Модельные представления аналитических решений краевых задач теории теплообмена на основе введения дополнительных граничных условий
На правах рукописи
Стефанюк Екатерина Васильевна Модельные представления аналитических решений краевых задач теории теплообмена на основе введения дополнительных граничных условий Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2009
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профес сионального образования Самарском государственном техническом университете.
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Радченко Владимир Павлович
Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Формалев Владимир Федорович (Московский авиационный институт – государственный технический университет) Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Рудобашта Станислав Павлович (Московский государственный агроинженерный университет) Доктор физико-математических наук, профессор Валишин Анатолий Анатольевич.
(Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана)
Ведущая организация: ОАО НПО «Стеклопластик»
Защита состоится « 26 » февраля 2010 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.04 при Московском авиационном институте (государственном тех ническом университете) по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного инсти тута (государственного технического университета) Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах.
Автореферат разослан « » _ 2010 г.
Ученый секретарь Диссертационного совета Д212.125. к. ф.-м. н., доц. М.В. Ротанина
Общая характеристика работы
Актуальность проблемы Известно, что точные аналитические решения краевых задач математической физики в настоящее время получены лишь для отдельных частных случаев и, к тому же, при весьма существенных допущениях (неучет нелинейности, переменности физи ческих свойств и граничных условий и проч.). Кроме того, решения, полученные с по мощью классических аналитических методов, представляются в форме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях граничных точек и при малых значениях временнй координаты. Исследования показывают, что сходимость точного аналити ческого решения нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье 10 12 Fo 10 7 на блюдается лишь при использовании от 1000 ( Fo 10 7 ) до пятисот тысяч ( Fo 1012 ) членов ряда. В тоже время, исследование кинетики теплового процесса при временах микросекундной длительности исключительно важная в практическом отношении проблема.
В аналитической теории теплопроводности известны методы, в которых исполь зуется понятие глубины термического слоя (интегральные методы теплового баланса).
К ним, в частности, относятся интегральный метод теплового баланса, метод осредне ния функциональных поправок, методы Швеца М.Е., Био М., Вейника А.И. и др.
Несомненным их преимуществом является возможность получения простых по форме аналитических решений удовлетворительной точности как для регулярного, так и нерегулярного процессов теплопроводности. Однако их серьезным недостатком яв ляется низкая точность. Причина в том, что получаемое решение, точно удовлетворяя начальному и граничным условиям, основному дифференциальному уравнению удов летворяет лишь в среднем. Это связано с тем, что в основу интегральных методов по ложено построение так называемого интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах глубины термиче ского слоя. Следовательно, очевидным путем повышения точности интегральных ме тодов является улучшение выполнения исходного дифференциального уравнения. С этой целью в настоящей работе избрано направление аппроксимационного представ ления приближенного решения с определением любого числа его слагаемых. Для оп ределения неизвестных коэффициентов таких полиномов основных граничных усло вий оказывается недостаточно. В связи с чем, возникает необходимость привлечения дополнительных граничных условий, определяемых из исходного дифференциального уравнения с использованием основных граничных условий и условий, задаваемых на фронте температурного возмущения.
Цель работы Целью работы является построение новых математических моделей аналитиче ских решений краевых задач математической физики, основывающихся на введении дополнительных граничных условий, позволяющих в аппроксимационном представ лении приближенного решения определять любое число его слагаемых и получать ана литические решения сложных линейных и нелинейных нестационарных краевых задач практически с заданной степенью точности.
Создание комплекса программ для реализации разработанных в диссертации аналитических методов решения краевых задач теплопроводности, а также для реали зации численных методов с целью сравнения результатов для задач, не имеющих точ ных аналитических решений.
Для достижения указанных целей решались следующие основные задачи:
1. Обоснование необходимости применения и разработка модели построения до полнительных граничных условий, получаемых из основного дифференциального уравнения краевой задачи с использованием исходных (классических) граничных ус ловий.
2. Применение дополнительных граничных условий с целью определения собст венных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля при моделировании нестационарной задачи теплопроводности путем совместного использования метода разделения пере менных и ортогонального метода Бубнова-Галеркина.
3. Разработка математической модели получения аналитических решений крае вых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе введения фронта темпе ратурного возмущения и дополнительных граничных условий.
4. Разработка методов построения изотерм и определение скоростей их переме щения по пространственной координате во времени на основе полученных в диссерта ции аналитических решений с использованием дополнительных граничных условий.
5. Разработка алгоритмов и комплекса программ, реализующих предложенные в диссертации аналитические методы решения.
6. Разработка математической модели решения обратных задач теплопроводно сти с целью определения граничных условий теплообмена (коэффициентов теплоотда чи) на основе использования полученных в диссертации аналитических решений пря мых задач.
Научное направление Научное направление, развиваемое автором диссертации: использование допол нительных граничных условий в краевых задачах математической физики с целью значительного упрощения как процесса получения, так и вида окончательных выраже ний для аналитических решений. При этом имеется возможность нахождения анали тических решений с заданной степенью точности для многих сложных задач матема тической физики, точные аналитические решения которых в настоящее время не полу чены. Построение дополнительных граничных условий основано на использовании исходного дифференциального уравнения и заданных (классических) граничных усло вий. Достигаемый эффект обусловлен тем, что выполнение таких условий эквивалент но удовлетворению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне из менения пространственных координат и времени.
Научная новизна:
1. Разработано новое научное направление математического моделирования ана литических решений краевых задач математической физики, основывающееся на вве дении дополнительных граничных условий, позволяющих применять аппроксимаци онное представление приближенного решения с определением любого числа его сла гаемых и, как следствие, получать аналитические решения ряда задач практически с заданной степенью точности.
2. Разработана математическая модель получения аналитических решений крае вых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позволяющая по лучать аналитические решения с заданной степенью точности во всем диапазоне вре мени нестационарного процесса, в том числе и для сверхмалых значений пространст венной координаты и времени.
3. Доказана необходимость применения и разработана модель построения до полнительных граничных условий, задаваемых в граничных точках краевой задачи, выполнение которых эквивалентно выполнению исходного дифференциального урав нения во всем диапазоне пространственной координаты и времени нестационарного процесса. В диссертации показано, что с увеличением числа приближений собствен ные числа, определяемые из характеристического уравнения, совпадают с собствен ными числами соответствующей краевой задачи Штурма-Лиувилля, что подтверждает выполнение исходного дифференциального уравнения по координате и времени.
4. На основе использования исходного дифференциального уравнения и основ ных граничных условий разработана модель построения дополнительных граничных условий, удовлетворение которых эквивалентно выполнению исходного дифференци ального уравнения в граничных точках и на фронте температурного возмущения.
5. На основе использования дополнительных граничных условий впервые с за данной степенью точности получены аналитические решения нелинейных уравнений динамического и теплового пограничных слоев при граничных условиях первого и третьего рода на стенке. На основе полученных решений уточнены критериальные уравнения, используемые для определения коэффициентов теплоотдачи и касательных напряжений в пограничном слое движущейся жидкости.
На защиту выносятся:
1. Разработанное автором новое направление получения аналитических решений краевых задач математической физики на основе введения дополнительных граничных условий, позволяющих получать аналитические решения практически с заданной сте пенью точности.
2. Впервые полученная математическая модель построения аналитических ре шений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позво ляющая получать высокоточные аналитические решения задач теплопроводности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая сверхмалые значения времени и пространственной координаты.
3. Впервые полученный метод построения дополнительных граничных условий, необходимых для как можно более точного выполнения исходного дифференциально го уравнения при аппроксимационном (модельном) представлении решения.
4. Впервые полученная математическая модель построения дополнительных граничных условий, используемых при моделировании процессов теплопроводности с введением фронта температурного возмущения, позволяющих выполнять исходное дифференциального уравнение в граничных точках и на фронте температурного воз мущения. Применение таких условий позволяет при минимальном числе приближений получать высокоточные решения во всем диапазоне числа Фурье.
5. Впервые полученная в диссертации математическая модель построения анали тических решений нелинейных дифференциальных уравнений динамического и теп лового пограничных слоев (уравнения Прандтля и Польгаузена) при граничных усло виях первого и третьего рода на стенке, а также результаты уточнения критериальных уравнений по касательным напряжениям и теплоотдаче в движущейся жидкости.
6. Впервые полученные автором результаты расчетов коэффициентов теплоот дачи на внутренних поверхностях барабана парового котла БК3-420-140 НГМ путем решения обратных задач теплопроводности с использованием полученных в диссерта ции аналитических решений прямых задач.
7. Впервые полученные результаты расчетов по определению начала и продол жительности пленочного кипения топлива и толщины коксовых отложений на внут ренних стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей с использованием разработанных в диссертации методов решения прямых задач тепло проводности для многослойных конструкций.
Достоверность результатов работы Достоверность разработанных автором математических моделей подтверждается соот ветствием математических моделей физическим процессам, протекающим в энергети ческих устройствах, сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, с приближенными решениями других авторов, с реше ниями, полученными численными методами, с результатами натурного эксперимента.
