Илья алексеевич аппроксимативно компактные множества в банаховых пространствах

На правах рукописи

УДК 517.982.256 Пятышев Илья Алексеевич АППРОКСИМАТИВНО КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 01.01.01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анали за механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент Бородин Петр Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Балаганский Владимир Сергеевич, институт математики и механики Уральского отделения РАН, кандидат физико-математических наук Рютин Константин Сергеевич, МГУ имени М.В. Ломоносова

Ведущая организация: Московский физико-технический институт (государственный университет)

Защита диссертации состоится 26 декабря 2008 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государ ственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математичес кого факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан ” 26 ноября” 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И. Н. Сергеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Пусть X линейное нормированное пространство, M непустое под множество X, (x, M ) := inf{ x y : y M } расстояние от элемента x X до M, PM (x) = {y M : x y = (x, M )} метрическая проек ция элемента x на множество M. Оператор PM : x PM (x), вообще гово ря, неоднозначен и определен не на всем X. В случае, если PM определен на всем пространстве X, M называется множеством существования, а если PM однозначен на своей области определения, то M называется мно жеством единственности. Если M является одновременно множеством существования и множеством единственности, то есть для любого x X в M существует ровно один элемент наилучшего приближения PM (x), то M называется чебышевским множеством.

Свойства множества быть множеством существования, единственности или чебышевским множеством относятся к числу основных аппроксима тивных свойств.

Основными в теории приближения в нормированных пространствах яв ляются задачи следующих типов:

1) получение геометрических, топологических и аналитических харак теристик множеств M X, обладающих некоторым заданным аппрокси мативным свойством в пространстве X, 2) описание линейных нормированных пространств X, в которых за данный класс множеств M X обладает заданным аппроксимативным свойством.

Теория приближений в нормированных пространствах берет свое нача ло в классической работе П.Л.Чебышева (1859), в которой, в частности, доказана чебышевость множества Pn алгебраических многочленов степе ни не выше чем n и множества Rmn рациональных функций со степе нью числителя не выше m и степенью знаменателя не выше n в про странстве C[a, b] функций, непрерывных на отрезке [a, b]. В этой же ра боте П.Л.Чебышев описал оператор метрического проектирования на мно жества Pn и Rmn (теорема об альтернансе). В дальнейшем геометриче ские вопросы теории приближений в пространстве C изучались А.Хааром (1918), А.Н.Колмогоровым (1948), Е.Я.Ремезом (1953). Окончательное ста новление геометрической теории приближений произошло в конце 50 х и в 60-е годы благодаря работам И.Зингера, В.Кли, Н.В.Ефимова и С.Б.Стечкина, В.И.Бердышева, Л.П.Власова, А.Л.Гаркави, Е.В.Ошмана, С.Я.Хавинсона, Д.Вульберта, Б.Крипке, Дж.Линденштраусса, П.Морриса, Т.Ривлина, У.Рудина, Р.Фелпса, Р.Холмса, Э.Чини и др. В дальнейшем су щественный вклад в развитие геометрической теории приближений внесли В.С.Балаганский, С.В.Конягин, И.Г.Царьков, Л.Зайичек.

Значительная часть опубликованных работ по геометрической теории приближений группируется вокруг следующей проблемы Кли–Ефимова– Стечкина: доказать (или опровергнуть), что в гильбертовом простран стве любое чебышевское множество выпукло. Важную роль в этих ис следованиях играет понятие аппроксимативной компактности, введенное в 1961 году Н.В.Ефимовым и С.Б.Стечкиным.

Пусть M некоторое подмножество банахова пространства X. После довательность {yn } M называется минимизирующей для элемента n= x X, если yn x (x, M ) при n.

Определение (Н.В.Ефимов, С.Б.Стечкин, 1961). Множество M ап проксимативно компактно, если для любого x X всякая минимизирую щая последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из М.

Понятие аппроксимативной компактности не зависит от линейной структуры X и может рассматриваться в любом метрическом простран стве. Аппроксимативно компактное множество M замкнуто, а также явля ется множеством существования.

Произвольное множество M в банаховом пространстве не обязано быть аппроксимативно компактным, но для него можно определить множество AC(M ) = {x : минимизирующей последовательности {yn } M ynk y M } точек аппроксимативной компактности.

