Математическое моделирование регуляции сокращений сердечной мышцы в норме и при патологии
На правах рукописи
КАЦНЕЛЬСОН Леонид Борисович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
РЕГУЛЯЦИИ СОКРАЩЕНИЙ СЕРДЕЧНОЙ
МЫШЦЫ В НОРМЕ И ПРИ ПАТОЛОГИИ
03.00.02 – Биофизика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Москва 2008
Работа выполнена в Институте иммунологии и физиологии УрО РАН,
г. Екатеринбург
НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ:
член-корреспондент РАН, доктор биологических наук, профессор В.С. Мархасин ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:
Доктор физико-математических наук, профессор В.В.Смолянинов Доктор физико-математических наук, профессор Г.А. Бочаров Доктор физико-математических наук А.К. Цатурян ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:
Институт теоретической и экспериментальной биофизики РАН
Защита диссертации состоится 15 мая 2008 года в 14 часов на заседании Специализированного Ученого Совета Д. 501.001.96 при Московском Госу дарственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:
119992, Москва, Воробьевы горы, МГУ, Биологический факультет, кафедра биофизики, Новая аудитория.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Биологического факуль тета МГУ.
Автореферат разослан "" 2008 г.
Ученый секретарь Специализированного Ученого Совета Д. 501.001.96, доктор биологических наук Т.Е. Кренделева
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования Сердечная мышца – сложная многоуровневая система, механическое по ведение которой определяется двумя компонентами – пассивным, связанным с упругими и вязкими свойствами мышцы как композитного материала, и ак тивным, позволяющим сердцу выполнять свою основную функцию – обеспе чение сосудистого кровотока. Механическая активность мышцы реализуется на уровне кардиомиоцитов и включает в себя процесс сокращения, как тако вой, и его регуляцию. Силогенерация/укорочение на молекулярном уровне осуществляется поперечными миозиновыми мостиками, которые циклически прикрепляются и отсоединяются от актина и гидролизуют АТФ. Поперечные мостики в ходе гидролиза осуществляют поворот, генерирующий напряжение и/или сдвигающий актиновые и миозиновые нити саркомеров друг относи тельно друга. Процесс регуляции сокращений включает в себя активацию ак тиновой нити и определяется ходом изменения концентрации кальция в цито золе, который, в свою очередь регулируется электрической активацией клетки, т.е. развитием потенциала действия. Потенциал действия возникает в клетках рабочего миокарда в ответ на внешний электрический импульс и формируется при участии целого ряда ионных токов через мембрану, включая кальциевые, натриевые и калиевые токи.
Комплекс перечисленных процессов дополнительно усложняется наличи ем ряда обратных связей. Например, механические условия сокращений, а также образование и распад поперечных мостиков могут существенно влиять на кальциевую и электрическую активацию клеток.
Таким образом, сердечная мышца представляет собой сложно организо ванную контрактильную «машину», понять принципы организации и предска зать поведение которой можно только с помощью комплексного математиче ского моделирования.
К настоящему времени уже разработаны и продолжают разрабатываться математические модели, описывающие с разной степенью детализации те или иные из перечисленных выше подсистем миокарда/кардиомиоцита. В частно сти, имеются модели пассивных механических свойств мышцы, модели ак тивного механического поведения и модели электрической активности кар диомиоцитов. Однако до сих пор ощущается нехватка интегративных моделей, описывающих все эти подсистемы совместно с учетом прямых и, тем более, обратных связей между ними. Наше исследование призвано в какой-то мере восполнить этот пробел.
Интегративная математическая модель позволяет не только исследовать общие законы активного поведения миокарда, но также выяснять механизмы нарушений электрической и сократительной функции кардиомиоцитов при различных сердечных патологиях и методы коррекции этих нарушений. В нашей работе возможности этого важного для клинических приложений на правления использования модели продемонстрировано на примере анализа механизмов и методов коррекции аритмии, возникающей в результате каль циевой перегрузки кардиомиоцитов, характерной для многих заболеваний сердца. Модель предсказывает важную роль обратных механо-электрических связей в развитии этих нарушений ритма, о чем раньше не было известно.
Наконец, наличие развитой комплексной модели кардиомиоцита откры вает возможность в будущем строить одно-, двух- и трехмерные модели мио карда, в которых проведение электрического возбуждения и механическое взаимодействие сегментов будут сопряжены с развитием потенциалов дейст вия и напряжения в клетках с учетом прямых и обратных связей, сущест вующих между всеми этими процессами как на внутриклеточном, так и на тканевом уровне.
Цели и задачи исследования Целью работы являлось создание математической модели активного ме ханического поведения сердечной мышцы для воспроизведения и объяснения широкого круга феноменов сократительной активности миокарда и ее нару шений. Модель должна была включать описание процессов кальциевой и электрической активации сократительной функции кардиомиоцитов (с уче том обратных механо-кальциевых и механо-электрических связей) и позво лить адекватно воспроизводить и объяснить феномены, наблюдаемые в фи зиологических экспериментах на мышечных препаратах или в интактном сердце, такие как:
- влияние механических условий на активацию сердечной мышцы в ходе цикла сокращение-расслабление (феномен грузозависимого расслабления, эффект циклических деформаций и др.);
- влияние активности кальциевого насоса саркоплазматического ретику люма на грузозависимое расслабление (исчезновение грузозависимости в ги пертрофированном миокарде, уменьшение грузозависимости при повышении температуры);
- влияние мышечной вязкости на активное механическое поведение мио карда (эффект «несогласованности» хода развития изометрического напря жения и хода укорочения/растяжения саркомеров и др.);
- нарушение электро-механической функции кардиомиоцитов при каль циевой перегрузке.
Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:
- разработка постулатов модели;
- построение механического блока модели;
- построение блока кальциевой регуляции тонких нитей саркомеров и блока кинетики внутриклеточного кальция в модели;
- включение в модель блока электрической активности кардиомиоцитов;
- реализация прямых и обратных связей между блоками модели;
- проведение численных экспериментов, воспроизводящих основные ре жимы сокращений миокарда, с целью имитации и анализа свойств со кращающегося миокарда.
Основные положения, выносимые на защиту 1. Разработанная модель механического поведения сердечной мышцы, включающая описание электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах и их кальциевую активацию, адекватно воспроизводит широкий спектр экс периментальных данных из области биомеханики активного миокарда.
2. Ключевым звеном механизма, реализующего обратную связь между механическими условиями и ходом активации кальцием тонких нитей сар комеров, является кооперативность регуляторных и сократительных белков.
3. Как ускорение, так и замедление кальциевого насоса саркоплазмати ческого ретикулюма (если замедление вызвано ингибированием насоса) мо гут приводить к ослаблению феномена грузозависимого расслабления.
4. Механические свойства пассивной миокардиальной ткани, в частно сти, ее вязкость существенно модулируют активное механическое поведение сердечной мышцы.
5. При развитии острой сердечной недостаточности, связанной с пере грузкой кардиомиоцитов кальцием, кооперативность регуляторных и сокра тительных белков, а также механические условия сокращений сердечной мышцы (такие как уменьшение длины или нагрузки) способствуют возник новению сердечной аритмии.
6. Обоснованные в модели методы воздействия на кардиомиоциты при острой сердечной недостаточности, связанной с их перегрузкой кальцием, дают теоретическую базу для разработки методов восстановления нормаль ной электромеханической функции миокарда при этой патологии.
Методы исследования Электромеханическое поведение сердечной мышцы описывается с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В свя зи с большим количеством уравнений в системе (а именно, 25 диффе ренциальных уравнений) возможности ее качественного анализа крайне ограничены. Поэтому основным методом исследования является чис ленное интегрирование. С учетом жесткости системы, описывающей электромеханическую активность сердечной мышцы, были выбраны ме тоды ее численного интегрирования: использовался либо явно-неявный метод, учитывающий специфическую структуру уравнений модели, либо метод Эйлера с шагом интегрирования, обеспечивающим достаточную точность расчетов. Для верификации модели результаты численного мо делирования сопоставлялись с данными реальных экспериментов.
Данные физиологических/биохимических экспериментов использова лись также для оценки допустимых интервалов изменения большинства па раметров модели, которые затем были верифицированы в численных экспе риментах.
Научная новизна Все перечисленные ниже результаты были получены в работе впервые.
В рамках математической модели установлено, что кооперативность со кратительных и регуляторных белков – основной механизм, ответственный за вклад механических условий в развитие кальциевой активации.
В модель включено описание зависимости присоединения мостиков от межфиламентарного расстояния, зависящее, в свою очередь, от длины мыш цы, и установлено, что в сочетании с механизмами кооперативности сократи тельных и регуляторных белков этот эффект является важным звеном меха но-кальциевой обратной связи в миокарде.
Теоретически изучена роль ингибирования кальциевого насоса саркоплаз матического ретикулюма в регуляции сократительного цикла сердечной мыш цы.
В модели активного механического поведения сердечной мышцы, вклю чающей процессы активации кардиомиоцитов, учтена вязкость миокардиаль ной ткани и исследован ее вклад в процессы сокращения и расслабления.
В рамках модели электромеханической активности сердечной мышцы проанализирована роль механических условий сокращений миокарда как аритмогенного фактора при умеренной перегрузке кардиомиоцитов кальцием;
показано, что механизм, инициирующий экстрасистолы при такой перегрузке связан с кооперативностью сократительных и регуляторных белков.
Построена математическая модель нарушений электромеханической функции миокарда при острой сердечной недостаточности, связанной с пере грузкой кардиомиоцитов кальцием;
эта модель использована как инструмент для оценки эффективности различных терапевтических методов коррекции таких нарушений.
Научная и практическая значимость Нами разработана новая интегративная математическая модель меха нического поведения кардиомиоцитов с учетом их электрической и каль циевой активации. Модель может использоваться и уже успешно исполь зована для анализа проблем физиологии сердца.
