Удк 517.9 спектральный анализ каузальных операторов
На правах рукописи
КРИШТАЛ ИЛЬЯ АРКАДЬЕВИЧ УДК 517.9 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КАУЗАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 01.01.01 – математический анализ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Воронеж – 2003 ОГЛАВЛЕНИЕ Индекс используемых обозначений................................................................... 3 Введение.................................................................................................................. 6 Глава I. Элементы спектральной теории представлений групп............... 14 §1. Банаховы модули и представления групп......................................................................14 §2. Спектр Берлинга в банаховых модулях......................................................................... §3. -направленности;
элементы эргодической теории..................................................... §4. Спектр Берлинга линейных операторов........................................................................ §5. Критерий Карлемана;
элементы спектральной теории пар линейных операторов и асимптотические оценки аналитических функций........................................................ Глава II. Каузальные операторы и их основные свойства......................... §6. Различные подходы к определению каузальности....................................................... §7. Каузальные операторы и представления групп........................................................... §8. Антикаузальные операторы и операторы без памяти................................................. §9. Гиперкаузальные операторы............................................................................................ §10. Каузальность и граничные значения голоморфных функций................................. Глава III. Каузальная обратимость................................................................ §11. Обзор общих критериев каузальной обратимости..................................................... §12. Компактные и u-эргодические каузальные операторы............................................. §13. Обратимость и каузальная обратимость операторов с двухточечным спектром Берлинга...................................................................................................................................... §14. Обратимость каузальных операторов и экспоненциальная дихотомия................ Литература.......................................................................................................... Индекс используемых обозначений Обозначение Пояснение Cтр B коммутативная банахова алгебра X, Y, Z Комплексные банаховы пространства Поле комплексных чисел C T: B Х Х Отображение, задающее структуру банахова модуля на X Х сопряженное к Х банахово пространство линейных ограниченных функционалов Банахова алгебра эндоморфизмов (линейных EndX ограниченных операторов) банахова пространства X U: BEndХ Гомоморфизм банаховых алгебр B и EndХ (X, B, U), ХU банахов модуль Локально компактная абелева (LCA-) группа G L(G,) Банахова алгебра измеримых (по мере Хаара) на G (классов) комплексных функций, суммируемых с весом, со сверткой функций в качестве умножения Двойственная LCA-группа непрерывных унитарных G характеров группы G LCA-группа действительных чисел R LCA-группа целых чисел Z Единичная окружность { C: || = 1} T Z U: GEndХ Представление LCA-группы G операторами из EndХ U Вес, ассоциированный с представлением U: G EndХ M(G,) Банахова алгебра комплекснозначных регулярных счет- но-аддитивных мер, определенных на борелевских под множествах LCA-группы G, суммируемых с весом M (G) Банахова алгебра ограниченных мер Md(G,) Подалгебра дискретных мер из M(G,) Mac(G,) Подалгебра абсолютно непрерывных мер из M(G,) Msc(G,) Подалгебра сингулярных непрерывных мер из M(G,) Lp(, E), Пространство определенных на измеримом подмножест- ве G положительной меры измеримых (по Бохнеру p [1,], относительно меры Хаара на G) функций со значениями в банаховом пространстве E, суммируемых со степенью p при p [1,) и существенно ограниченных при p = (с отождествлением классов эквивалентности) С(, E) Подпространство непрерывных функций из L(,E) Сu(, E) Подпространство равномерно непрерывных функций Обозначение Пояснение Cтр Сm(, E) Подпространство m раз непрерывно дифференцируемых функций из L(,E) С0(, E) Пространство непрерывных функций, убывающих на бесконечности AP(G, E) Пространство почти периодических функций из L(G,E) Множество натуральных чисел N (A), (А) Спектр и резольвентное множество оператора A из EndX Комплексное гильбертово пространство Н Hom(X,Y) Банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в Y Семейство проекторов из EndX, осуществляющее разло- E жение единицы Подмодуль U-непрерывных векторов из ХU XU Sp(B) Спектр коммутативной банаховой алгебры B a C(Sp(B)) Преобразование Гельфанда (Фурье, если B = L(G,)) элемента (функции) a из алгебры B B(a), B(А) Спектр и резольвентное множество элемента a из банаховой алгебры B Спектр Берлинга элемента х из ХU (относительно (х), (х,U) представления U) B(x), B(x,U) Спектр Бора элемента х из ХU (относительно представления U) LCA-группа G, наделенная дискретной топологией Gd Боровская компактификация группы G Gc = (G d)^ Наименьший замкнутый подмодуль из XU, содержащий x [x] X(), X(,U) Спектральное подпространство (подмодуль) U Подмодуль векторов из X с компактным спектром Бер- XК линга A Некоторое направленное множество Подполугруппа неотрицательных действительных чисел R+ ~) (x Предельный спектр ограниченной направленности ~ = (x ) из XU x UV M(X,Y ), Банахово пространство операторов без памяти U M(X ), M -cl Замыкание множества в топологии Множество -эргодических точек вектора x из X U (x,U) -непрерывный спектр вектора x из X U с(x,U) -существенный спектр вектора x из X U -ess(x,U) Обозначение Пояснение Cтр (А,В), (А,В) Спектр и резольвентное множество пары операторов (А,В) из Hom(X, Y) R(А,В), R(А,В)() Резольвента упорядоченной пары операторов (А,В) ~ (А,В), Расширенные спектр и резольвентное множество пары ~ (А,В) операторов (A, В) из Hom(X,Y) r(А) Спектральный радиус оператора А из EndX Rr(А,В), Rl(А,В) Правая и левая псевдорезольвенты упорядоченной пары (А, В) из Hom(X,Y) Открытая верхняя (нижняя) комплексная полуплоскость I+(I-) S Замкнутая подполугруппа LCA-группы G C(XU,YV,S), Банахово пространство (алгебра) операторов, каузальных относительно представлений U, V и C(XU,S), C подполугруппы S Полугруппа неотрицательных целых чисел Z+= N{0} Идеал компактных операторов C(XU,YV,S), Банахово пространство (алгебра) антикаузальных C(XU,S), C операторов HC(XU,YV,S), Множество строго каузальных операторов HC(XU,S),HC UC(XU,YV,S), Пространство u-гиперкаузальных операторов UC(XU,S),UC SC(XU,YV,S), Пространство s-гиперкаузальных операторов SC(XU,S),SC WC(XU,YV,S), Пространство w-гиперкаузальных операторов WC(XU,S),WC Пространство w-гиперкаузальных операторов WC Пространство операторов, строго каузальных по Feintuch RC(H) и Saeks RC(XU,S),RC Множество радикально каузальных операторов RadC Радикал алгебры каузальных операторов AP(W) Множество почти периодических (относительно представления W) операторов Cerg(XU) Подалгебра u-эргодических каузальных операторов Двойственная к S полугруппа полухарактеров S C (А), C (А) Спектр и резольвентное множество оператора А в алгебре каузальных операторов C(XU,S) Введение Юная фея на свете жила, И свет обогнать она просто могла.
Сегодня в дорогу отправясь с утра, Домой возвращалась, представьте … вчера!
Энон При изучении разнообразных явлений окружающего мира мы неизбежно приходим к заключению, что будущее течение многих процессов оказывает ся зависящим не только от настоящего, но и существенно определяется их предысторией. В этом убеждают нас многочисленные задачи теории автома тического регулирования, техники, механики, радиофизики, квантовой тео рии поля, биологии, экономики, медицины и пр. С другой стороны, естест венно предположить, что следствия реальных явлений не могут опережать по времени сами эти явления, т.е. будущее состояние процесса не может влиять на его настоящее. Это свойство получило название каузальности и нашло свое отражение в абсолютном большинстве математических моделей реаль ных процессов. При этом ввиду необозримости количества рассматриваемых моделей и существенных различий в предметных областях, свойство кау зальности принимает подчас трудно узнаваемые формы.
Понятие каузальности появлялось в различных моделях независимо и изучалось изолированно в рамках этих моделей. Поэтому, несмотря на до вольно многочисленные публикации, результаты, полученные разными авто рами, дублируются, отсутствуют единые определения и единая терминоло гия. Даже само название – каузальность – не является общеупотребительным.
Для обозначения каузальных операторов используются термины: вольтерро вы операторы, операторы типа Вольтерра, запаздывающие, причинные, на следственные, неантисипативные и др., которые присваивались различным классам операторов с близкими свойствами. При этом часть авторов ставили во главу угла свойство эволюционности каузальных операторов, а другие – свойства компактности и квазинильпотентности.
В настоящей работе мы предлагаем новую форму каузальности, которая, являясь не менее «трудно узнаваемой», чем большинство других современ ных форм, тем не менее обобщает многие из них. Подобный подход позволя ет синтезировать ранее известные, но разрозненные результаты и распро странить их на более широкий класс задач, а также получить некоторые но вые по сути результаты.
Математические модели, связанные с понятием каузальности, можно разбить на три больших класса (вообще говоря, пересекающиеся). К первому можно отнести дифференциальные, интегральные, разностные, функцио нальные и др. уравнения (преимущественно) в функциональных пространст вах. Ко второму – линейные операторы, действующие в гильбертовых про странствах и моделирующие динамические системы. К третьему классу от носятся обобщенные функции (трансформанты) с носителем преобразования Фурье в некотором конусе (например, на полупрямой или в световом кону се). Остановимся более подробно на описании этих классов.
Основным (самым хорошо изученным) представителем операторов из первого класса является интегральный оператор Вольтерра B из EndLp(R)*), p [1,], определенный равенством t (Bx)(t) = G(t,s)x(s)ds, где G – такая функция, что интеграл сходится равномерно по t (см. [23, 86]).
Впервые выделил некоторый класс операторов типа Вольтерра, а именно та ких операторов F, что из равенства x(s) = y(s) при s t следует равенство (Fx)(s) = (Fy)(s) при s t, L. Tonelli (см. [84]). Его последователи D. Graffi [72] и S. Cinquini [60] получили первые результаты в теории операторов типа Вольтерра. В 1938 г. определение функционального оператора F типа Воль терра, такого что величина (F)(t) «определена значениями функции () на промежутке 0 t », появилось в работе А.Н. Тихонова [55], посвященной приложениям таких операторов к задачам математической физики. Подобное определение приводится в различных работах по функционально дифференциальным уравнениям (см., например, [1, 62]). Обобщение опреде ления А.Н. Тихонова для пространств суммируемых функций предложил В.И. Сумин. В его работе [54] оператор F из EndLp() называется вольтерро вым на системе множеств, где – часть -алгебры измеримых подмно жеств из, если из равенства функций x и y на множестве M следует, что функции Fx и Fy совпадают на M. Аналогичное определение обобщен ных вольтерровых операторов, действующих в пространстве Lp(a,b), где рас смотрены всевозможные системы упорядоченных по вложению множеств на [a,b], мера которых непрерывно меняется от 0 до b-a, введено и изучено Е.С. Жуковским (см. [30, 31]). В работах [26, 85] в основу определения обобщенного вольтеррова оператора положены цепочки упорядоченных про екторов. Отметим также работу В.Ф. Пуляева и З.Б. Цалюка [52]. П.П. За брейко (см. [32, 33]) предложил другое обобщение интегрального оператора Вольтерра, основанное на свойствах его ядра и обеспечивающих наличие у интегрального оператора некоторой цепочки инвариантных подпространств.
