Захват в резонансное вращение и физическая либрация многослойных небесных тел

Институт прикладной астрономии

На правах рукописи

Гусев Александр Васильевич ЗАХВАТ В РЕЗОНАНСНОЕ ВРАЩЕНИЕ И ФИЗИЧЕСКАЯ ЛИБРАЦИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ Специальность 01.03.01 – Астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Санкт - Петербург 2008

Работа выполнена в Казанском государственном университете им В.И.Ульянова Ленина.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Бабаджанянц Левон Константинович доктор физико-математических наук, профессор, чл.-корр. РАН Белецкий Владимир Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Красинский Георгий Альбертович Ведущая организация Главная Астрономическая Обсерватория РАН (Пулково, С - Петербург)

Защита состоится 2008 г. в 10 час. на заседании диссертационного совета Д.002.067.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте Прикладной Астрономии РАН, 191187, Санкт-Петербург, наб. Кутузова, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПА РАН.

Автореферат разослан 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Медведев Ю.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Экспоненциальный рост наблюдательной и теоретической информации по планетам и лунам Солнечной системы, планетным системам вне солнечного типа, пульсарам предъявляет особые требования к широте и глубине научного анализа на базе фундаментальных представлений о небесной механике, образовании и эво люции Солнечной системы, физике протопланетного вещества, сложного внутреннего многослойного строения небесных тел.

Интерес к вращательной эволюции небесных тел всегда занимал важное место в за дачах астрометрии и небесной механики. Но именно в последние годы, в связи с получе нием информации высокой точности и надежности о спин-орбитальных характеристиках планет и лун Солнечной системы, экзопланетных систем, появился мощный поток научно теоретических публикаций по внутреннему строению этих небесных тел. Причина этого всплеска кроется в возможности изучать внутреннее строение небесных тел через особен ности их вращения.

В настоящее время Луна является объектом глубокого исследования по многим кос мическим экспериментам: миссии NASA Клементина (1994) и Лунар Проспектор (1998– 1999), лазерная локация Луны (ЛЛЛ) (1969-2006), европейский спутник СМАРТ- (2003-2006). В программу исследований включается изучение тонких эффектов враща тельного движения - физической либрации, исследование гравитационного поля Луны и планет методами межспутникового слежения, создание селенографической системы коор динат, моделирование внутреннего строения Луны. Исследования последних десятилетий однозначно поставили перед учеными проблему существования и происхождения лунного ядра: есть ли оно, какова его структура, химический состав и агрегатное состояние. Эти вопросы непосредственно связаны с глобальной проблемой происхождения и эволюции системы Земля-Луна.

Реализация современных долгосрочных программ исследования Луны в рамках проектов ЛЛЛ, SELENE, ILOM (JAXA, Japan), LRO (NASA), Chang’e (China), Chandrayaаn (India), Луна Глоб (РКА, Россия) направлена как на создание долговременных лунных баз, так и на получение широкого спектра информации о лунном гравитационном поле, о точ ном положении Луны в инерциальной системе координат, динамической и геометрической фигуре Луны и ее внутреннем строении.

Изучение свободной и вынужденной либрации в теории физической либрации вязко-упругой Луны также является одним из важных этапов в изучении динамики и внут реннего строения нашего естественного спутника.

Данные лазерной локации Луны с Земли показывают наличие свободной либрации и жидкого ядра Луны. Но механизм поддержания долговременной свободной либрации не достаточно ясен. Кроме того, данные ЛЛЛ привели к открытию диссипации вращательного движения Луны. Природа аномальной диссипации не определяется однозначно. Хотя учет приливной диссипации уменьшает расхождение теории с наблюдениями, этого эффекта недостаточно, чтобы объяснить полностью обнаруженную диссипацию.

Методы структурного анализа внутреннего строения, разработанные для Земли, могут быть успешно использованы и для Луны, но необходимость принимать во внимание резонансный характер ее орбитально-вращательного движения существенно усложняет математическое описание этих процессов. Важно построить аналитическую теорию для спин-орбитального движения Луны высокой точности. Эта теория должна быть пригодна для уточнений параметров гравитационного поля, резонансных либраций, чисел Лява, добротности Q, вязкости мантии и ядра. Необходимо принимать во внимание спин орбитальные взаимодействия, резонансное взаимодействие с Венерой, а также построение трехслойной модели вязкой Луны с приливной и турбулентной диссипацией на границе мантия-ядро. Особое значение приобретает исследование свободной либрации Луны. Оп ределение периодов и амплитуд свободных либраций позволит сделать вывод о наличии жидкого ядра Луны, оценить его размеры, форму, геофизический состав, тепловой про филь. Большое значение будут иметь либрационные наблюдения в ILOM-проекте миссии SELENE-B (2013г).

В настоящее время открытие более 260 планетных систем вокруг звезд главной последовательности и пульсаров породило огромный интерес к фундаментальным вопро сам космогонии, образованию и ранней эволюции планет земного типа, устойчивости пла нетных систем в экстремальных условиях и на космологических шкалах времени, фунда ментального влияния гравитационных, магнитных полей и приливных эффектов на обра зование резонансных структур во Вселенной.

Открытие планет вне Солнечной системы (экзопланет) обозначило начало новой эпохи развития и применения методов небесной механики. С момента обнаружения в г. первой экзопланеты к настоящему времени открыто 260 экзопланет в 232 планетных системах около звезд главной последовательности и 5 планет в 2 планетных системах око ло пульсаров. Согласно каталогу планет внесолнечного типа 39 % больших полуосей ор бит экзопланет не превышают 0.5 а.е., среди которых 26 планет имеют а ~ 0.1 a.e. Для пла нет с массами меньше массы Юпитера большие полуоси орбит лежат в узком интервале от 0.02 а.е. (OGLE-TR-56) до 0.5 а.е. Среди открытых экзопланет 66 обращается по эллипти ческим орбитам с е 0.3 и 22 имеют е ~ 0.1. Все планеты, обращающиеся около звезд главной последовательности, имеют массу порядка массы Юпитера, которые обращаются на расстояниях от 0.05 до 2 а.е. с периодами обращения от 25 до 1000 дней. Периоды об ращения планет внесолнечного типа около звезд главной последовательности можно ус ловно разделить на три группы: 1) короткопериодичные ( 30 дней) – 26 экзопланет, среди которых 20 имеют период обращения менее двух недель;

2) среднепериодичные (от 0.5 ме сяца до 3 лет) – 61 планета и 3) долгопериодичные (свыше 3 лет) – 30 планет. Открытые короткопериодичные экзопланеты дают возможность проследить эволюцию орбиты, а в будущем - и параметров вращения.

В настоящее время известны 26 мультипланетных систем, в которые входят 37 экзо планет. В 17 мультипланетных планетарных системах планеты обращаются в орбитальном резонансе, причем наблюдаются как резонансы порядков 2:1 (Gliese 876, HD 82943, HD 160691), 3:1 (55 Cnc), 3:2 (PSR B1257+12), так и высоких порядков 5:1 ( And), 7:3 ( Uma), 10:1 (HD 37124), 11:2 (HD 12661).

Обнаруженные планеты внесолнечного типа обладают очень разнообразными дина мическими характеристиками, что ставит задачу детального изучения вопросов эволюции их вращения для широкого спектра параметров планетной системы с учетом возмущений со стороны гравитационных, магнитных и приливных моментов. Особый интерес пред ставляет класс экзопланет – «горячие Юпитеры», которые обращаются вокруг родитель ской звезды на очень близких расстояниях от звезды (0.02 – 0.5 а.е.). Имея массу порядка массы Юпитера, верхние слои атмосферы планеты разогреваются до 2000 0С. На вращение «горячих Юпитеры» существенным образом оказывают влияние приливные моменты, что делает экзопланеты особенно интересными объектами исследований.

Цели и задачи работы Настоящая работа имеет своей целью исследование особенностей вращения много слойных тел:

Изучение тонких эффектов физической либрации во вращении Луны, связанных с 1.

наличием у нее многослойного ядра.

Анализ свободных либраций и нутаций для многослойной Луны, моделирование 2.

внутреннего строения Луны и внутренних планет Солнечной системы.

Исследование сценариев гравитационного и приливного захвата небесных тел в ре 3.

зонансное вращение методами качественного анализа, теории бифуркации и структурной устойчивости динамических систем.

Исследование вращательной эволюции экзопланет под действием гравитационных и 4.

магнитных возмущений для широкого спектра параметров.

Изучение поведения вектора кинетического момента экзопланеты под действием 5.

приливных возмущений со стороны звезды методами качественного анализа.

Основные методы исследований Мы представляем анализ системы дифференциальных уравнений гравитационного захвата в резонансное вращение динамически-симметричного тела под действием гравита ционных и приливных моментов для случая плоского движения. Использованы методы ка чественного, бифуркационного и структурного анализа динамических систем Методом Гамильтоновой динамики получены значения периодов свободных либра ций многослойных небесных тел. Исследование периодов свободных либраций Луны и многослойных планет проводилось методом компьютерного моделирования. Исследова ния внесолнечных планетных систем проводились методами качественного анализа и тео рии бифуркаций динамических систем на плоскости, сфере и цилиндре, описывающих вращательную эволюцию экзопланетных систем.

Научная новизна работы 1. В рамках Гамильтонова подхода к описанию дифференциального вращения много слойных небесных тел развита теория и впервые сделаны оценки периодов возможных свободных либраций и свободной нутации внешнего жидкого и твердого внутреннего ядра Луны. Впервые рассчитан спектр свободных либраций и выполнено моделирование с це лью определения зависимости полученных периодов свободного вращения от радиуса, плотности, химического состава ядра.

2. Методами теории качественного исследования и теории бифуркаций впервые проведен полный качественный анализ уравнений захвата небесных тел в резонансное вращение под действием гравитационного и приливного моментов. Методами теории бифуркаций по строено разбиение пространства параметров исследуемых задач на топологические неэк вивалентные области эволюции планетных систем.

3. Впервые построены галереи из 15 (под действием только приливного момента) и (под действием гравитационного и приливного моментов) фазовых портретов всех этапов захвата небесного тела в резонансное движение, имеющие важное космогоническое значе ние. Выявлены условия, при которых может происходить захват в резонансное вращение.