Важными для патофизиологии приложениями работы являются:
исследование причин исчезновения эффекта грузозависимого рас слабления миокарда при его гипертрофии;
построение математической модели развития острой сердечной не достаточности при перегрузке кардиомиоцитов кальцием и анализ различ ных методов восстановления электромеханической функции сердечной мышцы в этих условиях.
Апробация. Результаты работы были представлены в докладах на научных конференциях: 19-м съезде Физиологического общества им. Пав лова (Екатеринбург, 2004);
международном симпозиуме «Биологическая подвижность: фундаментальные исследования и практика» (Пущино, 2006);
международной конференции «Математическая биология и биоинформати ка» (Пущино, 2006);
25-й Европейской мышечной конференции (Монпелье, Франция, 1996);
34-м конгрессе Международного союза физиологических обществ (Крайсчерч, Новая Зеландия, 2001) конференциях Физиологиче ского общества Великобритании (Лидс, 2000;
Оксфорд, 2004 и 2007, Анг лия);
Европейской конференции по математической и теоретической биоло гии (Дрезден, Германия, 2005) и ряде других, а также в докладах на науч ных семинарах в Институте иммунологии и физиологии УрО РАН (Екате ринбург), Институте математики и механики РАН (Екатеринбург);
Инсти туте физики металлов РАН (Екатеринбург);
Институте механики сплош ных сред РАН (Пермь);
Институте механики МГУ (Москва);
Кафедре био физики биологического факультета МГУ (Москва);
Высшей политехниче ской школе (Пализо, Франция).
Всего по теме диссертации опубликовано более 50 работ, среди кото рых 1 книга, 19 статей в отечественных и международных рецензируемых журналах (в том числе 12 публикаций в журналах из Перечня, рекомен дуемого ВАК), 5 статей в сборниках научных трудов, а также тезисы докладов в материалах отечественных и международных конференций.
Исследования, проведенные в рамках диссертационной работы, под держаны рядом грантов РФФИ, грантами Целевой программы фундамен тальных исследований Президиума РАН "Фундаментальная наука медицине";
фонда the Welcome Trust;
Национального института здоровья США, The Fogarty International Center, NATO Collaborative Linkage Grant.
Благодарности. Автор считает приятным долгом поблагодарить своего научного консультанта члена-корр. РАН В.С. Мархасина;
коллег:
О.Э. Соловьеву, Л.В. Никитину, Ю.Л. Проценко;
Т.Б. Сульман, П.В. Коно валова, Н.А. Викулову, а также почтить память д.б.н. В.Я. Изакова, под ру ководством которого в 1986 году автор начинал свои исследования в облас ти математического моделирования мышечных сокращений.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, за ключения, в котором сформулированы выводы, и приложений. Работа включает 3 таблицы, 56 рисунков и список литературы из 184 источников.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Механическая активность миокарда и ее кальциевая регуляция (краткая характеристика объекта исследования) Одной из важнейших особенностей механической активности сердечной мышцы является цикличность (периодичность) ее сокращений, необходимая для осуществления насосной функции сердца.
Основные этапы регуляции одного цикла сокращение-расслабление мио карда таковы:
(1) В ответ на электрический импульс происходит деполяризация мембраны кардиомиоцита, что приводит, в частности, к активации кальцие вых каналов в мембране. Ионный ток через эти каналы поставляет в клетку относительно небольшое количество кальция. Однако эта малая порция кальция активирует каналы внутриклеточных кальциевых депо – так назы ваемого саркоплазматического ретикулюма (СР). Вследствие этого из СР в цитозоль по градиенту концентрации устремляется основной поток кальция.
В цитозоле происходит его связывание с различными внутриклеточными ли гандами и распад этих комплексов.
(2) Ключевую роль в активации сокращения мышцы играет связыва ние кальция с регуляторным белком тропонином C (TnC), локализованным в миофибриллах. Связывание кальция с TnC вызывает конформацию тропо миозиновой нити, закрывающей активные центры на глобулах актиновой ни ти саркомера. Открывшийся активный центр становится доступным для при крепления миозиновой головки, т.е. для образования поперечного мостика.
(3) За счет аккумулированной ранее энергии гидролиза АТФ мостик со вершает шаг, являющийся основой генерации мышечного напряжения и уко рочения. По окончании каждого очередного шага и сброса продуктов гидро лиза миозин присоединяет молекулу АТФ и отсоединяется от актина. Чем выше концентрация кальция в цитозоле, тем больше комплексов CaTnC фор мируется, тем, соответственно, больше образуется поперечных мостиков, а значит, тем больше генерируемое напряжение и способность к укорочению.
(4) Постепенно кальций выводится из цитозоля частично во внекле точное пространство (главным образом с помощью натрий-кальциевого об мена), но в основном – обратно в СР. Поглощение кальция в СР – активный транспорт против градиента концентрации, осуществляемый кальциевым на сосом ретикулюма за счет энергии гидролиза АТФ. Временной ход концен трации цитозольного кальция за один цикл называется кальциевым перехо дом. Вследствие поглощения кальция в СР и выведения из клетки быстро по нижается его концентрация в цитозоле. В результате постепенно уменьшается количество комплексов CaTnC и количество образуемых поперечных мости ков, что приводит к ослаблению механической активности мышцы, т.е. к рас слаблению.
(5) Основные экспериментальные режимы, в которых исследуется цикл сокращения-расслабления миокарда, отображают различные режимы сокращения интактного сердца. Эти режимы таковы.
Изометрический режим – концы препарата, растянутого на некоторую исходную длину крепятся к неподвижным рычагам установки. После стиму ла в мышце сначала происходит рост напряжения (фаза сокращения), сме няемый затем его постепенным падением, т.е. расслаблением. Длина препа рата остается неизменной в течение всего цикла.
Изотонический режим – на одном из концов препарата находится до полнительный груз. Когда в изометрическом режиме растущее напряжение достигает величины этого груза, то мышца поднимает его и наступает фаза изотонического сокращения, т.е. укорочения под постоянной нагрузкой. В фазу расслабления груз растягивает мышцу в обратном направлении. Вер нувшись к исходной длине, мышца завершает расслабление в изометриче ском режиме.
Основные проблемы физиологии миокарда, на решение которых направлена работа В рамках математической модели в работе исследованы следующие ключевые проблемы физиологии миокарда.
• Каковы факторы и механизмы обратной связи между механическими условиями сокращения сердечной мышцы и ее активацией/инактивацией?
• Какие механизмы лежат в основе ослабления эффекта грузозависимо сти и какова роль кальциевых насосов СР в этом ослаблении?
• Влияет ли вязкость миокардиальной ткани на активное механическое поведение сердечной мышцы?
• Как проявляется механо-кальциевая обратная связь в нарушениях элек трической и механической функции кардиомиоцитов при острой сердечной недостаточности, связанной с их кальциевой перегрузкой?
Многие из поставленных проблем связаны со следующим важным свой ством сердечной мышцы: механические условия ее сокращения в каждый данный момент времени влияют на ее последующую активность, т.е. на спо собность к развитию напряжения не только в этот момент, но и в течение всей последующей части цикла сокращение-расслабление. Это влияние чаще всего проявляется как уменьшение активности в ответ на изменение механи ческих условий, т.е. как инактивация мышцы. Существует ряд эксперимен тально установленных эффектов, демонстрирующих это ключевое свойство.
Остановимся на двух наиболее ярких из них. Это реакция мышцы на быст рые циклические деформации и феномен грузозависимого расслабления.
Эффект циклической деформации проявляется в том, что короткое воз действие, оказываемое на мышцу в ходе изометрического цикла, приводит к необратимому падению уровня развиваемого мышцей напряжения. Это воз действие состоит либо в быстром растяжении мышцы на 3-5 % длины и столь же быстром возврате на прежнюю длину, либо, наоборот, в быстром отпус кании мышцы на 3-5% длины с возвратом. Причем, чем позднее в ходе цикла наносится деформация, тем сильнее ее эффект.
Суть феномена грузозависимого расслабления, прежде всего, состоит в том, что изотонические циклы завершаются быстрее изометрического. При чем, чем меньше груз, тем больше различие между длительностью изометри ческого и соответствующего изотонического цикла. Более того, часто возни кает ситуация, когда изотоническое расслабление под малым грузом завер шается раньше, чем под большим (см., например, рис. 4). Это явление связа но с парадоксальным свойством изотонических циклов: чем меньше груз, тем с большей скоростью мышца растягивается под этим грузом в фазу расслаб ления.
В экспериментах, в которых одновременно с механическими данными регистрировался кальциевый переход в кардиомиоцитах, было установлено, что как в случае сокращения-расслабления под нагрузкой, так и в ответ на быструю кратковременную деформацию в клетках сердечной мышцы возни кает дополнительный свободный кальций по сравнению с изометрическим циклом. Эти результаты навели ряд исследователей на мысль, что механиче ские условия влияют на сродство TnC к кальцию, приводя к дополнительно му распаду кальций-тропониновых комплексов, что вызывает одновременно и наблюдаемые всплески концентрации свободного кальция, и механическую инактивацию (см., например, Lab ea, Circ Res, 1984). В литературе долгое время активно обсуждался вопрос о том, какой именно механический фактор – длина или груз – влияет на указанное сродство. Однако ответ на этот во прос не был получен, поскольку не был выяснен механизм такого возможно го влияния. Т.е. без ответа оставался главный вопрос, как именно такие мак роскопические характеристики, как длина препарата или приложенный к не му груз могут влиять на ход молекулярных процессов связывания и распада кальций-тропониновых комплексов. Таким образом, природа и механизмы обратной связи между механическими условиями сокращения сердечной мышцы и ее активацией/инактивацией – одна из центральных проблем био механики миокарда.
