Александр владимирович многомерные когерентные меры риска и их применение к решению задач финансовой математики

На правах рукописи

УДК 519.21 Куликов Александр Владимирович МНОГОМЕРНЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ МЕРЫ РИСКА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ 01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2009

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей Механико математического факультета Московского Государственного Универ ситета им. М.В. Ломоносова.

Научный консультант: член-корреспондент РАН, профессор, доктор физико-математических наук Ширяев Альберт Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Богачев Владимир Игоревич, МГУ имени М. В. Ломоносова, доктор физико-математических наук, профессор Павлов Игорь Викторович, Ростовский государственный строительный университет

Ведущая организация: Ульяновский государственный университет

Защита диссертации состоится 13 марта 2009 года в 16 часов 45 ми нут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 12 февраля 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И.Н. Сергеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одной из наиболее важных задач финансовой математики является задача измерения риска. В работе 1 Ф. Артцнера, Ф. Делбаена, Ж. М. Эбера и М. Хиса было введено понятие когерентной меры риска.

Отметим, что необходимость рассмотрения нового класса мер риска была вызвана, в частности, наличием недостатков у меры V@R (Value at Risk, "стоимость под риском"), очень широко используемой на прак тике.

В настоящее время теория когерентных мер риска активно развива ется. Достаточно упомянуть работы 2,3,4,5,6,7, а также обзоры 8,9. Наря ду с когерентными мерами риска был рассмотрен более общий случай выпуклых мер риска 5,10,11. Во всех перечисленных работах рассмат риваются одномерные меры риска, т. е. измеряется риск одномерных случайных величин, имеющих смысл стоимости портфелей, выражен ной в единицах некоторой базовой валюты. Такой подход оправдан в том случае, когда имеется базовая валюта, или в том случае, когда в ко нечный момент времени все финансовые позиции ликвидируются, т. е.

Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Thinking coherently. Risk, 10 (1997), No. 11, p. 68– 71.

Черный А. С. Нахождение справедливой цены на основе когерентных мер риска. Теория вероятностей и ее применения, 52 (2007), в. 3, с. 506–540.

Acerbi C. Spectral measures of risk: a coherent representation of subjective risk aversion. Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No. 7, p. 1505–1518.

Acerbi C., Tasche D. On the coherence of expected shortfall. Journal of Banking and Finance, (2002), No. 7, p. 1487–1503.

Burgert C., Rschendorf L. Consistent risk measures for portfolio vectors. Insurance: Mathematics u and Economics, 38 (2006), No. 2, p. 289–297.

Delbaen F. Coherent risk measures on general probability spaces. In: K. Sandmann, P. Schnbucher o (Eds.). Advances in nance and stochastics. Essays in honor of Dieter Sondermann. Springer, 2002, p. 1–37.

Fllmer H., Schied A. Robust preferences and convex measures of risk. In: K. Sandmann, o P. Schnbucher (Eds.). Advances in nance and stochastics. Essays in honor of Dieter Sondermann.

o Springer, 2002, p. 39–56.

Fllmer H., Schied A. Stochastic nance. An introduction in discrete time. 2nd Ed., Walter de o Gruyter, 2004. Chapter Schied A. Risk measures and robust optimization problems. Stochastic Models, 22 (2006), No. 4, p. 753–831.

Fllmer H., Schied A. Convex measures of risk and trading constraints. Finance and Stochastics, o 6 (2002), No. 4, p. 429–447.

Frittelli M., Rosazza Gianin E. Putting order in risk measures. Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No. 7, p. 1473–1486.

превращаются в некоторое количество единиц базового актива.

Однако подход с использованием одномерных когерентных и выпук лых мер риска неудобен, например, при описании портфеля, состоящего из нескольких валют, когда нет единой ”канонической” валюты, к кото рой должен приводиться портфель. В этом случае гораздо естественнее пользоваться подходом, предложенным Ю. М. Кабановым 12 (см. так же работу 13 ), при котором портфель описывается не как число, а как вектор, i -я компонента которого имеет смысл количества в портфеле активов i -го типа.

Если описывать портфели как векторы, то возникает необходимость рассмотрения многомерных мер риска. Понятие многомерной коге рентной меры риска было введено в работе Э. Жуини, М. Меддеба, Н. Тузи 14 (см. также работы 15,16 ). Их подход нацелен на то, чтобы учесть операционные издержки при обмене одной валюты на другую.

