве со своими учениками Б. Гамбье7 и Р. Гарнье8 : они нашли 50 канонических уравнений. Среди этих уравнений были выделены 6, получившие название уравнений Пенлеве. Для остальных 44 уравнений все решения либо выра жались через элементарные или известные тогда специальные функции, либо уравнения сводились к уравнениям Пенлеве.

Решения уравнений Пенлеве определяли новые функции, которые были названы трансцендентами Пенлеве. Отметим, что в форме, поставленной Фуксом и Пуанкаре, задача о поиске обыкновенных дифференциальных уравнений, все решения которых не имеют критических подвижных особых точек, на данный момент остаётся открытой.

В первые годы после обнаружения нового класса объектов были выделе ны случаи явной интегрируемости, найдены условия на параметры уравне ний, при которых уравнения имели частные решения в виде специальных функций. П. Бутру9 нашёл эллиптические асимптотики первого и второго трансцендентов Пенлеве.

Уравнения Пенлеве вновь привлекли внимание в конце 1970-х гг. в связи с исследованиями М. Абловица и Х. Сегура10, показавшими, что уравнения Пенлеве возникают как точные редукции нелинейных уравнений в частных производных.

В те же годы уравнения Пенлеве обнаружены как описывающие фи зические явления: к ним сводятся трёхмерное нелинейное уравнение Шрё дингера, уравнения Эрнста, Буссинеска, Кортевега-де-Фриза, Кадомцева Петвиашвили и другие. Также к ним сводятся sin-Гордон и эллиптическое sin-Гордон уравнения. Уравнения Пенлеве используются в статистической физике, дискретные уравнения Пенлеве в теории случайных матриц. Всё это объясняет актуальность изучения трансцендентов Пенлеве.

Результаты, касающиеся асимптотического поведения трансцендентов Пенлеве, получены Ф. В. Андреевым, А. П. Бассом, А. Д. Брюно, И. В. Го рючкиной, Д. Гузетти, М. Джимбо, Б. Дубровиным, А. Итсом, Н. Йо P. Painleve, Memoire sur les equations dierentielles dont l’integrale generale est uniforme //Bull. Soc.

Math. France. 1900. 28. 201-281.

B. Gambier, Sur les equations dierentielles du seconde ordre et du premier degre dont l’integrale generale est a points critiques xes // Acta Math. 1910.33.1-55.

R. Garnier, Sur des equations dierentielles du troisieme ordre dont l’integrale generale est uniforme et sur une classe d’equations nouvelles d’ordre superieur dont l’integrale generale a ses points critiques xes // Ann. Sci. de l’Ecole Normale Superieure. 1912. v. 29. p. 1-126, serie 3, 1917. v. 34. p. 239- P. Boutroux, Recherches sur les transcendantes de M.Painleve et l’etude asymptotique des equations dierentielle dusecond ordre// Ann. Sci. Ec. Norm. Super.

M. J. Ablowitz, H. Segur, Asymptotic solutions of the Kortweg de Vries equation // Stud. Appl. Math., v. 57, №1, p. 13-44.

ши, А. Капаевым, К. Краскалом, А. Китаевым, П. А. Кларксоном, К. Ло, М. Мазокко, Дж. Мак Леодом, С. П. Новиковым, В. Новокшёновым, В. Су леймановым, Ш. Тэнгом и другими11.

Цель работы.

Целью настоящей диссертации является отыскание и исследование асимптотических разложений и асимтотик пятого трансцендента Пенлеве в окрестности точек расширенной комплексной плоскости.

Методы исследования.

В работе применяются методы аналитической теории дифферениальных уравнений, методы двумерной и трёхмерной степенной геометрии, методы теории расходящихся рядов.

Научная новизна работы.

В диссертации получены следующие новые результаты:

- найдены асимптотические разложения решений пятого уравнения Пе нлеве в окрестности нуля;

- найдены все асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности неособых точек уравнения, доказана сходи мость разложений;

- получены и изучены асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности бесконечности;

они являются расхо дящимися рядами по целым и полуцелым степеням независимой пере менной;

доказана их суммируемость по Жевре порядка 1;

вычислены экспоненциально малые добавки к расходящимся рядам;

- найдены периодические и эллиптические асимптотики решений вспо могательных к пятому уравнению Пенлеве уравнений в окрестности бесконечности.

