– мурылев сергей сергеевич стохастические задачи оптимальной остановки для процессов леви

На правах рукописи

УДК 519.216 Синельников – Мурылев Сергей Сергеевич Стохастические задачи оптимальной остановки для процессов Леви 01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

МОСКВА 2011

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Ширяев Альберт Николаевич Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Мазалов Владимир Викторович доктор физико-математических наук, профессор Николаев Михаил Леонидович Ведущая организация Центральный экономико-математический институт РАН

Защита диссертации состоится 16 декабря 2011 г. в 16 часов минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Мос ковском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико математический факультет, аудитория 16–24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-матема тического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 15 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор Сорокин В. Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы В стохастическом анализе широко известна так называемая за дача о разборчивой невесте. Эта задача в различных постановках рассматривалась, в частности, в работах таких авторов, как Гарднер1, Карлин2, Дынкин3, Чоу, Моригути, Роббинс, Самуэльс4, Гилберт, Мо стеллер5, Гусейн-Заде6, Бойс7, Пресман, Сонин8, Гриффит, Снелл9, Николаев10, Глинка, Шеахан11, Винниченко, Мазалов12.

Сформулируем задачу, следуя работе Ширяева13. Имеется n объек тов, занумерованных числами 1,..., n, причем объект с меньшим но мером классифицируется лучше объекта с большим номером. Пред полагается, что объекты поступают к нам в моменты времени 1,..., n в случайном порядке (все n! перестановок равновероятны), причем в результате сравнения двух из них становится ясно, какой из них луч ше, хотя их истинные номера остаются неизвестными. В каждый мо мент времени нужно принять решение: либо отвергнуть объект (и да лее к нему вернуться уже нельзя), либо принять объект (и процесс выбора прекращается). Задача состоит в том, чтобы с максимальной вероятностью выбрать объект с номером 1.

Оптимальной стратегией в этой задаче оказывается следующая. На до просмотреть и пропустить первые m 1 объектов, а затем продол жать осмотр до момента, когда впервые появится объект, лучший, Gardner M. Mathematical games // Scientic American. 1960. Vol. 202, no. 1. Pp. 150 156.

Karlin S. Stochastic models and optimal policy for selling an asset // Studies in Applied Probability and Management Science. 1962. Pp. 148-–158.

Дынкин Е. Б. Оптимальный выбор момента остановки марковского процесса // Доклады Академии Наук СССР. 1963. Т. 150, № 2. С. 238 240.

Chow Y. S., Moriguti S., Robbins H., Samuels S. M. Optimal selection based on relative rank (the “secretary” problem) // Israel Journal of Mathematics. 1964. Vol. 2, no. 2. Pp. 81 90.

Gilbert J. P., Mosteller F. Recognising the maximum of a sequence // Journal of American Statistical Association. 1966. Vol. 61. Pp. 35 73.

Гусейн-Заде С. М. Задача выбора и оптимальное правило остановки последовательности независимых испытаний // Теория вероятностей и ее применения. 1966. Т. 11, № 3. С. 534 537.

Boyce W. M. Stopping rules for selling bonds // Bell Journal of Economics and Management Science. 1970. Vol. 1. Pp. 27 53.

Пресман Э. Л., Сонин И. М. Задача наилучшего выбора при случайном числе объектов // Теория вероятностей и ее применения. 1972. Т. 17, № 4. С. 695-–706.

Grieath D., Snell J. L. Optimal stopping in the stock market // Annals of Probability. 1974.

Vol. 2. Pp. 1 13.

Николаев М. Л. Об одном обобщении задачи наилучшего выбора // Теория вероятностей и ее применения. 1977. Т. 22, № 1. С. 191-–194.

Hlynka M., Sheahan J. N. The secretary problem for a random walk // Stochastic Processes and their Applications. 1988. Vol. 28. Pp. 317 325.

Винниченко С. В., Мазалов В. В. Оптимальная остановка наблюдений в задачах управления случайными блужданиями // Теория вероятностей и ее применения. 1990. Т. 35, № 4. С. 669 676.

Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ, Москва: Наука, 1976.

чем все предыдущие. При большом n, m n/e, а искомая вероят ность приблизительно равна 1/e 0.368. Этот результат интуитивно удивителен, потому что, казалось бы, искомая вероятность должна стремиться к нулю с ростом количества объектов.