4. Впервые исследованы эволюционные уравнения, описывающих вращение динамически симметричного небесного тела под действием гравитационных и магнитных моментов с учетом эволюции орбиты для всех возможных значений динамических параметров экзо планетных систем. Впервые получена галерея фазовых портретов на плоскости, сфере и цилиндре для всех значений параметров эволюционной системы уравнений под действием основных возмущающих моментов;

построены бифуркационные кривые и поверхности, описывающие топологическую перестройку фазового пространства и разбиение простран ства параметров.

5. Проведен анализ системы эволюционных уравнений для динамически-симметричной экзопланеты под действием приливных моментов. Впервые проведен полный анализ урав нений захвата в резонансное вращение под действием только приливного момента: впер вые выявлены бифуркационные плоскости, описаны 19 фазовых картин, показана возмож ность захвата в резонанс планет и спутников как с прямым вращением (Луна, Меркурий), так и с обратным (Венера). Построены бифуркационные кривые и поверхности, описы вающие топологическую перестройку фазового пространства, и разбиение пространства параметров эволюционных уравнений.

Научная и практическая значимость.

В работе представлен комплекс исследований вращательной эволюции Луны, экзо планетных систем и пульсаров на основе аналитического, качественного и бифуркацион ного подходов. Проведенный анализ галереи фазовых портретов дает широкий спектр час тот свободной либрации Луны, эволюционных треков вращения внесолнечных планет, расширяющий космогонические сценарии образования и эволюции планетных систем.

Анализ бифуркационных кривых динамических систем конкретизирует критические зна чения динамических параметров экзопланетных систем.

Галерея более чем из 120 фазовых портретов гравитационного захвата и выхода из резонанса подтверждает и расширяет известные сценарии образования резонансных зон и их перестройки. Среди исследуемых бифуркаций мы встречаем типичные катастрофы Ар нольда-Тома, которые иллюстрируют структурную устойчивость явления гравитационного захвата в резонансное вращение. Полученные результаты могут играть роль начальных данных для оценки вероятности гравитационного захвата конкретных небесных тел.

Проведен качественный анализ уравнений захвата небесных тел в резонансное вра щение под действием гравитационного и приливного моментов. Выявлены все бифуркаци онные поверхности, плоскости и кривые. Проанализированы полученные результаты, вы явлены условия, при которых может происходить захват в резонансное вращение конкрет ных планет и лун. Данная методика позволяет при задании начальных данных оценивать вероятность захвата тела в резонанс реальных небесных тел.

Рассчитанный спектр периодов свободных либраций и свободной нутации внешнего жидкого и твердого внутреннего ядра многослойной Луны цитируется ведущими специа листами JPL, NASA и используется при обработке данных лазерной локации Луны.

Предложен проект оценок и рекомендаций по наблюдению физической либрации многослойной Луны для японской робототехнической программы ILOM на южном полюсе Луны на 2008-2013 гг.

Основные результаты подтверждены: тщательностью аналитических расчетов, ана литическим переходом от хорошо известных простых случаев к исследуемым сложным случаям в динамических системах;

сравнением и совпадением в области пересечений ре зультатов вычислений с известными исследованиями других авторов.

Результаты диссертации также могут быть использованы в следующих астрономиче ских учреждениях: ГАИШ МГУ, ИНАСАН, ИКИ, ИПА (Санкт-Петербург), Пулковская обсерватория, ФИАН.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Развитие гамильтонового подхода для описания дифференциального вращения многослойных небесных тел. Компьютерное моделирование периодов свободных либра ций для различных моделей многослойной Луны и многослойных планет земного типа при различных значениях фундаментальных характеристик и внутреннего строения планет и лун.

2. Качественный анализ уравнений захвата небесных тел в резонансное вращение под действием гравитационного и приливного моментов. Построение и разбиение про странства исследуемых задач на топологические неэквивалентные области эволюции пла нетных систем методами теории бифуркаций. Структура бифуркационных поверхностей, плоскостей и кривых в пространстве параметров.

3. Построение галереи из 15 (под действием только приливного момента) и 79 (под действием гравитационного и приливного моментов) фазовых портретов всех этапов за хвата небесного тела в резонансное движение, имеющие важное космогоническое значе ние. Последовательный анализ фазовых портретов одно-, двух-, трех-, четырех параметрических динамических систем (ДС) и бифуркационный анализ пространства па раметров гравитационного захвата в резонансное вращение и переходных режимов из од ного типа резонанса в другой.

4. Качественный и бифуркационный анализ дифференциальных уравнений захвата в резонансное вращение Луны и многослойных планет под действием приливного момен та. Выделение бифуркационных плоскостей и построение галереи из 19 фазовых портре тов. Галерея из 64 фазовых портретов на плоскости, двумерной сфере и цилиндре для всех значений параметров эволюционной системы уравнений вращения экзопланетных систем под действием основных возмущающих моментов.

5. Структурный анализ галереи фазовых портретов на плоскости, сфере и цилиндре для всех значений параметров эволюционной системы уравнений под действием основных возмущающих моментов. Построение бифуркационных кривых и поверхностей, описы вающих топологическую перестройку фазового пространства, и разбиение пространства параметров эволюционных уравнений вращения экзопланетных систем.

Апробация работы Результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались на научных семи нарах и итоговых конференция КГУ (1987 – 2008гг.), Координационном Совете по небес ной механике ГАИШ, МГУ, общеинститутском семинаре ИКИ РАН, а также было сделано более 130 устных и стендовых докладов на 54 Всероссийских и Международных конгрес сах и конференциях:

[1] 22, 24, 25, 26 Генеральные ассамблеи МАС (IAU): 1994, Гаага;

2000, Манчестер;

2003, Сидней;

2006, Прага.

[2] 30, 32, 33, 34, 35 Генеральные ассамблеи Коспар (COSPAR): 1994, Гамбург;

1998, Нагоя;

2000, Варшава;

2002, Хьюстон;

2004, Париж;

2006, Пекин.

[3] Всероссийские астрономические конференции: “ВАК-2001”, Санкт-Петербург;

“ВАК- 2004”, Москва;

“ВАК- 2007”, Казань.

[4] 14th Int. Congress of Mathematicians, 1994, Zurich;

11th – 12th Int. Assembly on Mathematical Physics “IAMP-11”:1994, Paris;

“ICMP-12", 2000, London;

Int. Congress on Theoretical Physics «TH 2002», 2002, Paris;

Int. conf. «New Geometry of Nature, 25 Aug.-5 Sept, 2003, Kazan [5] Int. conf. “Dynamical systems and chaos”, 1994, Tokyo University;

Меж. конф. “Modern the theory of dynamical systems and application. to theoretical Cel. Mech.”, 2002, МИАН, Москва [6] Меж. Математит. Конгресс “Нелинейная динамика-2007”, Июнь 4–8, 2007, С-Петербург [7] All-Russian Conference with international. participation "Problems of Celestial Mechanics" Inst. of Theoretical Astronomy. RAS, St.-Petersburg, 1997;

Scientific Conference "New Theo retical Results and Practical Problem of Celestial. Mechanics", Dec. 2-4, 1997, MSU, Moscow.

[8] IAU Symposium 172, ''Dynamics, ephemerides and astrometry in solar system'',1995, Paris;

IAU Colloquium 165, ''Dynamics and astrometry of Natural Celestial Bodies", 1996, Poznan.

[9] The 6th Всероссийская конференция "Новые результаты аналитической и качественной небесной механике", 2000, ГАИШ, Москва;

US-European Celestial Mechanics Workshop, 3-7 July, 2000, Poznan, Poland;

Меж. конференция «Небесная механика-2002: результаты и перспективы», 2002, Институт Прикладной Астрономии, Санкт-Петербург.

[10] Conference of the NATO ASI "Lives of the neutron stars", 29 Aug.-11 Sept., 1993, Kemer, Turkey;

C. Lanczos Inter. Center. Conference, 12-17 Dec., 1993, Raleigh, NC, USA;

1st Int.

Conference on Cosmoparticle Physics " COSMION - 94 ", 1994, Moscow;

Int. Conf. “GR-12”, June, 19-24, 2005, Kazan, Russia, Int. conf. on Gravitation and Cosmology, 2006, Moscow.

[11] Меж. конференция «Scientific Frontiers in Research on Extrasolar Planets», 2002, Вашинг тон;

Коллоквиум МАС № 189 «Astrophysical Tides: Effects in the Solar and Exoplanetary Systems», 2002, Нанкин;

1st European Planets Scientific Conf., 18-22 Sept., 2006, Berlin.

[12] XXIX General Assembly of the International Association of Seismology and Physics of the Earth's Interior (IASPEI), 1997, Thessaloniki;

Symposium of SEDI'98, Vinci -Tours, 1998, France;

The Russian Conf. "The Earth's core 2000", 2000, Moscow, Russia;

7th Symposium Study f Earth’s Interior, 2000, Exeter, UK;

IAGA-IASPEI Scientific Assembly, 2001, Hanoi;

23th–24th Gen. Assembly of Int. Union Geodesy and Geophysics: 2003, Sapporo;

2007, Perugia [13] Меж. Конф. "Геометризация физики III, IV", 1997,1999г, КГУ, Казань;

Меж. конф. «100 лет АОЭ», 2001, КГУ, Казань;

Int. Conf. “Near-Earth Astronomy”, Sept. 19-24, 2005, Kazan.

[14] Меж. конференция "JENAM 2000", МГУ, Москва, "JENAM 2002", Порту, Португалия;

Меж. конференция ЕААS "Международное сотрудничество в области астрономии", 2002, ГАИШ, Москва;

8th General Assembly of EAAS, June 1 -6, 2005, MSU, Moscow.

[15] Int. Scientific Conf. “ILOM”, Nov. 19-20, 2004. Kagoshima Univ.;

2nd Int. Annual Sci.. Conf.

“RISE”, Feb, 17-18, 2005, NAOJ, Mitaka;

8th Int. Lunar Expl. WG, 17-23 July, 2006, Beijing.

