Проблема варинга с почти равными слагаемыми для четвертых степеней

На правах рукописи

АЗАМОВ АСЛИДДИН ЗАМОНОВИЧ ПРОБЛЕМА ВАРИНГА С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ ДЛЯ ЧЕТВЕРТЫХ СТЕПЕНЕЙ 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе – 2011 2

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научный консультант: доктор физико–математических наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Гриценко Сергей Александрович кандидат физико–математических наук, доцент Бабаева Рафоат

Ведущая организация: Таджикский государственный педагогический университет имени С.Айни

Защита состоится 1 июля 2011 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссерта ционного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математи ки АН РТ.

Автореферат разослан 30 мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация является исследовани ем в аналитической теории чисел, относящаяся к области аддитивной тео рии чисел. Основной задачей аддитивной теории чисел является вопрос о представлении некоторой последовательности натуральных чисел сум мой ограниченного количества слагаемых заданного вида. Исторически первыми примерами подобных задач стали:

• тернарная проблема Гольдбаха (1742 г.) о представлении нечетных чисел суммой трех простых слагаемых;

• проблема Эйлера (1742 г.)(или бинарная проблема Гольдбаха) о пред ставлении четных чисел в виде суммы двух простых;

• теорема Лагранжа о представлении натуральных чисел суммой не более четырех квадратов натуральных чисел;

• обобщение теоремы Лагранжа, предложенное Варингом1 в 1770 г., которое утверждает, что последовательность, образованная фикси рованной степенью n чисел натурального ряда, образует в нем базис конечного порядка G(n), т.е., что каждое достаточно большое нату ральное число N может быть представлено в виде xn + xn +... + xn = N, (1) 1 2 r где x1, x2,..., xr — натуральные числа и количество слагаемых r не превосходит фиксированной величины G(n), называемой порядком базиса последовательности {xn }, или функцией Харди;

• поставленная в начале 19-го века проблема о том, что фиксированная степень n простых чисел p при любом натуральном n образует базис конечного порядка V (n) в натуральном ряде. Вновь постановка этой проблемы появилась в работе П. Эрдша2. Другими словами, пред е полагалось, что каждое достаточно большое натуральное N может быть представлено в виде N = pn + pn + · · · + pn, (2) 1 2 k где p1, p2,..., pk — простые числа и k V (n). Данная задача назы вается проблемой Гольдбаха – Варинга, поскольку обобщает, с одной стороны, проблему Гольдбаха о представлении числа суммой простых чисел, а, с другой стороны — проблему Варинга о представлении чис ла суммой степеней натуральных чисел.

Waring E. Meditationes algebraicae. Cambridge. 1770.

Erdosh P. On the easier Waring problem for powers of primes. I. // Proc. of the Cambridge Phil.

Soc., January 1937, V. XXXIII, Part I, p. 6–12.

• теорема Эстермана 3 о представлении натурального числа N N0 в виде p1 + p2 + m2 = N, p1 и p2 –простые числа, m–целое число.

И.М. Виноградов4 в 1937 году создал метод оценок тригонометриче ских сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Ви ноградова и метод сглаживания двойных сумм. Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы с простыми числами. Полученная оценка в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде (3) N = p1 + p2 + p3, следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представ лении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

Бинарная проблема Гольдбаха до сих пор не решена. Лучший совре менный результат, наиболее близко подходящий к доказательству этой проблемы, принадлежит Чену5. В этой знаменитой работе Чен доказал, что каждое четное число N представимо в виде p + P2 = N, где P2 – простое число или произведение двух простых чисел.

В XIX веке проблема Варинга была доказана для отдельных значений n, но реального прогресса на пути к решению проблемы удалось достичь только в XX-ом веке. В 1909 г. эту проблему решил Д.Гильберт6, тем самым он установил существование функции G(n).

Харди и Литтлвуд7 в 1920 г. дали новое доказательство проблемы Ва ринга. Именно они ввели функцию G(n) и доказали, что n G(N ) n2n1 h;

lim h = n Самым же важным было то, что Харди и Литтлвуд при r (n 2)2n1 + Estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), рр. 501-516.

Виноградов И.М.Избранные труды. – М.: Изд-во АН СССР, 1952.

Сhen J.R. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes // Kexue Tongbao, 1966, v.17, p.385-386.

Гильберт Д. Избранные труды. Т.1. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия.

Основания математики. –М.: Изд-во "Факториал 1998. – 575с.

