Совершенствование аналитических методов расчёта конструкций промышленных полов из цементобетона, расположенных на упругом грунтовом основании в случае использования модели местных упругих деформаций.

На правах рукописи

Горб Александр Михайлович Совершенствование аналитических методов расчёта конструкций промышленных полов из цементобетона, расположенных на упругом грунтовом основании в случае использования модели местных упругих деформаций.

Специальности:

05.23.17 - Строительная механика.

05.23.02 - Основания, фундаменты и подземные сооружения.

05.23.01 - Строительные конструкции, здания и сооружения.

АВТОРЕФЕРАТ

Москва. 2009.

Горб А.М. Стр. 2 Содержание.

Наименование Стр.

1. О необходимости внесения дополнений в нормы проектирования 4 – промышленных полов производственно-складских зданий ……..

2. Совершенствование методов расчёта конструкций 11 - промышленных полов из цементобетона, расположенных на упругом грунтовом основании ………………………………........

3. Конструирование промышленных полов из монолитного 16- цементобетона расположенных на упругом грунтовом основании …………………………………………………………..

3.1. Монолитные неармированные бетонные полы ……………. 17- 3.2. Монолитные армобетонные, непрерывно армированные и железобетонные полы, армированные стержневой арматурой ……………………………………………………...

3.3. Армобетонные полы.……………………………………….... 3.4. Непрерывно армированные бесшовные полы ……………… 20- 3.5. Железобетонные полы ……………………………………….. 21- 3.6. Монолитные предварительно напряжённые железобетонные 22- полы............................................................................................

3.7. Усиление промышленных бетонных полов при 24- реконструкции ………………………………………………...

4. Основные положения расчёта …………………………………….. 27 – 5. Теоретическое обоснование принципов расчёта конструкций бетонных полов …………………………………………………… 34 – 6. Обоснование принципов расчёта конструкций полов на основе гипотезы коэффициента постели ………………..……………….. 38- 6.1. Решения для прямоугольных плит, лежащих на упругом основании..………………………………………………….. 39- 6.2. Решения для случая симметричного загружения плиты (задача об изгибе круглой пластинки нагруженной сосредоточенной силой равномерно-распределённой по кругу или квадрату малой площади..………..…………….. 42- 6.3. Использование функций Бесселя при решении задачи об изгибе круглой пластинки ………………..……………….. 47- 6.4. Решения для краевых загружений плит ……………………. 51- 7. Расчёт железобетонных конструкций полов.………..…………… 58- 8. Особенности расчёта предварительно-напряжённых плит полов 62- 9. Расчёт сталефибробетонных плит полов ………………….….…. 69- Горб А.М. Стр. 10. Проектирование многослойных конструкций промышленных 80 - полов …………………………………………………….…….…...

11. Расчёт и конструирование бетонных полов с учётом динамического воздействия нагрузок от перемещения грузоподъёмного транспорта …………………………………….. 91 - 11.1. Динамическое воздействие подвижной нагрузки.……….. 91 - 11.2. Назначение расчётных коэффициентов динамичности..…. 98 - 12. Назначение коэффициента жёсткости упругого основания в случае применения модели местных упругих деформаций.…… 102 – 13. Зависимость между коэффициентом постели и модулем упругости основания ……………………………………………… 114 – 14. Определение коэффициента постели многослойного основания. 117 – 15. Определение модуля упругости и эквивалентной глубины деформируемого слоя многослойного основания ……………….. 121 – 16. Расчёт и конструирование искусственных оснований ….………. 124 – 17. Работы, опубликованные автором ………..……………………… 133 - 18. Литература …………………………………………………………. 135– 19. Приложения..……………………………………………………….

Горб А.М. Стр. 1. О НЕОБХОДИМОСТИ ВНЕСЕНИЯ ДОПОЛНЕНИЙ В НОРМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПОЛОВ ПРОИЗВОДСТВЕННО - СКЛАДСКИХ ЗДАНИЙ.

Аннотация Объемы строительства зданий производственно - складского назначения в последнее десятилетие существенно возросли. Площади возводимых сооружений превышают 5 млн кв.м. в год, из которых большая часть приходится на складские здания и многофункциональные логистические комплексы. Стремление инвесторов использовать возводимые площади с максимальной эффективностью, привело к соответствующему развитию складских технологий, позволяющих обеспечить значительный рост объемов хранения и скорость обработки грузов. Вместе с тем, значительно возросли нагрузки на полы и повысились технические требования к ним.

