Математическое моделирование деформирования вязкоупругих структурированных полимерных (композитных) систем

На правах рукописи

БЕЛЯЕВА Надежда Александровна МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ СТРУКТУРИРОВАННЫХ ПОЛИМЕРНЫХ (КОМПОЗИТНЫХ) СИСТЕМ 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Черноголовка – 2008

Работа выполнена в Институте структурной макрокинетики и проблем материаловедения Российской Академии наук (ИСМАН)

Научный консультант: доктор физико – математических наук, профессор, Столин Александр Моисеевич

Официальные оппоненты: доктор физико – математических наук, старший научный сотрудник Патлажан Станислав Абрамович доктор физико – математических наук, профессор Волынцев Анатолий Борисович доктор технических наук, старший научный сотрудник Скульский Олег Иванович

Ведущая организация: Институт прикладной механики РАН, Москва

Защита состоится 22 января 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 при Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, Пермь, ул.

Ак. Королева,1, сайт: www.icmm.ru С текстом диссертации можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН Автореферат разослан «_»2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета И.К.Березин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие технологических процессов переработки различных органических и неорганических материалов, многочисленные области применения таких материалов требуют ясного понимания закономерностей формирования конечного продукта с заданными физико-механическими и структурными характеристиками. Одна из важных составляющих этой проблемы - представление об эволюции макроскопической структуры материала в ходе технологического процесса. Правильное понимание и математическое моделирование структурных изменений полимерных и композиционных материалов с учетом широкого спектра тепловых, диффузионных, кинетических и реодинамических факторов является весьма актуальным в связи с развитием твердофазных технологических процессов формования изделий из этих материалов.

Представленная работа находится в русле современных исследований, охватывает широкий круг математических моделей разнообразных режимов обработки выше названных материалов – отверждения, сдвигового и напорного течений структурированной жидкости, твердофазной плунжерной экструзии.

Структурированные текучие системы, в которых течение сопровождается взаимным превращением структурных единиц и связанным с этим изменением вязкостных свойств, представляют обширный класс неньютоновских жидкостей. Процесс структурных превращений оказывается ответственным за явления самоорганизации в таких системах появление и развитие некоторой пространственно неоднородной структуры (автоколебания, автоволны, диссипативные структуры и т.д.) в первоначально однородной среде. Для структурированных систем характерно явление "сверханомалии вязкости" - немонотонное поведение реологической кривой. Именно в областях сверханомалии и происходит потеря устойчивости однородного стационарного состояния и формирование пространственно неоднородных стационарных состояний - диссипативных структур. Поэтому актуальной является задача определения областей немонотонности реологических кривых течения, построение в указанных областях формирующихся неоднородных состояний.

На практике находят широкое применение изделия различной геометрии (сфера, цилиндр и др.), полученные путем отверждения мономерной массы, которой придана форма соответствующей геометрии. Полимеры с высокой температурой плавления легко могут быть получены кристаллическими в процессе отверждения (полимеризации). Этот факт открывает большие возможности для получения изделий из кристаллизующихся полимеров методом химического формования (отверждения). Высококристаллические полимеры, как правило, оказываются прочными и упругими. В то же время, многие аспекты этого сложного процесса, связанные с учетом кристаллизации полимеров, остаются нерешенными. Таким образом, актуальной является задача моделирования процесса совместного протекания реакций полимеризации и кристаллизации с целью получения изделий с заданным уровнем внутренних напряжений. Такие модели открывают широкую возможность регулирования напряженного состояния в изделии и направленного влияния на эксплуатационные свойства формируемых изделий.

Традиционные методы переработки композиционных материалов в изделия включают в себя весьма длительные стадии нагрева, охлаждения и фазовых превращений материала в форме, которые в основном определяют общую производительность и энергоемкость технологического процесса. Твердофазная технология получения и обработки композиционных материалов лишена указанных недостатков и поэтому относится к современным энергосберегающим технологиям. Направление исследований, связанное с математическим моделированием процесса твердофазной экструзии мало разработано:

общие закономерности процесса твердофазной экструзии полимерных материалов мало изучены, хотя эта проблема весьма важна при разработке эффективных методов получения длинномерных изделий. Для теории твердофазной экструзии важную роль играет учет реологических факторов, так как в нашем рассмотрении объектом деформирования является сжимаемый структурированный полимерный материал. Таким образом, особенностью моделирования этого процесса является необходимость учета вязкоупругого течения материала, динамики структурообразования и технологических условий протекания процесса. Актуальным в настоящее время является совершенствование технологического процесса твердофазной экструзии и оборудования обработки композиционных материалов с использованием метода математического моделирования.

Работа выполнялась в соответствии с федеральной целевой программой «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно технологического комплекса России» на 2007 - 2012 гг. при выполнении госконтракта 02.513.11.3377 от 26 ноября 2007 г.

Целью настоящего исследования является развитие реодинамических моделей структурированных систем, теоретическое исследование реологических особенностей и самоорганизации при течении структурированной жидкости, математическое моделирование процессов отверждения и твердофазной плунжерной экструзии полимерных материалов с учетом их вязкоупругого поведения. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Исследование процессов самоорганизации течения вязкой структурированной жидкости в области “сверханомалии вязкости”.

2. Построение вязкоупругой модели объемного и фронтального отверждений осесимметричных изделий (цилиндр, сфера) в ходе совместного протекания реакций полимеризации и кристаллизации. Определение температурного и конверсионных полей в процессе фазового перехода на основе макрокинетической модели совмещенного процесса полимеризации и кристаллизации.

3. На основе численного моделирования определение областей высокотемпературного и низкотемпературного режимов формования изделия, влияющих на эксплуатационные свойства готовых изделий.

4. Построение математической модели твердофазной плунжерной экструзии вязкоупругого структурированного материала.

5. Численный анализ качественно различных режимов твердофазной экструзии полимерных материалов. Нахождение областей реализации этих режимов в зависимости от характерных времен процесса.

6. Исследование неустойчивости процесса деформирования структурированных вязкоупругих систем, анализ различных механизмов этой неустойчивости в зависимости от скорости деформирования.

Научная новизна работы. В работе получены следующие новые результаты:

1. На основе численного анализа математической модели течения структурированной жидкости впервые построена диссипативная структура в области сверханомалии куэттовского течения.

2. Представлены математические модели напорного и куэттовского (между двумя коаксиальными цилиндрами) течения структурированной жидкости. На основе анализа данных моделей определена область параметров, соответствующая явлению сверханомалии вязкости.

3. Представлены двумерные математические модели определения напряженного состояния формируемого осесимметричного изделия в ходе совместного протекания реакций полимеризации и кристаллизации, основанные на решении уравнения последействия Больцмана-Вольтерры. Определение температурного и конверсионного полей в ходе реакции производится на основе макрокинетической модели совмещенного процесса.

Указанные модели включают:

• режим объемного отверждения цилиндрического изделия;

• режим фронтального отверждения цилиндрического изделия;

• режим объемного отверждения сферического изделия;

• режим фронтального отверждения сферического изделия.

4. В терминах безразмерных критериев Семенова процессов полимеризации и кристаллизации определены области низкотемпературного и высокотемпературного режимов реакции. Проведен численный анализ представленных моделей в указанных областях.

5. Впервые представлена структурная модель твердофазной плунжерной экструзии вязкоупругого материала. На основе указанной модели методом численного анализа впервые показана возможность неустойчивого режима выдавливания при малых и больших скоростях перемещения плунжера пресса. Предложены разные механизмы неустойчивости, соответствующие этим скоростям выдавливания.

6. Сравнением характерных времен отдельных процессов структурирования, уплотнения и выдавливания проведен анализ качественно различных режимов экструзии вязкой среды:

выдавливание предельно структурированного и полностью уплотненного материала, выдавливание без структурирования и уплотнения, переходные режимы уплотнения и структурирования. Отмечено, что выдавливание полностью структурированного и уплотненного материала протекает в стационарном режиме деформирования.

Достоверность и обоснованность результатов представленной работы обеспечивается:

-адекватностью используемых модельных представлений реальным рассматриваемым физическим процессам;

-корректностью использования математического аппарата, фундаментальных принципов механики сплошной среды, современных методов численного решения;

- качественным совпадением полученных результатов с результатами экспериментальных исследований.

Результаты исследования прошли всестороннюю апробацию на отечественных и зарубежных научных конференциях, симпозиумах и семинарах.

Практическое значение работы состоит в том, что развиваемое направление и полученные результаты дают более глубокие результаты о закономерностях и особенностях процесса деформирования твердых и текучих систем и взаимосвязи этого процесса с процессом структурных превращений в материале. Результаты работы могут быть использованы для решения разных технологических задач.

Предложенные математические модели формирования полимерного (композитного) изделия позволяют определять не только уровень внутренних остаточных напряжений, но и контролировать, регулировать сам процесс формования, выбирать необходимый режим проведения отверждения, тем самым влиять на эксплуатационные свойства готового изделия.

Разработанная в работе теория твердофазной плунжерной экструзии полимерных и композиционных материалов с учетом вязкоупругого поведения этих материалов и динамики процесса структурных превращений позволил сделать выводы о возможных причинах неустойчивости формования изделий и механизмов этой неустойчивости и выбора.

Проведённый анализ плотности и напряженно-деформированного состояния материала в процессе экструзии в зависимости от давления, а также от начального распределения плотности по объёму образца позволяет научно обоснованно давать рекомендации о выборе оптимальных режимов экструзии.

