Многокомпонентные векторные схемы расщепления в методах математической физики
На правах рукописи
Абрашина-Жадаева Наталья Григорьевна МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ В МЕТОДАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 01.01.07 вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Казань 2008
Работа выполнена в Белорусском государственном университете
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Четверушкин Борис Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Монастырный Петр Ильич доктор физико-математических наук, доцент Федотов Евгений Михайлович
Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет
Защита состоится 24 апреля 2008 г. в 14.30 на заседании диссертаци онного совета Д.212.081.21 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская 18, корп. 2, ауд. 217.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Ло бачевского Казанского государственного университета
Автореферат разослан 2008 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., доцент О.А. Задворнов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертация посвящена разработке и обоснованию экономичных чис ленных методов для нестационарных и стационарных многомерных диф ференциальных уравнений в частных производных. В работе рассмотре ны вопросы построения численных алгоритмов на основе принципа ад дитивности с использованием многокомпонентной векторной аппроксима ции, исследованы условия устойчивости и асимптотической устойчивости, получены соответствующие априорные оценки.
Актуальность темы диссертации. Математическое моделирование успешно применяется практически во всех областях современных знаний.
Математические модели, которые детально описывают исследуемые ре альные процессы, как правило, являются сложными. Сложность задач ма тематической физики обусловлена многомерностью, нелинейностью, на личием одновременно протекающих многих физических процессов в рам ках одной системы. Получить точные аналитические решения этих за дач, за исключением отдельных случаев, практически невозможно, по этому применяют приближенные методы решения, например, конечно разностные методы. Для возможности их эффективного использования конечно-разностные методы должны обладать основополагающими свой ствами аппроксимации, устойчивости, сходимости и экономичности. Если первые три гарантируют надежное вычисление приближенного решения с необходимой точностью, то последнее позволяет делать это с относитель но небольшими затратами вычислительной работы. Эффективным сред ством приближенного решения сложных многомерных задач математиче ской физики на основе их конечно-разностных аппроксимаций являются методы численного интегрирования дифференциальных уравнений мате матической физики, называемые методами расщепления. Начиная с 50-х годов прошлого столетия такие приближенные методы получили бурное развитие и нашли широкое применение в практике численного решения целого ряда сложных и важных прикладных задач. Их достоинством яв ляется сведение исходной модели к расщепленной, существенно упроща ющей программирование, распараллеливание, модульное структурирова ние вычислений. В результате удается получать гибкие и экономичные разностные схемы.
Существенным для развития рассматриваемого класса методов было введение понятия суммарной аппроксимации многомерного уравнения си стемой одномерных, открывшее возможность производить расщепление не только по пространственным переменным, но и по различным фи зическим процессам, отдельным членам дифференциальных и разност ных уравнений. Различным аспектам экономичных методов расщепле ния посвящены работы Н.Н. Яненко, А.А. Самарского, Е.Г. Дьяконова, Г.В. Демидова, В.И. Лебедева, В.Н. Абрашина, В.И. Агошкова, В.Б. Ан дреева, К.А. Багриновского, С.К. Годунова, Н.С. Бахвалова, Г.М. Кобель кова, Е.В. Чижонкова, О.М. Белоцерковского, Н.В. Булеева, А.В. Гули на, И.В. Фрязинова, П.Н. Вабищевича, В.В. Воеводина, Ю.А. Кузнецова, А.Д. Ляшко, М.М. Карчевского, А.А. Злотника, В.П. Ильина, В.И. Кузи на, Ю.М. Лаевского, Ж.-Л. Лионса, Р. Рихтмайера, К. Мортона, Д. Фор сайта, М. Малькольма, К. Моулера, J. Douglas, H. Rachford, D. Peaceman, J. Gunn, B.S. Jovanovic, J. Ortega, L. Hageman, D. Young, G. Birkho, R. Varga, O.A. Widlund, R. Temam и др.
Интерес к изучению и разработке новых модификаций методов рас щепления вызван многочисленными успешными их применениями для решения задач гидродинамики, теории переноса, метеорологии, океано логии, физики и техники. Идея расщепления особенно конструктивна при разработке численных методов для многомерных задач. При внешней про стоте расщепление требует тщательного анализа получаемых систем урав нений, в связи с чем интенсивно развивались и продолжают развиваются теоретические исследования, связанные с проблемами повышения точно сти, устойчивости, скорости сходимости, быстродействия и расширения класса задач, для которых оно может применяться. Как известно, в об щем случае, в рамках традиционных подходов, расщепление задачи свя зано с ухудшением асимптотических свойств и локальной аппроксимации, необходимостью дополнительных ограничений на компоненты операторов расщепления. Преодоление указанных и других проблем развития мето дов расщепления заслуживает внимания как исследователей, так и прак тиков. В связи с необходимостью повышения быстродействия приближен ного решения многих прикладных задач, например задач метеорологии, как за счет совершенствования численных методов, так и вычислитель ной техники требуется построение новых экономичных численных методов расщепления, допускающих глубокое распараллеливание и асинхронную реализацию на ЭВМ.
Предлагаемая для защиты диссертация посвящена исследованию пе речисленных выше проблем развитию на этой основе более эффективных методов расщепления.
Связь работы с крупными научными программами, темами.
Исследования проводились по темам, выполняемым кафедрой высшей математики и математической физики БГУ: Дифференциал-3 (1986– 1990 гг.) Исследовать конструктивные свойства асимптотических инва риантов многомерных дифференциальных систем с полусвязями и сла быми взаимодействиями подсистем, Дифференциал-4 (1991–1995 гг.) Исследование асимптотических характеристик решений дифференци альных систем (по плану НИР БГУ и программам АН): Разработка научно-методического обеспечения новых учебных планов по приклад ной математике и информатике, выполняемую по госбюджету (период 1991–1995 гг.) по плану НИР БГУ, Разработка методического обеспече ния учебного процесса по высшей математике и ее приложениям, вы полняемую по госбюджетным НИР (период 1996–2000 гг.) по плану НИР БГУ и в отделе численных методов математической физики Института математики НАН Беларуси: тема Алгоритм-08 Разработка эффектив ных численных методов решения сложных задач математической физи ки (1996–2000 гг., номер гос. регистрации №19974682, без финансиро вания);
по теме Исследования рациональных приближений со свобод ными полюсами и приложений к решению интегро-дифференциальных уравнений, выполняемой кафедрой высшей математики и математиче ской физики Белорусского госуниверситета по Государственной програм ме фундаментальных исследований Исследование основных математиче ских структур и проблем математического моделирования, ( Математи ческие структуры-12 ) (2001–2005 гг., номер гос. регистрации №20012145).
Цель и задачи исследования. Развитие аддитивных численных ме тодов, основанных на использовании многокомпонентной векторной ап проксимации. Обоснование эффективных методов расщепления с улуч шенными свойствами, допускающими асинхронную обработку вычисле ний на ЭВМ. В контексте данной проблемы рассмотрены следующие за дачи:
– разработка методики построения векторно-аддитивных методов пол ной аппроксимации с улучшенными асимптотическими свойствами;
– разработка специальных подходов к исследованию векторно-аддитив ных методов полной аппроксимации;
– разработка последовательных и параллельных алгоритмов, без огра ничений на количество операторов расщепления и без требования их попарной коммутируемости;
– обоснование построенных алгоритмов, их качественный анализ;
– разработка итерационных методов решения стационарных задач;
– построение и обоснование методов декомпозиции области на основе векторно-аддитивных схем;
– построение и обоснование многокомпонентных аддитивных методов расщепления по физическим процессам для задач механики сплош ных сред.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являют ся приближенные методы решения задач математической физики. Пред метом исследования является новый класс векторно-аддитивных схем ре шения многомерных задач математической физики. Основными задачами
, решаемыми в диссертации, являются нестационарные и стационарные за дачи математической физики.