Практическая значимость работы 1. Полученные в диссертации аналитические решения были использованы при разработке компьютерных моделей и программных комплексов для теплосетей Самар ской ТЭЦ и Привокзальной отопительной котельной г. Самары (акты о внедрении ре зультатов работы приведены в приложениях диссертации).
2. На основе полученных в диссертации решений прямых задач теплопроводно сти путем решения обратных задач были найдены коэффициенты теплоотдачи на внутренней поверхности барабана парового котла БКЗ-420-40 НГМ в процессах пла нового или аварийного останова, сопровождающихся сбросом давления.
3. Используя полученные в диссертации аналитические решения для многослой ных конструкций, путем решения обратных задач теплопроводности выполнены рас четы по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива (ке росин) на стенках многослойных топливных коллекторов камер сгорания газотурбин ных двигателей, приводящего к отложению кокса на внутренних поверхностях стенок трубопроводов.
Связь диссертационной работы с планами научных исследований Представленная работа является обобщением теоретических и эксперименталь ных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик Минвуза РФ № 551/02 (01.01.2002-31.12.2006 гг.) «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности». Исследования выполня лись также по планам НИОКР ОАО «Самараэнерго» за 2002-2006 гг.
Научные и практические результаты использованы на Самарской ТЭЦ, Новокуйбышевской ТЭЦ-2, в Самарских тепловых сетях. Полученный экономический эффект от внедрения, подтвержденный актами о внедрении, составляет 700 000 рублей.
Личный вклад автора является определяющим на всех этапах исследований и за ключается в постановке проблем исследований, непосредственном выполнении основ ной части работы, которая выполнена в соавторстве.
Апробация работы Основные результаты работы были доложены и обсуждены на четвертой и пятой Международной Конференции “Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление”, Москва, МАИ, 2003, МЭИ, 2007;
Пятом и Шестом Международном фо руме по тепло - и массобмену, Минск, АНБ, 2004, 2008;
Всероссийских научно технических конференциях “Математическое моделирование и краевые задачи”, Самара, СамГТУ, (2003, 2004, 2005, 2007, 2008);
на Четвертой Российской националь ной конференции по теплообмену, Москва, МЭИ, 2006;
на Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием, секция «Моделирование и оптими зация динамических систем и систем с распределенными параметрами», Самара, 2007;
на Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физиче ских, экономических, технических, социальных систем и процессов», Ульяновск, 2009;
на Школе-семинаре молодых ученых под руководством академика А.И. Леонтьева, Жуковский, 2009.
Публикации По результатам выполненных исследований опубликовано 54 научные работы, в том числе 17 статей в центральных и академических изданиях, таких как ТВТ, ИФЖ, Известия АН Энергетика, Журнал вычислительной математики и мат. физики, «Извес тия вузов. Математика». Напечатано 5 книг, среди них две монографии и три учебных пособия, одно из которых издано с грифом Рособразования в издательстве «Высшая школа». В изданиях по перечню ВАК опубликовано 18 статей.
Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, выводов, списка ис пользуемой литературы, приложений: изложена на 315 страницах основного машино писного текста, содержит 137 рисунков, 20 таблиц. Список использованной литерату ры включает 297 наименований.
1. В первой главе диссертации представлен анализ известных работ по избран ному направлению исследований. И, в частности, было отмечено, что большой интерес представляют приближенные аналитические методы, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений. Развитию этих методов посвящены работы Л.В. Канторовича, С.Г. Михлина, П.В. Цоя, Н.Н. Беляева, А.А. Рядно, Ю.Т. Глазунова, А.И. Вейника, М. Био, Т. Гудмена, М.Е. Швеца, Э.М. Карташова, Ю.С. Постольника, Л.И. Кудряшова и других авторов.
Следует, однако, отметить, что, несмотря на определенный прогресс, существу ют проблемы, пока еще не получившие окончательного решения. К их числу следует отнести следующие:
1. Применительно к нестационарным задачам для получения решений при малых значениях временной и пространственной координат требуется использовать большое число приближений, что приводит к необходимости решения больших систем алгеб раических линейных уравнений, матрицы коэффициентов которых, как правило, плохо обусловлены.
2. В ряде методов вместо системы алгебраических уравнений при большом числе приближений относительно собственных чисел краевой задачи получаются характери стические уравнения высокого порядка, решение которых, если оно возможно вообще, приводит к низкой точности определения собственных чисел.
3. Низкая точность интегральных методов связана с тем, что при их использова нии исходные уравнения осредняются и краевые задачи приводятся к различным инте гральным уравнениям типа Вольтерра, Фредгольма, интегралу теплового баланса и др.
Даже если точные решения этих уравнений находятся, исходные дифференциальные уравнения удовлетворяются лишь в среднем.
2. Во второй главе диссертации приводятся результаты разработки нового на правления получения аналитических решений краевых задач математической физики, основанного на использовании дополнительных граничных условий.
Настоящая глава посвящена спектральным задачам, лежащим в основе всей ана литической теории краевых задач переноса. Для их решения совместно с методом Фурье используется метод ортогональный метод Бубнова-Галёркина. Важной особен ностью является введение дополнительных граничных условий, необходимость кото рых объясняется появлением дополнительного неизвестного параметра после раз деления переменных в исходном дифференциальном уравнении. Дополнительные гра ничные условия выводятся из основного дифференциального уравнения путём его дифференцирования в граничных точках. Использование метода Бубнова-Галеркина значительно расширяет круг задач, решаемых с использованием метода Фурье, что свя зано с универсальностью метода Бубнова-Галеркина, при использовании которого на вид дифференциальных операторов не накладывается практически никаких условий.
В качестве конкретного примера рассмотрим задачу теплопроводности для бес конечно-протяжённой пластины при граничных условиях первого рода (, Fo ) 2 (, Fo ) ( Fo 0 ;
0 1 ) ;
(1) Fo (0, Fo) 0 ;
(3) (,0) 1 ;
(2) (1, Fo) 0. (4) Следуя методу Фурье, решение задачи (1) – (4) принимается в виде (, Fo) ( Fo) ( ). (5) Подставляя (5) в (1), получаем следующие два обыкновенных дифференциаль ных уравнения d 2 ( ) d 2 ( ) 0, d ( Fo) dFo ( Fo) 0 ;
(6) (7) где – некоторая постоянная.
Решение уравнения (6), как известно, имеет вид ( Fo) A exp(Fo), (8) где A – неизвестный коэффициент.
Граничные условия для уравнения (7) согласно (3), (4) будут I (0) 0 ;
(9) (1) 0. (10) Решение задачи (7) – (9) разыскивается в виде следующего ряда n Ci N i ( ), (, ) (11) i где Ci ( i 0, n ) – неизвестные коэффициенты;
N i ( ) i – координатные функции.
Если ограничиться, например, пятью членами ряда (11) ( n 4 ), то будем иметь пять неизвестных коэффициентов Ci ( i 0,4 ), а граничных условий только два (10), (11). В связи с чем, необходимо добавить ещё три дополнительных граничных усло вия, которые находятся из условия (9) и из уравнения (7) путём выполнения этого уравнения, а также производных от него различного порядка в граничных точках 0 и 1. Такие дополнительные граничные условия будут иметь вид II (1) 0 ;
(13) III (0) 0.
(0) const 1 ;
(12) (14) Подставляя (11) в (9), (10), (12) – (14), получаем пять алгебраических линейных уравнений относительно пяти неизвестных Ci. При этом каждое из неизвестных C0, C1, C2 входит лишь в одно уравнение, из которого они легко определяются. Все эти уравнения получаются из граничных условий при 0 (условия (9), (12), (14)). От носительно неизвестных C3, C4 необходимо решить два взаимосвязанных алгебраи ческих линейных уравнения. В итоге для всех искомых неизвестных постоянных бу дем иметь следующие значения: C0 1;
C1 0 ;
C2 1,2 ;
C3 0 ;
C4 0,2.
Подставляя найденные значения Ci в (11), получаем ( ) 1 1,2 2 0,2 4. (15) Для определения первого собственного числа найдём интеграл взвешенной не вязки уравнения (7), т. е.
( ) ( ) d 0.
II (16) Подставляя (15) в (67), относительно получаем характеристическое уравне ние первой степени, из которого находим 1 2,5. Точное значение первого собст венного числа ? 1 2,46740110027.
Для уточнения первого собственного числа составим невязку уравнения (7) и по требуем ортогональность невязки к собственной функции (15), т. е.
( ) ( ) ( )d 0.
II (17) Подставляя (15) в (17), относительно получаем характеристическое уравнение 0,5038730158730159 1,243428571429 0.
Его решение 1 2,46774193.
Следовательно, выполнение требования ортогональности невязки уравнения (7) к собственной функции (15) приводит к существенному уточнению первого собствен ного числа.
Для получения первых двух собственных значений вводятся следующие допол нительные граничные условия, получаемые из уравнения (7), II (0) ;
(18) IV (0) 2. (19) В итоге всего имеем семь граничных условий – два основных (9), (10) и пять до полнительных (12) – (14), (18), (19). Следовательно, для определения коэффициентов Ci ( i 0,6 ) следует использовать семь членов ряда (11).