Несмотря на то, что такие оптимизационные задачи в дискрет ном времени являются достаточно хорошо изученными, случай непре рывного времени начал исследоваться совсем недавно. Отличительной чертой подобных задач является то, что для принятия оптимального решения требуется хорошо оценивать будущее поведение наблюдае мого процесса по полученным данным. Искомый случайный момент является непредсказуемым, т. е. несогласованным с естественной филь трацией процесса F. Задача заключается в построении оценки этого момента, т. е. согласованного с фильтрацией момента остановки, ко торый был бы оптимален в некотором смысле. В связи с тем, что про цесс t = I{ t} является несогласованным с имеющейся фильтра цией, естественным образом возникает опциональная проекция этого процесса14, процесс = I{ | F }, определенный для любого конечного (с вероятностью 1) случайного момента. Таким образом, искомая задача сводится к задаче об оптимальной остановке процес са апостериорной вероятности t, равно как и близкая к ней задача о разладке15. Принципиальным отличием класса рассматриваемых за дач от задачи о разладке является то, что в рассматриваемой задаче в момент не происходит смены характеристик процесса.

Определим ряд критериев, которые используются в подобных зада чах скорейшего обнаружения. Пусть X наблюдаемый процесс, искомый непредсказуемый момент, M класс марковских момен X тов, порожденных рассматриваемым процессом. Решением задачи при среднеквадратичном критерии называется момент MX, такой что E(X X )2 = inf X E(X X )2.

M Таким образом, момент минимизирует норму E(X X )2 в классе MX. Этот критерий обобщается на случай нормы E(X X )q, q 1.

Подобные критерии часто называются пространственными, по скольку они используют близость величин X и X. В работе Ширя ева16 было предложено задействовать в этой задаче временные кри См., например, Dellacherie C., Meyer P. A. Probabilits et potentiel. Paris: Hermann, 1976.

e См., например, Колмогоров А.Н., Прохоров Ю.В., Ширяев А.Н. Вероятностно статистические методы обнаружения спонтанно возникающих эффектов // Труды МИАН СССР. 1988. Т. 182. С. 4-23.

Shiryaev A. N. Quickest detection problems in the technical analysis of the nancial data // Proc.

Mathematical Finance Bachelier Congress. Berlin: Springer-Verlag, 2002. Pp. 487–521.

терии, использующие непосредственно близость к, т. е. величину вида E G1 (( )+ ) + G2 (( )+ ) с некоторыми функциями риска G1 (t) и G2 (t), t 0. Среди времен ных критериев особо следует выделить два критерия: абсолютный, использующий норму E| |, и байесовский, использующий норму P( ) + c E( )+, где c некоторая заданная положительная постоянная. Также среди временных критериев можно выделить еще один критерий, который называется условно-экстремальным. Для фиксированного (0, 1) определяется класс моментов остановки, для которых вероятность ложной тревоги, т. е. P( ), не превы шает :

MX () = { MX | P( ) }.

Под моментом, являющимся решением задачи при условно экстремальном критерии, понимается момент MX (), такой что для него минимизируется среднее время запаздывания:

E( )+ = E( )+.

inf B M () Известно17, что условно-экстремальный критерий является частным случаем байесовского критерия (при соответствующем выборе посто янной c).

Поставленные задачи особенно подробно изучались для процес сов броуновского движения Bt и броуновского движения со сносом µ Bt = µt + Bt. Первой работой, посвященной этой теме, была ра бота 2000 года Граверсена, Пешкира и Ширяева18, в которой рас сматривался конечный интервал [0, 1], процесс стандартного броунов ского движения Bt, а непредсказуемый момент представлял собой момент (первого) достижения макси = inf{t : Bt = sup0 s 1 Bs } мума. Согласно результатам этой работы, оптимальный момент оста новки имеет вид = inf{t 1 : St Bt z 1 t}, где z 1.12, а St = sups t Bs. Эти результаты были обобщены Пе дерсеном19 на случай общего пространственного критерия. Для этого критерия ответ выглядит точно так же, лишь с заменой постоянной См. Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ, Москва: Наука, 1976.