Методология и методы проведенного исследования. Работа но сит теоретический характер. В диссертации использованы методы об щей теории разностных схем, теории прикладных итерационных мето дов, методы функционального анализа, математический аппарат механи ки сплошных сред.
Научная новизна и значимость полученных результатов.
Научные положения и основные результаты, которые получены в дис сертации и выносятся на защиту, являются новыми.
К таким результатам относятся: предложенные и обоснованные эко номичные методы многокомпонентного расщепления полной аппроксима ции с улучшенными асимптотическими свойствами для нестационарных задач математической физики произвольной размерности, итерационные многокомпонентные методы решения стационарных задач, методы деком позиции (расщепления по подобластям) для многомерных стационарных и нестационарных задач.
В частности, доказаны теоремы о безусловной устойчивости без тре бования попарной перестановочности операторов расщепления, получе ны оценки скорости сходимости итерационных методов и определен один из вариантов оптимального итерационного шага, построенные алгоритмы эффективны для задач в областях сложной геометрии. Для ряда задач механики сплошных сред построены и изучены аддитивные методы рас щепления по физическим процессам.
Конструкция численных алгоритмов на основе принципа аддитивно сти с использованием многокомпонентной (векторной) аппроксимации, в рамках предложенного в работе подхода, позволила преодолеть характер ные недостатки, присущие известным аддитивным методам. В сравнении с известными модификациями метода переменных направлений предла гаемые методы безусловно устойчивы для нестационарных многомерных задач любой размерности. Для выполнения условий устойчивости не тре буется попарной перестановочности операторов расщепления, кроме того, эти алгоритмы допускают распараллеливание вычислений в большей сте пени, чем многие известные экономичные методы, эффективны для задач в областях сложной геометрии.
Практическая значимость полученных результатов. Получен ные в диссертации теоретические результаты и разработанные прибли женные методы решения линейных и нелинейных многомерных уравне ний в частных производных могут быть использованы в вычислительном эксперименте при математическом моделировании физических процессов.
Построенные и исследованные в диссертации новые численные алгорит мы могут найти свое применение в ядерной физике, в механике сплошных сред, биофизике, лазерной технологии, экологии, т.е. там где используют ся модели типа конвекции-диффузии.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
1. Векторно-аддитивная модель построения многокомпонентных алго ритмов расщепления дифференциальных уравнений в частных про изводных для решения нестационарных многомерных задач матема тической физики, позволяющая расширить область применимости методов расщепления.
2. Построение и обоснование новых классов многокомпонентных мето дов типа переменных направлений, сохраняющих свойство аппрокси мации для каждого разностного уравнения в алгоритме, с последова тельной и параллельной вычислительной реализацией их для линей ных и нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка параболического и гиперболического типов.
3. Доказательства теорем о безусловной устойчивости многокомпонент ных векторных алгоритмов без ограничения на количество операто ров аддитивного расщепления и требования их коммутируемости.
4. Многокомпонентные итерационные методы с последовательной и па раллельной реализацией вычислительных алгоритмов для решения стационарных многомерных задач математической физики без огра ничения на размерность и требования попарной перестановочности компонент в аддитивном представлении оператора исходной задачи.
5. Теоремы о сходимости многокомпонентных итерационных алгорит мов для задач произвольной размерности (без обычного в подобных случаях требования перестановочности операторов расщепления) и априорные оценки их скорости сходимости. Улучшение аддитивных методов в случае коммутируемости пространственных операторов.
Априорные оценки скорости сходимости итерационных векторно аддитивных методов с зависимостью лишь от нижней границы спек тра операторов расщепления. Итерационные алгоритмы для эллип тических уравнений и их систем, в том числе и со смешанными про изводными.
6. Алгоритмы метода декомпозиции (разбиения) расчетной области на ряд подобластей на основе многокомпонентных аддитивных мето дов расщепления полной аппроксимации для решения многомерных нестационарных и стационарных задач математической физики. Со ответствующие этим алгоритмам разностные схемы, имеют более вы сокую точность по сравнению с методами переменных направлений и покомпонентного расщепления и структурно близки к явным.
7. Многокомпонентные аддитивные методы расщепления по физиче ским процессам системы уравнений Навье Стокса в переменных скорость – давление.
Личный вклад соискателя. Результаты, изложенные в диссерта ции, получены автором самостоятельно и опубликованы в работах [1] [50]. В коллективных публикациях автору принадлежат защищаемые в диссертации модифицированные векторно-аддитивные схемы, основные положения и выводы. Все результаты, которые приведены в диссертаци онной работе, подготовлены непосредственно автором или при ее прямом участии.
Апробация результатов диссертации. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались на Международной конференции Матема тическое моделирование и прикладная математика (Москва 1990 г.), Международной конференции Теория приближения и задачи вычисл. ма тем. (Днепропетровск 1993 г.), Международной конференции Пробле мы математики и информатики (Гомель 1994 г.), Всероссийском семи наре Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач (Казань 1998, 2004 гг.), Second International Conference Finite-dierence methods:
theory and application (Minsk 1998 г.), Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика РАН А.А. Самарско го (Москва 1999 г.), Международной конференции Еругинские чте ния (Гомель 1999 г.), VIII Белорусской математической конференции (Минск 2000 г.), Международной конференции Еругинские чтения (Витебск 2003 г.), Mathematical Modelling Analysis Abstracts of the 8th Intern. Conference MMA, (Trakai 2003, 2005, 2007 г.), Международной матем. конференции (Воронеж 2005 г.);
6,7-м Всероссийском семинарах Сеточные методы и их приложения (Казань 2005, 2007 г.).
Кроме того, результаты докладывались и обсуждались на семинарах академика РАН А.А. Самарского Московский государственный уни верситет;
профессоров А.Д. Ляшко Казанский государственный уни верситет;
М.П. Сапаговаса институт математики и информатики АН Литвы, членов-корреспондентов НАН Беларуси: Я.В. Радыно Бело русский государственный университет, кафедра функционального анали за;
В.И. Корзюка Белорусский государственный университет, кафедра уравнений математической физики, на Математическом обществе РБ под председательством Я.В. Радыно.
Публикации. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 50 работах: в 26 статьях в рецензируемых научных журналах из них 23 в журналах из Перечня ВАК для опубликования основных результатов на соискание степени доктора наук (редакция июль 2007 года), в 10 статьях в сборниках материалов научных конференций, в 14 тезисах докладов и выступлений на конференциях).
Структура и объм диссертации. Диссертация состоит из введе e ния, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка ис пользованных источников. Общий объем работы 193 страницы. Список использованных источников состоит из 191 наименования.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Во введении идет речь об актуальности проблематики, о близких к теме диссертации исследованиях, кратко характеризуется содержание диссер тации. Нумерация формул, лемм, теорем, следствий, замечаний соответ ствует нумерации в диссертации.
Основные положения и результаты работы изложены на примере аб страктной задачи Коши. Единообразная операторная запись дает возмож ность проводить исследования с единой точки зрения для разных схем в различных постановках. Следуя классической теории разностных схем, сводим общего вида начально-краевую задачу для параболического урав нения (см., например, Красносельский М. А. и др. Интегральные опера торы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 499 с.) к абстрактной задаче Коши du + Au = f, 0 t T, u(0) = u0, (1.1.1) dt в некотором гильбертовом пространстве H, в котором норма и скалярное произведение определены следующим образом: G (uvdx) = (uv), u = (u, u).