Подробная библиография, относящаяся к истории изучения уравнений Пенлеве, имеется в книге А. Р. Итса, А. А. Капаева, В. Ю. Новокшенова, А. С. Фокаса. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана // М., Ижевск, Регулярная и хаотическая динамика, 2005.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами по уравнениям Пенлеве.

Апробация работы.

Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих науч ных семинарах:

1. семинар Качественная теория дифференциальных уравнений ка федры дифференциальных уравнений механико-математического фа культета МГУ под рук. проф. И. В. Асташовой, проф. А. В. Боровских, проф. Н. Х. Розова, проф. И. Н. Сергеева (2012);

2. семинар по аналитической теории дифференциальных уравнений МИАН им. В. А. Стеклова под рук. академика Д. В. Аносова (2012);

3. семинар Математическая физика ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под рук. проф. В. В. Веденяпина, проф. В. А. Дородницина, проф.

М. В. Масленникова, проф. Ю. Н. Орлова (2012);

4. семинар Асимптотические методы математической физики и ме ханики лаборатории механики природных катастроф ИПМех им.

А. Ю. Ишлинского РАН под рук. академика В. П. Маслова, проф.

С. Ю. Доброхотова (2012).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

1. Международная конференция Ломоноcов -2009 (г. Москва, 2009);

2. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2010);

3. Пятые Богдановские чтения по дифференциальным уравнениям (г. Минск, 2010);

4. Международная конференция Тараповские чтения-2011 (г. Харь ков, 2011);

5. Международная конференция Дифференциальные уравнения и смежные вопросы, посвящённая памяти И.Г. Петровского (г. Москва, 2011);

6. Международная конференция Уравнения Пенлеве и смежные вопро сы (г. Санкт-Петербург, 2011);

7. Международная конференция Формальные и аналитические реше ния дифференциальных уравнений (г. Познань, Бедлево, Польша, 2011);

8. Международная конференция Дифференциальные уравнения и оп тимальное управление, посвященная 90-летию со дня рождения ака демика Е. Ф. Мищенко (г. Москва, 2012);

9. Международный коллоквиум Дифференциальные и разностные уравнения в комплексной области (г. Варшава, Польша, 2012);

10. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2012);

Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведён в конце автореферата [1] – [5], а также в сборниках тезисов пере численных выше конференций.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Все три главы разделены на параграфы, каждая из глав состоит из четырёх па раграфов. В списке литературы 35 наименований. Объем диссертации 96 страниц. В работе имеется 25 поясняющих иллюстраций.

Содержание диссертации.

Диссертация посвящена изучению актуальных вопросов аналитической теории дифференциальных уравнений, а именно, вычислению и анализу асимптотических разложений и асимптотик решений пятого уравнения Пе нлеве.

В диссертации рассматривается пятое уравнение Пенлеве, которое имеет вид:

(w 1) 1 1 w w w(w + 1) (w ) w= + + w + + +, z 2w w 1 w z w z где,,, комплексные параметры. Уравнение имеет две особые точ ки: ноль и бесконечность. Методами степенной геометрии отыскивают ся асимптотические разложения его решений в окрестности его особых и неособых точек.

Введение содержит описание проблематики, в нём сформулированы полученные в диссертации результаты.

Первые два параграфа первой главы вводные. В § 1.1 приво дятся основные определения и понятия двумерной степенной геометрии.

В § 1.2 описан класс разложений, в котором мы ищем решения уравнене ния. При z 0 и при z отыскиваются разложения вида w = cr (z)z r + cs (z)z s, (2) sK где cr (z), cs (z), r, s C. Множество K лежит в полуплоскости Re (sr) для разложений при z 0 и в полуплоскости Re (sr) 0 для разложений при z ;

оно является “положительной“ частью некоторой дискретной решётки в C.

Различаем четыре типа разложений (2):

1) cr (z) и cs (z) – постоянные (степенные разложения);

2) cr (z) – постоянный коэффициент, cs (z) – многочлены от ln z (степенно-логарифмические разложения);

3) cr (z) и cs (z) – ряды по убывающим степеням ln z (сложные разложе ния, в литературе их также называют пси-рядами);

4) r, s R, cr (z) и cs (z) – ряды по степеням z i, i2 = 1;

показатели степени z i в каждом из коэффициентов cr (z), cs (z) ограничены либо сверху, либо снизу (экзотические разложения);

если в каждой из сумм конечное число слагаемых, то разложения называем полуэкзотическими.