Применение этой теории позволяет сократить число технологических операций для получения конечного продукта. В результате математического моделирования реодинамики твердофазной экструзии полимерных композитов установлено, что при увеличении давления на плунжере пресса скорость течения материала меняется экстремальным образом, отсюда вытекает важный практический вывод – не всегда выбор более мощного пресса является оправданным при получении качественных изделий методом твердофазной плунжерной экструзии.

Результаты теоретических исследований использовались в Научно-образовательном центре ТамбГТУ-ИСМАН «Твердофазные технологии» при получении изделий методами твердофазной экструзии из различных полимерных композитов. Получено заключение о практическом использовании основных положений диссертации в Институте структурной макрокинетики и проблем материаловедения РАН (г. Черноголовка) и Тамбовском государственном техническом университете (г. Тамбов).

Личный вклад соискателя. Все приведенные в диссертации результаты получены лично автором или при его непосредственном участии. Монография «Математические модели деформируемых структурированных материалов», отражающая главные направления диссертации, опубликована без соавторов. В постановке задач по отверждению цилиндрического изделия, обсуждении результатов принимали участие к.ф.-м.н. Клычников Л.В., д.ф.-м.н. Худяев С.И., д.ф.-м.н. Давтян С.П.. В постановке задачи куэттовского течения структурированной жидкости принимал участие д.ф.-м.н. Худяев С.И.;

в постановке и обсуждении результатов исследования процесса твердофазной экструзии - д.ф.-м.н., профессор Столин А.М., д.т.н. Стельмах Л.С. При подготовке статьи: Беляева Н.А., Столин А.М., Пугачев Д.В., Стельмах Л.С. Неустойчивые режимы деформирования при твердофазной экструзии вязкоупругих структурированных систем // ДАН, 2008. Т. 420. № 6.

С. 777-780. - соавтором Пугачевым Д.В. был поставлен эксперимент, результаты которого используются в названной публикации.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на:

Всероссийской конференции «Переработка полимерных материалов в изделиях» (Ижевск, 16-19 ноября 1993 г.), 8-й Всероссийской конференции «Математические методы в химии» (Тула, 27-29 окт. 1993 г.), 2-й Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, январь 1994 г.), Симпозиуме «Математические модели деформируемого тела» (СПб, июнь 1994 г.), XXXVI Уральском семинаре «Механика и процессы управления» (Екатеринбург, 2006 г.), III Международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование» (Кемерово, 22-28 июня 2006 г.), Четвертой Всероссийской школе-семинаре по структурной макрокинетике для молодых ученых (Черноголовка ИСМАН, 22-25 ноября 2006 г.), конференции «Реология и физико-химическая механика гетерофазных систем» (Карачарово, 23 – 28 апреля 2007 г.), Международной конференции «XVIII сессия Международной Школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007 г.), научной конференции семинаре «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2008 г.), пятой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008 г.);

научном семинаре кафедры теории упругости механико математического факультета МГУ (Москва, 1999 г.), научном семинаре в Отделе математики Коми научного центра УрО РАН (Сыктывкар, 2004 г.), научном семинаре лаборатории гидродинамики математико-механического ф-та СПб технического университета (СПб, 2004), научном семинаре ИСМАН РАН (г. Черноголовка, 2008 г.), научном семинаре Института механики сплошной среды (ИМСС) РАН (Пермь, 2008 г.).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 45 научных работ, из них 9 научных работ – в ведущих журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка из 191 наименования, приложения;

содержит 193 страницы текста, 102 рисунка, 6 таблиц.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Теоретическое исследование различных типов течений структурированных текучих систем на основе взаимосвязанного рассмотрения реодинамических процессов и кинетики структурных превращений. Численная реализация структурно-однородных и пространственно структурно-неоднородных режимов деформирования. Анализ особенностей формирования диссипативных структур в условиях явления сверханомалии вязкости.

2. Математические модели отверждения осесимметричных изделий (цилиндр, сфера), учитывающие взаимосвязанное протекание процессов полимеризации и кристаллизации.

Результаты численного счета температурных и конверсионных полей (глубины полимеризации и кристаллизации) в процессе фазового перехода.

3. Математические модели твердофазной плунжерной экструзии вязкоупругого структурированного материала, учитывающие кинетику уплотнения материала и процесс структурных превращений, соответствующие различным режимам деформирования:

постоянная скорость перемещения плунжера и постоянное напряжение на плунжере пресса.

4. Анализ динамики процессов деформирования структурированных систем и объяснение характера различных критических (пороговых) явлений и колебательных режимов.

Механизмы «обратной» связи неустойчивого режима деформирования соответственно в области малых и больших скоростей деформации.

5. Качественное сопоставление теоретических и экспериментальных результатов, касающихся неустойчивости течения структурированных систем. Теоретическое описание обнаруженного впервые режима неустойчивости в области малых скоростей деформирования.

6. Численный анализ особенностей качественно различных режимов экструзии в зависимости от характерных времен процессов уплотнения, выдавливания и структурных превращений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы: обоснована актуальность темы исследований, поставлена цель и сформулированы основные задачи для ее достижения, обозначена новизна и практическая значимость проводимых исследований.

В первой главе приводится литературный обзор по вопросам самоорганизации течения структурированных жидкостей, проводится теоретическое исследование различных типов течений структурированных текучих систем на основе взаимосвязанного рассмотрения реодинамических процессов и кинетики структурных превращений, численная реализация структурно-однородных и пространственно структурно-неоднородных режимов деформирования, анализ особенностей формирования диссипативных структур в условиях явления сверханомалии вязкости.

В процессе самоорганизации структурированных систем наблюдаются нелинейные эффекты динамики систем. Впервые об этом явлении было заявлено еще в 1954 году на втором Международном Конгрессе по реологии в Лондоне [1]. Здесь исследовалась неустойчивость течений Куэтта и Пуазейля, приводящая к релаксационным автоколебаниям, при этом неустойчивый режим течения возникал на падающем участке скоростной характеристики трения скольжения.

В более поздней экспериментальной работе [2] обнаружено, что для ряда жидкостей (растворы и расплавы полимеров) при куэттовском течении характерно падение напряжения при возрастании скорости деформации. Это явление получило название сверханомалии вязкости. В работе [3] отмечается, что сверханомалия вязкости есть следствие потери устойчивости пространственно-однородного стационарного состояния и возникновение пространственно-неоднородного состояния, т.е. диссипативной структуры.

Взаимосвязанное рассмотрение течения и кинетики взаимного превращения структурных единиц [4-6] дает возможность выяснить интересные особенности структурированных систем. В рамках представленной в этих работах модели обосновывалась возможность существования области сверханомалии вязкости в сложных системах химической кинетики.

Развитие этих моделей для описания течения структурированной системы было предложено в работах [7, 8]. Так, в работе [8] при анализе некоторых типов течения структурированной жидкости основное внимание уделялось явлениям самоорганизации, обусловленным немонотонным характером реологической кривой.

В диссертационной работе представлены результаты исследования куэттовского, напорного и сдвигового (между двумя коаксиальными цилиндрами) течений структурированной жидкости. Простейшая математическая модель такой жидкости, состоящая из двух структурных единиц, взаимосвязанно рассматривает течение и их взаимное превращение.

Предполагаем, что жидкость является смесью двух компонент A1 и A2, взаимно превращающихся друг в друга A1 A2 под действием приложенного механического поля, характеризуемого напряжением сдвига и скоростью деформации. Рассматриваются случаи изотермических течений, когда напряжение и скорость деформации являются скалярными величинами. Тогда жидкость подчиняется реологическому уравнению состояния:

=.

Здесь вязкость, зависящая от степени структурных превращений a = a ( ) составляющих компонент жидкости, причем 1 ( a ) = 11a + 2 1 (1 a ), 1 и 2 — вязкости компонент A1 и A2, соответственно, a - доля A1 в смеси A1 и A2. Если 1 = 2, то вязкость не зависит от a - жидкость является ньютоновской;

если 1 2 псевдопластической, 1 2 - дилатантной.

Рассмотрим течение Куэтта структурированной жидкости в плоском зазоре. Пусть структурированная вязкая несжимаемая жидкость заполняет полосу между плоскостями = 0 и = h, а ее течение вызывается движением плоскости = h в направлении оси со скоростью, не зависящей от и. Система уравнений, описывающая поведение рассматриваемой жидкости :

u u =, (1) t u a 2a = D 2 + Ф a, ;

(2) t a a = = 0, (3) =0 =h u =0 = 0;

(4) На подвижной стенке рассмотрим граничные условия двух типов:

u = h = u0 (5) или u (a) = 0. (6) =h u плотность, = Здесь - скорость деформации, k Ф ( a, ) = k2 (1 a ) k1a = k2 1 a a 0 exp ( p ( a ) + q 2 ) суммарная скорость k превращения структуры.

Рассмотрим однородные стационарные состояния системы (1)–(6), то есть решения вида:

u = = const.

a = const, При граничных условиях (4), (5), однородная скорость деформации имеет вид: = u0 / h.

Однородные стационарные значения степени структурных превращений a находятся из уравнения: Ф(a, ) = 0 или k k2 1 a a 0 exp ( p ( a ) + q 2 ) = 0.

k Сделав в последнем уравнении замену k q = 0, = 2 1, p = y, p 2 = x, =, ( p2 ) 1 k получим реологическое уравнение кривой течения ( ) x 1 + exp ( y + x 2 ) x(1 + k ) y= = (7).