Здесь A действующий в H самосопряженный неограниченный по ложительно определенный оператор, порожденный эллиптическим диф ференциальным оператором и системой граничных условий. Мы считаем, что некоторый линейный дифференциальный оператор L, действующий на u(x, t) как функцию x = (x1, x2,..., xp ), принадлежащую G, где G p мерная область евклидова пространства, заменен с учетом краевых усло вий оператором A с плотной в H и не зависящей от t областью определения D(A) H и с областью значений R(A) H. Краевые условия учитыва ются требованием u = u(t) D(A), 0 t T. u = u(t) искомая, f = f (t) заданная функции из H, p A= A, (1.1.2) = где A линейные положительные операторы в гильбертовом простран стве H с теми же областями определения и значений, что и у оператора A, т.е. p D(A ) = D(A). Будем называть A, = 1, 2..., p компонента = ми исходного оператора A или одномерными операторами. Аддитивное представление (1.1.2) лежит в основе большинства экономичных методов.
Пусть tn = n, n = 0, 1,..., 0, сетка на отрезке 0 t T.
Основная алгоритмическая идея всех экономичных методов состоит в на писании таких разностных уравнений, что их решение сводится к после довательному применению стандартных алгоритмов (например, метод од номерной прогонки), что при переходе от слоя n к слою n + 1 требуется O(N ) действий, где N число узлов пространственной сетки.
Такие методы сочетают достоинства явных и неявных схем и снимают противоречие между простотой реализации и устойчивостью. Суть этих методов в использовании структурных свойств оператора A. В экономич ных аддитивных методах используется представление оператора A в виде (1.1.2). Вместо обращения оператора E + A алгоритмы конструируются так, чтобы последовательно или параллельно обращались более простые операторы, например, операторы вида E + A, 0, действующие по одной пространственной переменной. Системы с матрицами E + A решаются методом прогонки с затратой O(N ) действий. Для p = 2 и по ложительно определенных A такие методы были предложены в работах J. Douglas, H. Rachford;
D. Peaceman, H. Rachford;
J. Douglas. Альтерна тивным подходом к построению экономичных методов решения многомер ных задач явился метод расщепления (метод дробных шагов). В данном случае, когда проводится редукция сложного оператора к простейшим, интегрирование исходной задачи сводится к последовательному интегри рованию уравнений более простой структуры. В этой связи появилось несколько актуальных научных направлений, наиболее значимый вклад в которые внесли Г.И. Марчук, А.А. Самарский, Н.Н. Яненко. Предлага лись различные модели факторизованных схем. Среди этих методов особо отметим метод расщепляющегося оператора (Е.Г. Дьяконов, 1962), метод приближенной факторизации (Н.Н. Яненко и Г.И. Марчук, 1966), метод факторизации, на основе метода регуляризации (А.А. Самарский, 1963).
Отказ от классического понятия аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной (слабой) аппроксимации в методах расщеп ления позволил дать единую трактовку экономичных методов как адди тивных схем и существенно расширил класс задач, решаемых с их помо щью. Такие вычислительные алгоритмы, вообще говоря, ориентированы на простую (расщепленную) модель, при этом погрешность аппроксима ции всей совокупности простейших разностных подзадач (общего алго ритма) определяется как сумма невязок каждой разностной подзадачи, т.е. имеет место суммарная аппроксимация. Введение обобщающего по нятия суммарной аппроксимации многомерного уравнения системой од номерных послужило теоретическим обоснованием метода расщепления и позволило производить расщепление не только по независимым пе ременным, но и по различным физическим процессам, отдельным членам дифференциальных и разностных уравнений с целью облегчения решения исходной задачи.
Бесспорным достоинством этого класса методов является его безуслов ная устойчивость для практически произвольной размерности и ослаблен ные требования к свойствам операторов задачи. Изучению алгоритмов и их разностных аналогов посвящена обширная литература, которая указа на во Введении к диссертации. Основой конструирования нового класса векторно-аддитивных методов в настоящей работе служит, как и в клас сических методах расщепления, принцип аддитивности и понятие суммар ной аппроксимации. Выбор именно такой группы методов в качестве ос новного объекта исследований определяется их простой реализацией, эко номичностью по числу арифметических операций и возможностью распа раллеливания вычислений на многопроцессорных вычислительных систе мах.
В первой главе диссертации рассмотрены общего вида линейные на чально-краевые задачи параболического типа.
Исходная задача записывается в виде эволюционной абстрактной за дачи Коши (1.1.1), (1.1.2) на примере которой изложена суть векторно аддитивной модели расщепления. А именно: вместо одного скалярного решения u(t) вводится вектор решений u(t) = (u1 (t), u2 (t),..., up (t)). Функ ции u1 (t), u2 (t),..., up (t) трактуются как компоненты вектора-решения за дачи и их число равно числу слагаемых в сумме (1.1.2), причем каждая отдельная компонента u аппроксимирует решение исходной задачи. Про стейший способ построения векторной схемы состоит в клонировании ис ходной задачи:
p du + A u = f (t), = 1, p 0 t T, (1.1.7) dt = с начальными условиями вида u (0) = u0, = 1, p, (1.1.8) переходу к промежуточной системе однотипных задач (1.1.7), (1.1.8).
Справедлива следующая ТЕОРЕМА 1.2.1 Пусть в абстрактной задаче Коши (1.1.1) опе p ратор A = положительно определенные операторы в H, A, A = тогда задача (1.1.7), (1.1.8), полученная в результате перехода от ска лярного решения задачи (1.1.1) к вектор-решению, поставлена коррект но, причем u (t) = u(t), для любых t [0, T ] = 1,..., p и справедлива оценка p p 2 u (t) + 0, 5 A u (t) f (t) =1 = p p t f 2 2 M (0, 5 A u (0) f (0) + u (0) + dt), t =1 = где M 0 некоторая постоянная величина.
В векторных моделях разностных схем каждая конкретная компонен та вектора решения аппроксимирует решение скалярной исходной зада чи. Полученные в данной главе результаты о корректности некоторых видов векторно-аддитивных методов указывают на их тесную связь с известными методами суммарной аппроксимации, а именно, с локально одномерными методами. В случае дискретной аппроксимации по времени для уравнения (1.1.1) предложена многокомпонентная разностная схема p y y + A y + A y = f, = 1, p;
(1.3.1) =1 =+ y (0) = u0.
Из данной системы уравнений последовательно на определенном шаге по времени находятся компоненты y. Схема (1.3.1) представляет собой до вольно простое конструктивное изменение классических алгоритмов типа метода переменных направлений. Доказана безусловная устойчивость ал горитма (1.3.1) при любом числе компонент разбиения исходного операто ра задачи без дополнительных требований к их свойствам. Справедлива следующая ТЕОРЕМА 1.3.1 Пусть A 0, = 1, p, тогда схема (1.3.1) при всех 0 безусловно устойчива по начальным данным и правой части, и для решения разностной задачи справедлива оценка y y + f (0) Au0 + t max ft.
t Конструктивное векторное представление алгоритма позволило изба виться от ограничений, во-первых, на размерность (p = 2) как в класси ческом методе переменных направлений, а, во-вторых, от условий комму тативности операторов разбиения, характерных, как правило, для мето дов расщепления. В случае рассмотрения многомерного линейного урав нения параболического типа каждое из уравнений (1.3.1) решается ме тодом одномерной трехточечной прогонки по своему пространственно му направлению. Отметим, что безусловная устойчивость и сходимость этого алгоритма изучалась многими авторами, например, В.Н. Абраши ным, П.Н. Вабищевичем, И.А. Дзюбой, С.Н. Лапко, С.Н. Лэхтиковым, А.Н. Якубеней и другими авторами.
