Антон андреевич теория нерв-комплексов и ее приложения

На правах рукописи

УДК 515.142.22+514.172.45 Айзенберг Антон Андреевич ТЕОРИЯ НЕРВ-КОМПЛЕКСОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Специальность:

01.01.04 – геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный консультант: член-корреспондент РАН, профессор Бухштабер Виктор Матвеевич

Официальные оппоненты: Аржанцев Иван Владимирович доктор физико-математических наук, доцент (ФГБОУ ВПО “Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова”, доцент) Кустарёв Андрей Александрович кандидат физико-математических наук (ФГАОУ ВПО “Московский физико технический институт (государственный университет)”, ассистент)

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО “Московский педагогический государственный университет”

Защита диссертации состоится 12 октября 2012г. в 1645 на заседании дис сертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном уни верситете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Московский государственный уни верситет имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математиче ского факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 12 сентября 2012г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность темы В настоящее время в комбинаторике и выпуклой геометрии стали находить применение методы коммутативной алгебры, алгебраической геометрии и топологии. Актуальным разделом алгебраической геометрии стала торическая геометрия, изуча ющая свойства торических многообразий. Каждому выпуклому многограннику в Rn с рациональными координатами вершин можно сопоставить алгебраическое многообразие с действием алгебраического тора (C)n, являющееся эквивариантной ком пактификацией тора (C)n. С одной стороны, эта конструкция дает обширный класс примеров алгебраических многообразий, свойства которых можно эффективно описывать в терминах комбинаторных данных. С другой стороны, конструкция тори ческого многообразия позволяет доказывать сильные результа ты о комбинаторике многогранников при помощи методов ал гебраической геометрии.

М. Дэвис и Т. Янушкиевич1 ввели понятие квазиторического многообразия, являющееся топологическим аналогом ториче ского многообразия. Для определения квазиторического мно гообразия над простым многогранником P n с m гипергранями им потребовалась конструкция (m + n)-мерного многообразия ZP с каноническим действием тора T m, для которого много гранник P является пространством орбит. В своих работах2, В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов предложили рассматривать мно гообразия ZP как центральный объект исследования в тори ческой топологии и развили различные подходы к изучению этих пространств, названных ими момент-угол многообрази M. Davis, T. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J., 1991. V.62, №2, 417–451.

В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия тора и комбинаторика многогранников, Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 225, 1999, 96–131.

В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия торов, комбинаторная топология и го мологическая алгебра,УМН, 55:5(335) (2000), 3–106.

ями. С одной стороны, многообразие ZP можно представить как невырожденное пересечение вещественных квадрик4 в про странстве Cm, что позволяет исследовать эти многообразия ме тодами дифференциальной геометрии. С другой стороны, мно гообразие ZP обладает канонической клеточной структурой, определяемой комбинаторикой многогранника. В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов3 показали, что существует общая алгебро-топо логическая конструкция, сопоставляющая каждому симплици альному комплексу K клеточный комплекс ZK (D2, S 1);

при этом момент-угол многообразие ZP простого многогранника P гомеоморфно клеточному комплексу ZP (D2, S 1), где P граница двойственного к P симплициального многогранника.

Используя каноническую клеточную структуру на комплексе ZK (D2, S 1), В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов показали, что алгебра когомо логий H (ZK (D2, S 1);

k) изоморфна Tor-алгебре Tor, (k[K], k) k[m] алгебры Стенли–Райснера симплициального комплекса K. Этот результат позволил вычислить кольцо когомологий момент-угол многообразия ZP простого многогогранника P в терминах ал гебры Стенли–Райснера симплициальной сферы P.

Диссертация посвящена развитию теории момент-угол мно гообразий и ее взаимосвязи с теорией алгебр Стенли–Райснера.

