Всеволод леонидович квазиклассические асимптотики в спектральных задачах и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах.

На правах рукописи

УДК 514.8 Чернышев Всеволод Леонидович Квазиклассические асимптотики в спектральных задачах и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах.

Специальность 01.01.04 геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложе ний Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор А. И. Шафаревич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент А. В. Боровских (Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова);

кандидат физико-математических наук А. А. Васильев (Институт космических исследований Российской Академии Наук)

Ведущая организация: Белгородский государственный университет.

Защита диссертации состоится 21 ноября 2008 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государ ственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Феде рация, 119991, Москва, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д. 1, Механико-ма тематический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математи ческого факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 20 октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов

Общая характеристика работы

.

Актуальность темы.

Работа посвящена описанию квазиклассического приближения для урав нений квантовой механики, соответствующего сингулярным множествам, в частности, построению квазиклассической теории на геометрических графах.

Теория дифференциальных уравнений и краевых задач на геометрических графах интенсивно развивается в последние десятилетия. Дифференциаль ные уравнения на пространственных сетях используются при моделировании различных задач естествознания: колебаний упругих сеток, процессов в сетях волноводов, состояний электронов в молекулах и других.

Большую часть работ в этой области условно можно разделить на два направления. Первое из них связано с применением методов теории операто ров, теории самосопряженных расширений. Такой подход одним из первых использовал Б. С. Павлов, вместе с соавторами, в 80-х годах1. В настоящее время в этой области активно работают П. Экснер, О. Пост, П. Курасов, У. Смелянский2 и многие другие. Например, исследована обратная спек тральная задача, получена формула следа. Второе направление связано с получением аналогов классических результатов теории дифференциальных уравнений для случая геометрических графов. В частности, исследовались спектральные и качественные свойства решений краевых задач, построена теория неосцилляции, изучалась функция Грина, активно исследуются вол новые процессы на графах. Здесь можно отметить работы Ю. В. Покорного, О. М. Пенкина, В. Л. Прядиева, А. В. Боровских, К. П. Лазарева3 и других.

Возрос интерес к уравнениям Шредингера на сетях. Произошло это в связи с тем, что квантовые системы могут описываться тонкими многообразиями, которые в пределе стягиваются к графам4.

Для волнового уравнения на геометрическом графе (а точнее, на декар товом произведении графа и R) при гладких условиях трансмиссии полу чены аналоги формулы Даламбера, и для некоторых классов геометриче ских графов описаны профили прямой и обратной волн (F. Ali-Mehmeti5 ;

См., в частности, статью Н. И. Герасименко, Б. С. Павлов. Задача рассеяния на некомпактных графах.

// Теоретическая и математическая физика, том 74, 3, 1988. C. 345–359.

См., в частности, обзор P. Kuchment. Graph models of wave propagation in thin structures. // Waves in Random Media. V. 12, 4, 2002. p. 1–24 и ссылки в нем.

См., в частности, книгу Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Изд-во “Физматлит”, 2004.

272 C. и ссылки в ней.

См., в частности, P. Exner, O. Post. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds. // J. Geom. Phys.

54, 2005. p. 77–115.

F. Ali-Mehmeti. Nonlinear waves in networks. // Mathematical Research. 1994. V. 80. 174 p.

Ю. В. Покорный, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, А. В. Копытин, серия ра бот 1999-2003;

C. Cattaneo, L. Fontana6 ).

Исследовано гиперболическое уравнение на геометрическом графе, кото рое на ребрах этого графа имеет вид одномерного волнового уравнения, а в вершинах имеет особенность типа -функции при младшей производной по времени7.

Цель работы.

Целью диссертационной работы является описание поведения квазиклас сических решений уравнения Шредингера на сингулярных множествах. Ос новное внимание уделено случаю геометрических графов.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, то пологии, дифференциальной геометрии, теории графов, линейной алгебры, теории уравнений математической физики.

Научная новизна.

Получен алгоритм построения правил квантования (обобщающих извест ные правила квантования Бора-Зоммерфельда) для случая геометрических графов. Описаны ядра оператора Лапласа, действующего на k-формах, опре деленных на сети. Кроме того, найдены асимптотические собственные значе ния, соответствующие собственным функциям, локализованным в вершине графа.

В квазиклассическом приближении описано распространение гауссовых пакетов на графе, в начальный момент локализованных в одной точке. Основ ное внимание уделено статистике поведения асимптотических решений при стремлении времени к бесконечности. Показано, что подсчет числа квантовых пакетов на графе связан с известной теоретико-числовой задачей нахождения числа целочисленных точек в расширяющемся симплексе. Получены явные формулы для старшего члена асимптотики в некоторых важных частных случаях.

Таким образом, построена квазиклассическая теория для уравнений кван товой механики, заданных на геометрическом графе.

Кроме того, рассматривается двумерная поверхность и оператор Шре дингера на ней. Предполагается, что критические точки потенциала обра зуют на поверхности некоторую кривую, гомеоморфную окружности. Для оператора Шредингера найдены соответствующие спектральные серии с точ C. Cattaneo, L. Fontana. D’Alambert formula on nite one-dimensional networks. // J. of Math. Anal. and Appl. V. 284, N 2, 2003. p. 403–424.