В этой же главе рассмотрены и обоснованы новые варианты схем при многокомпонентном векторном расщеплении, т.е. модифицированные ал горитмы вида p y y + A y + A y = f, (1.4.3) =1 =+ y (0) = u0, = 1, p, где y1 = y, y = 0, 5(y1 + y ), = 2, p, а также p y y + (A y A y ) + A y = f, (1.4.4) = y (0) = u0, = 1, p, где p y= y. (1.4.5) p = При моделировании данных модификаций многокомпонентного рас щепления важную роль сыграло стремление минимизировать число опе раций, требуя при этом, чтобы разностный алгоритм наследовал в про странстве сеточных функций как можно лучше основные свойства диф ференциального уравнения. Одним из таких свойств является асимптоти ческая устойчивость.
Обоснование асимптотической устойчивости строится на доказатель стве утверждения:
p 2 (v (,1), v (,1) ), v (,1) = y y1.
v 0 при t 0, где v = 3 = При этом компоненты многокомпонентного векторного расщепления в алгоритмах (1.4.3) и (1.4.4) стремятся друг к другу и к решению чисто неявной схемы. По сути с увеличением t дополнительная погрешность, связанная с аппроксимацией ( по сравнению с чисто неявной схемой) адди тивного метода, стремится к нулю, что и гарантирует выполнение асимп тотических свойств чисто неявного алгоритма. Данная методика исследо вания применена при доказательстве соответствующих теорем. Доказана безусловная устойчивость алгоритмов(1.4.3), (1.4.4). Имеет место ТЕОРЕМА 1.4.1 Если A положительно определенные операто ры = 1, p, 0, 5 c0 0, то алгоритм (1.4.3) безусловно устойчив для всех 0 и для его решения справедлива оценка p v n+1 2 2 n (1 + c0 ) A y (0) f (0), (1.4.22) = p (v (,1), v (,1) ), v (,1) = y y1, v = c0 0.
= При этом алгоритм (1.4.3) допускает последовательную реализацию с применением скалярной трехточечной прогонки для соответствующих многомерных задач математической физики. А алгоритм (1.4.4) допускает асинхронную реализацию вычислений, когда каждая компонента вектора решения находится на временном слое независимо друг от друга, а при переходе на новый временной слой компоненты связаны условием (1.4.5).
Поэтому алгоритм удобен для использования современных параллельных вычислительных систем. Все это говорит об экономичности предложенных схем. В заключении главы приведен результат первой работы в построении векторных многокомпонентных методов [28], в которой предложены соб ственная пространственно-временная сетка по каждому направлению и алгоритмы для задач в областях сложной геометрии.
Таким образом, в первой главе диссертации исследованы векторно аддитивные методы полной аппроксимации для нестационарных задач ма тематической физики. Схемы относятся к классу экономичных методов, примыкающих к классическому методу переменных направлений. Полу чены результаты о безусловной устойчивости таких методов по начальным условиям и правой части без ограничения на число операторов аддитивно го разбиения (на пространственные операторы расщепления накладыва ются минимальные условия). Эти операторы могут быть как непрерывны ми, так и дискретными. Изучены асимптотические свойства предложен ных методов. Результаты ориентированы так же на последующие главы диссертации, где стабилизирующие свойства алгоритмов необходимы для построения итерационных методов решения стационарных задач матема тической физики.
В качестве приложения рассмотрены краевые задачи для многомер ных параболических уравнений, в том числе для уравнений в частных производных со смешанными производными.
Во второй главе диссертации изучена модификация распараллелен ного алгоритма (1.4.4) в случаях, когда в абстрактных задачах Коши, которые поставлены в соответствии начально-краевым задачам с много мерным линейным и квазилинейным уравнениями, операторы A = A (t), и A = A (t, u) [18, 19]. Исследованы подобные алгоритмы для линейной и нелинейной задачи Коши. Для линейных эволюционных уравнений, ко гда оператор исходной задачи имеет временную зависимость, построены и изучены двухслойные аддитивные методы с параллельной реализацией вычислительного процесса, приспособленные для параллельных ЭВМ:
p y y + (A y )t + A y = f, (2.1.7) = p y (0) = u0, = 1,..., p, y= y.
p = Показано, что имеет место равенство p p y 2 2 2 2 A y 2 + + 0.5 y + 0.5p v + 0.5 p A =1 = p p 2 2 2 A y 2, +0.5 A y = 0.5 y + 0.5 p (2.1.9) =1 = p (v (,), v (,) ), v =,=1, из которого следует ряд теорем об устойчивости разностной схемы (2.1.7).
ТЕОРЕМА 2.1.3 Пусть A 0 положительно определенные опе раторы, c0 E A E, тогда при всех 0 разностная схема (2.1.7) устойчива и для ее решения справедлива оценка p 2 A y + 0.5p2 v (1 + c)1 y 2+ y + p = p A y + 0.5p2 v + p, (2.1.10) = где c = min(0.5c0 p, 1 1 ).
При многокомпонентном расщеплении без требования перестановоч ности пространственных операторов доказана безусловная устойчивость алгоритмов. Для нелинейных эволюционных уравнений, когда оператор A исходной задачи зависит от времени и от решения задачи, аддитивен и обладает достаточной гладкостью, построены и изучены распаралле ленные аддитивные методы как итерационные, так и безытерационные.
Предложен алгоритм подобный (2.1.7) в виде p p u p u / + (A (t, u )u )t + A (t, u )u = 0, (2.3.2) =1 = u (0) =, = 1,..., p, где A(t, u ) = A(t, u (t)), а также линеаризованная разностная схема вида p p u p1 u / + A (t, u)ut + Ai (t, u)ui = 0, (2.3.5) =1 i= p u = p u (0) =, u = 1,..., p.
= В правую часть (2.3.2) может входить выражение вида f (t, u) при условии df /du 0. Наиболее эффективным и точным является алго ритм (2.3.2), однако недостатком его является то, что для каждого из алгоритмов (2.3.2) требуется решать нелинейную задачу. Более простым является линеаризованный алгоритм (2.3.5). Предложен безытерацион ный алгоритм, который основан на следующем подходе. Пусть оператор A(t, u) = A(t, u) + A0 (t), где A0 (t) линейный оператор. Для просто ты рассмотрен случай A0 (t) = b(t)E, b(t) 0 и A(t, u) представляется p как A(t, u) = A (t, u0 ), A0 (t, u0 ) = A0 (t). Такое представление все = гда возможно. Алгоритм, подобный (2.3.5), имеет вид p p (u p ui )/ + (A (t, u0 )u )t + Ai (t, u0 )ui = 0, (2.3.8) i=0 i= = 0, p.
Сначала решается уравнение с номером = 0, а затем все остальные.
Алгоритм (2.3.8) устойчив и для него доказана соответствующая теорема.
Аналогичный алгоритм можно использовать для гиперболических урав нений, а также для нелинейных задач, включая уравнения со смешанными производными и для уравнения с нелинейной правой частью. В качестве примеров рассмотрены многомерные параболические и гиперболические уравнения, в том числе уравнения со смешанными производными. Так метод многокомпонентного расщепления применим и для уравнений ги перболического типа d2 u + A(t)u = f (t) в D Dt, (2.1.10) d2 t du u(0) =, = при t = 0.
dt Оператор A(t) положительно определен и (Au, u) c0 (u, u), c0 0 и p A(t) = A (t), где A = A (t) положительно определенные операто = ры. Для решения (2.1.10) предложена экономичная разностная схема p utt + ( A (t1/2 )ut A (t1/2 )ut ) + A (t)u (t) = f, (2.1.11) = где = 1,..., p;
A(t1/2 ) = A(t + 0, 5 ). Разностная схема (2.1.11) устой чива по начальным данным и правой части при p/4. Рассмотренные схемы, как и схемы первой главы, пригодны при решении краевых задач для гиперболических систем первого порядка.