Однако в их модели операционные издержки являются неслучайными.

Таким образом, не учитывается риск, связанный с изменением обмен ных курсов, являющийся на сегодняшний день одним из важнейших финансовых рисков. Многомерные когерентные и выпуклые меры рис ка, учитывающие этот вид риска, вводятся в настоящей диссертации.

В работе 17 Ф. Артцнер, Ф. Делбаен, Ж.-М. Эбер и М. Хис доказали базовую теорему о представлении когерентных мер риска (теорема о представлении выпуклых мер риска была доказана в работах 10,11 ). В диссертации рассмотрены аналогичные представления в многомерном случае. Отметим, что эти теоремы доказаны для случая ограниченных случайных величин.

Поскольку во многих моделях, рассматриваемых в финансовой мате Kabanov Yu. M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets. Finance and Stochastics, 3 (1999), No. 2, p. 237–248.

Kabanov Yu. M, Stricker C. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs.

Journal of Mathematical Economics, 35 (2001), No. 2, p. 185–196.

Jouini E., Meddeb M., Touzi N. Vector-valued coherent risk measures. Finance and Stochastics, 8 (2004), No. 4, p. 531–552.

Cascos I., Molchanov I. Multivariate Risks and Depth-Trimmed Regions. Finance and Stochastics, 11 (2007), No. 3 p. 373–397.

Hamel A. H., Heyde F., Hohne M. Set-valued Measures of Risk. Preprint No. 15-2007, Halle:

Martin-Luther-Universitt Halle-Wittenberg, Institut fr Matematik, 2007. To appear in Finance and a u Stochastics Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9 (1999), No. 3, p. 203–228.

матике, активы не являются ограниченными случайными величинами, то следует расширить класс случайных величин, для которых приме нима теория когерентных и выпуклых мер риска. А именно, используя полученные представления, можно продолжить когерентные (выпук лые) меры риска на пространство L0 всех случайных величин.

Теперь рассмотрим применение мер риска к задачам финансовой математики. При этом когерентные меры риска, определенные на L0, оказываются более удобными, чем выпуклые.

Одной из таких задач является задача распределения капитала меж ду несколькими частями портфеля (например, распределение риска портфеля большой фирмы между различными отделами этой фир мы). В одномерном случае эта задача была введена в работе 18. Во просы, связанные с распределением капитала, также рассматривались в работах 19,20,21.

В работе 2 доказана теорема, которая дает геометрическое и вероят ностное решения задачи распределения риска, используя понятие экс тремальной меры.

Задача распределения риска тесно связана с проблемой определе ния риск-вклада, рассмотренной в работах 2,18. Два первых применения многомерных когерентных мер риска решение задачи распределения капитала и задача определения риск-вклада в многомерном случае завершают первую главу диссертации.

Глава 2 посвящена задаче нахождения справедливых цен платеж ных поручений. Основным результатом в этой области является фун даментальная теорема теории арбитража. В одномерном случае было введено условие отсутствия арбитража (NA) и доказана соответству Delbaen F. Coherent monetary utility functions. Препринт, доступен на сайте http://www.math.ethz.ch/delbaen под названием “Pisa lecture notes”, 38 p.

Denault M. Coherent allocation of risk capital. Journal of Risk, 4 (2001), No. 1, p. 1–34.

Fischer T. Risk capital allocation by coherent risk measures based on one-sided moments.

Insurance: Mathematics and Economics, 32 (2003), No. 1, p. 135–146.

Kalkbrenner M. An axiomatic approach to capital allocation. Mathematical Finance, 15 (2005), No. 3, p. 425–437.

ющая теорема (см. работы 22,23,24 ). В случае рынка валют с операци онными издержками Ю. М. Кабановым был предложен многомерный NA-подход 12 (см. также работы 13,25,26,27 ).