Hardy G.H., Littlwood J.E. Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl. 1920. p.33-54. IV:

Math. Z. 1922. Bd. 12. pp.161-168.

xn + xn +... + xn = N для числа J(N ) представлений числа N в виде 1 2 r нашли асимптотическую формулу вида ((1 + 1/n))r r N n S + O(N n 1c(n,r) ) r (4) J(N ) = (r/n) где S– некоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превос ходит некоторое число c1 (n, r) и c1 (n, r) 0.

В 1924 г. И.М.Виноградов4, 8 применил к проблеме Варинга свой ме тод тригонометрических сумм и доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда имеет место при r 2[n2 (2 ln n + ln ln n + 3)].

В 1934 г. он доказывает9 также, что G(n) n(6 ln n + 10), затем несколько раз уточняет эту оценку и, наконец, в 1959 г. доказыва ет10, что G(n) n(2 ln n + 4 ln ln n + 2 ln ln ln n + 13).

А.А. Карацуба11 применил к оценке G(n) свой p – адический метод и получил более точный результат G(n) n(2 ln n + 2 ln ln n + 12).

Вули12 доказал, что G(n) n ln n + n ln ln n + O(1).

Величина G(n) известна только для n = 2 и n = 4, именно G(2) = 4, G(4) = 16, что соответственно доказали Лагранж и Давенпорт. Ю.В.

Линник13 доказал, что G(3) 7. Вон14 доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (4) имеет место при r = 8 и n = 3.

В 1938 г. Хуа Ло Ген15, пользуясь оценкой И.М. Виноградова для триго нометрических сумм с простыми числами, доказал асимптотическую фор мулу для числа представлений достаточно большого натурального числа Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга// Матем.сб., 1924, Т.31, №3-4, с.490-507.

Виноградов И.М. Новое решение проблемы Варинга//ДАН СССР, 1934, №2, c.337-341.

Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, Т.23, №5, с.637-642.

Карацуба А.А. О функции G(n) в проблеме Варинга// Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5, c.935-947.

Wooley T.D. Large improvements in Waring’s problem // Ann of Math., 1992, (2)135, №1, pp.131– 164.

Линник Ю В. О разложении больших чисел на семь кубов// ДАН СССР, 1942, №35, c.179-180.

Vaughan R.C.On Waring’s problem for cubes // J. Reine Angew. Math.,1986, 365, pp.122-170.

Hua L.K. Some results in the additive prime number theory // Quart J Math (Oxford), 1938, 9: 68– N в виде суммы пяти квадратов простых чисел и показал, что особый ряд этой формулы больше абсолютной положительной постоянной при N 5(mod24). Тем самым Хуа Ло Ген доказал, что всякое достаточно большое натуральное число N 5(mod24) является суммой пяти про стых квадратов.

И.М. Виноградов4 с помощью своего метода тригонометрических сумм нашел асимптотическую формулу в проблеме Гольдбаха – Варинга. В асимптотической формуле И.М. Виноградова вопрос о положительности особого ряда = (k;

N ), то есть вопрос о существовании функции V (n) и ее верхней оценки в зависимости только от значения параметра n до 2009г. оставался открытым и, следовательно, проблема Гольдбаха – Ва ринга в полном объеме до самого последнего времени оставалась нере шенной.

В.Н. Чубариков16, используя свою теорию кратных тригонометри ческих сумм с простыми числами, являющейся дальнейшим разви тием метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова, полностью решил проблему Гольдбаха – Варинга.

После создания метода тригонометрических сумм и метода оценок три гонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова основным аппаратом в аддитивной теории чисел стала оценка тригонометрических сумм. И.М. Виноградов также первым начал изучать тригонометрические суммы, переменное суммирование которых, принимает значение из ко ротких интервалов, которые возникают при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми. Он4, впервые для линейной тригонометри ческой суммы с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, то есть сумм вида:

a (n)e(n), = +, ||, 1 q, S(;

x, y) = q q xynx используя свой метод оценок сумм с простыми числами, доказал нетри виальную оценку при exp(c(ln ln x)2 ) q x1/3, y x2/3+.

, В. Статулявычус18, Jia Chao-hua19, Пан Чен Затем Haselgrove C.B.

Чубариков В.Н. К проблеме Варинга-Гольдбаха В. Н. Чубариков // Доклады Академии наук.

– 2009. – Т.427, №1, с. 24- Haselgrove C.B. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc., (1951),273-277.

Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, Ученые труды университета. сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5–23.

Jia Chaohua, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115.

