Григорий александрович о некоторых вопросах теории граничного усреднения

на правах рукописи

УДК 517.958 Чечкин Григорий Александрович О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ ГРАНИЧНОГО УСРЕДНЕНИЯ 01.01.02 – дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механи ко-математического факультета Московского государственного универси тета им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гадыльшин Рустем Рашитович доктор физико-математических наук, профессор Назаров Сергей Александрович доктор физико-математических наук, профессор Шкаликов Андрей Андреевич

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится 13 апреля 2007 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 в Московском государственном уни верситете им. М.В.Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленин ские Горы, МГУ им. М.В.Ломоносова, Механико-математический факуль тет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-мате матического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 13 марта 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001. доктор физико-математических наук, профессор Т.П.Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Сингулярно возмущенные краевые задачи (уравнения с сингулярно воз мущнными коэффициентами, сингулярно возмущнные граничные усло е е вия, задачи в сингулярно возмущнных областях и т.д.) привлекают внима е ние исследователей на протяжении длительного времени. Интерес к этим задачам вызывает тот факт, что предельные (усредннные) задачи, как е правило, имеют другую структуру (другое уравнение, другие граничные условия, задаются в других областях). Для исследования сингулярно воз мущённых задач оказались наиболее эффективными инструментами то рия усреднения и асимптотические методы. Отметим труды в этой области таких учных, как В.М.Бабич, Н.С.Бахвалов, A.Bensoussan, Н.Н.Боголю е бов, В.С.Булдырев, В.Ф.Бутузов, А.Б.Васильева, M.D. Van Dyke, М.И. Ви шик, Р.Р. Гадыльшин, G.Dal Maso, В.В.Жиков, А.М.Ильин, Г.А.Иосифь ян, С.М.Козлов, О.А.Ладыженская, J.-L. Lions, С.А.Ломов, Л.А. Люс терник, В.Г. Мазья, В.А. Марченко, В.П. Маслов, Ю.А.Митропольский, Е.Ф.Мищенко, F.Murat, С.А.Назаров, О.А.Олейник, Г.П.Панасенко, G.Pa panicolau, Б.А.Пламеневский, Л.С.Понтрягин, А.Л.Пятницкий, Н.Х.Розов, E. Snchez-Palencia, И.В.Скрыпник, L.Tartar, А.Н.Тихонов, М.Ф.Федорюк, a Е.Я.Хруслов, А.С.Шамаев.

В диссертационной работе рассматриваются задачи в областях с син гулярной плотностью около границы. Предполагается, что сингулярных уплотнений (“концентрированных масс”) много. Их диаметр, а также расстояние между ними являются малыми параметрами, а плотность большим параметром. В зависимости от соотношения между этими пара метрами выводятся усредннные задачи и строятся асимптотики собствен е ных элементов исходных задач.

Поведение тел с неоднородной плотностью достаточно сложное и его изучение представляется интересной задачей, которая не может быть ус пешно решена без соответствующего математического аппарата. Вопрос о поведении тел, нагруженных присоединенными или концентрированны ми массами, интересовал исследователей давно, особенно в связи с мно гочисленными приложениями, например, в технике (авиации, космической технике, станкостроении, автомобилестроении). На разных уровнях строго сти были получены формулы, описывающие эффективное поведение таких тел. Отметим недавние исследования, проведенные на физическом уровне строгости, которые касались вопросов асимптотического поведения струн1, Erol H. “Vibration analysis of stepped-pipe strings for mining from deep-sea oors” // Ocean Engineering.

2005. V. 32. № 1. P. 37–55.

балок2 3 и пластин4 с конечным числом концентрированных масс. С появле нием серьзного математического аппарата интерес к таким задачам толь е ко усиливается. Оказывается, что математические модели задач в областях с сингулярной плотностью связаны с исследованием тонких спектральных свойств довольно сложных дифференциальных операторов.

Первая математическая работа (А.Н. Крылов5 ), положившая начало глубоким исследованиям в этой области, опубликована в 1913 году. В ста тье автор рассматрел задачу о колебаниях струны с концентрированной массой, сосредоточенной в точке. В приложении к главе 2 книги А.Н. Ти хонова, А.А. Самарского6 изучается та же задача о собственных частотах колебаний струны, нагруженной сосредоточенной массой в одной точке.

Там рассматривается предельное поведение решений задачи при стремле нии массы к нулю и бесконечности. В конце 70-х годов E. Snchez-Palencia a рассмотрел задачу, где присоединеная к системе масса сконцентрирова н на в -окрестности внутренней точки, малый параметр, описывающий концентрацию и размер массы. В этой работе были использованы методы спектральной теории возмущений.

Другой подход был предложен в работах О.А.Олейник89. Базировался этот подход на введении нового основного параметра колебательных си стем с локально присоединнными массами отношения присоединнной е е массы к массе всей системы. При этом удалось описать локальные колеба ния системы вблизи сосредоточенной массы. Подробное обоснование моде ли Олейник Snchez-Palencia, а также анализ размерностей в задаче о a спектральных свойствах колебательных систем с присоединнными масса е ми сделал Ю.Д. Головатый.

Bapat C.N., Bapat C. “Natural frequencies of a beam with nonclassical boundary-conditions and concentrated masses”// J. Sound Vibration. 1987. V. 112. № 1. P. 177–182.

Naguleswaran S. “Transverse vibrations of an Euler-Bernoulli uniform beam carrying several particles” // Intern. J. Mech. Sci. 2002. V. 44. № 12. P. 2463–2478.

Achong A. “Vibrational analysis of circular and elliptic plates carrying point and ring masses and with edges elastically restrained” // J. Sound Vibration. 1995. V. 183. № 1. P. 157–168.

Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих при ложения в технических вопросах. // Известия Николаевской морской академии. 1913. Вып.2. С. 325– 348.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

Snchez-Palencia E. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of system with a concentrated masses. // In: Trends and Application of pure Math. to Mechanics. Lecture notes in Phisics, 195, Springer Verlag, Berlin, 1984, p. 346–368.

Олейник О.А. О спектрах некоторых сингулярно возмущенных операторов //УМН. 1987. Т. 42.

Вып.3. С. 221–222.

Олейник О.А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. В кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988, с.101–128.

Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами;

Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1988.

В работах О.А. Олейник11, Т.С.Соболевой12, Ю.Д.Головатого13, С.А. На зарова1415 Snchez-Palencia16, H. Tchatat, J.Sanchez-Hubert17 рассмотрены a различные задачи для оператора Лапласа и системы теории упругости с различными краевыми условиями в случае конечного числа масс. В рабо тах M.Lobo18, MaE. Prez19 рассматривается асимптотика колебаний тела, e имеющего много небольших включений большой плотности, расположен ных периодически вдоль границы (их количество растт при переходе к е пределу). В этих работах разобрано много различных случаев, которые ха рактеризуются размерностью пространства и плотностью маленьких вклю чений. Предполагается, что расстояние между массами много меньше, чем их диаметр. В этом предположении была доказана слабая сходимость реше ний задач к решениям предельных задач, сходимость собственных значе ний, получены оценки отклонения решений и собственных элементов пре дельных задач от, соответственно, решений и собственных элементов ис ходных задач.

Во всех этих моделях предполагалось, что закон колебания груза или уплотнений должен описываться теми же уравнениями, которыми описы ваются колебания самой системы. В статье В. Рыбалко20 рассматривается задача для линейной стационарной системы теории упругости в областях с концентрированными массами. Рассмотрены различные случаи поведения собственных элементов таких задач. В работе рассматривается ситуация, когда включения достаточно жсткие. При этом законы колебания тела и е масс различны.

Отметим также работу Ю.Д.Головатого21, где впервые применен ВКБ Олейник О.А. О частотах собственных колебаний тел с концентрированными массами. В кн. Функ циональные и численные методы математической физики. Киев: Наукова думка, 1988, с.165–171.

Олейник О.А., Соболева Т.С. О собственных колебаниях неоднородной струны с конечным числом присоединенных масс. // УМН. 1988. Т.43. № 4. С. 187–188.