[16] 36th – 38th Lunar and Planets Scientific Conference, Houston, USA: 2005, 2006, 2007 гг.

[17] 5th Генеральная ассамблея Меж. Аэрокосмического союза (IAC), 27-31 Авг. 2006, Москва.

Различные этапы работы прошли предварительную экспертизу и были поддержаны многочисленными международными грантами (NASA, JSPS, IAU, COSPAR, IUGG, IASPEI, IAMP) для участия в научных конференциях и стажировках и российскими гран тами: грант Президента РФ (2005 – 2006 гг.) в качестве научного руководителя кандидат ской диссертации (И.Н.Китиашвили), международный грант РФФИ - JSPS (Россия – Япо ния, 2007-2009 г) Публикации и личный вклад автора.

Основные результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоя тельно. Основные результаты диссертации опубликованы в 46 работах, 41 работы написа ны совместно с соавторами. Материал всех 46 работ изложен в 28 публикациях ведущих отечественных и зарубежных изданиях, 17 статей - в Трудах международных и всероссий ских конференций. Среди всех публикаций автора 21 работа, содержащие основные науч ные результаты диссертации, опубликованы в ведущих рецензируемых научных журна лах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссии и, согласно Постановлению Правительства Российской Федерации от 20 апреля 2006 г. N 227, приравненным к ним:

депонированным в организациях государственной системы научно-технической информа ции рукописи работ и опубликованными в материалах всесоюзных, всероссийских и меж дународных конференций и симпозиумов Сделано более 130 докладов на Всесоюзных, Российских и Международных конфе ренциях, симпозиумах и конгрессах. Проводимые исследования охватывают широкий круг вопросов небесной механики, динамических систем в астрономии. В совместных публика циях диссертанту принадлежит постановка задач, формулировка и решение основных уравнений вращения, интерпретация решений. В большей части совместных с коллегами работ роль диссертанта является ведущей (где он первый автор);

в остальных работах уча стие соавторов в проведении исследований и анализе результатов – равное.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и че тырех приложений. Работа изложена на 354 страницах, включает 130 рисунков (71 в при ложениях А, Б, С, Д), 25 таблиц (14 в приложении Б, 6 в Приложении С, 3 в Приложении D). Список литературы состоит из 326 библиографических ссылок.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее ос новные цели и задачи, перечислены результаты работы, выносимые на защиту, указана их новизна, значимость и перспективы их использования, приведена структура и содержание диссертации.

В первой главе дается обзор теоретических достижений при исследовании спин – орбитальной эволюции планетных систем. В параграфе 1.1 описываются основные этапы исследований вращательной эволюции небесных тел от работ Л. Эйлера, Дж.Л. Лагранжа, П.С. Лапласа до современности. Дан краткий обзор опубликованных работ по теории вра щения, захвата в резонансное вращение и устойчивости вращения небесных тел. Выведены базисные уравнения, описывающие нерезонансное вращение небесных тел. В параграфе 1.2 дано описание вращения, внутреннего строения и эволюции Луны. Описаны законы Кассини для твердотельной модели Луны. На основе последних данных ЛЛЛ и миссий Клементина (1994г) И Лунар Проспектор (1998-99гг) представлен геофизический разрез полной Луны и ее центральной части – жидкого расплавленного ядра. В параграфе 1.3 рас смотрены приливные явления в Солнечной системе и в планетных системах около других звезд. Показана важность приливного возмущения при захвате небесного тела в резонанс ное вращение вокруг центрального тела как на ранних этапах, так и на космогонических временах, эволюции планетных системах с естественными спутниками. Параграф 1. включает обзор современных данных об открытых планетах внесолнечного типа (экзопла нет) около звезд главной последовательности и пульсаров, приводятся статистические рас пределения по основным характеристикам планетных систем. Описываются основные эво люционные теории, объясняющие наблюдаемые характеристики экзопланетных систем.

Дается краткий обзор методов открытия и исследования экзопланет. Приводится данные о действующих и готовящихся к старту космических и наземных миссиях и проектах. В па раграфе 1.5 представлен краткий обзор по внутреннему строению и вращению нейтронных звезд. В параграфе 1.6 излагаются основные положения качественного анализа динамиче ских систем (ДС), теории бифуркаций и структурной устойчивости, приведены методы ис следования ДС в небесной механике, которые используются в диссертации Во второй главе всесторонне рассмотрена вынужденная и свободная физическая либрация многослойной Луны.

В параграфе 2.1 представлены обобщенные законы Кассини для двухслойной моде ли Луна (Рис.1), указаны основные разновидности либрации многослойной Луны, рас смотрена физическая либрация однородной Луны, оценено влияние диссипации энергии на границе ядро-мантия на вращение Луны.

В параграфе 2.2 рассмотрена свободная либрация многослойной вязко - упругой Луны. Сформулирован Гамильтонов подход к вращению многослойной Луны и вычислены моды свободных либраций, проведено моделирование периодов свободных либраций в за висимости от размера жидкого ядра, геохимического состава, динамического сжатия двух слойного ядра, приведены периоды и амплитуды свободных либраций.

Рис. 1 Вращение Луны по законам Кассини. Положение Луны показано в диаметрально противопо ложных точках лунной орбиты: в момент T0 и через половину орбитального периода (T0+Tорбит/2). Оси вращения эклиптики Рэклиптики, лунной орбиты Рорбиты и лунного вращения Рэкватора лежат в одной плос кости – плоскости Кассини.

В параграфе 2.3 анализируется строение и динамика лунного ядра, демонстрируют ся аргументы в пользу существования сложного двухфазного лунного ядра – внутреннее железное твердое ядро и внешнее жидкое эвтектическое ядро, представлен геофизический разрез ядра Луны.

Существует несколько аргументов в пользу существования у Луны железного ядра небольшого размера, до 600 км с малой примесью серы и/или кислорода, и горячей вязкой нижней мантии.

Структура гравитационного поля Луны, выявленная из сопоставления высоко точных траекторных измерений Lunar Prospector с результатами лазерной альтиметрии, проведенной с борта Clementine, а также с данными лазерной локации Луны (1970-2006), предполагает возможность наличия металлического ядра. Современное определение вели C 0.39232 0.0002 согласуется с железным ядром радиуса чины полярного момента MR M 220 – 450км или с примесью серы 330 – 590 км (Konopliv et al, 2001).

Интерпретация значения полярного момента в рамках химических, тепловых и плотностных моделей лунной коры и мантии позволила сделать выводы о массе и разме рах ядра. Таким образом, был получен скачок плотности от 3,8 г/см3 до 7,0 г/см3 на глуби не примерно 1250 км - (Dickey et al., 1994;

Kuskov, Kronrod, 1998, 2001).

Остаточная намагниченность лунных пород, выявленная миссией Apollo, гово рит о сильном магнитном поле в несколько гауссов у Луны в период 3,9 – 3,1 млрд. лет то му назад, которое могло генерироваться благодаря динамо-механизму в жидком железном ядре в ранний период эволюции (Runcorn,1996, Stegman et al, 2003) Магнитометрические измерения, выполненные Lunar Prospector(1998), независи мо подтверждают наличие металлического ядра радиусом 250 – 430 км.

Несовпадение центра масс и центра фигуры и переориентация осей инерции от носительно оси вращения объясняется формированием лунного ядра только через 500 млн.

лет после образования Луны, т.е. 4,1 млрд. лет тому назад (Runcorn, 1996).

Оценка числа Лява, выявленная при детальном анализе данных по дистанционному слежению LP (Konopliv et al, 2001), k2 = 0.025+/– 0.003, свидетельствует о частичном плав лении в вязкой нижней мантии на границе с жидким ядром, возможно, с образованием зо ны в 200-300 км с ультранизкими скоростями сейсмических волн.

Анализ диссипации вращения Луны, полученной из ЛЛЛ, показал, что могут быть два источника диссипации: месячные твердотельные приливы и жидкое ядро, вращение которого отличается от вязко-упругой мантии ( Williams et al., 2001). Оба эффекта были рассчитаны численным интегрированием уравнений вращения Луны, и, как результат, был получен радиус ядра Rc = 352 км для чисто железного ядра, и Rc = 374 км – для ядра с эв тектической композицией Fe-FeS. Лабораторные данные экспериментов при сверхвысоких температурах и давлениях, соответствующих условиям лунного ядра, дают значения плот ности жидкого железа с = 7 г/cм3, твердого железа – с = 7,8 г/cм3, эвтектического состава Fe-FeS – с = 5,3 г/cм3. В Табл. 1 представлены геофизические характеристики лунного яд ра – плотность, давление, температура, теплоемкость и др. Данные в Табл. 1 собраны из различных источников: Spohn et al., 2001;

Stegman et al., 2003 и др.

Расчеты показывают, что 1% – 5% серы в ядре сохранит ядро от затвердевания на протяжении времени жизни Луны. Так, для того, чтобы сохранить чистое железо в расплавленном состоянии, необходима температура 1600oC, в то время как точка плавления эвтектического состава Fe-FeS около 1000oC при соответствующем давлении. Распределение по глубине основных параметров внутреннего строения Луны, представленных в Табл. 1.

В параграфе 2. Таблица 1. Геофизические характеристики ядра представлено построе 7396 кг м- Плотность ядра (средняя) ние модель трехслойной 5300 кг м- Плотность внешнего жидкого ядра (Fe-FeS) Луны, вычислены четы 7800 кг м- Плотность внутреннего тврдого ядра (Fe) ре свободные моды либ Давление в центре ядра 50 кбар раций: чандлеровы ко Давление на СMB, 1300 км 45 – 47 кбар лебания полной Луна и 1700o K Температура СМB твердого лунного ядра, 1400o –1700oK Температура ядра свободные нутации 1800o K Начальная температура ядра (4,5 млрд.лет) жидкого внешнего ядра.

