Проблема эстермана с почти равными слагаемыми

На правах рукописи

ШОКАМОЛОВА ДЖИЛВА АБДУЛНАЗАРОВНА ПРОБЛЕМА ЭСТЕРМАНА С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе – 2010 2

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научный консультант: доктор физико–математических наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Гриценко Сергей Александрович кандидат физико–математических наук, доцент Чариев Умидилла

Ведущая организация: Таджикский национальной университет

Защита состоится 19 января 2011 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании дис сертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математи ки АН РТ.

Автореферат разослан 19 декабря 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация является исследовани ем в области аналитической теории чисел. Основным предметом исследо ваний, составляющих содержание диссертации, является изучение пове дения коротких тригонометрических сумм, в том числе сумм с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из ко ротких интервалов и вывод асимптотической формулы для числа решений одного диофантового уравнений с простыми числами.

М. Виноградов1, 2 в 1937 году создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виногра дова и метод сглаживания двойных сумм. Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы a || 1 q.

S(, x) = e(p), = +,, q q px Полученная оценка для S(, x) в соединение с теоремами о распределе нии простых чисел в арифметических прогрессиях, позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в ви де N = p1 + p2 + p3, следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

Ю.В. Линник3 с помощью идей Г. Харди и Д. Литтлвуда, применяв шихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностых теоремах для нулей L – рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригоно метрической суммы S(, x). Тем самым Ю.В. Линником было дано новое доказательство теоремы И.М. Виноградова о трех простых числах (про блема Гольдбаха).

Н.Г. Чудаков4 также предложил подобный метод исследования триго нометрических сумм S(, x) с помощью оценки средних значений функ ций Чебышева, получение которой в свою очередь основывается на рас пределении нулей L–рядов Дирихле в критической полосе.

И.М.Виноградов1 впервые оценил линейную тригонометрическую сум му с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает Виноградов И.М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976.

Линник Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Мат. сборник, 1946, т.

19, вып. 1, стр. 3-8.

Чудаков Н.Г. On Goldbach-Vinogradof s theorem // Ann of Math.,1947, 48, p.515-545.

значение из коротких интервалов, то есть сумм вида:

a (n)e(n), = +, ||, 1 q.

S(;

x, y) = q q xynx Применяя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетри виальную оценку при exp(c(ln ln x)2 ) x1/3, y x2/3+.

q И.М. Виноградов подчеркнул, что для малых q, (q exp(ln x), – пра вильная дробь, немногим превосходящая 0, 5) весьма точные оценки сум мы S(;

x, y) являются непосредственным следствием известных теорем, относящихся к распределению простых чисел в арифметических прогрес сиях, но только при условии, если y есть величина порядка близкого к x и – рациональное число вида a/q, где (a, q) = 1. Для величин y, порядок которых меньше порядка x и произвольных, вопрос оставался открытым.

В 1951 г. C.B. Haselgrove5 получил нетривиальную оценку суммы S(;

x, y) при произвольном и y x63/64+.

Затем В. Статулявычус6 и Jia Chaohua7, 8 получили нетривиальную оценку суммы S(, x, y), y x, q произвольное, соответственно при = 63/64 +, 279/308 +, 2/3 +.

Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо9 доказали, что если c 0 произвольная постоянная, то существует ci = ci (c), i = 1, 2 такие, что для x2/3 (ln x)c1 y x, (ln x)c2 q x1/6, || q/x1/6, справедлива оценка y(ln x)c.

S(, x, y) Наилучший результат принадлежит Zhan Tao10. Он получил нетриви альную оценку суммы S(;

x, y) при произвольном и y x5/8+.

Haselgrove C.B. Some theorems in the analitic theory of number // J.Lon. Math.Soc., 26(1951), 273-277.

Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, Ученые труды университета. сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5–23.

Jia Chaohua, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115.

Jia Chaohua, Three primes theorem in a short interval (V) // Acta Math. Sin., New Series, 2(1991), 135-170.

Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147.

Zhan Tao, On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser., 1991, v.7, No 3, 135-170.