Аддитивные методы широко используются при решении краевых за дач для эллиптических уравнений. Причем решение таких задач сводится к решению эволюционных задач для параболических уравнений до выхода на стационарный режим, а последнее выполняется при помощи, например, схем типа переменных направлений или факторизованных. Эффективный выход на стационарный режим (с точки зрения двухслойных разностных схем) во многих случаях гарантирует выполнение не только законов со хранения решения, связанных с консервативностью решения по времени, но и законов изменения решения по времени, что связано с асимптотиче скими характеристиками разностных методов.
В третьей главе на основе асимптотических свойств векторно аддитивных разностных схем полной аппроксимации, построены итера ционные многокомпонентные методы и изучены их свойства. Алгоритмы (1.4.3), (1.4.4), предложенные в первых двух главах, имеют несомненное преимущество перед классическим методом переменных направлений, т.к.
они применимы для любого p 2 и перед методом факторизации, т.к. не требуют коммутативности операторов расщепления. Указанные положи тельные свойства алгоритмов наследуют и итерационные методы, постро ение которых основывается на стабилизирующих свойствах задачи Коши для соответствующих эволюционных уравнений. Стационарная задача ма тематической физики записывается в виде операторного уравнения Ay = f, (3.1.1) где A : H H линейный оператор, действующий в вещественном гильбертовом пространстве H со скалярным произведением (·, ·) и нор мой y = (y, y). A самосопряженный и положительно определенный оператор: A = A cE, c 0, y H, f H. Аддитивные методы, как мы уже отмечали, базируются на представлении оператора A в ви p де A = A, где операторы A обладают теми же свойствами, что и = исходный оператор A, т.е.
A = A, (A y, y) c0 y 2, = 1,..., p, c0 0. (3.1.4) Идея метода установления позволила построить следующие итераци онные методы решения стационарных задач, с использованием векторно аддитивных разностных схем (1.4.3), (1.4.4):
s s+1 p y y s+1 s + A y + A y = f, = 1, p, (3.1.5) =1 =+ s s 0 s s s где y = v0, y = y при = 1, y = (y1 + y )/2, при = 2, p, s s+1 p y y s+1 s s + A y y + A y = f, 1, p, (3.1.6) = p s 0 s где y = v0, y = p y.
= Итерационные методы (3.1.5), (3.1.6) относятся к алгоритмам с по следовательной и параллельной организацией вычислений соответствен но. Теоретический анализ и вычислительный эксперимент итерационных процессов (3.1.5), (3.1.6) показал, что невязка для этих алгоритмов вы p s ражается следующим образом: r(s) = A y f. Она не согласуется, = s вообще говоря, с невязкой r (s) = Ay f для канонической формы двух слойного итерационного процесса s+1 s s Bs ( y y)/s+1 + Ay =, s = 1, 2,..., (3.0.1) s+ где итерация y определяется предыдущим значением. Видимо, в силу этих обстоятельств, классических функциональных методов, разработан ных для исследования итерационных методов (3.0.1), оказалось недоста точно для изучения итерационных процессов (3.1.5), (3.1.6). Поэтому в третьей главе расширена методика доказательства сходимости аддитив ных итерационных методов. Весьма эффективным оказалось сравнение по норме значений компонент приближенного решения, а также сравне ние приближенного решения с усредненным значением компонент реше ния. Доказано, что в случае коммутативности операторов расщепления A при 2 скорость сходимости итерационных методов зависит от ниж ней границы спектра операторов A, A, = 1, p. В методах переменных направлений и факторизации скорость сходимости существенно зависит от верхней границы спектра этих операторов, при этом естественно пред полагается: A, A дискретные аналоги пространственных операторов и, как следствие сказанному, скорость сходимости в этих алгоритмах зависит от величины шага сетки. В итерационных методах (3.1.5) и (3.1.6) такая зависимость отсутствует.
Справедлива ЛEMMA 3.2.1 Для итерационного метода (3.1.6) при = p имеет место неравенство 1s s Q(y) Q(y), (3.2.3) q где s s Q(y) = r(s) 2 + p2 2 v 2, q = 1 + 2c0 p, p p s (,) s (,) s s v r(s) = A y f, = v,v, =1,=1, s (,) s s v = y y, = 1, p, = 1, p,, нижняя граница спектра оператора A, c0 0.
c p s Невязка метода (3.1.6) имеет вид r(s) = A y f и не согласована = s с естественной невязкой Ay f, характерной для итерационного метода (3.0.1). Возникает вопрос о согласовании этих невязок и получения эф фективных оценок для контроля точности итерационного метода (3.1.6).
s s В оценке (3.2.3) в Q имеется слагаемое, содержащее v 2, что и использу ется для доказательства сходимости (3.1.6) к решению (3.1.1) и получения эффективной оценки контроля точности метода.
Справедлива ТЕОРЕМА 3.2.1 Пусть выполняются условия (3.1.4) и операторы A, = 1,..., p, взаимно коммутативны. Тогда итерационный метод (3.1.6) при = p сходится к решению уравнения (3.1.1) и для его скоро сти сходимости справедлива оценка p + c s r(0) + p1 1 v 3.
yy (3.2.10) (1 + 2c0 p )s/ Кроме того, в третьей главе показано, что в случае некоммутативно сти компонент оператора исходной задачи, для сходимости итерационных процессов возникают требования, связанные не только с нижней границей спектра операторов A, A, = 1, p, но и с верхней его границей. Причем эти требования не превышают, а скорее согласуются с требованиями для метода факторизации при коммутативности компонент оператора исход ной задачи. Справедливы:
ТЕОРЕМА 3.2.2 Пусть выполняются условия (3.1.4). Тогда при = p итерационный метод (3.1.6) сходится к решению уравнения (3.1.1) и для его погрешности справедлива оценка p p 1 s (,) 2 1/ s c1/2 r(s) + v A p A =1 = 1/ (c1/2 + 1/2 )q s/2 Q(y), (3.2.14) где A 0 E, = p0.
ТЕОРЕМА 3.2.3 Пусть A E, = 1, p, 0. Тогда итера ционный метод (3.1.6) сходится к решению уравнения (3.1.1) и для его скорости сходимости справедлива оценка s+1 Q( z ) q s+1 Q(z), s = 0, 1,..., где p s+ s+1 s 2 A z 2, Q( z ) = z + p = q = min (1 + 2 p)1, (1 + (1 )1 p2 1 )1, p s s s s z =y y, z =yp z, = = 1, p, z = y y 0, = min, E A, 1p = max, 0 1.
1p Из оценки следует, что оптимальная скорость сходимости в данном случае достигается при выполнении равенства 1 + 2 p = 1 + ( )1 p2 1, т.е. при = ()0.5 p3/2 (2)0.5 (1 )/0.5. Этот результат согласуется с обычным методом переменных направлений и методом фак торизации. Обратим внимание, что в данном случае нет ограничения на количество операторов расщепления и не требуется их коммутативность.
Построены и изучены аддитивные итерационные методы в сочетании с методом конечных элементов для решения стационарных уравнений кон векции-диффузии. Заметим, что метод расщепления в сочетании с мето дом конечных элементов был впервые предложен для двумерных пара болических уравнений. Эта идея получила дальнейшее развитие при раз работке методов решения более широкого класса нестационарных задач.
При построении экономичных разностных схем на основе суммарной ап проксимации (покомпонентного расщепления), когда исходный оператор разбивается на четыре одномерных неотрицательных оператора, возника ют ограничения на коэффициенты исходного уравнения более жесткие, чем условие эллиптичности. Кроме того, при использовании этого мето да возникают, на наш взгляд, существенные трудности, связанные, во первых, с условиями на выбор шагов сетки для обеспечения устойчивости алгоритма, и, во-вторых, с наличием дополнительных требований на кон фигурацию конечного элемента. В данной работе предложен многокомпо нентный вариант метода переменных направлений, который обладает аб солютной устойчивостью при разбиении оператора на произвольное число некоммутативных операторов и относится к методам расщепления полной аппроксимации. На основе данного метода построены экономичные итера ционные алгоритмы решения конечно-элементных разностных схем (коли чество разбиений четыре и шесть), при этом неестественные ограничения, возникающие при использовании метода расщепления, сняты.
