Теоретико-конструктивные основы моделирования нечетких множеств в инженерной геометрии и их применение

На правах рукописи

ЛУКИНА ОЛЬГА ВИКТОРОВНА ТЕОРЕТИКО-КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ В ИНЖЕНЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ Специальность 05.01.01 – Инженерная геометрия и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Омск 2006 2

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омском государственном институте сервиса»

Научный консультант: доктор технических наук, доцент Юрков Виктор Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат.наук, профессор Гуц Александр Константинович кандидат техн. наук, доцент Панчук Константин Леонидович

Ведущая организация: Тюменский государственный нефтегазовый университет

Защита диссертации состоится 17 ноября 2006 года в 16 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.250.03 при Государственном образователь ном учреждении высшего профессионального образования «Сибирская госу дарственная автомобильно-дорожная академия» по адресу: 644080, г. Омск, пр.

Мира, 5, зал заседаний

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образова тельного учреждения высшего профессионального образования «Сибирская го сударственная автомобильно-дорожная академия» по адресу: 644080, г. Омск, пр. Мира, 5.

Автореферат разослан 17 октября 2006 г.

Ученый секретарь регионального диссертационного совета Юрков В. Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Моделирование сложных систем часто связано с необходимостью учета нечетко заданных параметров или неточной технологи ческой информации, возникающей вследствие разного рода причин, поэтому точный количественный анализ, вносящий определенность туда, где ее в дейст вительности не существует, для реальных слабоформализованных систем не имеет практического значения.

Существуют различные методы обращения с неточно известными величи нами. При задании для элементов множества соответствующей степени при надлежности к этому множеству применяют теорию нечетких множеств, кото рая впервые была предложена американским математиком Лотфи Заде в 1965 г.

В настоящее время теория активно развивается, формируются новые научные понятия, ее прикладные направления. Отмечается тенденция к объединению в общую теорию анализа неопределенностей, где операции с нечеткими множе ствами являются одними из основных.

Наиболее значимыми из работ в области развития теории нечетких мно жеств считаются публикации Л. Заде, Д. Дюбуа, Е. Мамдани, А. Прада, М. Су гено, Б. Коско, А. Кофмана, Дж. Клира, Ч. Карра, О. Кордона, Т. Фукуда, Ф.

Херреры, Р. Ягера, Р. Янга. Следует отметить большой вклад в развитие науки отечественных ученых: А. Н. Аверкина, А. Н. Борисова, И. З. Батыршина, В. В.

Круглова, А. В. Леоненкова, А. О. Недосекина, А. И. Орлова, С. А. Орловского, В. В. Подиновского, Д. А. Поспелова, А. П. Рыжова, Н. Г. Ярушкиной.

Теория нечетких множеств – перспективное направление в науке. Однако недостаточно изучена ее графическая (синтетическая, конструктивная) реали зация, адекватная четким конструктивным построениям и аналитическим вы ражениям, описывающая нечеткие объекты: фигуры, условия, преобразования;

слабоформализованные отношения между объектами.

В настоящее время не существует общепризнанной теории геометрической ин терпретации нечетких множеств: изображений нечетких точек, прямых, пространств, функций, а также способов решения метрических и позиционных задач, конструк тивных методов решения прикладных алгоритмов и т.д. Поэтому актуальным явля ется исследование конструктивных свойств тех геометрических образов, которые могут быть сопоставлены с нечеткими множествами, поскольку нечеткая геометри ческая модель, основанная на нечетких образах, позволяет получить приближенные к реальности изображения объектов, исследовать геометрические параметры объек та, а операции с геометрическими объектами являются более наглядными и пред ставляют самостоятельный метод для решения прикладных задач.

Объект исследования – геометрические средства, методы и образы, кото рые могут использоваться в задачах геометрического моделирования систем и объектов с нечетко определенными параметрами.

Цель диссертационной работы – исследование геометрических образов, наиболее полно удовлетворяющих требованиям учета нечеткой информации, разработка алгоритмического и методического обеспечения, определяющего условия их применения в задачах инженерной геометрии.

В соответствии с целью были поставлены следующие научные и практиче ские задачи:

- обосновать необходимость развития теории изображения нечетких гео метрических множеств (НГМ);

- разработать методы изображения НГМ на плоскости и показать сущест вование их аналитических моделей;

- доказать применимость нечетких геометрических образов для решения задач геометрического моделирования систем с нечетко определенными параметрами;

- разработать алгоритмы, программные решения и методическое обеспече ние для решения ряда прикладных задач этого класса.

Методы исследования: начертательной, аналитической и вычислительной геометрии;

теории интервального анализа и интервальных вычислений;

теории нечетких множеств и нечеткой логики;

классических способов геометрических построений и компьютерной визуализации.