Graversen S. E., Peskir G., Shiryaev A. N. Stopping Brownian motion without anticipation as close as possible to its ultimate maximum // Теория вероятностей и ее применения. 2000. Т. 45, № 1. С. 125–136.

Pedersen J. L. Optimal prediction of the ultimate maximum of Brownian motion // Stochastics and Stochastic Reports. 2003. Vol. 75, no. 4. Pp. 205–219.

z на постоянную z (q). В 2004 году Урусовым20 было доказано тож дество E| | + = E(B B ) для любого M. Тем самым было доказано, что для броуновского B движения среднеквадратичный и абсолютный критерии для момента максимума совпадают. В работе Ширяева21 был рассмотрен условно экстремальный критерий для момента и введен еще один непредска зуемый момент g = sup{t момент последнего нуля.

1 : Bt = 0} Для этого момента были рассмотрены условно-экстремальный и аб солютный критерии. В работе было показано, что в случае условно экстремального критерия для момента оптимальный момент оста новки имеет вид = inf{t 1 : St Bt z 1 t}, где z некоторая постоянная. В то же время для момента g опти мальные моменты остановки в случае условно-экстремального и абсо лютного критерия имеют ровно тот же вид, что и для момента, лишь с заменой процесса St Bt на процесс |Bt |.

µ Указанные совпадения не имеют места для процесса Bt = µt + Bt.

Случаи среднеквадратичного и абсолютного критериев для момента максимума были рассмотрены в работах де Туа и Пешкира22,23. До статочной статистикой, позволяющей принять оптимальное решение, здесь по-прежнему является процесс Stµ Bt, где Stµ = sups t Bs, од µ µ нако структура множества остановки различается в зависимости от рассматриваемого критерия. Абсолютный критерий для момента по следнего нуля был рассмотрен в работе де Туа, Пешкира и Ширяева24, и, в отличие от случая броуновского движения, ответ для этого момен та отличается от ответа для момента максимума. Более того, границы множества остановки во всех этих случаях не могут быть найдены в явном виде, а представляют собой решение системы уравнений Воль Урусов М. А. Об одном свойстве момента достижения максимума броуновским движением и некоторых задачах оптимальной остановки // Теория вероятностей и ее применения. 2004. Т.

49, № 1. С. 184–190.

Ширяев А. Н. Об условно-экстремальных задачах скорейшего обнаружения непредсказуе мых моментов у наблюдаемого броуновского движения // Теория вероятностей и ее применения.

2008. Т. 53, № 4. С. 751–768.

du Toit J., Peskir G. Trap of complacency predicting the maximum // The Annals of Applied Probability. 2007. Vol. 35, no. 1. Pp. 340–365.

du Toit J., Peskir G. Predicting the time of the ultimate maximum of the Brownian motion with a drift // Proc. Mathematical Control Theory Finance. Berlin: Springer-Verlag, 2008. Pp. 95–112.

du Toit J., Peskir G., Shiryaev A. N. Predicting the last zero of the Brownian motion with a drift // Stochastics. 2008. Vol. 80. Pp. 229–245.

терра второго рода.

Кохен25 исследовал среднеквадратичный критерий для броуновско го движения со сносом (отрицательным) на бесконечном горизонте, т. е. на интервале [0, +). Согласно результатам его работы, доста точной статистикой в этом случае является Stµ Bt (как и в случае µ конечного горизонта), однако границей является постоянная.

Рассматриваемые задачи для процессов, отличных от броуновского движения и броуновского движения со сносом, изучены не так хорошо.

Ряд исследователей изучали различные задачи подобного характера для геометрического броуновского движения. В частности, к таким работам относятся работы Ширяева, Ксу и Жу26 и де Туа и Пеш кира27, где качество момента остановки определялось функцией от отношения X /X, т. е. E u(X /X ), где X геометрическое броунов ское движение, момент его максимума на рассматриваемом интер вале, а u линейная или логарифмическая функция, а также работа Педерсена28, в которой рассматривался критерий P(X p X ), где p (0, 1). В первом случае оптимальная стратегия приводит нас к правилу buy and hold, т. е. имеет вырожденный вид: в зависимо сти от параметров процесса, оптимальный момент остановки либо равен 0, либо равен T. Во втором случае вид ответа ближе к случаю дискретного времени: оказывается, что оптимальная стратегия имеет вид = inf{t t 1 : Xt = p St ), p где St = sups t Xs, а tp некоторая постоянная, зависящая от пара метра p.

