Проблема варинга для девяти кубов с почти равными слагаемыми

На правах рукописи

Мирзоабдугафуров Каримжон Иброхимжонович Проблема Варинга для девяти кубов с почти равными слагаемыми 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе – 2009 2

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан Научные руководители: доктор физико–математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич доктор физико–математических наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Архипов Геннадий Иванович кандидат физико–математических наук, доцент Чариев Умидилла

Ведущая организация: Таджикский национальной университет,

Защита состоится 20 мая 2009 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссерта ционного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математи ки АН РТ.

Автореферат разослан 17 апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена зада чам аналитической теории чисел. Основным предметом исследования яв ляется оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля и вывод асимп тотической формулы в проблеме Варинга для кубов с почти равными сла гаемыми.

Впервые простейшие тригонометрические суммы стал рассматривать К.Ф.Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важней шие свойства носящей его имя ”суммы Гаусса”:

N ax2 ax S = e, (a, N ) = 1.

N N x= Гаусс первый показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел, в частности, используя свойства суммы Гаус са, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадра тичных вычетов.

В дальнейшем тригонометрические суммы, правда гораздо более обще го вида, стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыс кания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной тригонометрической суммы:

N (x) (x) S = e, (1) N N x= где (x) = an xn +... + a1 x – многочлен степени n 1 с условием (an,..., a1, N ) = 1.

Наилучшую оценку суммы (1) в общем случае дал Хуа Ло-ген. Он уста новил неравенство (x) c(n)N 1 n.

S N Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида T (n,..., 1, N ) = e(f (x)), (2) 0xN где f (x) = n xn +... + 1 x и n,..., 1 – любые вещественные числа.

Впервые общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2) дал Г. Вейль1. Поэтому такие суммы называются суммами Вейля.

Г. Вейль построил метод, с помощью которого впервые получил нетри виальную оценку тригонометрической суммы (2). Из оценки Г. Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена f (t) = tm + 1 tm1 +... + m в отрезке [a, b] [0, 1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1. Существенным недостатком метода Вейля является быстрая потеря точности с возрастанием m.

И.М. Виноградов2, 3 создал метод тригонометрических сумм. Этот ме тод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем, уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых. Он опубликовал ряд работ о суммах Вейля, в которых с помощью созданного им метода тригоно метрических сумм коренным образом улучшил результаты Вейля. Его ре зультаты нашли применение в проблеме распределения простых чисел, в теориях дзета-функции Римана, L–функции Дирихле, равномерного распределения, диофантовых приближений, в проблеме о целых точках в многомерном эллипсоиде и т.д.

В 1942 году Ю.В.Линником4 было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа p. Другое p-адическое доказательство, то есть, использу ющее свойства сравнений по модулю простого числа p, теоремы о сред нем значении было получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового p–адического метода5. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты6.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригоно метрических сумм3. Данная задача была решена Г.И.Архиповым в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукрат ных сумм Г.Вейля для многочленов общего вида. В 1975 году Г.И.Архипов Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann., 1916. 313–352.

Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга// Матем.сб.1924.,Т.31. с.490-507.

Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел//Тр.МИАН,1937.Т.10. с.5-122.

Линник Ю.В.Оценки сумм Вейля// Доклады АН СССР, 1942, Т.34,№7, c. 201-203.

Карацуба А.А.Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа// Вестник МГУ, 1962, Сер.1,№1, с.28-38.

Карацуба А.А.Средние значения модуля тригонометрической суммы// Изв. АН СССР, Сер.матем.,1973,Т.36,№6, с.1203-1227.

и В.Н.Чубариков7,8 дали обобщение реультатов Г.И.Архипова на кратный случай.

В 1976 г. В.Н.Чубариков9,10 получил оценки кратных тригонометриче ских интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм.

В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков11,12 продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Г.Вейля, равномерные по всем пара метрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена).

В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометриче ским суммам Г.Вейля составили содержание монографии ”Теория крат ных тригонометрических сумм” 13. В середине 80-х годов прошлого ве ка В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте14,15.

Суммы вида e(nk ), y = x, Tk (;

x, y) = xynx называются короткими тригонометрическими суммами Вейля.