Им была получена формула спектрального радиуса и доказано, что равенство нулю спектрального радиуса следует из свойства T. And [57]. И.Ц. Гохберг и М.Г. Крейн [25] абстрактным вольтерровым оператором в гильбертовом пространстве назвали компактный (вполне непрерывный) линейный опера тор, спектральный радиус которого равен нулю, и создали для таких опера торов теорию интегралов треугольного усечения. А.Л. Бухгейм [19] распро странил теорию таких операторов на банаховы пространства, положив в ос нову определения каузальности понятие специальной цепочки проекторов.
Пожалуй, наиболее общее определение абстрактных вольтерровых операто ров можно найти в работах В.Г. Курбатова [40, 41, 43, 79, 80]. Там каузаль ность в функциональных пространствах вводится при помощи цепочек под пространств (не обязательно дополняемых).
К началу 60-х гг. XX века начал возникать другой класс математических моделей, связанных с понятием каузальности. Толчком послужило бурное развитие теории систем, в рамках которой появлялись все новые и новые *) См. Индекс используемых обозначений.
объекты: распределенные и многовариантные системы, системы с перемен ным или дискретным временем, системы с обратной связью… Возникла не обходимость создания общих подходов к теории систем, которые позволили бы «систематизировать» накопленные знания. Одним из таких подходов ста ла теория операторов в гильбертовых пространствах с разложением единицы (т.е. обладающим замкнутым семейством ортогональных проекторов, линей но упорядоченным по вложению образов). Здесь, каузальность оператора, моделирующего систему, становится ключевым моментом при определении ее физической реализуемости. Отправным моментом при создании этого подхода можно считать статью [89], в которой впервые было подчеркнуто значение каузальности в общей теории систем. Далее теория каузальных операторов в гильбертовых пространствах интенсивно развивалась амери канскими математиками (см. [64 – 66, 70, 75, 81, 87, 88]). Вначале, основные понятия были сформулированы для пространства L2, а затем и для произ вольного гильбертова пространства. При этом существенно использовалась, например, теория интегралов треугольного усечения, развитая в [25]. Апофе озом этих исследований можно считать монографию [71], в которой оператор называется каузальным (causal), если он обладает свойством: равенство Ptx = Pty влечет PtAx = PtAy для любого проектора Pt из разложения единицы. Там же вводятся понятия антикаузального оператора и оператора без памяти. Ос новные проблемы, исследуемые в этих работах, – разложения каузальных операторов, их факторизация и обратимость.
Источником моделей третьего класса послужила квантовая теория поля.
Мысль о необходимости учета условия каузальности для осуществления про граммы Гейзенберга была высказана еще в 1946 г. (см. [77]). По существу, физиков интересовали условия того, когда оператор Фредгольма F в L2 (или других функциональных пространствах) являлся бы оператором Вольтерра.
При этом ответ должен был быть сформулированным не в терминах ядра оператора F (когда он очевиден), а в терминах его (обратного) преобразова ния Фурье, понимаемого как функция из L2 или как обобщенная функция.
Таким образом, задача была сведена к изучению обобщенных функций с но сителем преобразования Фурье в некотором конусе (см., например, [16]), ко торые и стали называться каузальными. В случае L2(a,b) важную роль сыгра ла теорема Титчмарша [83] о том, что условие каузальности функции, сум мируемой с квадратом, эквивалентно тому, что она является граничным зна чением некоторой ограниченной функции (комплексного переменного), го ломорфной в верхней комплексной полуплоскости. Аналоги этого результата были получены затем и для обобщенных функций одной (см., например, [18]) и многих (см. [20 – 22]) переменных. На основе этих результатов была разви та теория дисперсионных соотношений (см., например, [51]).
Таким образом, для понятия каузальности, которое используется в пер вых двух классах моделей можно сформулировать следующее общее 6.0.*) Определение. Пусть A – это некоторое линейно или частично упорядо ченное множество индексов. Пусть также (X), (Y), A, – два семейства подпространств из комплексных банаховых пространств X и Y соответствен но, упорядоченные по включению, так что X X (Y Y ), если. Опе ратор A, определенный на X со значениями в Y, называется каузальным (при чинным) относительно семейств подпространств (X) и (Y), если для любого A образ AX лежит в Y (т.е. упорядоченная пара подпространств (X, Y) инвариантна относительно оператора A).
При этом определение вытекающее из моделей третьего класса кажется абсолютно не связанным с этим. В диссертации мы пытаемся заполнить этот пробел.
Основной целью настоящей работы является развитие общей теории каузальных операторов на основе спектральной теории представлений ло кально компактных абелевых групп. Кроме того, изучаются задачи, харак терные для некоторых из рассмотренных моделей, в частности разложения каузальных операторов, радикал алгебры каузальных операторов, компакт *) Нумерация утверждений во введении соответствует таковой в основной части диссертационной работы.
ные каузальные операторы, обратимость (спектр) в алгебре каузальных опе раторов и др.
Основным инструментом исследования является теория представлений локально компактных абелевых групп (банаховых модулей). Также исполь зуются методы абстрактного гармонического анализа, теории коммутатив ных банаховых алгебр, теории абстрактных почти периодических функций, комплексного анализа и теории упорядоченных пар линейных операторов.
Первая глава диссертации представляет собой экспозицию применяемых в работе методов и понятий, связанных с ними. Основными здесь являются понятия спектра Берлинга векторов из банаховых модулей (см. определение 2.1) и спектральных подпространств (см. определение 2.8). Эти понятия поя вились в истории едва ли не ранее, чем понятие каузальности (спектр Бер линга был определен, например, в 1945 г. [59], а его свойства использовались еще в 1937 г. [45]). Однако, «встретиться» понятиям каузальности и спектра Берлинга было не суждено вплоть до настоящей работы. Лишь теперь, когда Y. Domar и L.-A. Lindahl [67, 68], У. Браттели и Д. Робинсон [17], Ю. И. Лю бич [47 – 49] и А. Г. Баскаков [4, 5, 8], создали стройную спектральную тео рию банаховых модулей эта «встреча» приобрела смысл.
Вторая глава настоящей диссертации посвящена введению понятия кау зальных операторов с использованием спектральной теории представлений LCA-групп. Приведя более полный обзор ранее известных определений кау зальности для моделей первого и второго классов, мы уточняем структуру множества A и цепочек подпространств (X), (Y) из определения 6.0. При этом в качестве A используется некоторая локально компактная абелева группа, (частично) упорядоченная при помощи некоторой своей подполу группы (конуса), а (X), (Y) представляют собой цепочки спектральных под пространств. Затем, мы доказываем эквивалентность полученного определе ния (7.1) определению, естественным образом применимому для моделей третьего класса (см. теорему 7.9), а также аналог теоремы Титчмарша (см.
теорему 10.18). При этом условие принадлежности носителя преобразования Фурье некоторому конусу переходит в условие принадлежности этому кону су (подполугруппе) спектра Берлинга изучаемого оператора относительно некоторого представления, а голоморфное продолжение ищется для опера торнозначной функции, построенной по этому представлению. Кроме того, во второй главе изучаются условия эргодичности каузального оператора, т.е.
его разложимости в сумму оператора без памяти и гиперкаузального опера тора. Эти условия являются прямым следствием эргодических теорем, сфор мулированных в §3 первой главы. Также доказываются различные достаточ ные условия принадлежности оператора радикалу алгебры каузальных опе раторов.
Основной целью третьей главы диссертации является изучение условий обратимости в алгебре каузальных операторов. Этот вопрос играет важную роль, например, при изучении систем с обратной связью. Обзор общих усло вий каузальной обратимости приведен в §11. Следующий §12 посвящен изу чению (спектральных) свойств компактных каузальных операторов и эргоди ческих операторов. §13 содержит условия обратимости и каузальной обрати мости операторов с двухточечным спектром Берлинга. В §14 условия обра тимости и каузальной обратимости операторов с дискретным спектром Бер линга сформулированы в терминах экспоненциальной дихотомии.
Отметим некоторые технические особенности текста. В диссертации принята сквозная нумерация параграфов. При этом параграфы §§1-5 состав ляют главу I, §§6-10 – главу II и §§11-14 – главу III. Внутри каждого пара графа утверждения и формулы нумеруются двумя цифрами, первая из кото рых означает номер параграфа, а вторая – номер утверждения или формулы в параграфе. Ссылка на утверждение имеет вид 1.1, а ссылка на формулу – (1.1).
Основные результаты работы докладывались на XXII конференции мо лодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2001), на международных семинарах «Нелинейное моделирование и управление» (Самара, 1997-2000), на Воронежских математических школах (весна 1997, зима 1998), на международной конференции «Математика. Компьютер. Об разование» (Пущино, 2001), на семинарах профессоров R. Nagel’я, J.A. Gold stein’a и G. Weiss’a, A. Aldroubi в рамках летних курсов по теории полугрупп и всплесков межуниверситетской школы математики (Италия, Кортона, 2001, 2002), на семинаре L. Weis’a в рамках международного интернет-семинара по функциональному исчислению и дифференциальным операторам (Германия, Блаубойрен, 2002), на семинарах проф. А.Г. Баскакова (Воронеж) и проф. R.
Nagel’я (Германия, Тюбинген).
Глава I.
Элементы спектральной теории представлений групп Настоящая глава, за исключением, быть может, последнего параграфа, содержащего некоторые теоремы комплексного анализа, полностью посвя щена элементам спектральной теории представлений локально компактных абелевых (LCA-) групп. Основным понятием здесь является понятие спектра Берлинга вектора (или множества векторов) из некоторого комплексного ба нахова пространства. По существу спектр Берлинга обобщает понятие носи теля функции (или ее преобразования Фурье). Первый прообраз этого поня тия появляется в работах шведского ученого Арни Берлинга [59], которые были инспирированы исследованиями военных времен по расшифровке сек ретных немецких кодов. К началу 70-х годов понятие спектра Берлинга по лучило устоявшуюся формулировку [68] и нашло достаточно серьезные при менения [17]. На его основе был существенно развит гармонический анализ линейных операторов [7]. Во второй главе настоящей диссертации мы ис пользуем понятие спектра Берлинга для определения свойства каузальности линейных операторов. Общность этого понятия делает предлагаемый нами подход к изучению каузальных операторов наиболее универсальным по сравнению с ранее известными [43, 71, 79].