5) Также ищем экспоненциальные разложения решений bk (z)C k exp(k(z)), w= k= где bk (z), (z) степенные разложения с рациональными показателями Z степени (т. е. для них множество K, m N).

m В третьем параграфе первой главы методы, описанные в § 1.1 и § 1.2, применяются для отыскания асимптотических разложений решений при z 0. Результаты, полученные в параграфе, сформулированы в виде теоремы.

Теорема 10. В окрестности точки z = 0 пятое уравнение Пенлеве имеет следующие семейства асимптотических разложений решений:

При = 0, / 2 Z iR однопараметрическое семейство сте / пенных разложений cs, z s+a, H1 : w = 1 z + s=1 =0, s+ = где a = sgn Re(/ 2)(/ 2), c1,1 произвольная постоянная, остальные коэффициенты cs, зависят от c1,1.

При = 0, / 2 Z серия однопараметрических семейств сте пенно-логарифмических разложений cs (z)z s, H2 : w = 1 z + s= где a = |/ 2| N, cs, 1 s a, постоянные, cs (z), ca+1 много член от логарифма, который содержит одну произвольную постоянную, cs, s a + 2 многочлены от ln z с однозначно определёнными коэффи циентами (зависящими от произвольной постоянной, входящей в ca+1 ).

При = 0, 2 / R+ два однопараметрических семейства экзоти ческих разложений : w = 1 + ( + Cz i a )z + s ds, m z i m a, = ±1, H1 z s=2 m= где a = |/ 2|, C произвольная постоянная, а остальные cd, m однозначно определенные постоянные.

При = 0 однопараметрическое семейство сложных разложений C0 2 + s, 3 (z)z s, H3 : w = 1 + ln z + C0 ln z z+ 2 2 s= где s, 3 (z) ряды по убывающим степеням ln z с однозначно опеределён ными комплексными коэффициентами.

При || + || = 0 двухпараметрическое семейство полуэкзотических разложений s+ 2 2r2 i r ir s cs, m z i(ms)r, H4 : w = 1 + Cz 2 + z z+ z 4Cr r s=2 m= гдe r R \ {0}, C C произвольные постоянные.

При = 0, = 0 два однопараметрических семейства сложных разложений (1) j s, j (z)z s, j = 5, 6, Hj 2 ln z + C0 )z + : w = 1 + ((1) s= где s, j (z) ряды по убывающим степеням ln z с однозначно определён ными комплексными коэффициентами (семейства H5 и H6 переходят друг в друга при смене ветви корня).

Семейство разложений H1 имеется в книге В. И. Громака, И. Лэйне, С. Шимомуры12, семейство H2 указано в работе А. Д. Брюно и Е. С. Карулиной13. Из найденных в диссертации разложений новыми яв ляются 3 семейства сложных разложений, 2 семейства экзотических и се мейство полуэкзотических разложений.

В четвёртом параграфе первой главы получены 20 семейств раз ложений решений пятого уравнения Пенлеве: 9 степенных, 2 степенно логарифмических, 3 сложных, 6 экзотических. Эти семейства аналогич ны имеющимся в работе А. Д. Брюно и И. В. Горючкиной14 разложениям решений шестого уравнения Пенлеве.

Во второй главе найдены все асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности его неособой точки z0, z0 = 0,, и получена Теорема 13. В окрестности неособой точки z0 при всех значениях параметров получены все разложения решений пятого уравнение Пенле ве. Они образуют 10 семейств. Разложения трёх семейств это ряды Лорана с конечной главной частью (сходятся в проколотой окрестности неособой точки), остальные ряды Тейлора (сходятся в окрестности особой точки).

Ранее не было известно полученное для = 0, = 0 семейство разло жений cs,8 (z z0 )s, O8 : w = 1 (z z0 ) + 2z0 s= V. I. Gromak, I. Laine, S. Shimomoura, Painleve Dierential Equations in the Complex Plane// Walter de Gruter. Berlin, New York, 2002. 303 p.

А. Д. Брюно, Е. С. Карулина. Разложения решений пятого уравнения Пенлеве // ДАН 2004 395, № 4, с. 439-444.

А. Д. Брюно, И. В. Горючкина. Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве.

Труды ММО, т. 71, 2010 г.

где c3,8 = 0, c4,8 произвольная постоянная, остальные коэффициенты постоянны и однозначно определены.