Короткие тригонометрические суммы Вейля при n = 2 и n = 3 в мно жестве первого класса рассматривал З.Х. Рахмонов16,17 при исследовании тернарной проблемы Эстермана с почти равными слагаемыми.

Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах// Докл. АН СССР, 1975, Т. 222, №5, с. 1017-1019.

Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы//Изв.АН СССР. Сер. матем.

1976, Т.40,№1, с.209-220.

Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах:

Матем.заметки.1976,Т.20,№1, с.61-68.

Чубариков В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле//Докл.АН СССР. 1976, Т.227, №6, с.1308-1310.

Архипов Г. И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических сумм// Докл. АН СССР. 1980, Т. 252, №6, с. 1289-1291.

Архипов Г. И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их прило жения // Изв. АН СССР.Сер.матем.1980,Т.44,№4,с.723-781.

Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. – М.:

Наука, 1987.- 368 с.

Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН СССР.

1984, Т. 278, №2. с. 302-304.

Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985, Т. 49, №5. с. 1031-1067.

Рахмонов З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми// Матем. заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572.

Рахмонов З.Х.,Шозиева С.П. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми// е ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, с. 7-17.

В 1770 г. Варинг18 в своих “Алгебраических размышлениях” выдвинул гипотезу о том, что каждое четное натуральное число является суммой не более девяти кубов целых положительных чисел, суммой не более биквадратов и т. д. Считается, что тем самым он предполагал следую щее: для любого целого положительного числа n 2 существует число r = r(n), такое, что каждое натуральное число является суммой не более r n-ыx степеней натуральных чисел, то есть всякое натуральное число N может быть представлено в виде xn + xn +... + xn = N, (3) 1 2 r с целыми неотрицательными x1,..., xr.

Эта гипотеза получила название проблемы Варинга.

В 1770 г. Лагранж доказал, что любое натуральное число N представи мо в виде суммы четырех квадратов целых чисел19. В XIX веке проблема Варинга была доказана для отдельных значений n, но реального прогрес са на пути к решению проблемы удалось достичь только в XX-ом веке. В 1909 г. эта проблема была решена Д.Гильбертом.

В 1920 г. новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литт лвуд20. Они ввели две функции g(n) и G(n): g(n) – наименьшее r та кое, что (3) разрешимо при N 1;

G(n) – наименьшее r такое, что (3) разрешимо при N N0 (n). Ясно, что G(n) g(n). Харди и Литтлвуд доказали, что n G(N ) n2n1 h, lim h = 1.

n Самым же важным было то, что Харди и Литтлвуд при r (n 2)2n1 + для числа I(N ) представлений числа N в виде (3) нашли асимптотиче скую формулу вида ((1 + 1/n))r r 1 r N n + O(N n 1c(n,r) ), I(N ) = (4) (r/n) где – некоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превос ходит некоторое число c1 (n, r) и c1 (n, r) 0.

Waring E. Meditationes algebraicae. – Cambridge, 1770.

Hardy G.H., Wright E.M. An introduction to the theory of numbers, 5th edn. Oxford:Oxford University Press, 1979.

Hardy G.H., Littlwood J.E. Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl. 1920. p.33-54.;

Math. Z.

1922. Bd. 12. p.161-168.

В 1924 г. И.М. Виноградов2 доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (4) имеет место при r 2[n2 (2 ln n + ln ln n + 3)].

В 1934 г. И.М. Виноградов21 применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм. Это не только сильно упростило доказатель ство проблемы Варинга, но и открыло путь к принципиальному уточне нию полученных здесь результатов и решению новых проблем.

В 1934 г. И.М. Виноградов22, 23 доказывает также, что G(n) n(6 ln n+ 10), затем несколько раз уточняет эту оценку и, наконец, в 1959 г. дока зывает, что G(n) n(2 ln n + 4 ln ln n + 2 ln ln ln n + 13).

А.А. Карацуба24 применил к оценке G(n) свой p–адический метод и получил более точный результат G(n) n(2 ln n + 2 ln ln n + 12).

Вулли Т.Д.25 доказал, что G(n) n ln n + n ln ln n + O(1).

Фактически величина G(n) известна только для k = 2 и k = 4, именно G(2) = 4, G(4) = 16. Последний результат доказал Дэвенпорт26. Ю.В.