Научная новизна работы:

- предложена конструктивно-геометрическая интерпретация интервальных и нечетких множеств геометрических объектов в евклидовом пространстве;

- дана конструктивно-геометрическая интерпретация понятий «нечеткий объект», «нечеткое преобразование», «нечеткое условие»;

- предложены алгоритмы решения метрических и позиционных задач евклидо вой геометрии в условиях нечеткой информации и нечетких исходных данных;

- разработаны алгоритмы построения статических аналитических моде лей многопараметрических систем при нечеткой исходной информации.

Практическая значимость работы заключается в разработке алгоритмическо го, методического и программного обеспечения, реализующего аналитические и кон структивные методы моделирования нечетких геометрических множеств, в частности:

- разработан геометрический модуль оценки качества нечетко определен ных объектов при помощи нечеткой рейтинговой системы, создано программ ное обеспечение геометрического модуля;

- предложены методы развития и оценки визуального мышления, адапти рованные к современным интеллектуальным автоматизированным системам обучения;

разработан алгоритм реализации;

- разработана методика анализа геометрических параметров поверхностей катания вагонных колесных пар, алгоритм построения их геометрических мо делей и методика принятия решения об их качестве.

Основные положения, выносимые на защиту:

- методы моделирования нечетких геометрических объектов, условий, пре образований евклидовой плоскости;

- алгоритмы построения моделей систем при нечеткой исходной информации;

- нечеткий классификатор как метод оценки качества при помощи нечеткой рей тинговой системы с применением метода разнесенных плоскостей и осей проекций;

- методика геометрического моделирования поверхностей катания вагон ных колесных пар;

- методика развития и оценки визуального мышления в интеллектуальных автоматизированных системах обучения.

Внедрение результатов работы. Результаты работы используются:

- в учебном процессе ОГИС для рейтинговой системы оценки качества ус пешности обучения по дисциплинам «Информационные технологии в социаль но-культурном сервисе и туризме. Оргтехника» и «Оборудование гостиничных комплексов и техника безопасности их эксплуатации» на кафедре «Социально культурный сервис и туризм»;

- в учебном процессе СибАДИ и в научной работе на кафедре «Начерта тельная геометрия, инженерная и машинная графика» для создания автомати зированной обучающей системы развития и оценки визуального мышления;

- в ОмГУПС результаты диссертации приняты для использования в науч ных и учебных целях на кафедре «Вагоны и вагонное хозяйство» при диагно стировании геометрических параметров колесных пар подвижного состава;

- в НИИ ТКД (научно-исследовательский институт технического контроля и диагностики) «ТРАНСПОРТ» АО РЖД для научной работы по созданию ав томатизированной системы контроля нарушений геометрических параметров колесных пар в процессе эксплуатации.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы представлялись на международных конференциях: «Актуальные пробле мы подготовки специалистов для сферы сервиса» (Омск, ОГИС, 2003), «Пробле мы совершенствования качественной подготовки специалистов высшей квалифи кации» (Омск, ОГИС, 2004 г.), «Современные тенденции и перспективы развития образования в высшей школе» (Омск, ОГИС, 2005), III международного техноло гического конгресса «Военная техника, вооружение и технологии двойного при менения» (Омск, ОмГУ, 2005);

на Международной научно-практической конфе ренции «Туризм: подготовка кадров, проблемы и перспективы развития» (Москва, 2006);

Украино-российской научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (Харьков, 2005), а также на ежегод ных межвузовских научно-практических конференциях студентов и аспирантов «Молодежь, наука, творчество» (2002-2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 пе чатных работах [1 – 12].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введе ния, трех глав и заключения, изложенных на 218 страницах машинописного текста, и включает в себя 106 рисунков, 8 приложений. Библиографический список содержит 152 наименования.

Автор выражает искреннюю благодарность проректору по УР ОГИС, заве дующему кафедрой социально-культурного сервиса и туризма, к.п.н., профес сору Гулиеву Новрузу Амирхановичу за систематические консультации и ока занную помощь в подготовке диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и зада чи исследования, отмечена научная новизна и практическая значимость резуль татов работы, кратко описывается структура диссертации.

Первая глава посвящена исследованиям геометрических моделей нечетких образов. Проведен анализ способов геометрических интерпретаций нечетких множеств, и выявлено, что в настоящее время нет общепризнанной геометрии не четких множеств: изображений нечетких точек, прямых, пространств, функций, а также способов решения метрических и позиционных задач, геометрических при кладных алгоритмов в вычислительной геометрии.

Выполнены следующие исследования:

1) Проведен сравнительный анализ изображения основных объектов про странства классической и интервальной геометрии, описаны отличия нечетких геометрических объектов от классических и интервальных. Показано, что не четкая геометрия есть обобщение интервальной геометрии, которая, в свою очередь, является обобщением классической геометрии.

