Математическое моделирование явлений, происходящих в твердых телах в результате высокоскоростного удара и взрыва
На правах рукописи
Хабибуллин Марат Варисович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ, ПРОИСХОДЯЩИХ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ В РЕЗУЛЬТАТЕ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО УДАРА И ВЗРЫВА 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Томск 2003
Работа выполнена в Томском государственном университете и Томском государственном архитектурно строительном университете.
Научный консультант – доктор физико-математических наук, профессор Белов Николай Николаевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гулидов Александр Иванович доктор физико-математических наук, профессор Светашков Александр Андреевич доктор физико-математических наук, профессор Скрипняк Владимир Альбертович Ведущая организация – Тверской государственный университет
Защита состоится 21 ноября 2003 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при Томском государственном университете по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.
Автореферат разослан 20 октября 2003 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Христенко Ю.Ф.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследований. Интерес к высокоскоростному удару и взрыву, проявляемый в настоящее время, объясняется как традиционной сферой их приложений (например, военная техника, защита космических аппаратов от ударного воздействия микрометеоритов и частиц техногенного мусора), так и появлением новых технологических про цессов, где используются высокоскоростной удар и взрыв (ударно-волновое прессование порошковых материалов, сварка и резание взрывом, взрывное формование и упрочнение). Использование полиморфных фазовых превращений при ударно-волновом нагружении порошковых материалов позволяет синтезировать новые вещества, например, искус ственный алмаз из графита или алмазоподобные модификации нитрида бора из его графитоподобной формы.
Многочисленные приложения находят задачи о высокоскоростном ударе и взрыве в физике высоких давлений, сейсмологии, геофизике, астрофизике, планетологии, строительстве, ледотехнике.
Исследования поведения веществ при интенсивных импульсных воздействиях были и остаются ориентирован ными главным образом на прогнозирование реакции материалов и конструкций на динамические нагрузки.
Исследования явлений, возникающих при высокоскоростном ударе и взрыве, экспериментальными методами без глубокого теоретического анализа часто не дают необходимого результата, несмотря на большие материальные и тех нические затраты. Инженерные методы расчета также не отвечают в полной мере запросам практики ввиду ограничен ности сферы их применения.
Широкое применение математических методов на базе современных ЭВМ привело к появлению нового эффек тивного метода исследования сложных физических процессов – вычислительному эксперименту, который в наиболее развитой форме включает в себя следующие этапы:
- формализацию исследуемого явления, выделение наиболее существенных его сторон, что приводит к определенной физической и математической модели;
- разработку численной методики, реализующей математическую модель;
- программирование и формальную отладку программы;
- проведение многовариантных расчетов и обработку их результатов;
- сравнение результатов расчетов с данными физических (лабораторных или натурных) экспериментов и других тео ретических исследований.
В дальнейшем, если это необходимо, проводится уточнение физической и математической модели, модифицирование численной методики, усовершенствование программы, и соответствующие этапы вычислительного эксперимента по вторяются вновь.
Основная трудность при математическом моделировании высокоскоростного удара и взрыва состоит в построе нии системы определяющих уравнений, адекватно описывающих поведение среды в широком диапазоне изменения физических параметров – деформаций, напряжений, скоростей деформаций, температур. Действительно, в полной тео рии высокоскоростного удара и взрыва необходимо учитывать упругое деформирование и пластическое течение, фазо вые переходы и химические превращения, ионизацию и излучение, изменение микроструктуры материала в процессе разрушения и обратное влияние структурных изменений на физико-механические характеристики и напряженно деформированное состояние. Численных методик, в полной мере учитывающих все указанные факторы, в настоящее время нет. Объясняется это, во-первых, большой неопределенностью современных знаний о реальных свойствах мате риалов (термодинамических, прочностных, реологических), не позволяющих корректно формулировать математиче ские модели. Во-вторых, численная реализация математических моделей часто меняет не только количественную точ ность, но и качественное поведение решений, а также не способна надлежащим образом учитывать физические явле ния, имеющие слишком малый масштаб.
На практике используются разнообразные модели, в той или иной степени учитывающие перечисленные выше физические процессы. Каждая из этих моделей имеет свою область применимости.
При выборе или разработке модели необходимо исходить из требований точности описания физики процесса, учитывая при этом, что модель не должна быть чрезмерно громоздкой и допускать эффективную реализацию на ЭВМ средней мощности. Используемые при этом численные методики, помимо очевидных свойств аппроксимации, устой чивости и сходимости, должны удовлетворять некоторым дополнительным требованиям, которые определяются физи ческими особенностями рассматриваемых задач. Имеющийся опыт показывает, что определяющими условиями успеха вычислительного эксперимента являются удачно сконструированная модель явления, численный метод решения соот ветствующей математической задачи и способ реализации алгоритма на ЭВМ.
Таким образом, актуальность исследований явлений, происходящих в твердых телах в результате высокоскоро стного удара и взрыва, определяется существующей в них потребностью при создании надежных методов расчета ре акции материалов и конструкций на интенсивные динамические воздействия.
Развитие математической теории пластичности связано с фундаментальными трудами Аратюняна Н.Х., Генки Г., Гольденблата И.И., Грина А., Друккера Д., Ильюшина А.А., Ивлева Д.Д., Ишлинского А.Ю., Качанова Л.М., Койте ра В., Мясникова В.П., Надаи А., Новожилова В.В., Поздеева А.А., Прагера В., Пэжины П., Работнова Ю.Н., Трусделла К., Фрейденталя А., Хилла Р. и др.
Волновые задачи теории пластичности рассмотрены в работах Гольдсмита В., Григоряна С.С., Демьянова Ю.А., Зволинского Н.В., Кольского Г., Компанейца А.С., Кристеску Н., Кукуджанова В.Н., Ленского В.С., Малверна Л., Но вацкого В.К., Рахматулина Х.А., Сагомоняна А.Я., Соколовского В.В., Шапиро Г.С. и др.
Математическому моделированию явлений, возникающих в твердых телах при высокоскоростном ударе и взры ве, посвящены работы Агурейкина В.А., Аптукова В.Н., Ахмадеева Н.Х., Белова Н.Н., Броуда Г., Глушко А.И., Году нова С.К., Гридневой В.А., Гулидова А.И., Демидова В.Н., Джонсона Г., Джонсона Дж., Жукова А.В., Загускина В.Л., Киселева А.Б., Киселева С.П., Кондаурова В.И., Корнеева А.И., Куропатенко В.Ф., Куррана Д., Кэрролла М., Ли Е., Макарова П.В., Мак-Глауна Дж., Мейдера Ч., Мержиевского Л.А., Морозова Н.Ф., Нигматулина Р.И., Никифоровского В.С., Радченко А.В., Рини Т., Рузанова А.И., Садырина А.И., Сапожникова Г.А., Скрипняка В.А., Тарвера К., Уилкинса М., Уокерли Дж., Фомина В.М., Фореста Ч., Херрманна В., Холина Н.Н., Шемякина Е.И., Шильпероорда А., Югова Н.Т., Яненко Н.Н. и др.
Построение реалистических физических и математических моделей поведения материалов при интенсивных кратковременных воздействиях было бы невозможно без создания динамических методов получения высоких давлений и сжатий, основанных на использовании мощных ударных волн. Эти методы, а также новые методы измерений, позво ляющие определять физические параметры в условиях высокоскоростного удара и взрыва, были развиты в работах Ададурова Г.А., Альтшулера Л.В., Бакановой А.А., Банкрофта Д., Баума Ф.А., Бражника М.И., Бриджмена П., Бушмана А.В., Горансона В., Дерибаса А.А., Дремина А.Н., Жучихина В.И., Забабахина Е.И., Зельдовича Я.Б., Златина Н.А., Иванова А.Г., Канеля Г.И., Кормера С.Б., Крупникова К.К., Леденева Б.Н., Мак-Куина Р., Марша С., Меллори Д., Но викова С.А., Пирсона Дж., Райнхарта Дж., Синицына М.В., Станюковича К.П., Степанова Г.В., Трунина Р.Ф., Уолша Дж., Урлина В.Д., Фортова В.Е., Фунтикова А.И., Христиана Р. и др.
Результаты экспериментальных исследований упругопластических, прочностных и кинетических свойств мате риалов различных классов при ударно-волновом нагружении приведены также в работах Бельского В.В., Глушака Б.Л., Голубева В.К., Греди Д., Грехема Р., Грина Л., Захарова В.М., Зурека А., Исаева А.Н., Калюжнова О.В., Каупертвейта М., Кеннеди Дж., Кинслоу Р., Киппа М., Козлова Е.А., Козорезова К.И., Коняева А.А., Лобанова В.Ф., Маршалла Е., Мещерякова Ю.И., Молодца А.М., Мурра Л., Наймарка О.Б., Одинцова В.А., Платовой Т.М., Пугачева Г.С., Разоренова С.В., Розенберга Дж., Романченко В.И., Саяпина В.И., Соболева Ю.С., Соловьева В.С., Степанова Э.С., Сурначева И.Н., Титова В.М., Толкачева В.Ф., Уткина А.В., Хорева И.Е., Хоува П., Чудова Л.А. и др.
Цель работы. Разработка численных методик и программ применительно к задачам высокоскоростного удара и взрыва (вычислительный эксперимент), решение с помощью разработанных программ некоторых характерных задач, анализ и обоснование полученных результатов.
Научная новизна работы. Разработаны новые математические модели и подходы, а также модификация метода крупных частиц для исследования задач высокоскоростного удара и взрыва. Создан пакет алгоритмов и программ для ЭВМ, в рамках которого поставлены и решены новые задачи, имеющие как фундаментальный, так и прикладной ха рактер.