Линник27 доказал, что G(3) 7, упрощенное доказательство которого дал Ватсон28. Р.Вон29 доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (4) имеет место при r = 8 и n = 3.

Цель работы. Целью данной работы является оценка специальных тригонометрических сумм и нахождение асимптотической формулы для проблемы Варинга с почти равными слагаемыми.

Методика исследований. В работе используются методы ана литической теории чисел, в том числе Виноградов И.М. Новое решение проблемы Варинга// 1934, ДАН СССР, №2, c.337-341.

Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел.-М.: Наука, 1980.- 144с.

Виноградов И.М.К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1959.

Т.23, №5. с.637-642.

Карацуба А.А. О функции G(n) в проблеме Варинга// Изв. АН СССР. Сер. матем.,1985, Т.49,№5, с.935–947.

Wooley T.D. Large improvements in Waring’s problem// Ann of Math.,1992,(2)135, №1, 131–164.

Davenport H. Ann of Math., 40(1939), 731-747.

Линник Ю В. О разложении больших чисел на семь кубов//ДАН СССР, 1942, №35, c.179-180.

Watson G.L. J. London math. Soc., 26(1951), 153-156.

Vaughan R.C. On Waring’s problem for cubes.// J. Reine Angew. Math.,1986, 365, 122-170.

• метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;

• метод сглаживания двойных тригонометрических сумм И.М.Виноградова;

• круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются но выми и состоят в следующем:

• Изучено поведение кубических тригонометрических сумм Г. Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов;

• Для кубических сумм Г. Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов, обобщена теорема Хуа Ло-гена, то есть найден правильный порядок интеграла от восьмой степени модуля суммы этой суммы;

• Получена асимптотическая формула в проблеме Варинга для девяти кубов с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны.

Практическая и теоретическая ценность работы. Ра бота носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общеинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством член–корреспондента АН РТ З.Х.Рахмонова, на международных научных конференциях “Актуальные вопросы ма тематического анализа, дифференциальных уравнений и информатики” (2007 г.), “Комплексный анализ и неклассические системы дифференци альных уравнений”( 2007 г.) в Институте математики Академии наук Рес публики Таджикистан.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объм работы. Диссертация состоит из оглавле е ния, списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы, вклю чающего 87 наименований. Объм диссертации составляет 63 страницы е компьютерной врстки в редакторе математических формул LTEX.

е A Содержание диссертации.

Диссертация состоит из двух глав. Каждая глава состоит из трех па раграфов, первые параграфы носят вспомогательный характер.

Во втором параграфе первой главы для случае n = 3 изучается пове дение коротких кубических сумм Вейля:

a e(n3 ), = +, (a, q) = 1, q, ||.

T3 (;

x, y) = q q xynx Теорема 1.2.1. Пусть x x0 0, 0y 0, 01x, 12xy, q, = a +, (a, q) = 1, || q. Тогда при {3x2 } 2q, 0 или 1 q {3x2 } 1 2q, 0 имеет место соотношение S(a, q) T3 (;

x, y) + O(q 1/2+ ), T3 (, x, y) = q 1 а при выполнении условия {3x2 } 2q, 0 или {3x2 } 1 2q, 0, имеет место соотношение S(a, q) T3 (;

x, y) + O(q 2/3 ln q + q 1/6 x1/2 ), T3 (, x, y) = q q an S(a, q) = e.

q n= Полученное асимптотическое поведение является обобщением теоре мы Р. Вона30 для коротких сумм и уточнением результата З.Х. Рахмо нова16, 17.

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригономет рических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических сумм по величине модуля произ водных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегра лов.

Следствие 1.2.1.1. Пусть x x0 0, y 0, 01x, 12xy, q, = a + ;

(a, q) = 1, || 6qx2.

q Тогда имеет место соотношение y T3 (, x, y) = S(a, q)(;

x, y) + O(q 1/2+ ), q 0, y + yt)3 dt.

e (x (;

x, y) = 0, Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums. Coll.– Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest, 1981.

Следствие 1.2.1.2. Пусть x x0 0, y 0, 01x, 12xy, q, = a + ;

(a, q) = 1, 6qx2 || q.

1 q Тогда имеет место оценка q 2/3 ln q + q 1/6 x1/2.