В работе Эспинозы и Тоузи29 исследовалась похожая задача для произвольной однородной диффузии Xt со свойством возврата к сред нему. При начальном условии X0 = x 0 определялся случайный горизонт T0 = inf{t 0 : Xt = 0}. На этом отрезке решалась задача поиска момента остановки с критерием E u(X X ), где u функ ция потерь, удовлетворяющая ряду условий (в частности, возрастаю Cohen A. Examples of optimal prediction in the innite horizon case // Statistics and Probability Letters. 2010. Vol. 80. Pp. 950–957.

Shiryaev A. N., Xu Z., Zhu X. Y. Thou shalt buy and hold // Quantative Finance. 2008. Vol. 8, no. 8. Pp. 765–776.

du Toit J., Peskir G. Selling a stock at the ultimate maximum // The Annals of Applied Probability. 2009. Vol. 19, no. 3. Pp. 983–1014.

Pedersen J. L. An optimal selling strategy for stock trading based on predicting the maximum price. Preprint. 2007.

Espinosa G.-E., Touzi N. Detecting the maximum of a mean-reverting scalar diusion. Preprint.

2010.

щая и выпуклая книзу), а момент максимума процесса на отрезке [0, T ]. В работе было показано, что при некоторых дополнительных условиях оптимальный момент остановки имеет вид = inf{t 0 : St (Xt )}, где St = sups t Xs текущий максимум процесса, а есть некоторая граница, имеющая весьма сложный вид. Как мы видим, достаточная статистика здесь уже имеет вид (St, Xt ), а не St Xt.

В работе Берник, Даланга и Пешкира30 исследовался простран ственный критерий для момента максимума устойчивого процесса Ле ви Xt с параметром (1, 2) на конечном интервале [0, T ]. Оказыва ется, что в зависимости от значения параметров p и оптимальный момент остановки или имеет вид = inf{t z (T t)1/ }, T : St Xt где z является решением некоторого трансцендентного уравнения и зависит от q и, или равняется T вне зависимости от поведения ста тистики St Xt.

Цель диссертационной работы состоит в получении различных ре зультатов, связанных с моментами абсолютного максимума и послед него нуля для процессов Леви на бесконечном горизонте.

Научная новизна. Все полученные результаты диссертации явля ются новыми. Для достижения поставленных целей были решены сле дующие задачи:

1. Построены оптимальные стратегии для ряда критериев в случае броуновского движения со сносом.

2. Доказано обобщение теоремы Леви о совпадении пар процессов по распределению для случая процесса Леви конечной интенсив ности.

3. Указан вид оптимальной стратегии для ряда критериев в случае общего процесса Леви конечной интенсивности. Построены опти мальные стратегии для ряда критериев в случае процесса, явля ющегося комбинацией броуновского движения и пуассоновского процесса, и предложен алгоритм численного моделирования, поз воляющий получить оптимальную стратегию в случае, когда ее аналитический вывод оказывается слишком сложным.

Bernyk V., Dalang R. C., Peskir G. Predicting the ultimate supremum of a stable Lvy process e with no negative jumps // Annals of Probability, to appear.

Практическая значимость. Диссертация носит теоретический ха рактер. Результаты и методы работы, изложенные в диссертации, мо гут быть полезными при изучении задач, в которых наблюдаемый про цесс может моделироваться в рамках процессов Леви.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады вались на следующих семинарах и конференциях:

• Большой кафедральный семинар кафедры теории вероятностей, рук. Ширяев А. Н., МГУ им. М. В. Ломоносова, 2011 г.

• Семинар Cтохастический анализ и теория мартингалов, рук.

Ширяев А. Н., МГУ им. М. В. Ломоносова, неоднократно в 2008– 2011 гг.

• Семинар Cтохастический анализ, рук. Гущин А. А. и Ширя ев А. Н., МИАН им. В. А. Стеклова РАН, 2009 г.

• Международный симпозиум Visions in Stochastics, Москва, МИ АН им. В. А. Стеклова РАН, 2010 г.

• Семинар Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании, рук. Аркин В. И.