§1. Банаховы модули и представления групп Прежде чем дать определение спектра Берлинга вектора необходимо на делить содержащее этот вектор пространство некоторой дополнительной структурой (структурой банахова модуля), определив умножение векторов на элементы некоторой коммутативной банаховой алгебры B.
1.1. Определение. Комплексное банахово пространство Х называется банахо вым модулем над алгеброй B, или, короче, B-модулем, если каждой паре элементов а B и x X поставлен в соответствие элемент аx X, и для лю бых a,bB, x,yX и C это соответствие обладает свойствами:
1) (a+b)x = ax+bx;
2) a(x+y) = ax+ay;
3) (ax) = (a)x = a(x);
5) ex = x, если B содержит единицу;
6) ||ax|| c||a||||x||, с 0.
4) (ab)x = a(bx);
Другими словами, говорят, что на Х задана структура B-модуля, если определено отображение T : B Х Х, являющееся непрерывным билиней ным оператором, удовлетворяющим свойствам 4) и 5);
символ ax = T(a, x) представляют собой значение оператора T на паре (a, x).
1.2. Пример. Любая коммутативная банахова алгебра B является B-модулем.
Структура B-модуля на B определяется отображением T(a,b) = аb, a,bB.
1.3. Пример. Пусть Х является B-модулем. Тогда сопряженное к Х банахово пространство Х наделяется структурой B-модуля при помощи формулы (a)(x) = (ax), Х, aB, xX.
1.4. Пример. Пусть U – гомоморфизм из алгебры B в банахову алгебру EndХ эндоморфизмов (линейных ограниченных операторов) пространства Х. Тогда формула ах = U(а)х, a B, x X, задает структуру B-модуля на Х. Верно и обратное – любое отображение U: B EndХ, определенное этой формулой, будет гомоморфизмом алгебр B и EndХ. Поэтому можно говорить, что бана хов модуль – это тройка (X, B, U), состоящая из банахова пространства X, ба наховой алгебры B и непрерывного (ограниченного) представления U: B EndХ.
Почти всюду в наших исследованиях мы рассматриваем банаховы моду ли над групповыми алгебрами, а точнее – над алгебрами L(G,) измеримых (по мере Хаара) на LCA-группе G комплексных функций, суммируемых с весом и со сверткой функций в качестве умножения. Здесь : G R – некоторый вес, то есть измеримая функция, удовлетворяющая условиям (g) 1, (g1)(g2) (g1+g2), g,g1,g2G (на группах, как правило, использу ется аддитивная форма записи алгебраической операции). Если 1, то так определенная алгебра суммируемых функций обозначается L1(G). В общем случае, мы будем предполагать, что для веса и произвольного g G вы полнено условие неквазианалитичности (Берлинга-Шилова-Домара) n ln (ng ), g G. (1.1) n = Это условие обеспечивает [68] регулярность банаховой алгебры L(G,), т.е.
для любого характера 0 из двойственной LCA-группы G непрерывных уни тарных характеров группы G и его произвольной окрестности U существует функция f из алгебры L(G,), такая что ее преобразование Фурье f (0) 0, и f () = 0 вне U.
В данной работе мы определяем преобразование Фурье на группе G при помощи формулы f () = f (g)(g)dg. В случае G = R используется фор G f(t)e-itdt, R G, а в случае G = Z – формула мула f () = R f(k) -k, T = {C: || = 1} – единичной окружности (группа f () = kZ Z отождествляется с LCA-группой T, на которой используется мультипли кативная форма записи алгебраической операции).
Приведем теперь пример банахова модуля над алгеброй L(G,).
1.5. Пример. Определим операцию умножения векторов Х на функции из L(G,) при помощи представления группы G операторами из EndX. Напом ним, что отображение U: G EndХ называется представлением группы, ес ли U(g+s) = U(g)U(s), s,g G и U(0) = I – тождественный оператор. При этом представление U называется сильно непрерывным, если функция g | U(g)x непрерывна для всех x X, и неквазианалитическим, если функция = U:
G R, определенная формулой U(g)=||U(-g)|| и автоматически являющаяся весом, удовлетворяет условию (1.1). Вес U назовем ассоциированным с представлением U. Если оно является сильно непрерывным и неквазианали тическим, то для определения операции умножения можно воспользоваться формулой fx = f(g)U(-g)xdg, (1.2) G где x X, и f L(G, U). Отметим, что иногда формула (1.2) имеет место даже если представление U не является сильно непрерывным (см. [8]).
1.6. Замечание. Для обозначения представления группы мы выбрали тот же символ, что и для гомоморфизма банаховых алгебр B = L(G, U) и EndХ из примера 1.4. Подобная двойственность обозначений оправдана тем, что мож но воспринимать U как представление банаховой алгебры M(G,U) ком плекснозначных регулярных счетно-аддитивных мер, определенных на боре левских подмножествах LCA-группы G и суммируемых с весом U. При этом формула U(µ)x = U(-g)xµ(dg) определяет структуру M(G,U)-модуля G на Х, и получается, что U(-g)=U(µg), где µg – мера Дирака, сконцентрирован ная в точке g, а U(f)=U(µf), где µf – абсолютно непрерывная мера, являющаяся образом функции f при каноническом вложении алгебры суммируемых с ве сом функций L(G, U) в алгебру M(G,U). Для обозначения алгебры ограни ченных мер (т.е. при 1) будем использовать символ M (G). Также мы бу дем использовать каноническое разложение алгебры мер M(G,) в прямую сумму M(G,) = Md(G,) Mac(G,) Msc(G,), где Md(G,) – подалгебра дискретных мер, Mac(G,) – подалгебра абсолют но непрерывных мер (образ L(G,) при вложении в M(G,)), и Msc(G,) – подпространство сингулярных непрерывных мер (в данном случае группа G предполагается недискретной). Подалгебру Md(G,) Mac(G,) будем обо значать символом Md ac(G,).
В общем случае мы, как правило, будем работать с банаховыми L(G,) модулями, удовлетворяющими условиям из следующих двух определений.
1.7. Определение. Будем говорить, что L(G,)-модуль X невырожден, если для любого x X\{0} существует функция f L(G,), такая что fx 0.
1.8. Определение. Будем говорить, что структура L(G,)-модуля Х ассоции рована с представлением U: G EndХ, если ||U(-g)|| (g) для всех g G, и U(g)(fx) = fgx = f(U(g)x), где g G, f L(G,), и fg L(G,) – сдвиг функции f на элемент g G, т.е. fg(s) = f(g+s).
Для L(G,)-модуля Х, структура которого ассоциирована с представле нием U: GEndХ, мы будем иногда использовать обозначения ХU или (Х,U).
Отметим, что условие из определения 1.8 автоматически выполняется, если модульная структура задана при помощи формулы (1.2), а условие из определения 1.7 – если представление U сильно непрерывно. Действительно, рассмотрим x X, такой что || x || = 1 и ||U(g)x – x|| для всех g из некото рой (измеримой по мера Хаара µ на G) окрестности U нуля группы G. По ложим f = U /µ(U), где U – характеристическая функция множества U. Тогда ||U(f)x–x|| = || f(g)(U(-g)x–x)dg || || |f(g)|dg|| ||U(-g)x – x|| = ||U(-g)x – x||.
G G Отсюда ||U(f)x|| = ||U(f)x – x + x|| || x || – ||U(f)x – x|| 0 и, значит, fx 0.
Приведем теперь конкретные примеры используемых в дальнейшем представлений и L(G,)-модулей, ассоциированных с ними.
1.9. Пример. Пусть X – некоторое банахово пространство векторнозначных функций, определенных на LCA-группе G или на некотором измеримом подмножестве G положительной меры, такое что формула (M(g)x)() = (U(g)x)() = (g)x(), g G,, x X, (1.3) определяет неквазианалитическое представление M = U: G EndХ. Напри мер, в качестве X можно взять одно из пространств Lp(, E), p [1,], опре деленных на измеримых (по Бохнеру относительно меры Хаара на G ) функций со значениями в банаховом пространстве E, суммируемых со степе нью p при p [1,) и существенно ограниченных при p = (с отождествле нием эквивалентных функций). В качестве X могут также использоваться следующие подпространства из L(,E): пространство непрерывных функ ций С(,E);
пространство m раз непрерывно дифференцируемых функций Сm(,E), m N – множество натуральных чисел;
пространство равномерно непрерывных функций Сu(,E);
пространство С0(,E) функций, убывающих на бесконечности;
пространство почти периодических функций AP(G,E) (список возможных функциональных пространств может быть продолжен, см. напр. [79]). Заметим, что в тех пространствах, в которых представление M = U сильно непрерывно, структура L(G,)-модуля задается формулой (1.2), которая принимает вид (fx)() = (M(f)x)() = f(g)(-g)x()dg = f ()x().
G В других перечисленных пространствах (например, в L(, E), если группа G недискретна) это представление оказывается непрерывным в более слабой топологии, и поэтому формулу (1.2) также можно использовать, только нуж но понимать сходимость интеграла в соответствующей топологии. В резуль тате мы опять же получим (M(f)x)() = f ()x().
1.10. Пример. Если X – некоторое пространство векторнозначных функций, определенных на G, например, C(G,E) или Lp(G,E), p[1,], то положим (T(t)x)(s) = (U(t)x)(s) = x(t+s), t,s G, x X. (1.4) Если X = Lp(G,E), то представление T сильно непрерывно при p [1,). Од нако формула (1.2) имеет место и в случае p = (cм. [8]). Более того, в этом примере формула (1.2) принимает вид свертки функций:
(fx)(t) = (T(f)x)(t) = (f x)(t) = f(s)x(t-s)ds.
G 1.11. Замечание. Представления, заданные формулами (1.3) и (1.4) использу ются в нашем исследовании довольно часто, поэтому для их обозначения введены специальные символы M и T (от английских слов modulation и trans lation).
1.12. Пример. Рассмотрим обратимый оператор U EndХ, такой что вес (n) = U -n = U(-n) удовлетворяет условию (1.1);
здесь G = Z и представление U: Z EndХ определено формулой U(n) = U n, n Z. Тогда формула f(k)U -kx, f L(Z, ), x Х fx = (1.5) kZ задает структуру L(Z,)-модуля на Х, ассоциированного с представлением U.
Отметим, что в этом случае из-за условия (1.1) спектр (U) оператора U яв ляется подмножеством из T.