675 Дж кг-1 K- Удельная теплоемкость ядра 1.5 106 пуаз При исследовании внут Коэффициент вязкости ядра ренней структуры Луны Число Релея для ранней тепловой конвекции (2.4-3.6) особое значение приоб Добротность Q 26 – ретает изучение е сво Удельное сопротивление ядра 105 омм бодной либрации. С од ной стороны, из наблюдений ФЛЛ обнаружена заметная диссипация лунного вращения, и, как результат, свободные колебания должны бы к настоящему времени затухнуть. С дру гой стороны, эти же наблюдения показывают их присутствие в современном вращении Луны. Поэтому необходимо принимать во внимание тонкие спин-орбитальные эффекты при взаимодействии Луны с Землей, Солнцем, резонансное взаимодействие вращения Луны с Венерой, двух- и/или трехслойные модели нетвер дой Луны с приливной и турбулентной диссипацией в ман тии и ядре. Это может быть сделано в рамках Гамильтонова подхода, применяемого для описания вращения Земли (Баркин, Гусев, Петрова, 2004) Аналитический метод Гамильтона, примененный для Рис. 2. Схема трехслойной Луны расчета вращения Земли [2], имеющей слоистую внутрен нюю структуру, выявляет несколько частот нормальных мод либраций. Для Луны, которая моделируется как трехслойное тело с тремя эллипсоидальными слоями - твердая мантия, жидкое внешнее ядро и твердое внутреннее ядро (Рис. 2) – в ее полярном вращении долж но наблюдаться 4 типа колебаний. Значения их частот получаются из соответствующих уравнений и зависят от размеров ядер, их химического состава и динамического сжатия (эллиптичности). Свободные моды есть результат несовпадения осей вращения мантии, внутреннего и внешнего ядер. Обнаружение этих мод из наблюдений позволяет с высокой степенью достоверности утверждать, что тело имеет внутри себя однородное эвтектиче ское жидкое или расслоенное жидко-твердое ядро. Более того, параметры свободных мод позволят определить такие важные характеристики внутреннего строения, как радиус ядра и его сжатие, скачок плотности на границе ядра и мантии.

Чандлеровские колебания Луны (CW), представляющие собой движение оси вра щения Луны относительно динамической системы ко ординат (ДСК), вызванное эллипсоидальностью лунно го тела и несовпадением оси вращения с главной осью инерции (Рис. 3). Это мода вращения существует для твердой планеты. Для Луны она имеет большой период 74.6 года в системе координат, связанной с ДСК. Это движение полюса является прямым, т.е. осуществляет ся в направлении вращения Луны, оно обнаруживается в ЛЛЛ-наблюдениях как 3”8” эллиптическая компо нента (Newhall, Williams, 1997). Характерное время за тухания этой моды оценивается величиной 2 10 6 лет.

Период Чандлеровских колебаний определяется фор мулой:

Рис. 3 Свободная либрация Луны. C – наи больший момент инерции. щ, щcр - мгновен- Prot Am PCW ная и средняя скорости вращения Луны. Углы (1) 2 ea eb A CW,, - либрационные углы Чандлеро вых колебаний, либрации по широте и долготе С учетом приливной диссипации в мантии и турбулент ной диссипации на границе ядро-мантия формула (1) принимает следующий вид (Getino et al., 1997;

2000):

A PCW Prot m Rdiss Prot 2A (1а) A ea eb 1 A ec Am m Свободная нутация ядра Луны (FCN) представляет дифференциальное вращение жидкого ядра относительно вращения мантии. Эта мода существует только в том случае, если ядро жидкое. Она имеет квази-суточный период в ДСК и описывает обратное дви жение полюса. Для Луны период FCN определяются по формуле:

PA PFCN rot m. (2) ec A В пространстве, т.е. в инерциальной системе координат, лунная FCN имеет большой период порядка 144 лет, если динамическая фигура ядра подобна мантии, или около лет для динамически симметричного ядра с эллиптичностью ec порядка 110-4 (Petrova, Gusev, 2001).

С учетом диссипации формула (2) преобразуется к виду:

A PFCN Prot m (2а).

A ec Prot Rdiss Ac Свободная нутация внутреннего ядра Луны (FICN) с эллиптичностью ef – мода, которая относится к дифференциальному вращению внутреннего ядра по отношению к другим слоям Луны. Эта мода существует только для ядра, которое имеет внутреннюю твердую составляющую и внешнюю жидкую оболочку. Она также имеет квази-суточный период в ДСК и описывает прямое движение полюса и в ИСК имеет вид.

Prot PFICN A (3) s ef Am Колебания внутреннего ядра Луны (ICW) с эллиптичностью es, отвечают за диффе ренциальное вращение оси фигуры внутреннего ядра по отношению к оси вращения всей Луны и вызваны эллиптичностью твердого ядра, имеющего избыток плотности по отно шению к внешнему жидкому ядру. Эта мода также существует только для эллиптичного твердого ядра, окруженного жидкой оболочкой, и соответствует прямому движению по люса.

Prot PICW (4) 2(es ) Данные наблюдений ЛЛЛ (1970 – 2007) свидетельствуют о диссипации в жидком ядре Луны, поэтому делается вывод, что в настоящее время ядро не достигло своей конеч ной стадии – твердого состояния. Относительные размеры внутреннего и внешнего ядер зависят от начальной пропорции FeS и современной темпера туры ядра Ядро С целью определения зависимости периодов Ман- свободных колебаний от различных параметров, характеризующих внутреннее строение Луны, было тия 74. проведено компьютерное моделирование по фор 74. мулам 1–4 для различных моделей внутреннего 4,5 gm/cm^ Pcw (год) строения Луны. Расчеты и построение диаграмм 73. осуществлялись в табличном процессоре Excel с 5, 73. применением программных модулей на языке VBA.

73. Для числовых значений были приняты следующие положения:

73. Параметры ядра – размеры, эллиптичность и 200 250 300 350 400 450 500 550 Rc (км) плотность – выбирались в окрестности значений, 144. полученных из ЛЛЛ-анализа (Williams et al., 2001).

144. Эллиптичность SIC, бралась на 5% меньше эл 144. 4.5 gm/cm^ PFCN (год) 144. липтичности FOC, как и в случае Земли.

143. Диапазон размеров ядра Rc выбирался в диапа 5, 143. зоне от 200 км до 600 км во всех моделях.

143. Набор плотностей c для Модели 1: 4.5 143. 5.5 6 6.5 7 (г/см3).

143. 200 250 300 350 400 450 500 550 Толщина жидкого ядра (FOC) варьировалась от Rc (км) 20% Rc до 60% Rc.

Рис. 4. Двухслойная модель Луны с упругой мантией и жидким ядром. Зависимость периода Нами было рассмотрено 3 модели Луны, со PCW (сверху) и PFCN (cнизу) от радиуса ядра стоящей из упругой мантии, жидкого внешнего яд для разных значений плотностей ядра Луны ра и внутреннего твердого ядра.

Модель 1а: Луна имеет твердую мантию и жидкое ядро различной плотности (с =5.3-7.2 гр/см3): от эвтектического состава Fe-FeS с различной концентрацией серы (7%-15 % по весу) до чисто железного ядра Fe (Рис. 5). Эллиптичность ядра принималась равной средней эллиптичности всей Луны: ec ea eb 2 = 5 104. На графиках представ лены зависимости периодов свободных либраций от радиуса для разных значений плотно сти.

Модель 1б: отличается от Модели 1а тем, что ядро рассматривалось чисто железным с плотностью 7 г/см3 и с ec 4 104. Анализ диаграмм Рис. 4 показывает, что зависимость периодов от плотности ядра сказывается только при радиусах, больших 400 км.

Модель 2: отличается от Модели 1 тем, что включалась диссипация с коэффициен том Rdiss на границе ядро-мантия (CMB). Рас четы проводились по формулам (1а) и (2а).

Мантия Набор значений для диссипативного фактора Rdiss в Модели 2 выбирался в соответствии с Fe 7 г/cм CMB данными Q, полученными из ЛЛЛ (Williams Ядро et al., 2001): Rdiss = 51022 – 31024 (Джсек).

Результаты представлены на графике (Рис. 6).

Анализ моделирования периодов свободных 145. либраций при различных значениях диссипа 144. тивного фактора Rdiss и размеров ядра пока Коэффициент 143.00 диссипации R зал: 1. Период PCW 74 г. почти не чувстви PFCN (год) 142. телен к изменениям размера, плотности и 5.E+ 1.E+ диссипации ядра, т.к. внутреннее перерас 141. 5.E+ пределение плотности и фазового состава яд 1.E+ 140. 3.E+ ра при сохранении общих неизменных пара 139. метров всей Луны (полная масса, моменты 138. инерции, динамическое сжатие) почти не 200 250 300 350 400 450 500 550 Радиус ядра Rc (км) влияют на чандлеровскую составляющую движения лунного полюса;

2. Период Рис. 5. Диссипацией на CMB (Модель2). Пока зана зависимость периода PFCN от радиуса при PFCN 144 г. существенно коррелирует с па разных значениях коэффициента диссипации R.

раметром диссипации при увеличении радиу са ядра до 400 км. Из зависимости PFCN от радиуса ядра (Рис. 5) следует интересный ре зультат: существенное понижение периода колебаний FCN, что является важным индика тором выбора модели при интерпретации либрационных наблюдательных данных в пред стоящих лунных миссиях.

Модель 3: твердая мантия, жидкое внешнее ядро (FOC) твердое внутренне ядро (SIC) (Рис. 6). Плотность FOC бралась 5.3 г/см3 (эвтектический состав 25 % веса S и 75 % веса Fe ), а плотность SIC – 7.7 г/см3 (твердое железо).

SIC Согласно расчетам (Stevenson, Yoder, 1981) при массе серы в FOC ядре от 4% до 13% по весу толщина жидкой оболочки со Мантия ставляет 65 - 180 км. На Рис. 8 представлена зависимость периодов свободной нутации жидкого внешнего ядра PFCN и свободной нутации внутреннего твердого PFICN, колебания Рис. 6. Трехслойная модель Луны (Мо дель 3). FOC – внешнее жидкое ядро.

внутреннего твердого ядра PICW от радиуса ядра для различ SIC – внутреннее твердое ядро ных значений толщины жидкого слоя. Толщина жидкого слоя дана в процентах от полного радиуса ядра для двух типов геохимического состава FOC.

