Игорь иосифович о продолжении по родам решений уравнения wdvv

На правах рукописи

УДК 512.772.5 Шнейберг Игорь Иосифович О продолжении по родам решений уравнения WDVV Специальность 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2008

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-Математи ческого факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

кандидат физико-математических наук, доцент И. А. Чубаров кандидат физико-математических наук С. В. Шадрин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук М. Э. Казарян (Математический институт имени В. А. Стеклова РАН) кандидат физико-математических наук Е. Б. Фейгин (Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН)

Ведущая организация:

Федеральное Государственное Унитарное Предприятие "Государствен ный Научный Центр Российской Федерации – Институт Теоретической и Экспериментальной Физики"

Защита диссертации состоится 31 октября 2008 г. в 16 ч. 40 мин. на за седании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государ ственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Механико-Ма тематический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-Матема тического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 30 сентября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ профессор А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одно из самых важных уравнений в совре менной математической физике – это уравнение Виттена-Дийкграафа Верлинде-Верлинде (WDDV)1. Рассмотрим формальный ряд F, зави сящий от переменных T1,..., Ts. Пусть ij – невырожденное скалярное произведение на пространстве параметров. Говорят, что F удовлетворя ет уравнению WDVV, если 3F 3F 3F 3F (1) ij = ij ;

Ta Tb Ti Tj Tc Td Ta Tc Ti Tj Tb Td здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющимся индек сам. Иными словами, третьи производные ряда F 3F ij Ck = lk Ti Tj Tl являются структурными константами коммутативной ассоциативной алгебры. Поэтому уравнение WDVV часто называют уравнением ас социативности.

В целом, выписывать в явном виде отдельные решения уравнения WDVV – задача черезвычайно сложная2, а задача классификации ре шений представляется и вовсе необозримой (полиномиальные решения уравнения WDVV рассмотрены Хертлингом3). Однако, очень часто ре шения уравнения WDVV естественно возникают в разных областях гео метрии. Например, уравнению ассоциативности удовлетворяют инвари анты Громова-Виттена в роде 0 (это является неким отражением гео метрии пространства модулей кривых в роде ноль4. Также к уравнениям ассоциативности сводится классификация бигамильтоновых интегриру емых иерархий 5.

Часто оказывается, что решения уравнения ассоциативности появля ются как часть некоторых значительно больших рядов, которые назы ваются их квантованием или продолжением по родам. Так, в теории Громова-Виттена можно рассматривать инварианты Громова-Виттена B. Dubrovin, Geometry of 2D topological eld theories. Integrable systems and quantum groups (Montecatini Terme, 1993), 120–348, Lecture Notes in Math., 1620, Springer, Berlin, 1996.

2 S. Natanzon, Formulas for A - and B -solutions of WDVV equations. J. Geom.

n n Phys. 39 (2001), no. 4, 323–336.

3 C. Hertling, Frobenius manifolds and moduli spaces for singularities. Cambridge Tracts in Mathematics, 151. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. x+270 pp.

4 Yu. I. Manin, Frobenius manifolds, quantum cohomology, and moduli spaces. AMS Colloquium Publications, 47. AMS, Providence, RI, 1999.

5 B. Dubrovin, Y. Zhang, Normal forms of hierarchies of integrable PDEs, Frobenius manifolds and Gromov-Witten invariants, arXiv: math.DG/0108160.

старших родов на малом фазовом пространстве, а также инварианты Громова-Виттена с потомками (-классами).

Мы изучаем решения уравнения WDVV, приходящие из так называ емых cH-алгебр. В этом подходе решения уравнения ассоциативности появляются как суммы по трехвалентным деревьям. Естественное про должение по родам получается при рассмотрении трехвалентных гра фов произвольного вида. Однако, с включением в рассмотрение потом ков дело обстоит несколько сложнее. А именно, один из вариантов вос принимать естественно структуру cH-алгебр кроется в теории инвари антов Цвибаха (это некоторое обобщение теории инвариантов Громова Виттена6). При этом подходе возникает естественное определение пол ного потенциала. Нужно рассматривать графы с произвольными вер шинами а не только трехвалентные, при этом, вершинам сопоставляют ся корреляторы, отвечающие пересечениям -классов на пространстве модулей кривых. При этом подходе, потенциал без потомков, представ ляющий из себя сумму по трехвалентным графам, равен разложению по диаграммам Фейнмана действия Бершадского-Чекотти-Оогури-Вафы7, а его древесная часть будет решением уравнения WDVV, построенным Баранниковым и Концевичем8.