В связи с упомянутой проблемой была доказана Теорема A (Н.В.Ефимов, С.Б.Стечкин, 1961). Пусть X гладкое, равномерно выпуклое банахово пространство. Для того, чтобы чебышев ское множество M X было выпукло, необходимо и достаточно, чтобы оно было аппроксимативно компактно.

В дальнейшем эта теорема обобщалась Л.П. Власовым.

После работы Н.В.Ефимова, С.Б.Стечкина аппроксимативно компакт ные множества и подпространства изучались многими авторами. Общая задача описания аппроксимативно компактных множеств в большинстве самых употребительных банаховых пространств не решена. В достаточ но "хороших" пространствах X аппроксимативно компактными являются все выпуклые замкнутые множества. Такие пространства называются про странствами Ефимова-Стечкина.

Определение (И.Зингер, 1964). Банахово пространство X называется пространством Ефимова-Стечкина, если для любой последовательности {xn } X, xn = 1, из того, что f X, f = 1, f (xn ) 1, следует существование у {xn } сходящейся подпоследовательности.

Теорема B (И.Зингер, 1964). Следующие условия эквивалентны:

1) X пространство Ефимова-Стечкина;

2) всякое выпуклое замкнутое множество в X аппроксимативно ком пактно;

3) всякая замкнутая гиперплоскость в X аппроксимативно компакт на;

4) всякое слабо замкнутое множество в X аппроксимативно ком пактно.

Примерами пространств Ефимова-Стечкина служат пространства Lp, 1 p. В силу теоремы B задача описания выпуклых аппрок симативно компактных множеств содержательна для пространств, не яв ляющихся пространствами Ефимова-Стечкина, в первую очередь для про странств L1, L и пространства C(K) функций, непрерывных на (хау сдорфовом) компакте K.

Пусть Q бикомпакт, C(Q) пространство непрерывных веществен нозначных функций с нормой x = sup{|x(t)| : t Q}.

Теорема C (Л.П.Власов, 1980). Пусть Y собственное подпростран ство существования в C(Q), codim Y. Тогда если бикомпакт Q бес конечен, то AC(Y ) = Y.

П.А.Бородина(2002) доказал, что в пространстве c нет бесконечномер ных собственных аппроксимативно компактных подпространств, то есть пространство c является антиподом пространств Ефимова-Стечкина.

В III главе настоящей работы получен критерий аппроксимативной ком пактности для подпространств конечной коразмерности в произвольном банаховом пространстве, а также в некоторых функциональных простран ствах.

Очевидно, если множество M ограниченно компактно (то есть его пе ресечение с любым замкнутым шаром является компактным), то оно ап проксимативно компактно. Обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема D (П.А.Бородин, 1994). В произвольном бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве существует аппроксимативно компактное, но не ограниченно компактное множество.

В работе П.А.Бородина(1999) доказано, что в любом рефлексивном ба наховом пространстве существует выпуклое ограниченное аппроксиматив но компактное тело. Проблема существования (ограниченного) аппрокси мативно компактного тела не решена ни для какого класса пространств более широкого, чем класс рефлексивных пространств, а также ни для ка кого из пространств L1 [a, b], C[a, b], c.

В главе II настоящей работы построен пример ограниченного аппрок симативно компактного тела в пространстве c0, а также пример неограни ченного аппроксимативно компактного тела в пространстве c.

Помимо описания аппроксимативно компактных подпространств и вы пуклых множеств интересен вопрос об аппроксимативной компактности дополнений к выпуклым телам каверн. Л.П.Власов (1967) доказал, что в банаховом пространстве не существует аппроксимативно компактных и аппроксимативно выпуклых множеств вида X \ M, где M ограниченное множество (множество M называется аппроксимативно выпуклым, если для каждого x метрическая проекция PM (x) не пуста и выпукла).

В некотором смысле антиподом аппроксимативно компактным множе ствам являются антипроксиминальные множества, то есть такие множе ства M X, что PM (x) = для любого x M.

/ Антипроксиминальным множествам посвящены работы многих авто ров. Наиболее яркие результаты получены В.С.Балаганским (1996, 1998).