Г. Вейль11 построил метод, с помощью которого, впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм вида f (t) = m tm + m1 tm1 +... + l t, T (m, m1,..., 1 ) = e (f (n)), nx которые в его честь И.М.Виноградов1 назвал суммами Вейля. Основная идея метода Вейля состоит в сведении суммы T (k, k1,..., 1 ) степени k к оценке суммы степени k 1 и в конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы. Из оценки Г.Вейля сле дует закон распределения дробных частей многочлена f (t) в отрезке [a, b] [0, 1), следствием которого является их равномерное распреде ление по модулю 1.

И.М. Виноградов1 занимаясь проблемой Варинга в 1934 г. создает но вый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Вейля. Этим новым методом И. М. Виноградов получа ет принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в самой проблеме Варинга, в проблеме при ближения вещественного числа дробной долей целого многочлена и др.

Этот метод с успехом был применен в теории дзета-функции Римана Н. Г. Чудаковым12, в проблеме Гильберта – Камке К. К. Марджани швили13 и в разнообразных смешанных аддитивных проблемах.

Метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова опирается на оцен ку величин типа |T (n,..., 1, N )|2k. Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней |T (n,..., 1, N )|2k более простой оценкой интеграла 1 |T (n,..., 1, N )|2k d1... dn, J(N ;

n, k) =...

0 то есть оценкой этой суммы “в среднем” по всем 1,... n и поэтому теорема об оценке J(N ;

n, k) носит название теоремы И.М.Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улуч шал и уточнял эту теорему. Он получил асимптотически точную оценку величины J(N ;

n, k) вида n(n+1) N 2k J(N ;

n, k) Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313–352.

Чудаков Н.Г. О функциях (s) и (x) // Докл. АН СССР, 1938, т. 21, с. 425-426.

Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении n чисел суммами полных первых, вторых,..., n – х степеней // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, т. 1, с. 609 - 631.

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М. Ви ноградова занимался также Хуа Ло-ген14. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником15 было найдено доказательство теоремы о среднем зна чении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа p. Другое p-адическое доказательство, т.е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа p, теоремы о среднем значении бы ло получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидеся тых годах двадцатого века нового p–адического метода16. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетри виальные оценки величины J(N ;

n, k) при малых значениях к (см. рабо ты17, 18, 19, 20, 21, 22 ).

И.М.Виноградов23 поставил проблему оценки сверху кратных тригоно метрических сумм. Данная задача была решена Г.И.Архиповым24 в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукрат ных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков25, 26 дали обобщение результатов Г.И.Архипова на крат ный случай. В 1976 г. В.Н.Чубариков27, 28 получил оценки кратных три гонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригоно Хуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм. М.: Мир, 1964, –190с.

Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, c. 201-203.

Карацуба А.А. Средние значения модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, Сер.матем., 1973, Т.36, №6, с.1203-1227.

Стечкин С.Б. О средних значениях модуля тригонометрический суммы // Труды МИАН им.

В.А.Стеклова АН СССР, 1975, Т.134, с.283-309.

Архипов Г.И. О среднем значении сумм Г. Вейля // Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.785-788.

Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, Т.

222, №5, с.1017-1019.

Архипов Г.И., Карацуба А.А. Новая оценка интеграла И.М. Виноградова // Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, Т.42, №4, с.751-762.

Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н., Теория кратных тригонометрических сумм. М.:

Наука, 1987, 368 с.

Тырина О. В. Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова // Изв. АН СССР, 1987, 51,№2, с.363-378.

Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел // Труды МИАН, 1937, Т.10, с.5-122.

Архипов Г.И. Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.

Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, Т.

222, №5, с.1017-1019.

Архипов Г. И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.

Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61- Чубариков В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле //ДАН СССР, 1976, Т.227, с.1308-1310.

метрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков29, 30 продолжили исследования и получи ли первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных сум мирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г.

результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии21 “Теория кратных тригоно метрических сумм”. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте31, 32.

Суммы Вейля при маленьких степенях m 12 в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками и наилучший резуль тат принадлежит английскому математику Р.Вону33. Суммы вида e(nm ), y = x, xynx называются короткими тригонометрическими суммами Вейля. Короткие тригонометрические суммы Вейля при m = 2 и m = 3 в множестве пер вого класса рассматривались в работах34, 35, 36 при исследовании асимп тотических формул с почти равными слагаемыми в тернарной проблеме Эстермана и в проблеме Варинга для девяти кубов.