+ 1 + exp ( y + x ) + 1 + k На рис. 1 а,b изображены реологические кривые с областями “сверханомалии вязкости” – явление падения напряжения от в ( y в ) до н ( y н ) при увеличении скорости деформирования для псевдопластической жидкости (рис. 1 а), и падение скорости деформации от в ( x в ) до н ( x н ) при увеличении напряжения для дилатантной жидкости (рис. 2b). В областях сверханомалии происходит потеря устойчивости однородного стационарного решения, возникает пространственная неоднородность при течении жидкости. При выборе граничных условий (6), где 0 удовлетворяет н 0 в, мы получим три однородных стационарных решения a1, a 2, a3 : a1 a 2 a3 и a i = a i ( 0 ) ;

причем a1, a3 - устойчивые однородные состояния, а a 2 - неустойчивое.

Численное решение системы (1)-(6), проведенный анализ результатов, позволили построить пространственно-неоднородные решения, которые возникают в результате потери устойчивости – это монотонно-убывающая или монотонно возрастающая диссипативная структура (рис. 2).

y yв y y y yн y y xн x0 xв x x x x1 x Рис. 1b. Реологическая кривая Рис. 1а. Реологическая кривая дилатантной жидкости, = псевдопластической жидкости, = 0. Рис. 2. Пространственно a временное распределение 1 степени структурных превращений a(r, ) :

1( = 0),2(1),3(15),4(37);

1 2 = 0.7, a2 = 0. 2, = 0.001 = 0.1, = 10,, rr p1 = 3, q1 = 6, k2 = 0.5;

0. a0 0r0.5 = 0, a0 0.5r1 = 0. a = a ( ) Установившееся пространственно-неоднородное решение удовлетворяет необходимому стабилизационному соотношению ( a ( x ) a )dx = 0, (8) где a = a2 соответствующее неустойчивое однородное стационарное решение.

Анализ пространственно – временного распределения степени структурных превращений демонстрирует установление пространственно неоднородного течения жидкости – диссипативной структуры. График этой структуры представляет монотонно убывающую или монотонно возрастающую зависимость a = a( ). Для данной структуры выполняется стабилизирующее соотношение (8), что подтверждают результаты расчетов.

Во второй главе приведены математические модели процессов формирования осесимметричных полимерных (композитных) изделий (цилиндр, сфера) методом отверждения в рамках несвязанной теории термовязкоупругости. Отверждение изделия рассматривается в ходе совместного протекания реакций полимеризации и кристаллизации.

Рассмотрены различные режимы проведения процесса – объемный, фронтальный, низкотемпературный, высокотемпературный. Проводится численное моделирование, некоторые результаты которого и их анализ представлены ниже.

Первый параграф данной главы посвящен анализу литературных данных по указанной проблеме.

Внутренние технологические напряжения, возникающие в изделиях в ходе их изготовления, тот или иной уровень остаточных напряжений оказывают существенное влияние на прочность изделий в зависимости от условий их эксплуатации. Имеющиеся теоретические и экспериментальные исследования по объёмному (послойному) отверждению подобных изделий направлены на изучение кинетики накопления внутренних напряжений на различных этапах формирования изделий [9, 10]. В работе [11] рассмотрено образование внутренних напряжений в условиях фронтального отверждения симметричных изделий (сферы, цилиндра) при заданном заранее законе распределения температуры отверждения по радиусу изделия и в предположении, что в основном превращение отверждаемого материала происходит в узком температурном интервале вблизи температуры адиабатического разогрева.

В процессе формирования образцов на основе трехмерных густосшитых полимеров распределение остаточных напряжений зависит не только от внешнего давления, но и от внутреннего, которое создается в процессе распространения волны полимеризации. Поэтому в работе [12] рассмотрено влияние внутреннего давления на процесс формирования сферического образца при распространении волны полимеризации (отверждения) от внешней поверхности с учетом кривизны фронта, химической усадки, заданного заранее неоднородного распределения температуры по радиусу образца.

В работе [13] рассматривается математическая модель фронтальной полимеризации металлосодержащих мономеров, в которой сделан акцент на изучении процесса теплообмена с учетом фазового перехода в движущемся узком слое системы.

В работе [14] задачи о фронтальном формировании (отверждении) осесимметричного изделия решаются с точки зрения непрерывно наращиваемого твердого тела. Отличие от постановки задачи для фиксированного тела вытекает из того факта, что элемент растущего тела в окрестности какой-либо точки деформируется совместно с другими элементами, лишь начиная с момента его отверждения, совпадающего с моментом присоединения этого элемента к образованной (затвердевшей) области. Чтобы соблюсти корректность постановки рассматриваемой задачи и учесть динамический характер протекающего процесса отверждения (непрерывного наращивания), основные уравнения и граничные условия записываются в продифференцированном по времени виде.

Возникновение температурных неоднородностей при объёмной полимеризации (отверждении) может привести к изменению теплового режима полимеризации, переходу объёмной полимеризации в режим распространения фронта и наоборот. Эти явления наиболее сильно выражены при протекании реакции в больших объёмах, где саморазогрев может вызвать существенно неизотермическое развитие полимеризации. В работах автора и диссертационной работе предлагается некоторое обобщение результатов изучения кинетики накопления технологических напряжений как в режиме фронтального, так и объёмного формирования изделия. Постановка задачи позволяет осуществлять различные условия проведения процесса получения изделия, а, следовательно, позволяет регулировать уровень внутренних напряжений с целью снижения их неблагоприятного воздействия на прочность и надежность получаемых изделий.

Полимеры с высокой температурой плавления легко могут быть получены кристаллическими в процессе полимеризации. Высококристаллические полимеры, как правило, оказываются прочными и упругими. Этот факт открывает большие возможности для получения изделий из кристаллизующихся полимеров методом химического формования.

На возможность одновременного протекания реакций полимеризации и кристаллизации впервые R указано в [15]. Изменение структуры полимеров и полимерных композиций, обусловленное деформациями, является в настоящее время неоспоримым экспериментально установленным R фактом [16]. Однако кристаллизацию в процессе полимеризации стали изучать на основе совместного математического, физического и химического подхода только недавно. Многие вопросы этого сложного явления остаются нерешенными. В современных исследованиях для учета влияния кристаллизации на механические свойства полимеров Рис. 3. Модель предлагаются различные подходы [17, 18]. Так, в формируемого изделия работе [17] описание свойств полимерных материалов предлагается с помощью параллельно соединенных БСНЭ (базисный структурно механический элемент). В диссертационной работе предлагается учитывать кристаллизацию с помощью макрокинетической модели совмещенного процесса полимеризации и кристаллизации.

В § 2 рассматривается макрокинетическая модель совмещенного процесса полимеризации и кристаллизации формования полого осесимметричного изделия ( R1 r R ). В начальный момент мономер имеет температуру окружающей среды T (объемный режим реакции). На внутренней и внешней границах образца происходит теплообмен с окружающей средой (рис. 3). В результате реакции и теплообмена в образце устанавливается неоднородное температурное поле. Определение температурного T = T(r, t) и конверсионных полей (глубины полимеризации = (r, t) и кристаллизации = (r, t) ) в процессе фазового перехода производится на основе решения системы уравнений:

2T n T T c = 0 2 + + Qp + Qcr ;

(9) t r r r t t = k01 exp [ U / RuT ](1 )( 1 + ) ;

(10) t = k02 exp E a / RuT T f / T (T f T ) ( 2 + )(b ), (11) t (9) – уравнение теплопроводности с нелинейным источником тепла и два кинетических уравнения относительно степени структуризации: (10) – полимеризации, (11) – кристаллизации;

n – коэффициент формы (для цилиндра n=1, для сферы n=2). Начальные и граничные условия:

t = 0 : = 0;

= 0;

T R r R = T0 ;

(12) T T h0 (T T0 ) R = 0;

+ h (T T0 ) R = 0. (13) r r T = T (r, t ), = ( r, t ), = (r, t ) температура, глубина полимеризации и кристаллизации, соответственно, в точке r образца в момент времени t.

В уравнениях (1.1)-(1.3) использованы обозначения:

T, K c удельная теплоемкость материала;

плотность;

коэффициент температуропроводности;

Q p тепловой I эффект II полимеризации;

Qcr тепловой эффект кристаллизации;

p k01, k02 константы скоростей полимеризации и 71. U энергия кристаллизации;

активации процесса Рис. 4a. Низкотемпературная (I) и E энергия a высокотемпературная (II) области реакций в полимеризации;

отсутствие кристаллизации активации процесса кристаллизации;

1, 2 критерии Ru универсальная автокаталитичности процессов полимеризации и кристаллизации;

характерная температура полимера;

T0 начальная температура газовая постоянная;

мономера и окружающей среды;

h0, h коэффициенты теплообмена с окружающей средой;

T f равновесная температура плавления;

b равновесная степень кристалличности, вычисляемая по формуле b = 0.52 1 (T / T f ), Влияние условий полимеризации на свойства формируемого изделия наиболее отчетливо можно проследить путем определения высокотемпературного или низкотемпературного режима проведения реакции посредством критериев Семенова p = UQ p R 2 k1 (T* ) / 0 RuT*2 ;

cr = UQcr R 2 k2 (T* ) / 0 RuT*2, T* характерная температура процесса. На рис. 4a,b представлены области низкотемпературного и высокотемпературного режимов протекания реакций и критические условия их разделяющие. В отсутствие кристаллизации критическое значение параметра lg cr Семенова p = 71.5 : при * p 71.5 II низкотемпературная, p 71. I высокотемпературная p область. Значительное влияние кристаллизации на величину p заметно при * cr 103 … 104. Так, при cr = 80 критическое значение p = 71.5, а при * Рис. 4b. Низкотемпературная (I) и cr = 104 * = 56. При высокотемпературная (II) области реакций при p совместном протекании реакций полимеризации переходе из области I в и кристаллизации область II изменяется температурный режим проведения процесса, следовательно, происходит существенное изменение напряженного состояния формируемого изделия. Изменение максимальной температуры в процессе отверждения высокотемпературного и низкотемпературного режимов отверждения представлено на рис. 5. Повышение температуры на начальной стадии процесса соответствует интенсивному протеканию реакции полимеризации, последующее падение обусловлено наличием теплообмена с окружающей средой и уменьшением температурного вклада от полимеризации. Сравнение поведения кривых 1, 3 подтверждает влияние кристаллизации на температурное распределение и в низкотемпературном режиме. На кривой 4 наблюдается еще один подъем температуры, обусловленный интенсивным протеканием кристаллизации. Таким образом, в высокотемпературном режиме тепловые эффекты от полимеризации и кристаллизации могут быть разделены во времени, тогда как в низкотемпературном режиме этого сделать нельзя.