Н. В. Глотов, Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффици ентах: дис.... канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2007. 93 C.

ностью до O(h5/2 ).

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссер тационной работе, являются развитием теории квазиклассического прибли жения и позволяют описывать асимптотические решения для широкого клас са задач. Они могут быть использованы в математической физике и теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались • на кафедральном семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений под руководством академика РАН А. Т. Фоменко, Москов ский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва, 2008;

• на семинаре профессора Г. Книпера в Рурском университете Бохума, Бо хум, Германия, 2004;

• на Воронежской весенней математической школе “Понтрягинские чтения - XVI”, Воронеж, 2005;

• на международном симпозиуме “Образование через науку”, МГТУ имени Н. Э. Баумана, Москва, 2005;

• на международной конференции “Дни Дифракции”, ПОМИ РАН, Санкт Петербург, 2006;

• на международной конференции “Теория операторов, анализ и матема тическая физика” (OTAMP-2006), Лундский университет, Лунд, Шве ция, 2006;

• на международной конференции “Дифференциальные уравнения и ди намические системы”, Суздаль, 2006;

• на международной конференции “Теория операторов, анализ и матема тическая физика” (OTAMP-2008), Центр имени Банаха ПАН, Бедлево, Польша, 2008;

• на международной конференции “Дифференциальные уравнения и ди намические системы”, Суздаль, 2008.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в девяти работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1–9].

Структура работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 78 страницах, содержит 11 иллюстраций и одну таблицу. Библиография включает 46 наименований. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и пункта.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обсуждается актуальность диссертации, ее научная новизна.

Кроме того, в нем приводится краткий обзор результатов работы.

Первая глава посвящена квазиклассическим асимптотикам в спектраль ных задачах для стационарных уравнений Шредингера на геометрических графах.

В параграфе 1.1 обсуждаются некоторые вводные замечания.

В параграфе 1.2 речь идет о том, что такое геометрический граф. В от личие от графа топологического, в котором ребро представляет собой просто отношение между вершинами, в геометрическом графе ребро это некото рая кривая.

Вводится оператор Шредингера на сети. Делается это стандартным8 обра зом. Пусть V произвольная, непрерывная на и гладкая на ребрах функция, принимающая действительные значения. Тогда оператор Шредингера d2 (x) H = h2 + V (x)(x) dx N H 2 (j ), определен на множестве функций из пространства Соболева j= удовлетворяющих следующим граничным условиям в вершинах:

1. функция непрерывна на ;

2.

dj (am ) = 0, j R, m = 1, 2,..., M K j (1) dx j (am ) во всех внутренних вершинах (то есть в вершинах валентности большей, чем единица);

3. (am ) = 0 во всех внешних (висячих) вершинах, то есть в вершинах валентности один.

См., в частности, книгу Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Изд-во “Физматлит”, 2004.

272 C. и ссылки в ней.

Второе условие называется условием трансмиссии.

Далее рассматриваются некоторые специальные виды условий трансмис сии.

Определение. Будем говорить, что условия трансмиссии имеют вид усло вий Кирхгофа, если все коэффициенты в условиях трансмиссии входят со знаком “плюс”, когда ребро из вершины выходит, и со знаком “минус”, ко гда, наоборот, ребро входит в вершину. Если, кроме того, в каждой вершине значения коэффициентов равны между собой по модулю, такие условия на зываются натуральными.

Затем рассматривается, в каких случаях оператор Шредингера будет са мосопряженным и будет иметь дискретный спектр. В частности, оператор заведомо самосопряжен, если условия трансмиссии являются натуральными.

В первой главе рассматриваются только компактные графы.

В параграфе 1.3 изложен алгоритм построения правил квантования, обоб щающих правила квантования Бора-Зоммерфельда.

Граф деформируется (на нем отмечаются точки поворота и удаляются кус ки, для которых V (x)), а потом по нему выписывается матрица размера 2N K на 2N K (здесь N количество ребер в графе, K число висячих Vj (y)dy, вершин). Коэффициенты зависят от интегралов вида j = h j где j ребро графа, а Vj (x) потенциал, ограниченный на j-ое ребро.

Равенство определителя этой матрицы нулю (2) и будет аналогом правила квантования.

det(A()(2N K)(2N K) ) = 0. (2) А именно, справедлива Теорема 1.1. Если = O(1) корень уравнения (2), то тогда существует функция (x) (порядка O(1)) из области определения оператора H такая, что H(x) = (x) + O(h2 ). То есть является точкой h2 -псевдоспектра оператора H.

Нас интересует вопрос о том, когда найденное нами приближает точ ное собственное значение оператора H. Это будет так в том случае, когда оператор является самосопряженным.

Определение. Под “преобразованием оператора на графе в самосопряжен ный” понимается такая замена параметризации на графе, которая делает определенный в разделе 1.2 оператор самосопряженным.

Перемычкой мы называем ребро, которое удаляется из базисного цикла в графе в процессе получения остовного дерева.

