авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Развитие каркасно-кинематического метода для формообразования сложно-структурированных поверхностей

На правах рукописи

Замятин Александр Витальевич РАЗВИТИЕ КАРКАСНО-КИНЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЛЯ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ СЛОЖНО-СТРУКТУРИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 05.01.01 – Инженерная геометрия и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Ростов-на-Дону – 2013 2

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет» Научный консультант доктор технических наук, профессор Ротков Сергей Игоревич

Официальные оппоненты:

Решетников Михаил Константинович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет им. Ю.А. Гагарина», заведующий кафедрой инженерной геометрии и промышленного дизайна, Толок Алексей Вячеславович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный технологический университет «СТАНКИН», заведующий кафедрой начертательной геометрии, Цеханов Юрий Александрович доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, профессор кафедры информатики и графики Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Южный федеральный университет» (г. Ростов-на-Дону)

Защита диссертации состоится «01» октября 2013г. в 15-00 на заседании диссертационного совета Д 212.162.09 при Нижегородском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65, корпус 5, аудитория 202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет».

Автореферат разослан «14» августа 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат педагогических наук, доцент Н.Д. Жилина

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. В связи с ускоренным развитием в настоящее время строительной отрасли и тенденциями к нетрадиционным решениям архитектурных задач появилась необходимость разработки методов проектирования новых типов поверхностей, пригодных к применению в качестве основ создания оболочек в задачах архитектурно-строительного проектирования. Особенно большую практическую ценность имеет реализация новых геометрических способов конструирования поверхностей в виде компьютерных программ. Развитие современных средств вычислительной техники позволяет быстро и с большой точностью решать задачи геометрического конструирования поверхностей, вычислять основные технические и экономические характеристики различных вариантов решения задачи и выбирать наилучшее, получать качественную визуализацию геометрических объектов, что дает возможность оценить эстетические свойства этих объектов на этапе эскизного проектирования.

Решение вопросов конструирования поверхностей является одной из основных задач инженерной геометрии. Эту тему рассматривали в своих трудах А.Л. Подгорный, В.С. Обухова, В.А. Осипов, В.Е. Михайленко, А.М. Тевлин, Ю.Н. Иванов, А.Н. Подкорытов, Г. Рюле и многие другие.

Применение средств вычислительной техники в архитектурно строительном проектировании изучали такие ученые, как Н. Виннер, Л. Н.

Авдотьин, И.И. Котов, В.С. Полозов, Л.Д. Бронер, Л.Г. Дмитриев, К.А. Сазонов, С.И. Ротков, Г.С. Иванов, С.Н. Ковалев и другие.

Среди широко применяемых в настоящее время методов образования поверхностей следует отметить параметрические методы (поверхности Безье, NURBS-поверхности и др.). Эти методы позволяют создавать сложные поверхности на основе сплайнов, которые программно легко реализуются. К недостаткам можно отнести неочевидную связь параметров определителя с геометрической формой разрабатываемой поверхности (в меньшей степени это относится к NURBS-поверхностям).

Для формообразования моделей поверхностей часто используется каркасно-кинематический метод, в котором двухпараметрическое семейство линий образует каркас поверхности путем перемещения одних линий или поверхностей, называемых образующими, по другим, называемых направляющими. Этот метод, разработанный академиком Четверухиным Н.Ф., профессорами Котовым И.И., Осиповым В.А. для различных отраслей науки и промышленности, позволяет достаточно просто сформировать электронную модель поверхности в виде координат точек на поверхности и их связей в виде ребер между этими точками. Метод хорошо работает при моделировании гладких поверхностей, обеспечивая непрерывность функции, ее первой и второй производных. Программная реализация данного метода в различных системах проектирования охватывает только простейшие случаи. Имеются ограничения на количество и типы образующих и направляющих. Возникает необходимость, особенно в задачах архитектурно-строительного проектирования, преодоления этих ограничений, не позволяющих адекватно отобразить замысел архитектора в инженерной конструкции.

В данной работе предлагается для задания законов перемещения образующих использовать процессы качения центральных поверхностей второго порядка переменной и постоянной геометрии по различным направляющим.

Выбор в качестве перемещающихся объектов поверхностей второго порядка значительно расширяет возможности каркасно-кинематического метода в плане формообразования и дает возможность более простого аналитического описания данных аппаратов и, следовательно, более удобного применения рассматриваемых аппаратов в системах компьютерной графики.

Объект исследования – метод моделирования процессов кинематики поверхностей второго порядка переменной и постоянной геометрии.



Предмет исследования – алгоритмы образования поверхностей на основе рассмотренных процессов и их реализация в виде компьютерных программ, реализующих формообразующие функциональные операторы, отсутствующие в известных системах автоматизированного проектирования.

Целью исследования является создание математического аппарата и методики его применения в задачах формообразования на основе каркасно кинематического метода.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо разработать:

- аналитическое описание образования поверхностей на основе кинематики центральных поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии;

- алгоритмы образования поверхностей на основе кинематики центральных поверхностей 2-го порядка переменной и постоянной геометрии;

- пакет прикладных программ, позволяющий использовать новые способы образования поверхностей в архитектурно-строительном проектировании;

- методику применения пакета прикладных программ при решении практических задач архитектурно-строительного проектирования.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Получены новые наглядные способы задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей второго порядка.

2. Разработана каркасная геометрическая модель, позволяющая повысить наглядность задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей второго порядка.

3. Получил развитие кинематический метод качения поверхности второго порядка в приложении к каркасным моделям.

4. Разработаны математический аппарат и программные алгоритмы, описывающие качение сферы по произвольным пространственным линиям, по пространственной линии и поверхности, по двум поверхностям, качение однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

5. На основе разработанных аналитических зависимостей образования поверхностей создан пакет прикладных программ, позволяющий применять эти методы в архитектурно-строительном проектировании на этапе эскизного проектирования. Данный способ образования поверхностей не реализован ни в одной из ныне существующих компьютерных графических систем. Разработана методика применения пакета прикладных программ в архитектурно строительном проектировании.

Практическая ценность и внедрение. Работа выполнена в рамках госбюджетной темы кафедры «Начертательная геометрия и черчение» Ростовского государственного строительного университета «Геометрическое моделирование пространственных конструкций» № 02910012257.

По результатам проведенных исследований разработан пакет прикладных программ, позволяющий использовать новые методы образования поверхностей на основе кинематики поверхностей 2-го порядка в архитектурно-строительном проектировании элементов зданий и сооружений.