Особо важную роль влияние механических условий на активность сер дечной мышцы играет в целом сердце. Это связано с неоднородностью свойств кардиомиоцитов в стенке камер сердца. Различаясь по длительности и амплитуде механического цикла и возбуждаясь с задержкой относительно друг друга, взаимодействующие клетки миокарда создают друг для друга ди намически меняющиеся условия механического нагружения. В результате возникает сложная непрерывная сеть обратных связей между сокращением системы кардиомиоцитов и активацией каждого из них, влияющей на после дующий ход сокращения.
Таким образом, механо-кальциевая обратная связь – важнейшее звено регуляции сокращений сердечной мышцы. Наиболее ярко эта связь проявля ется в феномене грузозависимого расслабления миокарда. Поэтому очень важно понять причины ослабления или даже полного исчезновения этого фе номена в ряде ситуаций. Так в исследованиях, проведенных группой профес сора Lecarpentier (Lecarpentier ea, Circ Res, 1987), было установлено, что гру зозависимость полностью отсутствует при тяжелой гипертрофии сердечной мышцы. Т.е. в этом случае завершение изотонических фаз расслабления по падает в точности на изометрическую кривую развития напряжения.
Авторы этой работы связывали наблюдавшееся исчезновение грузозави симости с замедлением насоса СР при гипертрофии, что вполне укладыва лось в распространенное представление о характере влияния кальциевого на соса ретикулюма на выраженность эффекта грузозависимости. Считалось, что замедление насоса всегда способствует ослаблению эффекта грузозави симости и, соответственно, ускорение насоса – усилению этого эффекта.
В 1994 году Dobrunz и Berman (Dobrunz & Berman, JMCC, 1994) показа ли, что повышение температуры приводит к ослаблению грузозависимости в сердечной мышце вплоть до почти полного ее исчезновения. Этот результат диссонировал с указанным представлением о роли насоса СР, поскольку из вестно, что рост температуры ускоряет многие внутриклеточные процессы, в том числе, перенос кальция этим насосом. Тем не менее, Dobrunz и Berman не подвергли это представление сомнению, а предположили, что в наблю давшихся ими условиях грузозависимое расслабление стало слабее вследст вие ускорения прикрепления-открепления поперечных мостиков, которое происходит при нагревании наряду с ускорением кальциевого насоса ретику люма. Т.е, с их точки зрения ускорение циклирования поперечных мостиков способствует ослаблению грузозависимости, причем это влияние оказывает ся настолько сильным, что оно преобладает над противоположно направлен ным воздействием насоса. Однако предложенная ими умозрительная концеп ция была плохо аргументирована и не давала четкого представления о меха низмах, лежащих в основе обнаруженного эффекта.
Иначе говоря, вопрос о механизмах ослабления эффекта грузозависимо сти вообще и о роли кальциевого насоса СР в этом ослаблении, в частности, оставался открытым.
Еще один важный вопрос биомеханики миокарда: какова роль пассив ных механических свойств миокардиальной ткани в активном механическом поведении сердечной мышцы? Основными механическими свойствами ткани, т.е. пассивной мышцы, являются ее упругость и вязкость. Вклад упругости как в развитие активного напряжения, так и во временной ход активного уко рочения/удлинения мышцы хорошо понят. Однако этого нельзя сказать о мышечной вязкости, хотя ее наличие - экспериментально установленный факт (Мархасин и др. Спб.: Наука, 1994;
Изаков и др. Москва: Наука, 2000).
Проявляется она (при деформации пассивной мышцы) как сила трения, кото рая зависит от скорости деформации препарата. Так в ответ на растяжение неактивированного мышечного препарата происходит скачок его пассивной силы, сопровождающийся постепенной релаксацией, продолжающейся вплоть до достижения стационарного уровня упругой силы, соответствую щей новой длине. Кроме того, установлено, что в ходе небольших по величи не синусоидальных деформаций пассивной мышцы (~ на 1%) связь между текущей длиной и возникающей в ответ силой, имеет форму петли гистере зиса. Причем, что чем выше частота деформаций (т.е. чем больше скорость каждой циклической деформации), тем более выражен гистерезис.
Несмотря на давно известное наличие вязкости миокарда, ее вклад в ме ханическую активность остается под вопросом. Достаточно распространено представление, что вязкостные свойства миокарда вообще не сказываются на его активном поведении. В то же время имеются экспериментальные данные, которые довольно трудно объяснить без учета мышечной вязкости. А именно, в изометрическом цикле одновременно с развитием напряжения мышечного препарата методом лазерной дифракции регистрировался ход изменения длин его саркомеров. Было обнаружено, что как сокращение, так и расслаб ление, оцениваемые по развитию напряжения, оказываются заметно короче, чем соответствующие фазы укорочения и удлинения саркомеров (Lecarpen tier ea, in: INSERM/John Libbey Eurotext, 1990;
[15]1).
Рис. 1. Экспериментальная запись изометрической силы сердечной мышцы, полученной вместе с из менениями длин саркомеров, реги стрируемых методом лазерной дифракции. Данные получены на тонкой трабекуле из правого же лудочка крысы породы Вистар. В ходе изометрического сокраще ния саркомеры укорачивались на ~7% вследствие концевой подат ливости. Рисунок заимствован из нашей статьи [15].
На рис. 1 видно, что пик изометрической силы значительно опережает пик укорочения, а полное расслабление достигается существенно раньше возврата саркомера на исходную длину. Аналогичное рассогласование име ется на рисунках, представленных в работе Stuyvers с соавторами (Stuyvers e.a., J. Physiol., 2002). Однако авторы упомянутых экспериментальных иссле дований не попытались объяснить полученные данные. Мы предположили, что это рассогласование может объясняться вязкостью мышцы. Эта гипотеза была затем проверена в нашей работе.
Кроме того, отсутствовали какие бы то ни было сведения о влиянии вяз кости на основные инотропные и лузитропные характеристики миокарда, т.е.
на характеристики его сокращения и расслабления. Итак, вопрос о вкладе вязкости в механическую активность – это еще одна важная проблема биоме ханики миокарда.
Здесь в квадратных скобках указаны ссылки на список работ автора, опубликованных по теме диссертации.
Значительные изменения претерпевает сократительная функция миокар да при различных сердечных патологиях;
в частности, при сердечной недос таточности. Причем, такие патологические состояния как острая сердечная недостаточность могут быть связаны с комплексными нарушениями и каль циевой, и электрической регуляции сократительной активности. Т.е. страдает весь регуляторный контур электромеханического сопряжения. В таком со стоянии может особым образом проявиться вклад механических условий в кальциевую активацию сокращений. В свою очередь, кальциевая кинетика тесно связана с электрической активностью кардиомиоцитов как прямыми, так и обратными связями. Поэтому, например, при острой сердечной недос таточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием, возможны аномальные проявления механо-электрических обратных связей. Вопрос о роли механических факторов в нарушениях электрической и механической функции кардиомиоцитов при острой сердечной недостаточности этого типа завершает список проблем, на которых сфокусирована данная работа.
Описание математической модели и ее применение для решения проблемы физиологии миокарда Структура модели Модель состоит из трех основных блоков: механического блока, блока кальциевой кинетики и кальциевой регуляции сократительной активности и электрического блока. Первые два блока - наша оригинальная разработка.
Электрический блок представлен разработанной Денисом Ноблом моде лью Noble’98, содержащей описание ионных токов и развития потенциала действия в кардиомиците в ответ на внешний электрический стимул (D. No ble, A. Varghese, P. Kohl, P. Noble, Can. J. Cardiol., 1998). Описание всех то ков базируется на уравнении Ходжкина-Хаксли. Блок кальциевой активации сопряжен с электрическим блоком по общему уравнению, задающему кине тику ионов кальция в цитозоле.
Кроме нашей опубликовано еще несколько моделей механической ак тивности миокарда с учетом его кальциевой активации. Наиболее известные из них – это модель Ландсберга-Зайдмана (Landesberg & Sideman, Am. J.
Physiol., 1994), модель Питера Хантера (Hunter e.a., PBMB, 1998) и модель Райса-Винслоу (Rice e.a., Am. J. Physiol., 1999). Впрочем, в модели Райса Винслоу механический блок очень упрощен: он включает только процессы генерации напряжения в изометрическом режиме. Изменение длины мыш цы/саркомеров в этой модели не рассматривается. Имеется также ряд моде лей, описывающих электрическую активность кардиомиоцита. Кроме моде лей Д. Нобла в этом ряду можно выделить семейство моделей Луо-Руди (Luo & Rudy, Circ. Res., 1991;
Luo & Rudy, Circ. Res., 1994;
Faber & Rudy, Biophys.
J., 2000;
и др.), а также модель Джафри-Райса-Винслоу (Jafri e.a., Biophys. J, 1998). Однако, наша модель, по-видимому, первая, в которой подробное опи сание механического поведения сердечной мышцы и его кальциевой регуля ции сопряжено с описанием электрической активности кардиомиоцитов.
Остановимся на основных особенностях разработанных нами механиче ского и кальциевого блоков модели, сыгравших ключевую роль в исследова нии поставленных проблем физиологии миокарда.
Рис. 2. Реологическая схема сердечной мышцы, включающая демпферы, лежащая в основе модели активного механического поведения миокарда. Все детали подробно описаны в тексте.
Механический блок модели (рис. 2) базируется на реологической схе ме, включающей активный контрактильный элемент CE, ассоциируемый с саркомером, и нелинейные упругие элементы PE, SE и XSE. Кроме того, в реологической схеме имеются два вязких элемента: VS1, параллельный кон трактильному элементу, и VS2, параллельный последовательному упругому элементу SE. Элемент VS2 отображает в модели концевую вязкость препара тов сердечной мышцы. Как VS1, так и VS2 в ответ на изменение их длины развивают силу, пропорциональную скорости этого изменения и направлен ную в сторону, противоположную деформации соответствующего элемента.