2) Исследованы конструктивные и аналитические задания нечетких линейных образов. Показано, что следует различать нечеткое лингвистическое описание (НЛО) и нечеткое лингвистическое задание (НЛЗ) нечетких геометрических образов. НЛО можно рассматривать как соответствие между множеством геометрических терминов и областью рассуждений. Это соответствие связывает с каждым термином и каждым элементом области рассуждений степень принадлежности, которая характеризует применимость термина к рассуждению. Нечеткое лингвистическое задание (НЛЗ) геометрического объекта есть снабженное смыслом множество нечетких геометриче ских условий, выделяющее из множества объектов нечеткое подмножество. Напри мер, НЛО «нечеткая точка» могут соответствовать различные НЛЗ (рисунок 1).

На рисунке 1 изображены нечеткие точки двумерного континуума (для n=2):

~~ ~ А ( х1 – «около х1 а »;

~2 – «около х 2 а ») – первого типа (прямоугольная);

В («около х ~ х1b, х2b » – второго типа (круговая);

С (С1 ( х1с1, х2с1 ) ;

С2 ( х1с 2, х2с 2 ) ;

С3 ( х1с 3, х2с 3 ) ) С ( х1с, х2с ) 1) – третьего типа (с областью толерантности). Значение функции при надлежности, равное единице, существует только в одной точке подмножества, называемой ядром нечеткой точки. Для упрощения вычислений и изображений использованы треугольные функции принадлежности (рисунок 2).

Нечеткая прямая представляет собой либо множество точек, либо множе ство линий, каждой из которых приписано значение функции принадлежности.

Предлагается различать НЛЗ трех типов нечетких прямых.

~ Нечеткая прямая первого типа 1 L – нечеткое множество четких прямых, опре ~ ~~~ деленное двумя нечеткими точками А и В, А В, как геометрическими местами одноточечных множеств, через которые могут пройти точные прямые (рисунок 3).

Рис. 2 – Упрощенное изображение Рис. 1 – Изображение нечетких точек нечеткой точки первого типа двумерного континуума двумерного континуума ~ 1L Рис. 3 – Нечеткая прямая первого типа ~ ~~ 1L = 1L лин 1Lпер.

Тогда ~ ~ ~ ~ ~ 1L лин= а лин х bлин, где алин (алин1, алин2 )0 (алин.ср )1, bлин (bлин1, bлин2 )0 (bлин.ср )1, y1= а лин1 x+ bлин1 ;

y2= а лин2 х+ bлин 2.

~ ~ ~ ~ ~ 1L пер= апер х bпер, где апер (апер 3, апер 4 )0 (апер.ср )1, bпер (bпер3, bпер 4 )0 (bпер.ср )1, y3= апер3 x+ bпер3 ;

y4= апер 4 х+ bпер 4.

Ядром нечеткой прямой называется четкая прямая, проходящая через ядра нечетких точек, определяющих эту прямую.

~ Также в работе рассмотрен случай, когда нечеткая прямая задается не ~ ~ четкой точкой А и нечетким направлением, под которым понимается нечет кий угол с осью ОХ. Изображены частные случаи, когда одно из заданий – чет кое (либо направление, либо точка, либо одна из координат нечеткой точки).

~ Нечеткая прямая второго типа 2 L – множество нечетких точек, через кото рые можно провести хотя бы одну четкую прямую (рисунок 4).

~ Нечеткая прямая третьего типа 3 L – непрерывное множество четких точек, расстояние от каждой из которой до некоторой четкой прямой не пре вышает понятия «около» (рисунок 5).

Аналитическое описание всех типов прямых, несмотря на их различные НЛЗ, можно задать некоторым набором четко заданных прямых с применением - уров него метода описания нечетких множеств: границами их области толерантности с уровнем, равным нулю, и ядром – четкой прямой с -уровнем, равным единице.

~ H ~ ~ 2L 3L Рис. 4 – Нечеткая прямая второго типа Рис. 5 – Нечеткая прямая третьего типа В качестве иллюстрации определения положения нечетких прямых в евк лидовом пространстве предлагается графоаналитическое решение системы не ~~ ~ четких уравнений, где изучается область пересечения прямых a, b и c.

3) Дана интерпретация нечетких геометрических условий. Нечеткие условия можно разделить на условия полной и неполной инцидентности, аффинные усло вия, условия метрические, дифференциальные. Нечеткие условия можно опреде лить при помощи соответствующей функции, которая принимает значение, равное единице, в случае выполнения данного условия;

значение, равное нулю, при его невыполнении и с некоторой степенью принадлежности при частичном выпол нении. Приведем несколько примеров, рассмотренных в работе.

~ ~~ ~~ ~ Так, А Вк, если Вк ( А) 0. А Вк, если А А, Вк ( А) 0. То есть А Вк, ~ ~ ~~~~ ( А) 0 А А. С А В, ~ ( хi ) min{ ~ ( xi ), ~ ( xi )}, (xi X i ) где если ~ Вк С A B ~~ ~ ~~~ i=1,n. А В С … 0, АВС ( А, В, С) min{ А (х1),В ( х1) С (х1)} min{ А (х2),В (х2),С (х2)} ~ ~ ~ ~ ~ ~ х1 X 1, х2 X 2.