Подставляя (11) при n 6 во все граничные условия задачи, относительно Сi получим семь алгебраических уравнений. Пять из этих уравнений разделяются и таким путём находятся неизвестные C4 2 24.
C0 1 ;
C2 0,5 ;
C1 0 ;
C3 0 ;
Неизвестные C5, C6 находятся из системы двух алгебраических уравнений, со ставленных из граничных условий при 1, т. е. из граничных условий (10), (13). Из решения этой системы находим С6 2 0,9 59 2 / 12.
C5 39 2 / 8 1,4 3 ;
После подстановки коэффициентов Ci в (11) составляется интеграл взвешенной невязки уравнения (7). Отсюда для определения собственных чисел получается сле дующее характеристическое уравнение 1,3857142857 7,02380952 10 2 2 5,952381 10 4 3 3 0.
Его решение 1 2,4669819 ;
2 21,7944722 03 ;
3 93. Для уточнения первых двух собственных чисел требуется ортогональность не вязки уравнения (7) к собственной функции (11) при n 6. Для определения собст венных чисел получается характеристическое уравнение, решение которого:
1 2,46740110, 2 22,26983.
Как видно, первое собственное число до девятого знака совпадает с точным его значением. Точное значение второго собственного числа 2 22,206609902.
Собственные функции находятся из (11).
Для получения пяти собственных чисел ко всем имеющимся граничным услови ям добавляются дополнительные граничные условия вида V (0) 0 ;
VI (0) 3 ;
VII (0) 0 ;
VIII (0) 4 ;
IX (0) 0 ;
X (0) 5.
XI (0) 0 ;
XII (0) 6 ;
XIII (0) 0 ;
XIV (0) 7 ;
XV (0) 0 ;
(20) XVI (0) 8 ;
XVII (0) 0 ;
XVIII (0) 9 ;
XIX (0) 0 ;
XX (0) 10.
В этом случае имеем 1 2,46740110 02 ;
2 22,206610 ;
3 61,6850235 ;
4 120,90249 ;
5 201,0584. Точные значения третьего, четвёртого и пятого соб ственных чисел 3 61,6850275 ;
4 120,90265 ;
5 199,8595.
Подставляя (8), (11) в (5), для каждого собственного числа будем иметь частные решения вида i (, Fo) Ai i ( i, ) exp ( i Fo). ( i 0,4 ) Каждое частное решение точно удовлетворяет граничным условиям (3), (4) и приближённо (в пятом приближении) удовлетворяет уравнению (1) на отрезке 0 1. Однако ни одно из этих частных решений, в том числе и их сумма (, Fo) Ai i ( i, ) exp( i Fo), (21) i не удовлетворяют начальному условию (2).
Для выполнения начального условия составляется его невязка и требуется орто гональность невязки к каждой собственной функции, т. е.
5 Ai i ( i, ) 1 j ( i, )d 0. ( j 1,5 ) (22) i 1 Определяя интегралы в (22), для нахождения коэффициентов Ai ( i 1,5 ) полу чаем систему пяти алгебраических линейных уравнений. Ее решение A1 1,274366 ;
A2 0,427128 ;
A3 0,257304 ;
A4 0,182685 ;
A5 0,150535.
Собственные числа для различных приближений в сравнении с точными их зна чениями приведены в табл. 1.
Таблица Число Собственные числа приближений 1 2 3 4 1 2,4677419355 – – – – 2 2,46740110 22,26983 – – – 3 2,4674011001 22,2066100 62,055342 – – 4 2,4674011002 22,2066098 61,685017 120,9039 – 5 2,4674011002 22,206610 61,685023 120,9024 201, Точные значения 2,4674011003 22,2066099 61,685026 120,9026 199, Следует отметить высокую точность определения собственных чисел по сравне нию с другими методами совместного использования точных и приближенных методов. К числу таких методов относятся: совместное использование интегральных преобразований Лапласа и метода Бубнова-Галеркина, метода Л.В. Канторовича, ме тодов Фурье и Бубнова-Галеркина (без использования дополнительных граничных ус ловий). Все эти методы для одних и тех же задач приводят к примерно одинаковым ре зультатам. В качестве конкретного примера в таблице 2 приведены собственные числа для четвертого и пятого приближений, полученные при решении задачи (1) – (4) путем совместного использования интегральных преобразований Лапласа и метода Бубнова Галеркина.
Таблица Число Собственные числа приближений 1 2 3 4 – 4 2,4674 22,217 65,459 222, 5 2,4674 22,207 61,696 139,45 409, Точные значения 2,4674 22,207 61,685 120,90 199, Отметим, что последние собственные числа как в четвертом, так и пятом при ближениях почти в два раза отличаются от точных их значений. При использовании дополнительных граничных условий эти числа практически совпадают с точными.
Найдём решение задачи (1) – (4) с использованием тригонометрических коорди натных функций.
Решение задачи (7), (9) (10) разыскивается в виде n n ( ) Ci N i ( ), (23) i где Ci ( i 1, n ) – неизвестные коэффициенты;
N i ( ) cos r / 2, ( r 2 i 1 ) – ко ординатные функции.
Для получения решения в первом приближении, исходя из (9), введём следую щее дополнительное граничное условие (0) const 1. (24) Соотношение (23) благодаря принятым координатным функциям точно удовле творяет основным граничным условиям (9), (10) при любом числе приближений.
Ограничиваясь одним членом ряда в соотношении (23), для нахождения коэф фициента C1 подставим (23) в (24) С1 cos / 2 1.
Отсюда при 0 C1 1.
Соотношение (23) в первом приближении примет вид ( ) cos / 2. (25) Составляя невязку уравнения (7) и интегрируя её в пределах от 0 до 1, получаем 4 cos 2 cos 2 d 0. (26) Вычисляя интегралы, находим 1 4 2,4674011.
В данном случае первое собственное число полностью совпадает с первым соб ственным числом краевой задачи Штурма-Лиувилля.
Для получения решения во втором приближении введём ещё одно дополнитель ное граничное условие, получаемое из уравнения (7) при 0, II (0). (27) Для нахождения собственных чисел получаем характеристическое уравнение вида 2 24,674016 54,792638 0. (28) Его корни 1 2,46740110 03 ;
2 22,2066099 02. Полученные собственные числа с точностью до 7-го знака совпадают с точными их значениями.
Уравнение (28) является характеристическим уравнением вида 23,674016 det A E 2 24,67401 6 54,792638 0, 31, 23,674016 1 1 где ;
Е 0 1 – соответственно матрица собственных зна A 31,118622 1 чений характеристического уравнения (29) и единичная матрица.
Координаты собственных векторов матрицы A, отвечающих собственному зна чению, удовлетворяют однородной системе уравнений A X 0, которая в данном случае будет 23,674016 х1 х2 0 ;
(29) 31,118622 х2 1 х2 0.
Решением этой системы уравнений является уравнение вида (28), из которого находятся собственные числа 1 и 2. Следовательно, метод решения с использова нием дополнительных граничных условий приводит к характеристическим уравнени ям, решениями которых являются собственные числа краевой задачи Штурма Лиувилля. Отсюда можно сделать однозначный вывод о том, что выполнение основно го дифференциального уравнения краевой задачи и выражений, полученных после на хождения производных от него различного порядка, в граничных точках области, при водит к выполнению дифференциального уравнения и внутри области.
3. В третьей главе диссертации представлены результаты исследований, свя занных с разработкой и развитием нового направления получения аналитических ре шений краевых задач математической физики, основанного на введении фронта тем пературного возмущения и дополнительных граничных условий.
Серьезным недостатком интегральных методов является низкая точность. При чина в том, что получаемое решение, точно удовлетворяя начальному и граничным ус ловиям, основному дифференциальному уравнению удовлетворяет лишь в среднем.
Для улучшения выполнения этого уравнения в настоящей работе избрано направление представления температурной функции в виде полиномиальных зависимостей. Для определения неизвестных коэффициентов таких полиномов возникает необходимость привлечения дополнительных граничных условий.
Основную идею метода рассмотрим на примере решения задачи теплопроводно сти для бесконечной пластины в следующей математической постановке, Fo 2, Fo ( Fo 0 ;
0 1 ) = ;
(30) Fo 1, Fo / 0.
,0 = 0 ;
(31) (0, Fo ) = 1 ;
(32) (33) Процесс нагрева разделим на две стадии по вре- A 1, мени: 0 Fo Fo1 и Fo1 Fo. Для этого введем движущуюся во времени границу (фронт температурного возмущения), разделяющую ис ходную область 0 1 на две подобласти 0 q1 ( Fo ) и q1 ( Fo ) 1, где q1 ( Fo ) – q1 ( Fo) функция, определяющая продвижение границы q2 ( Fo) раздела во времени (рис. 1). При этом в области, •E B C расположенной за фронтом температурного воз- • • 0 D 1, R мущения, сохраняется начальная температура.
Рис. 1. Расчетная схема теплообмена Первая стадия процесса заканчивается при до стижении движущейся границей центра пластины = 1, т. е. когда Fo = Fo1. Во второй стадии изменение температуры происходит по всему объему тела 0 1.
Здесь вводится в рассмотрение дополнительная искомая функция q 2 ( Fo ), характери зующая изменение температуры во времени в центре пластины.