Тема диссертации актуальна, так как момент-угол многообра зия являются центральным объектом торической топологии, а алгебры Стенли–Райснера понятие, нашедшее множество приложений в комбинаторике и топологии. В диссертации ис следован случай произвольных выпуклых многогранников, в том числе и не простых. Каждому выпуклому многограннику P сопоставлен симплициальный комплекс KP. Если P простой многогранник, то KP = P, однако в общем случае комплекс KP не является симплициальной сферой. В диссертации приве дены основные свойства симплициальных комплексов KP, све V. M. Buchstaber, T. E. Panov, N. Ray, Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds, Moscow Math. J., V.7, №2, 2007, 219–242.

денные воедино в понятии нерв-комплекса, обобщающем поня тия симплициальной сферы и симплициального многообразия.

Нерв-комплексы являются основным объектом исследования.

Известно, что для симплициальной сферы K выполнены со отношения Дена–Соммервилля5,6 hi(K) = hni(K). Имеется обобщение этой формулы на случай (n 1)-мерного симпли циального многообразия K, полученное Р. Стенли7 алгебраиче ским методом и, независимо, В. М. Бухштабером и Т. Е. Пановым топологическим методом. В этом случае выполнены соотноше ния n hni(K) hi(K) = (1)i((K) (S n1)).

i В диссертации доказаны соотношения на f -числа нерв-комплек сов, обобщающие приведенные результаты.

Даже в случае, когда многогранник P не является простым, момент-угол пространство ZP можно определить как пересе чение вещественных квадрик в пространстве Cm. В диссертации показано, что момент-угол пространство ZP гомотопически эк вивалентно клеточному комплексу ZKP (D2, S 1), что позволяет вычислить его кольцо когомологий:

H (ZP ;

k) Tor, (k[KP ], k), = k[m] где m число гиперграней многогранника P, а k[KP ] ал гебра Стенли–Райснера симплициального комплекса KP. Здесь и далее k используется для обозначения основного поля, а ре зультаты, которые верны также и для случая k = Z, специально оговариваются.

Теория алгебр Стенли–Райснера возникла в работе Дж. Райс D. M. Y. Sommerville, The relations connecting the angle sums and volume of a polytope in space of n dimensions, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 1927. V.115, 103–119.

V. Klee, A combinatorial analogue of Poincar duality theorem, Canad. J. Math. 1964.

e V.16. 517–531.

R. Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Boston, MA: Birkhuser Boston a Inc., 1996 (Progress in Mathematics V. 41).

нера8, была существенно развита Р. Стенли7 и в настоящее вре мя является важным разделом комбинаторной коммутативной алгебры. В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии важную роль играет понятие алгебры Коэна–Маколея, то есть алгебры, глубина которой совпадает с размерностью Крулля.

Дж. Райснер8, используя свойства локальных когомологий ко лец, нашел условия на симплициальный комплекс K, при кото рых алгебра k[K] является алгеброй Коэна–Маколея. Основы ваясь на теореме Райснера, Р. Стенли9 доказал гипотезу о верх ней границе для симплициальных сфер, согласно которой на h-числа симплициальной (n 1)-мерной сферы K на m верши mn+i, при i = 0,..., n.

нах имеются неравенства hi(K) i Дж. Манкрс обобщил результат Райснера, описав условия на топологию симплициального комплекса K, при которых глу бина кольца k[K] равна заданному числу. Для доказательства он использовал спектральную последовательность Зимана в ин терпретации МакКрори11.

Алгебра k[K] является модулем над алгеброй многочленов k[m] и к ней применима теорема Ауслендера–Буксбаума12, утвер ждающая в этом случае, что depth k[K] + pdim k[K] = m, где pdim k[K] длина минимальной свободной резольвенты моду ля k[K]. Ранги модулей свободной резольвенты выражаются через когомологии полных подкомплексов, по формуле Хохсте G. Reisner, Cohen-Macaulay quotients of polynomial rings, Adv. in Math., V.21, №1, 1976, 30–49.

R. Stanley, The upper bound conjecture and Cohen–Macaulay rings, Studies in Applied Math. 1975, V.54, №2, 135–142.

James R. Munkres, Topological results in combinatorics, Michigan Math. J., V. 31, Issue 1 (1984), 113–128.

Clint McCrory, Zeeman’s ltration on homology, Transactions of the AMS, V.250, 1979, 147–166.