E. Davies. Pseudospectra of dierential operators. // J.Oper.Theory, 43, 2000. p. 243–262.

Первым числом Бетти 1 () геометрического графа будем называть ранг первой группы гомологий для соответствующего клеточного комплекса10. Хо рошо известно11, что для графа первое число Бетти (его еще называют цик ломатическим числом) равно N M + P. Здесь N количество ребер, M количество вершин, P число связных компонент графа.

Утверждение 1. Оператор H, определенный на дереве, всегда может быть преобразован в самосопряженный.

Замечание. Для того, чтобы оператор H, определенный на произвольном графе, можно было преобразовать в самосопряженный, достаточно, чтобы были выполнены 1 () условий.

Отметим, что возможность привести задачу к эквивалентной самосопря женной отмечалась и в других работах12, но там используется умножение уравнения на каждом ребре на подходящую константу, что не позволяет со хранить глобальную непрерывность функции V (x).

Справедлива Теорема 1.2. Если корень уравнения (2), и оператор может быть преоб разован в самосопряженный, то существует собственное число µ оператора H такое, что µ = O(h2 ) (то есть является асимптотическим собственным числом).

Следствие. Для случая, когда рассматриваемый граф дерево, наш ал горитм всегда дает приближение к точке настоящего спектра оператора H.

Параграф 1.3 посвящен доказательству теоремы 1.1. В этом рассуждении используется, кроме прочего, частный случай применения канонического опе ратора Маслова.

В параграфе 1.4 разобрано несколько примеров применения алгоритма.

Среди них граф K1,3 с новыми вершинами.

Асимптотические собственные значения, соответствующие собственным функциям, локализованным в вершине графа, обсуждаются в параграфе 1.5.

Ранее мы рассматривали ту часть спектра, которой соответствуют собствен ные функции, осциллирующие на ребрах. В этом параграфе речь идет о соб ственных значениях, соответствующих функциям, локализованным в одной точке и имеющим вид V (a)+ O(h). Случай, когда решение сконцентрировано на ребре, не представляет для нас интереса, так как полностью описан в лите Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. Методы и приложения. Т.3:

Теория гомологий. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 288 С.

Н. Кристофидес. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, перевод с английского: редактор Г.Гаврилов, 1978. 432 С.

Например, при доказательстве теоремы 5.9 (стр.102) в книге Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л.

Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Изд-во “Физматлит”, 2004. 272 C.

ратуре13. Если решение локализовано в вершине графа, то верна следующая теорема.

Теорема 1.3. Пусть для потенциала V (x) в точке a выполнены следую щие условия:

1) значения первых односторонних производных Vj (a) для каждого ребра равны нулю, 2) значения вторых односторонних производных Vj (a) совпадают и положи тельны.

Тогда существует асимптотическое собственное число:

V (a) h + O(h3/2 ).

E = V (a) + Другими словами, существует непрерывная на графе и гладкая на ребрах функция (x) такая, что: H(x) = E(x) + O(h3/2 ). Если рассматриваемый оператор является самосопряженным, то построенное E приближает точ ное собственное значение µ (расстояние между ними есть величина порядка O(h3/2 )).

Этот вариант осцилляторного приближения не учитывает глобальную структуру графа.

Замечание. Старшая часть асимптотической собственной функции при выполнении условий Теоремы 1.3 имеет вид exp(S/h)c0 и не зависит, как и асимптотическое собственное значение с точностью до O(h3/2 ), от коэф фициентов в условии трансмиссии. Но на следующие поправки это условие уже влияет. В частности, для получения приближения порядка O(h5/2 ) для собственных чисел нужно, дополнительно к условиям теоремы, потребовать, чтобы значения односторонних третьих производных Vj (a) совпадали по мо дулю, а их знаки удовлетворяли условию j sgn(Vj (a)) = 0.

j Параграф 1.6 посвящен описанию ядер оператора для случая нулевого потенциала, при действии на k-формы.

Рассмотрим оператор Лапласа (оператор Шредингера с нулевым потенци алом) на графе.

Для компактных гладких многообразий без края хорошо известна связь ядра оператора Лапласа, действующего на k-формах, с топологическими ха рактеристиками многообразия14.

См., например, В. П. Маслов. Комплексный метод ВКБ для нелинейных уравнений. / М.: Наука, 1977.

384 C.

См., например, книгу Х. Цикон, P. Фрезе, Б. Саймон, В. Кирш. Операторы Шредингера с приложе ниями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, перевод с английского А. В. Соболева под редакцией Д. Р. Яфаева, 1990. 406 С. и ссылки в ней.

Естественно возникает вопрос: справедливы ли аналогичные свойства для стратифицированных множеств, в частности, для геометрических графов?

На него дают ответ приведенные ниже утверждения. Граф компактен. Функ ции предполагаются непрерывными. Кроме того, предполагается, что усло вия трансмиссии имеют вид условий Кирхгофа.

Утверждение 2. Размерность ядра оператора Лапласа, действующего на 0-формах, определенных на геометрическом графе, равна числу связных ком понент графа, не содержащих висячих вершин (то есть, не имеющих края).

Далее отмечается, что условия трансмиссии не обязательно должны иметь вид условий Кирхгофа для того, чтобы ядро имело размерность, равную еди нице (для связного графа) почти для всех значений коэффициентов. Приво дится соответствующий пример.