Математическая постановка краевой задачи для первой стадии процесса имеет вид, Fo 2, Fo (0 Fo Fo1 ;
0 q1 ( Fo )) = ;
(34) Fo 0, Fo = 1 ;
(35) q1, Fo = 0 ;
(36) q1, Fo / = 0, (37) где соотношения (36), (37) представляют условия сопряжения прогретой и не прогре той зон. Соотношение (36) устанавливает равенство температуры тела в точке = q1 Fo его начальной температуре. Согласно условию (37) тепловой поток не рас пространяется за пределы фронта температурного возмущения (условие адиабатной стенки).
В связи с принятием допущения о равенстве температуры тела на фронте темпе ратурного возмущения = q1 Fo его начальной температуре, обратим внимание на тот очевидный факт, что на первой стадии процесса задача (34) – (37) за пределами фронта температурного возмущения, т. е. на отрезке q1 ( Fo ) 1, вообще не опреде лена. В связи с чем, здесь нет необходимости выполнения начального условия ви да (31) по всей толщине пластины (поэтому такое условие отсутствует в математиче ской постановке задачи (34) – (37)).
При использовании классического аналитического решения, полученного, на пример, с использованием метода разделения переменных, наибольшие проблемы воз никают в случае нахождения температуры для малых значений числа Фурье Fo 0.
Это связано с тем, что искомое решение в данном случае должно описывать две ли нии – прямую DC и линию АЕ (см. рис. 1). Причем, на прямой DC температура не изменна, а на линии АЕ при незначительно изменяющейся координате температура изменяется от нуля до единицы. Удовлетворить этим столь неоднородным и, к тому же, изменяющимся во времени условиям в одном аналитическом выражении (при Fo 0 ) можно лишь при использовании в нем бесконечно большого числа членов ря да, о чем уже упоминалось выше.
Преимущество используемого здесь метода в том, что получаемое решение в данном случае не связано с необходимостью аппроксимации температуры на участках DC, BC и др., т. е. за фронтом температурного возмущения q1 ( Fo ) 1, так как в этой области на первой стадии процесса задача (34) – (37) не определена. Получаемое здесь аналитическое решение описывает изменение температуры во времени, характе ризуемое лишь кривыми вида AD, AB и др., для практически точного описания кото рых достаточно всего нескольких членов ряда решения.
Отметим, что задача (34) – (37) не относится к классу задач, в которых учитыва ется конечная скорость продвижения тепловой волны. Получение их решений сводит ся к интегрированию гиперболического (волнового) уравнения теплопроводности.
Введенный в задаче (34) – (37) фронт температурного возмущения по физическому смыслу является аналогом движущейся изотермы (но не тепловой волны). Ввиду того, что на фронте температурного возмущения в процессе его движения по координате поддерживается начальная температура (q1, Fo ) = 0, то, следовательно, он является аналогом нулевой изотермы. Ниже будет показано, что скорость продвижения нулевой изотермы при n приближается к бесконечному значению, т. е. Fo1 0. Следо вательно, реализация данного метода не входит в противоречие с условием бесконеч ной скорости распространения теплоты, заложенным в основу вывода параболическо го уравнения теплопроводности вида (30), а наоборот подтверждает это условие.
Решение задачи (34) – (37) разыскивается в виде следующего полинома n ak (q1 ) k, (, Fo) = (38) k= где a k (q1 ) – неизвестные коэффициенты. Для их определения используются гранич ные условия (35) – (37). Подставляя (38) (ограничиваясь тремя членами ряда) в (35) – (37), для определения a k (q1 ) (k = 0, 1, 2) будем иметь систему трех алгебраи ческих линейных уравнений. После определения ak (q1 ) соотношение (38) принимает вид (, Fo ) = 1 / q1. (39) Для нахождения неизвестной функции q1 ( Fo ) в первом приближении составим не вязку уравнения (34) и проинтегрируем ее в пределах глубины термического слоя (что равнозначно построению интеграла теплового баланса – осреднению уравнения (34)) q1 Fo q1 Fo 2 (, Fo) (, Fo) d = d. (40) Fo 0 Подставляя (39) в (40), после определения интегралов получаем q 1dq1 = 6 dFo. (41) Интегрируя уравнение (41), при начальном условии находим q1 (0) = q1 ( Fо) = 12Fo. Время окончания первой стадии процесса (при q1 ( Fo1 ) = 1) будет Fo1 = 0,083333.
Соотношение (39) определяет решение задачи (34) – (37) в первом приближении.
Расхождение с точным решением составляет 3-4 %.
Очевидным путем повышения точности решения является увеличение степени аппроксимирующего полинома (38). Для определения появляющихся при этом допол нительных неизвестных коэффициентов необходимо привлекать дополнительные гра ничные условия. Для их получения будем последовательно дифференцировать гра ничные условия (35) – (37) по переменной Fo, а уравнение (34) – по переменной.
Сравнивая получающиеся при этом соотношения, можно найти любое необходимое количество дополнительных граничных условий. Получаемые таким путем первое, второе и третье дополнительные граничные условия имеют вид 3(q 1, Fo) / 3 0.
2 (0, Fo) / 2 0 ;
2 (q1, Fo) / 2 0 ;
(42) Во втором приближении, используя дополнительные граничные условия (42), совместно с заданными (35) – (37), можно найти уже шесть коэффициентов полино ма (38), который в данном случае приводится к виду 3 1.
(, Fo) 1 (43) 2 q q 1 Подставляя (43) в (40), находим q 1dq 1 10 dFo. (44) Интегрируя (44), при начальном условии q1 (0) = 0 получаем q1 = 20 Fo.
Соотношение (43) определяет решение задачи (34) – (37) во втором приближе нии. Анализ расчетов по формуле (43) в сравнении с точным решением позволяет за ключить, что в диапазоне чисел Фурье 1 105 Fo Fo1 = 0,05 их отклонение состав ляет 1-2 %.
Применяя рассмотренный выше способ, можно получить какое угодно число до полнительных граничных условий. Например, для получения решения в третьем при ближении дополнительные граничные условия имеют вид 4 q1, Fo 5 q1, Fo 4 0, Fo 0;
0;
0;
(45) 4 4 Соотношение (38) в третьем приближении будет 2 1 3 3 2 1.
(, Fo ) (46) q 1 q q Подставляя (46) в (40), находим 5q 1dq 1 72 dFo. (47) Интегрируя последнее уравнение, при начальном условии q 1 0 0 получаем q 1 ( Fo ) 12 5 Fo / 5. Время окончания первой стадии процесса Fo 1 0,03472.
Дополнительные граничные условия в четвертом приближении имеют вид 6 (q 1, Fo) 7 (q 1, Fo) 6 (0, Fo) 0;
0.
0;
Решение задачи в четвертом приближении будет, Fо Ak / q1, (48) к где q 1 ( Fo ) 2 462 Fo / 7 ;
А 0 1 ;
А3 165 / 16 ;
А 1 55 / 16 ;
А2 А4 А 6 0 ;
А5 231 / 8 ;
А 7 825 / 8 ;
А 8 165 ;
А 9 1925/16 ;
А 10 44 ;
А 11 105 / 16.
Были также получены решения в пятом, седьмом, десятом и четырнадцатом приближениях. Времена окончания первой стадии процесса для десятого и четырна дцатого приближений соответственно будут Fo1 0,010992 и Fo1 0,00784.
Анализируя результаты, можно заключить, что обыкновенные дифференциаль ные уравнения относительно функции q 1 ( Fо ) в любом приближений имеют одинако вый вид и отличаются лишь коэффициентами, что существенно упрощает их решение.
Результаты расчетов для 3-го, 7-го, и 14-го приближений в сравнении с точным решением даны на рисунке 2. И х анализ приводит к заключению о том, что с увеличе нием числа приближений решение всякий раз уточняется. Так, уже в седьмом прибли жении значения температур в диапазоне чисел 5 10 9 Fo Fo1 отличаются от точ ных их значений не более чем на 0,002 %, а в четырнадцатом приближении – на 0,0004 %. Следует отметить трудности получения точного решения для столь малых чисел Фурье. В частности, расчеты показали, что при Fo 107 для сходимости точ ного решения необходимо использовать около 1000 членов ряда. Для чисел Fo 108 ;
10 9 ;
10 10 ;
1011 ;
10 12 сходимость точного решения наблюдается соответственно при следующих величинах чисел ряда: 5000;
10000;
50000;
200000;
500000.
С целью дополнительного более глубокого анализа получаемых с помощью ин тегрального метода решений проведем исследование закономерности изменения фронта температурного возмущения q1 ( Fo ) во времени в сравнении с точным реше нием. Графики перемещения q1 ( Fo ) по координате во времени даны на рис. 3.
Fo 5 10 1- 0, Fo 1 10 0, Fo 3 0,988 - - - 0, - 10 0 3 2 4 Рис. 2. Изменение относительной избыточной температуры в пластине.