Рассмотрены случаи параллельности для всех типов нечетких прямых, а также нечеткая параллельность для четких прямых. Например, четкие прямые а и b «почти параллельны», если угол допустимого наклона прямых друг относи ~ тельно друга // не превышает значения «около» с носителем нечеткого множе ~ ства supp // ={[ доп.н ;

доп.в. ];

// 0}, зависящего от точности конкретной задачи.

~ «Почти параллельность» имеет формализацию «небольшой угол наклона» в ви ~ де нечеткого множества //, где функция принадлежности:

1, при х=0;

х доп.н.

, при доп.н. х 0;

// ( х ) доп.н ~ доп.в. х, при 0 х доп.н.

доп.в.

Две указанные прямые А1 х В1 у С1 0 ;

А2 х В2 у С2 0 будут почти парал лельны, если коэффициенты при х и у будут почти пропорциональны, т.е. сущест вуют числа р1 и р 2, р1 р 2, такие, что А2 р1 А1, В2 р2 В1, С2 р1С1 р2С1. Можно сказать, что если р1 = р 2 =р, то А2 р1 А1, В2 р2 В1, С2 рС1. Если прямые заданы уравнениями: у1 k1 x a1;

y 2 k 2 x a2, то они примерно параллельны при k1 k2.

~ Параллельные нечеткие прямые первого типа 1 L – это такие прямые, ка ждая четкая прямая одной из которых параллельна соответственной четкой прямой другой нечеткой прямой (рисунок 6). Данные прямые должны быть об разованы подобными нечеткими точками.

~ Рис. 6 – Параллельные нечеткие прямые первого типа 1L Сформулировано условие «почти перпендикулярности» прямых. Если да ны две прямые у k1 x a1 и у k 2 x a 2, то они будут примерно перпендикуляр ны, если k1 k 2 «около – 1» с функцией принадлежности 0 1. Рассмотрена задача о построении взаимно «примерно» перпендикулярных прямых конст ~ ~~ ~ руктивно (рисунок 7). а, а b b b а b, а b = bb. a, b, если ~ ~ ~ ~ а( a a ) b( bb ) и = b b [0,1] a b.

~ ~ ~ ~ a a Условия нечеткого касания рассмотрены на примере касания прямой с окружно стью, с вариантами четкости и нечеткости как прямой, так и окружности (рисунок 8).

~ Рис. 8 – Касание нечеткой прямой Рис. 7 – Построение почти нечеткой окружности (О, ~ ) перпендикулярных линий r 4) Исследованы нечеткие преобразования плоскости, такие, как поворот, перенос, симметрия (осевая и центральная), гомотетия и подобие. Показано, что их нечеткость также необходимо рассматривать с точки зрения их НЛЗ.

На примерах решены задачи на преобразования. Так, для нечеткого переноса выясняется, в какой степени два множества точек { Ai } { Ai}, i=1,k можно считать соответственными в переносе и в какой степени их можно считать соответствен ными в заданном переносе (рисунок 9). Вычисляя u i xi xi, vi y i y i, получим множество точек ( u i, vi ). Построив по координатам u max, umin, vmax, vmin прямоуголь ник, найдем интервальную точку ( u, v ). Вычислив центр тяжести ( uТ, vТ ) множест ва точек ( u i, vi ) и придав ему значение функции принадлежности =1, получим не четкую точку ( u, v ) с координатами R-L- типа. Итак, множества Аi и Аi являются ~~ примерно соответственными в переносе с коэффициентами нечеткости:

uн uТ umin, uв umax uТ, vн vТ vmin, vв vmax vТ. Если ( u *, ~ * ) – заранее задан ~v ный нечеткий перенос, то степень соответствия построенного переноса и заданного определяется заштрихованными областями функции принадлежности.

Для более сложных преобразований, таких, как нечеткая осевая симметрия (рисунок 10), можно выделить нечеткие данные и нечеткие условия.

Рис. 9 – Нечеткий перенос Рис. 10 – Нечеткая ось, нечеткое расстояние, нечеткий перпендикуляр для осевой симметрии Нечеткий поворот плоскости рассматривается для следующих вариантов:

поворот относительно нечеткой точки на четкий угол;

поворот относительно четкого центра на нечеткий угол;

поворот относительно нечеткого центра на нечеткий угол. На рисунке 11 изображен поворот относительно нечеткого цен ~ тра О на угол 300 и 900. Образом точки А при повороте на 300 является нечет ~ ~ кая точка А, а при повороте на 900 – нечеткая точка А.

~ ~ Нечеткой гомотетией с центром О и коэффициентом k называется преобразо ~ вание плоскости, которое каждую точку А отображает в такую точку A, что ~ ~ O A k OA для каждой точки О O и каждого k k. Рассматриваются три случая го ~ мотетии: гомотетия с четким центром О и нечетким k ;

гомотетия с нечетким цен ~ ~ ~ тром О и четким k ;

гомотетия с нечетким центром О и нечетким k (рисунок 12).