Головатый Ю.Д. О собственных колебаниях и собственных частотах упругого стержня с присо единенной массой. //УМН. 1988. Т.43. № 4. С. 173–174.

Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник О.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды с сингулярным возмущением плотности. //УМН. 1988. Т.43.

№ 5. С. 189–190.

Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник О.А., Соболева Т.С. О собственных колебаниях струны с присоединенной массой. // Сиб. мат. журнал. 1988. Т.29. № 5. С. 71–91.

Snchez-Palencia E., Tchatat H. Vibration de syst`mes elastiques avec masses concentres. // Rendiconti e e a del Seminario matematico della Universita e politecnico di Torino. 1984. V. 42. № 3. P. 43–63.

Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the Eigenvalue of a Membrane with a Concentrated Mass. // Quarterly Appl. Math. 1989. V. XLVII. № 1. P. 93–103.

Lobo M., Prez Ma E. On Vibrations of a Body With Many Concentrated Masses Near the Boundary. // e Math. Models and Methods in Appl. Sci. 1993. V. 3. № 2. P. 249–273.

Lobo M., Prez Ma E. The skin eect in vibrating systems with many concentrated masses // Math.

e Methods Appl. Sci. 2001. V. 24. № 1. P. 59–80.

Rybalko V. Vibration of Elastic Systems with a Large Number of Tiny Heavy Inclusions // Asymptotic Analysis. 2002. V. 32. N 1. P. 27–62.

Golovaty Yu. D. On WKB–approximation of high frequency vibrations of a singular perturbed string // Proc. of Int. Conf. “Nonlinear partial dierential equations”. – Kiev, August 26–30. IX. 1997. – P. 62.

метод для задач с концентрированными массами, позволяющий более точ но построить схему поведения собственных чисел в окрестности предель ных точек. В этой работе рассматривалась струна с произвольным возму щением плотности и построена асимптотика глобальных колебаний.

Результаты настоящей диссертации являются продолжением и обобще нием исследований задач в областях с сингулярными плотностями. Разо браны новые случаи, для которых применены как стандартные, так и новые методы исследования, и классифицированы возможные ситуации, возни кающие в таких моделях. Диссертационная работа является естественным развитием более ранних результатов автора.

Работа поддержана грантами РФФИ № 06-01-00138-a, 06-01-00441-a и грантом Президента РФ для ведущих научных школ НШ-2538.2006.1.

Цель работы.

Целью работы является исследование задач в областях с сингулярной плотностью, классификация возможных случаев, построение асимптотик собственных значений и собственных функций как в случае простого соб ственного значения, так и в случае кратного собственного значения.

Целью работы является также доказательство теоремы усреднения для квадратичного операторного пучка при наличии концентрированных масс и исследование асимптотики собственных значений такого пучка.

Также целью работы является исследование поведения полюсов анали тического продолжения решений задач в неограниченных областях с сингу лярным возмущением плотности и доказательство сходимости этих полю сов к собственным значениям усредннной задачи в ограниченной области.

е Методика исследования.

В диссертации используются методы согласования асимптотических раз ложений, методы теории усреднения, качественной теории дифференци альных операторов в частных производных, функционального анализа, элементы теории функций комплексного переменного.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Ос новные из них следующие:

• Выявлена количественная и качественная зависимость собственных значений исходной задачи от параметров массы. Построены явные формулы для членов асимптотического разложения, которые непо средственно выявляют влияние массы.

• Впервые исследована задача об усреднении операторного пучка в об ласти с концентрированными массами.

• Впервые рассмотрена задача усреднения в неограниченной области с концентрированными массами. Доказана сходимость полюсов анали тического продолжения решения к собственным значениям усреднн е ной задачи в ограниченной области.

• Проведена классификация возникающих случаев. Рассмотрены слу чаи различной размерности пространства, различных плотностей масс и различной частоты их расположения.

Теоретическая и практическая значимость. Предлагаемая рабо та носит теоретический характер. Развитые в работе подходы могут быть применены к более общим задачам в областях с сингулярной плотностью и другим задачам граничного усреднения. Разделы диссертации могут со ставить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обу чающихся по специальности математика.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно доклады вались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров: МГУ, Механико-математический факультет: семинар под руководством акаде мика Олейник О.А., семинар под руководством проф. В.В.Жикова, проф.

А.С.Шамаева, проф. Т.А.Шапошниковой, семинар под руководством проф.

В.А.Кондратьева, проф. В.М. Миллионщикова, проф. Н.Х.Розова, семинар под руководством проф. В.А.Кондратьева, проф. Е.В. Радкевича, семинар под руководством проф. Б.Е.Победри;

МИРАН им. В.А. Стеклова: семи нар под рук. проф. А.К.Гущина, проф. В.П.Михайлова;

ПОМИРАН им.

В.А. Стеклова: семинар под рук. проф. М.С.Бирмана;

МАИ: семинар под рук. проф. А.Л. Скубачевского;

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН:

семинар по дифференциальным уравнениям математической физики под руководством проф. Л.А.Калякина и проф. В.Ю.Новокшенова;

НГУ: семи нар под руководством проф. В.Н.Врагова;

Институт математики СО РАН им. С.Л.Соболева: семинар лаборатории обратных задач мат. физики под руководством проф. Ю.Е.Аниконова;

кроме того, на заседаниях семинаров университета Блеза Паскаля (2003, Клермон-Ферран, Франция), Белград ского университета (2002, Белград, Югославия), Пенсильванского универ ситета (2002, Стейт Каллидж, США), Первого Римского университета “Ла Сапиенца” (2001, Рим, Италия), политехнического университета города Ту рина (2001, Италия), университета Жана Моне (2001, 2003, Сант-Этьен, Франция), университета города Оулу (2001, 2003, Финляндия), техниче ского университета города Люлео (2000, 2001, 2003, Швеция), университета Кантабриа (2000, Сантандер, Испания), университета города Айзу (1999, Япония), университета Юты (1998, 2002, Солт Лейк Сити, США), универ ситета Пьера и Марии Кюри (1997, 2003, 2004, Париж, Франция), Коллежа де Франс (1996, Париж, Франция), Курантовского института математиче ских наук (1995, Нью Йорк, США), университета Миннесоты (1995, Мин неаполис, США).

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях: Совместные заседания семинара им. И.Г. Петровского и Московского Математического общества (конференции И.Г.Петровского), Москва, МГУ, Механико-математический факультет (1989 – 2004 г.);

Меж дународная конференция “Актуальные проблемы вычислительной матема тики”, посвящнная памяти Н.С.Бахвалова (Москва, 28 - 29 августа 2006 г.);

е Международная конференция по дифференциальным уравнениям и дина мическим системам (Суздаль, 10 - 15 июля 2006 г.) - пленарный доклад;

Международная конференция “Математические идеи П.Л.Чебышёва и их приложения в современной науке” (Обнинск, 3-я конференция: 14 - 18 мая 2006 г.;

1-ая конференция: 24 - 18 мая 2002 г.);

Международная Уфимская зимняя математическая и физическая школа (Уфа, 30 ноября - 6 декабря 2005 г.) - пленарный доклад;

Международная школа по течению и пере носу через сложные структуры (Обервольфах, Германия, 30 октября - ноября 2005 г.);

Международная конференция “Многомасштабные задачи и асимптотический анализ” (Нарвик, Норвегия, 22 - 26 июня 2004 г.);

5 й Международный конгресс по индустриальной и прикладной математике (Сидней, Австралия, 7 - 11 июля 2003 г.);

13-ый Международный коллокви ум по дифференциальным уравнениям (Пловдив, Болгария, 18 - 23 августа 2002 г.) - пленарный доклад;

Международная конференция “Асимптоти ки в дифференциальных уравнениях”, посвящнная 70-летию академика е А.М.Ильина (Уфа, 26 -30 мая 2002);

Международная конференция “Усред нение и приложения в науке о материалах” (Тимишоара, Румыния, 15 19 сентября 2001 г.) - пленарный доклад;

Международная конференция “Многомасштабные задачи в науке и технологии” (Дубровник, Хорватия, 3 - 9 сентября 2000 г.) - приглашнный доклад;

Международная школа по е асимптотическому и численному анализу структур и неоднородных сред (Санкт-Петербург, 26 - 30 июня 2000 г.) - приглашнный доклад;

Меж е дународная школа “Многомасштабные задачи и усреднение” (Гейдельберг, Германия, 29 ноября - 4 декабря 1999 г.) - приглашнный доклад;

3-й Сибир е ский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 22 - 27 июня 1998 г.);

Международный коллоквиум “Усреднение и пористые среды” (Марсель, Франция, 24 - 28 июня 1996 г.) - пленарный доклад;

Меж дународный коллоквиум EurHomogenization “Усреднение и приложения в науке о материалах” (Ницца, Франция, 6 - 10 июня 1995 г.) - пленарный доклад;

Международная конференция, посвященная 90-летию академика С.М. Никольского (Москва, 27 апреля - 3 мая 1995 г.);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата [1-24].