1 – третье приближение;
2 – седьмое;
3 – четырнадцатое;
4 – точное решение Их анализ позволяет заключить, что с уве- 1,0 14 личением числа приближений время ( Fo1 ) дос- 0, тижения фронтом температурного возмущения координаты 1 уменьшается. Так, например, в 0, первом приближении оно составляет Fo1 0,0833. Для данного Fo1 согласно точному 0, решению температура в центре пластины ( 1 ) 0, будет ц 1, Fo1 0,0833 0,97139. Согласно решению интегральным методом температура в 4 Fo 10 5 0 1 2 данной точке равна 1, Fo1 1 (т. к. в инте Рис. 3. Кривые перемещения фронта гральном методе температура на фронте темпера- температурного возмущения q ( Fo ) по турного возмущения, в том числе и в точке 1 координате во времени Fo. 1, 2, при Fo Fo1 принимается равной начальной 3, 4, 5, 7, 10, 14 – номер приближения температуре, 0 1 ). Принятие начального условия равным единице, а граничного условия первого рода равным нулю (в отличие от задачи (1) – (4)) связано с удобством сравнения с точным аналитическим решением (см. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967). Очевидно, что разность 1, Fo1 ц 1, Fo1 = 1 – 0,971 = 0,0248 (2,48 %) является отклонением решения, полученного интегральным методом, от точного аналитического решения.
Время окончания первой стадии процесса во втором приближении составляет Fo 1 0,05. Для этого Fo1 температура, полученная из точного решения, будет ц 1, Fo1 0,9969. Следовательно, погрешность второго приближения по отношению к точному решению составит = 1 – 0,9969 = 0,0031 (0,31 %). В третьем приближе нии расхождение решений будет = 1 – 0,9997 = 0,000295 (0,0295 %), в четвертом приближении 0,28177 10 4 (0,0028177 %), в четырнадцатом – 0,278538 10 ( 0,278538 10 12 %).
Анализ полученных результатов позволяет заключить, что при неограниченном приближении температуры в центре пластины ц 1, Fo1, определяемой из точного, 0 1, т. е. при аналитического решения, к начальной температуре, 0 ц 1, Fo 1 0 величина Fo1 приближается к нулевому значению ( Fo1 0 ).
Полученный результат полностью согласуется с гипотезой о бесконечной скорости распространения теплового возмущения, лежащей в основе вывода параболического уравнения теплопроводности вида (30). Согласно этой гипотезе с момента начала дей ствия граничного условия 0, Fo 0 при 0 температура на всем отрезке коор динаты 0 1, в том числе и в центре пластины ( 1), уже не равна начальной температуре, 0 1 и отличается от нее на некоторую (а в центре пластины на бесконечно малую) величину.
Вторая стадия теплового процесса, соответствующая времени Fo Fo 1, харак теризуется изменением температуры уже по всему сечению пластины вплоть до на ступления стационарного состояния. Для этой стадии понятие термического слоя теря ет смысл, и в качестве дополнительной искомой функции принимается функция 1, Fo = q 2 ( Fo ), характеризующая изменение температуры от времени в центре пла стины (рис. 1).
Математическая постановка задачи для второй стадии процесса имеет вид (, Fo ) 2 (, Fo ) ;
( Fo Fo1 ;
0 1) = (49) Fo 1, Fo / = 0.
0, Fo = 1 ;
(50) 1, Fo = q 2 ( Fo ) ;
(51) (52) Задача (49) – (52) не содержит начального условия, что связано со следующими обстоятельствами. При Fo = Fo1 q1 ( Fo1 ) = 1 и q 2 ( Fo1 ) = 0. Граничные условия (50) – (52) в этом случае становятся идентичными граничным условиям (35) – (37), и, следовательно, математические постановки задач (34) – (37) и (49) – (52) полностью совпадают. Таким путем происходит плавный переход от первой стадии процесса ко второй.
Так как при Fo = Fo1 q1 ( Fo1 ) = 1, то соотношение (39) будет иметь вид, Fo 1 = 1.
(53) Соотношение (61) представляет начальное условие задачи (49) – (52). Однако в его специальном удовлетворении нет никакой необходимости, т. к. оно будет выпол нено в процессе получения решения этой задачи.
Как и в первой стадии, решение задачи (49) – (52) разыскивается в виде полино ма n-ой степени n bk (q 2 ) k.
(, Fo) = (54) k= Неизвестные коэффициенты bk (k = 0, 1, 2) находятся из граничных условий (50) – (52). После их определения и подстановки в (54) получаем (, Fo ) = 1 (1 q 2 ) (2 ). (55) Для нахождения решения в первом приближении составим невязку дифференци ального уравнения (49) и проинтегрируем ее в пределах от = 0 до = 1, т. е.
2 (, Fo) 1 (, Fo) d = d. (56) Fo 0 Подставляя (55) в (56) и определяя интегралы, относительно неизвестной функ ции q 2 ( Fo ) приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению q 2 ( Fo ) + 3 q 2 ( Fo ) 3 = 0. (57) Fo Интегрируя уравнение (57), при начальном условии q 2 ( Fo1 ) = 0 получаем q 2 ( Fo ) = 1 exp[ 3( Fo Fo1 )]. (58) где Fo1 = 0,0833.
Соотношения (55), (58) представляют решение задачи (49) – (52) в первом при ближении. Отличие полученного решения от точного составляет 8 %.
Увеличение точности решения связано с увеличением числа членов ряда (54).
Появляющиеся при этом дополнительные неизвестные коэффициенты bk могут быть найдены из дополнительных граничных условий, которые получаются аналогично ме тоду, изложенному выше, и имеют вид 3 (1, Fo) 2(0, Fo ) 2 (1, Fo ) dq 0.
0;
;
2 2 dFo Соотношение (54) тогда будет 1 1 dq, Fo 1 5 10 3 10 4 3 5 1 q2 3 14 3 16 4 5 5 2. (59) 2 8 dFo Подставляя (59) в (56), для определения неизвестной функции q 2 Fo будем иметь следующее неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка 11 d 2 q 2 9 dq 2 5 q 2 0. (60) 240 dFo 2 8 dFo 2 Общее решение уравнения (60) разыскивается в виде суммы двух функций q 2 Fo, (61) где – частное решение неоднородного уравнения (68) ( 1);
– общее решение соответствующего однородного уравнения.
Характеристическое уравнение для однородного уравнения будет 11 2 9 2 24,545455 54,545455 0. (62) 240 8 Из его решения находим 1 2,471;
2 22,074.
Полученные собственные числа незначительно отличаются от собственных чи сел краевой задачи Штурма-Лиувилля, точные значения которых 1 2,467401;
2 22,206609. Следовательно, рассмотренный выше метод решения задачи во вто рой стадии процесса эквивалентен решению краевой задачи Штурма-Лиувилля.
С учетом найденных частного решения неоднородного и общего решения соот ветствующего однородного уравнения соотношение (61) примет вид q 2 Fo 1 1,1261 exp 2,4709 Fo Fo1 0,1261 exp 22,0745 Fo Fo1. (63) Подставляя (63) в (59), находим окончательное выражение для решения задачи (49) – (52) во втором приближении второй стадии процесса, Fo 1 1,772 0,761 3 0,065 4 0,05 5 exp 2,471 Fo Fo 0,728 4,239 3 4,935 4 1,55 5 exp 22,074Fo Fo1, (64) где Fo1 0,05 (найдено во втором приближении первой стадии процесса).
Расхождение решения (64) с точным не превышает 0,5 %.
Аналогично можно получить решение и в последующих приближениях.
Характерной особенностью полученных здесь аналитических решений является полиномиальная зависимость температуры от координаты, что позволяет получить решение в виде поля изотермических линий. Принцип построения изотерм рассмотрим на примере первого приближения первой и второй стадий процесса. Выражая коорди нату как функцию температуры (, Fo ) и времени Fo, соотношения (39) и (55) можно привести к виду 1, Fo 12Fo ;
(65) [ E E E 1 ] E, (66) где E exp [3Fo Fo1 ].
Соотношения (65), (66) позволяют для любых конкретных, Fo const по строить графики зависимости температур от и Fo (графики изотерм) (см. рис. 4).
Отметим, что нулевая изотерма, Fo 0 совпадает с графиком движения фронта температурного возмущения по координате в зависимости от времени Fo в первом приближении (см. рис. 3). В самом деле, при, Fo 0 выражение (65) при нимает вид соотношения 12Fo.
Первые производные по времени от соотношений (65), (66) позволяют опреде лить безразмерные скорости движения изотерм d / dFo по координате в зави симости от времени, а вторые производные – ускорения a d 2 / dFo2. Формулы ско ростей для первой и второй стадий процесса соответственно будут 31 /[ 2 E 2 E E ].
3 / Fo 1 ;
(67) (68) Первая стадия Вторая стадия Первая стадия Вторая стадия Рис. 4. Распределение изотерм, Fo const Рис. 5. Графики скоростей изотерм Графики скоростей движения изотерм, найденных по формулам (67), (68), даны на рис. 5. Их анализ позволяет заключить, что максимальные скорости изотермы име ют вблизи точки 0. По мере удаления от этой точки скорости существенно уменьшаются, достигая некоторого минимума. Затем при приближении к точке скорости изотерм вновь значительно возрастают. Графики ускорений изотерм по фор ме (качественно) практически соответствуют графикам скоростей и отличаются от них лишь количественно.