Estermann37 доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения p1 + p2 + m2 = N, (1) где p1, p2 простые числа, m натуральное число. В работе34 эта зада ча исследована с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и выведена асимптотическая формула для числа решений Архипов Г. И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1980, Т. 252, №6, с. 1289-1291.

Архипов Г. И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их прило жения // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.

Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // ДАН СССР, 1984, Т.278, №2, с.302-304.

Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5. с. 1031-1067.

Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums // Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.

Рахмонов З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572.

Рахмонов З.Х.,Шозиева С.П. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // е ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, стр. 7-17.

Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля // ДАН РТ, 2008, Т.51,№1, с.5–15.

Estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), рр. 501-516.

(1) с условиями N N m2 H;

H N 3/4 L3, L = ln N.

pi H;

i = 1, 2, 3 Цель работы. Целью работы является изучение поведения линейных тригонометрических сумм с простыми числами и квадратичных тригоно метрических сумм Вейля, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, а также нахождение асимптотической формулы в проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми Методика исследований. В работе используются методы аналити ческой теории чисел, в том числе • методы L – рядов Дирихле, методы Ю.В. Линника и Н.Г.Чудакова, основанные на плотности нулей L – рядов Дирихле в критической полосе;

• метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;

• круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• изучено поведение линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов в множестве первого класса и установлена их связь с плотностными теоремами для нулей L – рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы;

• исследовано поведение коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля в множестве первого класса;

• получена асимптотическая формула в тернарной проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми для более “равных” слагаемых;

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получе ния могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на об щеинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством член–корреспондента АН РТ З.Х.Рахмонова в Инсти тута математики АН РТ, на международных научных конференциях “Ак туальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравне ний и информатики”( 2007 г.), “Современные проблемы математического анализа и их приложений” (2010 г.), в Институте математики АН РТ;

на научно–исследовательском семинаре кафедры алгебры и теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в Таджикском национальном университете (2006-2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объм работы. Диссертация состоит из оглавления, е списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы, включаю щего 73 наименования. Объм диссертации составляет 63 страницы ком е пьютерной врстки в редакторе математических формул LTEX.

е A Содержание диссертации.

Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава состоит из двух па раграфов, первые параграфы которых носят вспомогательный характер.

Определение. Пусть c 2, 1 и B 1 абсолютные постоянные, T T0 0, H T, тогда оценка вида (qT )c(1) (ln qT )B [N (, T + H, ) N (, T, ) (2) называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках кри тической полосы для нулей L–рядов Дирихле по модулю q.

Во втором параграфе первой главы доказывается теорема 1.1 о поведе нии линейных тригонометрических сумм с простыми числами, перемен ное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов в множестве первого класса и их связь с плотностными теоремами для нулей L – рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.

Теорема 1.1 Пусть x x0 2, h x 2c exp((ln x)0,76 ), y c hx c exp(ln x)0,76, y 2 /xh, b (m + 1)(2B + 8) произвольное фик сированное положительное число, exp( ln4 ln x) если q (ln x)b, F (q, x) = (ln x)B+3 если q (ln x)b.

Тогда справедливо равенство:

µ(q) sin y y y e x S(;

x, y) = +O F (q, x).

q 1/ (q) Zhan Tao38 доказал, что соотношение (2) имеет место при c 8/3, 1/3 и B 216. Поэтому из теоремы 1.1 получим следующий без условный результат:

Следствие 1.1.1 Пусть x x0, h x 16 exp((ln x)0,76 ), y hx 8 exp(ln x)0,76, y 2 /xh, b (m + 1)(B + 6) – произвольное фик сированное положительное число. Тогда справедливо равенство:

µ(q) sin y y y e x S(;

x, y) = +O F (q, x).

q 1/ (q) Следствие 1.1.1 является уточнением соответствующего результата ки тайского математика Zhan Tao.

Доказательство теоремы 1.1 основывается на дальнейшем развитии ме тодов работ Ю.В.Линника3 и Н.Г.Чудакова4, в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попада ние простых чисел в короткие интервалы. Основные этапы доказательство теоремы 1.1 таковы.