1.13. Пример. Пусть Н – комплексное гильбертово пространство, и на алгебре борелевских подмножеств из G определена проекторнозначная мера P: EndH. По теореме СНАГ (Стоуна – Наймарка – Амброза – Год мана) [17] отображение U: G EndH (g)dP(), g G, U(g) = (1.6) G является непрерывным в сильной операторной топологии унитарным пред ставлением LCA-группы G операторами из EndH, и, следовательно, H явля ется L1(G)-модулем (см. пример 1.5). Нетрудно видеть, что модульная струк тура при этом задается вытекающей из (1.2) формулой f ()dP()x, f L1(G), f L1( G ).
U(f)x = (1.7) G 1.14. Пример. В каком-то смысле аналогичное представление можно постро ить и в банаховом пространстве. Будем считать, что в Х имеется семейство проекторов E = {En EndX, n Z}, осуществляющее разложение единицы, E x т.е. EmEn = 0 для всех m n Z и для любого вектора x из X ряд без n nZ условно сходится к x. Таким образом, конечна величина E 1, С(E) = sup (1.8) n n nT nZ и мы можем определить ограниченное сильно непрерывное представление U: T EndХ при помощи формулы E x, T, x X.
U()x = n (1.9) n nZ Нетрудно видеть, что структура L1(T)-модуля на X при этом задается выте кающей из (1.2) формулой f (n) E x, f U(f)x = L1(T). (1.10) n nZ Заметим, что на основе этого представления удобно строить матрицы опера торов из EndХ (см., например, [12, 13]).
Банахово пространство Hom(X,Y) ограниченных линейных операторов, определенных на X со значениями в Y, также можно наделить структурами банаховых модулей, ассоциированными с различными представлениями.
1.15. Пример. Пусть наряду с сильно непрерывным представлением U: G EndX определено еще одно сильно непрерывное представление V:G EndY, причем функции U и V (см. пример 1.5) удовлетворяют условию неквазиа налитичности (1.1). Введем два представления W: G EndHom(X,Y) и ~ W :GG EndHom(X,Y), определенные формулами W(g)A=V(g)AU(-g), gG, A Hom(X,Y), (1.11) ~ W (g1,g2)A=V(g2)AU(g1), g1,g2G, A Hom(X,Y). (1.12) ~ ~ Ясно, что W(g)=||W(-g)|| U(g)V(-g) и W(g1,g2)= || W (g1,g2)|| U(g1)V(g2) ~ (функции и определены в примере 1.5), т.е. и – неквазианали U V W W ~ тические веса. Кроме того, представления W и W непрерывны в сильной операторной топологии пространства Hom(X,Y). Поэтому, пространство ~ Hom(X,Y) наделяется структурами банахова L(G, )- и L(GG, )-модуля W W с помощью формул, аналогичных (1.2), только сходимость интегралов пони мается в сильной операторной топологии.
1.16. Пример. Пусть две пары сильно непрерывных неквазианалитических представлений T1:G EndX, M1:G EndX и T2: G EndY, M2: G EndY удовлетворяют соотношениям Вейля Ti(g)Mi() = (g)Mi()Ti(g), i =1,2, gG. (1.13) Тогда отображение W: G G EndHom(X,Y), определенное формулой W (g,)A = T2(g)M2()AM1()T1(g), gG, G, (1.14) будет, как нетрудно проверить, непрерывным в сильной операторной тополо гии неквазианалитическим представлением, и пространство Hom(X,Y) наде ляется структурой банахова L(GG, W)-модуля с помощью формулы, ана логичной (1.2). Здесь – вес, ассоциированный с представлением W.
W Символы Ti и Mi выбраны для обозначения представлений в этом примере, потому что классическим примером представлений, удовлетворяющих соот ношениям Вейля (1.13), являются представления из примеров 1.9 и 1.10. В этом случае представление W называется представлением Вейля.
В заключение настоящего параграфа мы определим несколько подмно жеств векторов из банахова L(G,)-модуля Х со структурой, ассоциирован ной с представлением U: G EndХ, и рассмотрим некоторые их свойства.
1.17. Определение. Линейное подпространство X0 из L(G,)-модуля ХU (см.
определение 1.8) называется подмодулем, если оно инвариантно относитель но всех операторов вида U(g), gG, и U(f), f L(G, ).
1.18. Определение. Вектор x XU, представимый в виде x = fy для некоторых f L(G,) и y XU, будем называть факторизуемым. Множество таких век торов будем обозначать Xф. Подмножество XК из Xф, определенное формулой XК = {fx XU, f L(G, ), supp f – компакт}, является подмодулем из ХU, возможно незамкнутым.
1.19. Определение. Вектор из множества XU = {x XU: функция g | U(g)x непрерывна} будем называть U-непрерывным.
Очевидно, что XU – замкнутый подмодуль из XU.
1.20. Замечание. Пусть X0 – замкнутый подмодуль из L(G,)-модуля XU. То гда факторпространство X/X0 является банаховым L(G,)-модулем (фактор модулем), структура которого ассоциирована с (фактор)представлением U :
G EndX/X0, U (g) ~ = (U(g)x)~, где ~ и (U(g)x)~ – классы эквивалентности x x содержащие вектора x и U(g)x соответственно. Структура фактормодуля за дается формулой f ~ = (fx)~, f L(G,), x XU. Легко видеть, что свойство из x определения 1.8 остается выполненным для фактормодуля X/X0. Однако свойство из определения 1.7 может и не выполняться (например, если группа G недискретна, X = L(G,E), X0 = Cu(G,E), и U = T – представление из при мера 1.10). Тем не менее, если представление U сильно непрерывно, то фак тормодуль X/X0 остается невырожденным, поскольку представление U оста ется сильно непрерывным.
Рассмотрим теперь несколько утверждений о связи между подмножест вами векторов XU, XК и Xф из L(G,)-модуля XU.
1.21. Лемма. Имеет место включение Xф XU.
Доказательство. Утверждение леммы немедленно вытекает из равенств U(g)x – U(s)x = U(g)(fy) – U(s)(fy) = fgy – fsy = (fg – fs)y и сильной непрерывности группы сдвигов в пространстве L(G,) (см. [8]).
На самом деле имеет место более сильное утверждение о совпадении множеств Xф и XU. Оно вытекает из факторизационной теоремой Коэна Хьюитта (см. [74]), точная формулировка которой будет приведена в §3 (см.
теорему 3.4). В §2 (см. Лемму 2.14) мы докажем совпадение замыкания мно жества XК (а, значит, и Xф) с XU. Здесь же, нами будет доказана следующая важная 1.22. Теорема. Рассмотрим L(G,)-модуль ХU. Тогда для всех x Xф и f L(G,) имеет место формула (1.2).
Доказательство. Ввиду леммы 1.21 для всех x Xф XU интеграл в (1.2) сходится к некоторому вектору из X, который обозначим z. Мы должны дока зать, что z = T(f, x). Поскольку x Xф, найдется такая функция h L(G, ) и вектор y X, что x = T(h, y). Поэтому f(g)U(-g)xdg = f(g)U(-g)T(h,y)dg = f(g)T(hg, y)dg = T(f(g)hg, y)dg = z= G G G G = T( f(g)hgdg, y) = T(f h, y) = T(f, T(h, y)) = T(f, x) G в силу билинейности оператора T и свойства из определения 1.8. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы немедленно следует, что если X = Xф (а точнее X = XU, ввиду теоремы Коэна-Хьюитта), то структура банахова L(G,) модуля на X, ассоциированная с представлением U, неизбежно задается фор мулой (1.2). При этом естественным образом встает вопрос о том, может ли одна и та же структура L(G,)-модуля быть ассоциированной с различными представлениями. Ответ на этот вопрос дает следующая 1.23. Лемма. Если невырожденные L(G,)-модули XU и XV имеют одинако вую структуру, то представления U, V: G EndХ совпадают.
1.24. Замечание. Утверждение леммы может не иметь места для вырожден ных модулей.
Доказательство леммы. Ввиду невырожденности модулей XU и XV для дока зательства леммы достаточно проверить равенства U(f)U(g)x = U(f)V(g)x для всех f L(G, ). Используя свойство из определения 1.8 и совпадение струк тур L(G,)-модулей XU и XV, имеем: U(f)(U(g)–V(g))x =(U(f)U(g)–V(f)V(g))x = = (fg – fg)x = 0. Лемма доказана.
§2. Спектр Берлинга в банаховых модулях Обозначим через Sp(B) спектр коммутативной банаховой алгебры B, т.е.
локально компактное (компактное, если B содержит единицу) пространство ненулевых непрерывных комплексных гомоморфизмов (характеров) этой ал гебры, которые иногда удобно отождествлять с их ядрами, являющимися ре гулярными максимальными идеалами (в этом случае говорят о пространстве максимальных идеалов). Таким образом, Sp(B) можно рассматривать как то пологическое подпространство единичного шара B (0,1) = {B: |||| = 1} из сопряженного к B банахова пространства B, наделенного слабой топологи ей (топология в Sp(B) индуцируется из B). Если a B, то символом a обо значим преобразование Гельфанда этого элемента (т.е. функция a : Sp(B) C определена равенствами a () = (a), Sp(B)). Как обычно, символом (a) = B(a) будем обозначать спектр элемента a из алгебры B. Со гласно теореме Гельфанда (см. [24]) B(a) = a (Sp(B))={ a (): Sp(B)}.
Эти обозначения позволяют нам ввести наиболее общее определение спектра Берлинга, которое выглядит следующим образом.
2.1. Определение. Пусть Х – B-модуль и M Х. Спектром Берлинга множе ства M элементов из B-модуля Х называется подмножество (M) из Sp(B) тех характеров, ядро которых содержит идеал M ={a B: ax = 0, x M}.
Иначе говоря, (M) = Sp(B) \ {Sp(B): aB, a ()0 и ax = 0 x M}.
Если M = {x}, то вместо ({x}) будем писать (x). В этом случае получается, что (x) = { Sp(B): ax 0 для всех a B, таких что a () 0}.
Иногда, чтобы подчеркнуть, что спектр Берлинга связан с выбором структуры банахова модуля, а, значит, – представления U, наряду с введен ным обозначением (x), мы будем также использовать обозначение (х,U).
2.2. Замечание. Мы, как правило, рассматриваем банаховы модули над ал гебрами L(G,), где – некоторый неквазианалитический вес (см. (1.1)). В этом случае пространство Sp(L(G,)) отождествляется с двойственной LCA группой G при помощи преобразования Фурье, совпадающим при этом с преобразованием Гельфанда. Вследствие этого, спектр Берлинга из опреде ления 2.1 принимает следующий вид:
(M) = G \{ G : f L(G,), такая что f () 0, но fx = 0 x M}.