W. Bruns, J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, revised edition, Cambridge (Cambridge Studies in Advanced Mathematics;

V.39).

ра13:

Tori,2j (k[K], k) H ji1(KJ ;

k).

= k[m] J[m],|J|=j Из этой формулы и теоремы Ауслендера–Буксбаума следует описание глубины в терминах топологии полных подкомплек сов. На основе такого описания в диссертации получен новый комбинаторно-топологический метод исследования глубины ко лец Стенли–Райснера. Предложенный метод существенно упро щает доказательства теорем Райснера и Манкрса и позволяет доказать соотношение depth k[KP ] = dim P для произвольного выпуклого многогранника P.

В диссертации также исследован вопрос о подгруппах тора m T, свободно действующих на пространствах ZP и клеточных комплексах ZK (D2, S 1). Если X пространство с действием m тора T, то число s(X) определяется как максимальная раз мерность подторов T s T m, индуцированное действие которых на X является свободным. В случае X = ZP или ZK (D2, S 1) число s(X) является характеристикой многогранника P и ком плекса K соответственно. В этих случаях число s(X) обознача ется s(P ) и s(K) и называется числом Бухштабера. В 2002 го ду В. М. Бухштабер14 поставил задачу: найти алгоритмический способ вычисления инвариантов s(P ) и s(K) по комбинаторике P и K. В диссертации показано, что s(P ) = s(KP ), поэтому ис следуются только симплициальные комплексы. Изучение числа Бухштабера началось в 2001 году, когда И. В. Изместьев15 дока зал оценку s(K) m (K), где (K) хроматическое число симплициального комплекса K. Частичным упрощением числа Бухштабера является его вещественный аналог Rs(K) мак m симальный ранг подгрупп группы Z2, действующих свободно M. Hochster, Cohen-Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., V.26, Dekker, New York, 1977, 171–223.

V. M. Buchstaber, T. E. Panov, Torus Actions and Their Applications in Topology and Combinatorics, University Lectures Series, vol.24, AMS, Providence, RI, 2002.

И. В. Изместьев, Трехмерные многообразия, определяемые раскраской граней про стого многогранника, Матем. заметки, Т.69, №3, 2001, 375–382.

на вещественном момент-угол комплексе ZK (D1, S 0). Нетруд но доказать оценку s(K) Rs(K). Значительные результаты о вещественном числе Бухштабера остовов симплексов были по лучены в работе М. Мацуды и Ю. Фукукавы16. Теория числа Бухштабера простых многогранников была развита Н. Ю. Еро ховцом17,18.

В работе М. Дэвиса и Т. Янушкиевича1 построено семейство универсальных симплициальных комплексов Ul. Из результа тов работы18 следует, что для симплициального комплекса K на m вершинах число m s(K) совпадает с наименьшим на туральным числом l, для которого существует невырожденное симплициальное отображение из K в Ul. Это наблюдение поз воляет рассматривать число m s(K) как обобщенный хро матический инвариант в смысле Р. Зивальевича19. При помощи такого подхода в диссертации исследовано число Бухштабера маломерных симплициальных комплексов.

Цель работы.

Обобщение теории момент-угол пространств на случай непро стых выпуклых многогранников и исследование симплициаль ных комплексов, ассоциированных с многогранниками.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Каждому выпуклому многограннику P сопоставлен сим плициальный комплекс KP, являющийся его полным ком Yukiko Fukukawa and Mikiya Masuda, Buchstaber invariants of skeleta of a simplex, Osaka J. Math. V. 48, №2 (2011), 549–582.

Н. Ю. Ероховец, Инвариант Бухштабера простых многогранников, УМН Т. №383, 2008, 187–188.

Н. Ю. Ероховец, Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях, кандидатская диссертация, МГУ им. М.В.Ломоносова, мех.-мат. факультет, 2011.

Rade T. Zivaljevi, Combinatorial groupoids, cubical complexes, and the Lovsz a c conjecture, Discrete and Computational Geometry, V.41, №1, 135–161.

бинаторным инвариантом. Построена общая теория нерв комплексов, описывающая свойства симплициальных ком плексов типа KP.