Ввиду невысокой точности первого приближения (и особенно во второй стадии процесса) изотермы, определяемые по формулам (65), (66), имеют небольшой излом при Fo Fo1 0,0833, т. е. в точке сопряжения решений для первой и второй стадий процесса (см. рис. 4). В связи с чем, на графиках рис. 5 в этой точке имеет место неко торый скачок в эпюрах скоростей, который уже во втором приближении практически не наблюдается, также как и излом в изотермах.
4. В четвертой главе диссертации рассматриваются вопросы применения из ложенного в третьей главе метода к исследованию моделей теплопроводности с пере менными во времени граничными условиями и источниками теплоты.
Приведены результаты исследования следующих моделей:
модель теплопроводности с переменной во времени температурой стенки (температура стенки линейная функция времени);
модель теплопроводности с переменными во времени граничными условиями третьего рода (температура среды линейная функция времени);
модель теплопроводности c переменными во времени коэффициентами тепло отдачи;
c переменными во времени граничными условиями 2-ого рода (тепловой по ток линейная функция времени);
модель теплопроводности c переменными во времени внутренними источни ками теплоты;
модель теплопроводности c переменным начальным условием;
модель теплопроводности с несимметричными граничными условиями.
Для каждой из рассмотренных задач приведены карты изотермических линий и графики скоростей движения изотерм.
Например, приближенное аналитическое решение задачи теплопроводности для пластины при граничных условиях 3-его рода при линейной зависимости коэффициен та теплоотдачи от времени ( ) 0 (1 ) в первом приближении первой стадии процесса имеет вид,, Fo Bi (1 PdFo)(q1 2 2 / q1 ) / Bi q1 (1 PdFo) где q1 Fo 2,6079 Fo 0,5111 при Bi 1, Pd 1.
Для различных Bi и Pd в формуле для q1 Fo будут изменяться лишь число вые коэффициенты.
При переменных во времени граничных условиях второго рода (тепловой по ток линейная функция времени ) K i Fo K i 0 Fo решение задачи во втором при ближении второй стадии процесса приводится к виду 2 3 5 4 4 5 1 1 1, Fo Fo Fo Fo 1, 3 2 24 60 12 6 24 12 15 где exp 10Fo Fo1.
5. В пятой главе диссертации рассмотрены наиболее сложные модели мат. фи зики, включая нелинейные задачи, которые ранее не поддавались аналитическим ре шениям и в тоже время имеют существенное практическое значение. С использовани ем метода, изложенного в третьей главе, приведены результаты исследования нели нейных моделей теплопроводности и моделей с переменными по пространственной координате физическими свойствами среды, точные аналитические решения которых в настоящее время не получены. И, в частности, приведены результаты исследования следующих моделей:
нелинейная модель теплопроводности при линейной и степенной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры;
нелинейная модель теплопроводности с внутренними источниками теплоты;
модель теплопроводности с экспоненциальной зависимостью коэффициента теплопроводности от пространственной координаты.
Решение нелинейной задачи теплопроводности для пластины с внутренним ис точником теплоты при линейной зависимости коэффициента температуропроводности a (T ) a0 (1 T ) в первом приближении первой стадии процесса записывается сле дующим образом y, Fo T ( PoFo T ) (2 y / q1 ) y / q1 ;
Po 2 / 0 ;
q1 Fo 4 [3TFo (1 Tст )( T PoFo ) Po 2 Fo 3 ] /( T PoFo ) 2.
Решение нелинейной задачи теплопроводности при степенной зависимости ко эффициента температуропроводности от температуры a(T ) a0 T во втором при ближении первой стадии процесса имеет вид 2 y 2 3 y 3 2 y 4 y y y, Fo T 4 T 6 T 2 4 T 3 T 4 ;
2 q 2 q1 q1 q1 q q1 Fo 2 2 (Tст 1 ) Fo /(3Tст 5 T ) ;
8( T Tст ) 4 Tст (5 Е 4Tст ) ;
1 Tст 5T 4Tст ;
2 ( 45Tст 75T ) exp( ln Tст ) ;
T Tст T0.
6. В шестой главе диссертации приводятся результаты исследований конвек тивного теплообмена в потоках жидкостей, выполненных с использованием изложен ного в третьей главе метода решения краевых задач. Большое внимание уделено про блеме получения аналитических решений задач для динамического и теплового погра ничных слоев.
Математическая постановка задачи для динамического пограничного слоя вклю чает уравнения Прандтля с соответствующими граничными условиями x y 2 x x x x y 0, ;
(69) (70) y x y x y где / кинематическая вязкость жидкости;
x, y составляющие скорости по соответствующим координатным осям;
x, y координаты.
Граничные условия для уравнений (69) и (70) будут x y x const;
0;
(71) (72) y ( x ) y 0 y 2 x x 0;
0, (73) (74) y ( x ) y y y где (x) толщина динамического пограничного слоя;
скорость невозмущенно го потока вдоль оси х.
Математическая постановка задачи для теплового пограничного слоя включает уравнение Польгаузена с соответствующими граничными условиями 2 t ( x, y ) t ( x, y ) t ( x, y ) x y a ;
(75) y x y 2 t ( x,0) t ( x, ) 0, (79) t ( x,0) t ст ;
(76) t ( x, ) t ср ;
(77) 0;
(78) y y где t температура, tст температура стенки, tср температура среды;
a коэффи циент температуропроводности;
(x) толщина теплового пограничного слоя.
В теории пограничного слоя доказывается, что при a задачи (69) (74) и (75) (79) оказываются подобными, и, следовательно, распределения безразмерных скоростей и температур будут одинаковыми.
Задачи (69) (74) и (75) (79) являются нелинейными. Их точные решения в на стоящее время не получены. Найдены лишь решения путем численного интегрирова ния дифференциальных уравнений (69), (70) и (75).
Для облегчения процесса получения аналитического решения уравнений (69), (70) путем их осреднения по координате y эти уравнения приводятся к одному инте гральному уравнению вида (уравнение Кармана) d x ( x ) x dy y y 0. (80) dx Путем аналогичного осреднения уравнения (75) оно приводится к интегральному уравнению Г.Н. Кружилина d T ( x,0) x Tср T ( x, y) dy a y, (81) dx где T ( x, y ) t ( x, y ) t ст ;
Tср t ср t ст.
Решения краевых задач с использованием уравнений Кармана и Г.Н. Кружилина с соответствующими граничными условиями вида (71) (74) и (76) (79) в известной литературе получены лишь в первом приближении. Отличие таких решений от резуль татов численного интегрирования (точные решения) находятся в пределах 4-10 %. Причем, основная погрешность решения связана с неточным выполнением уравнений (69), (70) и (75) (граничные условия и уравнения (80), (81) в данном случае выполняются точно).
В настоящей работе путем применения дополнительных граничных условий по лучены аналитические решения задач (69) (74), (75) (79) практически с заданной степенью точности. Так, уже в четвертом приближении отличие получаемых решений от результатов численного интегрирования не превышает 0,01 %.
Применительно к решению динамической задачи дополнительные граничные условия для получения решения в четвертом приближении имеют вид 3 x 4 x 2 x 3 x 0;
0;
0;
0;
y y y 0 y y 2 y 3 y 3 y 5 x 4 x 6 x 7 x 0;
0;
0;
0. (82) y y y y y 4 y 6 y y Аналитическое решение задачи для динамического пограничного слоя в четвер том приближении будет 5 6 7 8 9 10 x 11 y 231 y y y y 1925 y y y 462 825 825 154 21, (83) 4 2 4 ( x) 8,25724 x/ 8,25724 x/. (84) Ввиду полной аналогии задач (69) (74) и (75) (79) при a (Pr 1) анали тическое решение задачи для теплового пограничного слоя имеет вид (83), где вместо (x) следует применять (x), определяемое по формуле ( x ) 8,017 x / ( x / 3 / a ). (85) Критериальное уравнение для определения коэффициентов теплоотдачи с использованием формул (83) (85) приводится к виду N u x 0,3432 Re x 3 Pr. (86) где N u x x / Критерий Нуссельта;
Re x x/.
В диссертации приведено решение задачи (75) (79) в случае, когда вместо гра ничного условия (76) задано граничное условие третьего рода вида T ( x,0) (87) T ( x,0) 0.
y Отметим, что аналитическое решение задачи (75), (77) (79), (87) в настоящее время не получено даже в первом приближении. Решение путем численного интегри рования уравнения (83) найдено А. Азизом в 2009 г. (Aziz A. A similarity solution for laminar thermal boundary layer over a flat plate with a convective surface boundary condi tion Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 14 (2009) 1064-1068).
Используя дополнительные граничные условия, в диссертации получено анали тическое решение задачи (75), (77) (79), (87) в первом, втором, третьем и четвертом приближениях. И, в частности, в четвертом приближении решение задачи имеет вид 4 5 1 T y y y 11 y 11 462 1848 3300 Tср H 7 8 9 y y y y, (88) 3300 1925 616 84 13313 3 H 3 1 H 1 2 H 2 ( x ) H 11 4;
2 где ;
xR R1 RH 4 5H R x / ;
H 1 0,0153823020 7;
H 2 0,114482865 946;
R1 ( x / ) 3 ;
H 3 2906,54848 2113,85344 ;
R2 x / ;
H 4 (5813,0969 6 3 R 2113,85344 4 R2 / R ) 2.