дон и Пан Чен-бьяо20, Zhan Tao21 получили нетривиальную оценку суммы S(, x, y), y x, q — произвольное, и доказали асимптотическую фор мулу для тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть для числа решений диофантова уравнения (3) с условиями N pi H, H = N + соответственно при = 63/64 +, 279/308 +, 2/3 +, 5/8 +.

Jianya Liu и Tao Zhan22 доказали теорему Хуа Ло Гена об представимо сти достаточно большого натурального число N, N 5(mod24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел в случае, когда эти слагаемые по чти равны. Они показали что достаточно большое натуральное число N, N 5(mod24) можно представить в виде N N = p2 +... + p2, pj H, H N 23 + 1 З.Х.Рахмонов23 и Дж.А. Шокамолова24 исследовали уравнение Эстер мана p1 + p2 + m2 = N, (5) где p1, p2 — простые числа, m — натуральное число с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и вывели асимптоти ческую формулу для числа решений (5) с условиями N N pi H;

i = 1, 2, m2 H;

H N 3/4 ln2 N.

3 З.Х.Рахмонов и С.П. Шозиеева25 нашли асимптотическую формулу для более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то есть когда в уравнении Эстермана квадрат натурального m заменяется на его Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147.

Zhan Tao, On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser., 7 (1991), No 3, 135-170.

J Y Liu, T Zhan. Hua’s Theorem on Prime Squares in Short Intervals. Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.16, No.4, pp. 669Џ690.

Рахмонов З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572.

Шокамолова Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстермана с почти равными слагае мыми // Доклады АН РТ, 2010, т.53,.№5, с. 325-332.

Рахмонов З.Х.,Шозиеева С.П. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, стр. 7-17.

куб. Они доказали асимптотическую формулу для количества представ лений натурального числа N, N N0 в виде суммы простых чисел p1, p2 и куба натурального m с условиями N N pi H;

i = 1, 2, m3 H;

H N 5/6 ln3 N.

3 В работе26 исследована проблема Варинга для девяти кубов с почти равными слагаемыми, а именно доказана асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы девяти кубов натуральных чисел xi, i = 1, 9 с условиями ( )1/ N xi H, H N 3/10+.

Цель работы. Целью работы является изучение поведения тригоно метрических сумм Вейля четвертого порядка, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов и их приложение в асимптотической формуле проблемы Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми.

Методика исследований. В работе используются методы аналити ческой теории чисел, в том числе • метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;

• метод сглаживания двойных тригонометрических сумм И.М.Виноградова;

• круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• Изучено поведение тригонометрические сумм Г. Вейля четвертого по рядка, переменное суммирование которых принимает значения из ко ротких интервалов;

• Для сумм Вейля четвертого порядка, переменное суммирование кото рых принимает значения из коротких интервалов, доказана теорема Хуа Ло-гена, то есть найден правильный порядок интеграла от шест надцатой степени модуля суммы этой суммы;

Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными сла гаемыми// ДАН РТ, 2008, Т.51,№2, с.83–86.

• Получена асимптотическая формула в проблеме Варинга для семна дцати четвертых степеней с почти равными слагаемыми.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получе ния могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на об щеинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством члена–корреспондента АН РТ З.Х.Рахмонова в Ин ституте математики АН РТ, на международных научных конференци ях “Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики”( 2007 г.), “Современные проблемы математи ческого анализа и их приложений” (2010 г.) в Институте математики АН РТ;

на научно–исследовательском семинаре кафедры алгебры и теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в Таджикском нацио нальном университете (2006-2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объм работы. Диссертация состоит из оглавления, е списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы включаю щего 87 наименований. Объм диссертации составляет 62 страницы ком е пютерной врстки в редакторе математических формул LTEX.

е A Содержание диссертации.

Диссертационная работа состоит из двух глав и посвящена оценке сумм Вейля четвертого порядка, переменное суммирование которых принима ет значения из коротких интервалов, среднему значению шестнадцатой степени модуля таких сумм и выводу асимптотической формулы в про блеме Варинга для семнадцати четвертых степеней при условии, что все слагаемые почти равны.

Первый параграф первой главы носит вспомогательный характер, где приведены известные леммы, которые в последующих параграфах приме няются. Второй параграф второй главы посвящен коротким тригономет рическим суммам Вейля четвертой степени.

Г.Вейль27 впервые получил нетривиальную оценку тригонометриче ских сумм вида e (f (n)), f (t) = m tm + m1 tm1 +... + 1 t, T (m, m1,..., 1 ) = nx Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins// Math. Ann, 1916, 77, s.313–352.