5) Выделены общие принципы построения и формализации нечетких геомет рических образов, которые демонстрируют универсальность алгоритмов для реше ния отдельных задач. В решении конструктивных задач нечеткой геометрии отме чается следующая особенность: нечеткая геометрия есть обобщение интервальной геометрии, которая, в свою очередь, является обобщением классической геометрии.

Любая конструктивная геометрическая задача интервальной геометрии сводится к решению конечного числа задач классической геометрии. Любая конструктивная задача нечеткой геометрии сводится к трем основным процедурам:

- построение адекватных графиков функций принадлежности для всех гео метрических образов данной задачи;

- решение конечного числа задач классической геометрии, приводящих к реше нию задачи интервальной геометрии, то есть к определению области толерантности;

- реализация заранее определенных процедур определения значения функ ции принадлежности для решения задачи нечеткой геометрии.

Задача формализации применительно к геометрии нечетких образов может быть поставлена в виде четырех определенных подзадач:

- формализация лингвистических переменных, характеризующих нечеткие отношения, условия и образы;

- описание геометрического образа в виде совокупности исходных данных (чисел, отношений, более простых образов и т.д.);

- определение класса математических средств, пригодных для обработки описанного геометрического образа;

- описание нечеткого результата как совокупности четких результатов с функцией принадлежности.

~ ~ Рис.12 – Гомотетия с нечетким центром О и нечетким k Рис. 11 – Нечеткий поворот Во второй главе рассматриваются некоторые общие задачи с нечеткими геометрическими образами, для которых использованы принципы построения и формализации, разработанные в первой главе.

1. Задача установления нечеткой мате матической модели, которая не противо речит экспериментальным данным. Про ведено m x n экспериментов по следующей схеме: для каждого xi, i=1,…,m, получены значения { yij }, j=1,…,n (рисунок 13, группа 1). Очевидно, что модель может быть ли нейной: у=ах+b. Предположим, что для оценки параметров а и b были использова ны следующие способы: метод наимень ших квадратов, выбор средних точек, выбор крайних точек и пр. Для решения за Рис. 13 – Нечеткая модель с внешним дачи установления математической модели дополнением должны рассматриваться все возможные варианты прохождения прямых по экспериментальным точкам, поэтому применя ется аппроксимация нечеткой прямой первого типа, состоящей из множества чет ких прямых. Такой подход особенно важен для соблюдения принципа внешнего дополнения (рисунок 13, группа 2). Если модель сформирована как нечеткая:

~ ~ а х b, где [a, a ] f (a), 0 1, b [b, b ] (b), 0 1, у~ a min max a min max b то принцип свободы выбора сохраняется, что позволяет впоследствии уточнить модель – уменьшить параметры ее нечеткости.

2. Интерполяция нечетких лингвистических данных. В моделях с некоторой не определенностью и зависимостями между переменными, описанными с помощью таблицы, которую словесно можно представить в виде набора высказываний типа «ес ли А, то В», где А и В – символы нечетких множеств, представляющих собой значе ния переменных х и у, бывает необходимо вывести определенную аналитическую за висимость между ними, и возникает проблема: как для любого нечеткого подмноже ства хХ определить нечеткое подмножество уУ.

В общем виде задача одномерной нечеткой интерполяции заключается в поиске нечеткой функции вида ~ ап ~ п ап 1~ п 1... а1~ а0. Пусть у ~х ~х ~х ~ ~ ( у, у, у ) ;

а (а, а, а ), i=1,n ~ у i i,н i i,в н в ун ап, н х п ап 1, н х п 1... а1, н х а0, н - нижняя граница, у ап х п ап 1 х п 1... а1х а0 - ядро, ув аn, в х п ап 1, в х п 1... а1, в х а0, в - верхняя граница.

Запись функции по -уровням:

( ун, ув )0 ( у )1=(( ап,н, аn,в )0 ( ап )1 ) х п +(( ап1,н, ап1,в )0 ( ап 1 )1 ) х п 1 +… + (( а1,н, а1,в )0 ( а1 )1)х+( а0, н, а0,в )0 а0.

Поэтому фактически задача нечеткой интерполяции (с применением тре угольных функций принадлежности) заключается в нахождении функций границ и ядра. В работе приведены примеры нечеткой интерполяции (n 2), при которой число заданных нечетких точек не превышает трех. На интервале [x1,x3] решение ищется в виде: ув(х)= у(х)+ в (х), ун(х)= у(х)- н (х), где в (х), н (х) - любые функции с областью определения ]-, [, областью значений [0, [.

Рис. 14 – Задача интерполяции с одномерными нечеткими точками вида:

а) (х;

«не слишком больше у»);

б) (х, «не слишком больше у») и (х, «не слишком меньше у»);

в) («не слишком больше (меньше) х, у»);

г) («не слишком больше х»,у) и («не слишком меньше х»,у);

д) («не слишком больше (меньше) х», у) и (х, «не слишком больше (меньше) у») Предложена классификация задач нечеткой интерполяции, сформированная по признаку зависимости от типов и смыслового назначения нечетких точек (гео метрическое место возможного прохождения кривой или же нечеткая точка фор мализует понятие некоторого ограничения: заданы такие значения нечеткого па раметра ~, которые не следу y ет превышать на области оп ределения ~ ), а также от ви x да предполагаемой функции для интерполяции: ступенча тая, линейная, квадратичная.