В третьей главе отыскиваются и исследуются асимптотические раз ложения и асимптотики решений пятого уравнения Пенлеве вблизи беско нечности.

В первом параграфе третьей главы методами двумерной степенной геометрии найдены асимптотические разложения решений пятого уравне ния Пенлеве при z пяти типов, описанных во втором параграфе первой главы;

получена Теорема 14. При z существуют следующие однопараметриче ские семейства экспоненциальных асимптотических разложений реше ний пятого уравнения Пенлеве, имеющие вид bk (z)C k exp(k(z)).

w = b0 (z) + C exp((z)) + k= При = 0:

1) четыре семейства разложений Dl,m (l, m = 1, 2), где 1 2 1 cs,l l + (1)l b0,l (z) = (1) + +, (3) z2 zs z 2 s= ds,l,m (z)) = Cz l,m exp{(1)m 2z + }, exp(l,m zs s= m+ (1) l,m = 1 + (1)m+l 2 2 + ;

2) два семейства разложений Em (m = 1, 2), где 2 cs b0 (z) = 1 + +, (4) zs z s= C ds,m exp(m (z)) = exp{(1)m };

z+ zs z s= 3) четыре семейства разложений Fl,m (l, m = 1, 2), где cs,l l z + 2 + (1)l b0,l (z) = (1) +, (5) zs 2 s= ds,l,m exp(l,m (z)) = Cz l,m exp{(1)m 2z + }, zs s= 2 = 1 + (1)l+m 2 2 + (1)m ;

l,m При = 0, = 0:

1) четыре семейства разложений Dl,m (l = 3, 4, m = 1, 2), где 1 cs,l l + b0,l (z) = (1) +, (6) z s/ z z s= ds,l,m exp(l,m (z)) = Cz l,m exp{(1)m 2 2z + }, z s/ s= l,m = + (1)l+m+1 ;

2 2) четыре семейства разложений Fl,m (l = 3, 4, m = 1, 2), где cs,l l b0,l (z) = (1) z+1+, (7) z s/ s= ds,l,m exp(l,m (z)) = Cz l,m exp{(1)l 2 2z + }, z s/ s= 1 + (1)l+m+ l,m =.

2 ”Экспоненциальные добавки“ exp l, m (z) для разложений Dl,m, Fl,m (l, m = 1, 2) экспоненциально малы в полуплоскостях (1)m Re( z) 0, для разложений Em (m = 1, 2) в полуплоскостях (1)m Re z 0, для разложений Dl,m (l = 3, 4, m = 1, 2) в областях (1)m Re( z) 0, для разложений Fl,m (l = 3, 4, m = 1, 2) в областях (1)m Re( z) 0.

Также получена Теорема 15. В случае = 0, = 0 имеются два однопараметрических семейства экспоненциальных разложений Gm (m = 1, 2) вида bk,m (z)C k exp(k(z)), wm = C exp(m (z)) + (8) k= где bk,m (z) степенные ряды, (1)m 1 2 exp{(1)m 2z + ds,m z s }, exp(m (z)) = z s= определены в области (1)m Re( z) 0.

В случае = 0, = 0 два однопараметрических семейства экспо ненциальных разложений Gm (m = 3, 4) вида (8), где ds,m z s/2 }, m zexp{(1) 2 2z + exp(m (z)) = s= определены в области (1)m Re( 2z) 0.

В случае = 0 при = 0 имеются два семейства экспоненциальных разложений G5, G6, а при = 0, = 0 ещё два семейства экспоненци альных разложений G7, G8. Разложения могут быть получены из упомя нутых выше G1, G2 и G3, G4 при = 0 с помощью преобразования 1 (w,,,, ) = (z,,,,, ). (9) w Во втором параграфе третьей главы исследуется суммируемость по Жевре рядов (3) (7).

Пусть R (1, 2 ) открытый сектор с вершиной в бесконечности на рас ширенной комплексной плоскости или римановой поверхности логарифма, т. е.

R (1, 2 ) = {z : |z| R, Arg z (1, 2 )}.

ak z k w голоморфная на R (1, 2 ) функция и w = некоторый k= формальный ряд, принадлежащий C[[1/z]]. Говорят, что w асимптоти чески приближается рядом w на R (1, 2 ), если для точек z любого замкнутого подсектора Y из R (1, 2 ) и любого n N существуют по стоянные MY,n 0:

n ap z p | MY,n.

n |z ||w(z) p= Если существуют постоянные AY, C такие, что MY,n = C(n!)1/k An, то гово Y рят, что w асимптотически приближается по Жевре порядка 1/k рядом w на R (1, 2 ).