Естественная задача, при наличии двух разных теорий продолжения по родам решений уравнения ассоциативности (в нашем случае – теория Громова-Виттена и cH-алгебры), – каким либо образом сравнить эти две теории. Напомним, что одним из стандартных способов сравнения теорий продолжения по родам решений уравнения WDVV заключает ся в сравнении универсальных соотношений, которым, помимо WDVV, удовлетворяют эти решения. В частности, черезвычайно важны, так называемые, тавтологоические соотношения, приходящие из топологии компактификации Делиня-Мамфорда пространства модулей кривых9.

Случай, когда потомки в cH-алгебрах рассматриваются только в од ной точке был изучен Шадриным10. Однако, долгое время полное опре деление потомков в cH-алгебрах не было нигде сформулировано, потому 6 A. Losev, S. Shadrin, From Zwiebach invariants to Getzler relation, Comm. Math.

Phys. 271 (2007), no. 3, 649– 7 M. Bershadsky, S. Cecotti, H. Ooguri, C. Vafa, Kodaira-Spencer theory of gravity and exact results for quantum string amplitudes, Comm. Math. Phys. 165 (1994), no.

2, 311–427.

8 S. Barannikov, M. Kontsevich, Frobenius manifolds and formality of Liealgebras of polyvector elds, Internat. Math. Res. Notices 1998, no. 4, 201–215.

9 Например, см. P. Belorousski, R. Pandharipande, A descendent relation in genus 2, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 29 (2000), no. 1, 171–191.

10 S. Shadrin, A denition of descendants at one point in graph calculus, Adv. Theor.

Math. Phys. 11 (2007), no. 3, 351–370.

что не удавалось доказать единственное на настоящий момент извест ное нетривиальное тавтологическое соотношение, включающее в себя -классы в двух и более точках – соотношение топологической рекур сии для 1 2 в M2,2 (TRR-(2, 2))11.

Одним из основных результатов этой работы является доказательство TRR-(2, 2) для потенциала, полученного из cH-алгебр, в ограничении на малое фазовое пространство. Это позволяет сформулировать пол ное определение определение потомков в cH-алгебре и исследовать их в дальнейшем12.

Другой важный результат, полученный в этой работе – доказательство соотношения Белорусского-Пандхарипанде в cH-алгебрах, тоже в огра ничении на малое фазовое пространство. Соотношение Белорусского Пандхарипанде13 – одно из двух наиболее сложных тавтологических со отношений, известных на сегодняшний день. Так например, в теории ин тегрируемых иерархий14 его пока не удалось воспроизвести напрямую.

В большом классе случаев соотношение Белорусского-Пандхарипанде вместе с соотношением топологической рекурсии в M2,1 и M2,2, позво ляет однозначно восстановить потенциал в роде два, зная потенциал в родах 0 и 115.

Доказательство обоих соотношений проводится по одной и той же схе ме, с помощью разработанной нами техники, которая, фактически яв ляется алгоритмом для поиска и проверки новых тавтологических со отношений. Это можно рассматривать, как некую альтернативу теории Гивенталя-Ли16, поскольку, как и у них, мы можем восстанавливать ин формацию о геометрии пространства модулей кривых с помощью чисто алгебраических конструкций.

11 E. Getzler, Topological recursion relations in genus 2, Integrable systems and algebraic geometry (Kobe/Kyoto, 1997), 73–106, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1998.

12 A. Losev, S. Shadrin, I. Shneiberg, Tautological relations in Hodge eld theory, Nuclear Phys. B 786 (2007), no. 3, 267–296.

13 P. Belorousski, R. Pandharipande, A descendent relation in genus 2, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 29 (2000), no. 1, 171–191.