Если при определении спектра Берлинга рассматривать в качестве B алгебру дискретных мер Md(G,) (см. замечание 1.6), то ее удобно отождествлять с алгеброй функций L(Gd,), где через Gd обозначена LCA-группа G, наде ленная дискретной топологией. В этом случае спектр (M) будет подмноже ством из компактной группы G c = (Gd)^, двойственной к Gd и называемой боровской компактификацией группы G. Если в качестве B рассмотреть ал гебру Md ac(G,) (см. замечание 1.6), то ее спектр удобно отождествить с суммой множеств G c G = {(,0): G c} {(,1): G }, являющейся по определению объединением их непересекающихся копий.
2.3. Замечание. В некоторых частных случаях, например, в случае функцио нальных пространств, можно дать эквивалентные определения спектра Бер линга, называемые спектрами Карлемана или Арвесона [27, 58, 69]. Для нас эти определения представляют собой важные свойства спектра Берлинга, часть из которых будет сформулирована ниже. Теперь же мы сформулируем определение спектра Бора, который является подмножеством спектра Бер линга.
2.4. Определение. Элемент G называется собственным характером банахова модуля XU, если найдется ненулевой вектор x XU (называемый собственным вектором банахова модуля XU), такой что имеет место равенст во U(g)x = (g)x для всех g G. Совокупность собственных характеров ба нахова модуля называется его спектром Бора (обозначается B(XU)). Спек тром Бора вектора x XU, обозначается B(x,U), называется спектр Бора наименьшего замкнутого подмодуля [x] из XU, содержащего x.
Для банаховых модулей со структурой, ассоциированной с одним из представлений, рассмотренных в примерах предыдущего параграфа, можно уточнить понятие спектра Берлинга.
2.5. Пример. Пусть U = M – представление из примера 1.9. В этом случае, как уже отмечалось, (M(f)x)() = f ()x(), и спектр Берлинга (x,M) функции x совпадает с ее существенным носителем supp x G. Заметим, что если X = Lp(, E), G, то спектр (XM) может содержать не все характеры из (например, если содержит изолированные точки), или содержать характе ры из G, не принадлежащие (например, если не замкнуто).
2.6. Пример. Пусть U = T – представление из примера 1.10, E = C и G = Rm.
Тогда (x,T) = supp x, то есть спектр Берлинга совпадает с носителем преоб разования Фурье функции x, понимаемым как обобщенная функция [58]. Не которые дополнительные свойства этого спектра при G = R будут изучаться в §5.
2.7. Пример. Пусть модульная структура задана также, как в примере 1.12, т.е. формулой (1.5). Тогда спектр Берлинга (X) модуля X, иногда называе мый спектром Арвесона оператора U или группы операторов {U(n)} (см.
[69]), совпадает с обычным спектром (U) T оператора U (см. следствие 2.28). Формула для спектра Берлинга вектора x X в данном случае будет приведена ниже.
Перед тем как рассмотреть пример соответствующий представлению в гильбертовом пространстве, заданному формулой (1.6), введем еще одно 2.8. Определение. Для любого подмножества G символом X() = X(,U) обозначим подпространство из X вида {x X : (x,U) } и назовем его спектральным подпространством (см. [4, 17] ).
2.9. Пример. Пусть U – представление из примера 1.13. Как следует из тео ремы СНАГ (см., например, [17]), для любого замкнутого (или открытого) подмножества G, спектральное подпространство Н() совпадает с обра зом P()Н. При этом из формулы (1.7) следует, что спектр Берлинга (x,U) вектора x совпадает с существенным носителем функции P()x.
2.10. Пример. Пусть U – представление из примера 1.14. Тогда из формулы (1.10) следует, что спектр Берлинга (x,U) вектора x совпадает с теми n Z, для которых En x 0.
2.11. Пример. Пусть модульная структура на End(L2(R)) задана при помощи представления Вейля, как в примере 1.16. Рассмотрим локализационный (см.
[61]) оператор Aa, End(L2(R)), определенный формулой 1 a (, )(V f )(, ) 2 (t )dd, e 2it ( Aa, f)(t) = 1 R где a M (R2), 1, 2 M(R), и V есть «кратковременное преобразование Фурье», т.е.
(V f )(, ) = e f ( s )1 ( s )ds.
2is R Ввиду равенств W (f) Aa, = A,, верных для любой f L1(R2), получаем, 1 1 fa что ( Aa,, W ) supp a R2 (носитель понимается в обобщенном смысле).
1 Свойства спектров Берлинга операторов относительно представлений из примера 1.15, будут подробно изучаться ниже.
Теперь же сформулируем некоторые известные свойства спектра Бер линга и спектральных подпространств L(G,)-модулей (см. [7, 17, 68]) и приведем их доказательство с целью полноты изложения. Аналогичные свойства имеют место и в случае произвольных B-модулей (см. [8]).
2.12. Лемма. Пусть X – банахов L(G,)-модуль, ассоциированный с пред ставлением U: G EndX. Имеют место следующие свойства:
1) Спектр (M) – замкнутое множество M Х, и (M) = M = {0};
2) (x + y) (x) (y), C, x, y X;
3) (Ax) (x) для любого x X и любого оператора A EndX, перестано вочного с операторами U(f), f L(G,);
4) (fx) supp f (x) x X и f L(G,);
5) fx = 0, если supp f (x) =, и fx = x, если (x) – компакт и f = 1 в неко торой окрестности множества (x);
6) (x) = ([x]) x X, где [x] – наименьший замкнутый подмодуль из X, содержащий x;
7) Если M – некоторое подмножество из Х, и M0 – плотное подмножество из M, то (M) = U ( x) ;
x M 8) Если G замкнуто, то спектральное подпространство X() также замкнуто в X.
Доказательство. 1) Непосредственно из определения спектра Берлинга сле дует замкнутость множества (M) и равенство (0) =. Если же (M) =, то для любого характера G существует функция f L(G,) такая, что f () 0 и fx = 0 x M. Из определения 1.8 следует, что множество M (см.
определение 2.1) образует замкнутый идеал в алгебре L(G,), инвариантный относительно сдвигов функций. Поскольку его оболочка (M) пуста, то в си лу теоремы Н. Винера (см. [24]) идеал M совпадает со всей алгеброй L(G,).
Используя невырожденность модуля Х (см. определение 1.7), получаем, что M = {0}.
2) Если 0 (x) (y), то существуют функции f1, f2 L(G,) со свойства ми: f i (0) 0 и fi x = 0, i = 1,2. Тогда функция f = f1 f2 L(G,) удовлетворяет условиям: f (0) = f1 (0) f 2 (0) 0 и f (x + y) = 0, т.е. 0 (x + y).
3) Если 0 (x), то для функции f L(G,) такой, что f (0) 0 и fx = 0, по лучаем fAx = Afx = 0, т.е. 0 (Ax).
4) Это свойство непосредственно следует из свойства 3) и определения спек тра Берлинга.
5) Если supp f (x) =, то из свойств 4) и 1) следует, что fx = 0. Пусть f = в некоторой окрестности компактного множества (x), f L(G,). Тогда для любой функции L(G,) имеет место включение ((fx - x)) = (( f - )x) supp ( f -1) (x) =.
Поэтому (fx - x) = 0 и, используя невырожденность модуля Х, получаем ра венство fx = x.
6) Включение (x) ([x]) следует непосредственно из определения спектра Берлинга. Обратное включение немедленно вытекает из свойств 2) и 4).
7) Включение (M), где = U ( x), непосредственно следует из опре x M деления спектра Берлинга и свойства замкнутости спектра. Если 0, то рассмотрим функцию f L(G,) такую, что f (0) 0 и supp f =. То гда xM0 (fx) supp f (x) = и поэтому fx = 0 xM в силу плотности M0 в M. Это означает, что 0 (M).
8) Пусть G замкнуто и x0 принадлежит замыканию X(). Возьмем и рассмотрим функцию f L(G,) такую, что f (0) 0 и supp f =. В силу свойства 4), U(f)x = 0 для всех xX() и из-за непрерывности оператора U(f) – для всех x X ( ). Поэтому 0 (x0) и, значит, x0 X(). Лемма дока зана.
Из свойств 4) и 5) доказанной леммы немедленно вытекает 2.13. Следствие. Имеет место равенство XК = {x X: (x) – компакт} (см.
определение 1.18).
Теперь мы можем доказать сформулированное ранее утверждение о свя зи между подмодулями XК и XU (см. определение 1.19).
2.14. Лемма. Имеет место равенство XU = X K.
Доказательство. Обозначим X0 = X K. Поскольку XU – замкнутый подмодуль и X K XU, то, без ограничения общности, можно считать XU = X. Так как те перь представление U: G EndX сильно непрерывно, то факторпредставле ние U : G EndX/X0 также будет сильно непрерывным и поэтому можно рассмотреть невырожденный фактормодуль X/X0 ассоциированный с пред ставлением U (см. замечание 1.20). Если X0 X, то (X/X0) (в силу свой ства 1) леммы 2.12). С другой стороны, ( ~ ) = для всех ~ = x + X X/X.
x x 0 Действительно, для любого характера G и функции f L(G,) со свойст вами supp f – компакт и f = 1 в окрестности имеем (fx - x) (см. лемму 2.12). Поскольку fx X0, то ( ~ ). Теперь из свойства 7) леммы 2.12 сле x дует, что (X/X0) и в силу произвольности выбора G имеем (X/X0)=.
Из полученного противоречия следует, что X0 = X. Лемма доказана.
Из доказанной леммы и теоремы 1.22 немедленно вытекает важное 2.15. Следствие. Рассмотрим L(G,)-модуль ХU. Для всех xXU и f L(G,) имеет место формула (1.2).
На основе свойств, приведенных в лемме 2.12, можно также во многих случаях эффективно вычислять спектр Берлинга. В частности, возвращаясь к примерам 1.12 и 2.7, получаем, что свойство 6) гарантирует равенство (x) = = (U[x]), где U[x]: [x] [x] – сужение оператора U на подмодуль [x]. Рассмот рим еще один 2.16. Пример. Вычислим спектр (A,W) оператора дифференцирования A=d :С1(R)С(R), определив представление W по формуле (1.11), а dt представления U, V по формуле (1.3), где G G R. Так как W(s)А)х(t)= = x( t ) + isx( t ), то & ((fA)x)(t)= f (s)(( W (s)A) x)( t )ds = f (s)( x( t ) + isx( t ))ds = & = f (0)Ах(t)+i f (s)sds x( t ).