Представленные результаты свидетельствуют о неустойчивости температурного режима процесса: в зависимости от условий проведения процесса реализуется низкотемпературный или высокотемпературный режим отверждения. Неустойчивость температурного режима влечет неустойчивость формирования внутренних напряжений по отношению к кинетике проводимого процесса.

T, K 433 393 t, с 0 150 350 500 2500 Рис. 5. Зависимость максимальной температуры процесса отверждения от времени: (1)- низкотемпературный ( p =65), (2)- высокотемпературный ( p =71.5) режимы без учета кристаллизации;

(3)- низкотемпературный ( n =70, cr =80), (4)- высокотемпературный ( p =56, cr =10 4 ) режимы В § 3 - 6 рассматриваются модели определения напряженного состояния формируемого изделия: объемный (§ 3) и фронтальный (§ 4) для цилиндрического изделия, объемный (§ 5) и фронтальный (§ 6) – сферического. Предлагаемый в данной работе метод определения напряженного состояния в ходе отверждения основан на решении уравнения последействия Больцмана-Вольтерры =t K(t ) ( )d, ( ) = (t) + = ( ) некоторая функция деформации, K(t ) так называемое ядро последействия.

где Пространственно-временное поведение отверждающегося материала можно полностью описать следующей системой определяющих соотношений, справедливых в общем случае неупругой сплошной среды:

rr rr = ;

(14) r r rr =, (15) r r (14) – уравнение равновесия, (15) – условие совместности деформаций;

rr, радиальная и окружная компоненты напряжений;

rr, радиальная и окружная компоненты деформаций. Полные компоненты деформаций в (15) являются суммой вязкоупругой, температурной и химической у составляющих:

* T x = * + у + у, T x (16) у = 0 ( T T0 ), 0 аналог коэффициента линейного температурного расширения T где материала;

для простоты будем считать его постоянным;

T = T(r, t) текущая температура материала;

у = p + cr, p = k1 усадка материала вследствие полимеризации, x cr = k 2 усадка вследствие кристаллизации, k1, k 2 константы.

В двумерном случае вязкоупругую компоненту деформации будем искать в тензорном виде rr (r, t) 1/ E / E rr (r, t) * = + * (r, t) / E 1/ E (r, t) (17) t f (t ) f r (t ) rr (r, ) rr + d, f (t ) f (t ) (r, ) 0 r коэффициент Пуассона, E модуль упругости.

Применяя к соотношению (17) преобразование Лапласа, используя условие несжимаемости материала, найдем зависимости между изображениями Fij (p) и, следовательно, соотношения между их оригиналами f ij :

1 Fr (p) = F r (p) = = Frr (p), E E(p) f rr = f = f r (p) = f r.

Для стандартной модели (рис. 6) вязко-упругого тела e t, f rr (t) = E = ( E1 + E2 ) /, E1 = E = const ;

E2 = 3 1010 (Tпл / T 1);

= E2 /, = 1 р /( p ), 1 = A exp ( E вяз / RuT + A1 ).

Таким образом, определены неизвестные функции f ij тензорного соотношения (17).

Для определения компонент напряжений введем в рассмотрение функцию напряжений Ф = Ф(r, t) :

Ф Ф rr (r, t) =, (r, t) =. (18) r r Подставим (16) с учетом (17), (18) в условие (15). Принимая во внимание (14), относительно введенной функции Ф = Ф(r, t) получим уравнение Ф(r, t) Ф(r, t) Ф(r, t) Ф(r, t) t + f (t ) d + + + r r r r r r + E + r dr = 0, r r R где (r, t) = у + у. Интегрирование последнего уравнения приводит к уравнению хим T t Ф(r, t) Ф(r, t) Ф(r, t) Ф(r, t) + f (t ) d = + + r r r r (19) r = E + r dr + (t), r R представимому в виде системы интегро-дифференциальных уравнений J(r, t) J(r, t) = F(r, t) + (t), + r r (20) t Ф(r, t) + f (t )Ф(r, )d = J(r, t).

(r, t) (r, t) r f = f rr (t) E, F(r, t) = E (r, t) + r dr функция, значения Здесь r R которой определяются на основе решения макрокинетической модели (9)–(13);

(t) – произвольная функция времени. Предполагая, что на внутренней поверхности сумма нормальных напряжений равна нулю, т.е.

( ( r, t ) + ( r, t ) ) ( =0, (21) R1, t ) rr тогда, следуя (19), получим (t ) = F ( R1, t ).

rr r =R = 0, значит Внешнюю поверхность будем считать свободной от напряжений Ф(R, t) = 0 и из (20) J(R, t) = 0, тогда первое уравнение системы (20) разрешается R 1 J (r, t ) = F (r, t )rdr + F ( R1, t )( R 2 r 2 ). (22) rr 2r А второе – можно представить, учитывая f (t) = ( )exp( t), как t Ф(r, t) + ( )exp [ (t )] Ф(r, )d = J(r, t). (23) Записывая уравнение (23) в изображениях и разрешая полученное алгебраическое уравнение относительно Ф ( r, p ) изображения функции Ф(r, t), применяя обратное преобразование, находим функцию напряжений t Ф(r, t) = J(r, t) ( )exp [ (t ) ] J(r, )d, (24) где J(r, t) определяется формулой (22). Из уравнения (24), с учетом (18), получим формулы для определения компонент напряжений 1 t rr (r, t ) = J (r, t ) ( )exp [ (t )] J (r, )d, (25) r J(r, ) t J(r, t) ( )exp [ (t ) ] (r, t) = d. (26) r r Расчеты проводились для низкотемпературного и высокотемпературного режимов реакции при следующих значениях параметров задачи:

c = 0. 24 10 3 кал /( кг град );

= 1.1 10 3 кг / см 3 ;

0 = 9 10 4 кал /( см с град );

Q п = 18 кал / см 3 ;

Q кр = 35 кал / см 3 ;

E1 k 01 = 5 10 5 c 1 ;

k 0 2 = 2 10 4 c 1 ;

U = 13 10 3 кал / моль;

Ru = 2 кал /( град моль );

1 = 0.18;

2 = 0.05;

E a = 8.8 10 3 кал / моль;

= 225 K ;

Tп л = 493 K ;

T0 = 373 K ;

R = 10 см ;

R1 = 1 см ;

E h0 = h = 0.5 см 1 ;

= 0.33;

k1 = k 2 = 0.05;

0 = 0.25 10 2 град 1 ;

A = 10 2 сП ;

E вя з = 5 10 3 кал / моль;

E1 = E = 10 3 кал / моль;

A1 = 5.

Рис. 6. Стандартное вязко упругое тело На рис. 7 – 9 представлены T, K результаты численного анализа ( n =70, низкотемпературного kp =80) режима объемного отверждения цилиндрического изделия. Максимум температуры (рис. 7) в процессе отверждения наблюдается внутри изделия, рост температуры происходит вследствие интенсивного протекания полимеризации. Анализ конверсионных полей (рис. 8(a, b)) указывает на режим параллельного r, см протекания полимеризации и кристаллизации. Рис. 7. Пространственно-временное распределение температуры T = T ( r, t ), t (c ) :

0(1), 660(2), 1321(3), 1981(4), 2642(5), 3303(6), 3963(7), 4624(8), 5284(9), 5945(10) Н а 7-10 8- рис 9(a, b) 7 пре дста 4 вле на дин ами ка 2 3 рад иал 1, 2 ьно r, см r, см йи окр a) b) ужн ой ком Рис. 8(a, b). Пространственно-временное распределение глубины полимеризации - a) и глубины кристаллизации - b) в низкотемпературном режиме реакции;

условия на рис. 7 пон ент напряжений. Радиальные напряжения в ходе отверждения являются, в основном, растягивающими, окружные – сжимающими. Наибольшее значение напряжения достигают вблизи внутренней поверхности.

, кг/см rr, кг/см 2 1- r, см 5- a) b) 4 5- r, см 1- Рис. 9(a, b). Пространственно-временное распределение радиальной и окружной компонент напряжений;

условия на рис. После освобождения от закрепления внутренней поверхности изделия получим следующее распределение остаточных напряжений (рис. 10):

Поведение наиболее значимых радиальных напряжений является, в, кг/см основном, сжимающим. Отметим качественное отличие от поведения остаточных напряжений в высокотемпературном режиме, где радиальные напряжения являются = rr (r ) растягивающими.

Далее в работе рассматривается (§ 4) модель фронтального отверждения = (r ) цилиндрического изделия. Задача о фронтальном формировании (отверждении) осесимметричного изделия решается с точки зрения непрерывно наращиваемого твердого Рис. 10. Остаточные напряжения в тела. Отличие от постановки задачи низкотемпературном режиме для фиксированного тела вытекает из того факта, что элемент растущего тела в окрестности какой-либо точки (r) деформируется * совместно с другими элементами, лишь начиная с момента его отверждения t (r), совпадающего с моментом присоединения этого элемента к образованной (затвердевшей) области. Чтобы соблюсти корректность постановки рассматриваемой задачи и учесть динамический характер протекающего процесса отверждения (непрерывного наращивания), основные уравнения и граничные условия записываются в продифференцированном по времени виде.