Структура и объем работы. Диссертация занимает 247 страниц тек ста и состоит из введения, трёх глав, разбитых на девять параграфов и списка литературы, включающего 200 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная – номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 3.2.1 – лемма 1 второго параграфа третьей главы.

Основное содержание работы

.

Первая глава. В первой главе рассматривается спектральная задача для оператора Лапласа в ограниченной области с большим количеством “лёгких” концентрированных масс на границе. Доказана теорема усредне ния, получены оценки отклонения решений и собственных элементов такой задачи от решений и собственных элементов, соответственно, усредннной е задачи. Также строятся полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций.

В первом параграфе ставится задача в ограниченной области с лг- е кими концентрированными массами около границы.

область в R2, лежащая в верхней полуплоскости, = Пусть отрезок, на оси абсцисс, име 1 2 3 4, при этом 4 ющий микронеоднородную структуру, 4 =, а 2 и 3 принад лежат прямым x1 = и x1 =, соответственно. Здесь = 2N+ 2 малый параметр, N натуральное число, N 1. Опишем подробнее мел комасштабную структуру 4. Пусть = { : 1 1 1, 2 = 0}, x = { : 1 1, 1 1 +, 2 = 0} в переменных = a, {x 4 : 1 x1 n 1, }, при этом 0 a. Обозначим = 2 a a nZ 1, 2 0} = 4\. Пусть = { : полуполоса в про 2 x 1 0, 0 1, 2 = 0}, а B странстве =, = { : 2 2 полукруг { : 1 + 2 1, 2 0} в пространстве = a.

Будут также использоваться следующие обозначения. Пусть B a по 2 2 2 a лукруг { : 1 + 2 a, 2 0}, = { : a 1 a, 2 = 0}, a = { : 1 a, a 1, 2 = 0} в переменных = x.

2 2 Обозначим B = {x : ( x1 n )2 + ( x2 )2 1}, n Z, B = B, n n a a a соответственно, = {x 4 : 1 x1 n 1}, n Z, т.е. =.

n n a a Рассматриваются два случая:

• случай часто расположенных масс, т.е.

a = const;

• случай редко расположенных масс, т.е. a() является функцией от такой, что a() 0 при 0 и (1) lim ln a = 0.

Целью параграфа является построение асимптотики при 0 собствен ных элементов следующей спектральной задачи:

u = u при x, u = 0 при x, (2) u = 0 при x 1 2 3, где (x) плотность, имеющая вид в первом случае 1 в \B, (3) (x) = (a)m в B, а во втором случае 1 в \B, (4) (x) = 1 + (a)m в B.

Всюду далее рассматривается 0 m 2 постоянная величина. Бу дем называть множества B концентрированными массами. Рассмот n рим также задачу u0 = u0 при x, u0 = 0 при x 4, (5) u = 0 при x 1 2 3.

Во втором параграфе на основе схемы из работы Р.Р.Гадыльшина и результатов из работы автора23 доказывается теорема усреднения и вы водятся оценки.

Рассматривается следующая краевая задача:

U = U + f при x, U = 0 при x, (6) U = 0 при x 1 2 3, где (x) имеет вид (3) в случае a = const и вид (4) в случае малого a, и предельная (усредннная) задача е U0 = U0 + f при x, U0 = 0 при x 4, (7) U = 0 при x 1 2 3.

Гадыльшин Р.Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической за дачи с малым параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. № 4. С. 640–652.

Чечкин Г.А. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций эллип тического оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе “лгких” е концентрированных масс. Двумерный случай. // Известия РАН. Серия математическая. 2005. Т. 69.

№ 4. C. 161–204.

Решение задач (2), (5), (6) и (7) будем понимать в обобщнном смысле.

е Пусть f L2(). Обозначим через u 0 и u 1 соответственно нормы функции u в пространствах L2() и H 1 ().

Доказаны следующие три утверждения.

Теорема 1.2.1 Пусть f L2(), K произвольный компакт на ком плексной плоскости C, не содержащий собственных значений предельной задачи (5). Тогда 1. существует число 0 0 такое, что при любом 0 и любом K решение задачи (6) существует и единственно, а также спра ведлива равномерная по и оценка (8) C f 0, U где C не зависит также и от f ;

2. для решений задач (6) и (7) имеет место сходимость (9) 0 при 0.

U U0 Теорема 1.2.2 Пусть 0 собственное значение предельной зада чи (5). Тогда 1. существует собственное значение исходной задачи (2), сходяще еся к 0 при 0;

2. если кратность 0 равна N, то к нему сходится N собственных значений исходной задачи (с учтом совокупной кратности).

е Теорема 1.2.3 Пусть f L2 (). Если кратность собственного зна чения 0 предельной задачи (5) равна N, то 1. для любого близкого к 0 и решения U краевой задачи (6) справед лива равномерная оценка f C U, 1 N |j | j= где 1,..., N собственные значения задачи (2), сходящиеся к 0.

2. если решение U задачи (6) ортогонально в L2() собственной функ ции ui задачи (2), соответствующей i, то имеет место оценка f C U.

1 N |j | j=1;

j=i В третьем параграфе на основе метода согласования асимптотиче ских разложений (см. например, книгу А.М.Ильина24) строятся полные асимптотические разложения в случае часто расположенных масс как для случая простого собственного значения предельной задачи, так и для слу чая кратного собственного значения.

Пусть 0 простое собственное значение. Перенумеруем множество для фиксированного m в порядке возрастания:

1 + i + (2 m)j i,j= 1 = 1 2 · · ·. Легко видеть, что 2 = 2 при 0 m 1, а 2 = 3 m при 1 m 2.

Теорема 1.3.1. Асимптотика собственных значений и соответству ющих собственных функций имеет вид i i, (10) = 0 + i= x i i vi ;

x 1, 0 x U(x) = u0(x) + ui (x), x2, U(x) = i=1 i= (11) в норме пространства Соболева H (), 0 1 произвольное число.

Здесь uk C (), vk (;

x1) -периодические по 1 функции с асимп тотикой vi (;

x1) P[i ] (2) при 2 при любом фиксированном x1, где [i ] целая часть i, Pk (2 ) многочлен степени k, v1 (;

x1) = 0 (x1) X(), 1 = ln sin a 0 (x1) dx1, m a 0 X 2 () d при 2= 0 (x1) dx1 1 m 2, B 2 m a 0 (x1) dx1 X 2() d при 0 m 1, 2= ln sin a 1 (x1)0 (x1) dx1 m B 2 где X() = Re ln(sin z + sin2 z sin2 a) ln sin a, z = 1 + i2, 0 (x1) = u, 1 (x1) = u2 |x2 =0, k l символ Кронекера, u1 решение задачи | x2 x2 =0 x u1 = 0 u1 + 1 u0 в, (12) u1 = 0 ln sin a на 4, u = 0 на 1 2 3, Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

ортогональное u0 в L2 ().

Здесь U (x) = T u(x), константа T = 1 + o(1) при 0.