и Пресман Э. Л., ЦЭМИ РАН, 2011 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех рабо тах автора, входящих в список журналов по перечню ВАК. Работ, на писанных в соавторстве, нет. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе ния, общей характеристики работы, трех глав, библиографии и при ложения. Общий объем диссертации составляет 74 страницы. Библио графия включает в себя 63 наименования, включая 3 работы автора по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении работы описывается общий тип исследуемых задач.

Общая постановка задач, исследуемых в диссертации, является есте ственным продолжением широко известной задачи о разборчивой невесте для случая непрерывного времени. Несмотря на то, что в случае дискретного времени задачи подобного характера являются достаточно хорошо изученными, случай непрерывного времени стал исследоваться сравнительно недавно: первая из подобных задач была рассмотрена в 2000 году.

В первой главе приведен обзор известных результатов, связан ных с исследуемой темой, и рассматриваются некоторые задачи, свя занные с процессом броуновского движения со сносом на бесконечном горизонте. Автором исследуются абсолютный, байесовский и условно µ экстремальный критерии. Пусть Bt, где µ 0, стандартное бро уновское движение с отрицательным сносом на бесконечном интерва ле, t [0, ), а Stµ = sups t Bs. Рассматриваются следующие непред µ сказуемые моменты:

µ µ = inf{t : Bt = sup Bs }, s µ g = sup{t : Bt = 0}.

Для условно-экстремального и абсолютного критериев оказываются верны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть 0 1. Для условно-экстремального крите рия для момента оптимальным моментом остановки является момент = inf{t : Stµ Bt µ z }, где ln z =.

2µ Теорема 2. Пусть 0 1. Для условно-экстремального крите рия для момента g оптимальным моментом остановки является момент µ z }, = inf{t : Bt где ln z =.

2µ Теорема 3. Оптимальным моментом в смысле абсолютного крите рия для момента является момент = inf{t : Stµ Bt µ z }, где z единственное положительное решение уравнения e2µz =.

1 4µz Теорема 4. Оптимальным моментом в смысле абсолютного крите рия для момента g является момент µ = inf{t : Bt z }, где z единственное положительное решение уравнения e2µz =.

1 4µz Таким образом, в рассматриваемых задачах для моментов и g роль достаточных статистик будут играть процессы Stµ Bt и Bt µ µ соответственно, а оптимальными моментами остановки будут являться моменты достижения этими процессами некоторого постоянного уров ня. Более того, и вид ответа, и даже границы в этих задачах совпадают, что больше соответствует случаю обычного броуновского движения на конечном интервале, чем случаю броуновского движения со сносом, где структура этих моментов принципиально различна.

Результаты первой главы опубликованы в работе [1].

Доказательство указанных выше теорем принципиально опиралось на результат работы Граверсена и Ширяева31, который обобщал знаме нитую теорему Леви о совпадении пары процессов по распределению на случай броуновского движения со сносом. Во второй главе эта теорема обобщается на случай процесса Леви с конечной мерой.

Классический результат Леви гласит, что law (sup B B, sup B) = (|B|, L(B)), где B броуновское движение, L(B) локальное время броуновского law движения в нуле, а = означает совпадение процессов по распределе нию.

Этот результат обобщается на случай броуновского движения со сносом. Граверсеном и Ширяевым было показано, что law (sup B µ B µ, sup B µ ) = (|X µ |, L(X µ )), где X µ единственное решение стохастического дифференциального уравнения если x 0, 1, dXtµ = µ sgn Xtµ dt + dBt, µ X0 = 0, sgn(x) = 1, если x 0.

Graversen S. E., Shiryaev A. N. An extension of P. Lvy’s distributional properties to the case of e a Brownian motion with a drift // Bernoulli. 2000. Vol. 6, no. 4. Pp. 615–620.

Далее авторы доказывают, что инфинитезимальный оператор процес са |Xtx | совпадает с инфинитезимальным оператором отраженного бро уновского движения со сносом.

Пусть Xt некоторый процесс Леви, мера Леви которого удовле творяет условию (dx).

|x| В этом случае количество скачков процесса на любом конечном интер вале конечно, и для процесса Xt можно определить триплет инфини тезимальных характеристик (µ,, ) относительно функции урезания h(x) = xI{x = 0}, где за I обозначена индикаторная функция. Подоб ные процессы часто называют процессами Леви с конечной мерой или процессами Леви конечной интенсивности. Пусть 0, т. е. процесс Xt имеет невырожденную диффузионную компоненту. Введем также процесс St = sups t Xs текущий супремум процесса Xt. Главным результатом второй главы является следующее утверждение.