Таким образом, если взять в качестве f L(R,U), U(t) = 1+|t|, произвольную четную функцию со свойствами f (0) = 0 и f () 0, 0, получим fA = 0, откуда (A,Т). Теперь (A,Т) = {0} в силу свойства 1) леммы 2.12.
Рассмотрим еще один интересный факт, вытекающий из леммы 2.12. За метим предварительно, что он (как, впрочем, и многие из свойств леммы 2.12) имеет место и в случае произвольных B-модулей.
2.17. Лемма. Пусть спектр Берлинга (X,U) модуля X представим в виде объ единения (X,U) = 1 2 двух непересекающихся замкнутых множеств 1 и 2, причем 1 – компакт. Тогда X есть прямая сумма X = X(1) X(2) своих спектральных подпространств (подмодулей) X(1) и X(2).
Доказательство. Пусть f L(G,U) – любая функция со свойством f = 1 в некоторой окрестности множества 1 и f = 0 в некоторой окрестности мно жества 2. Преобразование Фурье h функции h = f f - f обращается в нуль в некоторой окрестности множества (X,U), и поэтому U(h) = U2(f) - U(f) = 0, то есть Р=U(f) – проектор. Из свойства 5) леммы 2.12 следует, что Р – проек тор на X(1) параллельно X(2).
Далее мы рассмотрим еще несколько определений спектра в банаховых модулях. Их взаимосвязь со спектром Берлинга позволит получить ряд ут верждений о структурных свойствах банаховых модулей. Перед этим приве дем еще одно 2.18. Замечание. Если : A B – гомоморфизм коммутативных банаховых алгебр, и преобразования Гельфанда элементов (a), a A, разделяет точки из Sp(B), то сопряженный оператор : B A индуцирует вложение спек тра Sp(B) алгебры B в спектр Sp(A) алгебры A, т.е. () Sp(A) если Sp(B). При этом важно отметить, что () Sp(A) (Ker ()) Ker |((a))| Const |(a)| a A.
2.19. Определение. Пусть на Х задана структура L(G,)-модуля, ассоцииро ванная с представлением U: GEndХ, и B = B(U) – наименьшая замкнутая подалгебра из алгебры EndХ, содержащая все операторы U(f), f L(G,).
Рассмотрим гомоморфизм алгебр : L(G,) B, (f) = U(f). Множество (Sp(B)) G назовем узким спектром [67] и обозначим символом 1(X) (или 1(X,U)).
Чтобы ввести в рассмотрение еще один спектр L(G,)-модуля нам по требуется следующее 2.20. Определение. Подалгебра B0 из банаховой алгебры B называется наполненной, если каждый обратимый в алгебре B обратим и в B0.
2.21. Определение. Пусть на Х задана структура L(G,)-модуля, ассоцииро ванная с представлением U: GEndХ, и B0 = B0(U) – наименьшая замкнутая наполненная подалгебра из банаховой алгебры EndХ, содержащая все опера торы U(f), f L(G,). Рассмотрим гомоморфизм алгебр : L(G,) B0, (f) = U(f). Множество (Sp(B)) G обозначим символом 2(X) (или 2(X,U)).
Непосредственно из определения 2.19 и замечания 2.18 следует, что имеет место представление 1(X) = {G : | f ()| ||U(f)|| f L(G,)} (2.1) и, следовательно, имеет место включение 2(X) 1(X).
2.22. Определение. Множество 3(X) = 3(X,U) характеров из группы G, для которых существует нормированная направленность (x) векторов из X (т.е. ||x|| = 1 для всех ) такая, что lim (fx – f ()x) = 0 для всех f L(G,) (2.2) называется аппроксимативным спектром L(G,)-модуля X.
Понятие аппроксимативного спектра для сепарабельной группы G и сильно непрерывного представления U было введено в [47] (см. также [48, 49]) и в общем случае в [67].
2.23. Теорема. Для любого банахова L(G,)-модуля X, ассоциированного с представлением U имеют место равенства (X) = 1(X) = 2(X) = 3(X).
2.24. Замечание. В случае произвольного B-модуля X эти равенства могут и не выполняться. Однако имеют место включения (X)1(X)2(X)3(X).
Для получения равенств достаточно свойств регулярности банаховой алгеб ры и полупростоты (последнее означает, что для любого элемента a B найдется характер Sp(B), такой что (a) 0). Более точную формулиров ку этого результата см. в [8]. Здесь же мы отметим только, что алгебры Md(G,), Md ac(G,) (см. замечание 2.2) и, конечно, алгебры L(G,) явля ются регулярными и полупростыми [68].
2.25. Замечание. Равенства из теоремы 2.23 могут использоваться при дока зательстве слабой теоремы об отображении спектра для однопараметриче ских сильно непрерывных групп операторов (см. теорему 2.29 и [69]).
Доказательство теоремы. Пусть 3(X). Рассмотрим нормированную на правленность (x) со свойством (2.2). Тогда функционал U(f) | f () допуска ет расширение до некоторого непрерывного гомоморфизма алгебры B(U) (см. определение 2.19). Поэтому из (2.1) следует, что 1(X). Итак 3(X) 1(X).
Пусть теперь (X). Тогда существует функция f L(G,) такая, что f () 0 и fx = 0 x X, т.е. U(f) = 0. Это значит, что не удовлетворяет оценкам (2.1), т.е. 1(X). Таким образом доказаны включения 3(X) 1(X) (X).
Если (X)\3(X), то в силу замкнутости множества 3(X) можно рас смотреть функцию f L(G,) со свойствами: f () 0 и 3(Xf) supp f =.
Из определений 1.7 и 1.8 невырожденного и ассоциированного представле ний, следует, что Xf = { fx : x X } – ненулевой подмодуль (см. определение 1.17), на котором представление U сильно непрерывно (см. лемму 1.21), и по этому 3(Xf) 0 (см. [67]). Из леммы 2.12 и доказанного включения следует, что 3(Xf) = 3(Xf) (Xf) 3(Xf) supp f =. Получено противоре чие, и, значит, 3(X) = 1(X) = (X).
Из рассмотренного перед определением 2.22 включения 2(X) 1(X), равенств (U(f)) = f ( 2 ( X )), непосредственно вытекающих из определения 2.21 спектра 2(X), и доказанного равенства 3(X) = 1(X) следует, что спектр (U(f)) каждого оператора U(f), f L(G,), граничный, т.е. для каждого (U(f)) существует нормированная последовательность (xn) из X такая, что lim ||(U(f) – )xn||=0. Следовательно (см. напр. [27]), B0(U) = B(U) (см. опре n деления 2.19 и 2.21). Поэтому B(U) является наполненной подалгеброй, и 2(X) = 1(X). Теорема доказана.
2.26. Следствие. B(U) – наполненная подалгебра в EndX.
2.27. Следствие. Спектр (U(f)) каждого оператора U(f), f L(G,), гранич ный.
2.28. Следствие. Для всех f L(G,) верно равенство (U(f)) = f ( ( X )).
В частности, если модульная структура на X задана также, как в приме рах 1.12 и 2.7, то, положив f(n) = -1, где f L(Z,) и -1 – символ Кронекера, получим (U) = (X). Более общий результат содержит в себе следующая 2.29. Теорема. Пусть на Х задана структура L(G,)-модуля, ассоциированная с сильно непрерывным представлением U: G EndХ, и оператор A EndХ имеет вид U(g k ), (2.3) A= k k Где (k), (gk) – последовательности из C и G соответственно, причем (k) та кова, что ряд (2.3) абсолютно сходится. Тогда спектр оператора A является граничным и допускает представление в виде (A) = C : = k (g k ), ( X, U) (2.4) k Доказательство. Символом Gd, как и в замечании 2.2, обозначим группу G, наделенную дискретной топологией. Тогда Х наделяется структурой L(Gd,) модуля, ассоциированного с непрерывным представлением Ud: Gd EndХ, Ud(g)=U(g), g Gd. Поскольку оператор A можно записать в виде Ax = fx, где f L(Gd,) определяется равенствами: f(-gk) = k, k 1, и f(g) = 0 при g -gk и k 1, то непосредственно из следствия 2.28 получаем представление (A) = f ( ( X, U d )) = C : = k (g k ), ( X, U d ), (2.5) k где (X,Ud) – подмножество из компактной группы G c (см. замечание 2.2). В силу следствия 2.27 спектр (A) является граничным.
Легко видеть, что для векторов из XК (см. следствие 2.13) спектр (x,Ud) Gc множества (x,U) в топологии группы G c.
совпадает с замыканием ( x, U) Поэтому, используя сильную непрерывность представления U, лемму 2.14 и свойство 7) леммы 2.12, имеем Gc Gc Gc Gc Gc (X,Ud) = U ( x, U d ) = U ( x, U ) U ( x, U ) = ( X, U).
= x X Comp x X Comp x X Отсюда и из представления (2.5) получаем равенство (2.4). Теорема доказана.
2.30. Следствие. Для всех g G верно (U(g)) = {(g), ( X, U)}.
2.31. Замечание. Теорему 2.29 очевидным образом можно было бы доказать, используя структуру банахова Md(G,)-модуля на X. Используя же структуру Md ac(G,)-модуля, можно получить и более общий факт, а именно (A) = f ( ( X, U) ) C : = k (g k ), ( X, U) k U(g k ) EndХ (см. формулу (2.3)).
для операторов вида A = U(f) + k k §3. -направленности;
элементы эргодической теории В этом параграфе мы вводим некоторые дополнительные понятия, с по мощью которых можно более детально изучать структуру спектра Берлинга и спектральных подмодулей.
Как известно [68], если группа G не компактна, то алгебры L(G,) не содержит ни единичной функции, ни функций, преобразование Фурье кото рых имело бы носитель, состоящий из одной точки. Такие функции оказыва ются в случае компактной группы чрезвычайно полезными для изучения структурных свойств спектра Берлинга и спектральных подмодулей, имею щих изолированные точки спектра. Достичь тех же результатов в некомпакт ном случае позволяют направленности функций, аппроксимирующие ука занные свойства. Заметим, что для компактной группы также можно пользо ваться языком направленностей, просто считая их стационарными.
Всюду в этом параграфе (и далее в работе) через A обозначается некото рое направленное множество.
3.1. Определение. Ограниченная направленность (a), A, элементов из ал гебры B называется ограниченной аппроксимативной единицей (о.а.е.) алгеб ры B, если она обладает следующими свойствами:
а) a 1 в некоторой окрестности нуля при всех A;
б) lim a a = a, для всех a B.