Результаты расчетов безразмерных температур по формуле (88) (см. табл. 3) по казывают, что расхождение с точным решением (численное интегрирование, А. Азиз) не превышает 0,01 % (для табл. 3 y / x 0;
Pr 0,72 ).
Таблица Bi 0,05 0,1 0,4 0,8 5 10 по формуле (131) 0,1395 0,2449 0,5648 0,7219 0,9419 0,9701 0, точное решение 0,1447 0,2528 0,5750 0,7302 0,9441 0,9713 0, Если в соотношении (88) положить, то оно приводится к решению при граничных условиях первого рода.
В шестой главе диссертации приведено также аналитическое решение задачи те плообмена при стабилизированном течении жидкости в плоскопараллельном канале, полученное на основе использования дополнительных граничных условий.
7. В седьмой главе диссертации приводятся результаты применения получен ных в диссертации решений для решения обратных задач теплопроводности по опре делению коэффициентов теплоотдачи на внутренней поверхности барабана котла БКЗ-420-140 НГМ, а также на внутренних поверхностях стенок многослойных конст рукций коллекторов газотурбинных двигателей.
8. В восьмой главе диссертации даны основные положения используемых в ра боте численных методов решения задач теплопроводности и тепломассопереноса. Рас смотренные методы были использованы для решения следующих краевых задач: для многослойной конструкции;
с переменным начальным условием;
нелинейной задачи теплопроводности при линейной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры;
задачи теплообмена при течении жидкости в плоском канале. Для решения указанных задач разработаны комплексы программ. Данные программные комплексы, реализующие метод конечных разностей, разработаны в среде разработки приложений Delphi (фирма-производитель программного продукта – Borland).
Программные комплексы, реализующие аналитические методы решения краевых задач, приведенных в третьей, четвертой, пятой и шестой главах диссертации, преду сматривают выполнение необходимых математических расчетов, проведение сравни тельного анализа полученных в диссертации результатов решения с результатами из вестных точных методов и построение соответствующих графиков. Данные программ ные комплексы реализуют единый для всех вышеперечисленных задач алгоритм.
Унифицированная блок-схема данного алгоритма приведена в приложениях диссерта ции.
Программные комплексы разработаны с помощью математического пакета инже нерных расчетов Mathcad 13 (фирма-производитель программного продукта – Math soft) для каждой краевой задачи. В качестве конкретного примера в приложениях дис сертации приведено решение нелинейной задачи теплопроводности для первой и вто рой стадий процесса в первом и втором приближении.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Предложено и разработано новое направление математического моделирова ния аналитических решений краевых задач математической физики, основывающееся на введении дополнительных граничных условий, позволяющих в аппроксимационном представлении приближенного решения определять любое число его слагаемых и по лучать аналитические решения сложных линейных и нелинейных задач практически с заданной степенью точности.
2. Обоснована необходимость применения и разработана математическая модель построения дополнительных граничных условий, получаемых из исходного диффе ренциального уравнения краевой задачи с использованием основных (классических) граничных условий. Подчинение решения дополнительным граничным условиям эк вивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне изменения пространственной координаты и времени. В диссертации показано, что собственные числа, определяемые из характеристических уравнений, полученных на основе использования дополнительных граничных условий, при большом числе при ближений практически совпадают с собственными числами соответствующей краевой задачи Штурма-Лиувилля, решение которой находится классическими методами. Сле довательно, решение с использованием дополнительных граничных условий с увели чением числа приближений приближается к точному.
3. Разработана математическая модель построения дополнительных граничных условий, выполнение которых эквивалентно удовлетворению исходного дифференци ального уравнения в граничных точках области и на фронте температурного возмуще ния. Так как область перемещения фронта температурного возмущения включает весь диапазон изменения пространственной координаты, то, следовательно, чем большее количество приближений (дополнительных граничных условий) будет использовано, тем лучше будет выполняться исходное уравнение внутри области. В диссертации по казано, что с увеличением числа приближений скорость перемещения фронта темпе ратурного возмущения устремляется к бесконечному значению, что полностью согла суется с гипотезой о бесконечной скорости распространения теплового возмущения, положенной в основу вывода параболического уравнения теплопроводности (Фурье).
Приближенное аналитическое решение в этом случае стремится к точному.
4. С использованием понятия фронта динамического и температурного возму щения и дополнительных граничных условий, впервые с заданной степенью точности построена математическая модель аналитических решений нелинейных краевых задач динамического и теплового пограничных слоев при граничных условиях первого и третьего рода на стенке. Показано, что уже в четвертом приближении получаемые ре шения отличаются от точных (численное интегрирование исходных нелинейных диф ференциальных уравнений) не более чем на 0,01 %. На основе полученных решений уточнены критериальные уравнения, используемые для определения коэффициентов теплоотдачи и касательных напряжений в пограничном слое движущейся жидкости.
5. Используя разработанные в диссертации математические модели, получены аналитические решения следующих краевых задач, классические точные аналитиче ские решения которых в настоящее время не найдены: нелинейные задачи теплопро водности при степенной зависимости физических свойств от температуры;
нелиней ные задачи с внутренним источником теплоты при линейной зависимости коэффици ента температуропроводности от температуры;
задачи теплопроводности с перемен ным по пространственной координате начальным условием;
задачи теплопроводности с переменными во времени коэффициентами теплоотдачи;
задачи теплопроводности для многослойных конструкций и др.
6. С использованием дополнительных граничных условий разработан итераци онный способ нахождения решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий получать приближенные аналитические решения высокой точности для уравнений, точное интегрирование которых не представляется возмож ным.
7. Важной особенностью получаемых при использовании дополнительных гра ничных условий аналитических решений является полиномиальная зависимость тем пературы от пространственной координаты в отличие от классических точных анали тических решений, где такая зависимость выражается через тригонометрические функции. Полиномиальная зависимость позволяет получить решение в виде поля изо термических линий, а также определять скорости движения изотерм (изотах и других линий равного потенциала) по пространственной координате во времени.
8. Разработанные в диссертации математические модели построения аналитиче ских решений были использованы для нахождения коэффициентов теплоотдачи на внутренней поверхности барабана парового котла БКЗ-420-140 НГМ, а также на внут ренних поверхностях стенок многослойных топливных коллекторов камер сгорания газотурбинных двигателей. Коэффициенты теплоотдачи находились из решения об ратных задач теплопроводности на основе экспериментальных данных об изменении температур стенок во времени. Применительно к многослойным стенкам топливных коллекторов газотурбинных двигателей путем решения обратной задачи теплопровод ности найдена также толщина коксовых отложений на внутренних поверхностях сте нок.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:
МОНОГРАФИИ:
1. Стефанюк Е.В. Дополнительные граничные условия в краевых задачах теп лопроводности: монография Самара: Самарский государственный технический уни верситет, 2008. – 212 с.
2. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические методы теплопроводности: монография. Самара: Самарский государственный техни ческий университет, 2004. – 209 с.
УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ:
3. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Стефанюк Е.В. Теплотехника: учеб. пособие.
Самара: Самарский государственный технический университет, 2008. – 488 с.
4. Кудинов В.А. Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Теплопровод ность и термоупругость в многослойных конструкциях: учеб. Пособие. М.: Высш. шк., 2008. – 391 с.
5. Кудинов В.А. Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Теплопровод ность и термоупругость в многослойных конструкциях: учеб. пособие для вузов.
Самара: Самарский государственный технический университет, 2006. – 304 с.
СТАТЬИ В ЖУРНАЛАХ, РЕКОМЕНДОВАННЫХ ВАК РОССИИ 6 Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплообмена при ламинарном течении жидкости в трубах. // Вестник СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. Вып. 42.
Самара. 2006. С. 41-45.
7. Стефанюк Е.В. Управление потоком лазерного излучения при обработке ма териалов. // Известия вузов. Проблемы энергетики. № 5-6, Казань, 2009. С. 10-17.
8. Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности при пере менных во времени источниках теплоты. // Вестник СамГТУ. Серия «Технические науки», № 1(23) – 2009. С. 204 – 213.
9. Стефанюк Е.В., Радченко В.П. Теплопроводность в пластине при перемен ных во времени граничных условиях третьего рода. Температура среды – экспоненци альная функция времени. // Вестник СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. Вып. 26. Самара.
2004. С. 21-26.
10. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Аналитические решения задач теплопровод ности при переменных во времени коэффициентах теплоотдачи. // Вестник СамГТУ.
Серия Физ.-мат. науки. № 2(17). Самара. 2008. С. 171-184.
11. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Дополнительные граничные условия в неста ционарных задачах теплопроводности. // Теплофизика высоких температур. Т. 47. № 2.
Москва, 2009. С. 269-282.
12. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Получение аналитических решений уравнений гидродинамического и теплового пограничного слоя на основе введения дополнитель ных граничных условий. // Теплофизика высоких температур. Москва.
13. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Получение приближенных аналитических ре шений при рассогласовании начальных и граничных условий в задачах теории тепло проводности. // Известия вузов. Математика. Казань.
14. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Получение аналитических решений задач теп лопроводности при переменных во времени граничных условиях второго рода.
// Известия вузов. Проблемы энергетики. № 3-4. Казань. 2009. С. 27-39.
15. Стефанюк Е.В., Аверин Б.В., Кудинов И.В. Получение аналитического реше ния уравнений гидродинамического пограничного слоя на основе введения дополни тельных граничных условий. // Известия Самарского научного центра РАН. Специаль ный выпуск. «Актуальные вопросы тепло- и массообмена, энергоэффективность, ис следование вихревых закрученных потоков». 2008. С. 39-46.
16. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Построение приближенных ана литических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на ос нове использования дополнительных граничных условий. // Вестник СамГТУ. Се рия Физ.-мат. науки. № 1 (18). Самара. 2009. С. 122-132.
17. Дикоп В.В., Стефанюк Е.В., Волков Е.В. Расчет напряженно – деформи рованного состояния в отверстиях барабанов котлов. // Вестник СамГТУ. Вып. 20. Се рия "Тех. науки". Самара. 2004. С. 152-155.
18. Антимонов М.С., Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Аналитические решения за дач теплопроводности для цилиндра и шара на основе определения фронта темпера турного возмущения. // Журнал вычислительной математики и математической физи ки, Т. 48, № 4, Москва, 2008 г. С. 681-692.
19. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Применение ме тода координатных функций для решения обратных задач теплопроводности.
// Вестник СамГТУ. Вып. 20. Серия "Тех. науки". Самара. 2003. С. 161-168.
20. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Анализ нелиней ного теплопереноса на основе определения фронта температурного возмущения.
// Теплофизика высоких температур. № 4. Москва, 2005. С. 1-9.
21. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Температурные напряжения в многослойном полом сферическом теле при его нагреве постоянными источниками.
// Теплофизика высоких температур. Т. 44. № 5. Москва, 2006. С. 700-716.
22. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Анализ нелиней ной теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения.
// Теплофизика высоких температур. Т. 44. № 3. Москва, 2006. С. 577-585.
23. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Назаренко С.А., Стефанюк Е.В. Метод коорди натных функций в нестационарных задачах теплопроводности для многослойных кон струкций. // Вестник СамГТУ. Вып. 19. Серия "Физ - мат. науки". Самара. 2003.
С. 12-15.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ В ДРУГИХ ЖУРНАЛАХ, СБОРНИКАХ НАУЧНЫХ ТРУДОВ, МАТЕРИАЛАХ МЕЖДУНАРОДНЫХ И ВСЕРОССИЙСКИХ НАУЧНЫХ КОНФЕРЕНЦИЙ:
24. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Задачи теплопроводности на ос нове определения фронта температурного возмущения. // Изв. АН Энергетика. № 5.
Москва, 2008. С. 141-157.
25. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Решения задач теплопроводности при переменных во времени граничных условиях на основе определения фронта тем пературного возмущения. // Изв. АН Энергетика. № 1. Москва, 2007. С. 55-68.
26. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Назаренко С.А., Стефанюк Е.В. Метод дополни тельных граничных условий в задачах теплопроводности на основе интеграла теплово го баланса. // Изв. АН Энергетика. № 4. 2005. С. 119-127.
27. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Метод коорди натных функций в несимметричных задачах теплопроводности. // Вестник СамГТУ серия «Математическая». Выпуск 22. "Дифф. уравнения и их приложения". № 2.
Самара. СамГТУ. 2003. С. 136-142.
28. Стефанюк Е.В. Переменные во времени граничные условия в задачах тепло проводности для многослойных конструкций. // Аспирантский вестник Поволжья.
№ 2 (8) 2004 г. С. 63-67.
29. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций.
// Инженерно-физический журнал. Т. 78. № 2. 2005. С. 24-28.
30. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Антимонов М.С. Интегральные методы в задачах теплопроводности с переменным начальным условием.
// Межвуз. сб. научн. тр. "Дифф. уравнения и их приложения". № 1. Самара. СамГТУ.
2006.
31. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения. // Инженерно-физический журнал. Т. 80, № 3. 2007.
С. 27-35.
32. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Антимонов М.С. Аналитические решения за дач теплообмена при течении жидкости в плоскопараллельных каналах на основе оп ределения фронта температурного возмущения. // Инженерно-физический журнал.
Т. 80, № 5. 2007. С. 176-186.
33. Стефанюк Е.В. Точные аналитические решения задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения. // Вестник СамГТУ, серия «Математическая». Самара. № 2 (6). 2007 г. С. 54-71.
34. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Анализ распределения изотерм и скоростей их движения в задачах теплопроводности с граничными условиями третьего рода.
// Вестник СамГТУ, серия «Математическая». № 2 (6). Самара. 2007 г. С. 72-93.
35. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Аверин Б.В., Поворина А.И. Метод дополни тельных граничных условий в стационарных двумерных задачах теплопроводности с источниками теплоты. // Вестник СамГТУ, серия «Математическая». № 1 (5). Самара.
2007 г. С. 61-64.
36. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Получение аналитических решений задач теп лопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополни тельных граничных условий. Обзор. // Вестник СамГТУ, серия «Математическая».
№ 1 (7). Самара. 2008 г. С. 4-25.
37. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Обобщенные функции в задачах теплопроводности для многослойных конструкций. // Вестник СамГТУ, серия «Математическая». № 2 (8). Самара. 2008 г. С. 41-56.
38. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Аналитический метод решения задач тепло проводности на основе определения фронта температурного возмущения и дополни тельных граничных условий. // Инженерно-физический журнал. Т. 82, № 3. 2009.
С. 540-558.
39. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Метод коорди натных функций для решения обратных задач теплопроводности. // Доклад на Четвертой Международной конференции "Обратные задачи: идентификация, проекти рование и управление". Москва. МАИ. 2003.
40. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А., Дикоп В.В. Метод коорди натных функций в нестационарных задачах теплопроводности. // Труды Пятого Минского Междунар. форума по тепло - и массообмену. Т. 1. Минск. 2003. С. 246-248.
41. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для цилиндрической и сферической симметрии на основе интеграла теплового баланса. // Труды Всеросс. научн. конф.
"Математическое моделирование и краевые задачи". Ч. З. Самара. 2003. С. 9-12.
42. Аверин Б.В., Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Тепловое и на пряженно-деформированное состояние трехслойной панели с решетчатым заполните лем при воздействии солнечного излучения. // Труды Всероссийской научной конфе ренции «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч. 2. Самара. 2004.
С. 15-18.
43. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Котов В.В., Поворина А.И. Метод определе ния начала и продолжительности пленочного кипения на стенках многослойных топ ливных коллекторов ГТД. // Труды второй всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» Ч. 2. Самара. 2005. С. 150-153.
44. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Антимонов М.С. Аналитические решения краевых задач с учетом конечной скорости распространения теплоты [Текст].
// Труды Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену. Т. 7.
Теплопроводность, теплоизоляция. Москва, МЭИ. С. 245-247.
45. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Аналитические решения задач теплопроводно сти на основе определения фронта температурного возмущения. // Труды Пятой Международной конференции «Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление». Казань-Москва, МЭИ. 2007. С. 1-10.
46. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Дополнительные граничные условия в краевых задачах теплопроводности. // Тезисы докладов и сообщений. Том 1. VI Минский меж дународный форум по тепло- и массообмену. Минск, 2008., С. 290-291.
47. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А., Аверин Б.В., Антимонов М.С. Аналитические решения задач теплопроводности с переменными во времени коэффициентами тепло отдачи. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды пятой Всероссий ской научной конференции с международным участием. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. – Самара: СамГТУ, 2008. С. 164-167.
48. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Математическое моделирование теплопроводности в многослойных конструкциях на основе теории обобщенных функций. // Труды Седьмой Международной конференции «Математическое модели рование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов».
Ульяновск 2009. С. 254.
49. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В. Математическое моделирование гидродинами ческого и теплового пограничных слоев с учетом дополнительных граничных условий.
// Труды Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование фи зических, экономических, технических, социальных систем и процессов». Ульяновск 2009. С. 255.
50. Стефанюк Е.В. Математическое моделирование теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.
// Труды Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование фи зических, экономических, технических, социальных систем и процессов».
Ульяновск 2009. С. 255-256.
51. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Построение аналитических ре шений уравнений динамического и теплового пограничных слоев. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 2: Моделирование и оптимизация динамических сис тем и систем с распределенными параметрами. Самара: СамГТУ, 2009, с. 187-191.
52. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В. Аналитические решения уравнений динамиче ского и теплового пограничного слоя при граничных условиях первого и третьего ро да. // Труды XVII Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руково дством академика РАН А.И. Леонтьева. «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях». Т. 2, с. 139-142. Жуковский, 2009.
53. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Габдушев Р.Ж. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием. // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов.
Вып. 4/ Самарск. гос. арх.-строит. ун-т. Самара. 2009. С. 52-68.