Соотношение сил основных элементов реологической схемы таковы:
F muscle F = (1) XSE k P _vis v F + F CE + F PE (2) = XSE k S _ vis ( w v ) F F PE + F SE + (3) = XSE F SE = [ ex p ( ( l - l ))- 1 ] (4) 1 1 F P E = 2 [ exp ( 2 l 2 )- 1 ] (5) F X S E = 3 [ exp ( 3 l 3 )- 1 ] (6) Здесь:
dl dl ;
w= 2 ;
v= dt dt F muscle сила мышцы;
F SE сила последовательного элемента SE;
F - сила параллельного элемента PE;
F XSE сила внешнего последова PE тельного элемента XSE;
l1 разность между мгновенной длиной контра тильного элемента CE и его длиной, соответствующей длине покоя мышцы;
l2 разность между мгновенной длиной элемента PE и его длиной, соответ ствующей длине покоя мышцы;
l3 разность между мгновенной длиной элемента XSE и его длиной, соответствующей длине покоя мышцы.
В изометрическом режиме выполняется соотношение l2 + l3 = const, а в F XSE = const изотоническом режиме – соотношение Сила контрактильного элемента FCE в модели пропорциональна доле прикрепившихся силогенерирущих поперечных мостиков N и средней силе p(v), развиваемой одним мостиком: FCE = ·p(v)·N. Кинетика прикрепле ния/открепления мостиков описывается следующим дифференциальным уравнением:
dN = k + ( v ) M ( A ) n1 ( l 1 ) (( l 1 + S 0 ) /( l m ax + S 0 )) ( 1 N ) k ( v ) N. (7) dt Здесь A = [Ca2+TnC];
n1 ( l1 ) – вероятность того, что миозиновая головка “найдет” доступный центр связывания на нити актина. n1 зависит от межфи ламентарного расстояния, а следовательно, от длины саркомера (контрак тильного элемента) l1.
M ( ), p(·), n1 ( ), k+ ( ), k ( ) явные функции, определенные в модели;
1, 1, 2, 2, 3, 3, – параметры модели.
О зависимости n1 ( l1 ) следует сказать особо. Известно, что в связи с по стоянством объема клетки расстояние между миофиламентами возрастает при уменьшении длины кардиомиоцита и уменьшается при ее увеличении.
Поэтому мы предположили, что вероятность того, что миозиновая головка “найдет” доступный центр связывания на нити актина растет при уменьше нии межфиламентарного расстояния, а, следовательно, при увеличении дли ны саркомера (контрактильного элемента) l1. Эта зависимость выражена в модели функцией n1 ( l1 ). Сам по себе эффект изменения межфиламентарно го расстояния с длиной клетки хорошо экспериментально обоснован. В то же время его вклад в регуляцию сокращений и, в частности, в обратную связь между механическими условиями и активацией остается предметом дискус сий. Нами впервые учтен этот эффект в модели и установлено, что в сочета нии с механизмами кооперативности регуляторных и сократительных белков он должен включаться в механо-химеческую обратную связь в миокарде.
Механизмы кооперативности относятся к кальциевому блоку модели.
Блок кальциевой регуляции модели. Кальциевый блок модели вклю чает уравнения, описывающие поступление Ca2+ в цитозоль из внеклеточного пространства (через L-каналы сарколеммы) и из терминальных цистерн СР (ТЦСР), его связывание в комплексы с внутриклеточными буферными ли гандами, распад этих комплексов, поглощение Ca2+ в СР и его выведение из клетки посредством Na+-Ca2+ обмена. При описании поступления Ca2+ в цито золь, в частности учтено, что его высвобождение из ТЦСР инициируется кальциевым током через L-каналы (механизм кальциевым вызванного вы свобождения кальция). Кинетика Ca2+ внутри СР также описана в модели.
Главным элементом кальциевого блока модели является уравнение, опи сывающее кинетику образования и распада комплексов CaTnC вдоль актино вой нити, которые открывают на ней места для прикрепления поперечных мостиков:
dA = aon (Atot A) CaC aoff exp(-k A A) (N A ) A (8) dt Механизмы кооперативности центральное звено этого уравнения и модели в целом. Из экспериментальных работ известен целый ряд таких ме ханизмов, связывающих функцию регуляторных и сократительных белков.
Два из них, как показала модель, играют ключевую роль в обратных связях между механическими условиями сокращения миокарда и его активацией. А именно:
Кооперативность первого типа. Распад комплекса CaTnC тем медлен ней, чем больше поперечных мостиков прикрепилось к нити актина вблизи данного комплекса:
1 NA для (s N A ) ) = 0 c 0 N A sc- (N A для (9) NA s - для 0 c Здесь N A = N /( Loz A ), а Loz = ( l1 + S0 ) /( 0.46 + S0 ). 0 0 1, sc - параметры.
Кооперативность второго типа (выражена функцией exp(-kA A) в уравнении для dAdt). Распад комплекса CaTnC тем медленней, чем больше аналогичных комплексов образовалось вдоль нити актина вблизи данного.
Наличие обоих типов кооперативности - экспериментально установлен ный факт (см., например, Grabarek e.a., J.Biol.Chem., 1983). Однако эти меха низмы нами были впервые включены в модель активного механического по ведения миокарда и использованы для анализа вклада механических условий в развитие кальциевой активации. А именно, в рамках модели выстраивается следующая цепь событий, реализующих эту обратную связь. Чем меньше те кущая длина кардиомиоцита, тем больше расстояние между актиновыми и миозиновыми нитями саркомеров. Это, согласно нашему предположению, уменьшает вероятность образования поперечных мостиков, а чем меньше мостиков, тем быстрей распад комплексов CaTnC (согласно первому типу кооперативности). Кооперативность второго типа усиливает этот эффект. В рамках модели можно проверить, достаточно ли сильна полученная обратная связь, чтобы обеспечить наблюдаемые в экспериментах эффекты, в частности, эффект грузозависимого расслабления сердечной мышцы. Далее это будет показано.
Другая ключевая особенность блока кальциевой регуляции в модели относится к описанию кальциевого насоса СР.
Как уже было сказано, этот насос играет значительную роль во внутрикле точном кальциевом метаболизме и в регуляции мышечной активности. Он обеспечивает основной путь выведения кальция из цитозоля и поэтому является одним из главных детерминантов фазы расслабления миокарда. Перенос Са2+ в СР (против градиента концентрации) осуществляется в ходе гидролиза АТФ молекулами кальциевой АТФ-азы, встроенной в мембрану ретикулюма. У этой АТФ-азы имеется важная особенность: будучи переносчиком ионов кальция, она в то же время может ингибироваться этими ионами. А именно, как показал Ikemoto в 1975 году в экспериментах на пузырьках саркоплазматического рети кулюма, кальциевый насос частично ингибируется при накоплении ионов каль ция внутри продольного СР. Т.е., чем больше кальция в СР, тем сильнее инги бируется насос. Ikemoto выдвинул гипотезу о наличии аллостерических центров связывания кальция на молекулах АТФ-азы с внутренней стороны СР. Он на звал их –сайтами. Нелинейная кинетика связывания кальция с –сайтами при водит к экспоненциальному замедлению гидролиза АТФ с ростом концентра ции кальция в СР. Соответственно замедляется поглощение Са2+.
В литературе существуют и другие гипотетические объяснения процесса ингибирования кальциевого насоса. Т.е. механизм этого явления не вполне ясен. Однако его наличие – твердо установленный факт. Поэтому мы ввели ингибирование в формулу, описывающую скорость переноса кальция насо сом СР. А именно, CaC iup = r( Caup ) (10) + CaC K pump, где r (Caup ) = up · exp( kinh ·Caup ). (11) Иными словами, насос, который в целом описывается формулой Михаели са-Ментен, определяющей гиперболическую зависимость его скорости от кон центрации кальция в цитозоле, имеет компонент r, который экспоненциально уменьшается с ростом концентрации кальция в продольном СР (Caup). Кроме этой экспоненты компонент r включает линейный множитель up – параметр модели, отображающий количество молекул кальциевой АТФ-азы в мембране СР и ско рость гидролиза АТФ в отсутствие ингибирования АТФ-азы.
Итак, модель соединяет в себе подробное описание механического поведе ния кардиомиоцита и кальциевой кинетики с учетом ингибирования насоса СР.
Такое соединение позволило нам впервые проанализировать в рамках модели ту роль, которую ингибирование может играть в регуляции сократительного цикла миокарда.
Моделирование активного механического поведения сердечной мышцы Имитация и анализ феномена грузозависимого расслабления и эффек тов быстрых деформаций сердечной мышцы в цикле сокращение расслабление. На рис. 3 пока заны результаты быстрых циклических деформаций (сверху) и быстрых укороче ний мышцы (снизу) в ходе изометрического цикла. Сле ва – данные реальных экспе риментов. Справа – модель.
Падение напряжения после завершения механического воздействия и его зависи Рис.3. Влияние быстрых деформаций на времен ной ход развития изометрического напряжения. мость от момента приложе Панели А и В – данные реального эксперимента. ния деформации полностью Панели Б и Г – результаты моделирования.
воспроизводятся в модели.
Рис. 4 демонстрирует эффект грузозависимого расслабления в модели и в эксперименте.
Результаты моделирова ния также хорошо соответст вуют экспериментальным данным.
Модель хорошо воспро изводит и влияние механиче Рис. 4. Сопоставление циклов сокращение расслабление под разными грузами в модели ских условий на концентра (панель A) и в эксперименте (панель Б). Звез цию свободного цитозольно дочкой на панели А для случая груза, равного 0.7F0, отмечен возврат моделируемой мышцы го кальция.
на исходную длину.