В то же время, интервал NA-справедливых цен является обычно слишком широким в неполных моделях, поэтому появились новые под ходы к ценообразованию, ставящие своей целью добиться сужения гра ниц. Новый подход к ценообразованию (NGD (No Good Deals, отсут ствие ”хороших сделок”)) был рассмотрен в работах 28,29. Поясним идею этого подхода. Рассмотрим платежное поручение, которое с вероятно стью 1/2 ничего не приносит своему владельцу, а с вероятностью 1/ приносит 1000 рублей. Тогда интервал NA-справедливых цен для дан ного платежного поручения будет (0, 1000). Но если, например, це на такого платежного поручения будет 15 рублей, то каждый будет стремиться купить такое платежное поручение, и никто не будет стре миться его продать. Таким образом, 15 рублей будет нереалистичной ценой для данного платежного поручения, и покупка этого платежного поручения будет являться ”хорошей сделкой” для всех участников рын ка. Техника NGD основана на том факте, что ”хороших сделок” нет. В работах 2,18 было рассмотрено условие NGD, основанное на одномерных когерентных мерах риска.

Целью главы 2 является введение условия NGD и вычисление NGD справедливых цен в многомерном случае. В качестве примера примене ния этой техники рассмотрена динамическая модель обменных курсов и проведено сравнение полученных результатов с результатами, полу Dalang R. C., Morton A., Wilinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models. Stochastics and Stochastic Reports, 29 (1990), No. 2, p. 185–201.

Harrison J. M., Pliska S. R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. Stochastic Processes and Their Applications, 11 (1981), No. 3, p. 215–260.

Kabanov Yu. M., Stricker Ch. A teachers’ note on no-arbitrage criteria. Lectures Notes in Mathematics, 1755 (2001), p. 149–152.

Kabanov Yu. M., Rasonyi M., Stricker Ch. No-arbitrage criteria for nancial markets with ecient friction. Finance and Stochastics, 6 (2002), No. 3, p. 403–411.

Kabanov Yu. M, Rasonyi M., Stricker Ch. On the closedness of sums of cones in L0 and the robust no-arbitrage property. Finance and Stochastics, 6 (2003), No. 3, p. 371–382.

Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in nite discrete time. Mathematical Finance, 14 (2004), No. 1, p. 19–48.

Bernardo A., Ledoit O. Gain, loss, and asset pricing. Journal of Political Economy, 108 (2000), No. 1, p.144–172.

Cochrane J. H., Sa-Requejo J. Beyond arbitrage: good-deal asset price bounds in incomplete a markets. Journal of Political Economy, 108 (2000), No. 1, p. 79–119.

ченными при использовании многомерного NA-подхода.

Помимо самого ценообразования другими важными вопросами явля ются вопросы определения верхних и нижних справедливых цен, суб и суперхеджирующих стратегий и доказательства теорем об их нахож дении, многомерные аналоги которых рассматриваются в главе 2.

Глава 3 посвящена многомерным аналогам широко распространен ных мер риска. В работе 1 был введен первый пример одномерной когерентной меры риска (худшее условное математическое ожидание (WCE)). Эта мера риска является первым когерентным аналогом V@R.

В работе 17 был введен хвостовой V@R (называемый еще средним V@R или ожидаемым убытком). Эта когерентная мера риска совпадает с WCE при выполнении некоторых простых условий. Важность хвосто вого V@R видна из результата С. Кусуоки 30, который доказал, что хвостовой V@R является наименьшей инвариантной по распределению когерентной мерой риска, доминирующей V@R.

Описывая портфель как вектор и используя многомерные меры рис ка, в диссертации рассматриваются различные многомерные аналоги V@R, хвостового V@R и более общей меры взвешенного V@R.

Два многомерных аналога V@R (сильный и слабый V@R) были вве дены в работе 31, а также рассматривалась в работе 16. Сильный V@R (соответственно, слабый V@R) считает безрисковыми портфели, кото рые не могут быть переведены с вероятностью меньше чем в ну левой портфель (соответственно, не могут быть получены из нулевого портфеля). Заметим, что приведенные выше многомерные аналоги сов падают с V@R в одномерном случае (на рынке только одна валюта).

Следовательно, они не удовлетворяют свойству диверсификации, т. е.

не являются многомерными когерентными мерами риска.

Многомерный аналог WCE был введен в работе 14. Один из много мерных аналогов хвостового V@R был введен в работе 16 посредством множественно-значного математического ожидания и назван средним V@R.

Kusuoka S. On law invariant coherent risk measures. Advances in Mathematical Economics, (2001), p. 83–95.

Embrechts P., Puccetti G. Bounds for functions of multivariate risk. Journal of Multivariate Analysis, 97 (2006), No. 2, p. 526–547.

Однако даже в одномерном случае хвостовой V@R имеет ряд недостатков 32. Например, он зависит только от ”хвоста” распределе ния. Чтобы устранить этот недостаток, С. Кусуокой в работе 30 был введен взвешенный V@R.