Затем рассматриваются 1-формы на геометрических графах. Речь идет только о сетях без висячих вершин.

Определение. На каждом ребре рассмотрим выражение вида fj (x)dx, и пусть в вершинах будет выполнено условие (j, a)fj (a) = 0, j (a) где (j, a) = 1, если ребро входит в вершину, и (j, a) = 1, если выхо дит. Такую совокупность будем называть 1-формой на графе.

Теперь определим лапласиан на 1-формах. Оператор Лапласа действует на 1-формы, для которых fj (x) гладкие функции на ребрах, удовлетворяющие краевым условиям (j, a)fj (a) = 0, j (a) здесь (j, a) = 1, если ребро входит в вершину, и (j, a) = 1, если = dd + d d.

выходит. На каждом ребре оператор задается соотношением Отметим, что на каждом ребре оператор Лапласа форме fj (x)dx сопоставля ет форму fj (x)dx.

Утверждение 3. Для оператора Лапласа c натуральными условиями трансмиссии, на графе без висячих вершин, размерность ядра, при действии на 1-формы, равна первому числу Бетти.

Вторая глава посвящена квазиклассическим асимптотикам и статисти ческим свойствам гауссовых пучков для нестационарного уравнения Шре дингера на геометрическом графе.

Глава разделена на три части. В первой (2.1) обсуждаются вводные заме чания. Здесь рассматриваются свойства уравнения в частных производных (нестационарного уравнения Шредингера), пространственная переменная в котором меняется на геометрическом графе. Основной эффект “разветвле ния” пространства состоит в многократном отражении от вершин графа, что приводит к появлению нетривиальных статистических явлений. Особенно яс но такие свойства видны при описании гауссовых пакетов (изначально лока лизованных вблизи одной точки);

мы строим соответствующие решения при помощи простейшего варианта комплексного ростка Маслова15.

Нужно отметить близость изучаемых вопросов к некоторым краевым за дачам для гиперболических уравнений на сетях16.

Рассматриваются геометрические графы с конечным числом ребер и вер шин. Допускаются ребра бесконечной длины, а также петли и кратные ребра.

Вторая часть главы (раздел 2.2) посвящена распространению квантовых пакетов на геометрическом графе.

Сперва, в параграфе 2.2.1, обсуждается известная схема построения реше ний в виде квазиклассических гауссовых пакетов на прямой. Рассматривается нестационарное уравнение Шредингера 2 (x, t) (x, t) h2 (3) + V (x)(x, t) = ih, x2 t где V гладкая функция (потенциал). Соответствующий гамильтониан имеет вид : H = p2 + V (x, t).

Начальные условия выбираем в виде узкого пакета, локализованного при h 0 вблизи точки x0 :

i(a(x x0 )2 + b(x x0 ) + c) (x, 0) = K exp. (4) h Здесь b и c вещественные константы, а мнимая часть a больше нуля. K имеет вид K = h1/4 K1, K1 R. Нормировочный множитель h1/4 введен для того, чтобы гарантировать (x, 0) = O(1) в норме пространства L2.

В. П. Маслов. Комплексный метод ВКБ для нелинейных уравнений. / М.: Наука, 1977. 384 C.

Прядиев В. Л. Описание решения начально-краевой задачи для волнового уравнения на одномерной пространственной сети через функцию Грина соответствующей краевой задачи для обыкновенного диф ференциального уравнения. // Современная математика и ее приложения, Том 38: Труды Международной конференции по динамическим системам и дифференциальным уравнениям, Суздаль: 2004, Часть 3;

Ин ститут кибернетики Академии наук Грузии, Тбилиси, 2006. C. 82–95.;

Н. В. Глотов, Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах: дис.... канд. физ.-мат. наук.

Воронеж, 2007. 93 C.;

Н. В. Глотов, В. Л. Прядиев. Описание решений волнового уравнения на конечном и ограниченном геометрическом графе при условии трансмиссии типа “жидкого” трения. // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2006. 2. С. 185–193;

А. В. Копытин, В. Л. Прядиев. Об одном представлении решения волнового уравнения на сети. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2001. 313 C.

В. П. Маслов, М. В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.

/ М.: Наука, 1976, 296 C.

Решение строится с помощью двух гамильтоновых систем, одна из которых определяет распространение носителя пакета, а вторая является линеариза цией первой и рассматривается в комплексном пространстве (она определяет форму пакета). Точная формулировка и явная формула для решения приве дены в Утверждении 4. Следом, в Утверждении 5 раздела 2.2.2, обсуждается случай полупрямой.

Далее, в Утверждении 6 в параграфе 2.2.3, описано решение для случая двух бесконечных лучей, сходящихся в одной точке.

В разделе 2.2.4 обсуждается ситуация пересечения трех бесконечных лу чей.

В следующем параграфе (2.2.5) рассматривается граф, имеющий форму петли. Он представляет собой окружность с одной выделенной точкой, в ко торой заданы условия трансмиссии. Начальные условия заданы в некоторой другой точке x = x0. Сперва квантовый пакет, определенный начальными данными, достигнет вершины графа. После этого два квантовых пакета бу дут двигаться в противоположных направлениях (это, по сути, случай двух ребер, соединенных в одной вершине, разобранный ранее). Показано, что оба этих квантовых пакета вернутся в вершину графа в один и тот же момент, если потенциал не зависит явным образом от времени. Таким образом, на петле в каждый момент времени будет находиться не более двух квантовых пакетов.