Система уравнений макрокинетической модели (9)-(11) дополняется в рассматриваемом случае начальными и граничными условиями вида t = 0 : = 0;

= 0;

= T0 ;

T = T *;

T R1 r R r = R T h0 (T T0 ) R = 0, t t * ;

= T *, 0 t t*;

T r r = R1 T + h (T T0 ) R = 0.

r T * температура зажигания или температура инициирования реакции Здесь * (поддерживается на внутренней поверхности в течение времени t ), более высокая, чем температура окружающей среды T0. Таким образом, фронт реакции распространяется от внутренней поверхности.

При определении напряженного состояния формируемого изделия принята стандартная модель вязкоупругого тела (рис. 4). Вязкоупругие компоненты радиальной и тангенциальной компонент деформаций подчиняются соотношениям ( rr (r, t) (r, t) ) + f rr (0) rr (r, t) + f r (0) (r, t) + rr (r, t) = * E t t f rr (t ) rr (r, )d + f r (t ) (r, )d, + * * t (r) t (r) ( (r, t) rr (r, t) ) + fr (0) rr (r, t) + f (0) (r, t) + (r, t) = * E t t f r (t ) rr (r, )d + f (t ) (r, )d.

+ * * t (r) t (r) Если на растущей поверхности r = r (t) задано внешнее давление p(t), а на нерастущей * r = R1 - внутреннее pi (t), т.е. есть r (r* (t)) = p(t), r (R1 ) = pi (t), то радиальная и окружная компоненты напряжений определяются выражениями r r* rr (r, t) = (r, t)r 2dr + c(t)R1 3 dr p(t), r r R1 r*2 (r 2 + R1 ) R1 (r*2 + r 2 ) r* r 2 pi (t) (r, t)r 2dr 3 dr (r, t) = p(t) 2 *2 + r r (r R1 ) r 2 (r*2 R1 ) 2 R 1 R1 r r* r (r, t)r dr 3 dr + 2 (r, t)r 2dr.

r r R r R1 Здесь функция определяется решением интегро-дифференциального уравнения t (r, t) + f rr (0) (r, t) + f rr (r, t ) (r, )d = t* (r, t) r (r, t) (r, t) = E, r r в котором f rr = f rr E, t t (r ).

* В § 5, 6 представлены модели объемного и фронтального отверждения сферического изделия в условиях выше изложенных моделей. Приведены результаты численного анализа.

Система для определения радиальной rr (r, t) и тангенциальной tt (r, t) компонент напряжений в процессе объемного отверждения t (r, t) + f rr (t ) (r, )d = F1 (r, t), tt 1 (r, t) = ( rr tt ), (27) r r rr 2 + ( rr tt ) = 0, r r (r, t ) определяется интегральным уравнением где функция t (r, t) + f rr (t ) (r, )d = F1 (r, t), с принятыми обозначениями f rr = f rr, f rr = f rr (t) E, 2(1 ) (r, t) F(r, t) F1 (r, t) =, F(r, t) = E t.

(1 ) r r 102, кг/см 0 -0. -1.0 r, см -1.5 0 1 3 5 7 9 Рис. 11. Пространственно-временное распределение радиальных rr = rr (r, t ) напряжений;

t(с): 1(132), 2(264), 3(396), 4(528), 5(660), 6(792), 7(924), 8(1320) Численное решение системы (27) проведено с начальными и граничными условиями вида:

t = 0 : rr (r) = 0, tt = rr (R1, t) = 0, rr (R, t) = 0.

.

Динамика распределения радиальных компонент напряжений (рис. 11) указывает на их сжимающий характер на протяжении всего процесса отверждения Третья, четвертая и пятая главы посвящены вопросам математического моделирования твердофазной плунжерной экструзии вязкоупругого структурированного материала с учетом кинетики уплотнения материала и процесса структурных превращений. Рассматриваются различные режимы деформирования: постоянная скорость перемещения плунжера и постоянное напряжение на плунжере пресса. Течение материала описывается в массовых лагранжевых координатах. Для описания вязкоупругого поведения материала используется модель Максвелла.

В третьей главе представлена математическая модель твердофазной экструзии с условием заданного усилия на плунжере.

В первом параграфе третьей главы проводится литературный обзор по рассматриваемой главах 3 – 5 проблеме.

Достаточно активно ведутся работы в области математического моделирования СВС-экструзии: разработка тепловых моделей СВС-экструзии и прессования [19-2ё], разработка неизотермических реодинамических моделей СВС-экструзии, учитывающих реологическое поведение материала и позволяющих изучить не только температурный режим, но и кинетику уплотнения, напряженно-деформированное состояние материала [22].

В работе [23] изучено распределение плотности вязкого пористого тела при одностороннем сжатии в предположении о постоянстве деформаций по всему объему (однородности деформирования);

охарактеризованы область использования полученных решений и условия применимости гипотезы об однородности деформирования во взаимосвязи с гипотезой о слабой зависимости z свойств тела от координат. При большой вязкости системы критерий Рейнольдса, играющий важную роль в определении характера течения, оказывается малой величиной. Малое значение z=H (t) этого параметра позволяет заменить уравнения движения системы условиями равновесия.

Для получения изделий из порошковых тугоплавких композиций в последнее время все большее распространение находят процессы твердофазной плунжерной экструзии, при которых происходит выдавливание материала из камеры (пресс формы) через матрицу под действием плунжера пресса. Результаты исследования процессов твердофазной экструзии широко представлены в работах [24-26].

Для описания поведения сжимаемых порошковых z=-L(t) тугоплавких композиций требуется учет их реологического поведения в сочетании с процессами деформирования и уплотнения. Эти особенности нашли отражение в теории уплотнения вязких сжимаемых материалов, основанной на реологическом подходе [27]. В работе [22] сравнением скоростей отдельных процессов уплотнения и выдавливания выделены Рис. 12. Модель простейшие предельные случаи экструзии: выдавливание экструзии предельно уплотненного материала и выдавливание без уплотнения.

Рассмотрим (§ 2 - 4) процесс выдавливания вязко-упругого композитного сжимаемого материала из цилиндрической камеры в направляющий калибр под действием плунжера пресса. Начало координат z = 0 свяжем с центром отверстия основания камеры. Вся область течения разделяется на два отдельных участка: движение внутри камеры между перемещающимся поршнем z = H(t) и выходным отверстием z = 0+ и течение внутри калибра между z = 0 (входным отверстием в калибр) и свободной поверхностью z = -L(t), t - время. Возмущениями в обеих областях при переходе из камеры в отверстие пренебрегаем.

Движение смеси в каждой из областей считаем одномерным с одной ненулевой компонентой скорости Vz = V.

Первоначальная длина заготовки равна H 0, радиус поперечного сечения r0. На дне камеры имеется круглое отверстие радиуса r1, через которое происходит выдавливание материала в направляющий цилиндрический калибр того же радиуса. Ось симметрии заготовки примем в качестве оси z, положительное направление которой противоположно направлению движения поршня (рис. 12).

Определяющая система уравнений процесса экструдирования с начальными и граничными условиями в декартовых координатах имеет вид:

V G + =G, (28) z (t ). (29) + ( V ) = 0, (30) t z a a 2a = D 2 + (a, );

+V (31) t z z t = 0 : = 0 ( z ), a = a0, (0) = 0 ;

(32) m m S k (t ) k (t ) V (0+ ;

t ) = 1 1, V (0 ;

t ) = 1, (33) S0 1 (0;

t ) 1 (0;

t ) a a = = 0;

(34) z z = H (t ) z z = = (t );

(35) z = H (t ) = 0. (36) z = L ( t ) Из обобщенной модели Максвелла следует, что в условиях принятого одномерного течения тензор напряжения имеет одну ненулевую компоненту z. В силу малости числа Рейнольдса - вязкость несжимаемой основы материала велика - уравнения движения можно заменить условиями равновесия. В рассматриваемом случае течения уравнение равновесия имеет вид z / z = 0. Следовательно, напряжение z в камере не зависит от осевой координаты, а является функцией лишь временной координаты: z (t ). Уравнение (28) – дифференциальное уравнение состояния Максвелла, где = (a) = 0 exp(ka), G = G (a) = (a) / tr вязкость и модуль сдвига, соответственно, зависящие от степени структурных превращений a (концентрации межмолекулярных сшивок);

(30) – уравнение неразрывности. Здесь относительная плотность материала, а плотность среды определяется произведением 1, где 1 плотность несжимаемой основы.

Обычно выдавливание материала происходит в матрицу, имеющую коническую форму, которая в данной работе не учитывается. Это допущение справедливо при относительно короткой конической части l H 0. В случае одномерной модели движение в конической матрице характеризуется двумя характеристиками: относительным изменением плотности и гидравлическим сопротивлением, зависящим от приложенного усилия:

(0, t ) / (0+, t ) = B ( (0) ), S11 (0, t )V (0, t ) = f ( (0) ), где S1 площадь сечения калибра, (0, t ), (0+, t ) плотность, V (0, t ), V (0+, t ) скорость материала на отверстии в калибре и камере, соответственно. Величины B и f определяются формой матрицы и реологическими свойствами материала. В случае ( ) отсутствия доуплотнения в калибре B = 1;

зависимость f (0) для простоты ( (0) ) = k m. Параметры kr, m могут аппроксимируется степенной зависимостью: f r быть определены на основе опытных данных. С учетом сохранения массы материала получаем скорости (33) на отверстии в камере и калибре, соответственно;

S0 площадь сечения камеры.