2. Доказано, что для произвольного выпуклого многогранни ка P с m гипергранями топологические пространства ZP и ZKP (D2, S 1) с действием тора T m эквивариантно гомотопи чески эквивалентны.

3. Пусть k поле. Скажем, что симплициальный комплекс L является p-ацикличным (над k), если Hi(L;

k) = 0 при i p. При этом по определению H1(;

k) k. В диссер = тации доказано, что для симплициального комплекса K на m вершинах и его алгебры Стенли–Райснера k[K] эквива лентны следующие условия:

(a) depth k[K] s + 1;

(b) Для любого набора вершин J [m] полный подком плекс K[m]\J является (s 1 |J|)-ацикличным над k.

(c) Для любого симплекса I K симплициальный ком плекс linkK I является (s 1 |I|)-ацикличным над k.

На основе этой эквивалентности получено новое доказа тельство теоремы Райснера и теоремы Манкрса. Показа но, что depth k[KP ] = dim P для произвольного выпуклого многогранника P. Получен ряд соотношений на биградуи рованные числа Бетти нерв-комплексов KP.

4. Для максимальной размерности s(K) торических подгрупп, действующих свободно на момент-угол комплексе ZK (D2, S 1), и максимального ранга Rs(K) подгрупп группы Zm, дей ствующих свободно на вещественном момент-угол комплек се ZK (D1, S 0), доказаны следующие результаты:

(a) Rs(K) m log2((K)+1), где (K) хроматическое число симплициального комплекса K;

(b) s(K) = Rs(K) = m log2((K) + 1), если dim K = 1;

(c) Существует такой симплициальный комплекс U, что s(U ) = Rs(U ).

(d) Существуют такие симплициальные комплексы 1 и 2, что s(12) = s(1)+s(2) и Rs(12) = Rs(1)+Rs(2).

Основные методы исследования.

В работе используются методы торической топологии, теории гомотопий, комбинаторики и коммутативной алгебры.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в дис сертации результаты представляют интерес для специалистов по торической и комбинаторной топологии, комбинаторике и коммутативной алгебре.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно исследовательских семинарах и научных конференциях:

1. Семинар Алгебраическая топология и её приложения им.

М. М. Постникова под руководством чл.-корр. РАН В. М. Бухштабера, проф. А. В. Чернавского, проф.

И. А. Дынникова, проф. Т. Е. Панова, доц. Л. А. Алании и доц. Д. В. Миллионщикова;

кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ неоднократно с 2010 года по 2012 год;

2. Семинар Некоммутативная топология под руководством проф. А. С. Мищенко, проф. И. К. Бабенко, проф. Е. В. Тро ицкого, проф. В. М. Мануйлова, доц. А. А. Ирматова;

ка федра высшей геометрии и топологии Механико-математи ческого факультета МГУ в 2010 году;

3. Семинар Дифференциальная геометрия и приложения под руководством акад. РАН А. Т. Фоменко;

кафедра диф ференциальной геометрии и приложений Механико-мате матического факультета МГУ в 2011 году;

4. Международная конференция Ломоносов 2010, г. Москва, 12-15 апреля 2010 года, МГУ.

5. Международная конференция Ломоносов 2011, г. Москва, 11-15 апреля 2011 года, МГУ.

6. Международная конференция Торическая топология и ав томорфные функции, г. Хабаровск, 5-10 сентября 2011 го да.

7. Русско-японская конференция Toric topology in Osaka 2011, г. Осака, Япония, 27-30 ноября 2011 года.

8. Международная конференция Александровские чтения, г. Москва, 21-25 мая 2012 года, МГУ.

9. Шестой Европейский Конгресс Математиков, постерный до клад, г. Краков, Польша, 2-6 июля 2012 года.

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в трёх рабо тах, список которых приведен в конце автореферата [1,2,3] Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 135 страницах и состоит из введения, пяти глав и дополнения. Библиография включает 72 наименования.

Краткое содержание работы Во введении к диссертации излагается история рассматрива емой проблемы, формулируются основные результаты, приво дится краткое содержание работы и список основных обозначе ний.