В пакет входят следующие пять программ, зарегистрированных в Роспатенте:

1. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум пространственным линиям.

2. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по пространственной линии и торсу.

3. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум торсам.

4. Конструирование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям.

5. Преобразование каркасных моделей поверхностей в поверхностные модели.

Пакет приведенных прикладных программ применялся в ОАО «Проектный институт Калмыкии» для разработки сложных пространственных объектов, в учебном процессе Ростовского государственного строительного университета и Ростовской государственной академии архитектуры и искусства для выполнения студентами курсовых и дипломных работ.

Апробация работы. Положения и выводы диссертации докладывались и получили положительную оценку на следующих конференциях и семинарах:

международные научно-практические конференции «Строительство – 97 2012». Ростов-на-Дону;

семинар-совещание заведующих кафедр начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики вузов Центральной, Поволжской, Южной, Уральской и Северо-Западной зон РФ.

Н.Новгород, 1997;

семинар-совещание заведующих кафедрами графических дисциплин вузов Российской Федерации. Н.Новгород, 1998;

семинар совещание заведующих кафедрами графических дисциплин вузов Российской Федерации. Ростов-на-Дону, 2001.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Способы задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей второго порядка.

2. Каркасная геометрическая модель, повышающая наглядность задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно кинематическом методе на основе аппаратов кинематики поверхностей второго порядка.

3. Развитие кинематического метода качения поверхности второго порядка в приложении к каркасным моделям.

4. Математический аппарат и программные алгоритмы, описывающие качение сферы по произвольным пространственным линиям, по пространственной линии и поверхности, по двум поверхностям, качение однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 4 монографиях, 60 статьях (16 из них в изданиях, рекомендованных ВАК).

Также по материалам диссертации разработано и зарегистрировано в Роспатенте 6 прикладных программ. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и семи приложений. Общий объем диссертации 307 страниц, 273 рисунка, 14 таблиц. Список литературы содержит 230 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы. Определена цель исследования, поставлены задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели, формулируются научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе рассмотрены основные существующие методы образования поверхностей, представлены разработанные методы формирования поверхностей.

Ключевые методы. Конструирование поверхностей ключевыми методами основано на следующих основных положениях:

1. Если между двумя линиями связи вычерчены какие-либо опирающиеся на них кривые, то любую пару из них можно принять за проекции некоторой пространственной линии (рис. 1, а).

2. Любые два многоугольника, опирающиеся на данную систему линий связи, можно принять за проекции некоторого пространственного многоугольника (рис. 1, б).

3. Чтобы определить поверхность B3 C на данном контуре, достаточно a2 D3 задать произвольно две A C B2 проекции одного семейства линий поверхности, b2 A2 D2 находящихся по контуру в проекционной связи, и одну a1 b проекцию линий второго A1 D1 семейства.

а) Для построения поверхности B1 б) C ключевым способом в Рис. 1. Ключевой метод рассмотрение вводят две проекции поверхности, несущие на себе по одной проекции разных семейств линий, и ключ, согласующий проекционные связи этих семейств.

Данный способ образования поверхностей обладает недостаточной наглядностью, так как приходится работать с проекциями поверхности. Также достаточно сложно подобрать условия согласования линий поверхности (ключ) для получения поверхности нужного B10 B9 вида.

B Параметрические методы. В B B последние годы для создания B поверхностей широко применяются B B4 параметрические методы. Наибольшее B B распространение получили методы Рис. 2. NURBS-кривая образования поверхностей на основе сплайновой геометрии. К ним относится NURBS (Non-Uniform Rational B Splines) аппроксимация. Она заключается в определении поверхностей общего вида NURBS-кривыми. NURBS-кривая определяется набором контрольных точек Bi (рис. 2). В каждой из контрольных точек задается базовая функция, которая определяет как сильно зависит форма кривой от данной контрольной точки. NURBS-поверхность описывается в особом четырехмерном пространстве, в котором каждая управляющая вершина, кроме трех координат x, y, z имеет дополнительную весовую характеристику (weight). Изменяя положение и относительный вес вершины, можно предельно точно управлять формой объекта. Более подробно B-сплайны рассмотрены во второй главе, т.к.





в дальнейшем они применяются для аппроксимации опорных поверхностей.

Для использования данного метода, как было показано выше, необходимо задавать контрольные точки, что не всегда удобно.

Каркасно-кинематический метод. Поверхность может быть определена непрерывным перемещением в пространстве какой-либо линии или поверхности. Эти линии и поверхности называются образующими или производящими данной поверхности, а сама поверхность – кинематической поверхностью. Поверхность, образованная перемещающейся линией, представляет собой геометрическое место различных положений образующей линии. Поверхность, образованная перемещением поверхности, является огибающей различных положений образующей поверхности. Образованная таким способом поверхность соприкасается с образующей поверхностью в каждом ее положении вдоль некоторой линии, которая называется характеристикой кинематической поверхности.

Образующая линия или поверхность, перемещаясь в пространстве по определенному закону, может сохранять свою форму или непрерывно изменять ее.

Проведенный анализ методов и публикаций показал, что одним из основных условий образования поверхностей каркасно-кинематическим методом является задание закона перемещения образующей линии или поверхности. В данной работе предлагается задавать этот закон на основе кинематики поверхностей 2-го порядка. Так же можно связать изменение образующей с изменением поверхности 2-го порядка, если мы имеем перемещающуюся поверхность 2-го порядка переменной геометрии.

Будем считать, что однопараметрическое множество катящихся по определенному закону центральных поверхностей 2-го порядка i задано в дискретном виде, то есть в каждом i -м положении известны координаты точки траектории движения центра поверхности ziC, координаты Ci xiC yiC соответствующей точки касания первого опорного элемента Ai xiA yiA ziA, координаты соответствующей точки касания второго опорного элемента ziB, углы Эйлера подвижной системы координат, связанной с Bi xiB yiB катящейся поверхностью 2-го порядка, относительно исходной – i, i, i, параметры k x, k y, k z, характеризующие процесс трансформации катящейся i i i поверхности по отношению к начальному виду. Через a обозначим линию, являющуюся совокупностью точек соприкосновения катящейся поверхности с первым опорным элементом;

через b – линию, являющуюся совокупностью точек соприкосновения со вторым опорным элементом;

через c – траекторию движения центра поверхности (рис. 3).