Достоверность результатов работы подтверждается проведением тестовых расчетов. Вычисления проводились на различных расчетных сетках, проверялось выполнение законов сохранения, результаты сравнивались с расчетами по другим схемам, а также с найденными аналитическими и имеющимися экспериментальными данными. Практически везде наблюдалось достаточно удовлетворительное согласие.
Практическая значимость работы. Разработанный комплекс программ позволяет рассчитывать реакцию мате риалов и конструкций на интенсивные динамические воздействия, такие, как высокоскоростной удар и взрыв. Приме нение полученных в настоящей работе результатов, необходимых для проведения численных экспериментов, в проект но-конструкторских работах по созданию перспективных образцов новой техники уменьшит количество дорогостоя щих физических испытаний, а значит и сроки проектирования.
Работа выполнена в соответствии с направлениями научных исследований НИИ прикладной математики и меха ники при Томском госуниверситете в рамках тем, открытие которых было продиктовано запросами ряда предприятий, связанных с разработкой новой техники, а также поддержана грантами РФФИ и Минобразования РФ.
Созданные численные методики и программы внедрены в расчетную практику заинтересованных организаций, что зафиксировано четырьмя актами. Получен патент на изобретение.
Совокупность полученных в работе результатов можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в развитии математического моделирования явлений, происходящих в твердых телах в результате высокоскоростного удара и взрыва.
Основные положения, выносимые на защиту 1. Математическая модель уплотнения сыпучих пористых сред в ударных волнах.
2. Математическая модель поведения хрупких пористых материалов при ударно-волновом нагружении.
3. Подход к описанию сдвигового разрушения пластичных материалов при динамических нагрузках.
4. Подход к описанию поведения разрушенного материала при растяжении и сжатии.
5. Развитие метода крупных частиц для расчета двумерных упругопластических течений материалов в областях с под вижными границами.
6. Численные методики и программы, позволяющие исследовать поведение материалов в условиях высокоскоростного удара и взрыва.
7. Результаты вычислительных экспериментов.
Личный вклад автора заключается в физико-математической постановке задач, разработке и модифицирова нии численных методик и программ, проведении расчетов и анализе конкретных результатов.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VI Все союзном семинаре по бронебаллистике (Томск, 1984), XI и XII Всесоюзной конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Волгоград, 1989;
Тверь, 1991), III Всесоюзном совещании «Физика и газоди намика ударных волн» (Владивосток, 1989), VI межотраслевой конференции «Проблемы создания конструкций из композиционных материалов и их внедрения в специальные отрасли промышленности» (Миасс, 1989), VII Всесоюзной конференции «Уравнения состояния веществ» (Эльбрус, 1990), Международной конференции «Проблемы защиты Зем ли от столкновения с опасными космическими объектами» (Снежинск, 1994), Международной конференции «Сопря женные задачи физической механики и экологии» (Томск, 1994, 1996, 1998, 1999), Международной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы окружающей среды» (Томск, 1995), IV Международной конференции «Компьютерное конструирование перспективных материалов и технологий» (Томск, 1995), Международной конферен ции «Use of research conversion results in the Siberian institutions of higher education for international cooperation» (Томск, 1995), Международной конференции «Mathematical modeling and cryptography» (Владивосток, 1995), Международной конференции «Materials instability under mechanical loading» (Санкт-Петербург, 1996), Международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1996), Международной кон ференции «Mathematical methods in physics, mechanics and mesomechanics of fracture» (Томск, 1996), Международной конференции «Космическая защита Земли» (Снежинск, 1996), Международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (Томск, 1997), Всероссийской конференции «Современные методы и достижения в механике сплошных сред» (Москва, 1997), III Сибирском конгрессе «Прикладная и индустриальная математика» (Новосибирск, 1998), V и VI Международной конференции «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 1998, 2001), I и II конферен ции «Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения» (Саров, 1998, 2001), I и II Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1998, 2000), V-VII Всероссийской конференции «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (Томск, 1998 2000), конференции «Материалы и изделия из них под воздействием различных видов энергии» (Москва, 1999), V Ме ждународной конференции «Advanced materials and processes» (Томск, 1999), конференции «Современные проблемы механики» (Москва, 1999), конференции «Фундаментальные и гуманитарные науки в архитектурно-строительной высшей школе» (Томск, 1999), Всероссийской конференции «Математическое моделирование процессов в синергети ческих системах» (Улан-Удэ, 1999), V Международной конференции «Lavrentyev readings on mathematics, mechanics and physics» (Новосибирск, 2000), III Международной конференции «Внутрикамерные процессы и горение в установ ках на твердом топливе и в ствольных системах» (Ижевск, 2000), XII конференции «Химическая физика процессов го рения и взрыва» (Черноголовка, 2000), II Международной конференции «Окуневские чтения» (Санкт-Петербург, 2000), XXX конференции «Неоднородные конструкции» (Екатеринбург, 2000), Дальневосточной математической школе семинаре имени академика Е.В. Зотова (Владивосток, 2001), а также на научных семинарах НИИ прикладной матема тики и механики при Томском госуниверситете.
Публикации. По теме диссертации опубликовано более 120 научных работ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка лите ратуры, насчитывающего 210 наименований, и приложения, включающего 4 акта о внедрении полученных результатов и патент на изобретение, изложена на 264 страницах и содержит 126 рисунков и 9 таблиц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность проводимых исследований;
сформулирована цель работы;
раскрыты ее научная новизна и практическая значимость;
приведены сведения о достоверности результатов работы, ее апробации, личном вкладе и публикациях автора;
изложены основные положения, выносимые на защиту;
описаны структура и объем работы;
дано краткое содержание диссертации.
В первой главе представлена математическая модель сжимаемой упруго-идеальнопластической среды, позво ляющая описывать уплотнение пористых материалов (тела с внутренними пустотами или сыпучие среды) в ударных волнах, которые при этом могут испытывать полиморфные превращения;
приведены уравнения состояния веществ, модели и критерии отрывного и сдвигового разрушения пластичных и хрупких материалов при динамическом нагру жении, а также модель ударно-волнового инициирования детонации в твердых ВВ;
изложен подход к описанию пове дения частично поврежденной или разрушенной среды при растяжении и сжатии;
поставлены начальные и граничные условия.
Уравнения неразрывности, импульсов и энергии для материального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью, записываются в виде uu d d d ) ) udV = n dS, + dV = n udS, dV = 0, dt dt dt 2 V V V где t - время, - плотность, u - вектор скорости, - удельная внутренняя энергия, n - единичный вектор внешней нор ) )) ) ) мали к площадке, = pg + s - тензор напряжений, p - давление, g - метрический тензор, s - девиатор тензора напряжений.
В качестве условия текучести принято условие Мизеса – Шлейхера:
J 2 f (p ) = 0, 1) ) где f - неубывающая функция своего аргумента, J 2 = s 2 : g - второй инвариант девиатора тензора напряжений.
Это приводит к следующим соотношениям между девиатором тензора напряжений и тензором скоростей деформаций:
() ) 1 ) ) ) ) ) 2µ d d :g g = s J + s, )) dp 2µ s : e f (p ) dt dp )) при J 2 = f (p ), 2µ s : e f (p ), 2f (p ) = где dt dp )) 0 при J 2 f (p ) или J 2 = f (p ), 2µ s : e f (p ), dt ) ( ) )1 ds ) ) ) ) ) µ - модуль сдвига, d = u + u T - тензор скоростей деформаций, s J = + s w w s - коротационная производная dt ( ) ( )g ) ) 1 ))) ) девиатора тензора напряжений в смысле Яуманна – Нолла, w = u T u - тензор вихря, e = d d :g - девиатор 2 тензора скоростей деформаций.
Для ряда практически важных материалов в условиях динамических нагрузок можно принять f = s, для сыпучих сплошных сред обычно полагают f = (Y0 + kp )2.
Здесь s - предел текучести при простом растяжении в условии текучести Губера – Мизеса;
Y0, k - коэффициенты сцепления и трения в условии текучести Кулона.
Удельный объем пористой среды v представляется в виде суммы удельного объема пор v p и удельного объема матрицы v m :
v = vp + vm.
Пористость материала характеризуется объемом пустот в единице объема vp =, v либо параметром v =, vm которые связаны соотношением =.
При вычислении эффективного модуля сдвига и предела текучести используются следующие зависимости:
µ 6c 2 + 12µ m 1, s ( ) = sm, µ( ) = m 1 02 0 9c 0 0 + 8µ m где µ m, sm, 0 - модуль сдвига, предел текучести, начальная плотность материала матрицы;
c 0 - объемная скорость звука в невозмущенном материале матрицы.
Уравнение состояния пористой среды получается на основе p- модели. Суть данной модели состоит в том, что если пренебречь поверхностной энергией пор и давлением содержащегося в них газа, то уравнение состояния пористо го материала имеет тот же вид, что и для материала матрицы, а давление в пористом материале p и давление в материа ле матрицы p m связаны соотношением pm p=.
Таким образом, если уравнением состояния матричного материала является p m = p m (m, ), то уравнение состояния этого материала, содержащего поры, будет иметь вид p (, ) p= m, m где = - плотность пористого материала, m - плотность материала матрицы.
При выводе уравнения, описывающего эволюцию параметра, привлекаются модельные построения, основан ные на предположении, что поведение исходной среды с пористостью 0 и характерным размером пор a 0 при дина мическом нагружении аналогично поведению отдельной сферической частицы радиуса b0 из матричного материала, в центре которой находится сферическая пора радиуса a 0. Причем внешний радиус полой сферической частицы b0 вы бирается таким образом, что отношение общего объема частицы с порой к объему матричного материала равно 0.