Содержание главы В главе 1 приведен обзор определений, которые используют ся в работе. Раздел 1.1 содержит обзор теории симплициаль ных комплексов. Приведены определения классических поня тий: линка, геометрической реализации симплициального ком плекса, симплициальной сферы и симплициального многообра зия, f - и h-чисел и многочленов. Сформулированы соотноше ния Дена–Соммервилля: hi(K) = hni(K) для h-чисел симпли циальной сферы K и их аналог для симплициальных многооб разий. В разделе 1.2 приводятся сведения о выпуклых много гранниках. Даны определения двойственности, простых и сим плициальных многогранников, а также определение прямого произведения и джойна выпуклых многогранников. Необходи мые сведения о частично упорядоченных (ч.у.) множествах со держатся в разделе 1.3.

Раздел 1.4 посвящен момент-угол пространствам многогран ников. Каждому выпуклому многограннику P с m гипергра нями сопоставлено момент-угол пространство ZP, являющееся пересечением вещественных квадрик специального вида в про странстве Cm. На пространстве ZP задано действие тора T m, фактор-пространством которого является исходный многогран ник P. В разделе 1.5 описана конструкция момент-угол ком плекса. Каждому симплициальному комплексу K на m верши нах сопоставлен клеточный момент-угол комплекс ZK (D2, S 1) с действием тора T m. Связь момент-угол пространств и момент угол комплексов дает теорема Бухштабера–Панова: для про стого многогранника P с m гипергранями имеет место T m эквивариантный гомеоморфизм ZP ZP (D2, S 1), где P = граница двойственного к P симплициального многогранника.

В разделе 1.6 приводится определение алгебры Стенли–Райс нера k[K] симплициального комплекса K, структуры k[m]-мо дуля на ней. Описаны свойства свободной резольвенты модуля k[K] и Tor–алгебры Tork[m](k[K], k). Согласно теореме Бухшта бера–Панова: H (ZK (D2, S 1);

k) Tor, (k[K], k), где k поле = k[m] или кольцо Z. Этот результат можно рассматривать как способ ввести двойную градуировку на кольце когомологий момент угол комплекса. Определены биградуированные числа Бетти симплициального комплекса:

i,2j (K) = rkk Tori,2j (k[K], k).

k[m] В разделе 1.7 приведены основные сведения из гомотопиче ской теории диаграмм топологических пространств. В разде ле даны определения копределов и гомотопических копределов и собраны утверждения, позволяющие эффективно работать с этими объектами. Утверждения, приведенные в разделе 1.7, ис пользуются только в главе 3 и дополнении А.

Содержание главы В главе 2 дано определение нерв-комплексов основного объ екта данного исследования. Каждому выпуклому многогранни ку P сопоставлен симплициальный комплекс KP. Разбору этой конструкции и примеров посвящен раздел 2.1. Также в этом разделе приводится описание связи нерв-комплексов с конструк цией Батырева–Кокса торического многообразия над рациональ ным многогранником. В разделе 2.2 исследован вопрос, какими комбинаторно-топологическими свойствами обладает симпли циальный комплекс KP.

Для каждого симплициального комплекса K определено под множество F (K) симплексов, представимых в виде пересечения максимальных симплексов.

Определение 2.2.6. Нерв-комплексом (соотв. гомологиче ским нерв-комплексом) ранга n называется симплициальный комплекс K, удовлетворяющий условиям:

1. F (K);

2. F (K) является градуированным частично-упорядоченным множеством с функцией ранга rank : F (K) {0,..., n}, rank() = 0, rank(I) = n для максимального симплекса I F (K);

3. Если I F (K) и I =, то комплекс linkK I гомотопен (соотв. гомологичен) сфере S nrank(I)1.

Если, кроме того, K гомотопен (соотв. гомологичен) сфере S n1, то K называется сферическим (соотв. сферическим гомо логическим) нерв-комплексом.

Теорема 2.2.9. Если P n выпуклый многогранник, то KP сферический нерв-комплекс ранга n, причем ч.у. множество F (KP ) изоморфно множеству граней многогранника P с обра щенным порядком.