На рис. 5 показаны каль циевые переходы в изометрических циклах в зависимости от длины, на кото рой происходит сокращение, на рис. 6 – влияние быстрых укорочений мыш цы на кальциевый переход, а на рис. 7 – развитие кальциевого перехода при разных значениях изотонической нагрузки.
Все эти результаты также соответствуют экспе риментальным данным (Al len & Kurihara, J. Physiol., 1982;
Lab e.a., Circ. Res., 1984).
Анализ модели показал, что главной причиной воз действия механических ус ловий на механическую и кальциевую активацию Рис. 5. Имитация кальциевых переходов при изо миокарда является коопера метрических сокращениях на разных длинах мыш цы.
тивность первого типа, т.е.
влияние поперечных мости ков на сродство TnC к каль цию. В то же время это влияние само по себе ока зывается недостаточно сильным для воспроизведе ния эффектов инактивации в рамках физиологически оправданных значений па раметров модели.
Кооперативность вто Рис. 6. Имитация влияния быстрых отпусканий сердечной мышцы в ходе изометрического сокра рого типа (т.е. влияние со щения на кальциевый переход.
седних кальций тропониновых комплексов на скорость распада каждого из них) усиливает инактивацию и позволяет корректно воспроизвести в модели показанные здесь эффекты.
Благодаря кооператив ности первого типа также успешно воспроизводятся и все экспериментальные дан ные, свидетельствующие о влиянии механических усло вий на основные характери стики сокращения и расслаб ления миокарда: связи ‘дли на-сила’, ‘сила - время рас слабления’ и др. Благодаря кооперативности второго ти па воспроизводится зависи мость этих связей от уровня Рис. 7. Имитация кальциевых переходов в серии сокращений под разными нагрузками.
внутриклеточного кальция.
Анализ роли кальциевого насоса СР в ослаблении феномена грузо зависимого расслабления при гипертрофии миокарда и при росте темпе ратуры. Как указывалось выше, Lecarpentier с соавторами показали, что гру зозависимость исчезает при гипертрофии сердечной мышцы, и связывали это исчезновение с уменьшением скорости кальциевого насоса СР в гипертрофи рованном миокарде.
В рамках модели замедление насоса можно реализовать двояко: либо пу тем уменьшения коэффициента up в формуле насоса (11), либо путем уве личения коэффициента kinh. В первом случае моделируется уменьшение скоро сти гидролиза АТФ и скорости переноса кальция молекулами кальциевой АТФ азы без изменения ингибирующего эффекта кальция, находящегося в СР. Во вто ром – скорость переноса замедляется вследствие усиления ингибирования.
Первоначально в численных экспериментах был реализован первый, наи более простой, вариант. Оказалось, что в этом случае замедлялись и изометри ческий, и изотонические циклы, однако грузозависимость не исчезала: изотони ческие циклы, по-прежнему, завершались быстрее изометрических, хотя из-за замедленной кинетики Са2+ насоса, изотонический уровень свободного кальция в цитозоле превышал его изометрический уровень значительнее, чем в норме.
Рис. 8. Моделирование грузозависимого расслабления миокарда (слева) и его исчезновения (справа). Панели сверху вниз: А напряжение в изометрическом и изотонических цик лах сокращения-расслабления. Б изменения длины мышцы в ходе этих сокращений;
чем меньше постнагрузка, тем больше укорочение. В группа кривых, представляющих ход изменения концентрации CaTnC в течение этих сокращений (I);
чем меньше постнагруз ка, тем меньше активация([CaTnC]). На тех же панелях В представлена группа кривых, представляющих временной ход процесса связывания Ca2+ с буферной системой в тех же сокращениях мышцы (II). Г кальциевые переходы, соответствующие этим сокраще ниям: чем меньше постнагрузка, тем длиннее кальциевый переход.
Это наводило на мысль, что для исчезновения грузозависимости требуется не только наблюдаемое в численном эксперименте существенное увеличение концентрации Са2+ в цитозоле в изотоническом режиме по сравнению с изомет рическим. Необходимо соблюдение еще одного требования: если в каких-то ус ловиях возникает дополнительный кальций в цитозоле, то он к тому же должен значительно медленнее поглощаться в СР. При сохранении параметра kinh, со ответствующего норме, этого не происходило.
Поэтому мы осуществили замедление насоса вторым путем – за счет усиления ингибирования. На рис. 8 справа показан результат 4-кратного уве личения параметра kinh по сравнению с «нормой», модель которой приведена на том же рисунке слева. Видно, что изменение одного только параметра kinh привело к полному исчезновению грузозависимости в модели.
Полученные результаты подтверждают гипотезу Lecarpentier о том, что замедление кальциевого насоса может быть причиной исчезновения грузоза висимого расслабления при гипертрофии. Однако модель позволяет внести существенное уточнение: только такое замедление, которое связано с усиле нием ингибирования насоса может обеспечить этот эффект.
Другой наблюдаемый экспериментально случай ослабления эффекта грузозависимости – вследствие повышения температуры – также исследовал ся в модели. Dobrunz & Berman в упомянутой выше экспериментальной ра боте (1994), выделили три фактора, связанные с ростом температуры, кото рые a priori могут влиять на длительность изометрического и изотонических циклов и, следовательно, – на грузозависимость.
Мы воспроизвели в численных экспериментах все эти три фактора: ус корение переноса Са2+ молекулами кальциевой АТФ-азы насоса СР, ускорение высвобождения кальция из СР, и увеличение скорости прикрепле ния/открепления поперечных мостиков. Причем, степень ускорения каждого из этих процессов соответствовала оценкам, полученным в экспериментах Dobrunz & Berman (1994). Мы вводили данные факторы один за другим в различной последовательности. Одна из таких последовательностей показана на рис. 9: сначала ускорение насоса, связанное с ускорением гидролиза АТФ (т.е. увеличение параметра up), затем ускорение высвобождения кальция и, наконец, ускорение циклирования поперечных мостиков.
Рис. 9. Имитация влияния нагре вания сердечной мышцы на эф фект грузозависимого расслаб ления. Панели АГ: временной ход генерации активного механическо го напряжения в изометрическом и изотоническом режимах. Факто ры, связанные с нагреванием, вводи лись последовательно: () ускорение кальциевого насоса СР;
() укоро чения восходящей ветви кальцие вого перехода;
() ускорение при крепления/открепления поперечных мостиков.
А: исходное (до нагревания) со стояние мышцы.
Б: результат введения только од ного фактора ().
В: результат введения фактора () в дополнение к фактору ().
Г: все три фактора (), (), () вве дены для имитации полного влияния нагревания на эффект грузозави симости.
Таким образом, нижняя панель на рис. 9 демонстрирует суммарный эффект роста температуры. Видно, что он хорошо воспроизводит карти ну, полученную Dobrunz & Berman при нагревании мышцы с 24 C до 37 C.
Однако вклад перечисленных факторов в наблюдаемый эффект оказался в модели прямо противоположным тому, что предполагали эти исследователи.
Ускорение насоса не увеличило, а уменьшило грузозависимость. Причем именно этот фактор оказался главным. Два других, в том числе ускорение процессов прикрепления/открепления поперечных мостиков влияют на ре зультат незначительно, т.к. почти пропорционально укорачивают и изомет рический, и изотонический циклы. Чтобы объяснить влияние первого фактора (т.е. ускорения насоса СР) на полученный результат, следует напомнить, что основная причина феномена грузозависимости – укорочение мышцы и ее сар комеров в изотоническом режиме. Точнее говоря, саркомеры в изотонии укора чиваются больше, чем в изометрии, и это различие тем сильнее, чем меньше постнагрузка. Данное различие и приводит к грузозависимости расслабления, благодаря механизмам кооперативности и уменьшению межфиламентарного расстояения. При ускорении насоса СР падает сократительная активность мышцы вследствие уменьшения концентрации Са2+ в цитозоле. Поэтому укоро чение и мышцы, и ее саркомеров при уменьшении груза становится гораздо ме нее значительным, чем при нормальной скорости работы насоса СР. В частно сти, уменьшается различие между укорочением саркомеров даже под самым малым грузом и их укорочением в изометрии (последнее невелико уже и в нор ме, поэтому мало меняется в результате ускорения кальциевого насоса). Это и приводит к ослаблению эффекта грузозависимости.
Сравнивая два представленных варианта изменения скорости насоса (по средством константы up или константы kinh), можно сделать вывод о том, что связь между этой скоростью и выраженностью эффекта грузозависимого рас слабления немонотонна и существенно зависит от того, какой именно меха низм лежит в основе изменения активности насоса. В частности, ослабление грузозависимости может продуцироваться двумя противоположными откло нениями от нормальной скорости насоса:
замедлением насоса, вызванным усилением его ингибирования;
ускорением насоса вследствие увеличения скорости переноса Ca2+ не ингибированными молекулами кальциевой АТФ-азы СР.
Этот вывод сделан в рамках модели. По отношению к реальной мышце он является предсказанием. При экспериментальной проверке этого предсказания важно иметь критерий, который позволил бы определять точную причину из менения скорости насоса в том или ином эксперименте – т.е. понять, что меня ется в результате применяемого в эксперименте воздействия: ингибирование насоса или скорость работы кальциевой АТФ-азы.
С целью выработки такого критерия мы имитировали в математической модели поглощение ионов Ca2+ пузырьками СР, помещенными в раствор с постоянной концентрацией кальция.
Рис. 10 иллюстрирует полученные результаты. На верхней панели показа ны:
– C1(t) – кривая (1), имитирующая временной ход роста [Ca2+] в везикулах для исходных значений параметров насоса (up= rCa и kinh= q1);
– C2(t) – кривая (2), имитирующая временной ход роста [Ca2+] при ос лабленном ингибировании и при исходном значении скорости Ca2+ в СР (kinh=0.5 q1;
up= rCa );
– C3(t) – кривая (3), имитирующая временной ход роста [Ca2+] при уве личенной скорости переноса кальция в везикулах неингибированными моле кулами кальциевой АТФ-азы и при исходном значении константы ингибиро вания (up=2 rCa и kinh= q1).