14 B. Dubrovin, Y. Zhang, Normal forms of hierarchies of integrable PDEs, Frobenius manifolds and Gromov-Witten invariants, arXiv: math.DG/0108160.

15 X. Liu, Genus-2 Gromov-Witten invariants for manifolds with semisimple quantum cohomology, arXiv: math.DG/0310410.

16 A. Givental, Gromov-Witten invariants and quantization of quadratic Hamiltoni ans. Dedicated to the memory of I. G. Petrovskii on the occasion of his 100th anniversary.

Mosc. Math. J. 1 (2001), no. 4, 551–568, 645;

Y.-P. Lee, Notes on axiomatic Gromov Witten theory and applications, arXiv: 0710.4349.

Цель работы.

Целью работы является доказательство соотношений, приходящих из теории Громова-Виттена, для потенциала, полученного из cH-алгебр, в ограничении на малое фазовое пространство.

Основные методы исследования.

Использована разработанная совместно с С. В. Шадриным техника тензорных вычислений в графах, основанная на свойствах cH-алгебр.

Доказательство обоих соотношений проводится по одной и той же схеме, которая, фактически является алгоритмом для поиска и проверки но вых тавтологических соотношений. Это можно рассматривать как спо соб восстанавливать информацию о геометрии пространства модулей кривых с помощью чисто алгебраических конструкций.

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следую щем:

(1) Создан универсальный подход к вычислениям в тензорных гра фах на cH-алгебрах, воспроизводящий геометрию пространства модулей кривых.

(2) Доказано, что естественное продолжение по родам препотенциа ла Баранникова-Концевича удовлетворяет соотношению Белорус ского-Пандхарипанде (в ограничении на малое фазовое простран ство).

(3) Дано определение потомков в более чем одной точке для продол жения по родам препотенциала Баранникова-Концевича;

прове рено, что это определение удовлетворяет соотношению топологи ческой рекурсии, приходящему их геометрии пространства M2,2.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в различных задачах теории продолжений по родам Фробениусовых многообразий, теории пересечений на пространстве мо дулей кривых, классической версии теории зеркальной симметрии, и математической физики.

Апробация результатов.

Результаты диссертации докладывались на кафедральном алгебра ическом семинаре (2007) и на семинаре "Избранные вопросы алгеб ры"(2006, 2007) в Московском государственном университете, на семи наре по алгебре в университете Амстердама (Нидерланды, 2008), на семинаре по математической физике в Институте теоретической и экс периментальной физики (Москва, 2005 и 2006), и на семинаре по мате матической физике в Независимом московским университете (2007).

Публикации.

Основные результаты опубликованы в 3 работах, список которых при веден в конце автореферата, см. [1-3].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Полный объем диссертации – 55 страниц, библиография включает наименований.

Краткое содержание работы Во введении мы приводим некоторую мотивацию наших результатов и объясняем из взаимосвязь и структуру работы.

В первой главе мы обсуждаем предварительные сведения и форму лируем основные определения. Мы напоминаем необходимые факты об инвариантах Громова-Виттена и инвариантах Цвибаха. Также в первой главе мы приводим конструкцию потенциала с потомками, полученно го из cH-алгебр. Напомним определение cH-алгебр. Z2 -градуированная коммутативная ассоциативная C-алгебра H называется cH-алгеброй, если на ней определены два линейных оператора Q, G : H H и интеграл : H C, удовлетворяющие следующим аксиомам:

(1) Q2 = G2 = QG + G Q = 0, т. е., H – бикомплекс с дифферен циалами Q и G ;

(2) H = H0 H4, где QH0 = G H0 = 0, а пространство H4 пред ставляется в виде суммы четырехмерных подпространств порож денных e, Qe, G e, QG e для некоторого семейства векторов e H4 ;

иными словами, H4 = e, Qe, G e, QG e (разложение Ходжа);

(3) Q является оператором первого порядка, т. е., удовлетворяет пра вилу Лейбница: Q(ab) = Q(a)b+(1)a aQ(b) (здесь и далее a озна чает четность элемента a H);

(4) G является оператором второго порядка, т. е., удовлетворяет 7 членному соотношению:

G (abc) = G (ab)c + (1)b(+1) bG (ac) + (1)a aG (bc) a G (a)bc (1)a aG (b)c (1)a+b abG (c).