Однако, проектирование таких полов не в достаточной мере обеспечено соответствующими нормативами.

Действующий СНиП 2.03.13-88 «Полы» и его Приложения предусматривают проектирование только неармированных бетонных полов, без указания методов расчёта в случае их армирования. Также, в нём не совсем корректно указан способ назначения коэффициентов жесткости грунтового основания, рекомендуемый табличный метод определения коэффициентов постели не отвечает реалиям и серьёзно устарел.

Существующие методы расчёта не учитывают возникающие усилия при краевых загружениях, что приводит к искажению результатов расчётов и, в дальнейшем, к снижению долговечности и эксплуатационной надёжности пола. Не освещены вопросы проектирования многослойных плит, не указаны способы расчёта в случае усиления существующих полов с целью повышения их несущей способности, отсутствуют рекомендации по динамическим расчётам.

Проектная практика и анализ технического состояния эксплуатируемых полов показали ограниченность области применения существующих норм. Произвольно используемые проектными организациями модели и методы расчётов, зачастую приводят к ошибочности принимаемых решений, неоправданным экономическим затратам и к возникновению в процессе эксплуатации многочисленных дефектов в готовой конструкции.

Можно констатировать, что действующие нормативы не позволяют получить обоснованные конструктивные решения и нуждаются в существенной корректировке.

Горб А.М. Стр. В целях совершенствования существующих методов расчёта конструкций промышленных полов, были проведены соответствующие теоретические исследования, в результате которых были получены основные расчётные формулы и зависимости. Рациональность и достоверность полученных результатов основана на решениях задач теории упругости и подтверждена многолетней безупречной эксплуатацией построенных полов.

Результаты данной работы позволяют выполнить обоснованные расчёты конструкций полов на упругом грунтовом основании, исходя из первой и второй групп предельных состояний. Полученные результаты и основанные на них рекомендации позволяют повысить надёжность и экономичность конструкций промышленных полов производственно-складских зданий. Они могут быть также использованы в учебном процессе преподавания дисциплин строительного профиля.

Горб А.М. Стр. При проектировании зданий и сооружений и конструкций полов, в частности, необходимым является учёт требований действующих строительных норм и правил. Основным нормативным документом для проектирования полов, на сегодняшний день, является СНиП разработанный 2.03.13-88 «Полы», ЦНИИПромзданий, в котором определены основные правила и нормы проектирования. Для практического использования разработаны приложения к этому СНиПу, в том числе: «Полы. Технические требования и правила проектирования, устройства, приёмки, эксплуатации и ремонта» (в развитие СНиП и по расчету бетонных 2.03.13-88 «Полы») «Рекомендации подстилающих слоев промышленных зданий с учетом экономической ответственности». (ЦНИИ Промзданий, 1987г.). Указанные нормативы содержат необходимый расчетный аппарат для оценки несущей способности и эксплуатационной надежности бетонных полов. Однако, рассматриваемые методики практически «транслированы» из ранее принятого в 1971г СНиПа II-В.8 71 «Полы. Нормы проектирования», без существенных изменений. К сожалению, использование в современных условиях существующих нормативных документов не обеспечивает в должной степени принятие обоснованных проектных решений.

Объемы строительства складских зданий, в последнее, десятилетие существенно возросли. Стремление инвесторов использовать складские площади с максимальной эффективностью привело к соответствующему развитию складских технологий, позволяющих обеспечить значительный рост объемов хранения и скорости обработки грузов.

Во-первых, это привело к появлению новых типов тяжеловесного (до 14тн) подъемно-транспортного оборудования (ПТО) с относительно большим удельным давлением (до 100 кг/кв.см) без амортизирующих устройств. Существенно возросли скорости их перемещения, что в итоге, вызывает необходимость учёта усталостных напряжений материала плиты, динамичности и фактора накопления остаточных прогибов в подстилающем основании, особенно вблизи швов.