Пусть предельная задача (5) имеет собственное значение 0 кратности два.

Обозначим две собственные функции этой задачи, ортонормированные в (1) (2) L2 (), соответствующие собственному значению 0, через u0 и u0. Будем также предполагать, что выполнено условие ортогональности (1) (2) u0 u (13) ds = 0.

Дополнительно для простоты изложения будем считать, что 2 2 (1) (2) u0 u (14) dx1 = dx1.

x2 x 2 В соответствии с теоремой 1.2.2 существуют два собственных значения исходной задачи с учтом совокупной кратности, которые сходятся к 0 и е две собственные функции, сходящиеся к линейным комбинациям собствен ных функций предельной задачи. Условие (14) гарантирует, что эти два собственных значения различны (т.е. являются простыми), условие же (13) гарантирует, что соответствующие собственные функции будут сходится к () собственным функциям u0, = 1, 2, а не к их линейным комбинациям.

Справедлива теорема.

Теорема 1.3.3.Асимптотика собственных значений и соответству ющих собственных функций имеет вид () i (), (15) = 0 + i i= () () i u()(x), x U (x) = u0 (x)+ i i= (16) x () () i vi 0 x U (x) = ;

x1, i= () () в норме пространства Соболева H 1 (). Здесь uk C (), vk (;

x1) () -периодические по 1 функции с асимптотикой vi (;

x1) P[i ] (2) при 2 при любом фиксированном x1, где [i ] целая часть i, Pk (2) многочлен степени k, () () () () = ln sin a v1 (;

x1) = 0 (x1) X(), 0 (x1) dx1, m a 0 () ()= X 2 () d при 0 (x1) 1 m 2, dx B 2 m 1 a () () () ()= ln sin a dx1 X 2()d при 0 m 1, 1 (x1)0 (x1)dx1 m 0 (x1) B 2 () () () () () u0 u где 0 (x1) = x2 |x2 =0, x2 |x2 =0, решение задачи 1 (x1) = u u() = 0 u() + () u() в, 1 1 1 () () (17) u1 = 0 ln sin a на 4, u() (x) = 0 на 1 2 3.

В четвртом параграфе строятся полные асимптотические разложе е ния в случае редко расположенных масс. Обозначим µ := 2ma2m.

Определим классы функций, которые используются для формулиров ки основных теорем. Для того, чтобы определить новые классы функций, введм следующие обозначения: B полукруг { : 1, 2 0}, O,± е -окрестность точек (±1, 0).

(2k,2n,q) Обозначим через Beven множество чтных по 1 функций geven е • 1 2 2 Hloc (R+ ) C (B) Hloc (R+ \(O,+ O, )) для любого, таких что они имеют асимптотику на бесконечности вида k+1 k i q even 2i2 cos 2i (i) even 2i cos 2(i j) ln + (i,j) geven() = + i=1 i=0 j= i n i even 2i+2j (i,j) even 2i2j cos 2i, (i,j) + cos 2i + +, i=0 j=0 i=1 j= q где символ Кронекера.

J (2k,2n,q) Обозначим Beven = V (;

x1) : V (;

x1) = j (x1)Yj (), j= Yj Beven, j C [, ], (j )(2n+1)(± ) = 0, n = 0, 1,..., (2k,2n,q) 22 здесь и далее J произвольное (не фиксированное, но конечное).

(2k1,2n1,q) Обозначим через Bodd множество нечтных по 1 функций е • godd Hloc (R2 ) C (B) Hloc (R2 \(O,+ O, )) для любого, таких что 1 + + они имеют асимптотику на бесконечности вида k k1 i (i) (i,j) q odd 2i1 cos(2i + 1) + odd 2i+1 cos(2i 2j + 1) ln + fodd () = i=0 i=0 j= i n1 i (i,j) (i,j) odd 2i+2j1 cos(2i odd 2i2j+1 cos(2i + 1), + + 1) + i=0 j=0 i=0 j= при +, (2k1,2n1,q) q где 0 символ Кронекера. Сразу отметим, что символом Bodd при k = 0 будем обозначать класс функций, в асимптотике которых при + нет слагаемых с ln, соответственно, при n = 0 будем обозначать класс функций, в асимптотике которых при + нет слагаемых с отрицательными степенями.

J (2k1,2n1,q) Обозначим Bodd = V (;

x1) : V (;

x1) = j (x1)Yj (), j= (2k1,2n1,q), j C [, ], (j )(2n)(± ) = 0, n = 0, 1,....

Yj Bodd 22 Введм следующий класс функций.

е (2k+1,2n+1,q) B(2k+1,2n+1,q)= V (;

x1) : V (;

x1) = Z(;

x1)+Z(;

x1),Z Bodd (2k,2n,q), Z Beven, (2k1,2n1,q) B(2k,2n,q)= V (;

x1) : V (;

x1) = Z(;

x1)+ Z(;

x1),Z Bodd (2k,2n,q), Z Beven.

2k Обозначим через Hodd (;

x1) множество многочленов вида • k1 i (i,j) odd (x1)2i1 cos(2i + 2j + 1) i=0 j= с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами на отрезке [, ], чтные производные которого по x1 обращаются в нуль при x1 = ± 2.

е 2k Обозначим через Heven(;

x1) множество многочленов вида k i even(x1)2i cos 2(i + j) (i,j) i=0 j= с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами на отрезке [, ], нечтные производные которого по x1 обращаются в нуль при x1 = ±.

е А также обозначим k (k) F = V (;

x1) : V (;

x1) = h0 (x1) ln + hj (;

x1), j= k 2j+1 2j h2j+1 Hodd, h2j Heven, j = 0,...,.

(2k,2n,q) Обозначим через Aeven множество таких -периодических чтных е • по 1 функций feven C (R2 \ {(k, 0)}), что e2 ()feven H 1 (), + kZ 2 и они имеют асимптотику в нуле вида k+1 k i q even 2i2 cos 2i (i) even 2i cos 2(i j) ln + (i,j) feven() = + i=1 i=0 j= i n i (i,j) even 2i cos 2(i (i,j) even 2i+2j cos 2i, + j) + 0, i=0 j=0 i=1 j= q где 0 символ Кронекера.

Обозначим J A(2k,2n,q) = V (;

x1) : V (;

x1) = j (x1)Yj (), even j= Yj A(2k,2n,q), j C [, ], (j )(2n+1)(± ) = 0, n = 0, 1,....

even 22 (2k1,2n1,q) Обозначим через Aodd множество таких -периодических не • чтных по 1 функций fodd C (R2 \ {(k, 0)}), что e2 ()fodd е + kZ 0 2 и они имеют асимптотику в нуле вида H (), k k1 i (i) (i,j) q odd 2i1 cos(2i+1) + odd 2i+1 cos(2i2j +1) ln + fodd () = i=0 i=0 j= i n1 i (i,j) (i,j) odd 2i+1 cos(2i odd 2i+2j1 cos(2i + 1), + 2j + 1) + i=0 j=0 i=0 j= при 0, (2k1,2n1,q) q где 0 символ Кронекера. Сразу отметим, что символом Aodd при k = 0 будем обозначать класс функций, в асимптотике которых при нет слагаемых с ln, соответственно, при n = 0 будем обозначать класс функций, в асимптотике которых при 0 нет слагаемых с отрицатель ными степенями.

А также обозначим J (2k1,2n1,q) Aodd = V (;

x1) : V (;

x1) = j (x1)Yj (), j= (2k1,2n1,q), j C [, ], (j )(2n) (± ) = 0, n = 0, 1,....

Yj Aodd 22 Введм следующий класс функций.

е (2k+1,2n+1,q) A(2k+1,2n+1,q)= V (;

x1) :V (;

x1) = Z(;

x1)+ Z(;

x1),Z Aodd (2k,2n,q),Z Aeven, (2k1,2n1,q) A(2k,2n,q)= V (;

x1) : V (;

x1) = Z(;

x1)+ Z(;

x1),Z Aodd,Z A(2k,2n,q).

even Имеют место теоремы.