На нижней панели изображены те же самые кривые, но нормированные на C1(t), т.е. отношения: C1(t)/C1(t)=1 (кривая 1), C2(t)/C1(t) (кривая 2) и C3(t)/C1(t) (кривая 3).
Рис. 10. Имитация временного хода [Ca2+] в везикулах СР при различных ско ростях кальциевого насоса.
Верхняя панель: кривая (1) C1(t) соответ ствует исходным значениям параметров насоса;
кривая (2) C2(t) – пара метр rCa увеличен вдвое по сравнению с ис ходным значением при сохранении исход ной величины параметра q;
кривая (3) C3(t) – параметр q (степень ингибирова ния насоса) уменьшен вдвое по сравнению с исходным значением при сохранении ис ходной величины параметра rCa.
Нижняя панель: те же зависимости (1), (2), (3), что и на верней панели, но пред ставленные в нормализованном виде C1(t)/C1(t), C2(t)/C1(t), C3(t)/C1(t).
Хотя кривые C2(t) и C3(t) очень похожи и друг на друга, и на исходную кривую C1(t), различие между C2(t)/C1(t) и C3(t)/C1(t) оказывается принципи альным: отношение C2(t)/C1(t) – монотонно возрастающая функция времени, в то время как C3(t)/C1(t) имеет выраженный пик в результате почти мгно венного роста в самом начале процесса, а затем это отношение монотонно убывает.
Данное качественное различие не является случайным результатом удач ного выбора значений параметров в конкретном численном эксперименте. В диссертации строго доказано, что полученный результат справедлив при любых значениях параметров.
Следовательно, в рамках заложенных в модель представлений о работе кальциевого насоса СР, полученное различие в характере функций C2(t)/C1(t) и C3(t)/C1(t) может служить критерием, применимым для выяснения того, какая из двух a priori возможных причин ускорения насоса реализуется в той или иной конкретной экспериментальной ситуации (например в случае роста температуры), а описанный виртуальный эксперимент можно рассматривать в качестве принципиальной схемы соответствующего реального экспери мента на везикулах СР.
Анализ вклада вязкости в активное механическое поведение сердеч ной мышцы. Прежде всего, в модели была оценена роль вязких элементов в обнаруженном Lecarpentier с соавторами (Lecarpentier ea, in: INSERM/John Libbey Eurotext, 1990) рассогласовании фаз роста и спада изометрического на пряжения с фазами укорочения и растяжения саркомера (см. рис. 1).
Когда в модели вязкость обоих элементов VS1 (параллельного контрак тильному элементу CE) и VS2 (параллельного последовательному упругому элементу SE) была нулевой, то укорочение и растяжение элемента CE, т.е.
саркомера, совпадали по времени с фазами роста и спада напряжения.
На рис. 11 показан результат моделирования изометрического цикла при наличии ненулевой вязкости. Видно, что, когда учитывается вязкость обоих элементов VS1 и VS2 (на рисунке слева), то рассогласование обеих фаз изо метрического цикла воспроизводится полностью. Когда учитывается только параллельная вязкость VS1, то рассогласование пиков укорочения и напря жения исчезает, однако спад силы по-прежнему опережает растяжение сар комера (на рисунке справа).
Рис. 11. Имитация влияния вязкости на рас согласование временного хода развития изометри ческой силы и хода уко рочения/удлинения контр актильного элемента (CE). CE в модели ими тирует саркомеры в ре альных кардиомиоцитах.
Панели А1В1 демонст рируют изометрический цикл в случае, когда вяз кость обоих элементов VS1 и VS2 учтена в мо дели. Время нарастания силы мышцы составляет ~150мс, в то время как укорочение CE продол жается в течение 200 мс.
На панелях А2В2 пока зана имитация изомет рии в случае, когда после довательная вязкость VS2 элиминирована при сохранении значений ос тальных параметров, включая параллельную вязкость.
Таким образом, последовательная вязкость VS2 ответственна за рассо гласование пиков, наблюдаемое в фазу сокращения, а параллельная вязкость VS1 – за рассогласование фазы расслабления.
При воспроизведении изотонических циклов с разными нагрузками (рис.
12) было установлено, что именно вязкость VS1 – причина того, что скорость растяжения мышцы тем раньше достигает пика, чем больше груз.
Анализ вклада вязкости в инотропные и лузитропные характеристики мышцы (т.е. в характеристики сокращения и расслабления) проведен в модели с помощью широко используемых в мышечной биомеханике соотношений: изо тонических связей ‘длина-сила’ и ‘сила-скорость’ сокращения, а также связей ‘сила-скорость расслабления’.
Рис. 12. Реальная и виртуальные серии циклов сокращение-расслабление. Каждая из серий включает изометрический и 6 изотонических циклов. Слева (А1 В1) - данные реальных экспериментов. Панели в середине (А2 В2) - данные численной имитации, в случае когда вязкость элементов VS1 и VS2 учтена в модели. Справа (А3 В3) - ре зультаты имитации для случая, когда вязкость обоих демпферов элиминирована (т.е.
принята равной 0). Верхние панели (А1 А3) - развитие мышечной силы;
панели Б1Б3 и В1В3 показывают временной ход укорочения-растяжения мышцы и скоро сти этого укорочения-растяжения, соответственно.
На рис. 13 показано, как влияет на эти связи двукратное уменьшение (по сравнению с контрольными значениями) каждого из двух типов вязкости.
Оказалось, что вязкость практически не влияет на сокращение, но вносит ощу тимый вклад в расслабление. Более точно:
– параллельная вязкость VS1 не влияет на инотропные свойства, но существенно влияет на основные лузитропные характеристики;
– последовательная вязкость VS2 не влияет ни на инотропные, ни на лузитропные свойства.
Тем не менее, как уже указывалось, именно вязкость VS2 вызывает экс периментально наблюдаемое рассогласование между временем достижения пика изометрической силы и временем укорочения саркомеров.
Рис. 13. Данные, полу ченные на трех вир туальных мышцах:
первая – с контроль ными значениями па раметров, вторая – с уменьшенной вдвое вязкостью VS1, и третья – с уменьшен ной вдвое вязкостью VS2.
Связи ‘сила-скорость’ (вверху слева), ‘длина сила’ (вверху справа), ‘сила-скорость удли нения’ (внизу слева), ‘сила-скорость рас слабления (уменьше ния силы)’ (внизу спра ва) зарегистрированы в сериях изотнических циклов сокращение расслабление.
Имитация и анализ нарушений электрической и механической ак тивности миокарда в модели. В работе исследованы нарушения, связанные с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием. Наиболее подробно рассмотрен ва риант перегрузки, вызванной уменьшением скорости работы натрий калиевого насоса. Ток i p через Na+-K+ насос описан в модели следующим об разом ((D. Noble, A. Varghese, P. Kohl, P. Noble, Can. J. Cardiol., 1998):
[ K + ]o [ Na + ]i ip = ip [ K + ]o + K m,K [ Na + ]i + K m,Na Здесь [ Na + ]i - концентрация внутриклеточного натрия, а [ K + ]o – внекле точного калия. Km,K и K m,Na – соответствующие константы Михаэлиса для этого насоса. Снижение активности насоса моделировалось с помощью уве личения K m,Na по сравнению со значением этого параметра в норме ( K m,Na = 24.2 мМ).
На рис. 14 показано развитие напряжения при моделировании замедле ния Na+-K+ насоса в длительной серии сокращений в условиях регулярной стимуляции кардиомиоцита с частотой 75 стимулов/мин. Здесь K m,Na = 40 мМ.
Рис. 14. Сокращения одиночного виртуального кардиомиоцита с умеренно снижен ной активностью Na+-K+ насоса (П-образца). Длина кардиомиоцита L=0.90 Lmax (Lmax соответствует длине образца, при которой он развивает максимальное активное изометрическое напряжение);
частота стимуляции: 75 стимулов/мин. На графике показаны пики активного напряжения (F – условные единицы). Знак указывает временной интервал, подробно представленный на рис. 15. Полоса под графиком от мечает фазы, в в течение которых П-образец по-разному отвечает на восстановле ние нормальной активности Na+-K+ насоса (подробности - далее в тексте).
Данный «виртуальный мышечный препарат» в дальнейшем будем назы вать П-образцом (т.е. патологическим образцом). Вертикальными отрезками на графике показаны амплитуды напряжения, возникающего в ответ на сти муляцию.
Видно, что краткий рост амплитуд силы постепенно сменяется ее мед ленным снижением. Этот плавный процесс внезапно обрывается: происходит резкое падение силы, и появляются экстрасистолы (подробнее см. на рис. 15).
Затем возникает переходной процесс, в котором чередуются относительно сильные и слабые сокращения (альтернанс). В итоге устанавливаются ста ционарные сокращения с очень низкой амплитудой силы.
Фрагмент, выделенный на рис. 14 значком, более подробно раскрыт на рис. 15, где снизу вверх показаны потенциалы действия, кальциевые пере ходы и развитие силы в П-образце.
Рис. 15. Временной ход развития напряжения (F), кальциевые переходы ([Ca2+]i) и мембранный потенциал (E) в П-образце на интервале времени 137 160 с, обозна ченном увеличительным стеклом на Рис.1. Метки под осью времени обозначают моменты регулярных стимулов (каждые 0.8 с).