(5) G удовлетворяет соотношению, которое мы будем называть ак сиомой 1/12-ой:

str(G a·) = (1/12)str(G (a)·) (здесь a· и G (a)· означает оператор умножения на a и G (a) соответственно).

Теперь мы определим оператор G+ : H H. Мы полагаем G+ H0 = 0. Далее, учитывая разложение Ходжа, достаточно опре делить оператор G+ на каждом из четырехмерных подпространсв e, Qe, G e, QG e. Мы сделали это следующим образом:

G+ e = G+ G e = 0, G+ Qe = e, и G+ QG e = G e.

Легко проверить что [G, G+ ] = 0 и оператор 4 = [Q, G+ ] является проектором на H4 вдоль H0. В свою очередь, оператор 0 = Id является проектором на H0 вдоль H4.

Мы полагаем что интеграл на H есть четная линейная функция : H C. Также мы требуем выполнения следующих соотоношений Q(a)b = (1)a+1 aQ(b), G (a)b = (1)a aG (b), и G+ (a)b = (1)a aG+ (b). Используя эти свойства интеграла легко получить сле дующие соотношения, G G+ (a)b = aG G+ (b), 4 (a)b = a4 (b), и 0 (a)b = a0 (b).

Мы можем определить скалярное произведение на H следующим об разом: (a, b) = ab. Мы предполагаем что определенное нами скаляр ное произведение невырожденно. Используя скалярное произведение мы можем превратить произвольный оператор A : H H в бивек тор, который мы будем обозначать как [A].

Определим структуру потенциала в терминах cH-алгебр. Рассмотрим cH-алгебру H. Существует набор тензоров над H, которые мы ставим в соответствие компонентам графов, рассматриваемых ниже. Здесь мы представим обозначения для этих тензоров.

Мы рассматриваем графы, внутренние точки которых, имеют степень больше либо равную 3. Внутренним вершинам степени n мы всегда бу дем сопоставлять n-форму (2) (a1,..., an ) a1 · · · · · an.

Теперь рассмотрим бивектора, соответствующие ребрам графа:

[G G+ ], [0 ], [Id]. При изображении графов, ребра с этими бивекто рами будут обозначаться следующим образом:

(3),,.

Вектора, которые соответствуют листьям рассматриваемых графов, зависят от нескольких переменных. Пусть {e1,..., es } это однородный базис пространства H0. Каждому вектору ei сопоставим набор формаль ных переменных Tj,i (j Z и j 0) той же четности, что и ei. Итак, каждому листу соответствует один из векторов Ej = ei Tj,i (j 0).

На картинках мы изображаем E0 просто как пустой лист, E1 – как лист со стрелкой на конце, остальные вектора Ej (j 2) необходимы только для определения общей конструкции потенциала, но в рассматриваемых в нашей работе соотношениях они не участвуют. Поэтому мы не вводим для них специальных обозначений.

Рассмотрим сумму по связным графам, имеющим следующие свой ства:

(1) Каждая внутренняя вершина имеет валентность 3;

Ей соответ ствует симметрическая форма (2).

(2) Ребра бывают двух типов: либо произвольное ребро с бивектором [G G+ ] (помеченное жирной черной точкой), либо петля с бивек тором [Id] (пустая петля).

(3) Каждый лист помечен одним из векторов Ei, i 0.

Рассмотрим одну вершину такого графа. Опишем все возможные по луребра, присоединенные к этой вершине. В нее входит 2g полуребер, происходящих из g пустых петель;

k полуребер, происходящих из ребер графа с черными точками, и l листьев, помеченных Ea1,..., Eal. Назо вем такую вершину вершиной типа (g, k;

a1,..., al );

при этом мы будем обозначать тип вершины v через (g(v), k(v);

a1 (v),..., al(v) (v)).

Сопоставим графу функцию, действуя следующим образом. Мы свернем тензоры, соответствующие вершинам, ребрам, и листьям, и то, что получилось, умножим на два числа, связанных с комбинаторикой графа. Первый множитель равен g(v) vV ert() 2 g(v)!