Вводим вспомогательные параметры xql2 (1 + y) x H= + y, T0 =, y yF (q, x) 1/ между которыми имеет место неравенство H T0.Пользуясь свой ством ортогональности характеров и формулой, которая устанавливает связь между значениями примитивных характеров и значениями сумм Гаусса, получим (n)(n)e(n) + O(l2 ). (3) S(;

x, y) = (a) () (q) xynx modq Пользуясь преобразованием Абеля в интегральной форме, формулой о представлении (u, ) в виде суммы по нулям L(s, ) с последующим применением формулы интегрирования по частям, последовательно най дем:

(n)(n)e(n) = xynx x = (u, )2ie(u)du + e(x)(x, ) e((x y))(x y, )) = xy x u sin y y e x e(u)du + O((1 + ||y)|R1 (x;

T0, )|).

= E 2 ||T0xy Zhan Tao, On the mean square of Dirichlet L – functions // Acta Math Sin., 1992, v.8, №2, pp.204–224.

Подставляя найденную формулу в (3) находим :

µ(q) sin y y e x E1 W1 W + R2 (;

x, y), S(;

x, y) = (4) (q) x u1 e(u)du, W= (a) () (q) =1 ||T0xy x 1 (a) (1 ) y u1 1 e(u)du x1 1 l, W1 = (q) q xy y (1 + ||y) max |R1 (x;

T0, ) ()| R2 (;

x, y) F (q, x), q modq где E1 = 1, если по модулю q существует действительный характер такой, что L(s, 1 ) имеет действительный нуль 1, 1 1 c/ ln q и E1 = 0 в противном случае.

Переходя в сумме W к оценкам, и пользуясь оценкой суммы Гаусса получим x q u1 e u + W |I()|, I() = ln u du. (5) (q) =1 ||T0 xy Оценивая интеграл I(b) по величине первой производной с учетом триви альной оценки, находим:

y x min |I()|,.

x min | + 2u| При 0 все нули = +i с условием || T0 разобьем на множества D1, D2 и D3 следующим образом:

x : T0 + 2u + 2u 2x + 2u D1 =, y x x : 2x + 2u + 2u 2u 2(x y) + D2 =, y y x : 2u 2(x y) + + 2u T0 + 2u.

D3 = y Соответственно этому разбиению через S1, S2 и S3 обозначим суммы модулей интеграла I() по нулям принадлежащим множествам D1, D2 и D3. Для монотонной возрастающей функции + 2u в отрезке x y u x справедливы следующие соотношения x min | + 2u| = 2x D1,, если y xyux x x + 2u, если D2, y y x min | + 2u| = + 2(x y), если D3.

y xyux Отсюда с учетом полученной оценки для интеграла I(), находим x x S1, S2 yx, S3.

2x + 2(x y) D1 D2 D Все нули в множестве x 2x T0 2x, D1 = :

y разобьем на классы A0, A1,..., Ar, r ln T0 следующим образом: в класс An отнесем те нули, для которых выполняется условие nH 2x (n + 1)H, если 1 n r и x/y 2x H, если n = 0. Поэтому r x yl x.

S1 max 2x x |T |T n=0 An T T +H Такую же оценку получим и для суммы S3. Полагая T = 2x x/y, имеем:

2x 2x D2 = : T T + 2y +, 2y + = 2H, y y т.е. промежуток суммирования в S2 имеет длину порядка H, следователь но и для нее получим такую же оценку, что и для суммы S1. Подставляя эти оценки в (5), найдем:

yl q x.

W max W2, W2 = (6) q |T |T0 x(q) =1 T T +H Для оценки W2 воспользуемся плотностной теоремой в коротких прямо угольниках критической полосы для нулей L – рядов Дирихле по модулю q и теоремой о границе этих нулей. Имеем 1(q,T0 ) q [N (u, T + H, ) N (u, T, )]du + x 2 qH ln qT0, xu W2 l (q) = 0, c (q, T0 ) =, (ln T0 ln ln T0 )3/4 } max{ln q, Применяя к оценке последней суммы по = 1 соотношение (2) и нера венство qH xh/y, имеем c(q,T0 ) 0,5c c1 c1 B+ ql hx hx c hx c W2 + +.