Существование о.а.е. в алгебрах L(G,), где – неквазианалитический вес, доказано в [68]. Более того, в алгебрах L(G,) всегда можно выбрать та кую о.а.е. (a), что все преобразования Гельфанда a, A, будут иметь компактный носитель. Отметим также, что условие lim a (0) = 1 для любой о.а.е. (a) непосредственно следует из свойства б) определения 3.1. Заметим, что иногда в определении о.а.е. свойство а) опускают. Если же примарные идеалы алгебры B максимальны*) (см. [24]), то существование о.а.е. в алгебре B эквивалентно существованию направленности, удовлетворяющей свойству б) определения 3.1 и свойству a (0) = 1. Отметим также следующий факт.
3.2. Лемма. Рассмотрим L(G,)-модуль ХU. Для любого U-непрерывного вектора x ХU (см. определение 1.19) и произвольной о.а.е (a) справедливо равенство lim U(a)x = x. (3.1) Доказательство. В силу леммы 2.14 доказываемое утверждение достаточно проверить только на множестве XК векторов с компактным спектром Берлин га. Используя свойство 5) леммы 2.12, представим x ХК в виде x = ax. В си лу свойства в) из определения 3.1 и U-непрерывности вектора x имеем lim U(a)x = lim U(aa)x = U(a)x = x.
Лемма доказана.
3.3. Замечание. Утверждение леммы, как, впрочем, и факты, использованные при ее доказательстве, остаются верными и в случае произвольного банахова модуля (X, B, U) (см. пример 1.4).
Понятие о.а.е. играет важную роль при доказательстве факторизацион ной теоремы Коэна-Хьюитта, о которой шла речь в §1. Теперь мы готовы дать ее точную формулировку.
*) Примарные идеалы алгебры L(G,) являются максимальными при следующем условии на вес [6, 24]:
lim (ng)/|n| = 0. (3.3) n 3.4. Теорема (Коэн-Хьюитт, [74]). Пусть (X, B, U) – банахов модуль над коммутативной банаховой алгеброй B, содержащей о.а.е. Тогда множество Xф = {fx, f B, x X} (см. также определение 1.18) замкнуто в X.
3.5. Следствие. Имеет место равенство Xф = XU (см. определения 1.18, 1.19).
Направленность функций из следующего примера наиболее важна для нас в дальнейшем.
3.6. Пример. Рассмотрим семейство функций (f) из L1(R), вида, R \{0}. (3.2) f(t) = t 2 + Направленность (f), 0, не будет о.а.е. в смысле определения 3.1.
Действительно, функции f равны единице лишь в нуле, а не в окрестности нуля. Все же, равенство lim U(f)x = x остается выполненным на ХU, если U – ограниченное представление. Докажем это, предполагая, что || U(t) || M 1, t R. Рассмотрим равенства:
(U(-t) - I )x dt.
+ + U(-t) xdt 2 2 x = || U(f)x - x || = t + t 2 +. Для произвольных 0 и Разобьем последний интеграл: + t t (U(-t) - I )x dt ( ) Mx dt / + arctg t + arctg t / / U(-t) - I x t t + t 2 + 2 2 t при достаточно малых. Так как x Хс, то найдется такое, что для всех t[-,] выполнено ||(U(-t)-I)x|| /4, и для малых (U(-t) - I )x (U(-t) - I )x dt dt / arctg t / /2.
dt = t + 4 t t + t + 2 2 2 2 t t Таким образом, для любого 0 найдется такое 0 0, что ||U(f)x - x|| для всех из [-0,0]. Поэтому lim U(f)x = x.
3.7. Замечание. Если для некоторой направленности (a) свойство б) опреде ления 3.1 выполнено не для всех a B, а только для элементов из некоторого идеала, то эта направленность называется ограниченной аппроксимативной единицей идеала. Очевидно, что в этом случае равенство (3.1) имеет место для некоторого подмодуля из ХU, а именно для векторов x ХU, представи мых в виде x = ax, где a.
Нас будут особенно интересовать подмодули, состоящие из векторов с одноточечным спектром Берлинга. Поэтому введем следующее 3.8. Определение. Ограниченную направленность (a), A, элементов из алгебры B назовем -направленностью, где Sp(B), если она удовлетво ряет следующим двум условиям:
а) a () = 1 для всех A;
б) lim a a = 0, для всех a B = { a B: a () = 0}.
3.9. Замечание. Легко видеть, что для любой -направленности имеет место в) lim a () = 0 для всех Sp(B) \ {}.
~ 3.10. Пример. Возьмем в качестве B алгебру L 1(R), получающуюся из L1(R) ~ формальным присоединением единицы (Sp( L 1(R)) отождествляется с рас ~ ширенной числовой прямой R = R {}). Примерами -направленностей могут служить семейства функций a, (g) = e-g+ig f(g), 0,, R, a,(g) = 1 – e-g f(g), N,, =.
где f – характеристическая функция множества R+ = [0, ). Заметим также, что если семейство (h) является о.а.е. алгебры L1(R), то семейство (a) ~ функций из L 1(R) вида a = 1 – h образует -направленность.
3.11. Замечание. Рассмотрим банахово пространство С(A,Х) ограниченных отображений из направленного множества A в банахов B-модуль Х (норма в С(A,Х) определяется равенством |||| = sup ||()|| для С(A,Х)). В этом A пространстве естественным образом вводится структура банахова B-модуля:
для любого С(A,Х) и любых A, a B, положим (a)() = a(). Яс но, что С0(A,Х) = { С(A,Х): lim () = 0} есть подмодуль модуля С(A,Х).
3.12. Определение. Предельным спектром ( ~ ) ограниченной направленно x ~ сти ~ =(x)X, A, называется спектр Берлинга класса f из фактормодуля x С(A,Х)/С0(A,Х), представителем которого является отображение f() = x.
Из введенного определения немедленно вытекает следующая ~ 3.13. Лемма. Пусть семейство a = (a), A, из полупростой регулярной ба наховой алгебры B, примарные идеалы которой максимальны, удовлетворяет условию а) определения 3.8, т.е. a ()=1, A. Тогда семейство (a) является ~ -направленностью в том и только в том случае, когда ( a ) = {}.
~ 3.14. Замечание. Пусть семейство функций f = (f), A, из L(G,), где удовлетворяет условию (3.3), обладает свойством а) из определения 3.8, т.е.
f () = 1, A. Пусть также для всех g G выполнено || f (t+g) – (g)f (t)|| L ( G, ) 0 (3.4) при фиксированном t G. Тогда (f) является -направленностью. Восполь зуемся для доказательства этого утверждения леммой 3.13 (условие (3.3) га ~ рантирует ее применимость). Предположим противное. Пусть ( f ).
Тогда из определения 3.12 немедленно следует, что для всех a L(G,) со свойством a () 0 и lim a f 0. Возьмем какую-нибудь из этих функций, выберем g G так, чтобы (g) (g), и положим a0 = ag – (g)a, где через ag, как обычно обозначен сдвиг функции a, т.е. ag(t) = a(t+g). Тогда a0 () 0 и 0 lim a0 f = lim f ( ag – (g)a) = lim ( f,g – (g)f)a, где через f,g функцию вида f,g(t) = f(t+g). Полученное неравенство очевид ным образом противоречит (3.4) и наше утверждение доказано.
3.15. Пример. Вернемся к рассмотрению семейства функций (f) из L1(R), определенного формулой (3.2) в примере 3.6. Это семейство при ста новится 0-направленностью в алгебре L1(R). Докажем это, проверив свойст во (3.4). Действительно, при имеем s / 1 1 1 dt = 2 2 dt + ||f(t+s)–f(t)|| = ( t + s) + t + ( t + s ) + t + 2 2 2 R ( ) + s 1 / 2 ( t + s) 2 + 2 t + s / 2 s / + 2 dt = arctg t s / 2 + arctg t s / 2 = arctg 0.
s 3.16. Замечание. Отметим, что доказанные в примерах 3.6 и 3.15 свойства очевидно остаются справедливыми и в многомерном случае, для семейства функций (f) из L1(Rm), вида i 1 m t, = (1, 2, …, m) Rm \{0}.
f(t) = (3.5) + i m 2 i =1 i Подробнее о функциях (3.5) см. в [18].
3.17. Замечание. В алгебре L1(R) существуют 0-направленности, неудовле творяющие свойству (3.4). Таковой будет, например, направленность (h), полученная из рассматриваемого в примерах 3.6 и 3.15 семейства (f) прибав лением функций, график преобразования Фурье, которых изображен на рис. 1.
1, 0, 0, 0, 0, + рис. 1.
Теперь сформулируем важную для нас теорему, описывающую свойства одноточечных спектральных подмодулей.
3.18. Теорема. Рассмотрим банахов L(G,)-модуль ХU и вектор x ХU. Если вес таков, что примарные идеалы алгебры L(G,) максимальны (см. (3.3)), то следующие утверждения эквивалентны:
1) U(g)х = (g)х для всех g G;
2) (х,U) {}.
Доказательство. Импликация 1) 2) немедленно вытекает из равенств f (g ) U (g ) xdg = f (g ) (g )dg x = fx = f ( ) x, G G верных в силу U-непрерывности вектора x Х со свойством U(g)х = (g)х для всех g G и теоремы 1.22.
Нетривиальная часть теоремы, касающаяся импликации 2) 1) основана на том, что примарные идеалы алгебры L(G,) максимальны. Аппроксимируя произвольную функцию f L(G,), такую что f () = 0, направленностью функций с преобразованием Фурье равным нулю в окрестности нуля и опи раясь на свойство 5) леммы 2.12, получаем, что (х,U) {} fx = 0. Но для произвольной функции L(G,) и любого g G имеем ( g ) ()=0, где g(t) = (t+g), и, значит, ( g )x = (U(g ) x (g ) x ) = 0 (см. определение 1.7). Из условия невырожденности банахова модуля Х (снова см. определение 1.7) следует, что U(g)х = (g)х. Теорема доказана.
Теорема 3.18 существенно используется при доказательстве приводимых ниже теорем 3.19 и 3.21.
3.19. Теорема. Пусть в условиях теоремы 3.18 для некоторой -направленно сти (a), обладающей свойством (3.4), предел - lim U(a)x (3.6) сходится в некоторой топологии к некоторому x0 Х (в качестве может использоваться топология нормы или более слабая). Тогда (х0,U) {}, и вектор (x – x0) принадлежит подмодулю Х, = -cl{y Х: (y,U)}.
Доказательство. Докажем вначале, что (х0,U) {}. Согласно теореме для этого достаточно проверить равенства U(g)х0 = (g)х0 g G, которые, в свою очередь, немедленно вытекают из следующих:
U(g)х0 – (g)х0 = (U(g) – (g)) - lim U(a)x = - lim (U(g) – (g))U(a)x = - lim U(a,g – (g)a)x = 0.
Здесь мы использовали свойство из определения 1.8 и свойство (3.4), обозна чив через a,g функцию вида a,g(t) = a(t+g).