Будем трактовать процесс изменения структуры в ходе деформирования, как деформацию связей молекулярно-кинетических единиц под действием приложенного механического поля интенсивностью. Изменение числа межмолекулярных сшивок материала происходит в результате наложения двух процессов: разрушения и образования. По аналогии с задачами химической кинетики суммарную скорость превращения структуры по схеме A B будем определять по формуле = k1 exp( p )a + k2 (1 a ), где a = a ( z;

t ) степень структурных превращений, k1 exp( p ) коэффициент скорости разрушения структуры (характеризует снижение эффективной энергии активации), k2 = const коэффициент скорости накопления числа сшивок. Диффузионно-кинетическое уравнение с учетом, что отличны от нуля лишь осевые составляющие скорости и степени структурных превращений примет вид (31).

Введем обобщенные (лагранжевы) координаты ( q, tl ): лагранжево время tl совпадает с реальным временем t, массовая координата q имеет смысл относительной массы материала, находящейся между переменным сечением z и свободной поверхностью z = -L(t). Таким образом, z S q = M / S0 1 = (, t )d + 1 (, t )d.

S0 L ( t ) Система (28)-(36) с введением новых координат запишется V G + =G, = (t ), (37) q V + 2 = 0, (38) t q a a 2a = D 2 2 + k2 [1 a a exp( p ) ];

+V (39) t q q t = 0 : = 0 (q), a = a0 (q), = 0 ;

(40) m m S1 kr (t ) k (t ) V+ (q* ;

t ) =, V (q* ;

t ) = r, (41) S0 1 (q* ;

t ) 1 (q* ;

t ) a a = = 0, (42) q q =q0 q q =q* = 0. (43) q = В полученной системе = k1 / k2, q элементарная масса, находящаяся на отверстии в * рассматриваемый момент времени t.

Система (37)-(43) допускает решение в явном виде относительно скорости течения в камере V = V (q, t ), = ( q, t ), выраженные через степень структуризации a = a (q, t ).

Для численного нахождения последней используется метод прогонки.

В рамках принятых допущений предполагается отсутствие сопротивления движению материала в калибре: трение о стенки калибра пренебрежимо и, в силу условия (43) на свободной поверхности, напряжение в калибре равно нулю. Это соответствует реальной ситуации, наиболее часто встречающейся на практике в СВС-экструзии тугоплавких материалов, когда процесс уплотнения в основном заканчивается в камере, и происходит выдавливание уже жесткого материала в воздух или направляющий калибр, имеющий диаметр больший, чем диаметр выдавленного стержня. В силу принятых допущений доуплотнения материала в калибре не происходит, поэтому в области 0 q q, * соответствующей калибру, плотность будет зависеть лишь от массовой координаты q.

Каждый бесконечно малый объем выдавленного материала имеет в калибре плотность и степень структуризации, приобретаемые при прохождении отверстия. Выдавленный стержень движется с переменной скоростью того элементарного объема, который в этот момент находится в отверстии. Указанная скорость определяется из закона сопротивления (41) (второе соотношение).

В четвертой главе рассмотрена модель экструзии (37)-(39), (41)-(43) с условием постоянства скорости плунжера пресса: V q =q = V0. Рассматриваемые начальные условия:

t = 0 : (q,0) = 0 + ( m 0 )q / q0, a (q,0) = 0, (0) = 0.

t, c Исследуются вопросы устойчивости течения. Неустойчивый режим течения наблюдался экспериментально при больших значениях напряжения (или при достаточно больших значениях произведения скорости деформации и времени релаксации). В теоретических работах наступление неустойчивого 108, Па режима течения также связывалось с достижением определенного Рис. 13. Изменение напряжения = (t ) в критического значения величины камере;

V0 = 0.4165 104 м/c;

напряжения. В настоящей работе приведены теоретические результаты, 0 = 9 109 Па с;

показывающие, что неустойчивый режим a0 = 0;

tr = 0.03 с;

n = 1/ 3;

kr = 0.105 102 с течения может наблюдаться как в области малых скоростей, так и в области больших скоростей. Устойчивый же режим течения реализуется лишь в промежуточном интервале значений скоростей. На рис. 13, 14 показано изменение напряжения в камере, степени структуризации в калибре. Из-за малости скорости выдавливания характерное время выдавливания велико (1600 с), и процессы вязкоупругого деформирования и структурных превращений успевают проходить, они взаимодействуют, и по механизму “обратной связи” происходят колебания напряжения во времени. В рамках предложенной модели неустойчивые режимы деформирования вызваны взаимодействием вязкоупругого деформирования материала с a процессом структурных изменений под действием внешних нагрузок.

Результаты теоретических исследований сопоставлены с результатами экспериментов.

В пятой главе сравнением характерных времен отдельных процессов структурирования, уплотнения и выдавливания выделены качественно различные режимы экструзии: выдавливание q / q предельно структурированного и полностью уплотненного материала, Рис. 14. Распределение степени структуризации a = a (q ) в калибре;

условия на рис выдавливание без структурирования и уплотнения, переходные режимы уплотнения и структурирования. Отмечено, что выдавливание предельно структурированного и полностью уплотненного материала протекает в стационарном режиме, выдавливание без уплотнения – квазистационарном.

Рассмотрим систему уравнений (37)-(43) Предположим, что на плунжере пресса задано постоянное усилие: = 0. Введем безразмерные параметры:

q t, =, q, [ 0,1];

= x, [ 0,1];

q= q0 t 0 S k m V = = 1, p = p 0 ;

V = *, V * = 1 r 0 ;

0 S0 V = t x D / q 2, = k2 / k1.

Здесь V скорость выдавливания в калибр полностью уплотненного материала, * t x характерное время процесса. Задача имеет три масштаба характерных времен:

tv = q0 / V *, tc = 0 / 0, ts = 1/(k1 exp( p )), где tv характерное время выдавливания, tc уплотнения, ts структурирования экструдируемого материала. Обозначая c = t c / tv, s = t s / t v, v = t v / t v = 1 (44) безразмерные времена компактирования (уплотнения), структуризации, выдавливания, соответственно, запишем определяющую систему процесса в виде V V c = 1, = 1, + 2 = 0, (45) q q a a 2a + [ exp( p )(1 a ) a ];

+V = (46) q 2 s q V =0 = 0, =0 = 0 (q ), a =0 = 0;

(47) S 1 = 1, V+ (q * ;

) =, V (q * ;

) = 0, (48) (q * ;

) S1 (q * ;

) q = a a = = 0, (49) q q * q =1 q =q = 0. (50) q = Система (45)-(50) допускает полуаналитическое решение: степень структурирования определяется численно с использованием метода прогонки. Проводится численный анализ различных режимов экструдирования материала.

as s Рис. 15. Зависимость предельной структуризации as s = lg(1/ s ), = от s = lg(1/ s ) Зависимость предельной структуризации as от параметра представлена на рис. 15. Правая ветвь кривой соответствует полному структурированию (разрушению межмолекулярных сшивок) экструдируемого материала. Заметим, что при уменьшении параметра предельная структуризация as уменьшается. Левая ветвь на рис.

15 соответствует выдавливанию мало структурированного материала. В этом случае скорость структуризации значительно меньше скорости выдавливания среды. Возрастающий участок кривой соответствует переходным режимам. Здесь скорость структурирования увеличивается, приближаясь к скорости выдавливания, но успевает проходить лишь частичное разрушение межмолекулярных сшивок.

c c c от Рис. 16. Зависимость предельной плотности c = lg(1/ c ) параметра Зависимость предельной плотности c от параметра c = lg(1/ c ) представлена на рис. 16: правая ветвь – полное уплотнение материала, левая – выдавливание неуплотненного материала (“пробковый режим”), возрастающая ветвь характеризует промежуточные режимы частичного уплотнения.

c 3 1 s Рис. 17. Плоскость характерных времен ( s, c ) Рассмотренные и проанализированные в работе режимы выдавливания, определяемые соотношениями между характерными временами (44), схематично можно изобразить на плоскости ( s, c ) :

рис. 17.

Область 1( s c 1 ) экструзия предельно структурированного и полностью уплотненного материала. В этом случае выдавливание осуществляется в стационарном режиме, при котором степень структуризации и плотность не меняются со временем, то есть a = 0, = 0, причем выдавливание происходит с постоянной скоростью V = 1, t t равной скорости выдавливания полностью уплотненного материала.

Область 2 ( s 1, c 1 ) переходные режимы структурирования: выдавливание частично структурированного материала (без структурирования), полностью уплотненного материала.

Область 3 ( s 1, c 1 ) переходные режимы уплотнения: выдавливание частично уплотненного материала (без уплотнения), предельно структурированного материала.

Область 4 ( s 1, c 1 ) Выдавливание без структурирования и уплотнения:

поршневой режим экструзии. Распределение скорости в камере указывает на ее V = 0, что следует из уравнения неразрывности в однородность по массовой координате:

q = 0. Следовательно, в данном случае реализуется квазистационарный случае, если t режим, при котором плотность не меняется со временем.

Проведенные исследования указывают на качественно различные режимы твердофазной экструзии полимерных и композиционных материалов. Свойства изделия, формируемого в процессе экструзии, в значительной степени определяются соотношениями между выше введенными характерными временами процесса. Особое значение здесь имеет знание реологических свойств материала и их зависимости от пористости и степени структурированности.