(4) V () =.

|aut()| Здесь |aut()| – это число автоморфизмов размеченного графа (то есть, листья и ребра могут перейти только в листья и ребра с точ но какими же ассоциированными векторами и бивекторами), V ert() – множество внутренних вершин графа. Можно считать, что мы убра ли из все пустые петли, запомним их количество в каждой вершине;

количество автоморфизмов полученного графа равно 1/V (). Второй множитель равен (v) a a (v) (5) l(v) 1 () =... l(v).

Mg(v),k(v)+l(v) vV ert() Этот множитель равен произведению интералов по пространствам мо дулей компонент кривых соответствующего страта в случае вычисления интегралов простейших инвариантов Цвибаха, индуцированных на H0.

Входящие в него интегралы вычисляются с помощью теоремы Виттена Концевича17.

Небольшая тонкость связана со знаками. В связи с тем, что мы рас сматриваем Z2 -градуированное пространство, мы должны проводить спаривание с учетом знаков (например, брать не след, а суперслед).

Соответственно, перед спариванием тензоров, отвечающим графу ро да g, нужно подправить бивектора у него на ребрах. А именно, нуж но выбрать g ребер, таких, что если мы их разрежем, то граф пре вратится в дерево, и в этих ребрах подправить бивектор на оператор [JG G+ ]. Очевидно, что ответ не J : a (1)a a: [Id] [J], [G G+ ] зависит от выбора этих g ребер. Итак, мы определили потенциал в виде суммы по связным графам.

Вторая глава посвящена соотношению Белорусского-Пандхарипан де18. Соотношение Белорусского-Пандхарипанде – это соотношени в (ко)гомологиях M2,3 между циклами, соответствующими естественным стратам комплексной коразмерности 2 в M2,3.

Cоотношение Белорусского-Пандхарипанде определяет дифференци альное уравнение для потенциала. Здесь, однако, есть тонкость, связан ная с наличием -классов в определении стратов19.

Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение на малом фа зовом пространстве, то есть, мы положим все переменные Tn,i, n 1, i = 1,..., s равными нулю. Тогда уравнение Белорусского-Пандхарипанде можно рассматривать как дифференциальное соотношение на четыре ряда, представляющие собой части общего потенциала, определенного выше. Определим, используя описанные выше обозначения, ряды F0, 17 E. Witten, Two dimensional gravity and intersection theory on moduli space.

Surveys in Dierential Geometry, vol. 1 (1991), 243–310;

M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Comm. Math. Phys.

147 (1992), 1–23.

18 P. Belorousski, R. Pandharipande, A descendent relation in genus 2, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 29 (2000), no. 1, 171–191.

19 S. Shadrin, A denition of descendants at one point in graph calculus, Adv. Theor.

Math. Phys. 11 (2007), no. 3, 351–370.

(1) F1, F2, и F2. Ряд F0 (F1, F2 ) – это сумма по всем графам рода 0 (1, 2, соответственно), все внутренние вершины которых имеют степень 3, с пустыми листьями и черными кружками на ребрах. Вклад каждого графа мы рассматриваем с коэффицентом (весом) обратным порядку группы автоморфизмов данного графа. Таким образом, ряды F0, F1, F – это ограничения компонент потенциала, соответствующего рода, на малое фазовое пространство.

(1) Ряд F2 – это сумма по всем графам рода 2 с черными кружками на ребрах, при этом графы должны удовлетворять некоторым допол нительным условиям. Каждый граф должен иметь ровно одну внут реннюю вершину степени 4, а остальные внутренние вершины должны иметь степень 3. В единственной внутренней вершине степени 4, должен быть ровно один лист со стрелкой на конце, при этом все остальные ли стья рассматриваемого графа должны быть пустыми. Вклад каждого графа мы рассматриваем с коэффицентом (весом) обратным порядку группы автоморфизмов данного графа, оставляющих лист со стрелкой на конце неподвижным.

Мы имеем 20 стратов участвующих в определении соотношения Белорусского-Пандхарипанде. Для примера, рассмотрим второй страт.