Нормируем коэффициенты в условии трансмиссии, а именно, потребуем, чтобы 1 + 2 = 1.

Утверждение 7. Рассмотрим задачу Коши для нестационарного урав нения Шредингера на графе-петле. Тогда квазиклассическое решение бу дет представлять собой два гауссова пакета, движущихся на графе. При чем в момент отражения амплитуда того квантового пакета, который соот ветствует “волне”, “прошедшей” на первом шаге, равна, после n отражений, (1,1) (2n1 n + 1)0, а амплитуда того, который соответствует “отраженной (1,1) волне”, равна (2n1 n)0.

Раздел 2.2.6 посвящен описанию распространения пакетов в случае произ вольного геометрического графа. На каждом ребре это делается с помощью комплексного ростка Маслова (то есть, при помощи нахождения решений га мильтоновой системы и ее линеаризации). А для описания поведения в вер шинах графа достаточно рассмотреть случай звездного графа.

Обобщая приведенные в разделе 2.2 рассуждения, можно сформулировать следующее утверждение.

Теорема 2.1. Дан звездный граф, причем валентность единственной вер шины a равна n. Пусть начальные данные имеют вид (4), где точка x0 лежит на одном из ребер. Тогда решение задачи (x, t) + O(h3/2 ) H(x, t) = ih t представляет собой, в любой конечный момент времени, сумму конечного j числа квантовых пакетов, то есть функций вида exp iS h (x,t) j (t), где S j = j j j j S0 (t) + (x xj (t))S1 + S2 (x xj (t))2, Im S2 0. Говоря точнее, пришедший в вершину a пакет разделяется на n пакетов, бегущих по инцидентным вершине ребрам. На каждом из ребер решение определяется гамильтоновой системой обыкновенных дифференциальных уравнений и ее линеаризацией18. Причем начальные значения для амплитуд определяются следующими формулами.

Для отраженного квантового пакета:

1 2 · · · n (1,1) (1,2) 0 () = (). (5) 1 + 2 + · · · + n Для прошедших квантовых пакетов:

(k,1) (1,1) 0 () = 0 (), (6) 1 + 2 + · · · + n где k = 2,..., n.

Здесь момент времени, когда исходный пакет пришел в точку a.

Если стоящий в левой части оператор H является самосопряженным, то это решение отличается от точного решения нестационарного уравнения Шредингера не более, чем на O(h1/2 ).

Таким образом, квазиклассическое решение задачи Коши в любой конеч ный момент времени будет представлять собой конечное количество гауссо вых пакетов, движущихся на геометрическом графе.

Замечание. Случай 1 + 2 + · · · + n = 0 отвечает несамосопряженному оператору и не имеет физического смысла. Доказано19, что спектр соответ ствующего оператора заполняет всю комплексную плоскость.

Нужно отметить схожесть выражений (5) и (6) и формул, полученных для случая гиперболического уравнения20.

Третья часть второй главы (2.3) посвящена статистике распространения гауссовых пакетов.

В работе указан явный вид этих систем.

М. Г. Завгородний. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе. // Доклады АН, том 335, 3, 1994. C. 281–283.

Ю. В. Покорный, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских. Волновое уравнение на пространственной сети. // Докл. РАН. Т. 388, 1. 2003. С. 16–18.

Как было доказано в предыдущем разделе, квазиклассическое решение за дачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с начальными усло виями вида (4) имеет вид (x, t) + O(h1/2 ), где (x, t) конечная сумма гауссовых пакетов. В указанном разделе рассматривается асимптотика функ ции (x, t) при t, а именно, изучается, как меняется со временем число квантовых пакетов. Заметим, что эта задача отличается от задачи описа ния асимптотики решения уравнения Шредингера при t, так как оценка остатка справедлива только на конечных временах. С физической точки зре ния это означает, что мы рассматриваем времена больше, но много меньшие, и чем 1/h.

В этом разделе изучаются только конечные графы с компактными ребра ми. Условия трансмиссии в вершинах берутся такими, чтобы оператор Шре дингера был самосопряженным (см. первую главу диссертации). В этом слу чае из формул (5) и (6) следует, что в вершинах степени 2 число квантовых пакетов не меняется (так как у отраженного квантового пакета нулевая ам плитуда). Графы, в которых нет вершин степени 2, будем называть чисты ми21. До конца третьей части рассматриваются только такие графы.

Кроме того, из формул (5) и (6) следует, что если квантовый пакет про ходит вершину степени v, то при этом образуется ровно v новых квантовых пакетов.

Далее вводится величина tj время прохождения квантовым пакетом j-го ребра. Во второй части главы показано, что время прохождения определя ется решениями гамильтоновой системы, при данных начальных условиях.

Предполагаем, что tj линейно независимы над полем Q (ситуация общего положения).

В третьей главе используются некоторые теоретико-числовые утвержде ния, связанные с подсчетом количества точек с целыми координатами, кото рые попадают в расширяющийся полиэдр. Результаты в этой области суще ственно зависят от того, рациональны или нет координаты вершин полиэдра.