Следствие 2.2.10. Симплициальный комплекс KP являет ся полным комбинаторным инвариантом многогранника P.

Нетрудно проверить, что любое симплициальное многообра зие является гомологическим нерв-комплексом. В разделе 2. исследованы f -многочлены нерв-комплексов. Основной резуль тат раздела таков:

Предложение 2.3.1. Если K гомологический нерв-комп лекс ранга n, то (1)nrank I (t + 1)|I|, fK (t) = (1 (K)) + IF (K),I= где эйлерова характеристика.

Из этого утверждения следуют соотношения Дена–Соммер вилля для сфер и многообразий, а также формула fKP (t) = dim F tm(F ), а = FP (1, t+1), где по определению FP (, t) = F P m(F ) число гиперграней, содержащих грань F. Доказатель ство предложения 2.3.1 основано на обобщении метода В. М. Бух штабера, предложенного в работе20.

Содержание главы Главы 3 и 4 являются центральными главами диссертации.

Теорема 3.1.7. Момент-угол пространство ZP эквивари антно гомотопически эквивалентно момент-угол комплексу ZKP (D2, S 1).

Для доказательства этого факта используется описание про странства ZP как гомотопического копредела специальной диа граммы торов над ч.у. множеством граней многогранника. С другой стороны, в работе 21 приведено описание момент-угол комплекса ZKP (D2, S 1) как копредела некоторой диаграммы то пологических пространств над ч.у. множеством симплексов ком плекса KP. Теорема 3.1.7 доказывается применением известных результатов о копределах и гомотопических копределах.

В разделе 3.2 показано, что для любых выпуклых многогран ников P и Q имеет место гомеоморфизм: ZP Q ZP ZQ, = а в случае, если оба многогранника не равны точке, имеем ZP Q ZP ZQ. Таким образом, на основании гомологических = характеристик момент-угол пространств ZP можно строить ин варианты исходных многогранников, мультипликативные отно сительно операций прямого произведения и джойна. Эта идея развита в разделе 3.3. Каждому выпуклому многограннику P сопоставлен многочлен P (s, t) = i,j i,2j (KP )sit2j.

Предложение (следствие 3.3.8). Для произвольных мно гогранников P и Q выполнено соотношение P Q(s, t) 1 = (P (s, t) 1) · (Q(s, t) 1) · s.

В. М. Бухштабер, Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения, Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 263, 2008, 18–43.

Taras Panov, Nigel Ray, Reiner Vogt, Colimits, Stanley–Reisner algebras and loop spaces, Progress in Math., V.215, 2004, 261–291.

Если dim P 0, dim Q 0, то P Q(s, t) = P (s, t)Q(s, t).

Важность задачи построения джойн-мультипликативных ин вариантов многогранников была продемонстрирована в рабо те 22. В разделе 3.3. также описана взаимосвязь многочлена P (s, t) с многочленом FP (, t), определенным в разделе 2.3.

Содержание главы Глава 4 посвящена исследованию гомологических характери стик колец Стенли–Райснера симплициальных комплексов, и, в частности, сферических нерв-комплексов. За исключением от дельно оговоренных случаев предполагается, что k поле.

Теорема 4.1.1. Пусть K симплициальный комплекс на множестве [m], а k поле. Следующие условия эквивалент ны:

1. depth k[K] s + 1;

2. Для любого подмножества вершин J [m] и i s |J| выполнено H i(KJ ;

k) = 0.

3. Для любого симплекса I K и i s |I| выполнено H i(linkK I;

k) = 0.

Доказательству этой теоремы посвящены разделы 4.2 и 4.3. В разделе 4.2 приведены необходимые сведения о понятии глуби ны модуля. Согласно теореме Ауслендера–Буксбаума12, depth k[K] = m pdim k[K], где m число вершин комплекса K, а pdim k[K] проективная размерность модуля, то есть ми нимальная длина проективной резольвенты модуля k[K]. Та ким образом, depth k[K] s + 1 в том и только том случае, В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398), 2011, 67–162.