Предполагая, что материал матрицы несжимаем и описывается упруго-идеальнопластической моделью с условием те кучести Губера – Мизеса, можно получить дифференциальное уравнение второго порядка, определяющее изменение пористости при динамическом сжатии:
p c ( ) d d dt, dt 2 = p p c ( ) при p, 1 sm Q1, (1) 4µ m ( 0 ) при 0 1, 3( 1) 2µ ( ) 2µ ( ) 2 где p c ( ) = sm 1 m 0 + ln m 0 при 1 2, sm ( 1) sm 3 2 sm ln при 2 00 1, 3 [ ] [ ] d d 2 d 2 1 d, 2 = 2 ( 1)1 3 1 3 + ( 1) 4 Q1, 4 3, dt dt 6 dt dt 2µ m 0 + sm 2µ m 0 a 1 =, 1 =, 2 =, 3sm ( 0 1) 2µ m + sm 2µ m + sm 00 - остаточная пористость.
При расчете ударно-волнового уплотнения сыпучей пористой среды реальный материал, представленный твер дыми частицами, между которыми действуют силы сухого трения, и пустотными промежутками, моделируется сфери ческой частицей из матричного материала, удовлетворяющего условию текучести Кулона, в центре которой находится сферическая пора. Тогда из решения задачи о деформировании одиночной поры под действием изотропного напряже ния можно получить кинетическое уравнение, описывающее изменение пористости в сыпучем материале. Пренебрегая упругой и упругопластической стадиями затекания поры, получим 2k 2k Y0 3 2 k d d Y0 32 k при p 1, (2) Y0 2 Q 2, dt, dt 2 = p + k 1 1 k 1 3+ 4 k d d 2 3 2k d 2 3(32 k ) где Q 2,, 2 = 1 dt dt (3 + 4k )1/ 3 dt 2 1 2 (6 k ) 2 0a 3 2k d 3(32 k ), 2.
2 = 3(6 k ) 4 / 3 dt 1 3Y0 ( 0 1) 2 / Интерполяционное широкодиапазонное уравнение состояния, содержащее небольшое количество легко опреде ляемых параметров, имеет вид p m ( m, ) = p s ( m ) + ( m, ) m [ s ( m )], (3) [( )] 3c 0 3 1 + exp 1 1 при 1, 1 4 1 s ( m ) = где {[( )] } 9c 0 exp 1 1 3 1 2 при 1, 2 2 2 1 + 3 L1 2 ln(1 + ) d s 2k p s ( m ) = 2, ( m, ) = + 1 + 0 k1, m d m 3 3 (1 + L1 2 ) 2 ln 1 (1 4 ) 2 2 k1 = 4 1 +, =, L1 = 3c 2 ( 3) ;
4 m 0 1, 2, 3, 4 - константы материала матрицы, 0 - термодинамический коэффициент Грюнайзена.
Приведенное уравнение состояния не учитывает плавление материала явным образом. Кривая плавления должна быть задана дополнительным соотношением. На основе критерия Линдемана такая зависимость записывается в виде (область равновесия кристаллической и жидкой фаз в переменных энергия - плотность заменяется линией) { } 3R µ exp[ 0 (1 )] Tп 0 exp[ 0 (1 )] 2 3 T0, п ( m ) = s ( m ) + A где R µ - универсальная газовая постоянная, А - атомный вес, Tп0 - температура плавления на начальной изохоре, T0 =293°K.
Граница двухфазной области жидкость - пар для стали и алюминия задается следующими формулами:
0, p m = 1 1 m при m k, pk k 0, p m = 1 + 1,51 m при m k.
pk k Здесь p k, k - давление и плотность в критической точке.
Влияние внутренней энергии на модуль сдвига и предел текучести учитывается следующим образом:
µ(, ) = µ( )1, s (, ) = s ( )1 при п ;
п п µ(, ) = 0, s (, ) = 0 при п.
В диапазоне умеренных сжатий ударные адиабаты многих материалов хорошо описываются линейным соотно шением между скоростью ударной волны D и массовой скоростью за ударной волной u вида D = c 0 + qu.
Тогда из условий на поверхности разрыва легко найти выражения для давления и внутренней энергии на ударной адиа бате:
c 2 (1 ) (1 )p H.
p H ( m ) = 0 0, H ( m ) = (4) [1 q(1 )] 2 Ударная адиабата (4) используется в качестве опорной кривой при (m ) = 0 0.
m При численном моделировании ударно-волновых явлений определенное распространение получило уравнение состояния p m ( m, ) = c 0 ( m 0 ) + 0 m.
(5) Механизм отрывного разрушения пластичных материалов определяется последовательно развивающимися про цессами зарождения, роста и слияния микропор или микротрещин в объемах, находящихся под действием растяги вающих напряжений.
Модель роста сферических пор основывается на предположении о существовании в материале сферических оча гов разрушения и анализе динамики их роста. В качестве меры поврежденности используется скалярный параметр, введенный ранее. Кинетика разрушения вязкопластической среды получена в виде d a = 0 при p s ln, dt 2 ( 1) d d d 2 d 1 sm Q1,, 2 = p + a s ln + dt dt 1 3 ( 1) dt dt a при p s ln, (6) где a s,, - константы материала, подбираемые сопоставлением результатов численного моделирования с экспери ментальными профилями скорости свободной поверхности. Моментом завершения локального макроскопического разрушения твердого тела при таком подходе является достижение пористостью критического значения *.
Рассмотренное выше уравнение описывает эволюцию параметра в диапазоне 1 00 *.
Разрушение хрупких материалов происходит в результате зарождения, роста и слияния микротрещин и без по явления заметных остаточных деформаций. Микроразрушения в таких материалах могут возникать при сжатии под действием девиаторных напряжений, что приводит к падению сопротивления растяжению.
Максимальное упругое полураскрытие монетообразной трещины под действием растягивающего напряжения, перпендикулярного плоскости трещины, определяется соотношением 2(1 ) 0 = Rp m, µ m где - коэффициент Пуассона материала матрицы, R - радиус трещины. Предполагая, что при раскрытии трещины ее берега образуют эллипсоид вращения с полуосями 0, R, R, найдем объем трещины 8(1 ) Vt = R p. (7) 3µ m Пусть в процессе нагружения не происходит образования новых трещин, а деформирование материала сопрово ждается раскрытием изначально существующих с характерным размером R, тогда из (7) следует 8(1 ) N 0 R 3 p.
t = (8) 3µ m Здесь t - относительный объем трещин, N 0 - число трещин в единице объема.
Считая, что до момента фрагментирования поврежденного трещинами материала объем пор остается неизмен ным и равен 0, получим t = 0 =. (9) Подставляя (9) в (8), окончательно имеем 3µ m ( 0 ) p= при 0. (10) 8(1 )N 0 0 R 3 Из уравнения (10) вытекает, что с увеличением радиуса трещин рост несплошностей облегчается.
Рост трещин определяется соотношением 1 dR = F1 + F2, (11) R dt p p * s i s * при s i s*, при p p*, F1 = 1 F2 = где 0 при s i s*, при p p*, R R 3) ) s :s - интенсивность напряжений, s* = s 0 R, p * = p 0 1 R, R * = si = ;
s 0, p0, 1, 2, - константы 2 3 N * * материала.
Критерием полной фрагментации является равенство R = R*.
При растяжении разрушенный материал описывается как порошок, движение которого происходит в соответст вии с уравнениями для среды, лишенной напряжений. Относительное содержание пустот при этом находится из урав нения состояния пористого вещества с нулевым давлением в частицах.
Аналогично ведет себя разрушенный материал и при сжатии, если величина пористости в нем превышает крити ческое значение **. Переход разрушенной среды в пластическое состояние определяется условием текучести Кулона, схлопывание пор в ней – соотношением (2).
Предполагается также, что изменение пористости в расплавленном веществе происходит без усилий.
В качестве критерия сдвигового разрушения пластичных материалов используется критерий, основанный на p предельной величине удельной работы пластических деформаций A*. Приращения этой работы в единице объема в терминах некорректированных напряжений (в расчетах применяется процедура приведения напряжений к поверхности текучести) вычисляются по формуле dA p = s (s i s ).
3µ p Считается, что при A p = A * элемент материала либо полностью разрушается, либо в нем образуются радиальные тре щины, перпендикулярные окружным растягивающим напряжениям (в случаях осевой и точечной симметрий). Поведе ние поврежденного трещинами материала имитируется путем приведения тензора напряжений к такому виду, при ко тором главные окружные компоненты равняются нулю. Локальным критерием разрушения в этом случае является пре дельная величина относительного объема микропустот.
Результаты экспериментальных и теоретических исследований показывают, что основные особенности меха низма ударно-волнового инициирования детонации в твердых ВВ определяются их исходной неоднородностью.
Уравнение макрокинетики содержит два члена, первый из которых описывает процесс воспламенения, а второй – последующее развитие реакции (концепция горячих точек):
m x 1 dw 1 xy = A1w 1 + B1w 1 w 2 p z, dt 1 * где w1, 1 = - массовая доля и относительный удельный объем ВВ;
w 2 = 1 w 1 - массовая доля продуктов детона ции;
*, A1, B1, m, z - константы, определяемые привязкой к экспериментальным данным;
x, y - зависящие от геомет рии горения показатели степени.
Для описания ВВ (i=1) и продуктов его разложения (i=2) применяется уравнение состояния в форме Ми – Грю найзена, где в качестве опорной кривой используется изэнтропа с постоянным коэффициентом Грюнайзена 0i в виде Ci Di Ei si = + + 0i.
R 1i exp(R 1i i ) R 2i exp(R 2i i ) 0i i 0 i Здесь i = ;
Ci, Di, E i, R1i, R 2i, 0i - эмпирические постоянные.
i В качестве дополнительных условий, замыкающих систему уравнений, описывающих в рамках гидродинамиче ской модели движение реагирующей среды, вводится аддитивность объемов фаз смеси 1 w1 w = + 1 и предполагается, что в среде осуществляется локальное равновесие по давлению p = p1 (1, 1 ) = p 2 ( 2, 2 ).