Некоторые примеры даны на рисунке 14.

3. Задача нечеткой клас сификации (рисунок 15).

Для визуализации мно гомерной нечеткой класси фикации предлагается на глядная графическая модель многомерного пространства, основанная на методе разне Рис. 15 – Пример применения метода разнесенных плоскостей и осей проекций для пятимерной нечеткой классификации сенных плоскостей проек ций, где каждая плоскость является двумерным континуумом по двум парамет рам, а функции принадлежности каждого параметра спроецированы на плос кость, параллельную плоскости параметров в виде нечетких точек первого типа.

4. Применение нечетких точек разных типов для решения задач. Рассмот рено несколько задач, в которых указывается, что следует учитывать особенно сти форм нечетких точек для решения задач.

В третьей главе рассмотрены конкретные примеры применения нечетких геометрических образов в решении прикладных задач с использованием теоре тических и конструктивных основ моделирования нечетких множеств, разрабо танных в первой и второй главах.

1. Рейтинговая оценка качества знаний студентов с применением нечеткой классификации методом разнесенных плоскостей проекций (рисунок 16). Рейтин говая система с применением ТНМ позволяет оценивать качество знаний студента с учетом нечеткости качественных характеристик, что приводит к более адекватным реальному соот ветствию объекта результатам. Для перевода шкал результатов измерения необходимо пред ставить классические оценки в виде нечетких множеств с нечеткими границами на универсу ме X. В качестве носителей множеств исполь зуются заданные экспертами интервалы. Затем фаззифицируются результаты измерений, полу чив оценки по разным параметрам с некоторы ми значениями функции принадлежности к не четким множествам привычных оценок. В ре зультате получаются одноточечные нечеткие множества. Для дальнейшей обработки полу ченной информации предлагается использовать метод центра тяжести для одноточечных нечет ких множеств, применяяемый для дефаззифика ции лингвистической переменной «оценка»:

n x (x ) Рис. 16 – Изображение плоско- i i сти проекций нечетких оценок i y ' n (x ) i i где n – число одноточечных нечетких множеств.

Таким образом образуется количественная оценка. Разработана программа с применением нечеткого геометрического моделирования FuzzyRating, позволяющая наглядно оценить качество объекта (рисунок 17).

В данном случае оценивается успешность обучения студентов с помощью мно гомерной рейтинговой системы. Качественные оценки представляют собой нечеткие точки, и показаны следующие их обозначения: А j ( x i ), где А – оценка («1», «2», j «3», «4», «5»), j=1,5;

( x i ) - значение функции принадлежности в точке ( x ), i=1,n, i где n – максимально возможное количество баллов. Создан удобный пользователь ский интерфейс, и данное программное средство может применяться также для дру гих целей при оценке качества объектов в качестве экспертной системы.

Рис. 17 – Ввод данных по группе и расчет оценок 2. Формирование геометрической модели поверхности катания вагонной колесной пары. На основе понятий нечеткой геометрии разработана методика формирования геометрической модели поверхности катания колесной пары с нарушениями в процессе эксплуатации ее геометрических параметров, которые имеют сложные формы и харак тер движения и могут быть представлены в виде нечетких геометрических образов.

Показан пример применения математической модели поверхности катания ко леса для контроля нарушений геометрических параметров колес (рисунок 18). При диагностике нарушений геометрических параметров колесных пар следует учиты вать самое неблагоприятное положение колес друг относительно друга (рисунок 19). В основе моделирования лежит задача о приближении точек плоскости кривой 2-го порядка, а именно эллипсом. Уравнение эллипса в общем виде:

а а1 х 2 а2 ху а3 у 2 а4 х а5 у а6 0, а1а 0. Функция отклонения точки Аi( хi, уi) от эллипса может быть представлена в виде i a1 x 2i a2 xi yi a3 yi2 a4 xi a5 y a6. Ис комый эллипс может быть найден из условия минимума суммы квадратов i. Постро ив таким образом эллипсы для нескольких выбранных сечений поверхности катания колеса (сечения перпендикулярны оси вращения), вычислив для них центры, направ ления главных диаметров и длины осей, получим модель всей поверхности в виде не четкого эллипса. О1 О2... О р – примерный центр О поверхности катания в про екции на плоскость, перпендикулярную оси вращения;

k1 k 2... k p – примерное k направление главного диаметра поверхности катания;

k1 k 2... k p – примерное на правление k сопряженного главного диаметра поверхности катания. Можно выде лить область минимальной площади, включающую все точки Оi, i=1,…р, и считать эту ~ ~ область нечетким центром колеса – нечеткой точкой О. Ядро О находим как центр тяжести всех Оj. Точно так же можно найти ki, min, ki, max, ki, min, ki, max и считать их угло ~ ~ выми нечеткими коэффициентами k k min, k cp, k max, k kmin, kcp, kmax, а сами на правления – нечеткими прямыми главных диаметров. Длины главных диаметров j и j. Сравнив экспериментальную модель с идеальной нечеткой моделью, можно де лать вывод о возможности дальнейшей эксплуатации колеса. Важным параметром контроля считается разность диаметров колес. Разницу диаметров можно представить в различных видах нечеткости (рисунок 20).