Анализ результатов моделирования выявляет следующие интересные закономерности.

1. Зависимость всех типов периодов от радиусов ядра очень слабая (Рис. 7): при изменении радиуса от 300 до 600 км периоды изменяются не более чем на 1%. Чувствительность к изменениям плотности выявляется только для радиусов, больших 400 км.

2. FCN-период очень сильно зависит от эллиптичности ядра. В то же время Pcw слабо за висит от эллиптичности, но более существенно от радиуса ядра.

3. При учете диссипации выявлено, что CW-период не чувствителен к ней: это внутренний процесс для Луны в целом и поэтому он не будет оказывать влияния на этот тип колеба ний. Для FCN наблюдается сильная корреляция с диссипацией для радиусов меньших км.

4. По сравнению с двухслойной моделью для CW и FCN вклад трехслойной модели не превышает 1 % в значениях периодов для всех типов ядер.

5. Общая тенденция в поведении периодов этих мод следующая: а) FICN-период уменьша ется с ростом радиуса ядра и с толщиной жидкой оболочки;

б) и, наоборот, ICW-период возрастает как с величиной радиуса ядра, так и с толщиной жидкой оболочки. Величины периодов для FICN и ICW были получены впервые.

В Табл. 2 значения периодов свободных либраций для многослойной Луны приведе ны к одному радиусу железного ядра Rс=350 км, с=7 г/см3 и для двух значений эллиптич ности, коэффициента диссипации R и радиуса внутреннего ядра Rs.

Таблица 2. Значения периодов свободных либраций для трех моделей Луны Rс=350 км;

=7 г/см3, Тип Модель1а Модель1б Модель2 Модель либра ec=5,1710 -4 -4 - ec=5,1710- ec=410 ec=5, ции Rs=280км 74.08 г.

Rdiss =51022 74.03 г.

74.02 г. 74.03 г.

CW Rs=175км 74.02 г.

74.03 г.

Rdiss = Rs=280км 144.52 г.

Rdiss =510 144.58 г.

144.02 г. 186.88 г.

FCN Rs=175км 144.52 г.

Rdiss =31024 144.22 г.

634.22 г.

Rs=280км FICN Rs=175км 515.90 г.

Rs=280км 100.21 г.

ICW Rs=175км 108.05 г.

В Табл. 3 представлены периоды и амплитуды Чандлеровых колебаний, прецессии и долготной моды оси вращения Луны, полученных из данных ЛЛЛ (Newhall, Wiliams, 1997;

Williams et al., 2001) и периоды и амплитуды свободных нутаций жидкого ядра PFCN, свободных нутаций внешнего жидкого ядра PFICN, колебаний внутреннего твердого ядра PICW, полученных при компьютерном моделировании. Ожидаемые амплитуды свободных либраций ядра – твердого и/или жидкого – лежат в диапазоне 1-3 мсек дуги ( Petrova, Gusev, 1999 - 2007).

Последние данные, полученные миссией Клементины (Zuber et al., 1994) и LP (Konopliv et al., 1998, 2001) позволили с высокой точностью получить топографические и гравитаци онные карты аномалий лунной поверхности. И, если на видимой стороне наиболее замет ные аномалии приурочены к бассейнам ударной природы, чем и объясняется их происхо ждение, то аномалии обратной стороны расположены на толстой континентальной коре, вне лавовых бассейнов, включая такие кратеры как Hertzprung (232 E, 1 N), Korolev (203 E, 4 S), Mendeleev (141 E, 6 N), Freunlich-Sharonov (175 E, 18 N), и Moscoviense (147 E, 26 N).

В параграфе 2.4 анализируются модели гравитационного поля и динамической фи гуры многослойной Луны на основе последних данных, обсуждаются значительные откло нения реальной фигуры Луны от равновесной и наличие заметных гравитационных анома лий на обратной стороне Луны, предлагается модель плюм-тектонического образования масконов на ранних этапах эволюции Луны.

В параграфе 2.5 излагаются современные проблемы при исследовании Луны, междуна родные перспективы фундаментальных астрономических и геофизических исследований Луны на основе долговременных лунных баз, сформулированы концепция и основные по ложения лунного навигационного ежегодника для обеспечения оптических и радио на блюдений на поверхности Луны.

В третье главе ис Таблица 3. Параметры свободных либраций Луны следуются свободные либ эллипс рации и нутации много Чандлеровы колебания слойных внутренних планет 8.10"3.31” амплитуда (6928 м) и естественных спутников период 74.63лет солнечной системы. В пара прецессия графе 3.1 анализируется амплитуда 0.022" внутреннее строение много период 24.16 год слойных твердотельных долготная мода планет, делается вывод о амплитуда 1.4" наличие в каждой планете период 1056.12 дней не менее трех слоев: твер Свободная нутация жидкого ядра FCN дой коры, вязко-упругой амплитуда 0. 002" 144 – 186 лет мантии и жидкого железно период го ядра. В параграфе 3. Свободная нутация внешнего жидкого ядра FICN 0.001" изучаются свободные либ амплитуда 516-635 лет рации многослойных моде период лей Меркурия и Венеры, Колебания внутреннего твердого ядра ICW 0.003" амплитуда выводятся формулы для пе 101-108 лет период риодов свободных либраций в рамках гамильтонова подхода Хетино, моделируются различного типа либрации для геофизических и динамических параметров этих планет.

Моделирование Меркурия проводилось на основе данных наблюдений о его враще нии и гравитационного поля. Ядро принималось осесимметричным и подобным динамиче ской фигуре всей планеты. Для контроля адекватности моделирования параллельно рас считывалось отношение главного момента инерции к мантии и с целью сравнения с на блюдаемым значением. Результаты расчетов представлены в Приложении СV диссерта ции. В отличие от Луны периоды свободных либраций Меркурия сильно зависят и от ра диуса ядра и от его плотности.

Так увеличение плотности на 1 г/см3 вызывает уменьшение периода PFCN на 5%.

(Приложение СVa). При этом отсутствие совпадений с наблюдаемым значением Сс/С по зволяет не принимать во внимание плотности ядра меньшие 7 г/см3. Период Чандлеровых колебаний Pcw меняется от 310 до 400 лет (в системе координат планеты) и от 470 до лет в инерциальной системе координат. Период свободных нутаций ядра PFCN изменяется от 440 до 570 лет в инерциальной системе отсчета. Необходимы дополнительные ограни чения из наблюдений, чтобы по периоду PFCN делать выводы о параметрах ядра.

Для Венеры моделирование несколько отличается от того, что выполнено для Луны и Меркурия. Причина в том, что оценок плотности ядра не дается ни в каких источниках.

Поэтому мы вычисляли плотность ядра и мантии по средней плотности с учетом заданного отношения полярных моментов инерции. Численные результаты моделирования представ лены в приложении СVIa – СVIг. Контролем корректности вычислений служило получен ное из наблюдений отношение масс ядра и всей планеты. Динамическая фигура Венеры – осесимметричная. Ядро – соответственно, тоже осесимметрично, но эллиптичность его больше. Контроль по отношению масс позволяет ограничить диапазон плотностей от 9 до 11 г/см3.

145.0 145. Cостав FOC - чистое железо Fe Fe-FeS Эвтектического состава FOC = 5 г/см3 = 7 г/см 144.5 144. Процент жидкой 144.0 144. оболочки от всего ядра Процент жидкой оболочки PFCN (год) PFCN (год) 20% от всего ядра 30% 143.5 143. 20% 40% 30% 50% 40% 143.0 143. 60% 50% 60% 142.5 142. 142.0 142. 200 250 300 350 400 450 500 550 600 200 250 300 350 400 450 500 550 Радиус ядра Rc (км) Радиус ядра Rc (км) 800 Fe-FeS Эвтектического состава FOC Cостав FOC - чистое железо Fe = 5 г/см = 7 г/см 700 PFICN (год) PFICN (год) 20% 20% 500 30% 30% 40% 40% 50% 50% 400 60% 60% 300 200 250 300 350 400 450 500 550 600 200 250 300 350 400 450 500 550 Период PICWРадиус ядра Rc (км) для различных толщин FOC Радиус ядра Rc (км) Fe-FeS эвтектический состав FOC Cостав FOC - чистое железо Fe 170 7 г/см = 5 г/см 20% 20% 30% PICW (год) PICW (год) 40% 50 50% 120 60% 200 250 300 350 400 450 500 550 600 200 250 300 350 400 450 500 550 Rc км Rc(км) Рис. 7. Модель 3. Поведение периодов свободных либраций трехслойной Луны в зави симости от радиуса Луны и толщины жидкой оболочки (FOC) для двух типов геохи мического состава FOC (слева – эвтектический состав, справа – чистое железо). PFCN – верхний рисунок. PFICN –средний рисунок. PICW – внизу рисунка Анализ трехмерной диаграммы моделирования периодов либраций показывает, что зависимость периода свободных нутаций ядра PFCN от радиуса и плотности, практиче ски, - линейная. Например, при уменьшении плотности на 5% период убывает на 3%. Диа грамма показывает зависимость от эллиптичности ядра, которую мы моделировали в пре делах допустимых изменений отношения полярных моментов инерции Cc [0,07;

0.09].

C Эта зависимость описывается слабо искривленной поверхностью и уменьшение эллиптич ности ядра на 25% вызывает уменьшение периода на 21%. Таким образом, PFCN сущест венно зависит от всех характеристик ядра. Поэтому однозначно охарактеризовать ядро Ве неры можно лишь будет при получении дополнительных ограничений из других наблюде ний. В результате моделирования мы получили, что период Pcw изменяется от 44630 до 46930 лет, PFCN – от 1300 до 1740 лет. В Табл. 4 приведены данные по периодам свободных либраций планет земной группы. Данные по Земле и Марсу взяты из указанных в послед нем столбце источников.

Таблица 4 Периоды свободных либраций внутренних планет и Луны 1 rev.

A per Free librations Planet References plane- periods Am tary day PCW 433 d Krasinsky, Lambert, 2006;

PFCN 430.23d Herring et al. 2002;

1. Earth Getino et al., 1997- 2001;

PFICN 445–737 d 24h 896 – 5764 d Ferrandiz, Barkin, 2000.

