Евгений юрьевич о строении окрестности изолированной стационарной точки локальной динамической системы на плоскости, допускающей первое приближение

На правах рукописи

УДК 517.91+517.925.41+517.925.926+517.938 Мычка Евгений Юрьевич О СТРОЕНИИ ОКРЕСТНОСТИ ИЗОЛИРОВАННОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧКИ ЛОКАЛЬНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ, ДОПУСКАЮЩЕЙ ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 01.01.04 геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Москва 2011

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии Механико математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Филиппов Владимир Васильевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Владимирович;

доктор физико-математических наук, профессор Сергеев Игорь Николаевич.

Ведущая организация:

Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Защита диссертации состоится 25 марта 2011 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государ ственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Фе дерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 25 февраля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация относится к изучению свойств топологических структур, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) и динамическими системами. В диссертации исследуется окрестность изолиро ванной стационарной точки (ИСТ) локальной динамической системы (ЛДС) на плоскости по первому приближению. Исследование ведется в рамках ак сиоматической теории ОДУ.

Аксиоматическая теория ОДУ была предложена и активно развивает ся В.В.Филипповым1 (МГУ). Она уже позволила получить ряд существен но новых результатов, в том числе существование решений для уравнений с особенностями, не удовлетворяющими условиям Каратеодори. Аксиома тический подход В. В. Филиппова расширяет область применения своих ре зультатов. Введенное понятие “сходимости пространств решений” позволя ет изучать зависимость решений от параметров в правой части уравне ний, исследовать асимптотические свойства решений в окрестности ИСТ при t, включая свойство устойчивости по первому приближению, а также другие свойства решений в случаях, не охватываемых классиче ской теорией. Попытки подобного рода предпринимались и раньше таки ми известными математиками как S.K. Zaremba, В.В. Немыцкий, Е.А. Бар башин и др. Однако теория В. В. Филиппова имеет дело с более широки ми объектами, включающими в себя результаты других рассмотрений как частные случаи. Например, относительно недавний результат, полученный Л. С. Сугаиповой2, гласит о том, что обобщенная динамическая система, вве денная Е.А.Барбашиным, совпадает с пространствами класса Ace (X) теории В.В. Филиппова.

Известная монография А. Ф. Филиппова3 посвящена дифференциальным уравнениям с разрывной правой частью. Подобные уравнения возникают в задачах механики, электротехники, теории автоматического управления и в В. В. Филиппов Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений, Москва, Изд во МГУ, 1993, 336 с.;

В. В. Филиппов Топологическое строение пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений, Успехи математических наук, т. 48, №1, 1993, с. 103-154;

V. V. Filippov Basic topological structures of the theory of ordinarydierential equations, Topology in Nonlinear analysis, Banach center publications, 35, 1996, p.171-192;

V. V. Filippov Basic topological structures of ordinary dierential equations, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1998;

V. V. Filippov Topological structures of ordinary dierential equations, Open problems in Topology II, Elsevier B.V., 2007, p.561-565;

В. В. Федорчук, В. В. Филиппов Общая топология. Основные конструкции, Москва, Издательство МГУ, 1988.

Л. С. Сугаипова Применение аксиоматического метода для исследования автономных систем на плоскости, Москва, Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук, 2002, 69 с.

А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Москва: Наука, 1985.

других областях науки. Ввиду наличия такого большого числа прикладных задач и связанных с ними дифференциальных уравнений с разнообразными особенностями, развитие аксиоматического метода является особенно акту альной задачей.

Цель работы.

В монографии4 O. Hajek’ом была изложена теория ЛДС. Топология на пространстве ЛДС была введена по аналогии с бикомпактно-открытой то пологией пространства отображений. Однако O. Hajek’у не были известны реальные приложения этой топологической структуры. Основной целью дис сертации является показать, что содержательное использование этой тополо гии может заметно расширить сферу приложений теории ЛДС. Это делается на примере исследования окрестности ИСТ ЛДС на плоскости.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самосто ятельно. Решается задача, связанная с исследованием ЛДС по ее первому приближению. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

Построен гомеоморфизм между пространством L (X) ЛДС и про странством Aceu (X).

Дано полное описание строения окрестности ИСТ ЛДС на плоскости в том случае, когда все сектора являются правильными. Построен гомеомор физм окрестности ИСТ на окрестность ИСТ некоторой стандартной систе мы.