К рациональному случаю относятся результаты, связанные с полиномами (и квазиполиномами) Эрхарта22 и обобщающие теорему Пика. Работа в этой об ласти активно ведется в настоящее время23. Результаты, относящиеся к слу чаю иррациональных координат, восходят к работе Харди и Литтлвуда24, где P. Kurasov, M. Nowaczyk. Inverse spectral problem for quantum graphs. // J. Phys. A: Math. Gen. 38, 2005. p. 4901–4915.

E. Ehrhart. Sur les poly`dres rationnels homothtiques a n dimensions. // C. R. Acad. Sci. Paris 254, 1962.

e e ` p. 616–618.

См., в частности, статью A. Barvinok. Computing the Ehrhart quasi-polynomial of a rational simplex. // Mathematics of Computation, 75, 2006. p. 1449–1466 и ссылки в ней.

G. H. Hardy and J. E. Littlewood. The lattice points of a right-angled triangle. // Proc. London Math. Soc.

(2) 20, 1921. p. 15–36.

разобран случай прямоугольного треугольника на плоскости. Исследования в этой сфере продолжаются25.

Параграф 2.3.1 посвящен асимптотике числа квантовых пакетов с увели чением времени.

Определяем функцию N (T ) как число квантовых пакетов на графе к мо менту времени T.

Пусть j это частота прохождения j-го ребра, то есть j = 1/tj.

Утверждение 8. Для звездного графа (состоящего из одной вершины ва лентности v и v вершин степени 1, которые соединены с первой) справедлива формула k Cv v i (v k) N (T ) = W( k (1 T /2,..., k T /2)), i= k= i здесь W ( k) это число точек целочисленной решетки, которые лежат на i-ой грани k-мерного симплекса k, со сторонами 1 T /2,..., k T /2.

Учитываются только грани старшей размерности, инцидентные началу ко ординат.

Для почти всех значений t1,..., tv :

(,..., v )T v1 + o(T v1 ).

N (T ) = v1 (v 1)! v1 Здесь k стандартный симметрический многочлен степени k.

Отметим, что для случая трех ребер можно26 явно выписать и второй член асимптотики, а именно:

1 N (T ) = 2 (1, 2, 3 )T 2 + 1 (1, 2, 3 )T + o(T ).

8 Общую ситуацию описывает Теорема 2.2. В случае произвольного графа функция N (T ) представ ляется в виде CT v1 + o(T v1 ). Здесь v максимальная степень вершин в графе.

Нужно отметить, что коэффициент при старшей степени может быть не равен сумме коэффициентов, соответствующих вершинам максимальной сте пени, если рассматривать их как вершины звездного графа. Например, спра ведливо следующее См., в частности, M. M. Skriganov. Ergodic theory on SL(n), Diophantine approximations and anomalies in the lattice point problem. // Invent. Math. 132, no. 1, 1998. p. 1–72.;

Integer Points in Polyhedra Geometry, Number Theory, Algebra, Optimization, a Snowbird Conference Proceedings. // AMS, Contemporary Mathematics, vol. 374, Providence, 2005. 191 p.

используя результаты, изложенные в G. H. Hardy and J. E. Littlewood. The lattice points of a right-angled triangle. // Proc. London Math. Soc. (2) 20, 1921. p. 15–36.

Утверждение 9. Для графа, который состоит из двух вершин, соединен ных v ребрами, справедливы формулы k Cv v i (v k) N (T ) = W( k (1 T,..., k T )), i= k= v1 (1,..., v )T v1 + o(T v1 ).

N (T ) = (v 1)!

Заметим, что если граф имеет сложную структуру, то задача выписыва ния формулы для старшего члена асимптотики становится значительно более трудоемкой. В каждом конкретном случае нужен перебор по всем подграфам деревьям, в которых вершина максимальной валентности имеет степень на единицу меньше, чем в исходном графе. При этом, кроме вклада, который дает рассмотрение этой вершины как звездной (см. Утверждение 8), нуж но учитывать количество квантовых пакетов, которые она “передает” дру гим вершинам максимальной валентности. Таким образом, на главный член асимптотики влияют: 1) время прохождения каждого из ребер в графе и 2) топологическая структура подграфа, связывающего вершины максималь ной валентности.

В следующем параграфе (2.3.2) ставится вопрос о том, как можно опи сать распределение квантовых пакетов на геометрическом графе. Справед ливо следующее утверждение:

Теорема 2.3. Рассмотрим граф, упомянутый в Утверждении 9, для слу чая v = 3 (он состоит из двух вершин a и b, соединенных 3 ребрами). Рас смотрим на одном из ребер отрезок cd, время прохождения которого равно.

Тогда, для почти всех27 t1, t2, t3, отношение числа квантовых пакетов на этом отрезке к числу квантовых пакетов на всем графе стремится к выражению Ncd (T ) 3 1 2 3.

N (T ) 2 1 2 + 1 3 + 2 3 t1 + t2 + t Получается, что квантовые пакеты распределяются (при заданном потен циале и начальных условиях) равномерно по времени прохождения ребра.

Очевидно, что это не означает, что пакеты распределяются равномерно по пространственной координате.