Общая точка этого страта представляется двухкомпонентной кривой;

одна компонента это кривая рода ноль с тремя отмеченными точками и одной точкой пересечения со второй компонентой. Вторая компонента имеет род 2 и не содержит отмеченных точек;

мы берем -класс на этой кривой в точке пересечения. Рассматриваемый страт определяет диф ференциальное выражение. С учетом тонкости, связанной с наличием -класса, данное дифференциальное выражение имеет вид – (1) 2 F0 4 F F2 F kl ij.

T1,i T0,i T0,k T0,l T0,j T0,a T0,b T0,c Используемое здесь скалярное произведение ij определяется ограниче нием скалярного произведения на подпространство H0, то есть, ij = (ei, ej ), ij = [0 ]. Аналогично определяются дифференциальные соот ношения соответствующие другим стратам. Основной результат главы 2 следующая теорема:

(1) Теорема 1. Набор рядов F0, F1, F2, и F2 удовлетворяет уравнению Белорусского-Пандхарипанде.

В третьей главе мы доказываем соотношение топологической рекур сии для 1 2 в M2,2 (TRR-(2, 2)). Рассматриваемое соотношение топо логической рекурсии – это соотношение в (ко)гомологиях M2,2 меж ду циклами, соответствующими естественным стратам комплексной ко размерности 2 в M2,2. Как и в случае соотношения Белорусского Пандхарипанде, соотношение тополгической рекурсии определяет диф ференциальное уравнение на потенциал. Мы опять будем рассматривать соответствующее дифференциальное уравнение на малом фазовом про странстве, то есть, мы положим все переменные Tn,i, n 1, i = 1,..., s равными нулю. В этом случае, соотношение топологической рекурсии можно рассматривать как дифференциальное соотношение на пять ря дов, представляющих собой части общего потенциала. Нам понадобятся (1) (1,2) ряды F0, F1, F2, F2, и F2. Напомним, однако, что ряды F0, F1, F2, (1) (1,2) F2 уже были определены выше. Ряд F2 это сумма по всем графам рода 2 с черными кружками на ребрах, при этом графы должны удо влетворять некоторым дополнительным условиям. Графы могут быть только двух типов. Каждый граф первого типа должен иметь ровно од ну внутреннюю вершину степени 5, а остальные внутренние вершины должны иметь степень 3. В единственную внутреннюю вершину степени 5 должны входить ровно два листа со стрелкой на конце, а все осталь ные листья в графе должны быть пустыми. Каждый граф второго типа должен иметь ровно две внутренних вершины степени 4, а остальные внутренние вершины должны иметь степень 3. В каждую из двух внут ренних вершин степени 4 должен входить ровно один лист со стрелкой на конце, а все остальные листья в графе должны быть пустыми. Вклад каждого графа мы рассматриваем с коэффицентом (весом) обратным порядку группы автоморфизмов данного графа, не перемешивающих пустые и специальные листья между собой. Мы имеем 12 стратов участ вующих в определении рассматриваемого соотношения топологической рекурсии (TRR-(2, 2)). Для примера рассмотрим второй страт. Общая точка этого страта представляется двухкомпонентной кривой;

одна ком понента это кривая рода ноль с двумя отмеченными точками и одной точкой пересечения со второй компонентой. Вторая компонента име ет род 2 и не содержит отмеченных точек;

мы берем -класс на этой кривой в точке пересечения. Рассматриваемый страт определяет диф ференциальное выражение. С учетом тонкости, связанной с наличием -класса, данное дифференциальное выражение имеет вид – (1) 2 F0 3 F F2 F kl ij.

T1,i T0,i T0,k T0,l T0,j T0,a T0,b Аналогично определяются дифференциальные соотношения соответ ствующие другим стратам. Основной результат главы 3 следующая тео рема:

(1) (1,2) Теорема 2. Набор рядов F0, F1, F2, F2, и F2 удовлетворяет соот ношению топологической рекурсии, определенному для 1 2 в M2,2.