Так, в любом пространстве C(Q), где Q бесконечный бикомпакт, существует антипроксиминальное ограниченное замкнутое выпуклое те ло. В бесконечномерном пространстве X = L1 (S,, µ) с конечной мерой В.С.Балаганским доказано существование такого центрально симметричного антипроксиминального множества M, что X \ M выпукло и ограничено.

В главе II диссертации найдена связь между аппроксимативной ком пактностью выпуклого тела и антипроксиминальностью его каверны.

Цель работы.

Целью настоящей работы является исследование сохранения свойства аппроксимативной компактности при различных операциях над множе ствами, связей между аппроксимативной компактностью и другими свой ствами множеств, описание аппроксимативно компактных подпространств в пространствах не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина.

Научная новизна работы.

Все результаты диссертации являются новыми, получены следующие основные результаты:

1. в различных классах банаховых пространств построены примеры аппроксимативно компактных множеств с различными дополнительными свойствами, пересечение или алгебраическая сумма которых не являются аппроксимативно компактными;

2. построены примеры выпуклых аппроксимативно компактных тел в пространствах c0 и c;

3. в произвольном сепарабельном банаховом пространстве построен пример ограниченного аппроксимативно компактного, но не локально ком пактного множества;

4. в специальном классе банаховых решеток построен пример не ап проксимативно компактного множества существования с конечнозначной метрической проекцией;

5. доказано, что в пространстве CA(D) функций, непрерывных на за мыкании единичного круга D и аналитических внутри D, нет собственных аппроксимативно компактных подпространств конечной коразмерности.

Методы исследования.

В работе применяются методы функционального анализа, теории при ближений функций, геометрии выпуклых множеств.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти при менение в исследованиях по геометрической теории приближений в бана ховых пространствах.

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ под руковод ством проф. Е.П.Долженко (2004-2008), на семинаре по теории приближе ний в МГУ под руководством проф. И.Г.Царькова (2008), на семинаре по теории тригонометрических рядов в МГУ под руководством профессоров М.И.Дьяченко, Т.П.Лукашенко, М.К.Потапова и В.А.Скворцова (2008), в МФТИ на семинаре под руководством профессора Е.С.Половинкина (2008), на Воронежской зимней школе по теории функций (2005) и на шко ле С.Б.Стечкина по теории функций в г. Алексине (2007).

Работа поддержана грантом РФФИ, проект 08-01-00648а (руководитель профессор Е.П.Долженко).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав и списка ци тированной литературы из 48 наименований. Общий объем диссертации страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В главе I исследуется вопрос о сохранении свойства аппроксиматив ной компактности при различных операциях над множествами в банахо вых пространствах. То, что объединение двух аппроксимативно компакт ных множеств аппроксимативно компактно, легко следует из определения.

Вопрос о пересечении сложнее: можно ли в произвольном банаховом про странстве взять два аппроксимативно компактных множества, пересечение которых не аппроксимативно компактно? В общем случае эта задача не ре шена.

Скажем, что банахово пространство X (CLU R), если из x = xn = 1, x + xn 2 (n ), вытекает существование сходящейся подпоследовательности xnk.

Этот класс пространств более широк, чем равномерно выпуклые про странства. В произвольном бесконечномерном пространстве (CLU R) суще ствуют два аппроксимативно компактных множества, пересечение которых не аппроксимативно компактно.

Другой вопрос это сохранение аппроксимативной компактности при операции алгебраической суммы над аппроксимативно компактными мно жествами. Она может давать незамкнутое множество, которое автомати чески не аппроксимативно компактно.

Теорема 1.1. В любом бесконечномерном банаховом пространстве X существуют два аппроксимативно компактных множества, алгебраиче ская сумма которых является замкнутым, но не аппроксимативно ком пактным множеством.

В приведенном доказательстве оба множества не ограниченны. Приве сти пример с двумя ограниченными множествами удалось лишь в клас се пространств (*), состоящем из банаховых решеток, порядок в которых определяется счетным симметрическим базисом с константой симметрич ности 1, с дополнительным условием строгой монотонности нормы относи тельно координат. Этот класс содержит все пространства lp, 1 p, при этом он отличен от класса (CLU R).