Было проведено численное моделирование для конечных сетей. Для упо мянутых графов значение старшего коэффициента асимптотики совпало с полученным теоретически.

См. M. M. Skriganov. Ergodic theory on SL(n), Diophantine approximations and anomalies in the lattice point problem. // Invent. Math. 132, no. 1, 1998. p. 1–72.

Последняя часть второй главы (2.4) посвящена распространению гауссо вых пакетов на однородном дереве.

Рассматривается бесконечное дерево, у которого валентность всех вершин, кроме корневой, одинакова и равна v. Число, на единицу меньшее валентно сти, называем числом ветвления b. Предполагается, кроме того, что длина всех ребер одинакова и равна l. Потенциал одинаков для всех ребер (можем, для простоты, считать его нулевым). Соответственно, и время прохождения всех ребер будет одинаковым (обозначим его L). Дифференциальные опера торы на подобных деревьях изучались, например, в работах М. З. Соломяка, А. В. Соболева28.

Можно рассмотреть задачу о распространении гауссовых пакетов на таком графе. Формулы, описывающие поведение пакетов в вершинах, приведены в одном из предыдущих разделов. Рассматриваем только самосопряженный случай. При этом в каждой вершине амплитуда делится в таком соотношении:

2/v для каждого прошедшего пакета и 2/v 1 для отраженного. В корневой вершине требуем выполнения условия Дирихле.

Определение. Энергией на ребре называем следующую величину:

||2 dx.

Ej = j Очевидно, что она определяется суммой квадратов амплитуд для пакетов, носители которых попали на ребро.

Легко описать изменение энергии при прохождении вершины графа. На пример, для бинарного дерева (то есть, для случая b = 2) получаем, что 8/ энергии проходит, а отражается 1/9. Суммарная энергия не меняется.

Пусть начальные данные имеют вид (4) и сконцентрированы на ребре, инцидентном корневой вершине. Возникает вопрос: вся ли энергия “уйдет на бесконечность” или будут ребра, на которых, в пределе при стремлении времени к бесконечности, энергия не будет стремиться к нулю?

Регулярность дерева делает задачу комбинаторной, так как все взаимодей ствия происходят только в фиксированные моменты времени вида t0 + nL, где L время прохождения ребра, а t0 время, за которое первый пакет достигнет вершины.

В разделе 2.4 явно указан вид состояния, которое переходит в себя через См., в частности статьи M. Z. Solomyak, A. V. Sobolev. Schrdinger operators on homogeneous metric o trees: spectrum in gaps. // Rev. Math. Phys. 14, 2002. p. 421–468.;

M. Solomyak. Laplace and Schrdinger o operators on regular metric trees: the discrete spectrum case. // Function Spaces, Dierential Operators and Nonlinear Amalysis, The Hans Triebel Anniversary Volume;

D. Haroske, T.Runst, H.-J. Schmeisser (Ed.);

Birkhuser Verlag, 2003. p. 161–181 и ссылки в них.

a время, равное 2L. Таким образом, получаем, что, если в качестве начальных условий выбрать, то энергия не “уходит на бесконечность”.

При начальных условиях, сосредоточенных на первом ребре, численное моделирование показывает, что для бинарного дерева доля энергии, которая осталась на начальном участке, стремится к 1/2. Отметим, что это значе ние соответствует проекции начальных данных на вектор. С увеличением числа ветвления доля энергии, которая остается на начальном участке гра фа, возрастает. При b = 3 оказывается, что остается 2/3, а b = 4 дает 3/ (см. таблицу 1 в работе). Можно предположить, что для произвольного числа ветвления доля энергии составляет (b 1)/b.

Третья глава посвящена квазиклассическим спектральным сериям опе ратора Шредингера, соответствующим неизолированным положениям равно весия.

Теория квазиклассического квантования29 позволяет сопоставлять инва риантным множествам гамильтоновой системы спектральные серии соответ ствующего квантового оператора. В параграфе 3.1 описана постановка асимп тотической квантовой задачи.

На двумерной поверхности рассматривается оператор Шредингера с по тенциалом, критические точки которого образуют замкнутую кривую. Вве дем, возможно локально, такие координаты r и на поверхности, что будет отсчитываться вдоль рассматриваемой кривой.

Классическая функция Гамильтона имеет вид H = g ij pi pj + V (r), ес ли gij (r, ) метрика на рассматриваемой поверхности. Ясно, что кривая {{r,, pr, p }| V (r) = 0, pr = 0, p = 0} состоит из критических точек га мильтониана, то есть положений равновесия.

Стандартная конструкция30 для описания спектральных серий, соответ ствующих изолированным невырожденным положениям равновесия, непри менима в этой ситуации. Третья глава диссертации посвящена построению спектральных серий в рассматриваемом случае.

Оказалось, что асимптотическое mod O(h3/2 ) (такая точность является об щепринятой в теории комплексного ростка) собственное значение “бесконечно вырождено”, то есть ему соответствует бесконечное множество асимптотиче ских собственных функций. А именно, справедливо следующее Утверждение 10. Если взять = U ()eiS/h, где S = i(r r0 )2, = См., например, В. П. Маслов, М. В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений кван товой механики. / М.: Наука, 1976, 296 C.;

В. П. Маслов. Комплексный метод ВКБ для нелинейных уравнений. / М.: Наука, 1977. 384 C.