В заключении третьей главы приведены примеры вычислительного эксперимента, которые подтверждают результаты теоретических иссле дований, предложенных в диссертационной работе методов. Рассмотрена трехмерная задача Дирихле для уравнения Пуассона в единичном кубе u = f (x), x G, u(x) = g(x), x, (3.5.4) где = 3 x2, G = {0 x 1, = 1,..., 3} единичный куб, =1 граница области G.
Для приближенного решения (3.5.4) использован итерационный ме тод (3.1.6) при = 3 и = 1, 2, 3. Расчеты проводились при заданной точности = 104. Анализировалась зависимость скорости сходимости итераций от пространственных шагов сетки и итерационного параметра.
Вычислительный эксперимент показал:
Минимальное число итераций достигается для значения = 0,025, при этом s0 () 13.
С увеличением количества точек дискретизации N число итераций, необходимых для достижения заданной точности, не возрастает в соот ветствии с оценкой из теоремы 3.2.1.
Вывод из вычислительного эксперимента: скорость сходимости итера ционного многокомпонентного метода переменных направлений (3.1.6) за висит только от нижней границы спектра оператора A и заданной точно сти и не зависит от шага пространственной сетки. Полностью подтверди лись теоретические результаты для случая коммутативности компонент расщепления исходного оператора задачи.С учетом утверждения теоремы 3.2.1 непосредственно следует оценка числа итераций s, необходимых для уменьшения начальной ошибки в 1/ раз, а именно:
2 ln (2c1 /) s s0 () =.
ln (1 + 2p1 ) Сравнение с экономичными методами: скорость сходимости классиче ского метода переменных направлений в двумерном варианте и метода факторизации для случая коммутативных операторов разбиения зависит от шага пространственной дискретизации даже при оптимальном выборе итерационных параметров.
Для случая некоммутативности операторов расщепления вычисли тельный эксперимент показал: скорость сходимости метода зависит от согласования итерационного параметра и шага пространственной сетки.
Ситуация довольно точно предсказана оценкой с теоремы 3.2.2. В правую часть (3.2.14) входит слагаемое 1/2, которое и требует для получения оптимальной скорости сходимости согласования итерационного параметра и шага пространственной сетки. Если сравнивать оценку в теореме 3.2. с классическим двухкомпонентным методом переменных направлений без чебышевских итерационных параметров, то количество итераций в этих методах практически совпадают. Основная потеря точности идет за счет дифференцирования в разности компонент решения, которое можно пред s (,) s p p ставить A r(s) + =1 A ( p =1 v ). Как правило, в экономичных итерационных методах при произвольном расщеплении ис ходного оператора присутствует требование попарной коммутативности компонент оператора исходной задачи и сравнение с ними не представ ляется возможным. Кроме того, проанализировано влияние вычислитель ной погрешности на динамику сходимости векторно-аддитивных итера ционных алгоритмов. Сделаны рекомендации о целесообразности нейтра лизации вычислительной погрешности при значительных отличиях мини мальных и максимальных собственных значений операторов разбиения, a также о выборе решения в данном случае. Согласно результатам числен ных экспериментов, вычислительная погрешность векторно-аддитивного итерационного метода (3.1.6) в двухкомпонентном случае не хуже, чем у классического метода Писмана Рэкфорда.
Четвертая глава посвящена построению и исследованию методов де композиции решения многомерных задач математической физики. В дан ном случае мы имеем дело с расщеплением исходной задачи по подобла стям. На основе многокомпонентных векторных схем расщепления полной аппроксимации разработаны достаточно эффективные методы разбиения области, в том числе со сложной границей, и переход к задачам в подобла стях, форма которых достаточно простая. На основе неявных многоком понентных разностных схем предложены методы декомпозиции области с возможностью относительно независимой реализации алгоритма в каждой из подобластей. Выбор конкретных алгоритмов в подобластях и структура расщепления задачи может зависеть от архитектуры используемых ЭВМ.
Параметры схемы выбираются исходя из условий корректности разност ной задачи в каждой из подобластей, включая условия в граничных узлах между подобластями. Для нестационарных многомерных параболических уравнений второго порядка построены методы, структурно близкие к яв ным, но в отличие от последних, обладающие безусловной устойчивостью.
Изучены итерационные методы декомпозиционного типа для решения ста ционарных задач. В качестве примера рассмотрено решение двумерного уравнения конвекции-диффузии, когда в качестве подобластей выступают отдельные ячейки сетки.
Иллюстрацией применения результатов главы 4 является применение метода декомпозиции из второго параграфа к модельной задаче о двумер ном стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости, описываемом уравнением 2u 2u u u vx1 + v x2 + = f (x1, x2 ), (x1, x2 ), (4.2.4) x1 2 x x1 x2 u(x1, x2 ) = g(x1, x2 ), (x1, x2 ), (4.2.5) где граница квадратной области : 0 x1, x2 1.
Постоянная в уравнении (4.2.4) имеет смысл малого параметра и в зависимости от физической интерпретации задачи выражается соответ ствующими аспектными соотношениями, определяющими критерий подо бия, например, числом Рейнольдса ( = 1/Re) или числом Пекле (Pe) для задачи конвекции-диффузии. Задачу (4.2.4), (4.2.5) можно рассмат ривать как упрощенную модель Навье Стокса в переменных вихрь функция тока для заданного векторного поля скоростей, относительно ко торого требуется выполнение условия неразрывности div v = 0. (4.2.6) К данной модельной задаче применены предложенные безусловно сходя щиеся итерационные методы решения уравнения переноса вихря, осно ванные на методе декомпозиции области из данной диссертации, когда в качестве подобластей разбиения выступают ячейки сетки. При построении численного алгоритма использован симметричный вид уравнения дисси пативного переноса несжимаемой жидкости и соответствующая разност ная схема с центральными разностями для аппроксимации конвективных членов. На примере тестовой задачи конвекции-диффузии пояснены ос новные свойства, характеризующие вычислительные качества построен ного явного итерационного метода. Проанализирована зависимость ско рости сходимости итераций от пространственных шагов сетки, итераци онного параметра и числа Pe. Для стандартных неявных итерационных методов простой итерации и минимальных поправок (разрешающий опе ратор B ) имеет место рост числа итераций, пропорциональный Pe 2, а в вариационных методах GCW пропорциональный Pe. Для предло женного в работе алгоритма число итераций возрастает медленнее, чем при линейной зависимости, и его рост при больших Pe приближенно про порционален Pe1/2. Зависимость числа итераций от величины h можно приближенно оценить как h1. Характерно, что при фиксированном h минимум числа итераций для различных значений Pe достигается в обла сти одних и тех же значений, а величина оптимального итерационного параметра по результатам вычислительного эксперимента пропорцио нальна h. Отметим, что эти решения хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами, и показывают устойчивую работу мето да в областях больших Pe.