Теорема 1.2. В банаховом пространстве X из класса (*) существуют ограниченные аппроксимативно компактные множества M1, M2, такие что пересечение M1 M2 не аппроксимативно компактно, алгебраиче ская сумма M1 + M2 замкнута и не аппроксимативно компактна.

В пространстве L1 [0;

3] построен пример двух аппроксимативно ком пактных линейных подпространств, алгебраическая сумма которых за мкнута, но не аппроксимативно компактна.

В главе II исследуется связь между аппроксимативной компактностью и другими свойствами множеств.

Упоминавшуюся проблему существования выпуклого аппроксиматив но компактного тела (актуальную для всех нерефлексивных пространств), удалось решить для пространств c0 и c.

В пространстве c0 рассмотрим множества Mk = {x = (x1, x2, 0, 0,...) : max{|x1 |,..., |xk |} 1 + 21k }, k = 1, 2,....

Положим M0 = conv Mk замыкание выпуклой оболочки объединения k= множеств Mk.

Теорема 2.1. Множество M0 является выпуклым аппроксимативно компактным телом в c0.

В пространстве c на основе множества M0 построен пример выпукло го неограниченного аппроксимативно компактного тела. Обозначим e = (1, 1, 1,...) c.

Теорема 2.2. Множество M = M0 + e аппроксимативно компакт но в c.

В целом классе пространств с помощью выпуклого аппроксимативно компактного тела можно получить антипроксиминальную каверну.

Теорема 2.3. Пусть в банаховом пространстве X единичный шар B таков, что AC(B) = B. Тогда, если выпуклое тело M аппроксимативно компактно, то каверна X \ M антипроксиминальна.

Обратное, вообще говоря, неверно. Соответствующий пример построен в главе II в пространстве c0.

В пространстве c0 единичный шар удовлетворяет условию теоремы 2.3.

В результате для множества M0 получаем Следствие 2.1. Каверна для построенного в теореме 2.1 множества M0 c0 является антипроксиминальной.

Исследовался также вопрос о связи аппроксимативно компактных мно жеств с локально компактными множествами.

Определение. Подмножество M банахова пространства X называется локально компактным, если любая точка этого множества имеет некото рую окрестность, пересечение которой с M предкомпактно.

В произвольном бесконечномерном банаховом пространстве несложно построить локально компактное множество, которое не является аппрок симативно компактным. Для этого достаточно взять множество точек на единичной сфере, расстояние между любыми двумя из которых больше 1/2. Пример аппроксимативно компактного, но не локального множества удалось построить только в бесконечномерных сепарабельных простран ствах. За основу построения взят пример аппроксимативно компактного множества из теоремы D.

Теорема 2.4. В любом бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве X существует аппроксимативно компактное, но не ло кально компактное множество.

В работах С.В.Конягина (1981, 1997) изучались категорный свойства множеств AC(M ) точек аппроксимативной компактности. В настоящей ра боте исследовался вопрос о замкнутости/открытости множества AC(M ).

Теорема 2.5. Пусть X банахово пространство. Для любого за мкнутого множества M X множество AC(M ) имеет тип G.

При этом нельзя утверждать, что для замкнутого M множество AC(M ) всегда является замкнутым или открытым. В пространстве l1 построено подпространство Y коразмерности два, для которого AC(Y ) = l1 и за мкнуто. При этом удалось построить пример банахова пространства X и такого подпространства Y X, что AC(Y ) не замкнуто.

Метрическая проекция PM (x) на аппроксимативно компактное множе ство M компактна x. В описанном ранее классе (*) банаховых решеток обратное не верно: из компактности метрической проекции не следует ап проксимативная компактность множества.

Теорема 2.6. В любом банаховом пространстве X из класса (*) су ществует такое ограниченное не аппроксимативно компактное множе ство M, что метрическая проекция PM (x) непуста и конечна для любого x X.

Этот результат примыкает к проблеме Кли–Ефимова–Стечкина: в силу теоремы A эта проблема эквивалентна проблеме существования в l2 (*) не аппроксимативно компактного чебышевского множества.

В III главе исследуется аппроксимативная компактность линейных под пространств.

банахово пространство, Y X Теорема 3.1. Пусть X некото рое не аппроксимативно компактное подпространство. Тогда существу ет такой функционал f Y, что ядро Ker f не аппроксимативно ком пактно.