Кроме того считается, что разница между суммой двух внутренних энергий - энергии продуктов взрыва, определенной по изэнтропе, и энергии ВВ, определенной по адиабате Гюгонио, - и полной внутренней энергией элементарного объе ма распределяется между компонентами в соответствии с отношением внутренней энергии продуктов взрыва, опреде ленной по изэнтропе, к внутренней энергии ВВ, определенной по адиабате Гюгонио. Тогда [ w1 H1 w 2s 2 ] H1, = + [ w1 H1 w 2 s 2 ] s 2, 1 = H1 + 2 s w1 H1 + w 2 s 2 w1 H1 + w 2 s 01 C1 1 D1 1 01 R 11 R + 01 (1 1 ) + exp(R 111 ) exp(R 211 ) - внутренняя энергия ВВ на адиабате Гюгонио.
где H1 = 21 01 (1 1 ) Для исследования полиморфных превращений в ударных волнах используется односкоростная, однотемпера турная, с одинаковым давлением фаз модель двухфазной упругопластической среды.
Давление в пористой смеси фаз находится из решения нелинейной системы уравнений p m = p m1 (m1, 1 ) = p m 2 (m 2, 2 ), T = T1 (m1, 1 ) = T2 (m 2, 2 ), = 1 + 2, = 11 + 2 2.
m m1 m Здесь T - абсолютная температура;
1, 2 - массовые концентрации низкотемпературной и высокотемпературной фаз;
1 + 2 = 1.
Уравнения состояния фаз, которые при выполнении условий термодинамического равновесия определяют в ко ординатах p m T кривую фазового равновесия, имеют вид ( ) Si ( mi, i ) = S0i + ln 1 + i si mi, T0 q i ( mi ) S Si Ti (mi, i ) = i, p mi (mi, i ) = Ti2, mi mi i i mi 9c 0i {exp[2i (1 x i )] 2 exp[i (1 x i )] + 0i }, si ( mi ) = где 2 i 3R µ q i ( mi ) = exp 0i 1 x i, x 3 = 0i, =, i mi A i=1, 2 - индекс фазы;
S - энтропия;
S0i, i, 0i - константы.
Макрокинетическое соотношение для расчета фазовых переходов записывается следующим образом:
U d i 1 при i 0, ( 1)i (1 2 ) 0, = c i d exp 0 exp dt hT kT L где с - размерная константа, равная единице;
d - характеристическая температура Дебая;
h - постоянная Планка;
U 0 p энергия активации;
k - постоянная Больцмана;
i = i + m TSi - химический потенциал;
L - сдвиговая прочность mi кристаллической решетки.
Один из простейших способов определения девиаторных напряжений для двухфазной смеси основан на опи сании некоторой гомогенной среды, причем s = 1 s1 + 2 s 2, µ = 1µ1 + 2µ 2.
Начальные условия соответствуют тому факту, что при t=0 j – ый материал многообластной среды находится в однородном ненапряженном и недеформированном состоянии:
d )) s = 0, p = 0, = 0, u = u 0 j, = 0 j, = 0 j, = 0, dt R = R 0 j, A p = 0, w 1 = 1, 1 = 1, T = T0, S = 0, = 0 j.
Внешние границы взаимодействующих тел свободны от напряжений:
) n = n = 0.
На контактных границах ( n n 0 ) реализуются условия скольжения без трения:
[n ] = 0, [n u ] = 0, n = 0, где - единичный вектор касательной к площадке.
Во второй главе приводится описание модифицированного численного метода крупных частиц для исследова ния двумерных упругопластических течений материалов в областях с подвижными границами;
дан сравнительный ана лиз высокоскоростного проникания сильно пористого цилиндра из стальных опилок с аномальным ходом ударной адиабаты и равного ему по массе и диаметру монолитного в стальную мишень конечной толщины, наблюдается хоро шее совпадение результатов расчетов и экспериментов;
установлен характер влияния начальной пористости и скорости ударника на глубину кратера при проникании в стальную полубесконечную преграду цилиндров из стали и композита ВНЖ90 (W – 90%, Ni – 7%, Fe – 3%).
Ударное сжатие тел с высокой пористостью приводит к большому нагреванию вещества. При этом плотность с возрастанием давления может не увеличиваться, как обычно, а уменьшаться, и ударная адиабата будет иметь аномаль ный ход.
На рис. 1 показаны начальные участки ударной адиабаты монолитного железа и ударной адиабаты железного порошка с насыпной плотностью 2,3 г/см3, вычисленной в предположении, что поры закрываются при сколь угодно малых давлениях. Использовалось уравнение состояния с линейной p m m связью (5).
p, ГПа Рисунок 1 – Ударные адиабаты монолитного (справа) и пористого железа На рис. 1 также приведены экспериментальные точки с указанием возможного разброса и расчетные точки для широкодиапазонного уравнения состояния (3). Видно, что экспериментальная ударная адиабата отстоит от адиабаты идеальнопористого тела на всем протяжении на некоторый интервал. Это соответствует тому, что даже при высоких давлениях (~13 ГПа) сохраняется некоторая остаточная пористость и, следовательно, не все вещество переходит в жид кость. Недосжатие до монолитного состояния составляет примерно 4 %.
Поведение материалов описывается моделью упруго-идеальнопластической среды с условием текучести Губера – Мизеса. Термодинамические эффекты, связанные с адиабатическим сжатием вещества, учитываются с помощью ин терполяционного широкодиапазонного уравнения состояния (3). Изменение пористости при динамическом сжатии оп ределяется соотношением (1). Кинетика отрывного разрушения имеет вид (6). В качестве критерия сдвигового разру шения используется критерий, основанный на предельной величине работы пластических деформаций. Предполагается также, что ударник, составленный из стальных опилок, ведет себя как разрушенный.
В рамках принятой модели в осесимметричной постановке рассмотрим численное решение двух задач об ударе компактного монолитного цилиндра из стали диаметром 3 мм и массой 0,17 г и равного ему по массе и диаметру по ристого цилиндра из стальных опилок с насыпной плотностью 2,8 г/см3 ( 0 =2,8, 0 =0,64) по стальной монолитной пластине толщиной 1 см. Скорость удара - 3,69 км/с.
На рис. 2 приведена фотография разреза преград после взаимодействия с монолитным и пористым ударником.
Возникающий при ударе компактного монолитного цилиндра кратер имеет форму, близкую к полусфере, и следующие размеры: глубина - 5,2 мм, диаметр на исходной лицевой поверхности мишени - 9 мм. При соударении с пористым ци линдром, длина которого - 8,5 мм, образуется кратер глубиной 8,7 мм и диаметром 8,2 мм с полусферическим дном.
Таким образом, при близости диаметров кратер от пористого цилиндра на 67 % глубже кратера от монолитного. Ско рость удара такова, что в обоих случаях развивающиеся напряжения и деформации не приводят к образованию отколов и сквозного отверстия в пластине.
Рисунок 2 – Разрез стальной пластины после соударения с монолитным (вверху) и пористым ударниками На рис. 3 показана полученная в расчете картина проникания монолитного цилиндра через 11 мкс после удара и отмечены зоны разрушения ().
r, см Рисунок 3 – Проникание монолитного ударника В случае соударения компактного монолитного цилиндра с пластиной в обоих телах возникают ударные волны с пиковым давлением 103,3 ГПа ( sm =1 ГПа). Разрушение цилиндра начинается с тыльной стороны в результате взаи модействия волн разрежения, распространяющихся от его свободных поверхностей. Скорость затухания первичной волны сжатия в материале мишени очень велика. Ее ослабление происходит главным образом волнами разрежения, распространяющимися от тыльной поверхности проникающего ударника. Давление в материале мишени в окрестности контактной границы снимается до 0,7 ГПа за время t=1,6 мкс. Отражение ударной волны от задней стенки преграды не оказывает существенного влияния на формирование кратера, глубина которого равна 5,0 мм, диаметр - 8,2 мм. С тыль ной стороны пластины образуется выпучивание высотой 0,9 мм (в эксперименте - 0,9 мм).
Рис. 4 иллюстрирует результат расчета процесса проникания пористого цилиндра в момент времени 17 мкс. На нем также обозначена область плавления ( ).
В процессе проникания длинного сильно пористого цилиндра можно выделить три характерные стадии. Началь ная стадия имеет ярко выраженный волновой характер и сопровождается значительной деформацией и полным плав лением головной части стержня, плотность материала которой вследствие значительного адиабатического разогрева оказывается меньше нормальной ( =0,862 в плоской волне сжатия, распространяющейся со скоростью 4,82 км/с).
Затем наступает фаза установившегося проникания, когда материал ударника поступает на дно углубляющегося крате ра и растекается по его стенкам. Так как скорость удара достаточно велика, то в стержне образуется неподвижная отно сительно дна кратера ударная волна, отделяющая область плавления от остальной части стержня, находящейся в не возмущенном состоянии. Когда тыльное сечение цилиндра проходит через стоячую ударную волну, наступает заклю чительная стадия проникания, определяющая окончательную глубину кратера.
r, см Рисунок 4 – Проникание пористого ударника При ударе пористого цилиндра развивающееся максимальное давление, равное 38,1 ГПа ( sm =0,64 ГПа), ослаб ляется иначе и гораздо медленнее. Давление в материале мишени вблизи контактной границы остается почти постоян ным на протяжении всей стадии установившегося проникания, а его ослабление на заключительном этапе занимает значительное время (что препятствует образованию отколов в пластине). В соответствии с этим ударник образует кра тер глубиной 8,6 мм и диаметром 8,2 мм. Высота выпучивания тыльной поверхности преграды составляет 2,1 мм (в эксперименте - 1,8 мм).