(q) y y y c exp(ln0,76 x), c 2, c(q, T0 ) 0, 5, Отсюда имея в виду, что y hx c далее с учетом (4), получим ylB+ exp(c(q, T0 ) ln0,76 x), W q µ(q) sin y y e x S(;

x, y) = + R(, x), (q) y x1 1 l + exp(c(q, T0 ) ln0,76 x)lB+3 + F (q, x).

R(, x) q Теперь оценивая два первых слагаемых в R(, x) в зависимости от поряд ка величины q, получим утверждение теоремы.

Основным результатом второй главы является теорема о поведении ко ротких квадратичных сумм Вейля вида e(n2 ), T (;

x, y) = xynx Теорема 2.1 Пусть 4y, q, = a + ;

(a, q) = 1, || q.

q 1 Тогда при {2x} 2q, 0 или {2x} 1 2q, 0 имеет место соотношение S(a, q) T (;

x, y) + O(q 1/2 ln q), T (, x, y) = q 1 а при выполнении условия {2x} 0 или {2x} 1 2q, 0, 2q, имеет место соотношение S(a, q) T (;

x, y) + O(q 1/2 ln q + x1/2 ).

T (, x, y) = q a Следствие 2.1.1 Пусть 4y, q, = + ;

(a, q) = 1, q || 4qx. Тогда имеет место соотношение y T (, x, y) = S(a, q)(;

x, y) + O(q 1/2 ln q).

q a Следствие 2.1.2 Пусть 4y, q, = + ;

(a, q) = 1, q 1 4qx || q. Тогда имеет место оценка q 1/2 ln q + x1/2.

T (, x, y) Следствие 2.1.1 является обобщением теоремы Р. Вона33 для коротких сумм и уточнением леммы 5 в работе34.

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригономет рических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических сумм по величине модуля произ водных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегра лов.

Следствие 1.1.1 теоремы 1.1 о поведении тригонометрических сумм с простыми числами, переменное суммирование которых принимает значе ния из коротких интервалов и следствия 2.1.1 и 2.1.2 теоремы 2.1 о по ведении коротких квадратичных сумм Вейля прилагаем к новой теореме об асимптотической формулы в проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми, которая является основным результатом третьей главы.

Теорема 3.1 Пусть N достаточно большое натуральное число, I(N, H) число представлений N суммою двух простых чисел p1, p и квадрата натурального m с условиями N N m pi H, H.

i = 1, 2, 3 Тогда при H N 4 L2 справедлива асимптотическая формула:

SH 2 H +O I(N, H) =, N L N/3L N S = S(N ) = 1+.

p (p 1) p Доказательство теоремы 3.1 проводится круговым методом Харди, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова его основу, как уже отмечали, составляют следствие 1.1.1 теоремы 1.1, следствия 2.1.1 и 2.1.2 теоремы 2.1 о поведении коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля.

В заключение автор выражает благодарность З.Х.Рахмонову за науч ное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации 1. Рахмонов З.Х., Шокамолова Дж.А.Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля // Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2009, т.135, №2(135), с. 7-18.

2. Шокамолова Дж.А. Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами// Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2010, т. 138, №1, с. 27-40.

3. Шокамолова Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстерма на с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2010, т.53,.№5, с. 325-332.

4. Шокамолова Дж.А. Асиптотическая формула в кубической зада че Эстермана с почти равными слагаемыми, Материалы междуна родной научной конференции “Современные проблемы математиче ского анализа и их приложений”, посвященной 60-летию академика К. Х. Бойматова, Душанбе, 23-24 июня 2010 г., с. 114 -115.

5. Шокамолова Дж.А. Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами Материалы международной научной конференции “Современные проблемы математического анализа и их приложений”, посвященной 60-летию академика К. Х. Бойматова, Ду шанбе, 23-24 июня 2010 г., с. 115 -116.

6. Шокамолова Дж.А. Оценка коротких квадратичных тригономет рических сумм Вейля Материалы научно–практической конферен ции “Проблемы математических и естественных наук”, Таджикский государственный коммерческий университет, Душанбе, 13-14 марта 2010 г., с. 216 -218.