Для решения ряда задач i конструирования поверхно c стей на основе аппарата кинематики поверхностей 2 го порядка рассмотрим Ci алгоритмы расчета и a визуализации некоторых Ai пространственных линий, Bi полученных на основе предложенного аппарата. Эти b алгоритмы в дальнейшем Рис. 3. Задание аппарата кинематики поверхности будут использованы при второго порядка конструировании поверхностей.

Алгоритм расчета и визуализации траектории движения центра катящейся поверхности разрабатывается для каждого конкретного случая в зависимости от вида катящейся поверхности и опорных элементов.

Рассмотрим алгоритмы расчета и визуализации следующих линий:

- траектории движения точки, связанной с катящейся поверхностью;

- линии, являющиеся совокупностью точек соприкосновения катящейся поверхности с направляющими элементами на этой поверхности.

Пусть в подвижной системе Di координат, связанной с катящейся d поверхностью, задана точка, координаты которой Dx D y D z D.

i c В начальном положении оси подвижной системы координат Ci параллельны осям неподвижной a системы координат. Перемещаясь в Bi пространстве вместе со сферой, заданная точка опишет некоторую b кривую d (рис. 4). Координаты z Рис. 4. Траектория точки, связанной с z точки этой линии в неподвижной катящейся поверхностью системе координат, в Р i -м и с.

положении катящейся поверхности – Di xiD ziD можно вычислить по yiD следующей формуле:

x, z D k x, k y, k zi i, i, i xiC ~ii ziD x D D yiD yD yiC ziC (1) i ~i i i где k x, k y, k z – матрица преобразования обусловленного изменением параметров катящейся поверхности 2-го порядка, i, i, i – матрица преобразования Эйлера, обусловленного поворотом подвижной системы координат относительно исходной.

Рассмотрим параметры, характеризующие процесс деформации ~ центральной поверхности 2-го порядка, т.е. вид матрицы k x, k y, k z. Пусть в i i i некоторой системе координат центральная поверхность 2-го порядка задана каноническим уравнением:

a11x 2 a22 y 2 a33 z 2 1 0. (2) Рассмотрим преобразование пространства, переводящее поверхность 2-го порядка (2) в поверхность 2-го порядка того же класса, уравнение которой имеет вид:

a11x2 a22 y2 a33 z2 1 0. (3) Приведем матрицу этого преобразования:

kx 0 ~ ( k x, k y, k z ) 0 k y 0, (4) 0 0 k z a a11 a kx ;

k y 22 ;

k z 33.

где Таким образом, каждая точка пространства, a11 a22 a с координатами x, y, z, после преобразования, Fi определяемого матрицей (4), будет иметь f координаты x' y' z ' x y z (k x, k y, k z ).

~ Ei Следовательно, процесс деформации O поверхности определяется значениями k x, k y, k z в матрице преобразования (4). Если деформация поверхности отсутствует или мы e ее не учитываем, то принимаем k x k y k z 1.

Рис. 5. Линии – совокупность точек соприкосновения с Обозначим линию, являющуюся направляющими элементами совокупностью точек соприкосновения с первым опорным элементом на поверхности, через e, точку этой линии, соответствующую i -му положению поверхности, обозначим через ziE. Аналогично, линию, являющуюся совокупностью точек Ei xiE yiE соприкосновения со вторым опорным элементом, обозначим через f, точку этой линии, соответствующую i -му положению поверхности, обозначим через (рис. 5). Координаты точек искомых линий вычислим по Fi xiF yiF ziF следующим соотношениям:

x ziA ziC 1 i, i, i ;

ziE xiA xiC yiA yiC E yiE i x x i, i, i, xiC yiB yiC ziB ziC F yiF ziF B i i где 1 i, i, i – матрица обратного преобразования Эйлера.

Приведем алгоритмы расчета и визуализации линейчатых поверхностей, полученных на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка.

Рассмотрим следующие алгоритмы:

- построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра, и соответствующие точки касания на опорных элементах;

- построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на опорных линиях;

- построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на катящейся поверхности.

Поверхности будем задавать в виде линейчатых каркасов.

На рис. 6 показаны линейчатые поверхности, образованные прямыми, проходящими через соответствующие точки Ci и Ai, или Ci и Bi. Данные поверхности содержат линии a и b. Отсеки таких поверхностей, ограниченные траекторией движения центра движущейся поверхности и линиями a или b, состоят из отрезков прямых одинаковой длины.

i i c c i Ci Ci a a Ai Ai Bi Bi b b Рис.6. Поверхность – совокупность прямых, Рис. 7. Поверхность – совокупность прямых, проходящих через точки траектории центра и проходящих через точки касания на опорных точки касания на опорных элементах элементах Линейчатые поверхности могут быть получены как совокупность прямых, проходящих через соответствующие точки Ai, и Bi (рис. 7). Данные поверхности содержат линии a и b. Будем изображать отсеки этих поверхностей, ограниченные линиями a и b.

Рассмотрим линейчатые поверхности, образованные прямыми, проходящими через соответствующие точки Ei и Fi (рис. 8). Данные поверхности содержат линии e и f. Будем изображать отсеки этих поверхностей, ограниченные линиями e и f. Рассмотренная поверхность является изгибанием предыдущей Fi поверхности.

f Приведем построение Ei поверхностей:

- являющихся огибающими O однопараметрического множества катящихся поверхностей 2-го порядка;

- являющихся совокупностью окружностей, проходящих через точку e траектории движения центра и Рис. 8. Поверхность – совокупность соответствующие точки касания на прямых, проходящих через точки касания опорных элементов на опорных элементах.

катящейся поверхности Визуализацию огибающих поверхностей будем производить сечениями катящейся поверхности, плоскостями i, проходящими через точку траектории движения центра Ci и соответствующие точки соприкосновения с опорными элементами Ai, Bi (рис. 9). Рассматриваемые поверхности содержат линии a и b. Если в качестве катящейся поверхности взята сфера, то огибающие поверхности будут циклическими, состоящими из дуг одинакового радиуса, равного радиусу сферы.

i i c Ci Ci c Ai a Ai a Bi Bi b b i Рис. 9. Поверхность, огибающая катящиеся Рис. 10. Поверхность – совокупность поверхности второго порядка окружностей, проходящих через точку траектории центра и точки касания на опорных элементах Поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах, содержат опорные линии (рис.10).

Рассмотрим ротативные поверхности, полученные на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка.

Разработаны алгоритмы построения следующих ротативных поверхностей:

- линейчатых, образованных перемещающейся прямой;

- циклических, образованных перемещающейся дугой окружности;

- общего вида, образованных перемещающейся произвольной пространственной линией.