Одним из наиболее важных классов когерентных мер риска в од номерном случае является класс мер, инвариантных по распреде Law лению, т. е. если X = Y, то (X) = (Y ). В одномерном случае базовыми элементами этого класса являются хвостовой V@R и взве шенный V@R. Точное представление инвариантных по распределению когерентных мер риска было установлено С. Кусуокой 30 и обобщено на случай выпуклых мер риска в работе 33 и независимо в работе 34.

Глава 3 посвящена изучению свойств уже упомянутых мер, а так же мер, вводимых в диссертации. Также мы рассматриваем свойства инвариантности по распределению и согласованности с пространством, определение которых для многомерного случая вводятся в настоящей диссертации.

Цель работы.

Целью настоящей работы является определение когерентных и вы пуклых мер риска в многомерном случае, нахождение представления этих мер риска, а также их применение к решению задач распределе ния капитала и определения риск-вклада. Целью работы также являет ся рассмотрение многомерного аналога условия NGD (No Good Deals, отсутствие ”хороших сделок”), введение хвостового и взвешенного V@R, а также условий инвариантности по распределению и согласованности с пространством в многомерном случае.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Введена аксиоматизация многомерных когерентных (выпуклых) мер риска и показана их связь с одномерными когерентными (вы Cherny A. S. Weighted V@R and its properties. Finance and Stochastics, 10 (2006), No. 2, p.

367–393.

Kunze M. Verteiligungsinvariante konvexe Risikomae. Diplomarbeit. Humbolt Universitt. a Berlin, 2003.

Frittelli M., Rosazza Gianin E. Dynamic convex risk measures. In G. Szeg (Ed.). Risk measures o for the 21-st century. Wiley, 2001.

пуклыми) мерами риска. Доказана теорема о представлении мно гомерных когерентных (выпуклых) мер риска и введены понятия определяющего множества и штрафной функции в многомерном случае. Введено понятие экстремального элемента и рассмотрены его применения к решению некоторых задач финансовой матема тики: распределению капитала и определению риск-вклада в мно гомерном случае.

2. Дано определение условия NGD в многомерном случае, а также доказана теорема о нахождении NGD-справедливых цен. Примене на техника NGD в случае динамической модели обменных курсов.

Введены понятия верхних и нижних цен вдоль направления, до казана теорема об их нахождении и приведен пример нахождения справедливых обменных курсов в модели с двумя валютами.

3. Введено понятие многомерного хвостового и взвешенного V@R.

Введены и рассмотрены свойства инвариантности по распределе нию и согласованности с пространством в многомерном случае.

Проведена проверка выполнения этих свойств для различных мно гомерных обобщений хвостового V@R.

Методы исследования.

В доказательстве утверждений диссертации применены методы сто хастического анализа: теория мартингалов, теория измеримого выбора и др., а также элементы функционального анализа: теоремы об отде лимости, теория слабой топологии.

Теоретическая и практическая значимость.

Задачи диссертации относятся к финансовой математике. В то же время, полученные утверждения относятся и к области стохастического анализа.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть по лезны при изучении вопросов, связанных с определением риска порт феля на валютном рынке, сужением интервалов справедливых цен для платежных поручений на рынке валют в моделях непрерывного време ни, а также в моделях с операционными издержками. Кроме того, ре зультаты могут быть применены при решении вопросов оптимального распределения портфеля компании и определения риск-вклада отдела компании в случае мультивалютного рынка.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих се минарах.

1. Научно-исследовательский семинар “Случайные процессы и сто хастический анализ” кафедры теории вероятностей механико математического факультета МГУ под руководством А. Н. Ширя ева. МГУ, 2006–2008 гг. (неоднократно).

2. Большой Семинар кафедры теории вероятностей механико-мате матического факультета МГУ под руководством А. Н. Ширяева.

МГУ, октябрь 2008 г.

3. Семинар ”Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании” ЦЭМИ РАН под руководством В. А. Аркина и Э. Л. Пресмана. г. Москва, ЦЭМИ РАН, декабрь 2008 г.

Также результаты докладывались на следующих конференциях.

1. XIV Международная научная конференция студентов, аспиран тов и молодых ученых ”Ломоносов”. Название доклада: ”Опреде ление и теоремы представления многомерных когерентных и вы пуклых мер риска.” МГУ, апрель 2007 г.