В пятой главе многокомпонентное векторное расщепление примене но для алгоритмического разделения сложных задач, которые описывают различные процессы и явления. Здесь мы имеем, так называемый, эконо мичный алгоритм расщепления по физическим процессам. Предложены разностные схемы и итерационные методы для решения системы вязкой несжимаемой жидкости. В качестве базовых выбраны энергетически ней тральные разностные схемы, которые были ранее предложены для урав нений Навье Стокса в работе И.В. Фрязинова. Выбор такого вида схем объясняется возможностью проводить вычисления без постановки допол нительных краевых условий для давления с точным условием примыкания на границе и разностным уравнением неразрывности. Энергетически ней тральные разностные схемы являются неявными алгоритмами с довольно сложной конструкцией, поэтому для их реализации требуется построение экономичных методов, которые сохраняли бы свойства консервативности и полной аппроксимации исходных схем. В частности, для линеаризован ного уравнения Навье Стокса предложены безытерационные методы для нестационарных задач и итерационные аддитивные методы для реше ния стационарных задач. Изучены вопросы устойчивости предложенных методов и сходимости итерационных процессов. Для системы нелинейных уравнений Навье Стокса предложены и изучены аддитивные разност ные схемы, которые, в отличие от работ В.Н. Абрашина, С. Лапко, не требуют итерационных методов для своей реализации. А именно: в пятой главе второго параграфа рассматривается нестационарная задача uk uk P (x, t) (2) (0, T ], (5.2.1) uk + u = + fk (x), t x xk = 0, k = 1, 2, (x, t) (2) (0, T ], div u = 0, (5.2.2) x (2).
uk |ST = 0, ST = (0, T ], uk (x, 0) = k (x), (5.2.3) Пусть Hh вещественное пространство сеточных вектор-функций T y = (y1, y2 ) со скалярным произведением ((y, v)) = (yk, vk ) и нормой k= y = ((y, y))1/2, (y, v) скалярное произведение на сетке h. Аналогично задаются вектор-функции и скалярные произведения на сетке h. На сет ке h, h дифференциальную задачу (5.2.1) (5.2.3) аппроксимируем сле дующей разностной схемой (обозначения взяты из статьи Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье Стокса // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 7. C. 1154 1167):
yk yk h yk + Kk (y, yk ) = qxk + fk, (5.2.8) x h, k = 1, 2, y1x1 + y2x2 = 0, x h, yk = 0, x h, (5.2.9) где qxk = 0, 5h1 {q (0,5,0,5) + h yk = ykx1 x1 + ykx2 x2, k +q (0,5,0,5) q (0,5,0,5) q (0,5,0,5) }, x h (аналогично аппроксимируются в (5.2.9) ykxk на сетке h ), Kk (y, yk ) = K1k (y1, yk ) + K2k (y2, yk ), (0,5), (1), K1k (y1, yk ) = y1 (0, 5(yk + yk ))x1, (0,5),,(1) (1),(1),(1) (1), (1),(1) y1 = (1/8)(y1 + y1 + 2y1 + y1 + 2y1 + y1 ),,(0,5),(1) K2k (y2, yk ) = y2 (0, 5(yk + yk ))x2,,(0,5) (1), (1),(1),(1) (1), (1),(1) y2 = (1/8)(y2 + y2 + 2y2 + 2y2 + y2 + y2 ), y = y i1,i2, y (1),(1) = y i1 1,i2 +1, y,(1) = y i1,i2 +1, y (1), = y i1 +1,i2.
Для решения (5.2.8), (5.2.9) можно использовать неявный итерацион ный метод s+1 s s+1 s s+1 s+ (y y k )/s h y + Kk (y, y k ) + q = fk, (5.2.10) k k xk s+1 s+ k = 1, 2, q +q = 0.
x1 x Аддитивный разностный алгоритм построенный на основе представле ния (5.2.8) будет иметь вид (i) yk y k (i) (i) () + Aik yk Aik yk + Ak yk = f, (5.2.11) = (3) (3) y1x1 + y2x2 = 0, k = 1;
2, i = 1;
2;
3, где (i) (i) (3) (3) (i) Aik yk = ykxi xi + Kk (yi, yk ), A3k yk = qx k, yk = yk 3 i= Уравнение (5.2.11) с соответствующими начальными и граничными условиями решается начиная с i = 3, а затем решаются остальные урав нения. Такая процедура делает реализацию линейной.
ТЕОРЕМА 5.2.1 При = 3 разностная схема (5.2.11) устойчива и для ее решения справедлива оценка 2 2 3 (i) Aik yk 2 yk (0) 2 + yk + i= k=1 k=1 k= 2 (i) 2 + Aik yk (0) + T C max f, 0T i= k= где C 0.
Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность на учному консультанту академику профессору Александру Андреевичу Са марскому за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в научных журналах 1. Жадаева Н. Г. Многокомпонентный вариант метода переменных на правлений для эволюционных задач. I // Дифференц. уравнения.
1992. Т. 28, № 7. С. 1218 1230.
2. Волков В. М., Жадаева Н. Г. Экономичные методы решения гипер болических систем I-го порядка // Дифференц. уравнения. 1994.
Т. 30, № 7. С. 1187 1193.
3. Жадаева Н. Г. Об одном методе разбиения области в нестационарных задачах математической физики // Дифференц. уравнения. 1995.
Т. 31, № 7. С. 1217 1221.
4. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Многокомпонентный метод перемен ных направлений решения стационарных задач математической физи ки. I // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 9. С. 1212 1221.
5. Жадаева Н. Г. Многокомпонентный вариант метода переменных на правлений для эволюционных задач. II // Дифференц. уравнения.
1997. Т. 33, № 7. С. 998 1000.
6. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Многокомпонентный метод перемен ных направлений решения стационарных задач математической физи ки. II // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 9. С. 1211 1219.
7. Жадаева Н. Г. Многокомпонентный метода переменных направлений решения многомерных задач для эллиптических уравнений со смешан ными производными // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 7.
С. 948 957.
8. Жадаева Н. Г., Самарская Е. А. Метод декомпозиции области ре шения сеточных параболических задач // Дифференц. уравнения.
1999. Т. 35, № 2. С. 225 231.
9. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. об одном методе композиции построе ния итерационных алгоритмов решения стационарных задач матема тической физики // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 7.
С. 948 957.
10. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Аддитивные итерационные методы ре шения стационарных задач для уравнений Навье Стокса // Диф ференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 11. С. 1543 1552.
11. Абрашин В. Н., Волков В. М., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Об одном классе разностных методов решения уравнений Навье Стокса // Известия вузов. Матем. 1999. № 1. С. 3 11.
12. Самарский А. А., Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Аддитивные итера ционные методы решения задач математической физики // Доклады РАН. 2000. Т. 373, № 6. С. 734 736.
13. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. О скорости сходимости экономичных итерационных методов для стационарных задач математической фи зики // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 11. С. 1220 1229.
14. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Экономичные итерацион ные схемы реализации метода конечных элементов для стационарных краевых задач математической физики // Известия вузов. Матем.
2000. № 11. С. 3 11.
15. Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Схемы расщепления полной аппрокси мации в методах декомпозиции области // Матем. моделирование.
2000. Т. 12, № 2. С. 35 45.
16. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. О скорости сходимо сти аддитивных итерационных методов // Дифференц. уравнения.
2001. Т. 37, № 7. С. 867 879.
17. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Об одном классе ад дитивных итерационных методов // Дифференц. уравнения. 2001.
Т. 37, № 12. С. 1664 1673.
18. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Экономичные аддитивные разностные схемы для многомерных нелинейных нестационарных задач // Диф ференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 7. С. 907 917.
19. Жадаева Н. Г. Об одном экономичном методе для многомерных урав нений движения и переноса // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 9. С. 1257 1262.
20. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Об аддитивных итерационных методах и оценках их скорости сходимости // Известия вузов. Матем. 2003.
№ 1. С. 3 11.
21. Абрашин В. Н., Волков В. М., Жадаева Н. Г. Вычислительная по грешность векторно-аддитивных итерационных методов // Диффе ренц. уравнения. 2005. Т. 45, № 7. С. 1187 1193.
22. Абрашин В. Н.,Жадаева Н. Г. Об аддитивных методах для уравнений Навье Стокса // Известия вузов. Матем. 2005. № 1. С. 3 9.