T3 (, x, y) В третьем параграфе первой главы для среднего значения модуля вось мой степени коротких кубических сумм Г.Вейля обобщена теорема Хуа Ло-гена:

Теорема 1.3.1. При x x0 0, x y 0, 01x имеет место оценка |T (;

x, y)|8 d y 5+.

Эта теорема доказывается методом сглаживания двойных тригономет рических сумм И.М.Виноградова, в сочетании с соображением о том, что интеграл от четной степени модуля суммы Вейля выражается через коли чество решений диофантовых уравнений.

Во втором параграфе второй главы доказывается следующая теорема:

Теорема 2.2.1. Особый ряд q S 9 (a, q) aN e = (N ) = q9 q q=1 a= (a,q)= абсолютно сходится и существует положительная постоянная, та кая, что = (N ) C 0.

В третьем параграфе второй главы асимптотическая формула в пробле ме Варинга для девяти кубов доказывается с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны.

Теорема 2.3.1.Пусть N достаточно большое натуральное число, I(N, H) число решений в целых числах x1, x2,..., x9 уравнения x3 + x3 +... + x3 = N 1 2 с условиями 1/ N |xi N1 | H, i = 1, 9, N1 =.

Тогда при H N 3/10+ справедлива асимптотическая формула:

259723 3 3 (N )H 8 H · I(N, H) = +O, N 2/3 N 2/3 L где (N ) – особый ряд, сумма которого превосходить некоторое число c(N ) 0.

Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди, Литтл вуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Не ограничивая общности, будем считать, что H = N 3/10+, Q = 0, 5HL1, = 24(N1 + H)H, = 1, E = [, 1 ]. Легко можно показать, что H I(N, H) = T (;

N1 + H, 2H)e(N )d + O.

N 2/3 L E Разобьем множество E на множества E11, E12 и E2 :

a : q Q, (a, q) = 1,, = E11 = ;

6q(N1 + H) q a E12 = : q Q, (a, q) = 1,, q q a E2 = : Q q, (a, q) = 1,.

q q Обозначая через I11, I12 и I2 соответственно интегралы по множествам E11, E12 и E2, будем иметь H I(N, H) = I11 + I12 + I2 + O. (5) N 2/3 L В последней формуле I11 доставляет главный член асимптотической фор мулы для I(N, H), а I12 и I2 входят в его остаточный член.

Для получения асимптотической формулы для I11 используем след ствие 1.2.1.1 теоремы 1.2.1(поведение коротких кубических тригонометри ческих сумм Г.Вейля в множестве E11 ) и теорему 1.3.1. об оценке среднего значения модуля восьмой степени коротких кубических тригонометриче ских сумм Г.Вейля.

Оценка интеграла I12 проводится тернарным методом с применением следствия 1.2.1.2 теоремы 1.2.1(оценка коротких кубических тригономет рических сумм Г.Вейля в множестве E12 ) и теоремы 1.3.1.

Оценка интеграла I2 также проводится тернарным методом с исполь зованием оценки Г.Вейля для короткой кубической тригонометрической суммы и теоремы 1.3.1.

В заключении автор выражает благодарность профессорам В.Н. Чубарикову и З.Х.Рахмонову за научное руководство и постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации 1. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких триго нометрических сумм Г.Вейля// ДАН РТ, 2008, Т.51, №1. с. 5–15.

2. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми// ДАН РТ, 2008, Т.51, №2. с.83–86.

3. Мирзоабдугафуров К.И. О среднем значении коротких сумм Вейля.// ДАН РТ, 2008, Т.51, №4. с. 245–247.

4. К.И.Мирзоабдугафуров, З.Х.Рахмонов. Об оценках коротких триго нометрических сумм Г.Вейля. Материалы республиканской научной конференции ”Комплексный анализ и неклассические системы диф ференциальных уравнений”, посвященной 75-летию со дня рождения академика Джураева Абдухамида Джураевича, Душанбе 2007, с.39.

5. Мирзоабдугафуров К.И., Рахмонов З.Х. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми. Материалы международной научной конференции ”Актуальные вопросы математического анализа, диф ференциальных уравнений и информатики”, посвященной 70-летию академика Академии наук Республики Таджикистан Усманова Зафа ра Джураевича, Душанбе 2007, с.55.