Если с катящейся поверхностью 2-го порядка связать линию, то она, двигаясь вместе с ней, опишет в пространстве некоторую ротативную поверхность (рис. 11). В зависимости от вида образующей линии, получаем различные виды ротативных поверхностей.

Рассмотрим торсовые поверхности. Как известно, поверхность, являющаяся совокупностью касательных к пространственной линии, есть торс, а сама линия – ребро возврата этого торса. Торсовые поверхности строились как совокупностью касательных к li пространственным линиям, полученным в результате кинематики поверхностей 2-го порядка.

Далее рассмотрены торсовые c поверхности, являющиеся огибающими Ci однопараметрических множеств a Ai i плоскостей. Однопараметрические Bi множества плоскостей получены b движением плоскости, связанной с катящейся поверхностью 2-го порядка.

Рис. 11. Ротативная поверхность Приведенные в данной главе алгоритмы образования поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка положены в основу разработки программных средств, позволяющих использовать их на практике.

Далее приведен алгоритм построения развертки поверхностей.

Рассмотрим построение условной развертки нелинейчатой поверхности методом триангуляции. Метод триангуляции заключается в B следующем. Пусть задана C поверхность (рис. 12).

A D Выделим два набора пересекающихся линий, принад лежащих заданной поверхности (сеть). Рассмотрим отсек поверхности ABCD. Заменим B C отрезки линий, ограничивающих A отсек поверхности ABCD, на D хорды. Построим на плоскости Рис. 12. Развертка поверхности методом натуральные величины треуголь триангуляции ников ABC и ADC. Плоский четырехугольник ABCD считается условной разверткой отсека ABCD поверхности. Проделывая описанную выше операцию для каждой ячейки поверхности, получим ее условную развертку. Вычислив площади треугольников ABC и ADC и сложив их, получим приближенную площадь отсека ABCD. Пример построения развертки поверхности (рис. 13) приведен на рис. 14.

На основе метода триангуляции разработаны алгоритм преобразования каркас ных моделей поверхностей в полигональные, т.к. полигональ ные модели дают более наглядное представление о поверхности, и Рис. 13. Заданная алгоритм расчета площадей поверхность отсеков поверхностей. На рис.

15,а представлена каркасная модель поверхности, на рис. 15, б эта поверхность приведена в виде полигональной модели.

Рис. 14. Развертка поверхности z z y y x x а) б) Рис. 15. Преобразование каркасной модели поверхности в полигональную модель Во второй главе рассмотрено конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум пространственным линиям. Как было показано в главе 1, поверхности, разработанные на основе данного аппарата, могут содержать направляющие линии. Поэтому в качестве направляющих можно взять реальные линии, что значительно упрощает сборку и стыковку отсеков поверхностей, полученных на основе рассматриваемого аппарата.

Рассмотрим процесс качения без проскальзывания сферы, заданного радиуса, по двум направляющим пространственным линиям.

Будем считать, что опорные линии заданы в виде дискретных точечных рядов. Линия a задана точками Ai ( xia yia zia ), где i 1, 2,..., n, линия b – точками B j ( x b y b z b ), где j 1, 2,..., m.

j j j Выполним аппроксимацию точечных рядов, определяющих опорные линий a и b, В-сплайнами. Получим уравнения опорных линий r ra (u);

r rb (v).

Пусть по заданным кривым катится сфера, радиус которой равен R.

Множество положений сферы, заданного радиуса, в пространстве является ( 3 ). Накладывая на положение сферы трехпараметрическим множеством условие касания кривой a, получим двухпараметрическое множество ( 2 ).

Наложив, кроме предыдущего условия, еще условие касания кривой b, получим однопараметрическое множество ( 1 ), которое и будем использовать для конструирования поверхностей. Построив геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, касающиеся линии a в каждой точке этой линии, получим поверхность, эквидистантную заданной линии. Эта поверхность является каналовой поверхностью с направляющей линией a, ее уравнение имеет вид:

( x xa (u ))2 ( y ya (u ))2 ( z za (u ))2 R 2 0;

(5) ( x xa (u )) xa (u ) ( y ya (u )) ya (u ) ( z za (u )) za (u ) 0, dx (u ) где xa (u ), ya (u ), z a (u ) – координаты вектора ra (u ), xa (u ) a, du dya (u ) dra (u ) dza (u ) – координаты вектора r (u ) ya (u ), za (u ).

du du du Такой же каналовой поверхностью с опорной линией b является геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса R, касающиеся кривой b :

( x xb (v))2 ( y yb (v))2 ( z zb (v))2 R 2 0;

(6) ( x xb (v)) xb (v) ( y yb (v)) yb (v) ( z zb (v)) zb (v) 0, dx (v) rb (v), xb (v) b, где – координаты вектора yb (v), zb (v) xb (v), dv dy (v) dz (v) dr (v) – координаты вектора rb (v) b.

y b ( v ) b, z b (v ) b dv dv dv Следовательно, центры сфер, касающиеся одновременно и кривой a и кривой b, лежат на линии пересечения каналовых поверхностей (5) и (6) (рис.

16). Уравнение этой линии определяется следующей системой:

( x xa (u ))2 ( y ya (u ))2 ( z z a (u ))2 R 2 0;

( x xa (u )) xa (u ) ( y ya (u )) ya (u ) ( z z a (u )) z a (u ) 0;

(7) ( x xb (v)) ( y yb (v)) ( z zb (v)) R 0;

2 2 2 ( x x (v)) x (v) ( y y (v)) y (v) ( z z (v)) z (v) 0.

b b b b b b z b a y a x b Рис. 16. Каналовые поверхности, определяющие траекторию центра сферы В качестве параметра искомой линии пересечения возьмем параметр линии a – u. Для определения координат точек линии пересечения решим систему (7) методом Ньютона. Обозначим:

f1 ( x xa (u ))2 ( y ya (u ))2 ( z z a (u ))2 R 2 ;

f 2 ( x xa (u )) xa (u ) ( y ya (u )) ya (u ) ( z z a (u )) z a (u );

(8) f 3 ( x xb (v)) ( y yb (v)) ( z zb (v)) R ;

2 2 2 f 4 ( x xb (v)) xb (v) ( y yb (v)) yb (v) ( z zb (v)) zb (v).