Доказано утверждение о том, что если в пространстве Z, являю щимся первым приближением пространства Z, все параболические секто ра устойчивы, то окрестности исследуемой точки фазовых плоскостей про странств Z и Z устроены одинаково, т. е. количество, тип и порядок следо вания секторов совпадают. В классическом случае для двумерной системы линейных дифференциальных уравнений условие устойчивости параболиче ских секторов выполняются автоматически. Также показано, что если про странство решений в окрестности ИСТ допускает первое приближение, то параболические и эллиптические сектора являются правильными, а гипер болические сектора являются простыми.

Доказано утверждение об одной асимптотической оценке решений ЛДС, допускающей первое приближение.

Методы исследования.

В работе используются методы общей топологии, теории линейно упоря доченных связных множеств, качественной теории ОДУ, а также результаты O. Hajek. Dynamical Systems in the Plane, Academic Press, London and New York, 1968.

селекционной теоремы Майкла.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории динамических систем и качественной теории ОДУ.

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались автором на семи наре кафедры общей топологии и геометрии Механико–математического фа культета МГУ (2008, 2009, 2010гг.), а также на международной конференции “Современные проблемы математики, механики и их приложений”, посвя щенная 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего (2009 г.).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 4 работах. Список работ при веден в конце автореферата [1–4].

Структура и объем диссертации.

Диссертация изложена на 77 страницах и состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 22 наименование.

Содержание работы Во введении содержится справка об аксиоматической теории, предложен ной В. В. Филипповым, приводятся основные определения и формулировки теорем, доказанных в диссертации.

Также во введении обосновывается актуальность темы диссертации и дан краткий обзор полученных в диссертации результатов.

1. В первой главе содержатся два результата, связанные со сравнением двух подходов к аксиоматическому построению теории ОДУ: теории ЛДС и теории В. В. Филиппова.

Подход O. Hajek’а. Пусть X – локально компактное метрическое про странство. Поставим каждой точке x X в соответствие интервал Ix = (ax, bx ) действительной прямой, содержащий 0. Пусть Dµ = Ix {x}, xX тогда отображение µ : Dµ X называется (непрерывной) ЛДС на X, если оно удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

A1. Dµ открыто в R X;

A2. µ(0, x) = x для всех x X;

A3. µ(t, µ(s, x)) = µ(t + s, x), если а). (s, x) Dµ и (t, µ(s, x)) Dµ или б). (s, x) Dµ и (t + s, x) Dµ ;

A4. µ(t, x) непрерывно на Dµ.

Подход В. В. Филиппова. Пусть X – локально компактное метриче ское пространство. Рассмотрим множество Cs (U ) всех непрерывных функ ций, определенных на всевозможных отрезках и одноточечных подмноже ствах действительной прямой, графики которых лежат в множестве U = R X. На множестве Cs (U ) зададим метрику Хаусдорфа, после чего Cs (U ) становится топологическим пространством. Рассмотрим подпространство Z Cs (U ). Пусть в пространстве Z выполнены следующие свойства, ко торые в дальнейшем будем называть аксиомами (или условиями):

1. Если z Z, то для любого отрезка I (z) z |I Z.

2. Если области определения функций z1, z2 Z пересекаются и функции z1, z2 совпадают на множестве (z1 ) (z2 ), то определенная на множестве (z1 ) (z2 ) функция z1 (t) при t (z1 );

z(t) = z2 (t) при t (z2 ) также принадлежит множеству Z.

3. Если функция z принадлежит Z, то для любого a R функция z(t+a) также принадлежит Z.

(e) Для любой точки (t, y) U существует функция z Z такая, что область определения функции z будет содержать точку t строго внутри себя и z(t) = y.

(c) Для любого компакта K U множество ZK компактно.

(u) Если области определения функции z1, z2 Z совпадают и в некото рой точке t их общей области определения z1 (t) = z2 (t), то z1 = z2.

Если множество Z удовлетворяем аксиомам (1) и (2), то будем писать Z R(U ). Если множество Z удовлетворяем аксиомам (1) – (3), то будем писать Z A(X). Если дополнительно выполнены еще некоторые аксиомы ((c), (e) или (u)), то это будем отображать в нижнем индексе A, т. е. если выполнены аксиомы (c), (e) и (u), то Z Aceu (X).

Первый результат показывает, что ЛДС и пространство класса Aceu (X) являются различными описаниями одного и того же объекта.

Второй результат состоит в том, что топология, введенная ранее О. Hajek’ом на пространстве ЛДС, совпадает с топологией пространства Aceu (X), рассматриваемой в рамках теории В. В. Филиппова.