которые в его честь И.М.Виноградов назвал суммами Вейля. Основная идея метода Вейля состоит в сведении суммы T (m, m1,..., 1 ) степени k к оценке суммы m 1 – степени и в конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы.

e(n) min (x, ).

nx Из оценки Г.Вейля следует закон распределения дробных частей мно гочлена f (t) в отрезке [a, b] [0, 1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

И.М. Виноградов4 в 1934 г. создал новый метод оценок тригономет рических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Вейля. Этим новым методом И. М. Виноградов получает принципиально более силь ные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в проблеме Варинга, в проблеме приближения вещественного числа дробной долей целого многочлена и др. В то же самое время этот метод с успехом был применен в теории дзета-функции Римана (Н. Г. Чудаковым28 ), в проблеме Гильберта – Камке (К. К. Марджанишвили29 )и в разнообраз ных смешанных аддитивных проблемах.

Суммы Вейля при маленьких степенях m 12 в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками и наилучший резуль тат принадлежит английскому математику Р.Вону30. Короткой тригоно метрической суммой Вейля называется сумма вида e(nm ), y = x, 1.

xynx Такие суммы при m = 2 и m = 3 в множестве первого класса рассматри вались в работах23, 24, 25, 26.

В этом параграфе мы будем изучать короткие тригонометрические сум мы Вейля четвертого порядка в множестве первого класса и всюду будем считать, что x x0 0, y 0, 01x. Воспользуемся следующими обозна чениями:

a = +, (a, q) = 1, q, ||, q q ( an4 ) q T (;

x, y) = e(n ), S(a, q) = e.

q xynx n= Чудаков Н.Г. О функциях (s) и (x) // Докл. АН СССР, 1938, т.21, с. 425-426.

Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении n чисел суммами полных первых, вторых,..., n – х степеней // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, т.1, с. 609 - 631.

Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums. Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.

Теорема 1.1. Пусть 24x2 y, тогда при {4x3 } 0 или 2q, {4x3 } 1 2q, 0 имеет место соотношение S(a, q) T (;

x, y) + O(q 1/2+ ), T (, x, y) = q а при выполнении условия {4x3 } 0 или {4x3 } 1 2q, 2q, 0, имеет место соотношение ( ) S(a, q) 3/4 1/4 1/ T (, x, y) = T (;

x, y) + O q ln q + q x.

q Следствие 1.1.1 Пусть 24x2 y и || 8qx3, тогда имеет место соотношение y T (, x, y) = S(a, q)(;

x, y) + O(q 1/2+ ), q ( 0, ) y e (x + yt) dt.

(;

x, y) = 0, Следствие 1.1.2 Пусть 24x2 y и 8qx3 || 1, тогда имеет q место оценка T (, x, y) q 3/4 ln q + q 1/4 x1/2.

Теорема 1.1. является обобщением теоремы Р.Вона30 для коротких сумм при m = 4.

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригономет рических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических сумм по величине модуля произ водных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегра лов.

В третьем параграфе первой главы для среднего значения шестнадца той степени модуля тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени, переменное суммирование которых принимает значения из коротких ин тервалов, получена правильная по порядку оценка.

Теорема 1.2 Пусть x и y — натуральные числа, x y 0, 01x, тогда имеет место оценка |T (;

x, y)|16 d y 12+.

Эта теорема является обобщением следующей оценки Хуа Ло-гена 1 2j x d x2 j+, j 1 j k, e(mk ) m= для тригонометрических сумм Вейля четвертого порядка, переменное сум мирование которых принимает значения из коротких интервалов. Заме тим, что для кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, по добная оценка получена в работе31.

Основу доказательства этой теоремы составляет вышеупомянутый ме тод Вейля и соображение о том, что интеграл от четной степени модуля суммы Вейля выражается через количество решений диофантового урав нения.

Во второй главе, прилагая теорему 1.1 о поведении тригонометрических сумм Вейля четвертой степени, переменное суммирование которых прини мает значения из коротких интервалов и теорему 1.2 о среднем значении шестнадцатой степени модуля таких сумм, доказана теорема об асимпто тической формуле в проблеме Варинга для семнадцати четвертых степе ней при условии, что слагаемые почти равны.

Воспользуемся следующими обозначениями: N —достаточно большое натуральное число, – произвольное положительное число, не превос ходящее 0.0001, ( )1/ 455518671766086477 N · 17 45568, 35.