Продифференцируем уравнения (8) по x, y, z, v. Получим:

f1 f f f 2( x xa (u ));

1 2( y y a (u ));

1 2( z z a (u ));

1 0;

x y z v f 2 f f f xa (u );

2 y a (u );

2 z a (u );

2 0;

x y z v f 3 f f (9,а) 2( x xb (v));

3 2( y yb (v));

3 ( z zb (v));

x y z f 2( x xb (v)) xb (v) 2( y yb (v)) yb (v) 2( z zb (v)) zb (v);

v f 4 f f xb (v);

4 yb (v);

4 zb (v);

x y z f xb2 ( x xb (v)) xb (v) yb2 ( y yb (v)) yb (v) xb2 ( z zb (v)) zb (v), (9,б) v d 2 xb (v) d 2 y b (v ) d 2 z b (v ) xb (v), yb (v), zb (v) где – координаты вектора dv 2 dv 2 dv d 2 r (v ).

rb(v) dv Пусть xi, yi, zi, vi – некоторое приближение искомых параметров. Для нахождения приращения параметров xi, yi, zi, vi, на i-м шаге итерации, решаем следующую систему линейных уравнений:

f1 f1 f1 f x xi y yi z zi v vi f1 ;

f 2 f f f xi 2 yi 2 zi 2 vi f 2 ;

x y z v (10) f 3 x f 3 y f 3 z f 3 v f ;

x i y i z i v i f 4 x f 4 y f 4 z f 4 v f.

x i y i z i v i Значения функций (8) и их производных (9, а), (9, б) в системе (10), берутся при x xi, y yi, z zi. Следующие приближения параметров вычисляется по формулам:

x11 xi xi ;

y11 yi yi ;

z11 zi zi ;

v11 vi vi.

Процесс итерации завершается, когда максимальное по модулю значение приращения параметра меньше заданной точности.

Таким образом, решив систему (7) при заданном значении параметра u, определим координаты x, y, z – точки траектории центра сферы и параметры точек соприкосновения сферы с опорными линиями u и v.

После проведенных преобразований найдем углы Эйлера подвижной системы координат, связанной со сферой, относительно исходной системы координат.

На рис. 17, а приведен пример линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через точку центра, и соответствующие точки соприкосновения на опорных линиях, полученных на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям. На рис. 17, б приведены развертки этих поверхностей.

z c a 100 усл. ед.

b y 100 усл. ед.

a x b c а) б) Рис. 17. Пример поверхности, полученной на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям В третьей главе описан аппарат кинематики сферы по пространственной линии и поверхности.

В качестве опорной поверхности можно использовать реальные поверхности, входящие, например, в состав строительных конструкций, что значительно упрощает стыковку полученных отсеков поверхностей.

Пусть опорная линия a и опорная нелинейчатая поверхность заданы в виде векторных уравнений r ra (t );

r r (u, v). Если линия или поверхность не имеют аналитического описания, то выполняем их аппроксимацию В сплайнами.

Множество точек, в которых находятся центры сфер, соприкасающиеся с линией a, представляет собой каналовую поверхность, ее уравнение аналогично (5).

Множество точек, в которых находятся центры сфер, соприкасающиеся с поверхностью, представляет собой эквидистантную ей поверхность ’:

r r (u, v) n (u, v) R, (11) где n (u, v) единичный вектор нормали поверхности, R – радиус сферы.

Следовательно, для определения траектории центра сферы необходимо построить линию пересечения поверхностей и ’ (рис. 18). Для этого запишем систему уравнений, состоящую из уравнений системы (5) и (11) в координатной форме:

( x xa (t )) 2 ( y y a (t ))2 ( z z a (t ))2 R 2 0;

( x xa (t )) xa (t ) ( y y a (t )) y a (t ) ( z z a (t )) z a (t ) 0;

x (u, v) x (u, v) R x 0;

(12) n y (u, v) y (u, v) R y 0;

n z (u, v) z n (u, v) R z 0.

Решив систему (12), определим траекторию центра сферы и линию ее соприкосновения с заданной поверхностью. Аппарат качения сферы по линии и поверхности эквивалентен аппарату качения сферы по двум линиям – по заданной линии a и линии, по которой сфера соприкасается с заданной поверхностью. Поэтому углы Эйлера, системы координат связанной с катящейся поверхностью, определяются тем же способом, что и в главе 2.

a ' Рис. 18. Каналовая и эквидистантная поверхности, определяющие траекторию центра сферы Примеры поверхностей, полученных на основе данного a аппарата, приведены на рис. 19, а и 19, б. На рис. 19, а показана линейчатая поверхность, являющаяся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра сферы и соответствующие тоски соприкосновения с опорными элементами. На рис. 19,б показана ротативная циклическая поверх- а) ность.

В четвертой главе z d рассмотрены методы конструиро- d вания поверхностей на основе d аппарата качения сферы по двум торсовым поверхностям.

100 усл. ед.

Зададим в аппарате кинематики d d поверхностей в качестве опорных y элементов две нелинейчатые поверхности r r ( s, t );

r r (u, v). d x б) Если поверхности не имели Рис. 19. Примеры поверхностей, аналитического описания, то полученных на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям и выполнялась их аппроксимация В поверхности сплайнами.

Множество точек, в которых ’ находятся центры сфер, соприкасающиеся с заданными поверх ностями, представляет собой эквиди стантные поверхности, обозначим их через ’ и ’ (рис. 20).

Для определения траектории ’ центра сферы необходимо определить линию пересечения поверхностей ’ и ’. Запишем систему уравнений, в Рис. 20. Эквидистантные поверхности, которой первым будет уравнение определяющие траекторию центра сферы поверхности ’, вторым – поверхности :

r r ( s, t ) n ( s, t ) R;

(13) r r (u, v) n (u, v) R.

В координатной форме система (13) имеет вид:

x ( s, t ) x ( s, t ) R x 0;

n y ( s, t ) y ( s, t ) R y 0;

n z ( s, t ) z ( s, t ) R z 0;

n (14) x (u, v) x (u, t ) R x 0;

n y (u, v) y (u, v) R y 0;

n z (u, v) z n (u, v) R z 0.

Решив систему (14), определим траекторию центра сферы и линии ее соприкосновения с опорными поверхностями. Аппарат качения сферы по двум поверхностям, как и аппарат, описанный в главе 3, эквивалентен аппарату качения сферы по двум линиям, по которым сфера соприкасается с заданными поверхностями.

Примеры полученных поверхностей приведены на рис. 21, а и 21, б.

В пятой главе рассмотрены методы конструирования поверхностей на основе аппарата качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

Класс поверхностей, получаемых на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка, может быть значительно расширен, если использовать катящиеся поверхности 2-го порядка с изменяемыми по заданному закону параметрами.