2. Workshop and Mid-Term Conference on Advanced Mathematical Methods for Finance. Название доклада: ”Multidimensional Coherent and Convex Risk Measures.” Австрия, г. Вена, сентябрь 2007 г.

3. XV Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим мето дам. Название доклада: ”Согласованность с пространством, инва риантность по распределению многомерных мер риска и многомер ные аналоги хвостового V@R.” г. Волжский, октябрь 2008 г.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 2 работах, список которых приводится в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем рабо ты составляет 139 страниц. Список литературы включает 69 наиме нований. Собственные результаты автора и в тексте диссертации, и в автореферате называются ”теоремами”. Цитируемые утверждения на зываются ”предложениями”.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Глава 1 посвящена введению многомерных когерентных и выпук лых мер риска.

Наш подход аналогичен подходу 14, однако, в отличие от этой рабо ты, матрица обменных курсов считается случайной. Также рассмат риваются и многомерные выпуклые меры риска. Пусть (, F, P) вероятностное пространство, K : K измеримое отображе ние, где K множество непустых замкнутых конусов C таких, что C = R, C + Rd = C. С финансовой точки зрения, K d конус об менных курсов в момент времени 1 для d различных валют (т. е.

K() множество портфелей, которые мы можем получить в мо мент времени 1 из нулевого при элементарном исходе ). Пусть C множество непустых выпуклых замкнутых множеств на Rd, векторы X = (X 1,..., X d ) (L )d имеют смысл портфелей в момент време ни 1, т. е. X i количество единиц i -й валюты в портфеле в момент времени 1. Зададим частичное отношение порядка на множестве порт фелей по формуле: X Y, если X() Y () K() для п.в..

Введем следующее определение.

Определение 1 (i) Многомерная когерентная функция полезно функция u : (L )d C \ {Rd }, удовлетворяющая следующим сти аксиомам:

(a) (диверсификация) u(X + Y ) u(X) + u(Y ) ;

(b) (отношение частичного порядка) если X Y, то u(X) u(Y ) ;

(c) (положительная однородность) u(X) = u(X) 0 ;

(d) (инвариантность относительно сдвига) u(X + m) = u(X) + m для любого m Rd ;

P (e) (свойство Фату) если Xn c и Xn X, то u(X) limn u(Xn ), т. е. если x принадлежит бесконечно многим u(Xn ), то x принадлежит u(X).

(ii) Многомерная вогнутая функция полезности функция u :

d d (L ) C \ {R }, удовлетворяющая аксиомам (b), (d), (e) и аксиоме (a ) (вогнутость) u(X + (1 )Y ) u(X) + (1 )u(Y ) для любого [0, 1].

С финансовой точки зрения, u(X) множество неслучайных порт фелей, которые ”не лучше” портфеля X. Соответствующая многомер ная когерентная (соответственно, выпуклая) мера риска определяется как (X) = u(X). С финансовой точки зрения, (X) множество неслучайных портфелей x Rd, которые делают позицию X + x без рисковой.

Очевидно, что если u одномерная когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности, то отображение v(X) = (, u(X)] будет многомерной когерентной (соответственно, вогнутой) функцией полезности в смысле определения 1 с d = 1 и K() = R. Обрат но, если d = 1, K() = R и u когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности в смысле определения 1, то функция v(X) = sup{x R : x u(X)} является одномерной когерентной (со ответственно, вогнутой) функцией полезности. Таким образом, данное выше определение является многомерным обобщением одномерного.

В главе 1 доказаны теоремы о представлении для многомерных ко герентных и вогнутых функций полезности.

Теорема 2 (i) Функция u : (L )d C является многомерной когерентной функцией полезности тогда и только тогда, когда су ществует непустое множество D (L1 )d такое, что для любого Z D выполнено свойство Z() K () P -п.н. и d d d i i EX i Z i, u(X) = x R : Z D Ex Z (1) i=1 i= где K () отрицательная поляра к конусу K(), т. е. K () = {x Rd : z K() x, z 0}.