Для установления характера влияния начальной пористости 0 и скорости ударника u 0 на глубину кратера l проведена серия расчетов проникания в стальную полубесконечную преграду цилиндров из стали и композита ВНЖ90.
Диаметр (3 мм) и масса ударников остаются постоянными. Высота монолитного цилиндра (относительный объем пус тот 0 =0 %) равна его диаметру.
На рис. 5 приведена глубина проникания стальных ударников. С увеличением скорости и пористости ( u 0 1, км/с) наблюдается ее рост. Разница между глубиной кратера от пористого ударника и глубиной от монолитного в диа пазоне малых скоростей соударения быстро растет с увеличением скорости соударения, а затем при дальнейшем уве личении скорости ее рост практически прекращается. Превышение глубины кратера над длиной ударника наблюдается при 0 =41 и 64 %, начиная со скоростей 3 и 6 км/с соответственно. При 0 =80 % во всем диапазоне изменения скоро сти удара глубина кратера меньше длины ударника.
l, мм 0% 41% 64% 80% 0 2 4 6 8 u0, км/с Рисунок 5 – Глубина проникания стальных ударников в зависимости от скорости соударения и их пористости На рис. 6 приведена глубина проникания ударников из ВНЖ90. Качественно картина не меняется. Превышение глубины кратера над длиной ударника наблюдается при 0 =41, 64 и 80 %, начиная со скоростей удара 1,5, 2 и 6 км/с соответственно.
l, мм 0% 41% 64% 5 80% 2 4 6 0 u0, км/с Рисунок 6 – Глубина проникания ударников из ВНЖ90 в зависимости от скорости соударения и их пористости В третьей главе представлены результаты численных экспериментов при исследовании ударно-волнового прес сования порошка диоксида циркония на баллистическом стенде (непрямой метод взрывного прессования);
предложена методика расчета прямого взрывного уплотнения порошковых материалов в тонкостенных металлических трубках;
описываются результаты расчетов деформирования и разрушения пористой керамики из Al2O3 при высокоскоростном ударе;
результаты численного моделирования удовлетворительно согласуются с имеющимися экспериментальными данными.
С одной стороны, предварительная обработка порошков тугоплавких соединений импульсным давлением во многих случаях существенно облегчает дальнейшее формирование компактных изделий методами порошковой метал лургии. С другой стороны, появляется возможность непосредственно в ударной волне получать крупные агломераты либо цельные компакты частиц с плотностью, близкой к плотности монолита. В том и другом случае необходимо зна ние оптимальных режимов ударно-волновой обработки.
Один из путей нахождения оптимальных параметров ударно-волнового сжатия состоит в получении количест венной информации об эволюции напряженно-деформированного состояния на основе компьютерного моделирования динамики уплотнения порошка при соответствующей экспериментальной проверке адекватности модели в реперных точках начальной и конечной стадии прессования.
Ниже приведены результаты экспериментально-теоретического исследования ударно-волнового прессования порошка ультрадисперсного тетрагонального диоксида циркония на баллистическом стенде.
Ускорение стального цилиндрического ударника осуществлялось с помощью пороховой баллистической пушки калибром 23 мм. Диапазон варьирования скорости соударения составил 0,3...2 км/с. Скорость ударника регистрирова лась электроконтактным методом с погрешностью 1,5 %. Ампула сохранения представляла собой толстостенный раз борный цилиндр из высокопрочной стали, закрепленный на стволе баллистической установки. Внутрь ампулы поме щался исследуемый порошок, а с торцов располагались подвижный и неподвижный пуансоны. Плоский торцевой удар цилиндром производился по подвижному пуансону из стали. Дробление и уплотнение исследуемого порошка при пе ремещении ударника внутрь ампулы сохранения осуществлялось прямой и отраженными волнами сжатия в объеме между подвижным и неподвижным пуансонами. В исследованном интервале варьирования скорости бойка максималь ное давление в подвижном пуансоне составило 5...43 ГПа.
Кинематические параметры однократного сжатия в ампуле сохранения регистрировались в серии экспериментов методом игольчатых датчиков, помещенных в образец – малоплотную среду. Конечная плотность пресс-таблетки слу жила реперной точкой для нахождения кинетических констант в математической модели уплотнения порошка.
В качестве исходного использовался порошок ZrO2, получаемый термическим разложением растворов солей, распыленных в высокочастотной плазме (плазмохимическим синтезом). В ходе такого процесса капля раствора за вре мя около 1 с превращается в твердую частицу порошка. В результате частицы порошка представляют собой полые сферы или их обломки со средним диаметром 0,25 мкм.
Исследования показали, что максимальное дробление полых сфер на фрагменты происходит в диапазоне скоро стей удара 250...500 м/с. С ростом начальной скорости примерно до 650 м/с толщина пресс-таблетки уменьшается. При дальнейшем увеличении скорости нагружения регистрируется расслоение материала в таблетке.
После нагружения ударом морфология частиц изменяется кардинально в порошковой среде практически не остается крупных частиц, а распределение по размерам порошинок приближается к распределению по размерам кри сталлитов в них. В исходном состоянии средний размер порошинок, определенный по данным электронной микроско пии, равен 250 нм, а размер кристаллитов в них - 12 нм, после ударного воздействия - 60 и 12 нм соответственно.
Объем, занимаемый порошком в ампуле, уменьшается при сжатии на порядок для скорости удара 500 м/с средняя плотность пресс-таблетки составляет 4,9 г/см3 при исходной плотности порошка 0,4 г/см3.
Установлено, что ударно-волновая обработка существенно повышает активность плазмохимического порошка ZrO2 к низкотемпературному спеканию.
Ударное сжатие тетрагонального диоксида циркония приводит к полиморфным превращениям с изменением объема. При тетрагонально-моноклинном превращении (t m ) изменение объема составляет 4...9 %. Таким образом, расслоение прессовки за счет действия волн разгрузки может осложняться растрескиванием из-за изменения объема при переходе t m. Учитывая это, расчет процессов ударно-волнового уплотнения порошкового материала и разру шения пресс-таблетки необходимо проводить в рамках модели пористой упругопластической среды, матрица которой при деформировании испытывает полиморфный фазовый переход.
Недостаток информации о переходе t m не дает возможности построить кинетическое уравнение для расчета массовой концентрации фаз. Поэтому исследование процессов, протекающих при ударно-волновой обработке порош кового диоксида циркония в жесткой ампуле сохранения, проводится в рамках модели пористой упругопластической среды.
Для порошка выполняется условие пластичности Кулона, для стали – Губера – Мизеса. Уравнение состояния ис пользуется в форме Ми – Грюнайзена. В качестве опорной кривой задается ударная адиабата (4). Процесс пластическо го затекания пор определяется соотношением (2). Разрушение, вызванное взаимодействием встречных волн разгрузки, рассматривается как процесс роста несплошностей под действием растягивающих напряжений. Критерием разрушения материала при таком подходе является предельная величина относительного объема пустот. Процесс роста пор в пла стически деформированном материале описывается соотношением (6). Несвязанный порошок моделируется разрушен ной средой.
Компьютерное моделирование ударно-волнового уплотнения в жесткой матрице порошка диоксида циркония насыпной плотностью 0,4 г/см3 проводилось в нескольких вариантах. Скорость соударения в расчетах варьировалась в пределах 0,3...2 км/с (толщина подвижного пуансона 0,33 см, неподвижного 2 см, высота засыпки 5,16 см).
На рис. 7 сравниваются рассчитанная и измеренная скорости перемещения системы ударник - подвижный пуан сон в виде зависимости от пройденного расстояния l в ампуле. Краевые условия задачи соответствовали постановке эксперимента, в котором скорость ударника 600 м/с, суммарная масса ударника и ведущего устройства 35 г, масса по рошка 10 г. Наблюдаемое во всех вариантах расчета удовлетворительное совпадение затухания скорости пуансона под твердило применимость одномерного приближения при рассмотрении уплотнения в проходящей волне сжатия.
Рисунок 7 – Сравнение рассчитанной (сплошная линия) и измеренной (значки) скоростей перемещения системы ударник – подвижный пуансон в зависимости от пройденного расстояния в ампуле (скорость удара – 600 м/с) Получаемые в расчетах распределения напряжения, массовой скорости и относительного объема пустот в раз личные моменты времени позволили проанализировать эволюцию напряженно-деформированного состояния в образце и степень уплотнения и растрескивания прессовки.
Из расчетов следует, что, например, стальной ударник толщиной 6 мм при скорости соударения 500 м/с сохраня ет свою целостность, а при вдвое большей скорости расслаивается на две части. Расслоение бойка подтверждается про веденными экспериментами. Следует отметить, что из-за низкой насыпной плотности порошка (относительный объем пустот 93 %) волновая картина, протекающая в ударнике и подвижном пуансоне, не оказывает существенного влияния на процесс уплотнения, важны лишь их массы и начальная скорость взаимодействия.
На рис. 8 показано распределение относительного объема пустот по толщине образца в момент времени 120 мкс для скорости удара 1000 м/с. Локализации расслоений соответствуют наблюдаемым в эксперименте – пресс-таблетка разрушается на четыре слоя, толщина l которых варьируется в пределах 0,7...1,7 мм. Окончательная толщина прессов ки, как и в эксперименте, равна приблизительно 5 мм.
l1 l2 l3 l 0. 20 24 r, мм Рисунок 8 – Распределение относительного объема пустот по толщине пресс-таблетки в момент времени 120 мкс (скорость удара – 1000 м/c) Зависимость рассчитанного пикового давления в порошковом диоксиде циркония от скорости удара приведена в полулогарифмическом масштабе на рис. 9, где точка 1 - полное уплотнение материала, точка 2 - нижняя граница рас слоения прессовки.
p, ГПа 4.480 ГПа 1.808 ГПа 0. 400 1200 2000 u0, м/с Рисунок 9 – Зависимость рассчитанного пикового давления в порошке от скорости удара Сравнение данных компьютерного моделирования с экспериментальными показывает, что предложенный экспе риментально-теоретический подход может быть использован при создании оптимальных технологий обработки по рошковой керамики на баллистическом стенде.