PICW 190 –208 d PCW Van Hoolst et al, 2000;

1.02 - 1.08 PFCN 230–280 d Mars Dehant et al., 360 –680 d PFICN 23h Defraigne et al., 440 – 1150 d PICW Eckardt, 1981;

Williams, PCW 74-75 yr 144 – 186 yr 1.00006 PFCN Petrova, Gusev,1999, Barkin, Moon 515 – 634 yr 5 27 d PFICN 100 – 108 yr PICW Gusev, Petrova, 2004- 562 – 1033 yr Peale, 964yr Rambaux, Bois, 2004;

PCW 1 1013-1017 Barkin, 2004;

Mercury 1. yr 59d Gusev, Petrova, 2005 – 470 – PFCN 472–538 yr 45600– PCW yr Venus 1.084 Gusev, Petrova, 2005- 243d PFCN 1500 - 1590yr Вычисленные большие значения периодов свободных либраций для Луны, Мерку рия и, особенно, Венеры объясняются, в первую очередь, их медленным вращением по сравнению с Землей и Марсом. Луна к тому же имеет очень маленькое ядро (не более 4% от общей массы планеты), поэтому, отношение моментов инерции всей планеты и мантии, определяющее величину периода свободных либраций, мало отличается от единицы.

Определить эллиптичность ядра каким-либо прямым способом из наблюдений не представляется возможным. Но, зато в случае определения FCN из наблюдений, например, физической либрации Луны, проведенное моделирование позволит наложить дополни тельное ограничение на эллиптичность ядра. В свою очередь, при определении параметров упругости Луны - чисел Лява - именно незнание эллиптичности вносит наибольшую неоп ределенность. Таким образом, такое, хотя и сложно определяемое явление, как свободное движение полюса планеты, может помочь в уточнении параметров внутреннего строения планеты. В параграфе 3.3 описывается физическая либрация по долготе однородных спут ников больших планет, приводятся значения периодов и амплитуд либраций, выделяются наибольшие по амплитуде и экваториальному смещению спутники планет.

Ожидаемые значения амплитуд вынужденной либрации по долготе, полученные в предположении однородности тела спутника в состоянии гидростатического равновесия, могут быть использованы для сравнения с наблюдаемыми значениями амплитуд либрации и оценки жидкой составляющей ядра спутника. Например, в рамках программы полета КА “MESSENGER” (слежение за спутником с Земли и лазерная альтиметрии поверхности Меркурия) и радарного эксперимента предполагается измерить амплитуды физической либрации Меркурия. Если у Меркурия существует внешнее жидкое ядро (а к этому утвер ждению есть все основания), которое вращается независимо от мантии планеты, то ампли туда наблюдаемых либраций мантии будет существенно больше, чем предсказывает тео рия (Приложения D). Это будет важным косвенным свидетельством наличия большого внешнего жидкого ядра Меркурия (Peale, 2007). Аналогично, можно использовать этот подход для изучения внутреннего строения спутника Европа.

В параграфе 3.4 исследуются диссипативные явления и связь их с геологический вулканической активностью планет и спутников в настоящее время и на ранних этапах эволюции Солнечной системы. Оценивается роль приливной и турбулентной диссипации на эволюцию системы Земля-Луна. Существует и рассматривается интересная возмож ность глубокой связи орбитальной истории и лунной геофизики при резонансном режиме вращения системы Земля-Луна (Krasinsky, 2002). Дифференциальное вращение лунного ядра, вызванное солнечно-земными приливными эффектами, совместно с приливным ве ковым замедлением вращения всей Луны может вызвать спин-орбитальный резонанс в ранней истории вращения Луны. Как следствие этого резонанса, предсказывается увеличе ние эксцентриситета лунной орбиты и увеличение энерговыделения в теле Луны (Gusev, Petrova, 1999).

Энергия спин-орбитального движения за счет эффектов трения на границе ядро мантия преобразуется в тепловую энергию, которая становится неустойчивой на границе ядро-мантия по отношению к образованию мантийных плюмов, увеличению температуры лунного ядра, усилению генерации начального магнитного поля. В результате также про исходит плавление вещества в недрах Луны (океан магмы). Следствием этого бурного эта па появляются крупномасштабные эпизодические образования в лунной коре, обновление геохимического и поверхностного резервуаров и относительно быстрые изменения пер вичного магнитного полюса Луны. Мощность диссипации в турбулентном пограничном слое Луны оценивается величиной (1.9 ± 0.5)·1022 эрг год-1. Это слабый источник нагрева в настоящее время, но в прошлом он может быть очень важным.

Энергия диссипации могла быть существенно выше на раннем этапе эволюции, ко гда Луна была ближе к Земле, а максимум диссипации наблюдается на расстоянии 200 км между Землей и Луной. Другая возможность: Луна могла проходить различные спин орбитальные резонансы с существенным изменением орбитальных и вращательных эле ментов.

В течение резонансного перехода диссипация ядра составляет ~ 1027 эрг·год-1, обес печивая поддержания ядра в жидком состоянии и современного размера. Турбулентная энергия выделяется с нарушением сферической симметрии;

при зависимости этой энергии от относительной скорости в третьей степени в полярной области выделяется энергии в 2.36 раз больше, чем в экваториальной области. Такое распределение энергии эффективно обеспечивает конвекцию в динамо-механизме. Если существует внутреннее ядро, то часть энергии выделяется на внутренней границе жидкого ядра. Если диссипация ядра являлось источником генерации палеомагнитного поля, то период сильной магнетизации пород должен сопровождаться высоким приливным выступом (горбом) в период изменения со стояния вращения;

генерация энергии должна уменьшаться резко, и конвекция останавли вается по мере выхода из резонанса и удалении Луны от Земли. В течение спин орбитального перехода в расплавленном лунном ядре генерируется максимальная энергия (1027 эрг год-1), которая сохраняется в объеме меньшем, чем 1% от полного лунного объе ма.

Мы исследовали нелинейные уравнения для описания эволюции мгновенной оси вращения многослойного небесного тела с вязкоупругой мантией и однородным невязким жидким ядром. Эти уравнения позволяют нам изучить влияние жидкого ядра на вращение оси многослойной модели, предполагая квази-жесткий характер дифференциального вра щения ядра. В линейном приближении для движения полюса Луны мы нашли две собст венные частоты, отвечающие чандлеровому колебанию с периодом в 74 года и свободной нутации жидкого ядра с периодом в 144 года в инерциальной системе координат для двух слойном модели с диссипацией и четыре собственные частоты либраций для трехслойной модели небесного тела. Поле либрационных смещений может рассматривать и как допол нительный источник тепла по сравнению с генерации тепла от приливных деформаций.

Для многих спутников либрационная и приливная диссипация может быть важным источ ников пополнения теплового бюджета небесного тела. В то время как приливные дефор мации носят сфероидальный характер, поле либрационных смещений ближе к тороидаль ному типу деформаций.

В параграфе 3.5 исследуются вариации вращения многослойных нейтронных звезд в качестве примера эффективного использования гамильтонового подхода к вращению мно гослойных небесных тел. Наблюдение вращения пульсара являются мощным источником информации для исследования динамики и внутренней структуры нейтронных звезд. По этому обнаружение прецессии пульсаров представляет особый интерес. В параграфе опи сываются две модели вращения пульсара и выводятся основные уравнения для двухслой ной прецессирующей нейтронной звезды, приводятся оценки динамического сжатия пуль саров. При исследовании вращения нейтронных звезд нами была использована каноническая техника Хетино [2] с целью интерпретации наблюдаемых периодических вариаций времени прихода импульсов от пульсаров эффектами Чандлеровских колебаний и свободной нутации мантии. В параграфе приводится краткая методика моделирования вращения нейтронных звезд с целью получения оценок их динамического сжатия, периодов Чандлеровских коле баний и свободной нутации ядра пульсаров для различных уравнений состояния сверх плотного вещества и массы нейтронной звезды. Анализ полученных результатов модели рования позволил нам выделить следующие закономерности: с увеличением периодов Чандлеровских колебаний и свободной нутации мантии пульсаров величина динамическо го сжатия их коры и ядра монотонно уменьшается;

величина динамического сжатия твер дой коры пульсара, периоды Чандлеровских колебаний и свободной нутации ядра моно тонно уменьшаются при увеличении принятой массы нейтронной звезды.

В четвертой главе проведен качественный анализ уравнений захвата в резонансное вращение на плоской орбите под действием гравитационных и приливных моментов мето дами теории бифуркаций.

В параграфе 4.1 представлены основные уравнения захвата в резонансное вращение на эллиптической орбите, записана система дифференциальных уравнений первого поряд ка, удобная для проведения качественного анализа динамических систем.

В параграфе 4.2 проведен полный анализ системы дифференциальных уравнений гравитационного захвата в резонансное вращение динамически-симметричного упругого тела под действием гравитационных и приливных моментов, получены координаты со стояния равновесия, исследованы характеристические уравнение в зависимости от трех параметров модели, построены семьдесят девять фазовых портретов на плоскости и на ци линдре, определен их тип, описана галерея из 39 разнообразных, часто топологических различных портретов (Рис.8, 9).

Рис. 8 Галерея фазовых портретов для случая с= Рис. 9 Галерея фазовых портретов для случая a 0, b 0, c Параграф 4.3 посвящен анализу структуры пространства параметров и геометрии бифуркаций (Рис. 10). Методами теории бифуркаций было получено разбиение фазового пространства параметров на двадцать одну область, выявлены все простые и сложные со стояния равновесия, а также построены галереи фазовых портретов, иллюстрирующие все этапы захвата небесных тел в резонансное движение (Рис.8, 9).