Теорема 5. 1. Предположим, что процесс Xt не имеет положи тельных скачков. Тогда пара процессов (St Xt, St ) совпадает по распределению с парой процессов (|Yt |, Lt ), где Yt является ре шением следующего стохастического дифференциального урав нения:

dYt = µ sgn Yt dt + dBt sgn Yt Nt, Y0 = 0, где Bt стандартное броуновское движение, Nt составной пуассоновский процесс, соответствующий случайной пуассонов ской мере интенсивности, а Lt является локальным временем марковского процесса Yt в нуле.

2. В общем случае, когда процесс Xt имеет как положительные, так и отрицательные скачки, пара процессов (St Xt, St ) сов падает по распределению с парой процессов (|Zt |, Rt ), где Zt яв ляется решением следующего уравнения:

dZt = µ sgn Zt dt + dBt sgn Zt Nt I{Zt (Zt sgn Zt Nt ) 0} (Zt sgn Zt Nt ), Z0 = 0, где Bt и Nt были определены ранее, а I{Zt (Zt sgn Zt Nt ) 0} |Zt sgn Zt Nt | + Lt, Rt = 0st где Lt является локальным временем марковского процесса Zt в нуле.

Для применения этой теоремы к рассматриваемым задачам необхо димо выразить процесс |Zt | в терминах его инфинитезимального опе ратора. Аналогично определению процесса отраженного броуновского движения со сносом автор вводит следующее определение.

Определение 1. Пусть Xt процесс Леви с характеристиками (µ,, ) относительно функции урезания h(x). Назовем отражен ным в нуле процессом Xt марковский процесс RLP0(X)t с инфини тезимальным оператором A, действующим на функциях df f S([0, ]), |x0 = 0, dx где S пространство быстро убывающих функций (пространство Шварца), следующим образом:

A(X) f (y) = µf (y) + 2 f (y) + [f (y + x) f (y) f (y)h(x)] 0 (y, x), где 0 (y, x) это мера, определенная для y 0 и имеющая вид dx y, (dx), y dx = y, (y, dx) = (dx), dx y.

0, Такой оператор определяет единственное семейство мер, а соответ ствующий марковский процесс мы, по определению, назовем отра женным в нуле процессом Xt, начинающимся в x 0 и будем обо x значать RLP0(X)t.

Автор обозначает процесс Zt, имеющий начальную точку x 0, за Ztx.Оказывается, что верно следующее утверждение.

Теорема 6. Для любого x law |Ztx | = RLP0(X)x.

t Результаты второй главы опубликованы в работе [2].

В третьей главе автор использует результаты второй главы, что бы обобщить подход, предложенный в первой главе, на случай про цессов Леви с конечной мерой. Пусть Xt наблюдаемый процесс Ле ви, рассматриваемый на бесконечном интервале [0, ). Пусть St = sup0 s t Xs текущий супремум процесса, S = sups 0 Xs абсолют ный супремум процесса. Рассматривается следующий непредсказуе мый момент:

= inf{t 0 : St = S}.

Для конечности момента предполагается условие EX1 0. В каче стве критериев оптимальности приближения рассматриваются байе совский (в т. ч. условно-экстремальный), абсолютный и пространствен ный критерии. Первая часть третьей главы посвящена доказательству следующих фактов.

Теорема 7. В рассматриваемых задачах оптимальный момент остановки имеет вид = inf{t 0 : St Xt a}, где a некоторая положительная постоянная (зависящая от кри терия).

Отсюда можно вывести следующий результат для случая условно экстремального критерия.

Теорема 8. Пусть S = sups 0 Xs, X0 = 0, G(z) = P(S z). То гда для условно-экстремального критерия оптимальным моментом остановки будет первый момент выхода процесса St Xt на уровень a1, являющийся корнем уравнения 1 G(a1 ) =.

В второй части третьей главы рассматривается общая схема нахож дения постоянной a с помощью задачи Стефана. Показывается, что искомая задача сводится к интегро-дифференциальному уравнению.