Теорема 1.4.9. Существуют ряды jl+1 j k j lnk aµp j,k,0,p, (18) j lp = 0+ ln a a µ j,k,l,p + p=0 j=1 l=2 k=0 p=0 j=1 k= jl+1 j k j lnk aµp uj,k,0,p (x), j lp u (x) = u0(x) + ln a a µ uj,k,l,p(x) + p=0 j=1 l=2 k=0 p=0 j=1 k= (19) jl+1 j j lnk a al µp vj,k,l,p (;

x1)+ j lnk aµp vj,k,0,p (;

x1), u (x) = p=0 j=1 l=2 k=0 p=0 j=1 k= (20) jl j j lnk a al µp wj,k,l,p (;

x1)+ j lnk aµp wj,k,0,p (;

x1), u(x) = p=0 j=1 l=1 k=0 p=0 j=1 k= (21) такие что а) пары uj,k,l,p C () и j,k,l,p являются решениями задач j1,k1,l1,p1 ujj1,kk1,ll1,pp1 в, uj,k,l,p = (22) j1,k1,l1,p uj,k,l,p на 1 2 3.

= Здесь и далее предполагается, что индексы j1, k1, l1 и p1 меняются толь ко в пределах, указанных в соответствующих суммах (18), (19), (20) и (21);

здесь u0,0,0,0 = u0, 0,0,0,0 = 0 ;

б) ряд (19) имеет асимптотику при x2 0, переписанную в перемен ных, вида:

jl+ j lnk a al µp Vj,k,l,p (2 ;

x1) + u (x) = p=0 j=1 l=2 k= j j lnk aµp Vj,k,0,p (2 ;

x1) при 2 0, + p=0 j=1 k= где Vj,k,l,p (2 ;

x1) многочлены порядка jk по переменной 2 с коэффици ентами, являющимися бесконечно дифференцируемыми на [, ] функ циями от x1, нечтные производные которых равны нулю при x1 = ± ;

е в) коэффициент 1,1,0,0 определяется из формулы u 1,1,0,0 = ds 0;

г) коэффициент 1,0,0,1 определяется из формулы 0 u Y 2()d, = 1,0,0,1 ds 4 B где Y () = Re ln y + y 2 1, y = 1 + i2;

д) функции vj,k,l,p представляются в виде суммы vj,k,l,p = Vj,k,l,p +vj,k,l,p, vj,k,l,p A(jk,l,1), являются решениями задач 2vj1,k,l,p 2vj2,k,l,p v j1,k1,l1,p1 vjj12,kk1,ll1,pp1 в, j,k,l,p = 2 + + x x j1,k1,l1,p vj,k,l,p = 0 на, v j,k,l,p (;

± ) = 0 при 1 = ±, 2 (23) причм е vj,k,l (;

± ) 0;

x е) функции vj,k,l,p имеют асимптотику при vj,k,l,p = Vj,k,l,p 0, где Vj,k,l,p F (lj+k);

ж) функции wk,j,l,p Bjk,l,1 являются решениями задач 2 wj2,k,l2,p wj,k,l,p = 2 wx j1,k,l1,p + + x 1 1 j1,k1,l1,p1 wjj1 2,kk1,ll12,pp1 в R2 \B, + j1,k1,l1,p + (24) j1,k1,l1,p1 wjj1,kk1,ll1,pp11 в B, j1,k1,l1,p wj,k,l,p = 0 на, wj,k,l,p = 0 на, з) ряд (21) имеет асимптотику при +, переписанную в пере менных, вида jl+ j lnk a al µp Vj,k,l,p (;

x1) + u(x) = p=0 j=1 l=2 k= j j lnk aµp Vj,k,0,p (;

x1) при a1 +.

+ p=0 j=1 k= Теорема 1.4.10.Асимптотика собственных значений и соответству ющих собственных функций имеет вид jl+1 j k j lnk aµp j,k,0,p, j lp = 0 + ln a a µ j,k,l,p + p=0 j=1 l=2 k=0 p=0 j=1 k= (25) jl+1 j k j lnkaµp uj,k,0,p(x) при x j lp U(x)=u0(x)+ ln aa µ uj,k,l,p(x)+, p=0 j=1 l=2 k=0 p=0 j=1 k= (26) jl+1 j x x k j lnk aµp vj,k,0,p j lp U(x)= ln aa µ vj,k,l,p ;

x1 + ;

x p=0 j=1 l=2 k=0 p=0 j=1 k= при x2 2, (x1 an)2 + x2 2 a2, (27) jl x1 n x j lnk a al µp wj,k,l,p U (x) =, ;

x1 + a a p=0 j=1 l=1 k= j x1 n x2 (28) j lnk aµp wj,k,0,p +, ;

x a a p=0 j=1 k= при (x1 an)2 + x2 22 a2, n Z, N n N в норме пространства Соболева H 1 (). Здесь uj,k,l,p, j,k,l,p, vj,k,l,p и wj,k,l,p удовлетворяют условиям теоремы 1.4.9, и, в частности, 2 (0 )2(x1) dx1 0, (0 )2(x1) dx Y 2 ()d, 1,1,0,0 = 1,0,0,1 = B 2 1 w1,0,0,0(;

x1) = 0 (x1) Y (), v1,0,0,0(;

x1) = 0 (x1) X (), где X () = Re ln sin z + ln 2, z = 1 + i2, 0 (x1) = u2 |x2 =0.

1 x Отметим, что в теореме строится асимптотика ненормированной соб ственной функции, т.е. U(x) = T u(x), константа T = 1 + o(1) при 0, где u нормированная в L2 () собственная функция задачи (2).

В пятом параграфе рассматривается задача о стационарных колебани ях круговой мембраны, частично закреплнной по границе с часто распо е ложенными лгкими концентрированными массами на границе. С помо е щью метода погранслойных функций (см., например, работу М.И.Вишика и Л.А.Люстерника25) строятся полные разложения собственных элементов исходной задачи.

Обозначим единичный круг ц центром в начале координат. Вы бираем на окружности периодическое множество, состоящее из N, N 1, несвязных кривых. Здесь = N малый параметр. Множество является пересечением границы со множеством B, которое является объ единением малых кругов B (концентрированных масс). Мы предполагаем, n что длина кривых равна a, где 0 a константа. Каждая из кривых и каждый из кругов получается из соседней (соседнего) поворотом вокруг начала координат на угол. Обозначим = \. Вводим полярную систему координат (, r) в области с центром в начале координат.

Опишем подробнее множество B. Обозначим Ba объединение по лукругов, полученных целочисленными сдвигами полукруга B a вдоль оси O1. И определим B как образ Ba при преобразовании = 2, r = 1 1.

Пусть (x) плотность, определнная формулой (3). Изучается асимп е тотическое поведение при 0 собственных элементов краевой задачи u = u при x, u = 0 при x, (29) u = 0 при x.

r Вишик М.И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой // Успехи матем.

наук. 1957. T. 12. Вып. 5. С. 3–122.

Рассмотрим также усредннную задачу (корректность такого определе е ния усредннной задачи см. в работе26) е u0 = 0 u0 as x, (30) u0 = 0 as x.

Строится полное асимптотическое разложение в следующей форме:

1r u(x) = uex(x) + (1 r)uin (31),, где гладкая функция (1r) равна 1 при 1 r 1 и равна 0 при r 1, 2 uex(x) uin() i vi () (32) = J0 (k()r), = i= и имеет вид i i. (33) = 0 + i= Здесь J0 функция Бесселя, k() =, vk () -периодические по функции, экспоненциально убывающие при 2, в частности, v1 () = 0 () X(), 1 определена формулой u (34) 1 = ln sin a ds, r 2 определена am 0 при 1 m 2, (35) 2 = 0 () d X()X() d 0 B или 2 m 1 a 0 0 ()d X()X()d при 0 m 1, 2= ln sin a 1()0()dm 0 0 B (36) l где символ Кронекера, k X()=Re ln sin z+ sin2 zsin2a 2, Чечкин Г.А. Об оценке решений краевых задач в областях с концентрированными массами, пери одически расположенными вдоль границы. Случай “лгких” масс. // Мат. заметки. 2004. Т. 76. № 6.