Второе доказываемое утверждение вновь основано на том, что примар ные идеалы алгебры L(G,) максимальны. Вследствие этого для некоторой о.а.е. (e), A, алгебры L(G,) имеем x – x0 = - lim (x – U(a)x) = - lim U(e – ea)x = - lim U(h,)x, (3.7),, где функции h, имеют преобразование Фурье, равное нулю в некоторой ок рестности характера. Теперь свойство 4) леммы 2.12 гарантирует x–x0Х,.
Теорема доказана.
3.20. Замечание. Утверждения теорем 3.18 и 3.19, соответствующим образом переформулированные, имеют место и в более общем случае для произволь ных -направленностей и банаховых модулей (X, B, U) (см. [5, 8]).
3.21. Теорема. Пусть W – представление из (1.11), примарные идеалы алгеб ры L(G,W) максимальны, и A Hom(X,Y) – обратимый оператор, причем (A,W) = {0}. Тогда имеет место равенство (A-1, S) = {0}, где представление S: G EndHom(Y,X) определено формулой S(g)B = U(g)BV(-g), gG, B Hom(Y,X). (3.8) Доказательство. Утверждение следует из равенств A-1 = (W(g)A)-1 = S(g)A-1, верных для любого g G в силу определения представлений W и S.
3.22. Замечание. Операторы, для любого g G удовлетворяющие условию W(g)A = A не расширяют спектр Берлинга вектора x, то есть (Ax,V) (х,U) (см. также свойство 3) леммы 2.12). Это следует из равенств f(Ax) = f(g)V(-g)Axdg = f(g)AU(-g)xdg = A(fx).
G G В нашем исследовании такие операторы называются операторами без памя ти, а их множество обозначается символами M(XU,YV), M(XU), если X = Y, или просто M. Как следует из леммы 2.12, M(XU,YV) является линейным под пространством из Hom(X,Y), а M(XU) – банаховой подалгеброй из EndX. В ус ловиях теоремы 3.18 эта подалгебра является наполненной, то есть обратный к оператору без памяти тоже принадлежит M(XU). Однако, если вес таков, что не все примарные идеалы алгебры L(G,) максимальны, то обратный к оператору без памяти может уже и не быть таковым. Соответствующий опе ратор легко построить на основе примера 2.16.
В случае произвольного оператора A из Hom(X,Y), выявить связь между его спектром Берлинга и спектрами Берлинга элементов x Х, Ax Y уже не так просто. Этой важной для нас задаче посвящен §4 настоящей работы.
В оставшейся же части данного параграфа мы приведем несколько ре зультатов, которые помогут нам ответить на естественным образом возник ший после теоремы 3.19 вопрос о том, когда же предел (3.6) сходится в неко торой топологии к некоторому x0 Х. Важность этого вопроса состоит в частности в том, что положительный ответ на него приводит к дополняемо сти одноточечных спектральных подмодулей (см. [9]). Особой значимостью обладает случай, когда в качестве банахова пространства X рассматривается банахова алгебра EndY. В ней будут рассматриваться следующие оператор ные топологии: равномерная (u), сильная (s), слабая (w) и слабая (w).
3.23. Определение. Пусть Х – банахов B-модуль, ассоциированный с пред ставлением U (см. пример 1.4). Направленность операторов (A), A, из EndX назовем эргодической (,)-направленностью для B-модуля X ( = u или = s), если выполнены следующие условия:
1) A – I -cl{U(a), a B = {a B: a () = 0}} = M,(XU);
2) - lim U(a)A = - lim AU(a)A = 0 для всех a B.
3.24. Пример. Пусть Х – банахов L1(G)-модуль, ассоциированный (в смысле определения 1.7) с -непрерывным представлением U. Тогда если (a), A, – некоторая -направленность, то (U(a)), A, будет эргодической (,) направленностью для L1(G)-модуля Х. Действительно, условие 2) немедлен но вытекает из свойства б) определения 3.8, условие 1) – из формул (3.7).
3.25. Теорема. [9]. Пусть направленность (A), A, является эргодической (,)-направленностью для B-модуля X, и примарные идеалы алгебры B мак симальны. Тогда модуль X разлагается в прямую сумму подмодулей X = X({}) Х, (3.9) (см. теорему 3.19) в том и только в том случае, когда векторы из одноточеч ного спектрального подмодуля X({}) разделяют функционалы из спектраль ного подмодуля X({}) (см. определение 2.8 и пример 1.3), т.е.
0 X({}) x X({}) такой, что (x) 0.
3.26. Теорема. [9]. Пусть (A), A, – эргодическая (,)-направленность для B-модуля X, примарные идеалы алгебры B максимальны, и выполнено одно из следующих условий:
1) Направленности вида (Ax), x Х, w-компактны в Х;
2) I + U(a) – слабо компактный оператор для некоторого a B;
3) банахово пространство Х рефлексивно.
Тогда имеет место разложение (3.9).
3.27. Теорема. [9]. Пусть пространство X является сопряженным к некоторо му банахову пространству X, которое является B-модулем (и, следователь но, X наделено структурой B-модуля также как в примере 1.3) Пусть также (A), A, – эргодическая (,)-направленность для B-модуля X, обладающая свойством A X для всех X (используется каноническое вложение X * в X), и направленность ( A ) является (,)-направленностью для B-модуля * X. Тогда подмодуль X({}) дополняем в банаховом пространстве X, и соот ветствующий проектор Q EndX удовлетворяет следующим условиям:
1) || Q || sup || A ||;
2) X = X({}) Y, Im Q = X({}), Х, Y = Ker Q;
A 3) AQ = QA = Q для всех A;
4) U(a)Q = QU(a) = 0 для всех a B;
5) Q M(M(U(B))),где M обозначает коммутант некоторого подмножества операторов из EndX и U(B) = {U(a), a B}.
3.28. Теорема. [10]. Пусть пространство X, являющееся L1(G)-модулем ас социированным (в смысле определения 1.8) с w-непрерывным ограничен ным представлением U, является сопряженным к некоторому банахову про странству X, которое инвариантно относительно всех операторов U(g) = (U(g)), g G (и, следовательно, само является L1(G)-модулем). Тогда EndX = M(XU) M(X), (3.10) причем M(X) Ms,0(XU) (см. замечание 3.22 и определение 3.23) и для любо го A M(X) и любой 0-направленности (a) из L1(G), обладающей свойст вом (3.4), w- lim W(a)A = 0, где представление определено W формулой (1.11), и структура L1(G)-модуля на EndX задана формулой, аналогичной (1.2), только сходимость интегралов понимается в слабой операторной топо логии.
3.29. Определение. Представление U называется почти периодическим (п.п.), если орбита {U(g)x}, g G, каждого вектора x X предкомпактна в X.
3.30. Теорема. [10]. Если в условиях теоремы 3.28 U (или W) есть п.п.
представление, то M(X) = Ms,0(XU) (соответственно, M(X) = Mu,0(XU)). При этом для любого A M(X) и любой 0-направленности (a) из L1(G), обладающей свойством (3.4), s- lim W(a)A = 0 (u- lim W(a)A = 0).
Приведенные результаты оправдывают классификацию вхождения ха рактера G в спектр Берлинга (x,U) вектора x из банахова L(G,)-модуля XU, которую содержит следующее 3.31. Определение. Точку (x,U) будем называть -эргодической, если для некоторой (а, значит, и для любой) -направленности (a) предел (3.6) существует. Множество -эргодических точек будем обозначать (x,U).
Точки, для которых предел (3.6) равен нулю, будем называть точками непрерывного спектра с(x,U). Множество -ess(x,U) = (x,U) \ с(x,U) будем называть -существенным спектром вектора x.
§4. Спектр Берлинга линейных операторов ~ Пусть : GG R+ и : G R+ – некоторые неквазианалитические ~ веса, удовлетворяющие равенствам (g, -g) = (g), g G. Рассмотрим го ~ моморфизм банаховых алгебр : L(G, ) End L(GG, ), определенный с f(g) (g1-g, g2+g)dg. Таким образом, помощью формулы ((f))(g1,g2) = G ~ можно считать, что банахова алгебра L(GG, ) является банаховым L(G,)-модулем, причем модульная структура на ней определяется с помо ~ щью представления : G EndL(GG, ), имеющего вид ((g))(g,g ) = 1 = (g1-g, g2+g), где g1, g2, g G. Отметим, что функции вида h = (f) ~ ~ L(GG, ), где f L(G,), L(GG, ), имеют преобразование Фурье h (1,2) = f (1 - 2) (1,2), 1,2 G. (4.1) В условиях следующей теоремы считается выполненным 4.1. Предположение. Банахово пространство Z – бимодуль, являющийся од ~ новременно невырожденным банаховым L(GG, ) и L(G,)-модулем, причем модульная структура на Z ассоциирована (в смысле определения 1.7) ~ с представлениями W : G G EndZ и W: G EndZ, которые удовлетво ряют соотношениям ~ ~ ~ W ((f)) = W(f) W () = W ()W(f), (4.2) ~ ~ где f L(G,), L(GG, ) и символы W и W обозначают соответст ~ вующие гомоморфизмы алгебр L(GG, ) и L(G,) в алгебру EndZ.
4.2. Теорема. Для любого вектора x Z имеет место равенство { } ~ (x,W) = 2 - 1 : ( 1, 2 ) ( x, W) G G =. (4.3) Доказательство. Докажем включение (x,W). Возьмем 0 (x,W). То гда найдется функция f L(G,) со свойствами: f (0) 0 и W(f)x=0. Пусть 0 – некоторая окрестность точки 0, в которой f () 0 для всех 0. До ~ пустим, что существует характер (1,2) (x, W ) G G, такой что 2- ~. Выберем функцию L(GG, ) со свойством (, )0. Из соот 0 1 ~ ~ ~ ношений (4.2) следует, что W ((f))x = W(f) W ()x = W ()W(f)x = 0. Ввиду ~ равенств (4.1), получаем h (, )0, h =(f). Следовательно, (, ) (x, W ).
1 2 1 Получено противоречие. Значит, имеет место включение (x,W).
Докажем обратное включение. Пусть 0. Рассмотрим функцию fL(G,) со свойствами: f (0) 0 и supp f =. Тогда из равенств (4.1) ~ следует, что функция h = (f) обладает свойством supp h (x, W ) = для ~ любой функции из алгебры L(GG, ). Поэтому из леммы 2.12 и соот ~ ~ ношений (4.2) приходим к равенствам 0 = W (h)x = W ()W(f)x. Из условия ~ невырожденности L(GG, )-модуля Z (см. определение 1.7) получаем, что W(f)x = 0, то есть 0 (x,W). Поэтому (x,W).