Ниже приводятся некоторые результаты численного исследования процессов деформирования и разрушения по ристой керамики из Al2O3.
Удельный объем пористой среды v представляется в виде суммы удельного объема матрицы v m, удельного объ ема пор v p и удельного объема v t, образующегося при раскрытии трещин: v = v m + v p + v t. Пористость материала ха рактеризуется относительным объемом пустот = p + t. Здесь p = v p v, t = v t v - относительные объемы пор и трещин.
В качестве опорной кривой используется ударная адиабата (4). Текучесть материала определяется условием Ку лона. Уравнение, описывающее изменение параметра при сжатии, имеет вид (2), при растяжении, - (10). Закон роста радиуса трещины задается соотношением (11). Слияние дефектов наступает, когда радиус трещин в элементарном объ еме материала достигает критического значения R *.
1, ГПа D, км/с v, см3/г u1, км/с u1, км/с Рисунок 10 – Сравнение расчетной (сплошная линия) и экспериментальной (точки) ударных адиабат керамики AD-85 в переменных напряжение – удельный объем (слева) и скорость ударной волны – массовая скорость 1, ГПа D, км/с v, см3/г u1, км/с Рисунок 11 – Сравнение расчетной (сплошная линия) и экспериментальной (точки) ударных адиабат керамики P-3142-1 в переменных напряжение – удельный объем (слева) и скорость ударной волны – массовая скорость u1, км/с Сравнение расчетной (сплошная линия) и экспериментальной (точки) ударных адиабат керамики AD-85 ( 0 =6, %) в переменных напряжение (ГПа) - удельный объем (см3/г) (слева) и скорость ударной волны (км/с) - массовая ско рость (км/с) приведено на рис. 10. На рис. 11 представлено сравнение расчетной и экспериментальной ударных адиабат керамики P-3142-1 ( 0 =5,6 %).
Для верификации модели в рамках одномерной деформации проводился расчет соударения медного диска тол щиной 0,25 см с двухслойной мишенью, состоящей из слоя керамики АД-85 (0,36 см) и слоя ПММА (полиметилметак рилат или оргстекло, 1,2 см). Скорость удара 0,57 км/с. При проведении аналогичных экспериментов на контактной границе керамика - ПММА устанавливался манганиновый датчик давления.
На рис. 12 представлено сравнение экспериментального (вверху) и рассчитанного профилей напряжение - время в точке расположения датчика. Получено удовлетворительное согласование данных расчета с экспериментальными ре зультатами.
Данная модель применялась для анализа экспериментальных результатов по ударному взаимодействию цилинд рических ударников из ВНЖ90 ( d 0 =0,6 см, l0 =6 см) с комбинированными преградами двух типов.
1, ГПа 1. 1. 0. 0 1 2 3 t, мкс 1, ГПа 2. 1. 1. 0. 0 1 2 3 t, мкс Рисунок 12 – Сравнение экспериментального (вверху) и рассчитанного профилей напряжение - время в точке расположения датчика В первой мишени на лицевой стороне стального цилиндра (12 см) размещался слой керамики P-3142-1 (0,72 см).
Во второй мишени на лицевую поверхность керамического слоя дополнительно устанавливалась стальная пластина (0,33 см). Результаты численного моделирования представлены на рис. 13, 14.
2 1 0 1 r, см Рисунок 13 – Проникание в двухслойную преграду 2 1 0 1 r, см Рисунок 14 – Проникание в трехслойную преграду Рис. 13 иллюстрирует результат расчета ударного взаимодействия стержня с мишенью первого типа. Скорость удара u 0 =1,381 км/с. Области разрушенного материала отмечены точками.
На рис. 14 приведен результат расчета взаимодействия со скоростью u 0 =1,393 км/с стержня с мишенью второго типа.
На рис. 15 представлены фотографии разрезов кратеров в основном стальном цилиндре для двух типов мишеней.
Необходимо отметить, что при нагружении керамический слой разрушается на довольно мелкие осколки. В стальной плите формируются удлиненные кратеры, на дне которых отчетливо видны остатки ударников. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по глубине проникания стержней приведено в таблице 1.
Рисунок 15 – Разрезы стальных плит для двух типов преград Таблица 1 – Сравнение расчетных и экспериментальных данных по глубине проникания стержней l, см u 0, км/с эксперимент расчет 1,381 4,7 4, 1,393 4,2 4, Резюмируя вышеизложенное можно утверждать, что предложенная модель деформирования и разрушения по ристой керамики при динамическом нагружении удовлетворительно описывает происходящие в ней процессы.
В четвертой главе на основе компьютерного моделирования исследовано влияние полиморфных превращений и начальной пористости материала на структуру волн напряжений и откольное разрушение в стальных пластинах при ударном нагружении;
приведены данные математического моделирования процессов взрывного обжатия шаров из - и -фазных сталей сходящимися к центру ударными волнами;
проведено сравнение результатов расчетов с данными ла бораторных экспериментов.
Хорошей основой для проверки и уточнения существующих и разработки новых физических и математических моделей поведения веществ в экстремальных условиях являются эксперименты по взрывному обжатию шаров из раз ных материалов сходящимися к центру ударными волнами.
Явления неограниченной кумуляции энергии как в плоских, так и в сферических сходящихся ударных волнах были систематически исследованы Е.И. Забабахиным. Им же была сформулирована гипотеза об ограниченности куму ляции энергии во фронте сферически сходящейся ударной волны в среде с фазовыми превращениями.
Отрывное разрушение в материале рассматривается как процесс роста и слияния микропор в пластически де формированном материале под действием растягивающих напряжений. Локальным критерием разрушения служит предельная величина относительного объема пустот * (для стали 12Х18Н10Т * =0,3, для стали 3 * =0,11). Порого вым пределом для развития сдвигового разрушения является критическая величина удельной работы пластических де p формаций A*. При выполнении данного условия считается, что ортогонально максимальному главному напряжению образуется трещина сдвига, раскрытие которой происходит под действием растягивающих напряжений. Поведение по врежденного трещиной материала описывается приведением напряженного состояния к такому виду, при котором от сутствуют нормальные напряжения поперек трещины. И в этом случае локальным критерием разрушения является предельная величина относительного объема пустот ( * =0,1). Параметры моделей разрушения определяются из сопос тавления данных численного моделирования с экспериментальными результатами.
В рамках предложенной выше модели проводился расчет взрывного обжатия сферически сходящимися ударны ми волнами шаров диаметром d=64 и 184 мм из фазной стали 12Х18Н10Т и фазной стали 3. Используемые в расчетах режимы нагружения соответствуют экспериментальным. Для сохранения образцов при взрывном обжатии ис пользовалась внешняя оболочка.
Расчеты проводились в рамках модели с переменными пределом текучести и модулем сдвига:
1 п ( m ) 1 п ( m ) sm =, µm =, A1 2 A 2 2 + B 2 m + C + B1 m + C m m где m = m 0 1 ;
A1, B1, C1, A 2, B2, C2 - константы, полученные на основе обработки экспериментальных дан ных.
Результаты сравнения с экспериментами приведены в таблице 2.
Анализ данных компьютерного моделирования показал, что полость в центре шара образуется за счет отрывного разрушения. В то время как в стали 12Х18Н10Т сдвиговое разрушение распространяется вглубь материала с поверхно сти полости, в стали 3 оно распространяется с поверхности шара. При этом максимальное давление в шарах из стали не превышает 100 ГПа.
Сопоставление результатов математического моделирования с данными экспериментальных исследований взрывного обжатия стальных шаров сферически сходящимися ударными волнами разной амплитуды и длительности позволяет сделать вывод о том, что математическая модель пористой упругопластической среды, матрица которой при деформировании испытывает полиморфные фазовые превращения, дополненная моделями отрывного и сдвигового разрушения, в основном описывает особенности процессов высокоскоростного деформирования и разрушения шаров из и фазных сталей.
Следует отметить также высокую информативность одномерных сферически симметричных взрывных экспери ментов для целей калибровки и выбора взаимосогласованных моделей описания поведения и свойств вещества в вол нах напряжений различного масштаба и интенсивности.
Таблица 2 – Сравнение результатов расчетов взрывного обжатия стальных шаров с данными экспериментов Материал d, D, % p1, R1, R 2, мм шара мм ГПа мм эксп. расч. эксп. расч.
12Х18Н10Т 64 340 1,7 11,46 13,5 1,44 3, 12Х18Н10Т 184 1220 7,3 37,50 41,7 2,21 2, Сталь 3 64 100 - 10,95 9,5 1,06 1, Сталь 3 184 96 - 29,70 32,0 1,06 1, Здесь p1 – максимальное давление на расстоянии 0,5 мм от центра шара, R 1 – радиус зоны плавления в момент фоку сировки, R 2 – радиус полости в центре шара, D – деформация наружного диаметра шара.
В пятой главе предлагаются двумерная и трехмерная методики численного моделирования, позволяющие в ши роком диапазоне изменения скорости удара прогнозировать последствия взаимодействия ударников с системами мно гослойных пространственно разнесенных преград, содержащими ВВ;
для двумерного осесимметричного случая изло жен подход к моделированию процессов формирования запреградного облака осколков и его взаимодействия с защи щаемой поверхностью, основанный на модели равномерно распределенных сферических пор;
решены задачи об одно временном и последовательном ударе в нормаль двух стальных шаров по стальной пластине;
исследовано поражающее действие ударника из композита ВНЖ90 в пористой стальной оболочке;
наблюдается удовлетворительное согласова ние результатов расчетов и экспериментов.