Вертикальными штрихами на оси времени на этом рисунке отмечены моменты регулярных стимулов, в промежутках между которыми возникают экстрасистолы (т.е. спонтанные потенциалы действия, вызывающие внеоче редные сокращения). Затем экстрасистолия исчезает, сменяясь альтерни рующими регулярными сокращениями. При этом продолжаются внеочеред ные всплески мембранного потенциала, которые не достигают уровня потен циала действия, а дают картину задержанной постдеполяризации.
Поведение, показанное на рисунках 14, 15, имеет характерные признаки, наблюдаемые во время развития острой сердечной недостаточности, связан ной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием: внезапное падение силы со кращений, экстрасистолию и (в некоторых случаях) пульсус альтернанс. По добные нарушения при частоте 75 стимулов/мин наблюдались в П-образце не только при длине, равной 0.90 Lmax, представленной здесь, но и при любых длинах 0.95 Lmax. При меньших длинах и/или больших частотах аритмия не возникала.
Модель корректно воспроизводит хорошо известные механизмы посте пенного (от цикла к циклу) накопления кальция в кардиомиоцитах в услови ях уменьшенной скорости натрий-калиевого насоса, которое в конечном ито ге приводит к аритмии. Схема этих механизмов такова:
Однако в рамках этой схемы отсутствует ответ на принципиально важ ный вопрос: каким образом без электрического стимула инициируется спон танное высвобождение кальция из перегруженных терминальных цистерн СР?
Ответить на этот вопрос позволяет численный эксперимент, показываемый на рис. 16. Здесь слева мы видим одно регулярное сокращение, выделенное из показанной на предыдущем рисунке серии. Вслед за этим сокращением (до появления следующего стимула) развивается экстрасистола. Этот же чис ленный эксперимент был повторен с единственным исключением (рис. 16, справа): с момента начала фазы расслабления в том же регулярном цикле от ключается кооперативная зависимость распада комплексов CaTnC от попе речных мостиков (этот момент обозначен стрелками под осями времени на правых панелях рис. 16). В результате каналы терминальных цистерн не от крылись и экстрасистола не возникла.
Итак, в основе механизма спонтанного высвобождения кальция из СР, инициирующего экстрасистолу, лежит кооперативность первого типа.
Рис. 16. Возникновение экстрасистолы в П-образце (левая колонка панелей) и ее исчез новение вследствие отключения кооперативности «Xb-CaTnC» (правая колонка пане лей) Черными треугольниками ( ) под осями времени обозначены моменты стимуля ции, а (*) указывает на спонтанный ПД, возникший до очередного стимула. Знак под осями времени в правой колонке панелей указывает момент, после которого влияние кооперативности «Xb-CaTnC» на распад CaTnC было элиминировано в модели – в ре зультате экстрасистола не возникла.
Нами подробно проанализирован этот механизм. Коротко, он состоит в следующем. Во-первых, в течение любого регулярного цикла сокращение расслабление в фазу расслабления в силу кооперативности «Xb-CaTnC» про исходит регенеративный распад CaTnC. То есть распад актомиозиновых комплексов влечет ускоренный распад CaTnC. В норме такой ускоренный распад компенсируется поглощением кальция в СР его и выведением через Na+-Са2+ обменный ток из клетки. Поэтому в нормальных условиях, когда уровень диастолического кальция в цитозоле низок, порог кальций вызванного высвобождения кальция (КВВК) из терминальных цистерн СР не достигается в диастолу. При перегрузке кардиомиоцитов кальцием, когда уровень диастолического кальция в цитозоле существенно повышен, Na+ Са2+ обмен оказывается не в состоянии в полной мере компенсировать уско ренный распад CaTnC в фазу расслабления, поэтому возникает спонтанное КВВК. Кальций, поступивший в цитозоль из СР, в свою очередь, активирует направленный внутрь деполяризующий ток через Na+-Са2+ обменный меха низм, а это приводит к развитию экстрасистолического ПД.
Описанная последовательность внутриклеточных процессов может быть названа механизмом генерации спонтанных ПД, вызванной кооперативно стью «Xb-CaTnC». Наличие такого механизма – предсказание модели, кото рое может быть прямо проверено в реальном эксперименте (например, с по мощью препарата BDM (2,3-butanedione 2-monoxime), блокирующего образование поперечных мостиков (Mulieri & Alpert, Biophys. J., 1984)).
Кроме того, нами установлено в рамках модели, что механические усло вия (например, уменьшение длины кардиомиоцита или механической нагруз ки на него), благодаря той же кооперативности, увеличивают риск аритмии при исследуемой патологии.
В модели мы выделили 3 диапазона снижения активности Na+-K+ насоса, соответствующие различному вкладу механических факторов в аритмогенез.
Эти диапазоны перечислены ниже.
(1) Диапазон: Km,Na 110 мМ (в норме Km,Na = 24.2 мМ) – экстрасистолы возникают в кардиомиоците независимо от механико-кальциевой обратной связи, поскольку диастолический уровень кальция в цитозоле при таких ве личинах Km,Na постепенно становится столь высок, что сам по себе иниции рует спонтанные КВВК.
(2) Диапазон: 40 мМ Km,Na 110 мМ – экстрасистолы также возникают в кардиомиоците при любых механических условиях, но только за счет вы шеописанного механизма генерации спонтанного ПД, вызванного коопера тивностью «Xb-CaTnC».
(3) Диапазон: 37 мМ Km,Na 40 мМ – экстрасистолы возникают только в результате прямых механических воздействий (уменьшение длины или на грузки). В этом случае они возникают благодаря механизму длинозависимого усиления кальциевой перегрузки СР.
Последний диапазон представляет собой «пограничную зону». Когда Km,Na находится ниже этой зоны, экстрасистолы не возникают в модели ни при каких механических условиях.
Анализ подходов к восстановлению электро-механической функции кардиомиоцитов при подавленном натрий-калиевом насосе. Восстанов ление нормальной активности насоса (Km,Na = 24.2 мМ) во время показанного выше приступа «острой сердечной недостаточности» в «виртуальном кар диомиоците» не всегда обеспечивало положительный эффект.
Рис. 17. Эффекты восстановления активности Na+-K+ насоса в различные моменты.
Панель А: увеличенный фрагмент рисунка 14, показывающий активную силу П-образца во время наступления «острой сердечной недостаточности» при длине 0.90 Lmax и частоте 75 стимулов/мин. Горизонтальная скобка под панелью показывает фазу, в которой меж ду регулярными сокращениями спонтанно возникают экстрасистолы. Эта фаза сменя ется переходным альтернансом. Две вертикальные стрелки (одинарная и двойная) пока зывают моменты возврата к контрольному (нормальному) состоянию Na+-K+ насоса в модели: насос восстанавливался либо после нечетного, либо после четного сокращения в фазу альтернанса. На панелях Б и В показаны результаты каждого из этих вариантов восстановления нормальной активности насоса.
Например, на рис. 17 видно, что при попытке такого «лечения» П образца в фазу альтернанса результат чередовался: если момент восстановле ния насоса оказывался после меньшего сокращения (этот момент отмечен одинарной стрелкой на верхней панели рис. 17), то в результате этого воз действия возникала устойчивая экстрасистолия (средняя панель на рис. 17).
Если восстановление насоса происходило после большего сокращения (двойная стрелка на верхней панели рис. 17), то нормальная электро механическая активность «кардиомиоцита» быстро и полностью восстанав ливалась (нижняя панель на рис. 17). Для получения устойчивого результата такого рода «лечения» оказалось необходимым ускорить насос (примерно на 5% уменьшить Km,Na) по отношению к изначальной норме.
Поскольку в настоящее время отсутствуют фармакологические вещества, позволяющие специфически ускорять натрий-калиевую АТФ-азу, мы рас смотрели в модели альтернативные воздействия, ведущие к уменьшению концентрация кальция в кардиомиоцитах с замедленным Na+-K+ насосом и, в результате, к восстановлению их электрической и механической функции.
Таблица 1 суммирует результаты этих «терапевтических» воздействий.
В таблице представлены установившиеся в результате воздействий уро вень кальция в СР ([Ca2+]SR) и две механические характеристики сокраще ния-расслабления: инотропная Fm – пик активной силы стационарных со кращений, и лузитропная t30 – время расслабления до 30% Fm. Все величины даны в процентах относительно нормы при длине 0.90 Lmax. Табличные дан ные соответствуют значениям соответствующих величин в стационарных со кращениях, установившихся после соответствующего воздействия.
Целью «терапевтических» воздействий, перечисленных в таблице, было по возможности восстановить «нормальные» механические характеристики сокращения и при этом отодвинуть уровень кальция в СР как можно дальше от критического аритмогенного уровня. Сравним в соответствии с этими критериями моделируемые результаты воздействий на различные звенья электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах, перегруженных каль цием.
Таблица 1. Результаты различных «терапевтических» воздействий на П-образец скорость медленный ток через чувствитель- скорость на Ca2+ ток, Na+-Ca2+ насоса ность скорости соса СР высвобождения и медлен СР iCaL обменник Са2+ из СР ный Ca2+ ток 20% к Са2+в цито 20% 18% 11% золе (одновременно) 20% 88.5% 95.7% 99.2% 119.7% 94.4% Fm 108. 101.8% 104.1% 138.2% 105.3% t % 135. 122.9% 122.7% 134.2% 119.2% [Ca2+]SR % Примечания.
1. Верхняя строка таблицы обозначает изменения отдельных пара метров по сравнению с П-образцом. Стрелки ( и ) обозначают соответствен но увеличение или уменьшение параметра.
[Ca2+]SR = 142% от нормы в П-образце непосредственно перед 2.
«приступом острой сердечной недостаточности»;
это значение [Ca2+]SR являет ся пороговой величиной для возникновения «приступа» в этом виртуальном образце.
3. Сила в П-образце в стационарных условиях после «приступа»
равна 30.8% от нормы.