Основные результаты и выводы 1. Разработаны математические модели напорного и куэттовского (между двумя коаксиальными цилиндрами) течений структурированной жидкости, которые предполагают наличие разных типов структурных единиц и взаимосвязано рассматривают кинетику их превращений и течение. В рамках этих моделей исследуется реологические особенности поведения структурированных систем. На основе численного анализа моделей определена область параметров, соответствующая явлению сверханомалии вязкости, в условиях которой реологическая кривая имеет немонотонный характер. Выявлены условия образования пространственно неоднородных состояний – диссипативных структур. Исследован вопрос о динамике развития этих структур или их стабилизации.

2. Разработана вязкоупругая модель формирования осесимметричных изделий (цилиндр, сфера) в ходе отверждения при совместном протекании реакций полимеризации и кристаллизации в рамках “несвязанной теории” термовязкоупругости. Показано, что структурные изменения отверждаемого материала влияют на температурный режим процесса и динамику напряженного состояния. Учет кристаллизации является важным аспектом представленной модели. Указанная модель позволяет определять реальное распределение температуры, глубины полимеризации и кристаллизации в процессе отверждения и, тем самым, направленно влиять на свойства получаемого изделия.

3. Показано, что в зависимости от условий проведения процесса реализуется низкотемпературный или высокотемпературный режимы отверждения. Распределение внутренних напряжений в формируемом изделии существенным образом зависит от реализации того или иного режима отверждения. Кроме того, наблюдается качественное изменение картины внутренних напряжений при определенных условиях отверждения, что свидетельствует о неустойчивости формирования внутренних напряжений по отношению к кинетике проводимого процесса. Определены критические условия, разделяющие качественно различные режимы отверждения, которые зависят от безразмерных критериев Семенова процессов полимеризации и кристаллизации.

4. Разработана теория твердофазной плунжерной экструзии, базирующаяся на прямом рассмотрения процессов структурообразования, кинетики процессов уплотнения и вязкоупругого деформирования поведения материала. Проведено численное исследование особенностей в распределении плотности, напряжения и степени структуризации сформированного образца с учетом неоднородного начального распределения плотности по объему материала и зависимости вязкости от плотности и степени структуризации.

5. Сформулированы общие закономерности конкурентного протекания процессов структурирования, уплотнения и выдавливания. Найдены критериальные условия реализации качественно различных режимов экструзии: выдавливание предельно структурированного и полностью уплотненного материала, выдавливание без структурирования и уплотнения, переходные режимы уплотнения и структурирования.

Отмечено, что выдавливание полностью структурированного и уплотненного материала протекает в стационарном режиме деформирования. Показано, что свойства изделия, формируемого в процессе экструзии, в значительной степени определяются соотношениями между характерными временами процессов.

6. Проведено исследование неустойчивости процесса твердофазной экструзии структурированных вязкоупругих систем. На основе численных расчетов получены результаты, показывающие, что неустойчивый режим течения может наблюдаться как в области малых скоростей, так и в области больших скоростей. Предложены разные механизмы неустойчивости, соответствующие этим областям скоростей выдавливания.

Показано, что устойчивый режим деформирования реализуется лишь в промежуточном интервале значений скоростей. Проведено качественное сопоставление теоретических и экспериментальных результатов, касающихся неустойчивости течения структурированных систем. Обнаруженная впервые возможность неустойчивости при малых скоростях выдавливания, указывает на важность проведенных исследований для определения оптимальной области технологических параметров экструзии.

Список цитируемой литературы 1. Bulgin D., Wratten R. Measurements of steady flow characteristics of rubber at high rates of shear. Proceedings of the Second International Congress of Rheology, Eddited by V.G.W. Harrison.

London. 1954.

2. Белкин И.М., Виноградов Г.В., Леонов А.И. Ротационные приборы. Измерение вязкости и физико-химических характеристик. М.: Машиностроение. 1967. 220 с.

3. Лифшиц А.Е., Рыбников Г.Л. Диссипативные структуры и течение Куэтта неньютоновской жидкости // ДАН СССР. 1985.Т.281. № 5. С. 1088-1093.

4. Столин А.М., Худяев С.И., Бучацкий Л.М.. К теории сверханомалии вязкости структурированных систем // ДАН СССР.1978. Т.243. № 2. С. 430-433.

5. Бучацкий Л.М., Манелис Г.Б., Столин А.М., Худяев С.И.. К теории процессов структурных превращений в текучих системах // ИФЖ. 1981. Т.XLI. №6. С. 1032-1039.

6. Иванова А.Н., Тарнопольский Б.Л. Устойчивость одномерных стационарных режимов в химических реакторах и бифуркации многомерных режимов // В сб. ”Матем. методы в хим.

кинетике” под ред. Быкова В.И. Новосибирск. 1990. С. 74-96.

7. Столин А.М., Худяев С.И. Образование пространственно-неоднородных состояний структурированной жидкости в области сверханомалии вязкости // Докл. АН СССР.1981.

Т.260. № 5. С. 1180-1184.

8. Худяев С.И., Ушаковский О.В. Пространственная неоднородность и автоколебания при течении структурированной жидкости // Матем. моделирование. 2002. Т.14. № 7. С. 53-73.

9. Томашевский В.Т., Шалыгин В.Н., Яковлев В.С. Моделирование условий возникновения технологических дефектов в структуре намоточных композитных полимерных материалов // Механика композитных. материалов. 1980. № 5. С. 895-900.

10. Коротков В.Н., Турусов Р.А., Джавадян Э.А., Розенберг Б.А. Технологические напряжения при отверждении цилиндрических изделий из полимерных композитных материалов // Механика композитных материалов. 1986. № 1. С. 118-123.

11. Турусов Р.А., Метлов В.В. Формирование напряжений при фронтальном отверждении композитов // Механика композитных материалов. 1985. № 6. С. 1079-1085.

12. Клычников Л.В., Давтян С.П., Беляева Н.А., Худяев С.И., Ениколопян Н.С. Об остаточных напряжениях при фронтальном отверждении сферического образца с учетом физико-механических явлений перед фронтом отверждения // Механика композитных материалов. 1985. № 3. С. 492-496.

13. Холпанов Л.П., Закиев С.Е., Помогайло А.Д. Моделирвание фронтальной полимеризации с учетом фазовых переходов во фронте реакции // ДАН, 2004. Т. 395. № 2. С. 211-214.

14. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упруго пластичесих тел. М.: Наука. 1987. 471 с.

15. Staydinger H., Signer R., Mig G., Hegnstenberg I. Die polimer formaldehyde ein Modell der Zellulose // J. Phys. Chem. 1927. Vol. 126. P. 425-429.

16. Bartczak Z. // Appl. Polym. Sci. 2002. V. 86. P.1396.

17. Ошмян В.Г., Патлажан С.А., Remond Y. Принципы структурно-механического моделирования полимеров и композитов // Высокомолек. соед., Серия А, 2006. Т. 48. № 9. С.

1-12.

18. Матвеенко В.П., Шардаков И.Н., Бегишев В.П., Писцов Н.В. Simulation of thermomechanical processes in crystallizing polymer // Int. J. Polymer Engineering and Science.

1997. V. 37. № 8. P. 1270-1279.

19. Стельмах Л.С., Столин А.М. Математическое моделирование СВС-экструзии. Ч.2.

Реодинамические модели // ИФЖ. 1993. Т. 64. № 3. С. 90-94.

20. Стельмах Л.С., Столин А.М., Мержанов А.Г. Макрореологическая теория СВС компактирования // Докл. РАН. 1995. №1. Т. 344. С. 72-77.

21. Stolin A.M., Stelmakh L.S., Zhilyaeva N.N. and Khusid B.M. The phenomenological theory of high-temperature deformation of self-propagating high-temperature synthesis (SHS) products // J.

of Materials Synthesis and Processing. 1995. V. 3. №. 1. P. 19-23.

22. Стельмах Л.С., Столин А.М. О квазистационарном режиме и предельных случаях горячей экструзии порошковых материалов // Докл. РАН. 1992. Т. 322. №4. С. 732-736.

23. Бучацкий Л.М., Столин А.М., Худяев С.И. Кинетика изменения распределения плотности при горячем прессовании вязкого пористого тела // Порошковая металлургия. 1986. № 2. С.

37-42.

24. Баронин Г.С., Кербер М..Л., Радько Ю.М., Минкин Е.В. Переработка полимеров в твердой фазе. Физико-химические основы. М.: Машиностроение-1. 2002. 320 с.

25. Сверхмодульные полимеры: Пер. с англ. / Под ред. Чифери А., Уорда И., Малкина А.Я.

Л.: Химия. 272 с.

26. Славнов Е.В., Скульский О.И., Тимофеев В.М. Ориентационные эффекты в образцах после твердофазной гидроэкструзии при высокотемпературном нагружении… // Пластические массы. 1997. № 8. С.18-22.

27. Стельмах Л.С., Столин А.М., Хусид Б.М. Реодинамика выдавливания вязких сжимаемых материалов // ИФЖ. 1991. Т. 61. № 2. С. 268-276.

Список публикаций автора по теме диссертации Клычников Л.В., Давтян С.П., Беляева Н.А. Об остаточных напряжениях при 1.

фронтальном отверждении сферического образца с учетом физико-механических явлений перед фронтом отверждения // 1-й Всесоюз. симпозиум по макроскопической кинетике и газовой динамике: Тез. докл. Алма-Ата, 1984. С. 66-67.

Клычников Л.В., Давтян С.П., Беляева Н.А., Худяев С.И., Ениколопян Н.С. Об 2.

остаточных напряжениях при фронтальном отверждении сферического образца с учетом физико-механических явлений перед фронтом отверждения // Механика композитных материалов. 1985. № 3. С. 492-496.