N1 =, B= 17 Теорема 2.1.1 Для числа J(N, H) представлений N суммою 17 чет вертых степеней чисел xi, i = 1, 2,..., 17 с условиями |xi N1 | H, при H N 13/54+ справедлива асимптотическая формула:

( ) BS(N )H 16 H J(N, H) = +O, N 3/4 ln16 N N 3/ где S(N )– особый ряд, сумма которого превосходит некоторое положи тельное постоянное.

Последнее утверждение теоремы о том, что сумма особого ряда S(N ) больше некоторого положительного постоянного, непосредственно следует из теоремы 4.6 монографии32.

Мирзоабдугафуров К.И. О среднем значении коротких сумм Вейля.// ДАН РТ, 2008, Т.51,№4, с. 245–247.

Р.Вон Метод Харди-Литтлвуда,–Перев.с.анг. М.Мир, 1985, –184с.

Следствие 2.1.1 Существует такое N0, что каждое натураль ное число N N0 представимо в виде суммы 17 четвертых степеней почти равных чисел xi :

( )1/ N xi N 13/54+, i = 1, 2,..., 17.

Доказательство теоремы 2.1 проводится круговым методом Харди, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова его основу, как уже отмечали, составляют следствия 1.1.1 и 1.1.2 теоремы 1.1, 1.2. Основные этапы доказательства теоремы 2.1:

Будем считать, что H = N 54 +, N1 = 4 N/17, Q = 0, 5HL1, = 48(N1 + H)2 H, = 1. При целом x имеем { 1, если x = 0, e(x)d = 0, если x = 0.

Поэтому e((x4 + x4 +... + x4 N ))d = J(N, H) =... 1 2 |x1 N1 |H |x17 N1 |H e(n4 ) e(N )d.

= |nN1 |H Воспользуясь соотношением e(n4 ), e(n4 ) = T (;

N1 + H, 2H) = N1 HnN1 +H |nN1 |H где || равен 1, если N1 H – целое число, и 0 в противном случае, легко можно показать, что ( ) H J(N, H) = T (;

N1 + H, 2H)e(N )d + O, N 3/4 L Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел ра циональными числами, каждое из промежутка [, 1] представимо в виде a = +, (a, q) = 1, 1 q, ||. (6) q q Легко видеть, что в этом представлении 0 a q 1, причем a = лишь при q = 1. Через M обозначим те, для которых q Q в пред ставлении (6). Через m обозначим оставшиеся. Множество M состоит из непересекающихся отрезков. Разобьем множество M на множества M и M2 :

{ } a M1 = : M,, = ;

8q(N1 + H) q { } a M2 = : M,.

q q Обозначим через J(M1 ), J(M2 ) и J(m) соответственно интегралы по множествам M1, M2 и m. Будем иметь ( ) H (7) J(N, H) = J(M1 ) + J(M2 ) + J(m) + O.

N 3/4 L В последней формуле первый член, т.е. J(M1 ) доставляет главный член асимптотической формулы для J(N, H), а J(M2 ) и J(m) входят в его остаточный член. Для получения асимптотической формулы для J(M1 ) используем следствие 1.1.1 теорему 1.1 (асимптотическая формула с глав ным членом для короткой тригонометрической суммы T (, x, y) в слу чае “близких” к рациональному числу с малыми знаменателями a/q ) и теорему 1.2. об оценке среднего значения шестнадцатой степени модуля тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени, переменное сумми рование которых, принимает значения из коротких интервалов.

Оценка интегралаJ(M2 ) проводится тернарным методом с примене нием следствия 1.1.2 теоремы 1.1 (оценка T (;

x, y) в множестве M2 ) и теоремы 1.2.

Оценка интеграла m также проводится тернарным методом с исполь зованием оценки Г.Вейля для короткой кубической тригонометрической суммы и теоремы 1.2.

В заключение автор выражает благодарность З.Х.Рахмонову за науч ное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации 1. Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И., Рахмонов З.Х. Оцен ка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени // ДАН РТ, 2010, т.53, №10, с.737-744.

2. Азамов А.З. Среднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени // ДАН РТ, 2011, т.54, №1, с.13-17.

3. Азамов А.З., Рахмонов З.Х. Асимптотическая формула в про блеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2011, т.54, №3,c 34–42.

4. Азамов А.З. Среднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени. Материалы международной научной кон ференции “Современные проблемы математического анализа и их приложений”, посвященной 60-летию академика К. Х. Бойматова, Ду шанбе, 23-24 июня 2010 г., стр 9–10.