2. Во второй главе дается полное описание строения окрестности ИСТ ЛДС на плоскости в том случае, когда все сектора являются правильны ми. Как будет показано в третьей главе, такая ситуация реализовывается, например, когда исследуемая ЛДС допускает первое приближение.

Рассмотрим пространство Z Aceu (X), где X является окрестностью некоторой ИСТ q R2. Можно считать без ограничения общности, что окрестность X не содержит других стационарных точек. Обозначим через C границу окрестности X. В работах Л. С. Сугаиповой5 были доказаны сле дующие утверждения:

Теорема 1. Достаточно малую окрестность ИСТ q можно разбить на конечное число секторов, каждый из которых может быть эллипти ческим, параболическим или гиперболическим.

Теорема 2. Около ИСТ q всегда можно найти столь малую окрест ность, что каждая полутраектория будет либо стремиться к q, либо покидать окрестность за конечное время.

В этих утверждениях не сказано о том как траектории соответствующих секторов могут себя вести по отношению к границе C окрестности X. В связи с этим во второй главе делаются некоторые уточнения в этих направлениях.

Доказаны следующие утверждения:

Теорема 3. В параболическом секторе существует такая задняя стен ка, гомеоморфная отрезку, что любая траектория сектора, отличная от стационарной и эллиптической, пересекает ее ровно один раз.

Теорема 4. В гиперболическом секторе найдется такая задняя стенка [a, b], гомеоморфная отрезку, c отмеченной точкой m [a, b], что через полуинтервал [a, m) траектории будут только входить в сектор, через полуинтервал (m, b] траектории будут только выходить из сектора, а в точке m будет только внешнее касание некоторой траектории.

Задние стенки, существование которых утверждается в теоремах, будем называть правильными.

Теперь предположим, что все сектора удовлетворяют некоторым допол нительным ограничениям.

Параболический сектор будем называть правильным, если в нём нет эл липтических траекторий.

Л. С. Сугаипова Исследование предельных множеств траекторий на плоскости аксиоматическим методом, Вестн. моск. ун-та, сер.1, математика. механика, №4 2003, с. 13-16;

Л. С. Сугаипова Исследо вание особой точки аксиоматическим методом, Вестн. моск. ун-та, сер.1, математика. механика, №5, 2004, c. 3-6.

Эллиптический сектор будем называть правильным, если для любых двух его траекторий x(t) и y(t) либо траектория x(t) содержится в обла сти, ограниченной траекторией y(t) и точкой q, либо наоборот.

Гиперболический сектор будем называть простым, если в нём нет эллип тических траекторий.

Гиперболический сектор будем называть правильным, если он является простым и существует такая правильная задняя стенка, что если траек тории x(t) и y(t) начинаются и заканчиваются на и x(t) лежит в области, ограниченной и y(t), то x(t) проходится быстрее, чем y(t).

В третьей главе будет показано, что условие существования первого при ближения исследуемого пространства Z Aceu (X) достаточно для того, чтобы параболические и эллиптические сектора окрестности X были пра вильными, а гиперболические сектора были простыми.

Теорема 5. В окрестности ИСТ q, состоящей из правильных секто ров, найдется такая окрестность c границей C, гомеоморфной окружно сти, что каждый эллиптический сектор будет пересекать границу C по одной точке, каждый эллиптический сектор будет находиться между па раболическими секторами, и части границы C, ограничивающие гипербо лические или параболические сектора, будут правильными стенками.

Границу C окрестности ИСТ q, существование которой утверждается в теореме, будем называть правильной.

Пусть Z1 Aceu (X1 ) и Z2 Aceu (X2 ). Назовем пространства Z1 и Z изоморфными, если найдется гомеоморфизм f между X1 и X2 такой, что f (zx (t)) = zf (x) (t) для всех x X1 и t (zx ). Если пространства Z1 и Z изоморфны, то будем писать Z1 Z2.

Теорема 6. Пусть Z1 Aceu (X1 ) и Z2 Aceu (X2 ), где X1 и X2 – пра вильные окрестности ИСТ q1 и q2 с правильными границами. Если между границами окрестностей X1 и X2 существует гомеоморфизм, сохраняю щий тип точек, то Z1 Z2.

3. Третья глава является основной, в ней затрагиваются вопросы, ко торые отражает название диссертации. Понятие “сходимости пространств решений” является одним из важных понятий теории В. В. Филиппова, ко торое используется в третьей главе. Это понятие позволяет применить метод первого приближения для исследования окрестности ИСТ ЛДС.