Пусть задана линейчатая поверхность в виде дискретного линейчатого каркаса. Известно, что через любые три скрещивающиеся прямые проходит единственная линейчатая поверхность 2-го порядка. Если скрещивающиеся прямые параллельны некоторой плоскости, то поверхность, проходящая через них, является гиперболическим параболоидом, если прямые не имеют общей плоскости параллелизма, то через них проходит однополостный гиперболоид.

c a b а) ~ z c b y b 100 усл. ед.

a x a k c б) Рис. 21. Примеры поверхностей, полученных на основе аппарата качения сферы по поверхностям Таким образом, для любых трех обыкновенных образующих произвольной поверхности, находящихся на малых расстояниях между собой, можно построить единственную линейчатую поверхность 2-го порядка, проходящую через выбранные образующие и имеющую в каждой точке области, ограниченной крайними выбранными образующими, общие касательные с заданной поверхностью. Построив поверхности 2-го порядка, проходящие через линейчатые образующие заданной поверхности, можно ее представить как огибающую эти поверхности 2-го порядка.

Следовательно, любую линейчатую поверхность, не имеющую торсовых образующих, можно представить как поверхность, огибающую однопараметрическое множество линейчатых поверхностей 2-го порядка (однополостных гиперболоидов или гиперболических параболоидов).

Рассмотрим вопрос построения поверхности 2-го порядка, проходящей через три заданные скрещивающиеся прямые. Пусть каждая из трех скрещивающихся прямых задана двумя точками и Ai ( x iA y iA z iA ) z B ), где i 1, 2, 3. Уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:

i i i Bi ( xB yB a11x 2 a22 y 2 a33 z 2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44 0. (15) Уравнение (15) имеет девять независимых параметров, поэтому для их определения необходимы девять условий. В качестве условий потребуем, чтобы уравнение (15) выполнялось для трех точек, лежащих на каждой из заданных скрещивающихся прямых. Две точки – это точки Ai и Bi, определяющие прямую, в качестве третьей точки возьмем середину отрезка [ Ai Bi ], которую обозначим через Ci ( xC zC ). Подставив координаты i i i yC точек Ai, Bi, Ci в уравнение (15), получим следующую систему линейных уравнений относительно коэффициентов поверхности 2-го порядка aij :

a11x iA2 a22 y iA2 a33 z iA2 2a12 x iA y iA 2a13 x iA z iA 2a23 y iA z iA 2a14 x A 2a24 y A 2a34 z A a44 0;

i i i a11xB a22 y B a33 z B 2a12 xB y B 2a13 xB z B 2a23 y B z B i2 i2 i2 ii ii ii (16) 2a14 xB 2a24 y B 2a34 z B a44 0;

i i i a11xC a22 yC a33 zC 2a12 xC yC 2a13 xC zC 2a23 yC zC i2 i2 i2 ii ii ii 2a x i 2a y i 2a z i a 0, 14 C 24 C 34 C где i 1, 2, 3. Приняв a44 1 и решив систему линейных уравнений (16), получим значения коэффициентов aij в уравнении (15).

Для осуществления процесса качения гиперболоидов друг по другу в некоторой области необходимо, чтобы в соответствующих точках этих областей обе поверхности имели общую основную метрическую форму, т.е.

область одного гиперболоида являлась изгибанием соответствующей области другого.

Пусть нам задан однополостной гиперболоид. Выделим на нем три линейчатые образующие одного семейства, находящиеся на малом расстоянии между собой. Построим другой однополостной гиперболоид таким образом, чтобы он содержал изгибание области заданного гиперболоида, ограниченной выделенными крайними образующими.

Зададим каждую из выделенных на z N2 исходном гиперболоиде образующих двумя B B точками Ai ( x iA y iA z iA ) и Bi ( xB y B z B ), i i i A где i 1, 2, 3. Сделаем такое преобразо M вание системы координат, чтобы образующая, заданная точками A2, B2, в x ~ A ~ N2 новой системе координат стала B фронтально-проецирующей прямой и ~ O2 A22 B22 K 2 L2 A проходила через начало координат, и прямая, перпендикулярная образующей ~~ N1 N1 B31 B31 B B11 A1B1, была параллельна оси O x (рис. 22).

L Повернем образующую A3 B3 вокруг оси K1 M x O y на угол 2. Таким образом, мы A O A31 получим новое расположение образующих A ~ с теми же расстояниями между A y соответствующими точками, что и в Рис. 22. Преобразование определяющих образующих исходном положении.

гиперболоида Построим однополостный гиперболоид, проходящий через ~~ скрещивающиеся прямые A1B1, A2 B2 и A3 B3 методом, описанным выше.

Полученный гиперболоид имеет область, ограниченную образующими A1B1 и ~~ A3 B3, в каждой точке которой основная метрическая форма та же, что и в соответствующей точке области исходного гиперболоида, ограниченной образующими A1B1 и A3 B3. Следовательно, можно привести в соприкосновение эти два гиперболоида по соответствующим образующим, лежащим в областях, имеющих одинаковые основные метрические формы. Кроме этого можно осуществить качение одного гиперболоида по другому в пределах этих областей.

Рассмотрим вопрос качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности.

m li li li m Поверхность Поверхность Поверхность Рис. 23. Качение однополостного гиперболоида переменных параметров по линейчатой поверхности Пусть задана произвольная линейчатая поверхность. Выделим три линейчатые образующие поверхности, лежащие на малых расстояниях между собой – li 1, li, li 1 (рис. 23). Будем считать, что эти образующие обыкновенные и не имеют общей плоскости параллелизма. Построим однополостный гиперболоид ', проходящий через выделенные образующие.

Как было показано ранее, метрические свойства поверхности и построенного гиперболоида ' в области, ограниченной образующими li 1 и li 1, совпадают.

', Методом, описанным выше, построим однополостный гиперболоид имеющий область между образующими li1 и li1 с той же основной метрической формой, что и в области, заключенной между образующими li 1 и li 1, гиперболоида '. Выделим образующую m' гиперболоида ', в области между образующими li и li 1. Выделим образующую m ' гиперболоида ', находящуюся между образующими li и li1, на тех же расстояниях от них, что и m' от li и li 1. Приводим гиперболоиды ' и ' в соприкосновение вдоль образующих m' и m '.