(ii) Функция u : (L )d C является многомерной вогнутой функ цией полезности тогда и только тогда, когда существуют непустое множество D (L1 )d такое, что для любого Z D выполнено свой ство Z() K () P -п.н., и функция : D R такие, что d d d i i EX i Z i + (Z).

u(X) = x R : Z D Ex Z (2) i=1 i= Поскольку во многих моделях, рассматриваемых в финансовой ма тематике, активы не являются ограниченными случайными векторами, то следует расширить класс случайных векторов, для которых приме нима теория когерентных и выпуклых мер риска. А именно, используя представления (1) и (2), аналогично работе 2 можно продолжить мно гомерные когерентные и вогнутые функции полезности на (L0 )d.

Видно, что множество D из представления (1) не единственно. Од нако существует наибольшее множество d d 1d i i EX i Z i для любых X (L0 )d, x u(X).

Z (L ) : Ex Z i=1 i= Также видно, что штрафная функция из представления (2) не един ственна. Однако существует наименьшая из них d E(X i Z i ), (Z) = sup XAu i= где Au = {X (L )d : u(X) 0}.

Определение 3 (i) Назовем наибольшее множество, для которого выполнено (1), определяющим множеством для когерентной функции полезности u.

(ii) Назовем минимальную функцию, для которой выполнено (2), минимальной штрафной функцией для вогнутой функции полезно сти u.

Важное замечание. Пусть D (L1 )d -замкнутый выпуклый конус.

Определим многомерную когерентную функцию полезности по форму ле (1). Тогда D будет определяющим множеством для u. Таким обра зом, если мы вводим многомерную когерентную функцию полезности посредством множества D, являющегося (L1 )d -замкнутым выпуклым конусом, то мы знаем определяющее множество этой многомерной ко герентной функции полезности.

Далее рассматривается применение мер риска к задачам финансо вой математики. При этом когерентные меры риска оказываются более удобными, чем выпуклые, поэтому будем иметь дело с многомерными когерентными функциями полезности, определенными на (L0 )d.

Для решения некоторых задач с помощью многомерных когерент ных функций полезности введем понятие экстремального элемента, ко торое в одномерном случае было рассмотрено в работе 2.

Определение 4 Пусть u многомерная когерентная функция по лезности с определяющим множеством D. Пусть X (L0 )d, x u(X), где u(X) граница множества u(X). Назовем ненулевой случайный вектор Z D экстремальным элементом для X в точке x для когерентной функции полезности u, если d d ii EZ i X i.

EZ x = i=1 i= Множество всех экстремальных элементов для X в точке x обозначим через XD (X, x).

Для следующей теоремы нам понадобится еще одно определение.

Определение 5 Пусть u многомерная когерентная функция по лезности на (L0 )d, D ее определяющее множество. Положим d 1d Zi = 1.

L= Z (L ) : E i= Тогда сильное L1 -пространство, ассоциированное с u, задается сле дующим образом:

d d L1 (D) 0d i i |X j | n = 0.

= X (L ) : lim sup E|Z X |I s n ZDL i=1 j= В диссертации доказана следующая теорема.

Теорема 6 Если DL слабо компактно, X L1 (D) и x u(X), s то XD (X, x) =.

Рассмотрим задачу распределения капитала в многомерном случае.

Пусть D L является слабо компактным, X1,..., Xn L1 (D), соот s ветствующая многомерная когерентная функция полезности u =.

С финансовой точки зрения, Xi прибыль i -го отдела фирмы за единичный период времени, выраженная портфелем валют. Обозначим через A внутренность множества A. Приводимое ниже определение является многомерным обобщением определения из работы 18.

Определение 7 Назовем x1,..., xn Rd распределением полезно сти между X1,..., Xn, если n n (i) i=1 xi u( i=1 Xi );

n / n hi Xi ).

(ii) для любых h1,... hn 0 верно, что i=1 hi xi u ( i= С финансовой точки зрения, xi вклад i -го отдела фирмы в по лезность суммарного капитала фирмы. С точки зрения риска, xi вклад i -го отдела фирмы в общий риск фирмы, или, другими словами, капитал, который должен быть выделен i -й компоненте фирмы. Тогда верна следующая теорема.

Теорема 8 (i) Пусть x0 u( n Xi ). Пусть z0 внешняя i= n нормаль к множеству u( i=1 Xi ) в точке x0. Тогда существует на бор (x1,..., xn ) такой, что выполнены следующие два условия:

n (a) i=1 xi = x0 ;

(b) существует Z XD ( n Xi, x0 ) такой, что i= d d xi Z i Xk Z i, k = 1,..., n, i E =E k (3) i=1 i= EZ = z0.