В § 3.2 получена теорема, которая позволяет говорить о точности при ближения решений пятого уравнения Пенлеве экспоненциальными разло жениями.

Теорема 18. Типы Жевре рядов (4), (5) и регулярной части ряда (3) равны единице. Ряды (6), (7), рассмотренные как ряды по переменной z, также имеют тип Жевре, равный единице.

Утверждение 3.1. Существуют k 1 и R0 R+ такие, что для любого открытого сектора R (1, 2 ), R R0, 2 1 /k су ществует решение пятого уравнения Пенлеве, асимптотически прибли жаемое рядом (5) по Жевре порядка 1. Для ряда (4) и регулярной части ряда (3) постоянные R0 и k свои.

Существуют k 2 и R0 R+ такие, что для любой области {z : | z| R R0, Arg z (1, 2 )}, 2 1 /k 2 на римано вой поверхности z существует решение пятого уравнения Пенлеве (с параметром = 0), асимптотически приближаемое рядом (6) по Жевре порядка 1. Такое же утверждение верно и для ряда (7) (со своими посто янными R0 и k ).

В третьем параграфе третьей главы описаны методы трёхмерной степенной геометрии.

В четвёртом параграфе эти методы применяются к пятому урав нению Пенлеве: в окрестности бесконечности отыскиваются асимптотики решений вспомогательных к пятому уравнению Пенлеве уравнений. Ищем асимптотики вида w = z a (z b ), где a и b = const R, b 0. Если (u) комплексно-периодическая функция (однопериодическая), будем называть асимптотику периодической;

если (u) эллиптическая функция, будем называть асимптотику эллиптической.

Основным результатом § 3.4 является Теорема 20. Асимптотики решений вспомогательных к пятому урав нению Пенлеве уравнений при z образуют следующие семейства:

два двухпараметрических семейства эллиптических асимптотик 2 2 3 Ell1 : w = C 4C +1, C +8C 2 (2C 1) + z +C0 ;

C 3 2C +, C = 1/4;

3C 16 2 Ell2 : w = (C C + 1), z + C0 ;

2C 32 3 2C (C 1) (4C 1)(5C 2) +, C = 1;

27 3C функция Вейерштрасса, C = 0, C0 C где (z;

g1, g2 ) произвольные постоянные, четыре однопараметрических семейства периодических асимптотик C C 1 2z 2z T1 : w = z (C+ e ), где C+ C =, + C e 16 2 C C 1/2 8z 8z T3 : w = z ), где C+ C = (C+ e + C e +, 16 2 семейства T2, T4, получаемые из T1, T3 при помощи замены (9).

Семейства T1, T2, Ell1 существуют при = 0, а семейства T3, T4, Ell при = 0, = 0.

В заключение автор благодарит своего научного руководителя профес сора Александра Дмитриевича Брюно за постановку задачи, внимание к ее решению и плодотворные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации.

1. А. Д. Брюно, А. В. Парусникова, Локальные разложения решений пя того уравнения Пенлеве //ДАН, 2011, т. 438, №4, с. 439-443.

2. А. Д. Брюно, А. В. Парусникова, Разложения решений пятого уравне ния Пенлеве в окрестности его неособой точки // ДАН, 2012, т. 442, №5, с. 583-588.

3. A. V. Parusnikova, Asymptotic expansions of solutions to the fth Painlev e equation // Painlev Equations and Related Topics (Eds. A. D. Bruno, e A. B. Batkhin), De Gruyter, Berlin/Boston, 2012, p. 33-38.

4. A. D. Bruno, A. V. Parusnikova, Elliptic and periodic asymptotic forms of solutions to P5 // Painlev Equations and Related Topics (Eds.

e A. D. Bruno, A. B. Batkhin), De Gruyter, Berlin/Boston, 2012, p. 53-65.

5. А. Д. Брюно, А. В. Парусникова, Разложения и асимптотики ре шений пятого уравнения Пенлеве вблизи бесконечности. Препринт № 61. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012, с. 1-32.

В совместных работах [1, 2, 4, 5] А. Д. Брюно принадлежит выбор на правлений научных исследований и общее научное руководство, а все до казательства теорем и основных результатов сделаны А. В. Парусниковой.