Выделим следующую образующую li 2 поверхности, находящуюся на малом расстоянии от образующей li 1 (рис. 23). Будем считать, что образующая li 2 не торсовая и образующие li, li 1, li 2 не имеют общей плоскости параллелизма. Построим однополостный гиперболоид ' ', проходящий через образующие li, li 1, li 2. Построим однополостный гиперболоид ' ', имеющий область, ограниченную образующими li и li 2, с той же основной метрической формой, что и в области гиперболоида ' ', ограниченной образующими li и ~ l. Найдем образующую гиперболоида ' ' – m', находящуюся между i образующими li и li1, на тех же расстояниях от них, что и m' от li и li 1.

Выделим образующую m' ' гиперболоида ' ', лежащую между образующими ~ li 1 и li 2, и образующую гиперболоида ' ' – m' ', находящуюся между образующими li1 и li 2, на тех же расстояниях от них, что и m' ' от li 1 и li 2.

' ' ' Гиперболоиды и имеют общую область, ограниченную образующими li и li 1. Следовательно, гиперболоид ' ' можно привести в ~ соприкосновение и с ' и ' ' вдоль образующих m' и m'. Таким образом, если трансформировать гиперболоид ' в ' ', то соприкосновение вдоль ~ образующих m' и m' с гиперболоидами ' и ' ', а значит и с поверхностью, не нарушится. Но гиперболоид ' ' имеет в области между образующими li1 и li 2, ту же основную метрическую форму, что и в соответствующей области гиперболоида ' ', поэтому гиперболоид ' ' непрерывным качением можно ~ привести в соприкосновение с гиперболоидом ' ' вдоль образующих m' ' и m' '.

Далее выбираем следующую образующую поверхности и, проделав описанные выше действия, перекатываем гиперболоид в следующую область заданной линейчатой поверхности.

Пример ротативной циклической поверхности, полученной на основе рассмотренного аппарата с учетом деформации, приведен на рис. 24,а, без учета деформации – на рис. 24, б. На рисунках через d, d’, d’’ обозначены траектории точек, задающих образующую дугу окружности.

z d d d d1 d y d x 2000 усл. ед.

а) d d d d d d 100 усл. ед.

x y б) Рис. 24. Примеры поверхностей, полученных на основе аппарата качения однополостного гиперболоида по линейчатой поверхности В шестой главе описаны пакеты прикладных программ, разработанные на основе приведенных исследований, и показана методика их применения в архитектурно-строительном проектировании. Приведены примеры зданий и сооружений, разработанных с использованием предложенных методик.

По заказу кафедры архитектуры и градостроительства Ростовского государственного строительного университета был составлен каталог ряда поверхностей, разработанных по предложенной методике. Каждая поверхность, входящая в каталог, имеет трехзначный номер. Первая цифра номера поверхности определяет расположение опорных эллипсов в плане (1 или 2), вторая – расположение опорных эллипсов на профильной проекции (1, 2 или 3) и третья – тип поверхности (1, 2, 3 или 4). Полученные поверхности приведены в табл. 1. В качестве направляющих рассматривались симметричные дуги эллипсов, лежащие в одной плоскости или в разных плоскостях.

Таблица Каталог отсеков 11* 12* 13* 21* 22* 23* ** ** ** ** В табл. 2 приведены параметры опорных эллипсов. Через d обозначено расстояние между центрами дуг эллипсов в условных единицах, через – угол наклона плоскости эллипса к горизонтальной плоскости в градусах, a, b – полуоси эллипса в условных единицах, R – радиус катящейся окружности в условных единицах.

Таблица Параметры отсеков № Шифр a b d R 1 11* 200 100 0 0 2 12* 200 100 0 30 3 13* 200 100 0 30 4 21* 200 100 150 0 5 22* 200 100 150 30 6 23* 200 100 150 30 Разработанный каталог позволяет проектировщику быстрее найти нужное решение при использовании разработанного программного обеспечения в архитектурно-строительном проектировании.

Основные результаты и выводы 1. Произведен анализ основных методов образования поверхностей. В результате анализа выявлена необходимость расширения аналитических алгоритмов, определяющих законы перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе.

2. Разработаны наглядные способы задания законов перемещения образующих линий и поверхностей в каркасно-кинематическом методе на основе качения центральных поверхностей второго порядка по различным направляющим.

Разработаны алгоритмы образования поверхностей, имеющие 3.

следующие преимущества:

- позволяют получить поверхности, которые включают в себя заданные линии и поверхности, что значительно упрощает вопросы стыковки отсеков различных типов поверхностей;

- обеспечивают наглядность выбора параметров при получении поверхностей заданного вида;

- технологичны в производстве и могут быть легко воспроизведены в реальности.

4. Разработаны аналитические зависимости, описывающие аппарат образования поверхностей на основе качения сферы по двум опорным линиям.

В качестве опорных линий могут быть выбраны плоские или пространственные линии, заданные в аналитическом виде или в виде дискретного точечного каркаса. Для случая, когда опорная линия задана в виде точечного каркаса, создан алгоритм аппроксимации заданных точек полиномиальными В сплайнами.

5. Разработан комплекс алгоритмов образования поверхностей на основе аппарата качения сферы по линии и поверхности, по двум поверхностям. В качестве опорных поверхностей могут быть использованы развертываемые (торсовые) или неразвертываемые поверхности. Если опорная поверхность не имеет аналитического описания, то применяется созданный алгоритм аппроксимации поверхности полиномиальными В-сплайнами.

6. Разработан алгоритм образования поверхностей на основе аппарата качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатой поверхности. Использование в аппарате поверхности второго порядка переменной геометрии значительно расширяет возможности данного аппарата.

7. Разработаны и реализованы программные средства образования различных типов поверхностей на основе аппаратов кинематики поверхностей 2-го порядка, позволяющие значительно расширить возможности синтеза поверхностей в системах автоматизированного проектирования на основе каркасно-кинематического метода.

8. На основе рассмотренных аналитических зависимостей созданы пакеты прикладных программ, позволяющие применять предложенный комплекс алгоритмов образования поверхностей в практических задачах архитектурно строительного проектирования. Разработанные программные продукты могут быть использованы как в качестве самостоятельных программ, так и в качестве модулей образования поверхностей в архитектурно-строительных системах автоматизированного проектирования.

Разработана общая методика применения пакетов прикладных 9.

программ при проектировании зданий и сооружений и каталог генерируемых моделей поверхностей.

Основные публикации по теме диссертационной работы Статьи, опубликованные в изданиях рекомендованных ВАК:

1. Замятин, А.В. Выявление новых типов геометрических соответствий на основе аппарата кинематики сферы [Текст] / А.В. Замятин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2005. - № 1. - С. 31-34.