В связи с тем, что в реальных условиях в большинстве случаев удары частиц происходят под тем или иным уг лом к поверхности конструкции, ниже численно решена следующая трехмерная задача.
Компактный цилиндрический элемент из композита ВНЖ90 массой 1 г ударяет по слоисто-разнесенной конст рукции со скоростью 3 км/с под углом 30°. Первая преграда разнесенной конструкции состоит из двух слоев. Лицевой слой - стеклотекстолит толщиной 10 мм, тыльный - алюминий толщиной 5 мм. Вторая преграда отстоит от первой на расстоянии 50 мм и состоит из ВВ РВХ-9404, защищенного слоем алюминия толщиной 5 мм.
Для численного решения сформулированной задачи использовался метод конечных элементов.
На рис. 16 показаны конфигурации элемента и первой преграды в моменты времени 0, 6, и 16 мкс. Здесь и на по следующих рисунках слой из алюминия затемнен. Расчеты показывают, что после пробития первой преграды масса элемента уменьшается до 0,36 г, скорость его центра масс - до 1,419 км/с.
После пробития первой преграды ударник свободно движется в пространстве более 30 мкс до момента взаимо действия со второй преградой. За это время его материал успевает практически полностью разгрузиться. Во время движения в пространстве ударник вращается и подходит ко второй преграде тыльной стороной.
При ударе данной частицы по второй преграде частица полностью разрушается, но лицевой алюминиевый слой преграды не пробивается. Несмотря на это образующиеся вследствие удара частицы давления приводят к разложению ВВ и последующей его детонации.
а б в Рисунок 16 – Пробитие ударником массой 1 г первой преграды:
а - t=0 мкс, б - t=6 мкс, в - t=16 мкс а б Рисунок 17 – Взаимодействие ударника массой 1 г со второй преградой:
а - t=52 мкс, б - t=56 мкс На рис. 17 показаны конфигурации ударника и второй преграды в моменты времени 52 и 56 мкс. Максимальные давления в указанные моменты времени равны соответственно 36,4 и 51 ГПа. По сгущению сетки виден процесс фор мирования детонационного фронта.
Также был проведен расчет соударения компактного цилиндрического ударника из ВНЖ90 массой 10 г со ско ростью 3 км/с под углом 30° с аналогичной слоисто-разнесенной конструкцией.
На рис. 18 приведена хронограмма процесса взаимодействия ударника с первой преградой. Конфигурации взаи модействующих тел представлены в моменты времени 0, 6 и 16 мкс. После пробития первой преграды ударник имеет скорость центра масс 2,328 км/с, массу 8 г.
а б в Рисунок 18 – Пробитие ударником массой 10 г первой преграды:
а - t=0 мкс, б - t=6 мкс, в - t=16 мкс На рис. 19 показаны конфигурации элемента и второй преграды в моменты времени 34 и 38 мкс. Видно, что в процессе соударения происходит пробитие слоя из алюминия и формирование детонационного фронта в ВВ, положе ние которого прослеживается по сгущению расчетной сетки. В моменты времени 34 и 38 мкс максимальные давления равны соответственно 27,8 и 49 ГПа.
б а Рисунок 19 – Взаимодействие ударника массой 10 г со второй преградой:
а - t=34 мкс, б - t=38 мкс Таким образом, проведенные расчеты показывают, что при взаимодействии компактных элементов из композита ВНЖ90 массой 1 и 10 г со скоростью 3 км/с под углом 30° с указанной слоисто-разнесенной конструкцией, содержа щей ВВ, происходит пробитие первой преграды, пробитие алюминиевого слоя второй преграды для ударника массой 10 г и инициирование детонации в ВВ для ударников обеих масс.
В заключении сформулированы основные результаты работы и выводы.
Работа выполнена в Томском государственном университете и Томском государственном архитектурно строительном университете в период с 1985 по 2002 г.г.
Автор выражает глубокую благодарность научным консультантам и коллегам Белову Н.Н. и Югову Н.Т. за по стоянное внимание к работе, ценные советы и замечания, высказанные при обсуждении полученных результатов, а так же своему учителю Гридневой В.А. за полученные знания и опыт работы. Автор очень признателен своим коллегам по работе Афанасьевой С.А., Демидову В.Н., Жукову А.В., Коняеву А.А., Корнееву А.И., Николаеву А.П., Симоненко В.Г., Толкачеву В.Ф. и всем своим коллегам, кто так или иначе принимал участие в работе, за плодотворное сотрудни чество, помощь, поддержку и многочисленные дискуссии. Автор благодарен также Козлову Е.А., Саяпину В.И. и Кулькову С.Н. за предоставленные экспериментальные данные.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Предложена математическая модель уплотнения сыпучих пористых сред в ударных волнах. При расчете ударно волнового сжатия сыпучей пористой среды реальный материал, представленный твердыми частицами, между кото рыми действуют силы сухого трения, и пустотными промежутками, моделируется сферической частицей из несжи маемого матричного материала, удовлетворяющего условию текучести Кулона, в центре которой находится сфери ческая пора. Из решения задачи о динамическом деформирование подобной сферической ячейки под действием внешнего давления получено кинетическое уравнение, описывающее схлопывание пор в сыпучем материале. При пренебрежении упругой и упругопластической стадиями затекания поры рассматривается процесс, когда весь мате риал вокруг нее находится в пластическом состоянии.
2. Предложена математическая модель поведения хрупких пористых материалов при ударно-волновом нагружении.
Предполагается, что в процессе нагружения не происходит зарождения новых трещин, и деформирование материа ла может сопровождаться только ростом и раскрытием изначально существующих с общим характерным размером.
Считается, что до момента фрагментирования поврежденного трещинами материала объем пор остается неизмен ным. При этих предположениях получено уравнение, связывающее механические характеристики материала с дав лением и пористостью при упругом раскрытии монетообразных трещин. Из этого уравнения следует, что с увели чением радиуса трещин рост несплошностей облегчается. Рост трещин в данной модели может происходить как при сжатии под действием девиаторных напряжений, так и при растяжении под действием девиаторных и растягиваю щих напряжений. Пороговые напряжения роста трещин уменьшаются по мере развития разрушения. Слияние де фектов наступает, когда радиус трещин в элементарном объеме материала достигает критического значения. Опи сание поведения пористого разрушенного материала в ударных волнах основывается на кинетике схлопывания пор в сыпучих средах. Основное достоинство модели заключается в том, что она требует небольшое число сравнитель но легко определяемых в эксперименте параметров и довольно просто может быть реализована в существующих программах расчета динамических процессов.
3. Предложен подход к описанию сдвигового разрушения пластичных материалов при динамических нагрузках. Счи тается, что при достижении удельной работой пластических деформаций некоторого предельного значения в эле менте материала образуются радиальные трещины, перпендикулярные окружным растягивающим напряжениям.
Поведение поврежденного трещинами материала имитируется путем приведения тензора напряжений к такому ви ду, при котором главные окружные компоненты равняются нулю. Локальным критерием разрушения в этом случае является предельная величина относительного объема микропустот. В рамках данного подхода удается точнее опи сать разлет материала в случаях осевой и точечной симметрий.
4. Предложен подход к описанию поведения разрушенного материала при растяжении и сжатии. Поврежденная или разрушенная среда математически моделируется эквивалентной однородной, сплошной средой. При растяжении разрушенный материал описывается как порошок, движение которого происходит в соответствии с уравнениями для среды, лишенной напряжений. Относительное содержание пустот при этом находится из уравнения состояния пористого вещества с нулевым давлением в частицах. Аналогично ведет себя разрушенный материал и при сжатии, если величина пористости в нем превышает критическое значение. В противном случае используется модель среды с равномерно распределенными сферическими порами. Предполагается также, что изменение пористости в рас плавленном веществе происходит без усилий. Данный подход позволяет в широком диапазоне изменения скорости удара в двумерной осесимметричной постановке рассчитывать формирование запреградного облака осколков и его взаимодействие с защищаемой поверхностью.
5. На основе численного метода крупных частиц разработана методика расчета, позволяющая исследовать двумерные течения сжимаемой упругопластической среды в областях с подвижными свободными и контактными границами.
Для описания нерегулярных подвижных границ на фиксированной прямоугольной сетке используются частицы маркеры, а также предложенный в работе алгоритм локальной перестройки ячеек, основанный на введении гранич ных ячеек переменного объема, геометрические параметры которых присутствуют в разностных формулах. Конеч но-разностная схема получена при помощи метода контрольного объема.
6. Разработаны достаточно общие численные методики и программы (вычислительный эксперимент) для расчета про цессов, происходящих в твердых телах при высокоскоростном ударе и взрыве. К таким процессам относятся бы строе сжатие вещества до высоких давлений и его адиабатический разогрев, упругое деформирование и пластиче ское течение, уплотнение пористых материалов (тела с внутренними пустотами или сыпучие среды), фазовые пере ходы (в том числе полиморфные), отрывное и сдвиговое разрушение пластичных и хрупких материалов, ударно волновое инициирование детонации, пробивание многослойных пространственно разнесенных преград, обратное влияние указанных процессов на физические характеристики материала и его напряженно-деформированное со стояние.
Результаты численного моделирования ряда экспериментов, а также сопоставление данных расчетов с найден ными аналитическими решениями позволяют сделать вывод о том, что разработанные вычислительные алгоритмы и программы адекватно передают основные закономерности рассматриваемых процессов, обладая при этом доста точной для практики точностью.
Расчеты на основе полученного программного комплекса целесообразно проводить при анализе и прогнозирова нии результатов лабораторных и натурных экспериментов, их планировании, создании опытных образцов новой техники, что позволит существенно сократить количество дорогостоящих экспериментов и сроки проектирования.