См., например, В. П. Маслов. Комплексный метод ВКБ для нелинейных уравнений. / М.: Наука, 1977.

384 C.

V (r0 ), а U () произвольная гладкая финитная функция, то будет 8g асимптотической собственной функцией оператора H, r, ih, ih r с точностью до O(h3/2 ), причем асимптотическое собственное значение имеет вид g 22 V (r0 ) E = V (r0 ) + h.

Здесь r0 корень уравнения V (r) = 0.

Асимптотическое вырождение означает, что расстояние между точными собственными значениями, вообще говоря, o(h3/2 ). Ниже приводится утвер ждение, описывающее асимптотические спектральные серии с большей точ ностью.

Теорема 3.1. Пусть u0 гладкое решение уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами A()u0 () + B()u0 () + C()u0 () = E2 u0 (), где A(), B(), C() вычисляются по явным формулам, и пусть при E2 = E2n существует периодическое решение (то есть, E2n соответствующее соб ственное значение). Тогда квазиклассическое решение спектральной задачи для оператора Шредингера с точностью до O(h5/2 ) имеет вид:

g 22 V (r0 ) h + E2n h E = V (r0 ) + асимптотическое собственное число (n целое), = U (, r)eiS/h асимптотическая собственная функция.

u2 () (r r0 )2 (где u1, u2 вычисляются по Здесь U = u0 () + u1 ()(r r0 ) + приведенным явным формулам, a S = i((r r0 )2 + 1 (r r0 )3 + 2 (r r0 )4 ).

Причем V (r0 ) =, 8g а 1 и 2 вычисляются по явным формулам.

Эти решения уже не являются вырожденными. Именно повышение поряд ка позволило разделить асимптотические решения, которые до этого совпа дали с точностью до O(h3/2 ).

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научно му руководителю профессору А. И. Шафаревичу за постановки задач и по стоянное внимание к работе, а также всему коллективу кафедры диффе ренциальной геометрии и приложений, под руководством академика РАН А. Т. Фоменко, за возможность плодотворно заниматься научной работой. Ав тор благодарит профессоров О. М. Касим-Заде, П. Б. Курасова, С. Ю. Добро хотова, Н. Г. Мощевитина за полезные обсуждения и ряд ценных замечаний.

Список литературы [1] Чернышев В. Л. Квазиклассический спектр оператора Шредингера на геометрическом графе. / В. Л. Чернышев, А. И. Шафаревич // Математи ческие заметки, том 82, 4, 2007. С. 606–620.

Чернышеву В. Л. принадлежат точные формулировки и доказательства всех утверждений.

[2] Chernyshev V. L. Semiclassical Asymptotics and Statistical Properties of Gaussian Packets for the Nonstationary Schrodinger Equation on a Geometric Graph. / V. L. Chernyshev, A. I. Shafarevich // Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 15, No. 1, 2008, p. 25–34.

Чернышеву В. Л. принадлежат точные формулировки и доказательства всех утверждений.

[3] Чернышев В. Л. Асимптотические спектральные серии, соответствующие вырожденным многообразиям для редуцирования квантовой задачи двух тел на пространствах постоянной кривизны // в сб. Я. Г Синай, А. И. Ша фаревич, Квантовый хаос. Москва-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаоти ческая динамика”, Институт компьютерных исследований, 2008, С. 185 206.

[4] Чернышев В. Л. Аналог правила квантования Бора-Зоммерфельда для геометрических графов. Описание ядер оператора Лапласа. // Современ ная математика и ее приложения, Том 54: Труды Международной кон ференции по динамическим системам и дифференциальным уравнениям, Суздаль 2006, Часть 2;

Институт кибернетики Академии наук Грузии, Тбилиси, 2008. С. 23–38.

[5] Чернышев В. Л. Асимптотические решения дифференциальных уравне ний на одномерных клеточных комплексах. // Образование через науку.

Тезисы докладов Международной конференции. Москва, 2005 г. М.:

МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005, С. 593.

[6] Чернышев В. Л. Свойства ядер оператора Лапласа на сети. // Современ ные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней ма тематической школы “Понтрягинские чтения - XVII”. Воронеж: ОАО “Центрально-Черноземное книжное издательство”, 2006. С. 195–196.

[7] Чернышев В. Л. Нестационарное уравнение Шредингера: статистика рас пространения гауссовых пакетов на геометрическом графе. // Междуна родная конференция по диффернциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир. Владимирский государствен ный университет, 2008. С. 254–255.

[8] Chernyshev V. L. Spectral properties and semi-classical asymptotics for Schrdinger equations on quantum grpahs. // Operator theory, analysis and o mathematical physics, June 15-22, 2006, Book of abstracts. Centre for Mathematical Sciences, Lund, Sweden, 2006, p. 9–10.

[9] Chernyshev V. L. Dynamics and statistics of gaussian packets on a geometrical graph. // Operator theory, analysis and mathematical physics, 15-22 June, 2008, Abstracts. Stefan Banach International Mathematical Center, Poland, 2008, p. 5.