В случае абсолютного критерия это уравнение имеет следующий вид:

µW (z) + 2 W (z) + [W (z + x) W (z) W (z)h(x)] 0 (z, dx) = (1) = 1 2G(z), 0 z z, где dx y, (dx), 0 (z, x) = dx = y, (dx), x y dx y.

0, Как видно, мера 0 (z, x) получается из определения 1 при рассмот рении меры (x) = (x), соответствующей процессу Xt. Задача Стефана получается, если добавить к этому уравнению необходимые граничные условия (условие мгновенной остановки, условие нормаль ного отражения и условие гладкого или непрерывного склеивания, в зависимости от характеристик процесса). После решения задачи Сте фана необходимо проверить, что найденная функция является реше нием исходной задачи. Для этого можно использовать формулу Ито, поскольку найденная функция принадлежит пространству Шварца.

В третьей части третьей главы указанная схема применяется к сравнительно простому процессу Xt = µt + Bt rNt, где Nt простой пуассоновский процесс интенсивности. В этом случае интегро-дифференциальное уравнение вырождается в дифференци альное уравнение с опережающим аргументом. Для случая абсолют ного критерия уравнение (1) запишется как µW (z) + 2 W (z) + (W (z + r) W (z)) = 2ez 1, (2) 0 z a.

Его решение сводится к последовательному решению систем линейных уравнений. Применение этого алгоритма к задаче с параметрами µ = 1, = 1, r = 0.35, = 2 приводит к неизвестной границе a 0. и функции W (z), имеющей следующей вид:

Numerical calculation of W*(z) 0. 0. 0. 0. W*(z) 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0. z Численный подсчет функции W (z) при значениях параметров µ = 1, = 1, r = 0.35, = 2.

Функция представляет собой склейку из двух разных функций. Найденное значение a 0.442.

В работе также предложен альтернативный способ нахождения неизвестной постоянной a в том случае, если решение задачи Стефана представляется слишком сложным: численное моделирование грани цы методом Монте-Карло. Алгоритм, приведенный в приложении работы, применяется к указанному выше процессу и приводит к по стоянной a 0.44.

В заключительной части главы обсуждается вопрос, связанный с моментом последнего нуля. Ввиду разрывности траекторий процесса Леви можно определить два различных момента:

g1 = sup{t 0 : Xt = 0}, g2 = sup{t 0 : Xt 0}.

Подход, использованный в первой главе для случая броуновского движения со сносом, с успехом может быть применен для момента g2 и процесса Леви Xt. Более того, если процесс Xt имеет только от рицательные скачки, то аналогично результатам первой главы можно показать, что оптимальная стратегия для момента g2 будет точно той же, что и оптимальная стратегия для момента с точностью до заме ны процесса достаточной статистики.

Для исследования момента g1 требуется выразить для него процесс апостериорной вероятности. Подход, предложенный в работе де Туа, Пешкира и Ширяева32, состоит в том, чтобы выразить его следующим образом:

t = P(g1 t | Ft ) = PXt {l = 0}, где l = limt Lt, а Lt локальное время в нуле процесса Xt. Таким образом, процесс апостериорной вероятности t представляет собой, вообще говоря, функцию от Xt. Отдельный вопрос представляет собой нахождение явного вида этой функции для процесса Леви. После того как будет получен процесс апостериорной вероятности, дальнейшее решение не будет принципиально отличаться от случая момента.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [3].

Благодарности. Автор выражает свою глубокую благодарность своему учителю и научному руководителю члену-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору Альберту Николаевичу Ширяеву за постановку задачи, неоценимую помощь и интерес к работе.

du Toit J., Peskir G., Shiryaev A. N. Predicting the last zero of the Brownian motion with a drift // Stochastics. 2008. Vol. 80. Pp. 229–245.

Список публикаций автора по теме диссертации 1. Об оптимальной остановке броуновского движения с отрицатель ным сносом // Теория вероятностей и ее применения. 2011. Т. 56, № 2. С. 391–398.

2. О совместном распределении (sup X X, sup X) для процесса Леви X // Успехи математических наук. 2010. Т. 65, № 6. С. 193–194.

3. О моменте абсолютного максимума процесса Леви // Вестник МГУ.

2011. Т. 4. С. 23–27.