когда i,2j (K) = 0 при всех j и i m s. Хохстером13 была доказана формула i,2j (K) = rkk H ji1(KJ ;

k), J[m],|J|=j выражающая биградуированные числа Бетти в терминах кого мологий полных подкомплексов. Из теорем Ауслендера–Букс баума и Хохстера выводится эквивалентность первых двух пунк тов в теореме 4.1.1.

В разделе 4.3 приведено доказательство эквивалентности пунк тов 2 и 3 теоремы 4.1.1, являющееся наиболее содержательной ее частью. Показано, что эта эквивалентность имеет место так же и в случае k = Z. Из теоремы 4.1.1 следуют два известных результата:

Теорема Райснера.8 Алгебра k[K] является алгеброй Коэна– Маколея в том и только том случае, когда для любого сим плекса I K и i dim K |I| имеют место равенства Hi(linkK I;

k) = 0.

Теорема Манкрса.10 depth k[K] s + 1 в том и только том случае, когда для любой точки x геометрической реали зации |K| и i s выполнено соотношение Hi(K;

k) = Hi(|K|, |K| \ x;

k) = 0.

Важный класс симплициальных комплексов составляют го ренштейновы* комплексы. Горенштейновым* (над k) называ ется симплициальный комплекс, для которого (1) алгебра k[K] является алгеброй Коэна–Маколея, (2) j (mn),2j (K) = 1 и (3) K нельзя представить в виде K = l L, l 0.

Теорема Стенли.7 Комплекс K является горенштейновым* над k тогда и только тогда, когда для любого симплекса I K комплекс linkK I имеет когомологии сферы размерности dim linkK I = dim K |I| (когомологии с коэффициентами в поле k).

В разделе 4.4 приведено новое доказательство этого результа та. В разделе 4.5 исследованы свойства колец Стенли–Райснера сферических нерв-комплексов.

Теорема 4.5.1. Если K сферический нерв-комплекс ранга n, то depth k[K] = n.

Следствие 4.5.2. Если P выпуклый многогранник, то depth k[KP ] = dim P.

Из последнего следствия и результата Аврамова–Голода23 вы водится Следствие 4.5.4. Алгебра когомологий H (ZP ;

k) является алгеброй Пуанкаре в том и только том случае, когда P простой многогранник.

На биградуированные числа Бетти нерв-комплексов много гранников имеется ряд соотношений, аналогичных свойствам горенштейновых* комплексов.

Теорема 4.5.8. Пусть P выпуклый многогранник размер ности n с m гипергранями. Тогда 1. i,2j (KP ) = 0 при i m n;

2. (mn),2j (KP ) = 0 при j = m;

(mn),2m(KP ) = 1;

3. i,2j (KP ) = 0 при j i n;

4. i,2j (KP ) = 0 при j i = n и j = m.

Содержание главы В главе 5 исследуется число Бухштабера максимальная раз мерность торических подгрупп, свободно действующих на мо мент-угол пространствах и момент-угол комплексах. В разделе 5.1 дано определение инварианта Бухштабера s(·) и веществен ного инварианта Бухштабера Rs(·) и показано, что s(P ) = s(KP ) и Rs(P ) = Rs(KP ), что позволяет рассматривать только случай Л. Л. Аврамов, Е. С. Голод, Об алгебре гомологий комплекса Козюля локального кольца Горенштейна, Матем. заметки, Т.9, вып.1, 1971, 53–58.

симплициальных комплексов. Приведена конструкция универ сальных комплексов Дэвиса–Янушкиевича Ul из работы 1. Для симплициального комплекса K на m вершинах число m s(K) совпадает с наименьшим целым l, для которого существует невы рожденное отображение из K в универсальный комплекс Ul согласно 18. Это соображение позволяет рассматривать число m s(K) как обобщенный хроматический инвариант в смыс ле Р. Зивальевича19. Описание такого подхода к проблеме Бух штабера и основных свойств обобщенных хроматических инва риантов содержится в разделе 5.2, а в разделе 5.3 на его основе получен следующий результат:

Предложение 5.3.4. Если dim K = 1, а (K) хроматиче ское число комплекса K, то s(K) = Rs(K) = m log2((K)+1).