Созданные численные методики и программы для ЭВМ внедрены в расчетную практику заинтересованных ор ганизаций, что зафиксировано четырьмя актами. Получен патент на изобретение.
7. Проведен сравнительный анализ результатов расчетов высокоскоростного проникания компактного монолитного цилиндра из стали и равного ему по массе и диаметру сильно пористого цилиндра из стальных опилок в стальную монолитную мишень. Относительный объем пустот в пористом ударнике – 64 %. Начальная скорость соударения – 3,69 км/с. Показано, что при ударе более длинного пористого цилиндра развивающееся максимальное давление ос лабляется иначе и гораздо медленнее, в результате этого при близости диаметров кратер от пористого цилиндра на 67 % глубже кратера от монолитного. Проникание сильно пористого ударника сопровождается полным плавлением его материала, плотность которого вследствие значительного адиабатического разогрева оказывается меньше нор мальной при сжатии, и ударная адиабата имеет аномальный ход.
Установлено, что с увеличением начальной пористости и скорости ударника глубина кратера от него растет.
Скорость соударения варьировалась в диапазоне от 1,5 до 10 км/с, относительный объем пустот - от 41 % до 80 %.
Эффективность пористого ударника в сравнении с монолитным в диапазоне малых скоростей соударения быстро повышается с ростом скорости соударения, а затем при дальнейшем росте скорости медленно понижается. Для ударников из композита ВНЖ90 картина проникания качественно не меняется.
8. Построены численные методики и создан пакет программ для исследования процессов непрямого и прямого взрыв ного прессования порошковых материалов. Найдены оптимальные параметры ударно-волнового уплотнения по рошка диоксида циркония на баллистическом стенде (непрямой метод динамического компактирования).
9. Приведенные результаты численного моделирования экспериментов по ударному сжатию керамической окиси алюминия подтверждают применимость предложенной модели поведения хрупких пористых материалов при дина мическом нагружении.
10. Исследовано влияние полиморфных превращений на структуру волн напряжений, деформацию и разрушение стальных шаров при сжатии их сходящимися сферическими ударными волнами. Расчеты взрывного обжатия шаров проводились как с учетом корпуса сохранения, так и без него. При этом предел текучести и модуль сдвига зависят от внутренней энергии и плотности. Используемые в расчетах режимы нагружения соответствуют эксперименталь ным. Установлено, что усиление ударной волны при схождении ограничивается фазовым переходом. Показано, что образование полости в центре шаров происходит в результате отрывного разрушения, дальнейшее дробление шаров – вследствие сдвигового разрушения. Причем для -фазной стали сдвиговое разрушение распространяется вглубь материала от поверхности полости, для -фазной стали – от поверхности шара. Параметры модели отрывного раз рушения определялись из сопоставления данных численного моделирования с экспериментальными результатами по соударению стальных пластин.
11. Разработаны численные методики и программы, позволяющие в двумерном и трехмерном приближениях рассчиты вать инициирующую способность компактных поражающих элементов при соударении с системой многослойных пространственно разнесенных преград, содержащей ВВ РВХ-9404. Исследовано поражающее действие сферическо го ударника из композита ВНЖ90 в пористой стальной оболочке. Установлено, что существует диапазон скоростей удара, в котором пористая оболочка уменьшает степень поврежденности ударника при пробивании мишени, повы шая тем самым проникающую способность снопа осколков. Приведены результаты расчетов пробивания много слойных пространственно разнесенных пластин. Получены распределения интенсивности осевой компоненты им пульса осколочных потоков на поверхностях второй и третьей преград. Показано, что при определении иниции рующей способности осколочного потока необходимо учитывать эшелонированность его взаимодействия с оболоч кой заряда ВВ. Численно описаны процессы ударно-волнового инициирования реакции, ее развития и детонации в экранированном заряде ВВ.
Основные положения диссертации изложены в следующих работах:
1. Хабибуллин М.В. Метод крупных частиц для решения задач высокоскоростного взаимодействия тел/ Том. гос. ун-т.
Томск, 1989. 10с. Деп. в ВИНИТИ 19.04.89. №2563-В89.
2. Белов Н.Н., Демидов В.Н., Хабибуллин М.В. и др. Математическое моделирование взаимодействия ударников с многослойными преградами// Экстремальные состояния вещества: Сборник статей. М.: ИВТАН, 1991. С.286-290.
3. Белов Н.Н., Демидов В.Н., Хабибуллин М.В. и др. Компьютерное моделирование динамики высокоскоростного уда ра и сопутствующих физических явлений// Изв. вузов. Физика. 1992. №8. С.5-48.
4. Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры и физико-механических свойств порошковых материалов в процессе взрывного компактирования: Отчет о НИР/ НИИ ПММ при ТГУ;
Руководитель Белов Н.Н., Хабибуллин М.В., Толкачев В.Ф. и др. № ГР 01940009931, Инв. № 02950001661. Томск, 1994. 72с.
5. Компьютерное моделирование поведения конструкционных материалов при взрывном и ударном нагружениях: От чет о НИР/ НИИ ПММ при ТГУ;
Руководитель Белов Н.Н., Югов Н.Т., Хабибуллин М.В. и др. № ГР 01940010332, Инв. № 02960003877. Томск, 1995. 126с.
6. Математическое моделирование процессов ударного взаимодействия микрометеоритов с защитными экранами кос мических аппаратов: Отчет о НИР/ НИИ ПММ при ТГУ;
Руководитель Белов Н.Н., Хабибуллин М.В. № ГР 01940009932, Инв. № 02960003645. Томск, 1995. 23с.
7. Платова Т.М., Белов Н.Н., Хабибуллин М.В. и др. Применение высокоскоростных баллистических установок для анализа ударного сжатия сыпучих сред// Использование результатов конверсии науки в вузах Сибири для междуна родного сотрудничества: Тр. Междун. конф. Томск: ТАСУР, 1996. Т.2. С.188-190.
8. Численные исследования высокоскоростного взаимодействия тел: Отчет о НИР/ НИИ ПММ при ТГУ;
Руководитель Югов Н.Т., Афанасьева С.А., Белов Н.Н., Хабибуллин М.В. № ГР 01980002661, Инв. № 02980002353. Томск, 1997.
42с.
9. Белов Н.Н., Платова Т.М., Хабибуллин М.В. и др. Исследование пробивания мишеней конечной толщины потоком сферических частиц// Избранные докл. Междун. конф. «Всесибирские чтения по математике и механике». Томск:
Изд-во Том. ун-та, 1997. Т.2. Ч.1. С.36-41.
10. Белов Н.Н., Югов Н.Т., Хабибуллин М.В. и др. Компьютерное моделирование последствий соударения твердой де формируемой частицы с экранированным взрывчатым веществом// Избранные докл. Междун. конф. «Всесибирские чтения по математике и механике». Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. Т.2. Ч.1. С.41-47.
11. Югов Н.Т., Белов Н.Н., Хабибуллин М.В. и др. Расчетно-экспериментальный метод исследования высокоскоростно го соударения твердых тел// Избранные докл. Междун. конф. «Всесибирские чтения по математике и механике».
Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. Т.2. Ч.2. С.161-166.
12. Белов Н.Н., Коняев А.А., Хабибуллин М.В. и др. Влияние полиморфных фазовых превращений на процесс взрывно го обжатия стальных шаров// ФГВ. 1997. Т.33. №5. С.128-136.
13. Афанасьева С.А., Белов Н.Н., Хабибуллин М.В. и др. Прогнозирование последствий высокоскоростного соударения метеоритных частиц с элементами защитных конструкций космических аппаратов// Космические исследования.
1997. Т.35. №5. С.480-486.
14. Белов Н.Н., Коняев А.А., Хабибуллин М.В. и др. Исследование поведения конструкционных материалов при взрыв ном и ударном нагружениях// Изв. РАН. МТТ. 1997. №1. С.64-70.
15. Белов Н.Н., Коняев А.А., Хабибуллин М.В. и др. Моделирование ударноволнового прессования порошковой кера мики на баллистическом стенде// ПМТФ. 1997. №1. С.43-50.
16. Белов Н.Н., Коняев А.А., Хабибуллин М.В. и др. Методика применения баллистической установки для регистрации ударных адиабат низкоплотной порошковой керамики// Исследования по баллистике и смежным вопросам механи ки: Сборник статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. С.88-94.
17. Хабибуллин М.В. Численное моделирование взаимодействия высокоскоростного ударника с системой пространст венно разнесенных мишеней// ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 1997. Вып.3.
С.18-24.
18. Афанасьева С.А., Белов Н.Н., Хабибуллин М.В. и др. Особенности высокоскоростного проникания сильно пористо го ударника в мишень конечной толщины// ДАН. 1997. Т.355. №2. С.192-195.
19. Хабибуллин М.В. Взаимодействие высокоскоростной частицы с многослойной разнесенной конструкцией// Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: Матер. конф. Новосибирск: ИМ, 1998. Ч.2.
С.128.
20. Численные исследования высокоскоростного взаимодействия тел: Отчет о НИР/ НИИ ПММ при ТГУ;
Руководитель Югов Н.Т., Афанасьева С.А., Хабибуллин М.В. и др. № ГР 01980002661, Инв. № 02990004391. Томск, 1998. 50с.
21. Математическое моделирование высокоскоростного соударения деформируемых твердых тел: Отчет о НИР/ ТУСУР;
Руководитель Югов Н.Т., Афанасьева С.А., Хабибуллин М.В. и др. № ГР 01990003471, Инв. № 02990002386. Томск, 1998. 63с.
22. Афанасьева С.А., Белов Н.Н., Хабибуллин М.В. и др. Анализ сверхвысокоскоростного соударения тел// Фундамен тальные и прикладные проблемы современной механики: Докл. Всеросс. конф. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998.
С.87-88.