В параграфе 4.4 проанализирован захват в резонансное вращение небесного тела с учетом эффектов общей теории относительности, проведен качественный анализ динами ческой системы на фазовой плоскости, получены состояния равновесия, построены 16 фа зовых портретов, произведено разбиение плоскость параметров на топологически неэкви валентные области (Рис.9) В параграфе 4.5 проводится анализ галереи фазовых портретов на предмет астрономических приложений. Указаны области и условия захвата в резонансное вращение, рассчитаны оценки ве роятности захвата в резонанс для Луны, Мерку рия и Марса. Вероятность захвата в резонанс не зависит от динамического сжатия (B - A)/C и при ливного фазового угла. Вероятность зависит от параметра резонансности p и эксцентриситета e В пятой главе описаны методы исследования не резонансного вращения динамически Рис. 10 Геометрия бифуркационных структур: симметричной планеты под действием гравитаци 1) осей a =0, b=0, c=0, онного и магнитного возмущений. В параграфе 2) плоскостей a c и поверхности b 2 4(a 2 c 2 )1 / 2 0 5.1 изложены основные эффекты и закономерно сти вращательной эволюции планеты под действием гравитационных, магнитных момен тов с учетом эволюции орбиты динамически симметричного небесного тела.

Параграф 5.2 посвящен описанию исследования динамической системы, описываю щей вращательную эволюцию динамически-симметричной экзопланеты под действием гравитационных, магнитных моментов с учетом эффектов эволюции орбиты:

x cos y, (5) y ctgx sin y cos x, где и параметры, описывающие влияние магнитных моментов и эволюции орбиты планет, параметр описывает влияние гравитационных моментов, выведенной В.В. Белец ким, методами качественного анализа и теории бифуркаций.

При исследовании (5) нами последовательно исследовались все частные случаи, ко гда хотя бы один из параметров, или равен нулю, а затем общий случай: 0, 0, 0. Система уравнений (5) зависит от угловых переменных x и y, поэтому естественно изо бразить полученные фазовые портреты на сфере.

В параграфе 5.3 описываются и анализируются полученные в результате исследова ния 64 фазовых портрета на плоскости и двумерной сфере, иллюстрирующих разнообраз ную вращательную эволюцию планет.

В случае, когда = 0, 0, 0 фазовые портреты содержат «особую» траекторию, состоящую из особых точек (ОТ). В зависимости от соотношения параметров и «осо бая», траектория перемещается относительно оси x, в одну особую точку на полюсе сферы и исчезает. При 0, 0, = 0 фазовые портреты на плоскости и на сфере имеют сле дующие свойства: 1) все ОТ имеют характер центра;

2) смещение особых точек;

3) разру шение особых точек;

и 3) наличие симметрии расположения траекторий относительно цен тра сферы и начала координат на фазовой плоскости.

При 0, = 0, 0 структура фазовых портретов и их эволюция при 0, = 0, 0 описываются следующими свойствами: 1) в зависимости от соотношения параметров и имеют место две или четыре особые точки;

2) слияние двух центров и седла, располо женного между ними, приводит к образованию топологического седла или центра;

3) в те чение миграции особых точек и их бифуркации одно из состояний равновесия остается не изменным. Вывод в пункте 1 подтверждает ранние исследования В.В. Белецкого [1].

Если выполняется неравенство ( 0, 0), то фазовый портрет состоит из четырех ОТ: три из них имеют характер центра и одна – седла. Сепаратрисы седла разби вают поверхность сферы на три области, содержащие по одному центру (рис. 11а). Фазо вый портрет, изображенный на рисунке 11а был получен так же Белецким В.В. [1].

Уменьшение параметра и увеличение приводит к миграции двух центров к ОТ типа седла. При значении = происходит слияние двух центров и седла, и перестройки фазо вого портрета, в результате которой простое седло деформируется в сложное топологиче ское седло (рис. 11б). Когда, образовавшееся топологическое седло исчезнет с обра зованием на его месте центра (рис. 14в).

Случай 0, 0, 0 объединяет все выше перечисленные свойства для рас смотренных режимов: 1) = 0, 0, 0;

2) 0, 0, = 0;

3) 0, = 0, 0. Усло вие 0 сохраняет тип особых точек, соответствующих случаю 0, = 0, 0 и приво дит к их смещению на малую величину. Исключение составляют только случаи, когда один из параметров равен нулю, так как это состояние соответствует набору из семи фазо вых портретов, уже описанных, при более простых соотношениях параметров.

Параграф 5.4 включает анализ бифуркационных кривых и поверхностей в нулевом, первом и втором приближениях, разбивающих пространство параметров на топологически различные состояния равновесия.

Интерпретация полученных фазовых портретов в зависимости от соотношения гра витационных и магнитных возмущений, а также влияния эволюции орбиты приведена в параграфе 5.5.

В системе (5) нами была осуществлена следующая замена переменных: x, y, d dM x, d dM y k sin *, k cos *, 2k g, где и – углы, * – фиксиро ванное направление описывающие ориентацию вектора кинетического момента планеты L в орбитальной системе координат XYZ (рис. 15), параметр k описывает эффекты, связан ные с эволюцией орбиты планеты и взаимодействия магнитного поля планеты с внешним магнитным полем, k g учитывает возмущения гравитационной природы, M – средняя аномалия.

При учете влияния только магнитных моментов и эволюции орбиты экзопланеты на сфере существует два состояния равновесия, в окрестности которых эволюция вектора L представляет собой прецессию. Если угол * = 0 ( = 0, 0, = 0) вращение планеты бу дет иметь характер прецессии вокруг нормали к плоскости орбиты. Данный результат ра нее был получен Белецким В.В. [1]. Возможен режим, когда прямое вращение планеты бу дет периодически меняться на обратное. Если вектор кинетического момента будет пре цессировать от стационарной точки на расстоянии *900 – *. В случае * = 900 ( 0, = 0, = 0), вращение экзопланеты будет характеризоваться периодической сменой прямого вращения на обратное и наоборот.

Учитывая влияние гравитационных возмущений, магнитных моментов и эволюции орбиты и предполагая, что * = 00 (совпадает с нормалью к плоскости орбиты) вращатель ная эволюция ( = 0, 0, 0) будет иметь характер прецессии вокруг нормали к плос кости орбиты. Данный эффект ранее был замечен Белецким В.В. В случае * = 900 (лежит в плоскости орбиты экзопланеты, 0, = 0, 0) картина вращательной эволюции экзо планеты будет более разнообразной.

а) б) в) Рис. 11. Фазовые портреты при 0, = 0, При преобладающем влиянии гравитационных моментов ( k 2k g ) на сфере суще ствуют четыре стационарные точки, три из которых являются устойчивыми (центры) и од на неустойчива (седло). Сепаратрисы седла разбивают сферу на три области. В окрестно сти двух особых точек вектор L прецессирует на постоянном угловом расстоянии. Вокруг стационарной точки, расположенной между двумя сепаратрисами седла, вектор L совер шает либрационные колебания по вытянутым замкнутым траекториям с периодической сменой прямого вращения планеты на обратное вращение. По мере увеличения влияния гравитационных возмущений область либрации уменьшается за счет сближения сепарат рис седла, вызванная миграцией центров к нормали плоскости орбиты. Ослабление влия ния гравитационных моментов по сравнению с магнитными и эффектами эволюции орби ты вызовет перемещение стационарных точек к состоянию равновесия «седло». Если k 2k g слияние двух центров и седла приводит к образования сложного седла.

Когда эффекты, связанные с эволюцией орбиты планеты и влияние магнитных мо ментов являются доминирующими по сравнению с гравитационными возмущениями ( k 2k g ), вектор кинетического момента будет прецессировать вокруг стационарной точ ки, лежащей в плоскости орбиты планеты.

При учете совместного влияния эффектов эволюции орбиты экзопланеты ( 0, 0, 0), гравитационных и магнитных моментов построение фазовых портретов лишь при достаточной малости угла * все состояний равновесия и эволюционные траектории будут смещены от полюса сферы к плоскости экватора. Следовательно, при преобладании грави тационных возмущений над другими выделяются следующие три области, определяющие характер вращения небесного тела: 1) область обратного вращения экзопланеты;

2) область прямого вращения с возможностью реализации режима периодической смены прямого вращения планеты на обратное;

3) область либрационного движения вектора кинетическо го момента, внутри которой прямое вращение планеты периодически сменяется на обрат ное. В случае k 2k g слияние двух центров и седла вызовет его деформацию седла с со хранением зоны либрации. При преобладании возмущений со стороны магнитных момен тов и эволюции орбиты k 2k g, ОТ с координатами, и, будут 2 2 2 смещены к полюсу ( = ) на малые углы и.

Шестая глава посвящена исследованию вращательной эволюции планет и экзопла нет под действием приливных моментов. В параграфе 6.1 описаны особенности влияния приливных моментов на вращательную эволюцию планет и их спутников в Солнечной системе, рассмотрен вопрос о влия нии приливов на эволюцию спутников вокруг Марса, описана приливная эволюция планеты Венеры.

В параграфе 6.2 анализируются эволюционные уравне ния небесного тела под действие приливного возмущения, проводится качественный анализ динамической системы, по строены фазовые портреты, сделаны астрономические прило жения.

Рассмотрим эволюцию движения тела под действием только приливного момента. Чтобы не осложнять картины основных эффектов, рассмотрение проводилось для динами чески-симметричной планеты, движущейся по невозмущен Рис. 12 Система координат ной эллиптической орбите (A = B C, AC). Исследование данной системы дифференциальных уравнений второго порядка будет проводить с помо щью теории качественного исследования динамических систем на плоскости и теории бифуркаций при различных значениях параметров задачи.

Рис.13 Неустойчивые седла(7), сложные узлы(6), устойчивый узел(5) Фазовые портреты рассматриваемых систем, плоскость параметров (с прилагаемыми бифуркационными плоскостями) приведены на рис. 13 и в приложении А диссертации.

В параграфе 6.3 описаны особенности влияния приливных моментов на вращатель ную эволюцию планет и их спутников в Солнечной системе и экзопланет. Планеты вне солнечного типа, обращающиеся по очень «тесным» орбитам («горячие Юпитеры»), испы тывают сильные приливные возмущения со стороны центральной звезды.