Лосев и Шадрин доказали20, что достаточно проверить наши теоре мы в простейшем случае, когда все параметры положены равными ну лю. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением только графов с тремя листьями для соотношения Белорусского-Пандхарипанде и гра фов с двумя листьями для соотношения TRR-(2, 2). Рассмотрим сла гаемые нулевой степени рядов, получаемых применением дифференци альных операторов, соответствующих стратам, определяющим соотно шение Белорусского-Пандхарипанде или TRR-(2, 2). В обоих случаях эти слагаемые представляют собой суммы графов (с тремя листьями в первом случае и двумя во втором), которые имеют одно или два ребра с белыми кружками, отвечающими бивектору [0 ] (одно ребро имеют графы, соответствующие стратам с -классами, графическое представ ление, соответсвующее первому страту TRR-(2, 2) не имеет ребер с бе лыми кружками). Конечная цель вычислений – избавиться в графиче ских представлениях, соответствующих всем стратам, от белых круж ков. Таким образом, мы сможем переписать эти выражения в терминах, так называемых, финальных графов (в первом случае их 60, во вто ром – 19). Затем мы подставим полученные выражения в соотношение Белорусского-Пандхарипанде или TRR-(2, 2) сответственно, и увидим, что коэффиценты при всех финальных графах окажутся равными 0. В результате обе теоремы будут доказаны (в простейшем случае;

общий случай выводится из простейшего).

Теперь объясним, как из частного случая (когда все параметры по ложены равными нулю) вывести общий случай. В терминах графов это означает, что для любого графического представления, соответствую щего страту, мы рассматриваем графы той же самой структуры, что и прежде, но с произвольным числом листьев.

Оказывается, дополнительные листья могут быть сгруппированы в специальные операторы. Тем самым, вместо того, чтобы рассматривать графы с произвольным числом листьев, мы можем рассматривать те же графы, что и в простейшем случае. При этом, необходимо заменить вектора E0 и E1, соответствующие листьям графа, бивектора [G G+ ] 20 A. Losev, S. Shadrin, From Zwiebach invariants to Getzler relation, Comm. Math.

Phys. 271 (2007), no. 3, 649–679.

и [0 ], соответствующие ребрам графа, на новые сложные вектора и бивектора.

Эти новые векторы и бивекторы зависят от параметров и могут быть явно выписаны с помощью конструкции Баранникова-Концевича для решения уравнения Морера-Картана.

Здесь существует тонкость, связанная с рассмотрением стратов с од ним -классом. На этом этапе мы переходим от -классов к их под нятиям в пространство с большим числом отмеченных точек. Но как было доказано Шадриным 21, данные поднятия выражаются через классы и граничные дивизоры с помощью тех же формул, что и в теории Громова-Виттена.

Итак, мы рассматриваем те же графы, что и в простейшем случае, но с новыми векторами на листьях и бивекторами на ребрах, при этом, доказывать нужно то же самое соотношение, что и в простейшем слу чае.

Главная особенность такого подхода состоит в том, что свойства новых векторов и бивекторов почти такие же, как и свойства E0, E1, [G G+ ], и [0 ]. То есть, мы по-прежнему можем использовать нашу технику избавления от “белых кружков”.

Благодарности.

Автор выражает благодарность своим научным руководителям, кан дидату физико-математических наук, доценту И. А. Чубарову и канди дату физико-математических наук С. В. Шадрину за постоянное вни мание к работе.

21 S. Shadrin, A denition of descendants at one point in graph calculus, Adv. Theor.

Math. Phys. 11 (2007), no. 3, 351–370.

Работы автора по теме диссертации 1. И. И. Шнейберг, Соотношение топологической рекурсии для 1 2 в M2,2, Функциональный анализ и его приложения, т. 42, вып. 1, 91– (2008).

2. S. Shadrin, I. Shneiberg, Belorousski-Pandharipande relation in dGBV algebras, Journal of Geometry and Physics 57 (2007), no. 2, 597–615.

(В этой работе соискателем доказано соотношение Белорусского-Панд харипанде.) 3. И. И. Шнейберг, Продолжение по родам в циклической алгебре Ход жа: соотношение Белорусского-Пандхарипанде, Международная конфе ренция к 100-летию со дня рожд. П. Г. Конторовича : тез. докл., Изд-во Урал. ун-та, 2005. ISBN5-7996-0322-