Следствие 3.1. Пусть Y подпространство в X, codim Y. Для того, чтобы Y было не аппроксимативно компактно, необходимо и до статочно, чтобы существовал такой функционал f Y, что подпро странство Ker f не аппроксимативно компактно.

В пространстве L1 (M ) = L1 (M,, µ) с -конечной мерой µ атом ную часть меры µ представим в виде An, где {An } возможно, ко n нечная, последовательность атомов. Обозначим an = f (IAn )/µ(IAn ), где f L (M ). Порождаемый функцией f функционал достигает своей нор мы в L1 (M ) в том и только том случае, когда функция f достигает своей нормы f = ess sup{|f (t)| : t M } на множестве положительной меры, которое обозначим m(f ).

Теорема 3.2. Подпространство Y в L1 (M ) =L1 (M,, µ) с codim Y не аппроксимативно компактно тогда и только тогда, когда суще ствует функционал f Y, удовлетворяющий одному из условий:

1) µ(m(f )) = 0;

2) µ(m(f ) An ) = 0 n;

3) существует такая последовательность атомов {Ank }, что |ank | f при k.

Формулировка этой теоремы была анонсирована В.И.Андреевым в 1975г. Поскольку в работах В.И.Андреева не удалось найти доказательство этого результата, в диссертации приведено собственное доказательство.

Следствие 3.2. Пусть подпространство Y является ядром функцио нала f l1 = l, f = (f1, f2,...). Тогда Y не аппроксимативно компактно тогда и только тогда, когда в последовательности {fi } имеется такая подпоследовательность {fik }, что |fik | f.

Приводятся также примеры бесконечномерных подпространств про странства l1 как аппроксимативно компактных, так и не аппроксима тивно компактных, как конечной, так и бесконечной коразмерности.

В произвольном пространстве L1 (M ) выделен следующий класс ап проксимативно компактных подпространств.

Теорема 3.3. Пусть M = M1... Mk, µ(Mi Mj ) = 0 при i = j и при этом множества Mj одинаковы в том смысле, что для всякого j существует взаимно-однозначное отображение fj : M1 Mj, сохраняю k щее меру µ. Пусть Y0 подпространство в l1. Представим множество M1 в виде K1 K2, где K2 атомная часть меры µ на M1. Тогда под пространство Y = {y L1 (M ) : (y(t), y(f2 (t)),..., y(fk (t))) Y0 для п.в. t M1 } не аппроксимативно компактно в L1 (M ) тогда и только тогда, когда k µ(K1 ) 0 и подпространство Y0 не чебышевское в l1.

В отличие от пространства L1, в пространствах непрерывных функций нет собственных аппроксимативно компактных подпространств конечной коразмерности см. выше теорему C. Это свойство наследуется простран ством аналитических функций с равномерной нормой.

Обозначим D = {z C, |z| 1} единичный круг в комплексной пространство функций f : D C, аналитических плоскости, CA(D) внутри D и непрерывных на D.

Теорема 3.4. В пространстве CA(D) нет собственных аппроксима тивно компактных подпространств конечной коразмерности.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доценту Бо родину Петру Анатольевичу за постановку задач, обсуждение и постоян ную поддержку в работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Пятышев И.А. Пример выпуклого аппроксимативно компактного тела в пространстве c0 // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1 Матем. Мех. 2005. № 3. С.

57-59.

2. Пятышев И.А. Операции над аппроксимативно компактными множе ствами // Матем. заметки. 2007. Т. 82. № 5. С. 729-736.

3. Пятышев И.А. Пример ограниченного аппроксимативно компактного множества, не являющегося локально компактным // Успехи матем. на ук. 2007. Т. 62, № 5. С. 163-164.

4. Пятышев И.А. Об аппроксимативно компактных множествах в бана ховых пространствах // Международная летняя математическая школа С.Б.Стечкина по теории функций (Алексин, 2007). Издательство Тульско го университета. С. 115-118.

5. Пятышев И.А. Пример выпуклого аппроксимативно компактного тела в пространстве c0 // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Во ронеж. Изд-во Воронежского ун-та. 2005. С. 190-191.