Рис. 18 – Модель поверхности катания колеса Рис. 19 – Самое неблагоприятное положение колес друг относительно друга в колесной паре на рельсах Рис. 20 – Нечеткая разность диаметров: а) в виде нечеткой прямой первого типа;

б) в виде нечеткой точки;

в) в виде нечеткой прямой третьего типа Комплексная нечеткая оценка нарушений геометрических размеров колесных пар, произошедших в процессе их эксплуатации по нескольким параметрам, позво ляет более дифференцированно определять наиболее опасные их сочетания, а иногда и заранее, до превышения контрольных пороговых значений, избежать негативные последствия путем повышения внимания к данным колесным парам, измеренные параметры которых находятся достаточно близко к пороговым.

3. Нечеткая геометрия в автоматизированных системах развития и диаг ностики уровня пространственного фактора интеллекта. На рисунке 21: ГЗ – генерация задачи, ВУН – выбор уровня нечеткости, ВУС – выбор уровня сложно сти, ВР – выбор метода решения, ГЧГД – генерация части графических данных, В – вопрос, ГСНОО – генерация скрытого нечеткого образа, СОР – создание облас ти реагирования, АОО – анализ ответа обучаемого, ПО – проверка ответа, ПР – продолжение решения, ВСПО – вычисление степени приближения ответа, Р – ре зультат. Приведены примеры решения задач (рисунок 22). Нечеткие геометриче ские образы используются в качестве формальной модели мысленных образов и процесса визуального мышления с алгоритмическим решением.

Рис. 21 – Блок-схема алгоритма Рис. 22 – Область толерантности точ ки пересечения прямой и плоскости автоматизированного контроля решения задачи Для реализации этой идеи применяются понятия нечеткой фигуры, нечет кого условия, нечеткого преобразования, алгоритмы генерации нечетких обра зов для задач. В данной работе для оценки уровня развития пространственного интеллекта предлагается условная зависимость в виде нечеткого классификато ра, изображенного по методу разнесенных плоскостей проекций.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Основные результаты работы заключаются в достижении поставленной цели: ис следованы геометрические образы, наиболее полно удовлетворяющие требованиям учета нечеткой информации, что позволило применять их для разработки алгоритми ческого и методического обеспечения в задачах инженерной геометрии, в частности:

1. Предложены теоретико-конструктивные основы моделирования нечетких множеств: геометрическая интерпретация нечетких образов двумерного конти нуума и их аналитическое описание, представляющие теорию изображений не четких геометрических множеств (НГМ).

2. Выделены общие принципы построения НГМ, демонстрирующие универ сальность алгоритмов для решения отдельных задач. Показано, что нечеткая геометрия есть обобщение интервальной, которая, в свою очередь, является обобщением классической геометрии.

3. Исследованы нечеткие геометрические условия (инцидентности, метри ческие, аффинные, дифференциальные) и преобразования (поворот, перенос, симметрия, гомотетия, подобие).

4. Доказано, что разработанные методы изображений НГМ применимы к решению широкого круга задач при исследовании систем с нечетко определенными параметрами и условиями, таких, как задача установления ма тематической модели по экспериментальным данным с использованием прин ципа внешнего дополнения, задача интерполяции нечетких лингвистических данных, задача «нечеткой классификации» с применением метода разнесенных плоскостей и осей проекций для многомерного объекта.

5. На основе «нечеткого классификатора», изображенного на плоскости проекций нечетких оценок, разработана программа Fuzzy Rating для определения качества объек та (в данном случае качество знаний студентов). Рейтинговая система с применением теории нечетких множеств (ТНМ) учитывает нечеткость качественных характеристик, что приводит к более адекватным реальному соответствию объекта результатам. Авто матизация процесса оценки по рейтинговой системе позволяет ускорить выставление отметки, что было апробировано в ОГИС, что подтверждено актом о внедрении.

6. На основе понятий НГМ впервые разработана методика формирования гео метрических параметров колеса колесной пары вагона, которая позволяет анализи ровать не учитываемые ранее важнейшие параметры, влияющие на безопасность движения, такие, как неблагоприятное сочетание эллипсности и нечетких центров колес в колесной паре, нечеткое нормирование параметров, ведущее к более диффе ренцированной оценке разности диаметров колес. О применении данной методики свидетельствуют акты о внедрении НИИ ТКД «Транспорт» и ОмГУПС.