По определению, семейство пространств Z Aceu (X) сходится к про странству Z при + в области X, если для любого компакта K R X, для любой последовательности чисел i + и для любой последовательности функций zi Zi, графики которых лежат в компакте K, найдется функция y Z и подпоследовательность {xij }, сходящаяся к функции y.

Поместим начало координат в исследуемую точку 0. Увеличение окрест ности X точки 0 в раз соответствует переходу от исследуемого простран ства Z к пространству Z := {z : z Z}. Предельное пространство Z семейства Z при +, если оно существует, называется первым при ближением пространства Z. Нас интересует вопрос какие характеристики строения фазового портрета окрестности исследуемой точки относительно пространства Z переносятся на аналогичный объект относительно про странства Z.

Параболический сектор в пространстве Z будем называть устойчивым, если с ним граничат либо только эллиптические сектора, либо только гипер болические сектора.

Основными результатами третьей главы являются следующие утвержде ния.

Теорема 7. Если в пространстве Z все параболические сектора (возможно вырожденные в параболическую траекторию) устойчивы, то окрестности ИСТ соответствующих фазовых плоскостей пространств Z и Z устроены одинаково, т. е. количество, тип и порядок следования секторов совпадают.

Назовем пространства Z1 Aceu (X) и Z2 Aceu (Y ) локально изоморф ными, если найдутся такие подмножества X1 X и Y1 Y, что простран ства (Z1 )X1 Aceu (X1 ) и (Z2 )Y1 Aceu (Y1 ) будут уже изоморфными. Если loc пространства Z1 и Z2 локально изоморфны, то будем писать Z1 Z2.

Теорема 8. Если в пространстве Z нет гиперболических секторов, loc то Z Z.

Приведенные в диссертации примеры показывают существенность всех условий в данных утверждениях.

4. В последней главе доказывается утверждение об асимптотической оценке решений ЛДС, допускающей первое приближение.

Если z(t) является входящей параболической траекторией пространства Z, то обозначим через z (t) любое накрытие отображения z(t)/||z(t)|| в окружность. Через (z) обозначим верхний предел limt+ z (t), а через (z) обозначим нижний предел limt+ z (t).

Для произвольного числа R обозначим через l() луч {µ(cos, sin ) : µ 0)} и для чисел 0 2 обозначим через S(, ) множество {l() : }. Если x R2, то через zx Z обозначим функцию с начальным условием zx (0) = x.

Пусть 1) пространство Y Aceu (R2 ) является первым приближением простран ства Z Aceu (V );

2) v(t) является входящей параболической траекторией пространства Z и (v) (v) +.

Рассмотрим сектор [S( (v), (v))] в фазовой плоскости пространства Y.

Обозначим через x() точку пересечения единичной окружности с лучом l(). Определим следующие величины:

1 = min ln ||zx() (1)||, (v) (v) 2 = max ln ||zx() (1)||.

(v) (v) Для функции v определим число [v] = limt+ t1 ln ||v(t)||, ко торое называется (верхним) показателем Ляпунова, и число [v] = limt+ t1 ln ||v(t)||, которое называется (нижним) показателем Перрона.

Теорема 9. Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда 1 [v] [v] 2.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководите лю, профессору В. В. Филиппову за постановку задач и постоянное внима ние к работе. Автор выражает глубокую благодарность всем сотрудникам кафедры общей топологии и геометрии за внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации [1] Е. Ю. Мычка Пространство локальных динамических систем L (X) и пространство В.В. Филиппова Aceu (X), Дифференциальные Уравнения, 2010, т. 46, №4, с. 499–505.

[2] Е. Ю. Мычка О строении окрестности изолированной стационарной точки локальной динамической системы на плоскости, Дифференциаль ные Уравнения, 2011, т. 47, №2.

[3] Е. Ю. Мычка Пространство локальных динамических систем и пространство В.В. Филиппова Aceu (X), Материалы международной конференции “Современные проблемы математики, механики и их прило жений”, посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего, г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 30 марта – 02 апреля 2009г., с. 180.

[4] Е. Ю. Мычка Исследование окрестности изолированной стационарной точки локальной динамической системы на плоскости по первому прибли жению // МГУ - Москва, 2010, -23с, ил. - Библиогр.: 5 назв. - Рус. Деп. в ВИНИТИ 20.12.10 № 712-В2010.