Любой набор такого вида является распределением полезности между X1,..., Xn.

(ii) Все решения задачи о распределении полезности между X1,..., Xn представляются в вышеуказанном виде (с некоторыми x0, z0 ).

Помимо вероятностного решения в диссертации также дано геомет рическое решение задачи распределения полезности (см. теорему 1.19).

Также в диссертации рассмотрена проблема определения риск вклада в многомерном случае с помощью когерентных мер риска.

Полученные результаты являются многомерными аналогами одномер ных результатов из работы 2. В виду громоздкости формулировок мы не цитируем этот результат в автореферате см. определение 1.23 и теорему 1.24 диссертации.

Глава 2 посвящена рассмотрению условия NGD и введению мно жества справедливых цен для платежных поручений в многомерном случае.

Пусть D определяющее множество многомерной когерентной функции полезности u такое, что D L слабо компактно. Пусть выпуклое замкнутое подмножество в (L0 )d. С финансовой точ A ки зрения, A множество дисконтированных прибылей, которые мо гут быть получены в данной модели с помощью различных стратегий, выраженных случайным портфелем валют. Это множество будет на зываться множеством достижимых прибылей. Введем понятие риск нейтрального вектора.

Определение 9 Назовем риск-нейтральным вектором ненулевой вектор Z (L1 )d такой, что E d Z i X i 0 для любого X A.

+ i= Множество риск-нейтральных векторов будем обозначать через R или R(A), если это важно подчеркнуть.

Теперь введем понятие D -согласованности.

Определение 10 Будем говорить, что A является D -согласо ванным, если существует множество A A L1 (D) такое, что s D R = D R(A ).

Предположим, что множество достижимых прибылей A является D -согласованным. Как показано в диссертации, это предположение ав томатически выполняется для естественных моделей.

Теперь введем условие отсутствия ”хороших сделок” (NGD, No Good Deals (NGD)).

Определение 11 Модель удовлетворяет условию NGD (No Good Deals), если не существует X A такого, что u(X) (Rd \ {0}) =.

+ Тогда выполнена следующая теорема.

Теорема 12 Модель удовлетворяет условию NGD тогда и только тогда, когда D R =.

Данные выше определение и теорема являются многомерными ана логами результатов, полученных А. С. Черным 2. В случае d = 1 они совпадают.

Перейдем к понятию справедливой цены для платежных поручений.

Пусть F (L0 )d дисконтированная прибыль платежного поручения, выраженная d -мерным портфелем валют.

Определение 13 NGD-справедливой ценой для платежного пору чения F назовем вектор x Rd такой, что расширенная модель (, F, P, D, A + {h(F x) : h R}) удовлетворяет условию NGD.

Множество NGD-справедливых цен для платежного поручения F обозначим через INGD (F ).

Из теоремы 12 получается следующий результат.

Следствие 14 Для F L1 (D) s INGD (F ) = {x : E Z, x = E Z, F для некоторого Z D R}.

В диссертации приведен пример применения техники NGD к ди намической модели обменных курсов. Рассмотренный подход во мно гом аналогичен работам 12,13,25,26,27, однако полученные нами результа ты применимы не только в случае дискретного, но и в случае непре рывного времени. Множества справедливых цен оказываются меньше, при этом не требуется накладывать никакие технические условия на множество стратегий A, как это было в указанных работах.

Также в диссертации введены понятия верхних и нижних цен, суб- и суперхеджирующих стратегий вдоль направления (определе ние 2.19 диссертации), доказаны теоремы об их нахождении (тео ремы 2.20, 2.21, 2.27, 2.29), а также приведены примеры для их нахождения в некоторых моделях.

Глава 3 посвящена различным примерам многомерных когерентных мер риска: аналогов V@R, хвостового V@R, взвешенного V@R.

Ранее в работах, где предлагались разные примеры многомерных мер риска, конус был неслучайным. Поэтому мы сначала рассматрива ем обобщения на этот случай, а затем исследуем возможности опреде ления меры и для случайного конуса. Оказывается, что естественные обобщения на случайный конус в некоторых случаях не всегда возмож ны, а в некоторых можно предложить несколько обобщений.