Клычников Л.В., Беляева Н.А., Давтян С.П., Худяев С.И. Распределение 3.

технологических внутренних напряжений для цилиндрического образца с учетом кинетики отверждения // III Всесоюзный симпозиум “Теория механической переработки полимерных материалов”: Тез. докл. Пермь, 1985. С. 25.

Беляева Н.А., Клычников Л.В., Давтян С.П., Худяев С.И. Численный анализ 4.

напряженного состояния в цилиндрических изделиях, полученных фронтальным отверждением: Препринт ОИХФ АН СССР. Черноголовка, 1987. 36 с.

Беляева Н.А. Моделирование процесса накопления внутренних напряжений при 5.

термической обработке древесины // Республиканская конф. Коми НЦ Уро АН СССР:

Тез. докл. Сыктывкар, 1987. С.101.

Беляева Н.А. Анализ напряженного состояния изделия цилиндрической формы // 6.

Республиканская конф. "Разработка и внедрение средств автоматизации в сферу науки, пр-ва, управления": Тез. докл. Сыктывкар, Коми НЦ Уро АН СССР, 1988. С.18.

Беляева Н.А., Клычников Л.В., Давтян С.П., Худяев С.И. Образование внутренних 7.

напряжений в процессе получения изделий цилиндрической формы // Механика композитных материалов. 1988. № 6. С.1060-1068.

Беляева Н.А., Клычников Л.В., Давтян С.П., Худяев С.И. Анализ напряженного 8.

состояния в процессе формирования цилиндрических изделий с учетом совместного протекания полимеризации и кристаллизации // III Всесоюз. конф. по нелинейной теории упругости: Тез. докл. Сыктывкар, 1989.

Беляева Н.А. Исследование влияния неизотермических условий синтеза на некоторые 9.

механические свойства полимеров: Дис. канд. физ.-мат. наук. Черноголовка, 1990. 164 c.

Беляева Н.А. Исследование влияния неизотермических условий синтеза на некоторые 10.

механические свойства полимеров: Автореферат дис.канд. физ.-мат. наук. Черноголовка, 1990. 22 c.

Беляева Н.А. Совмещенные процессы и напряженное состояние формируемого 11.

цилиндрического изделия // XI Коми Респ. молодежная научная конференция: Тез. докл.

Сыктывкар, 1990.

Беляева Н.А., Клычников Л.В., Давтян С.П., Худяев С.И. Напряженное состояние при 12.

формировании цилиндрических изделий в ходе параллельного протекания полимеризации и кристаллизации // Механика композитных материалов. 1991. № 6. С.

1091-1099.

Беляева Н.А., Клычников Л.В., Давтян С.П., Худяев С.И. Особенности кинетики 13.

отверждения и напряженное состояние при формировании симметричных изделий в условиях совместного протекания полимеризации и кристаллизации // Материалы Всерос. конф. Переработка полимерных материалов в изделиях. Ижевск: Ижевский механический ин-т, 16-19 ноября 1993. С.19-21.

Беляева Н.А., Клычников Л.В. Численный анализ кинетики отверждения и напряженного 14.

состояния в цилиндрических изделиях, полученных в условиях совместного протекания полимеризации и кристаллизации // 8-я Всерос. конф. Математические методы в химии (ММХ-8): Тез. докл. Тула: Тульский гос. технич. ун-т, 27-29 окт. 1993. С.112.

Беляева Н.А., Худяев С.И. Регулирование процесса формирования цилиндрического 15.

изделия в ходе отверждения // 2-я международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы фундаментальных наук": Материалы. Москва, январь 1994. Т.5. c.

Беляева Н.А., Беляев Ю.Н. Исследование напряженного состояния в ходе сушки 16.

древесины // 2-я международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы фундаментальных наук": Материалы. Москва, январь 1994. Т. 1. С. 74-76.

Беляева Н.А., Беляев Ю.Н. Формирование цилиндрического изделия в ходе 17.

регулируемого процесса отверждения // Симпозиум "Математические модели деформируемого тела": Материалы. СПб, июнь 1994. 8 с.

Беляева Н.А., Беляев Ю.Н. Регулирование уровня внутренних напряжений 18.

формируемого изделия в ходе совмещенного процесса полимеризации и кристаллизации // Вестник Сыктывкарского университета. Вып. 1. 1995. С.119-127.

Беляева Н.А., Клычников Л.В. Метод интегрального уравнения в задаче объемного 19.

отверждения // Вестник Сыктывкарского университета. Вып.2. 1996. С.125-134.

Беляева Н.А., Титова Н.Н., Юркина Е.А. Модель фронтального отверждения 20.

цилиндрического изделия с точки зрения механики непрерывно наращиваемого твердого тела // Труды Сыктывкарского лесного института. Т. 1. 1997. С. 44-52.

Беляева Н.А., Паршукова Н.М. Термовязкоупругая модель отверждения сферического 21.

изделия // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Вып.4. 2001. С.115-124.

Беляева Н.А., Худяев С.И., Д.Л.Горст Д.Л. Неоднородное течение Куэтта 22.

cтруктурированной жидкости // Вестник Сыктывкарского ун-та. Сер.1. Вып.5. 2002. C.

43-48.

Беляева Н.А., Беляев Д.Ю., Горст Д.Л. Куэттовское течение структурированной 23.

жидкости // Минобразования РФ. ОФАП. Свид. об отрасл. Регистрации разработки № 3462. 2004.

Беляева Н.А., Беляев Д.Ю. Неоднородные структуры при течении Куэтта 24.

псевдопластической жидкости // Минобразования РФ. ОФАП. Свид. об отрасл.

регистрации разработки № 3463. 2004.

Беляева Н.А. Пространственно неоднородные течения структурированной жидкости в 25.

плоском зазоре // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела: Тр. научн. школы акад. В.В. Новожилова. СПб.: СПбГУ, 2004. Вып.8. C. 174-190.

Беляева Н.А., Вербовик А.Н. Напорное течение структурированной жидкости // 26.

Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела: Тр. научн.

школы акад. В.В. Новожилова. СПб.: СПбГУ, 2005. Вып.8. C. 151-156.

Беляева Н.А., Размыслов Р.Ю. Сдвиговое течение структурированной жидкости // 27.

Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела: Тр. научн.

школы акад. В.В. Новожилова. СПб.: СПбГУ, 2005. Вып.8. C. 186-193.

Беляева Н.А. Неоднородное течение структурированной жидкости // Математическое 28.

моделирование. 2006. Т.18. №6. С. 3-14.

Беляева Н.А. Математические модели течения структурированной жидкости // 29.

Федеральное агентство по образованию РФ. ОФАП. Свид. об отрасл. регистрации разработки № 5699. 01.03. 2006.

Беляева Н.А. Самоорганизация куэттовского течения структурированной жидкости // 30.

Материалы III Международной летней научной школы. Кемерово, Россия. 22-28 июня 2006 г. С.321-326.

Беляева Н.А., Столин А.М., Стельмах Л.С., Смолев Л.В. Численное моделирование 31.

твердофазной экструзии вязкоупругого структурированного материала // Четвертая Всероссийская школа-семинар по структурной макрокинетике: Тез. докл. 22-25 ноября 2006 г. Черноголовка: ИСМАН, 2006. С. 86-87.

Беляева Н.А. Вязкоупругая модель отверждения композитного изделия // Труды XXXVI 32.

Уральского семинара “Механика и процессы управления”. Екатеринбург, 2006. Т. 1. С.

228-235.

Беляева Н.А., Осипова В.В. Формирование цилиндрического изделия в ходе объемного 33.

отверждения // Федеральное агентство по образованию. ОФАП. Свид. об отрасл.

регистрации разработки. № 7944. 30.03 2007.

Беляева Н.А., Смолев Л.В. Экструзия с заданным усилием на плунжере пресса // 34.

Федеральное агентство по образованию. ОФАП. Свид. об отрасл. регистрации разработки № 7945. 30.03 2007.

Беляева Н.А. Твердофазная экструзия с условием постоянства скорости плунжера пресса 35.

// Федеральное агентство по образованию. ОФАП. Свид. об отрасл. регистрации разработки № 7946. 30.03 2007.

Столин А.М., Стельмах Л.С., Беляева Н.А. Структурные теории в реологии // Программа 36.

и тезисы докладов конференции “Реология и физико-химическая механика гетерофазных систем”. Карачарово, 23-28 апреля 2007 г.

Беляева Н.А., Столин А.М., Стельмах Л.С. Кинетика уплотнения и структуризации в 37.

твердофазной экструзии вязкоупругой среды // Инженерная физика. 2007. № 5. С. 34-41.

Беляева Н.А., Столин А.М., Стельмах Л.С. Влияние структуризации на процесс 38.

твердофазной экструзии вязкоупругого материала // Материалы Международной конференции. XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды. Саратов: Саратовский госуниверситет. 2007. С. 55-58.

Беляева Н.А. Математические модели деформируемых структурированных материалов.

39.

Монография. Сыктывкар: Изд-во СыктГУ, 2008. 116 с.

Беляева Н.А. Структуризация в процессах деформирования вязкоупругих систем // 40.

Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.

Ижевск: Удмуртский госуниверситет. 2008. Вып. 2. С. 178-179.

Беляева Н.А., Столин А.М., Пугачев Д.В., Стельмах Л.С. Неустойчивые режимы 41.

деформирования при твердофазной экструзии вязкоупругих структурированных систем // ДАН, 2008. Т. 420. № 6. С. 777-780.

Беляева Н.А., Столин А.М., Стельмах Л.С. Неустойчивость в твердофазной экструзии 42.