23. Абрашина-Жадаева Н. Г., Романова Н. С. Многокомпонентные схе мы векторного расщепления для решения многомерных задач ма тематической физики // Дифф. уравнения. 2006. T.46. № 7.
С. 883 894.
24. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Экономичные итерацион ные алгоритмы решения стационарных задач математической физики // Lietuvos matem. Rinkinys. 2000. Т.40, № 4. С. 387 403.
25. Abrashin V. N., Ciegis R., Pakeniene V., Zhadaeva N. G. Stabilitu analysis of Seidel type multicomponent iterative method // Mathemat ical modelling and analysis.— 2002.— V. 7, № 1. С. 1-10.
26. Abrashina-Zhadaeva N. G., Romanova N. S. A splitting type algorithm for numerical solution of PDEs of fractional order // Mathematical Mod elling and analysis.— 2007.— V. 12, № 4. P. 399 408.
Статьи в сборниках трудов конференций 27. Abrashina-Zhadaeva N. G., Romanova N. S. Numerical decomposition method for the two-dimensional fractional diusion equation // Матер.
междунар. конф. Теория функций и вычислительные методы, Аста на, 5–9 июня 2007 / ЕНУ им. Л.И. Гумилева, 2007. С. 14 16.
28. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Разностные схемы для задач мате матической физики в областях произвольной формы // Дифференц.
уравнения и их применение. Вильнюс, 1988. Вып. 43. С. 22 30.
29. Abrashin V. N., Zhadaeva N. G. Multicomponent method of variable directions for solution of multidimensional non-stationary problems of mathematical physics // Mathematical Modelling and Applied Math ematics: Proc. of Intern. IMACS Conf., Moscow, June 18–23, 1990.— P. 113—114.
30. Абрашин В. Н., Дзюба И. В., Жадаева Н. Г. О решении задач матема тической физики многокомпонентным методом переменных направле ний // Дифференц. уравнения и их применение. Вильнюс, 1991.
Вып. 46. С. 18 24.
31. Abrashin V. N., Zhadaeva N. G. Multicomponent alternating direction method for solving problems of mathematical physics // Second In tern. Conf. “Finite-dierence methods: Theory and application”, Minsk, 1998.— V. 1.— P. 12—20.
32. Жадаева Н. Г. О решении стационарных задач со смешанными про изводными многокомпонентным методом переменных направлений // Второй Всероссийский семинар Теория сеточных методов для нели нейных краевых задач. Материалы докл. (Казань, 18–21 сент. 1998 г.) / Казан. мат. об-во. УНИПРЕСС. Казань, 1998. С. 28 30.
Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г., Самарская Е. А. Ите 33.
рационный многокомпонентный метод переменных направлений реше ния стационарных задач математической физики. // Труды института математики НАН Беларуси. 1999. Т. 3. С. 99 105.
Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Additive iterative meth 34.
ods and convergence rate estimates // Труды института математики НАН Беларуси. 2002. Т. 11. С. 13 21.
Абрашин В. Н., Волков В. М., Жадаева Н. Г. Аддитивный разностный 35.
метод для системы нестационарных уравнений Навье Стокса в обоб щенных криволинейных координатах. // 5-й Всероссийский семинар, посвященный 200-летию Казанского университета. Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы докл. (Казань, 18–21 сент. 2004 г.). / Казан. госуниверситет. Казань, 2004. С. 4 7.
Жадаева Н. Г. Многокомпонентные схемы расщепления для нелиней 36.
ных многомерных задач математической физики. // 6-й Всероссий ский семинар. Сеточные методы и их приложения. Материалы докл.
(Казань, 1–3 окт. 2005 г.) / Казан. госуниверситет. Казань, 2005.
С. 11 14.
Тезисы докладов на конференциях Жадаева Н. Г. Один вариант метода переменных направлений для 37.
уравнений параболического типа // Тез. докл. Междунар. матем.
конф. Теория приближения и задачи вычислительной математики.
Днепропетровск, 26–28 мая 1993. С. 18 19.
Жадаева Н. Г. О распараллеливании вычислений при решении мно 38.
гомерных задач // Тез. докл. Междунар. матем. конф., Проблемы математики и информатики, 1994 в II ч. / Гомельский гос. универси тет. Гомель, 1994. Ч. 2. С. 48 49.
39. Abrashin V. N., Zhadaeva N. G. Multicomponent alternating direc tion method for solving problems of mathematical physics // Proc. of Second Intern. Conf. “Finite-dierence methods: theory and applica tion” (CFDM98) / NAN of Belarus, Institute of mathematics.— Minsk, 1998.— V. 1.— P. 12.
Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Итерационные методы разделения пе 40.
ременных для стационарных задач математической физики // Еру гинские чтения VI : Тез. докл. Межд. мат. конф., Гомель, 1999 г. / Гомельский гос. университет. Гомель, 1999. Ч. 2. С. 18 19.
Самарский А. А., Жадаева Н. Г. Экономичные итерационные методы 41.
решения стационарных задач математической физики // Тез. докл. Белорусской матем. конф. Минск, 2000. Ч. 3. С. 36.
Жадаева Н. Г. Об одном методе решения уравнений Навье Стокса 42.
// Еругинские чтения IX : Тез. докл. Междунар. матем. конф., Ви тебск, 2003 г. / Витебский гос. университет. Витебск, 2003. Ч. 2.
С. 18 19.
43. Abrashin V. N., Zhadaeva N. G. Additive methods for solution of non linear problems of mathematical physics // Mathematical Modelling Analysis Abstracts of the 8th Intern. Conf. MMA 2003, Trakai.— P. 3.
Жадаева Н. Г., Романова Н. С. О векторной аддитивной модели для 44.
параболических уравнений со смешанными производными // Совре менные методы теории краевых задач: Матер. Воронежской весенней матем. школы Понтрягинские чтения XVI. В честь 100-летия ака демика С.М. Никольского, Воронеж, 3–9 мая 2005 г. / ВГУ, 2005.
С. 58.
Абрашина-Жадаева Н.Г., Волков В.М. Расщепление по подобластям в 45.
методах решения многомерных задач математической физики // Со временные проблемы прикладной математики и математического мо делирования. Междунар. научн. конф., Воронеж, 12–17 декабря 2005 г.
/ ВГУ, 2005. С. 18.
46. Volkov V. M., Zhadaeva N. G. A computing error of parallel vector additive iterative methods // Mathematical Modelling Analysis Ab stracts of the 10th Intern. Conference, Trakai, June 1–5, 2005.— Pt. 3.— P. 150.
Абрашина-Жадаева Н. Г., Романова Н. С. К вопросу моделирования 47.
смешанной задачи для многомерных уравнений системой однотипных задач // AMADE-2006: Тез. докл. Междунар. матем. конф. Анали тические методы анализа и дифференциальных уравнений, Минск, 13–19 сентября 2006 г. Минск, 2006. C. 11.
48. Abrashina-Zhadaeva N. G., Romanova N. S. On convergence of additive iterative methods for stationary problems of mathematical physics // Тез. докл. междунар. конф. Тихонов и современная матем., Москва, 19–25 июня, 2006 г. / МГУ, 2006. С. 10 11.
49. Abrashina-Zhadaeva N. G., Romanova N. S. Decomposition methods for multi-dimensional fractional partial dierential equations // Abstracts of 12-Intern. conf. “Mathematical modeling and analysis”.— 2007.— P. 3.
50. Абрашина-Жадаева Н. Г., Романова Н. С. Гибридный метод для 2D уравнений диффузии дробного порядка // Актуальные проблемы ма тематики и компьютерного моделирования: Сб. науч. тр. Гродно, ГрГУ, 2007. С. 164 167.