7. Показано, что возможности компьютерной техники и нечеткой геометрии следует использовать в целях развития и диагностики уровня пространственного интеллекта, а также контроля знаний алгоритмов решения конструктивных задач, для чего разработан алгоритм работы модуля автоматизированной интеллектуаль ной системы контроля и обучения. Данная разработка внедрена в СиБАДИ.

Таким образом, моделирование нечетких геометрических множеств в инженер ной геометрии – перспективная область исследований, и теоретико-конструктивные основы и примеры решения задач с нечетко-определенными параметрами, разрабо танные и показанные в данной работе, могут повлиять на ее дальнейшее развитие.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

1. Гулиев, Н. А. Оценка качества знаний студентов / Н. А. Гулиев, О. В. Луки на, В. Ю. Юрков // Актуальные проблемы подготовки специалистов для сферы сер виса. Международная научно-практическая конференция: сборник статей / под ред.

проф. Н.А.Гулиева. – ОГИС, 2004. – С. 217–219.

2. Гулиев, Н. А. Некоторые проблемы оценки качества подготовки специалистов в об ласти социально-культурного сервиса и туризма / Н. А. Гулиев, О. В. Лукина // Актуальные проблемы подготовки специалистов для сферы сервиса. Международная научно-практическая конференция: сборник статей. Часть 1 / под ред. проф. Н.А.Гулиева. – ОГИС, 2003. – С. 89–91.

3. Гулиев, Н. А. Рейтинговая система с применением нечетких множеств / Н. А.

Гулиев, О. В. Лукина // Современные тенденции и перспективы развития образова ния в высшей школе. Форум «Омская школа дизайна». III Международная научно практическая конференция: сборник статей / под общей редакцией ректора ОГИС, проф. Н.У. Казачуна. – Омск: ОГИС, 2005. – С. 111–112.

4. Лукина, О. В. Применение нечетких множеств в рейтинговой оценке качества знаний студентов / О. В. Лукина // Туризм: подготовка кадров, проблемы и перспекти вы развития: сборник материалов Международной научно-практической конференции (Москва, 23-24 марта 2006г.) – М.: Прометей, 2006. – С. 142–145.

5. Лукина, О. В. Задача о близости и принятие решения в условиях нечеткости / О.

В. Лукина, В. Ю. Юрков // Актуальные проблемы подготовки специалистов для сферы сервиса. Международная научно-практическая конференция: сборник статей. Часть 1 / под ред. проф. Н. А.Гулиева. – ОГИС, 2003. – С. 169–170.

6. Лукина, О. В. Нечеткое геометрическое моделирование слабоформализованных сис тем / О. В. Лукина, В. Ю. Юрков // Материалы III международного технологического конгресса «Военная техника, вооружение и технологии двойного применения». – ОмГУ, 2005. – С. 81–83.

7. Лукина, О. В. К вопросу применения нечеткой логики в тестировании при оценке качества специалистов / О. В. Лукина // Сборник статей II межвузовской научно практической конференции студентов и аспирантов «Молодежь, наука, творчество – 2004» / под ред. проф. Н.У. Казачуна. – ОГИС, 2004. – С. 20–23.

8. Лукина, О. В. Принятие решений в педагогической диагностике / О. В. Лукина // Сбор ник статей III межвузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Мо лодежь, наука, творчество – 2005» / под ред. проф. Н.У. Казачуна. – ОГИС, 2005. – С. 81–83.

9. Лукина, О. В. Изображение нечетких объектов / О. В.Лукина, В. Ю. Юрков // Совре менные тенденции и перспективы развития образования в высшей школе. Форум «Омская школа дизайна». III Международная научно-практическая конференция: сборник статей / под общей редакцией ректора ОГИС, проф. Н.У. Казачуна. – Омск: ОГИС, 2005. – С. 171-173.

10. Юрков, В. Ю. Геометрия нечетких множеств / В. Ю. Юрков, О. В. Лукина // Элек тронный журнал «Прикладная геометрия». – 2006. – Выпуск 8 (№ 18) – С. 9–36.

11. Юрков, В. Ю. Геометрия нечетких образов и моделирование нечетких систем / В. Ю.

Юрков, О. В. Лукина // Современные проблемы геометрического моделирования. Материалы Украино-российской научно-практической конференции. – Харьков, 2005. – С. 100–106.

12. Юрков, В. Ю. Интервальная и нечеткая геометрия в системе развития и диагно стики пространственного фактора интеллекта / В. Ю. Юрков, О. В. Лукина // Омский на учный вестник. – 2006. – № 2 (35) – С. 96-99.

Лицензия ЛР № 021278 от 06.04.98 г.

Подписано в печать 11.10.06 Формат 60х84 1/ Бумага типограф. Оперативный способ печати.

Усл. печ. л. 1,11 Уч.-изд. л. 1,05 Тираж 100 экз.

Изд. № 603 Заказ № 186 Цена договорная Издательско-полиграфический центр ОГИС 644099, Омск, Красногвардейская,