Параграф 6.4 включает краткое описание эволюционных уравнений, полученных В.В. Белецким, для планеты, обращающейся по круговой орбите и имеющей центральный эллипсоид инерции близкий к сфере. В данном параграфе методами качественного анализа нами исследуются эволюционные уравнения, полученные В.В.Белецким [1], описывающие вращательную эволюцию планет при е = 0 под действием приливных моментов:

d 0 sin 1 0.5 cos, dt (6) d 0 cos 0.5 cos2, dt где угловое расстояние вектора кинетического момента от нормали к плоскости орбиты планеты, L B 0, B – главный момент инерции.

Согласно структуре системы уравнений (6), естественным отображением эволюци онных треков на фазовой плоскости является цилиндр. Из четырех особых точек ( рис. 13) две имеют характер седла, две – устойчивого и неустойчивого узлов. На рисунке 13 пред ставлен фазовый портрет на плоскости и на цилиндре, иллюстрирующий эволюцию векто ра кинетического момента экзопланеты под действием приливных возмущений. Две вте кающие в седло сепаратрисы приходят из седла с координатами, 0, охватывают цилиндр и, следовательно, делят его на две части: «верхнюю» и «нижнюю». «Верхняя» часть характеризуется наличием устойчивого узла и приходом всех траекторий из беско нечности, «нижняя» – неустойчивого и оттока всех траекторий на –. Таким образом, од на выходящая из седла ( 0, 0 ) сепаратриса вливается в устойчивый узел, другая уходит на бесконечность. Одна из входящих сепаратрис седла с координатами, 0 приходит из бесконечности, вторая – из неустойчивого седла.

Земля Уран Венера Уран Земля Рис. 14 Фазовый портрет, описывающий вращательную эволюцию экзопланеты под дей ствием приливных возмущений В параграфе 6.5 приводится анализ и интерпретация полученного фазового портрета (рис. 14) на плоскости и на цилиндре, описываются бифуркационная поверхность и ее се чения, определяющие различное поведение фазовых траекторий в окрестности состояний равновесия динамической системы, описывающей приливную эволюцию экзопланет.

2 cos Изменение поведения траекторий по определяется кривой (ранее 1 cos полученной В.В. Белецким [1]) при пересечении вектором L и обозначает смену прямого вращения экзопланеты на обратное или наоборот. Впервые эффект смены прямого враще ния на обратное вращение планет был открыт В.В. Белецким [1]. Согласно полученному фазовому портрету (Рис.14) под действием приливных возмущений вектор кинетического момента экзопланеты перемещается к плоскости орбиты планеты, что приводит к смене прямого вращения экзопланеты к обратному при L B 0. В случае L B 0, характер вращения планеты будет неизменным.

В Заключении описываются основные результаты и выводы по всей диссертацион ной работе.

В Приложении А диссертации приведена галерея из 64 фазовых портретов на плос кости и на сфере, разбиение пространства параметров.

В Приложении B диссертации представлены результаты моделирования периодов свободных либраций многослойной Луны, Меркурия и Венеры в зависимости от размера жидкого ядра, плотности вещества ядра, состава ядра, диссипативной функции на границе ядро-мантия В Приложении С диссертации представлена галерея из 79 фазовых портретов за хвата в резонансное вращение.

В Приложении D диссертации даются таблицы вынужденной либрации однород ных регулярных спутников Солнечной системы Литература 1. Белецкий В. В., Хентов A. A., 1995, Резонансные вращения небесных тел. Нижний Новгород, Нижегородский гуманитарный центр, 430 с.

2. Баркин Ю., Гусев А., Петрова Н., 2004. Современные исследования спин-орбитальной и внутренней динамики Луны: приложение к лунным космическим миссиям. Тр. Меж.

астр. конф. «Основные направления развития астрономии в России», стр. 263- 3. Getino J., 1995, An interpretation of the core-mantle interaction problem. Geophys. J. Int., v.120, p. 693- 4. Konopliv A.S., Asmar S.W., Carranza E., Sjogen W.L., Yuan D.N.: 2001, Recent gravity models as a result of the Lunar Prospector mission., Icarus, v.150, pp.1-18.

5. Krasinsky G.A., 2002, Dynamical history of the Earth-Moon system, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v.84, pp. 27- 6. Kuskov O.L., Kronrod V.A., 1998, Constitution of the Moon, 5, Constraints on composition, density, temperature, and radius of a core, PEPI, 107, 285- 7. Peale S.J., Yseboodt M., Margot J.-L., 2007, Long-period forcing of Mercury’s libration in longitude. Icarus, 187, 365- 8. Runcorn S.K.: 1996, “The formation of the lunar core”, Geochimica et Cosmochimica Acta, v.60, No.7, pp. 1205- 9. Spohn T., Konrad W., Breuer D., Ziethe R.: 2001, The longevity of lunar volcanism:

Implication of thermal evolution calculation with 2D and 3D mantle convection models, Icarus, v.149, pp.54-65.

10. Stegman D.R., Jellinek A.M., Zatman S.A., Baumgardner J.R., 2003, An early lunar core dynamo driven by thermochemical mantle convection, Nature, v.421, p.143-146.

11. Williams J.G., Boggs D., Yoder Ch., Ratcliff J., Dickey J.: 2001. Lunar rotational dissipation in solid body and molten core. J. Geoph.Res., v.106, No E11, p.27, 933-27, 968.

Список основных публикаций автора по теме диссертации 1. Китиашвили И.Н., Гусев А.В., 2008, Чандлеровские колебания и нутации жидкого ядра нейтронной звезды, Астрономический журнал, т.85, N.1 с. 69-78.

2. Гусев А.В, Кавано Н, Петрова Н.К, Ханада Х., 2008, "Физическая либрация и внутреннее строение многослойной Луны”, Астрономический вестник, т.42 с. 1- 3. Гусев А.В, Кавано Н, Петрова Н.К, 2007, Исследование и освоение Луны: научные дос тижения, фундаментальные проблемы, международные перспективы, “Актуальные Проблемы Авиационных и Аэрокосмических Систем, КАИ-EMBRY-RIDDLE Publ., Рос сия-США, т.12, p.94 - 4. Petrova N., Gusev A., 2001, "New Trends in the Development of the Lunar Physical Libration Theory", Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy, v. 80, Issue 3/4, p. 215-225.

5. Barkin, Yu., Gusev, A., Petrova, N., 2006, The study of the spin-orbit and inner dynamics of the Moon: Lunar mission application. Advance in Space Research, v.37, p.72- 6. Gusev A., Petrova N. 2007, The Moon-2012+: Spin-orbit evolution, geophysics and Selenode sy of the Moon. Advances in Space Research, v.41, p. 1- 7. Kitiashvili I., Gusev A., 2007, "Rotational Evolution of Exoplanets Under the Action of Gravitational and Magnetic Perturbations", Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy v. 100, Issue 2, p.1- 25, DOI: 10.1007/s10569-007-9106- 8. Kopeikin S., Pavlis E., Pavlis D., Brumberg V., Efroimsky M, Escape A, Getino J., Gusev A., Muller J., Petrova N., Ni W.-T., 2008, Prospects in the orbital and rotational dynamics of the Moon with the advent of sub-centimeter lunar laser ranging, Advances in Space Research, v.42, p.1-26. Oct. 2007, e-print: arXiv:0710.1450 [gr-qc].

9. Petrova N., Gusev A., Hanada H., Kawano N., 2008, "Free librations of the two-layer Moon and the possibilities of their detection" Advances in Space Research, v.43, p.1- 10. Kitiashvili I., Gusev A., 2008, "Inner Core Wobble and Free Core Nutation of Pulsar", Advances in Space Research, v.43, p.1- 11. Gusev A., Kitiashvili I., 2006, Precession of Inner Core and Free Nutation of Outer Core for Pulsar PSR B1828-11, Gravitation and Cosmology, v.12, No. 1, pp. 59- 12. Petrova N., Gusev A., Heki K., Hanada H., Kawano N., 2002, "Physical librations of the Moon: the results and the perspectives". IAA Transactions, v. 8, p.143-145.

13. Gusev A., Petrova N., Kawano N., 2002, "FCN-period dependence on dynamical characteris tics of a lunar core". IAA Transactions, v. 8, p.83-85.

14. Gusev A., Kitiashvili I. 2002 Precession and free core nutation of neutron stars. IAA Transac tions, v. 8. p.81-82.

15. Gusev A., Kitiashvili I. 2003. Spin-orbital evolution of the exoplanets. EAS Publ. Series, EDP Sciences Publisher, Paris, v. 6, p. 281-283.

16. Gusev A., Kawano N., Petrova N., 2003. Gravitation Investigations on the SELENE mission and the existence of a lunar core. Astron. & Astrophysics Transaction, v. 22, pp 579-584.

17. Gusev A., Kitiashvili I., 2004, Resonances in the exoplanetary systems and free-core nutation of pulsars PSRB1828-11. Journal of Dynamical and Control Systems, Plenum Publishing Corp, USA. v.10, No1, pp 120-122.

18. Gusev A., 2004. Nutations and liquid core of the Moon. Bulletin of NAOJ, Mitaka, Tokyo, No.134, p.13-14 (in Japanese) 19. Gusev A., Kawano N., 2005, Rotation and Internal Structure of the Moon. Annual Reports of NAOJ: Highlight publications, Mitaka, Tokyo, pp.1-2 ( Japanese) 20. Kitiashvili I., Gusev A., 2004, Early evolution of the planetary system around PSR B1257+12. ASP Conf. Ser., “ Planetary systems in the Universe”, USA. v.313, p.187- 21. Kitiashvili I., Gusev A., 2004, Extra-solar planets: from direct rotation into reverse rotation.

ASP Conf. Series “ Planetary systems in the Universe”, USA, v.313, p.205- 22. Kitiashvili I., Gusev A., 2000 "Exoplanets: status and outlook", Georesources, v.3, p.26-30.

23. Gusev A., Kitiashvili I., 2001, "Analyses of non-linear effects of magnetic convection on the Earth's outer core boundary. “Georesources”, v.5, p.34-36.

24. Gusev A., Kitiashvili I. 2001 /2002 Nonlinear magnetoconvection in outer core of the Earth, “Georesources”, v. 6, p. 32- 25. Gusev A., Kitiashvili I., 2005. Chandler Wobble and Free Core Nutation of Pulsar. “Geore sources”, v.9, p. 41-43.