В диссертации вводится весьма естественный многомерный аналог V@R гиперполуплоскостной V@R ( V @RHD ). Отметим, что это по нятие можно ввести, основываясь на областях скопления меры (в част ности, на монотонных гиперполуплоскостях скопления меры), рассмот ренных в работе 15. Также V @RHD может быть построен двумя путями (сильный и слабый V @RHD ), когда конус обменных курсов случаен.

Класс многомерных когерентных мер риска является весьма широ ким. Чтобы его сузить, введем важное свойство ”согласованности с пространством” (определение 3.23). Оно означает, что результат мно гомерной когерентной меры риска не меняется при изменении базовой единицы вдоль каждой из осей координат (к примеру, если мы берем копейки вместо рублей в качестве базовой единицы). Оказывается, что не все рассматриваемые меры риска удовлетворяют этому свойству. В диссертации приводятся необходимые и достаточные условия согласо ванности с пространством для многомерных когерентных мер риска (лемма 3.24 и теорема 3.28).

Другим важным свойством многомерных мер риска является свой ство инвариантности по распределению.

Определение 15 Многомерная когерентная функция полезности u на (L0 )d является инвариантной по распределению, если для всех X, Y Law таких, что (X, K) = (Y, K), верно, что u(X) = u(Y ).

Отметим, что если конус обменных курсов K является случайным, Law Law то важно, что не только X = Y, но и (X, K) = (Y, K).

Приводятся некоторые необходимые и достаточные условия инвари антности по распределению для многомерных когерентных мер риска.

Опишем полученные результаты для некоторых многомерных мер риска: WCE, хвостовой V@R, средний V@R.

В главе 3 показано, что WCE не является инвариантной по распреде лению мерой даже в одномерном случае, но она согласована с простран ством. Рассмотрены условия, при которых она становится инвариант ной по распределению, а также введен ее инвариантный по распреде лению аналог (инвариантное по распределению худшее условное мате матическое ожидание (LIWCE)). В диссертации показано, что LIWCE совпадает с многомерной когерентной мерой риска, основанной на об ластях скопления меры (в частности, на зонных областях скопления меры), введенной в работе 15 (см. также работу 35 ). Приведены приме ры, когда в естественных ситуациях WCE и LIWCE дают неудовле творительный результат с финансовой точки зрения. Для случайного конуса обменных курсов эти меры могут быть построены двумя путями (сильное и слабое WCE и LIWCE).

Также показано, что средний V@R является инвариантным по рас пределению, но не является согласованным с пространством. Очень ча сто эта мера может быть обобщена на случай недетерминированного конуса.

Другой многомерный аналог хвостового V@R введен в главе 1 для случайного конуса обменных курсов и также назван хвостовым V@R.

Эта мера риска инвариантна по распределению и согласована с про странством.

Свойства многомерных аналогов V@R и хвостового V@R приведены в таблице 1.

Koshevoy G. A., Mosler K. Zonoid trimming for multivariate distributions. Annals of Statistics, 25 (1997), p. 1998–2017.

@ @ @ Сла- Силь- Сред- Хвос Меры V @RHD WCE LIWCE @ @ бый ный ний товой @ @ @ Свойства @ @ V@R V@R V@R V@R @ @ Когерентность + + + + ”Финансовый ± + ± + + смысл” Случайный + + ± + конус Инвариантность по распределе- + + + + + + нию Согласованность с простран- + + + + + + ством Таблица 1. Многомерные аналоги V@R и хвостового V@R и свойства, которыми они обладают.

Суммируя все выше перечисленное, можно сделать вывод, что луч шим кандидатом для многомерного аналога хвостового V@R является хвостовой V@R, введенный в диссертации.

В диссертации также вводятся многомерные аналоги другой важной одномерной когерентной меры риска взвешенного V@R. Эти аналоги можно построить, основываясь на хвостовом V@R, на среднем V@R или на LIWCE.

Работа выполнена под руководством член-корреспондента РАН, про фессора А. Н. Ширяева и д.ф.-м.н. А. С. Черного, помощь в органи зации изложения была оказана к.ф.-м.н. А. В. Селивановым, которым автор выражает глубокую благодарность.

Список работ автора по теме диссертации [1] Куликов А. В. Многомерные когерентные и выпуклые меры риска.

Теория вероятностей и ее применения, 52 (2007), в. 4, с. 685–710.

[2] Куликов А. В. Ценообразование с использованием многомерных когерентных мер риска. Обозрение прикладной и промышленной математики, 15 (2008), в. 2, с. 211–228.