е С. 928–944.

z = 1 + i2 комплексная переменная. Проверяется,что для любого k() функция (32) является решением уравнения из (29), если = k 2(), и удовлетворяет следующему граничному условию:

uex = k()J0 (k()), uex (37) = J0 (k()), x, x.

r i ki, то имеет асимп Если асимптотика k() имеет вид k() = k0 + i= тотику (33), где 0 = k0, 1 = 2k0k1, если 1 m 2, если 0 m 1.

2 = 2k0k2 2 = m k1 + 2k0k Рекуррентная система уравнений для коэффициентов ряда uin из (32) имеет вид:

p vq в {2 0}\Ba, k1 2 p,q j1 j p +q =k (38) vk = +j 2 2 vkj am p vq в Ba.

2 1 j=1 p,q p+q=k+m где j – вполне определнные константы, в частности, 1 = 2. Если i t не е равно j для некоторого j, где t, j N, то члены с этими индексами в (38) равны нулю. Граничные условия для коэффициентов второго ряда из (32):

vi = ki J0 (k0) + fi (k1,..., ki1 ), a, (39) vi = gi (k1,..., ki1 ), a, где fi и gi могут быть вычислены непосредственно, в частности, g1 = k0J0(k0 ), (40) f1 = 0, 1 k 2 f (k ) = 0, f2 (k1) = J0 (k0)k1 J (k0), 0 m 1;

2 1 1 m 2. (41) 2k0 2 g2 (k1) = 0, g2 (k1) = k1J0 (k0) + k0 k1J0 (k0) 0, Имеет место теорема.

Теорема 1.5.1. Существуют числа ki и -периодические по 1 функ ции vi с конечным интегралом Дирихле по полуполосе, экспоненциаль но убывающие при 2, являющиеся решениями последовательности краевых задач (38), (39);

константы ki определяются из формул 1 fi (k1,..., ki1 )+gi (k1,..., ki1 ) ln sin a 1 XFi d, (42) ki = J0 (k0) правые части уравнений (38), а fi, gi определены в (39) – (41).

где Fi В частности, (43) k1 = k0 ln sin a, 2 k1 k1 XF2 d для 1 m 2. (44) для 0 m 1, k2 = k2 = m 2k0 J0 (k0) 2k Также строятся полные асимптотики в случае кратного собственного значения. Число собственных значений (учитывая кратность) исходной за дачи, сходящихся к собственному значению предельной (усредннной) за- е дачи, равно кратности этого собственного значения предельной (усреднн- е ной) задачи (см. работу ). Хорошо известно, что собственные частоты k0 = 0 предельной задачи суть нули функции Бесселя Jn для некото рого целого n 0 и они являются простыми, если n = 0 или двукратными, если n 0;

соответствующие собственные функции имеют вид J0 (k0r), если n = 0;

и, соответственно, вид Jn (k0r) sin(k0) и Jn (k0r) cos(k0), если n 0.

(i) (i) Пусть 0 двукратное собственное значение. Обозначим и u (i = 1, 2) соответствующие собственные числа и собственные функции исход (i) ной задачи, нормированные в L2(), такие что 0 при 0. Лег (i) ко видеть, что функция u (r, + ), N, тоже является собствен (i) ной функцией с собственным значением, но существует такая, что (i) (i) u (r, + ) и u (r, ) являются линейно независимыми. Следователь (1) (2) но, =, т.е., сходящаяся к 0, тоже является двукратным и вторая собственная функция может быть получена из первой поворотом.

Пусть 0 двукратное собственное значение, т.е. k0 нуль функции J для n 0. Асимптотику собственного значения будем строить в виде (33), а асимптотику собственной функции в следующем виде:

1r u(x) = uex(x) + (1 r) uin (45),,, uex(x) = cos(n)Jn(k()r), uin(, ) = cos(n) i ivi ().

vi ()+sin(n) odd i=1 i= (46) Отметим, что схема (45), (46) это комбинация метода погранслойных функций28 и метода многих масштабов29.

Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат.

сборник. 1993. Т. 184. № 6. С. 99–150.

Вишик М.И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой // Успехи матем.

наук. 1957. T. 12. Вып. 5. С. 3–122.

Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.

Москва: Наука, 1974.

Краевые условия для коэффициентов vi имеют вид:

(n) a vi = ki Jn (k0) + fi (k1,..., ki1 ),, (47) vi (n) = gi (k1,..., ki1 ), a, где f(n) = 0, (n) (48) g1 = k0Jn (k0);

k f(n) (k1 ) = 0, f(n)(k1) = Jn (k0), 1 m 2;

(49) 2k0 0 m 1;

(n) g2 (k1 ) = 0, (n) g2 (k1) = k1 Jn(k0)+k0k1Jn(k0) = 0, а для коэффициентов vi однородные граничные условия odd vi odd a = 0, a. (50) vi = 0,, odd Рекуррентные системы уравнений для коэффициентов ряда uin из (46): k1 k j j j vk = + j 2 2 vk j + n vk j1 + 2 j 2 odd 2 1 j=1 j= p vq в {2 0}\Ba, (51) k3 p,q p +q =k j +n j 2 vk j am p vq в Ba, j=0 p,q p +q =k +m k2 k j j j vk = + j 2 2 vk j n v j 2 j odd odd 1 k 2 j=1 j= p vq в {2 0}\Ba, odd (52) k3 p,q p +q =k j odd n j 2 vk j am p vq в Ba, odd j=0 p,q p +q =k +m где 0 = 1, а остальные j точно такие же, как в (38). Если i t не равно j для некоторого j, где t, j N, то члены с этими индексами в (51), (52) равны нулю.

Справедлива теорема.

Теорема 1.5.2.Существуют числа ki и -периодические по 1 чтные е функции vi и нечтные функции vi с конечным интегралом Дирихле е odd по, экспоненциально убывающие при 2 вместе со своими про изводными, такие что они являются решениями рекуррентной последо вательности краевых задач (51), (47) и (52), (48) соответственно, кон станты ki определены формулами 1 f(n)(k1,..., ki1)+gi (k1,..., ki1) ln sin a 1 XFi d, (n) ki = Jn(k0) i (n) (n) где Fi правая часть уравнения (51), а fi, gi определены в (47) – (49).

Коэффициенты k1 и k2 удовлетворяют (43) и (44), соответственно.

Вторая глава. Во второй главе рассматривается скалярный аналог уравнений линейной гидродинамики. Исследуется аналог малых колебаний вязкой неоднородной жидкости в открытом неподвижном сосуде с накину той на поверхность сетью. Предполагается, что в окрестности узлов сетки образуются тяжлые сгустки. Исходная задача сводится к исследованию е асимптотики собственных элементов квадратичного операторного пучка, которая исследуется на основе методов из монографии30. Далее проводит ся усреднение операторного пучка на основе схемы из монографии31.

В первом параграфе вводятся обозначения и ставятся основные спек тральные задачи, которые изучаются в этой главе.

гладкая область в Rn, n 3, обозначим через Пусть е е границу. Предполагается, что = 1 2, гиперплоскость 2 состоит N i из двух частей, и, где =. Введм следующее обозначение:

е i= N i объединение полушаров, находящихся внутри области. По B = B i= ясним теперь построение. Пусть B гомотетичное сжатие B, B0 это полушар {(1,..., n ) | 1 +· · ·+n 2, n 0} в растянутом пространстве 2 Rn, = x, 0 = {(1,..., n ) | 1 + · · · + n1 2, n = 0}, B область, 2 полученная целочисленными сдвигами множества B0 на гиперплоскости {n = 0}, с центрами в точках k = (k1,..., kn1, 0), k1,..., kn1 N. При этом = B. Отметим, что рассматривается случай, когда параметр i (), определяющий характерное расстояние между участками на гра нице, стремится к нулю при 0. Также заметим, что N = O n1.