Из таблицы видно, что снижение скорости работы насоса СР и частичное ингибирование медленного кальциевого тока приводит к почти одинаковым результатам. При уменьшении iCaL сила сокращений почти полностью вос станавливается, хотя расслабление оказывается несколько более длительным, чем при блокаде скорости насоса СР. В обоих случаях, однако, уровень каль ция в СР превышает нормальный приблизительно на 23%. При увеличении тока через Na+-Ca2+ обменник сила сокращений кардиомиоцита восстанавли вается практически полностью, расслабление оказывается почти на 9%, более длительным, чем в норме, а уровень кальция в СР на 35% выше, чем в норме.
При снижении чувствительности скорости высвобождения Са2+ из СР к каль цию в цитозоле сила сокращения кардиомиоцита возрастает почти на 20% по сравнению с нормой. Однако уровень кальция в СР остается высоким (пре вышает норму на ~34%), и почти на 40% возрастает t30. При одновременном снижении скорости насоса СР и снижении амплитуды медленного кальцие вого тока сила сокращений кардиомиоцита и время расслабления близки к нормальным величинам, а уровень кальция в СР остается выше нормы на 19%. Заметим, что в последнем случае каждый из процессов, участвующих в регуляции кальция в кардиомиоцитах, был изменен в наименьшей степени по сравнению с индивидуальными воздействиями (11% против ~20%).
Сопоставляя результаты вышеперечисленных воздействий, можно за ключить, что и по степени восстановления амплитуды сокращений, и харак теристик расслабления, и степени снижения уровня кальция в СР наилучший результат дает сочетанное воздействие на iCaL и кальциевый насос СР. Этот вывод весьма важен, поскольку именно таким сочетанным действием обла дают -блокаторы.
Кратко суммируем результаты работы. Построена интегративная модель электро-механической активности миокарда, основанная на описании ряда внутриклеточных процессов, связанных с активацией мышцы. В модели учитываются также пассивные механические свойства миокардиальной тка ни. Модель была успешно применена для решения важных задач физиологии и патофизиологии миокарда.
Мы полагаем, что построение подобных интегративных моделей являет ся важным этапом на пути создания математической физиологии сердца.
ВЫВОДЫ 1. Разработанная математическая модель механической активности миокарда адекватно воспроизводит все основные особенности цикла со кращение-расслабление сердечной мышцы в изометрическом, изотониче ском и физиологическом режимах.
2. В модели найден единый механизм, обеспечивающий влияние механических условий сокращения на ход кальциевой активации кардио миоцитов. Установлено, что в основе этого влияния лежат: (1) кооператив ность регуляторных и сократительных белков и (2) зависимость вероятно сти образования поперечных мостиков от текущей длины саркомера.
3. В рамках модели показано, что наблюдаемое при выраженной гипертрофии миокарда ослабление грузозависимости вплоть до полного ее исчезновения вызывается замедлением поглощения кальция в саркоплаз матический ретикулюм (СР) в связи с усилением ингибирования кальцие вой АТФ-азы СР.
4. В целом, влияние скорости кальциевого насоса СР на грузозави симость немонотонно. А именно, грузозависимость уменьшается как в ре зультате замедления насоса, вызванного усилением его ингибирования, так и в результате его ускорения вследствие увеличения скорости переноса Ca2+ молекулами кальциевой АТФ-азы СР.
5. Вязкость мышечной ткани влияет на активное механическое по ведение миокарда. В частности, вязкость концевых участков препаратов сердечной мышцы является причиной рассогласования между временным ходом роста изометрического напряжения и ходом укорочения саркомеров.
Вязкость внутренних участков препарата заметно модулирует фазу рас слабления, оказывая влияние на скоростные характеристики этого процес са.
6. При объединении модели механической активности с моделью электрической активности ‘Noble-98’, был получен контур механо электрической обратной связи, возникающий в результате сопряжения на трий-кальциевого обменного тока в кардиомиоцитах и кооперативного воздействия поперечных мостиков на сродство тропонина C к кальцию.
7. Модель предсказывает, что эта обратная связь может играть роль триггера при возникновении острой сердечной недостаточности в ус ловиях кальциевой перегрузки кардиомиоцитов. В рамках модели намече ны пути коррекции этой патологии. Наиболее удачный результат коррек ции наблюдался при имитации действия -блокаторов в модели.
Список публикаций по теме диссертации Книги [1] Мархасин В.С., Кацнельсон Л.Б., Никитина Л.В., Проценко Ю.Л., Руткевич С.М., Соловьева О.Э., Ясников Г.П. Биомеханика неоднородного миокарда УрО РАН, Екатеринбург, 1999. - 254 c.
Статьи в рецензируемых журналах [2] Мархасин В.С., Гласман А.А., Честухин В.В., Гольдберг С.И., Кацнельсон Л.Б., Маханек A.O. Вклад сегментарной кинетики левого желудочка в регуляцию на сосной и сократительной функции сердца // Рос. физиол. журн., 1994. – Т. 18, №4. – С. 72—79.
[3] Соловьева О.Э., Мархасин В.С., Кацнельсон Л.Б. Роль неспецифического тро понина в кинетике внутриклеточного кальция в кардиомиоцитах // Биофизика, 1996. - Т. 42, №2. - С. 431—438.
[4] Соловьева О.Э., Мархасин В.С., Романченко Т.Ю., Кацнельсон Л.Б. Матема тическая модель обобщенного кальциевого буфера в клетках сердечной мышцы // Биофизика, 1999. - Т. 44, №1. - С. 91—101.
[5] Мархасин В.С., Викулова Н.А., Гурьев В.Ю., Кацнельсон Л.Б., Коновалов П.В., Соловьева О.Э., Сульман Т.Б. Математическое моделирование в физиологии и патофизиологии сердца // Вестник уральской медицинской академической нау ки, 2004. - T. 3. - С. 31—37.
[6] Копылова Г.В., Кацнельсон Л.Б., Овсянников Д.А., Бершицкий С.Ю., Никити на Л.В. Применение метода in vitro подвижных систем для исследования каль ций-механической связи в скелетной и сердечной мышцах // Биофизика, 2006. T. 51, вып. 5, - С 781-785.
[7] Кацнельсон Л.Б., Соловьева О.Э., Сульман Т.Б., Коновалов П.В., Мархасин В.С. Моделирование механо-электрического сопряжения в кардиомиоцитах в норме и при патологии // Биофизика, 2006. - T. 51, вып. 6, - С. 1044-1054.
[8] Соловьева О.Э., Коновалов П.В., Викулова Н.А., Кацнельсон Л.Б., Мархасин В.С. Исследование электромеханического и механо-электрического сопряжения в мио-карде при помощи математических моделей// Рос. физиол. журн. им. И.М.
Сеченова, 2007. - T. 93, вып. 9, - С. 945-968.
[9] Кацнельсон Л.Б., Сульман Т.Б., Соловьева О.Э., Мархасин В.С. Механизмы на рушений электромеханической функции кардиомиоцитов при перегрузке каль цием. Теоретическое исследование. // Рос. физиол. журн. им. И.М. Сеченова, 2007. - T. 93, вып. 9, - С. 969-981.
[10] Katsnelson LB, Izakov VYa, Markhasin VS. Heart muscle: Mathematical modeling of the mechanical activity and modeling of mechanochemical uncoupling // Gen Physiol & Biophys, 1990.-Vol. 9.-P. 218-244.
[11] Izakov VYa, Katsnelson LB, Blyakhman FA, Markhasin VS, Shklyar TF. Coopera tive effects due to calcium binding by troponin and their consequences for contrac tion and relaxation of cardiac muscle under various conditions of mechanical loading // Circ Res, 1991.- Vol. 69.-P. 1171- [12] Katsnelson LB, Markhasin VS Mathematical modeling of relations between the kinetics of free intracellular calcium and mechanical function of myocardium // J Mol & Cell Cardiol, 1996. - Vol. 28, №3. - P. 475-486.
[13] Markhasin VS, Katsnelson LB, Nikitina LV, Protsenko YuL. Mathematical model ling of contribution of myocardium mechanical inhomogeneity in its contractile func tion // Gen Physiol & Biophys, 1997. - Vol. 16, №2. - P.101-137.
[14] Solovyova O., Katsnelson L., Guriev S., Nikitina L., Protsenko Y., Routkevitch S., Markhasin V. Mechanical inhomogeneity of myocardium studied in parallel and serial cardiac muscle duplexes: experiments and models // Chaos, Solitons & Frac tals, 2002. - Vol. 13, №8. - P. 1685—1711.
[15] Markhasin V.S., Solovyova O., Katsnelson L.B., Protsenko Y., Kohl P., Noble D. Mechano-electric interactions in heterogeneous myocardium: development of fun damental experimental and theoretical models // Prog Biophys & Mol Biol, 2003. Vol. 82, №1—3. - P. 207—220.
[16] Solovyova O., Vikulova N., Katsnelson L.B., Markhasin V.S., Noble P.J., Garny A.F., Kohl P., Noble D. Mechanical interaction of heterogeneous cardiac muscle segments in silico: effects on Ca2+ handling and action potential // Int J of Bifurca tion & Chaos, 2003. - Vol. 13, №12. - P. 3757— 3782.
[17] Katsnelson L.B., Nikitina L.V., Chemla D., Solovyova O., Coirault C., Lecarpentier Y., Markhasin V.S. Influence of viscosity on myocardium mechanical activity: a mathematical model // J Theor Biol, 2004. - Vol. 230, №3. - P. 385-405.
[18] Protsenko Y.L., Routkevitch S.M., Gur'ev V.Y., Katsnelson L.B., Solovyova O., Lookin O.N., Balakin A.A., Kohl P., Markhasin V.S. Hybrid duplex - a novel method to study the contractile function of heterogeneous myocardium // Am J Physiol: Heart Circ Physiol, 2005. - Vol. 289. - P.2733-2746.