Показано, что в случае dim K = 2 также выполнено равен ство s(K) = Rs(K). Вопрос о том, совпадают ли вещественное и комплексное числа Бухштабера в общем случае до сих пор был открытым. В разделе 5.4 дан ответ на этот вопрос:

Теорема 5.4.2. Существует симплициальный комплекс U, dim U = 3, такой что s(U ) = Rs(U ).

Доказательство этого утверждения состоит в переборе боль шого числа случаев и в конечном итоге сводится к компьютер ному анализу с использованием среды GAP24.

В разделе 5.5 исследованы аддитивные свойства числа Бух штабера. Согласно результату Н. Ю. Ероховца17,18 для произ вольных симплициальных комплексов K1 и K2 на множествах [m1] и [m2] выполнены неравенства s(K1) + s(K2) s(K1 K2) min{s(K1) + m2 dim K2 1, s(K2) + m1 dim K1 1}.

В большинстве примеров, возникающих в торической тополо гии, достигается равенство s(K1 K2) = s(K1) + s(K2), однако до сих пор было неизвестно, выполнено ли оно всегда. В разде The GAP Group, GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.12, 2008, http://www.gap-system.org.

ле 5.5 на основе предложения 5.3.4 показано, что это равенство может не иметь места:

Предложение 5.5.4. Пусть 1 граф Гретча, а 2 пол ный граф на четырех вершинах. Тогда s(1 2) = s(1)+s(2).

Содержание дополнения A В дополнительной главе А определены операции на симпли циальных комплексах, обобщающие некоторые известные кон струкции. Для симплициального комплекса K на m вершинах и симплициальных комплексов K1,..., Km определен новый сим плициальный комплекс K(K1,..., Km). В частном случае, ко гда Ki = li1, комплекс K(l1,..., lm) = K(K1,..., Km) был определен в работе25 и использован в работах Ю. М. Устинов ского26,27 для доказательства гипотезы торического ранга для момент-угол многообразий.

Предложение А.6. Если K, K1,..., Km сферические нерв комплексы, то K(K1,..., Km) также является сферическим нерв-комплексом.

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своему научному ру ководителю члену-корреспонденту РАН, профессору Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановку задачи и внимание на всех этапах написания работы. Автор благодарен д.ф.-м.н., про фессору Т. Е. Панову за постоянный интерес с его стороны к этой теме. К.ф.-м.н. С. А. Мелихова и к.ф.-м.н. Н. Ю. Ероховца автор благодарит за ряд высказанных ими полезных замеча ний. Автор также благодарен всему коллективу кафедры выс A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, S. Gitler, A new topological construction of innite families of toric manifolds implying fan reduction, arXiv:1011.0094v3.

Ю. М. Устиновский, Операция удвоения многогранников и действия тора, УМН, 64:5(389) (2009), 181–182.

Ю. М. Устиновский, Гипотеза о торическом ранге для момент-угол комплексов, Матем. заметки, 90:2 (2011), 300–305.

шей геометрии и топологии Механико-математического факуль тета МГУ за поддержку и внимание.

Список публикаций по теме диссертации [1] А. А. Айзенберг, Связь инвариантов Бухштабера и обоб щённых хроматических чисел, Дальневост. Матем. Журн.

11:2 (2011), 113–139.

[2] А. А. Айзенберг, В. М. Бухштабер, Нерв-комплексы и момент угол пространства выпуклых многогранников, Труды МИ АН им. В.А.Стеклова, 275, 2011, 22–54. (Автором получе ны следующие результаты: определение и описание основ ных свойств нерв-комплексов, доказательство формулы для f -вектора нерв-комплекса, доказательство гомотопической ZKP (D2, S 1), доказательство муль эквивалентности ZP типликативности бета-многочленов относительно произве дения и джойна многогранников.) [3] А. А. Айзенберг, Экспоненциальный закон для К-степени, УМН, 64:4 (388) (2009), 175–176.