Обозначим также D = { Rn | 1 i 2, i = 1,..., n 1, n 0}, = { Rn | 2 i 1, i = 1,..., n 1, n = 0}.

Изучаются следующие спектральные задачи:

sk = k (x)sk в, k s = 0 на 1, (53) sk = 0 на Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике.

Эволюционные и спектральные задачи. Москва: Наука, 1989.

Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990.

и k k k в, u = (x)u k на 1, (54) u = k uk quk = 0 на, где в 1 \B, (x) =.

в B ()m а единичный вектор внешней нормали к границе. Предполагается, что q const 0, а m 2.

Во втором параграфе формулируется вспомогательная теорема Олей ник–Иосифьяна–Шамаева32 и на её основе проводится усреднение задачи (53) и доказываются оценки отклонения собственных элементов исходной задачи от собственных элементов усредннной задачи.

е n Обозначим P := lim (). Рассмотрим краевые задачи s = (x)f в, s = 0 на 1, (55) s = 0 на, которая соответствует спектральной задаче (53), и s0 = f 0(x) в, s = 0 на, (P = +), (56) s0 n c + P 2 s = 0 на 2,, (P +), s0 = 0 на где n площадь единичной n-мерной сферы, а c0 := cap(0 ) гармони ческая мкость (n1)-мерного диска 0. Пусть функция, периодическая е по переменным 1,..., n1, является первой собственной функцией задачи типа Стеклова = 0 в D, = 0 на 0, (57) = на \0.

n Доказано существование такой функции. Зададим формулой x (x) = 1 + (xn) Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990.

и продолжим е по периодичности. Здесь (t) гладкая срезающая функ е ция одной переменной, 0 1, 1 в некоторой достаточно малой окрестности 2. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Если P +, s и s0 обобщённые решения задач (55) и (56), соответственно, то существует такая константа K1, не зависящая от, и, что для достаточно малых имеем n n P + 2m 2m.

s s + K1 H 1 () Если P = +, то существует K2 такое, что n s0 s + 2m 2m.

+ K2 H 1 () n Теперь приведм спектральную задачу, соответствующую краевой (56):

е sk = k sk в, k0 s0 = 0 на, (P = +), sk n c0 k + P 2 s0 = 0 на 2,, (P +). (58) k s0 = 0 на sk sl dx = kl, 0 1 2 · · ·, 00 0 Теорема 2.2.2.Пусть k, k являются собственными значениями 0 задач (58) и (53), соответственно. Тогда n n P + 2m 2m, если P, |k k | Ck + 0 n + 2m 2m, если P = +, |k k | + Ck 0 n 1 где постоянные Ck, Ck не зависят от.

Если кратность собственного значения l задачи (58) равна r, то есть l+1 l+r 0 = 0 = · · · = 0, то для любой собственной функции sl задачи (58), l соответствующей собственному значению l, s0 L2 () = 1, существует собственных функций задачи (53), соответству линейная комбинация s ющих собственному значению l+1, · · ·, l+r такая, что n 2 n (x)|s sl |2 dx Cl1 P +2m 2m, если P, 2+ 1 2 n (x)|s sl |2 dx Cl2 2 + 2m 2m, если P = +, + 0 n где постоянные Cl1, Cl2 не зависят от и sl. В третьем параграфе основная спектральная задача (54) сводится к операторному пучку и проводится её усреднение. В конце параграфа проводится аналогия исходной задачи с задачей о малых колебаниях вязкой неоднородной жидкости в неподвижном сосуде.

Доказано, что самосопряжнный операторный пучок, соответствующий е задаче (54), имеет вид q (59) L() := I A B, где оператор A определяется следующим образом: A[f ] = s, и s решение задачи (55), а B оператор, который определяется равенством B [] = w и w решение задачи w(x) = 0 в, на w (x) = 0 1, (60) w(x) на =.

Аналогичные пучки возникали в работах А.А.Шкаликова3334.

Имеет место теорема.

Теорема 2.3.2.

Задача (59) обладает следующими свойствами.

• Спектр задачи (59) дискретный и состоит из счтного множества е действительных собственных значений конечной кратности, которые расположены на интервалах (0, r ), (r+, +) действительной оси, где 1± 1 4q A B r± = 0 r r+,, 2 A и состоит из двух семейств {(k )+}, {(k )} с точками накопле k=1 k= ния + и 0, соответственно, т.е. ( ) 0 при k, и (k )+ + k при k, при этом = +, k, j N.

j k • Справедливы следующие оценки и асимптотические формулы:

1 2q B (k )+ k (k = 1, 2, · · · ), k (A) (A) Marletta M., Shkalikov A.A., Tretter C. Pencils of dierential operators containing the eigenvalue parameter in the boundary conditions. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 133. 2003. № 4. P. 893–917.

Shkalikov A.A. Operator pencils arising in elasticity and hydrodynamics: the instability index formula.

Recent developments in operator theory and its applications (Winnipeg, MB, 1994). Oper. Theory Adv.

Appl., 87. Basel: Birkhuser. 1996, p. 358–385.

a (k )+ = при [1 + o(1)] k +, k (A) qk (B) (k ) qk (B) (k = 1, 2, · · · ), k (B ) A 1 2q (k ) = qk (B)[1 + o(1)] при k +.

Далее проводится усреднение операторного пучка.

Доказано, что предельными при 0 (усреднёнными) задачами для (55) и (60) являются, соответственно, задача (56) и w0(x) = 0 в ;

w (x) = 0 на 1, (61) w (x) c + P n2 0 w0 = на 2 (P );

w =0 на (P = ).

Определим A и B следующим образом: A[f 0] = s0, B[] = w0 при P и B 0 при P =, где s0 решение задачи (56), w0 решение задачи (61), тогда имеют место следующие утверждения.

Теорема 2.3.3.Пусть k (A) собственные значения оператора A, 1 такие что (A) (A) · · · 0;

k (B) собственные значения 1 оператора B, такие что (B) (B) · · · 0;

k (A) собствен 1 ные значения оператора A, такие что 0 (A) 0 (A) · · · 0, и пусть k (B) собственные значения оператора B в случае P, такие что 1 (B) 2 (B) · · · 0. Здесь все наборы собственных значений перену 0 мерованы с учтом кратности.

е Тогда существуют константы C1, C2, C3 и C4, зависящие только от k, такие что n 1 1 n C1 2 + ()2m +, если P, P k (A) k (A) 1 1 n C2 2 + ()2m + n2 если P =,, k (A ) k (A) n n 2m k (B) k (B), если P, C3 + () + P n 2 + ()2m + n k (B) C4 если P =.

, решение задачи (54), тогда u u0 слабо Теорема 3.3.4.Пусть u в H 1() при 0, где u0 = u0 в ;

u = на 1, u c + P n2 0 u0 qu0 = на 2, (P ), u =0 на (P = ).

, Операторный пучок q I A B (P ), I A (P = ) называем усредннным операторным пучком для (59).

е Третья глава. В третьей главе рассматривается задача для уравнения Гельмгольца в неограниченной области с концентрированными массами на границе. Доказывается теорема усреднения, строятся решения и их анали тические продолжения и доказывается сходимость полюсов аналитического продолжения к собственным значениям предельной задачи.

В первом параграфе ставится задача, строится аналитическое про должение стандартным способом35 и доказывается теорема сходимости.

гладкая область в R3 с границей =. Предполагается, Пусть что = 1 2, участок 2 принадлежит плоскости {x3 = 0} и состоит N i из двух частей, и 2 \, где =. Введм следующее обозначение:

е i= N i объединение полушаров, находящихся внутри области.

B = B i= Поясним теперь построение. Пусть B гомотетичное сжатие B, B - об ласть, полученная целочисленными сдвигами множества B 0 на плоскости {3 = 0}, с центрами в точках k = (k1, k2, 0), k1, k2 N, B 0 это полушар x {(1, 3 ) | 1 + 2 + 3 2, 3 0} в растянутом пространстве R3, =, 2 2 0 = {(1, 2, 3) | 1 + 2 2, 3 = 0}. При этом = B. Заметим, 2 что N = O 2.