2. Замятин, А.В. Образование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка [Текст] / А.В. Замятин // Вестник ИжГТУ. – 2007. - №3. – С. 120–122.

3. Замятин, А.В. Конструирование циклических поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка [Текст] / А.В. Замятин // Вестник ИжГТУ. – 2007. - № 3. – С. 132–134.

4. Замятин, А.В. Выявление геометрических соответствий на основе кинематики поверхностей 2-го порядка переменной геометрии [Текст] / А.В.

Замятин // Вестник ИжГТУ. – 2007. - № 4. – С. 69–71.

5. Замятин, А.В. Выявление новых типов геометрических соответствий при качении сферы по различным направляющим элементам [Текст] / А.В.

Замятин // Вестник ИжГТУ. – 2007. - №4. – С. 71–74.

6. Замятин, А.В. Алгоритмы визуализации нелинейчатых поверхностей [Текст] / А.В. Замятин, В.В. Сухомлинова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2010. - № 6. - С.

30-39.

7. Замятин, А.В. Формообразование поверхностей на основе аппарата качения сферы по поверхностям общего вида [Текст] / А.В. Замятин, В. В.

Сухомлинова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. – 2011. - №1. - С. 20-23.

8. Замятин, А.В. Алгоритм построения линии пересечения поверхностей общего вида [Текст] / А.В. Замятин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2011. - № 2. - С.

100-102.

9. Замятин, А.В. Один из методов аппроксимации отсека нелинейчатой поверхности [Текст] / А.В. Замятин, В.В. Сухомлинова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. – 2012. - № 5. – С. 49-51.

10. Замятин, А.В. Алгоритм построения точек пересечения нелинейчатых поверхностей с прямыми в среде ObjectARX для AutoCAD [Электронный ресурс] / А.В. Замятин // Инженерный вестник Дона. – 2010. №3. – Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/issue/95/ (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.

11. Замятин, А. В. Алгоритм расчёта вторых отражений на основе геометрической модели [Электронный ресурс] / А.В. Замятин, В.В.

Сухомлинова // Науковедение. – 2012. - №3. – Режим доступа:

http://naukovedenie.ru/sbornik12/12-88.pdf (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.

12. Замятин, А. В. Алгоритм расчёта первых отражений на основе геометрической модели [Электронный ресурс] / А.В. Замятин, В.В.

Сухомлинова // Науковедение. – 2012. - №3. – Режим доступа:

http://naukovedenie.ru/sbornik12/12-89.pdf (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.

13. Замятин, А. В. Алгоритм аппроксимации поверхности сплайнами [Электронный ресурс] / А.В. Замятин, А.Е. Кубарев, Е.А. Замятина // Науковедение. – 2012. - № 3. – Режим доступа: http://naukovedenie.ru/ sbornik12/12-90.pdf (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.

14. Замятин А. В. Алгоритм сплайн-аппроксимации нелинейчатой поверхности [Электронный ресурс] / А.В. Замятин, А.Е. Кубарев, Е.А.

Замятина// Науковедение. – 2012. - №3. – Режим доступа: http://naukovedenie.ru/ sbornik12/12-91.pdf (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.

15. Замятин, А. В. Алгоритм построения линии пересечения каналовых поверхностей [Электронный ресурс] / А.В. Замятин, Е.А. Замятина // Науковедение. – 2012. - № 4. – Режим доступа: http://naukovedenie.ru/PDF/ 18trgsu412.pdf (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.

16. Замятин, А.В. Алгоритм построения развертки поверхностей [Электронный ресурс] / А.В. Замятин, Е.А. Замятина // Инженерный вестник Дона. - 2012. - № 4. – Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/ n4p2y2012/1233 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.

Монографии:

17. Замятин, А.В. Конструирование поверхностей на основе кинематики сферы [Текст] / А.В. Замятин. -Элиста: Джангр, 2001. -107 с. :ил.

18. Замятин, А.В. Конструирование поверхностей на основе кинематики сферы (часть 2) [Текст] / А.В. Замятин. - Элиста: Джангр, 2002. - с. :ил.

19. Замятин, А.В. Конструирование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям [Текст] / А.В. Замятин. -Элиста: Джангр, 2002. -71 с. :ил.

20. Замятин, А.В. Формообразование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка [Текст] / А.В. Замятин. -Ростов-на Дону: Издательство РГСУ, 2005. -190 с. :ил.

Статьи в сборниках научных трудов:

21. Замятин, А.В. Кинематика сферы [Текст] / А.Л. Мартиросов, А.В.

Замятин, Г.С. Рачковская // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: КДТУБА. - 1997. - Вып. 61. - С. 168-171.

22. Замятин, А.В. Новые способы образования оболочек на основе кинематики поверхностей второго порядка [Текст] / А.В. Замятин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2004. - Приложение № 9. - С. 93-98.

23. Замятин, А.В. Образование циклических поверхностей на основе кинематики поверхностей второго порядка [Текст] / А.В. Замятин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2004. - Приложение № 9. -С. 99-104.

24. Замятин, А.В. Аппроксимация порции поверхности по методу Фергюсона [Текст] / А.В. Замятин, В.В. Сухомлинова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2006. Приложение № 2. - С. 58-60.

Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ:

25. Замятин, А.В. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум пространственным линиям [Текст] / А.В. Замятин / Св. № 2003610676. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем.

Официальный бюллетень ФИПС. №2, 2003. – С. 144.

26. Замятин, А.В. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по пространственной линии и торсу [Текст] / А.В. Замятин / Св. № 2003610675. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем.

Официальный бюллетень ФИПС. №2, 2003. – С. 144.

27. Замятин, А.В. Конструирование поверхностей на основе качения сферы по двум торсам [Текст] / А.В. Замятин / Св. № 2003610674. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС. №2, 2003. – С. 144.

Замятин, А.В. Конструирование поверхностей на основе качения 28.

однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям [Текст] / А.В. Замятин / Св. № 2003610673. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС.

№2, 2003. – С. 143-144.

29. Замятин, А.В. Преобразование каркасных моделей поверхностей в поверхностные модели [Текст] / А.В. Замятин / Св. № 2003610672. Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем. Официальный бюллетень ФИПС. №2, 2003. – С. 143.

30. Замятин, А.В. Расчет акустических параметров помещений сложной формы [Текст] / А.В. Замятин, В.В. Сухомлинова / Св. №2006610222.

Программы для ЭВМ, базы данных, топологии интегральных схем.

Официальный бюллетень ФИПС. 2005.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.