Рассматривается случай, когда = () зависит от и lim () =.

Предположим, что F функция из L2 (R ) с ограниченным носителем.

Snchez-Palencia E. Homogenization Techniques for Composite Media. Berlin – New York: Springer a Verlag, 1987.

Рассматривается следующая задача в неограниченной области:

+ k 2 u, = F, в R3 \ 2, (62) u, = 0, на 2, с условиями излучения u, u, = O(r1), iku, = o(r1) при r, (63) r 1+ 1, в B где Im k 0, r = |x| и (x) = ()m, m 1.

1, в \B Справедлива теорема.

Теорема 3.1.1. Предположим, что f и f суть сужения функции F на и на R \, соответственно. Тогда решение задачи (62), (63) схо дится к функции в, u0(x), u(x) = в R3 \ u0(x), сильно в Hloc (R3) при 0, где u0(x) решение задачи u0 = k 2 u0 f, (64) в, на, u0 = 0, а u0(x) решение задачи + k 2 u0 = f, в R3 \, (65) на, u0 = 0, удовлетворяющее условиям излучения u u0 = O(r1), iku0 = o(r1) (66) при r.

r Здесь предполагается, что k 2 не является собственным значением уравнения Гельмгольца в области.

Если k 2 = k0 собственное значение уравнения Гельмгольца в области, то существует полюс, () аналитического продолжения решения (62), (63) в полуплоскости Im k 0, сходящийся к k0 при 0.

Основные публикации автора по теме диссертации (из официального Перечня ВАК) [1] Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сборник. - 1993. - т. 184, № 6. - с. 99–150.

[2] Чечкин Г.А. Полное асимптотическое разложение решения краевой за дачи с быстро меняющимися граничными условиями в слое // УМН. 1993. - т. 48, вып. 4. - с. 218–219.

[3] Чечкин Г.А. О колебаниях тел с концентрированными массами, рас положенными на границе // УМН.- 1995.- т. 50, № 4.- с. 105–106.

[4] Чечкин Г.А. Асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимся типом граничных условий // Труды семинара им. И.Г.Петровского.- 1996.- т. 19.- с. 323–337.

[5] Чечкин Г.А. Граничное усреднение в областях с сингулярной плотно стью // Дифференциальные уравнения.- 2003.- т. 39, № 6.- с. 855.

[6] Чечкин Г.А. Расщепление кратного собственного значения в задаче о концентрированных массах. // УМН.- 2004.- т. 59, вып. 4.- с. 205–206.

[7] Чечкин Г.А. Об оценке решений краевых задач в областях с концен трированными массами, периодически расположенными вдоль грани цы. Случай “лгких” масс. // Мат. заметки.- 2004.- т. 76, № 6.- с. 928– е 944.

[8] Чечкин Г.А. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций эллиптического оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе “лгких” концентри е рованных масс. Двумерный случай. // Известия РАН.- 2005.- т. 69, № 4.- с. 161–204.

[9] Чечкин Г.А. Асимптотическое разложение собственных элементов опе ратора Лапласа в области с большим количеством близко расположен ных на границе “лгких” концентрированных масс. Многомерный слу е чай. // Проблемы математического анализа.- 2005.- т. 30.- с. 87–119.

[10] Чечкин Г.А. Усреднение модельной спектральной задачи для операто ра Лапласа в области с большим количеством близко расположенных “тяжлых” и “средних” концентрированных масс. // Проблемы мате е матического анализа.- 2006.- т. 32.- с. 45–76.

[11] Чечкин Г.А. Об усреднении решений задачи для оператора Лапласа в неограниченной области с большим количеством концентрированных масс на границе // Проблемы математического анализа.- 2006.- т. 33. с. 103–111.

(прочие) [12] Chechkin G.A. Vibration of Fluids in a Vessel with a Net on the Surface // In Homogenization and Applications to Material Sciences. Edited by D.Ci oranescu, A.Damlamian, and P.Donato. Vol. 9, GAKUTO International Series. Mathematical Sciences and Applications. Tokyo: Gakktosho, 1997, o 95–112.

[13] Chechkin G.A. On Vibration of Partially Fastened Membrane with Many “light” Concentrated Masses on the Boundary // C R Mcanique.- 2004. e v. 332, № 12.- p. 949–954.

[14] Chechkin G.A. Spectrum of Homogenized Problem in a Circle Domain with Many Concentrated Masses // In Multi Scale Problems and Asym ptotic Analysis. Edited by D.Cioranescu, A.Damlamian, P.Donato, and A.L.Piatnitski. Vol. 24, GAKUTO International Series. Mathematical Sci ences and Applications. Tokyo: Gakktosho, 2005, 49–62.

o [15] Chechkin G.A. Operator Pencil and Homogenization in the Problem of Vibration of Fluid in a Vessel with a Fine Net on the Surface // IMA Preprint Series #1367. Minneapolis: Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota. November 1995.

[16] Chechkin G.A. Vibration of Fluid in a Vessel with a Net on the Surface // Abstracts du Colloque EurHomogenization “Homognisation et Applica ee tions aux Sciences des Matriaux”, Nice, June 6 - 10, 1995.- p. 16–17.

e [17] Chechkin G.A. On Properties of Eigenelements of Boundary Value Prob lems in Domains with Many Concentrated Masses on the Boundary // Abstracts of the Conference “Advanced Mathematics, Computations and Applications” (AMCA - 95), Novosibirsk, June 20 - 24, 1995.- v. 1.- p.

69–70.

[18] Chechkin G.A. On Spectral Properties of Boundary Value Problems in Domains with Many Concentrated Masses Near the Boundary // Pro ceedings of the Fifth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium on Spectral and Evolutional Problems (KROMSH - V), p. Laspi, Crimea, Ukraine, September 19 - 30, 1994.- p. 51–53. (Simferopol - 1996: Simferopol State University, Crimean Mathematical Foundation, Crimean Academy of Science).

[19] Chechkin G.A. Boundary Homogenization for Elliptic Operators // Abs tracts of Junior Mathematical Congress (JMC–96), 8. Miscolc, Hungary, July 29 - August 2, 1996.

[20] Chechkin G.A. Homogenization Problems in Domains with Concentrated Masses// Book of Abstracts of the 5th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM 2003) (July 7-11, 2003, Sydney, Aust ralia), 147, Sydney: Sydney University of Technology Press, June 2003.

[21] Чечкин Г.А. Усредннный спектр краевой задачи для оператора Ла е пласа в области с большим количеством концентрированных масс кри тической плотности, близко расположенных на границе. // Book of Abstracts of the International Conference “Differential Equations and Re lated Topics” dedicated to the 103-d Anniversary of Ivan G. Petrovskii (XXI Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Soci ety) (May 16-22, 2004, Moscow, Russia), 44–45, Moscow: Moscow Universi ty Press, 2004. [Международная конференция, посвящнная 103-летию е со дня рождения И.Г.Петровского (XXI сессия совместных заседаний ММО и семинара им. И.Г.Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ, 2004.- 280 с.] [22] Chechkin G.A. Spectrum of Homogenized Problem in a Domain with Many Heavy Concentrated Masses. Book of Abstracts of the Midnight Sun Narvik Conference (June 22-26, 2004, Narvik, Norge), 16–18, Narvik:

Narvik University College Press, 2004.

[23] Чечкин Г.А. О поведении спектра краевых задач в областях с концен трированными массами // Тезисы докладов международной конфе ренции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (10–15 июля 2006, Суздаль, Россия), 224–226. Владимир: Изд-во “Со бор”, 2006.

[24] Chechkin G.A. Behavior of Bodies with Singular Perturbation of Den sity // Book of Abstracts of the International Conference on Dierential Equations, Dedicated to the 100-th Anniversary of Ya.B.Lopatynsky (ICL– 100) (September 12–17, 2006, Lviv, Ukraine), 80–81, Lviv: Ivan Franko National University of Lviv Press, 2006.