Во-вторых, современная ситуация привела к появлению принципиально новых типов многоярусных (в том числе т.н. «узкопроходных») систем хранения грузов, основывающихся на использовании специальных конструктивных решений стеллажных систем, стойки которых передают на пол нагрузку до 25тн через Горб А.М. Стр. опорные части незначительного размера (около 2х10х10см). В ряде случаев стойки стеллажей играют роль несущего каркаса здания, то есть функциональное назначение стеллажей в этом случае существенно расширяется, с вытекающими отсюда последствиями.

Несмотря на возросшие в последние годы нагрузки на полы, в действующих нормах даётся указание на использование в качестве несущей плиты пола конструкции из неармированного бетона, что является неприемлемым по техническим и экономическим причинам.

В третьих, физико-механические свойства грунтов основания, на которых устраиваются полы, оставляют желать лучшего. При этом часто, по техническим и экономическим причинам, не представляется возможным произвести устройство свайных фундаментов или замену грунтов с неудовлетворительными свойствами на приемлемые (с точки зрения деформативных свойств). Вместе с тем в действующих нормативах отсутствует корректная методика определения коэффициентов жёсткости однослойных и многослойных оснований.

Вполне очевидна, что назрела необходимость усовершенствования существующих методов расчёта.

Разработанный в 1988г. ОАО «ЦНИИПромзданий» СНиП 2.03.13-88 «Полы» следующим образом описывают область его применения: данный СНиП на правила проектирования и устройства полов «…распространяется производственных, жилых, общественных, административных, бытовых, животноводческих, птицеводческих и звероводческих зданий». Как ни парадоксально, указание о возможности применения данного СНиПа для зданий складского назначения отсутствует. При этом известно, что в производственных зданиях полы, как правило, не испытывают значительных нагрузок, всё тяжелое оборудование размещается на отдельно стоящих фундаментах.

Еще в августе 1977г. в статье Ю.Т. Чернова (ЦНИИСК им. Кучеренко) и С.А.

Шимановича (ЦНИИпромзданий) «Железобетонные подстилающие слои для полов промышленных зданий», опубликованной в журнале «Промышленное строительство», была обоснована необходимость перехода от бетонных к железобетонным подстилающим слоям полов промышленных зданий в связи с ростом действующих на полы нагрузок, обусловленных технологическими Горб А.М. Стр. процессами на предприятиях металлургической и автомобильной промышленности.

Отмечено, что устройство бетонных подстилающих слоев становится неэффективным из-за резкого увеличения их толщин, а в некоторых случаях оно даже невозможно по условиям прочности. Например, при нагрузке на пол до кН/м2 и движении напольного транспорта максимальной грузоподъемностью до 200 кН применяются бетонные подстилающие слои толщиной до 200 мм. При увеличении нагрузки на пол до 100 кН/м 2 толщина бетонного подстилающего слоя увеличивается до 550 мм, стоимость его возрастает в 1,5-3 раза, а трудоемкость в 2-3 раза.

Вместе с тем, по сей день действующие нормативы не предусматривают методику расчета армированных подстилающих слоев для полов промышленных зданий. В настоящее время, учитывая ещё более возросшие нагрузки, актуальность этой проблемы стала ещё больше.

В современной практике устройства промышленных полов широкое применение получает фибробетон. Объемное содержание стальной фибры в таких конструкциях, как правило, ниже минимально необходимого уровня (объёмный расход фибры не превышает 20-40 кг/куб.м). Корректно выполнить расчёт при таких условиях, в соответствии с действующим СП52-104- "Сталефибробетонные конструкции", не представляется возможным - указание п.8.3.7 данного СП предусматривает более высокий процент армирования. Тем не менее, введение в бетонную смесь стальной фибры вполне обоснованно, так как даже при таком незначительном расходе фибры существенно повышается величина работы, которую необходимо затратить для разрушения бетонного пола, существенно увеличивается показатель вязкости разрушения, что весьма важно для обеспечения эксплуатационной надежности конструкции пола. При проектировании промышленных полов эти обстоятельства необходимо учитывать.

Зарубежные нормы (Германия, Япония, Англия, США) позволяют рассчитать конструкцию пола с учетом степени армирования стальной фиброй ниже минимального уровня, например, с использованием теории линий разрушений, но действующие отечественные нормы, к сожалению, такую ситуацию не рассматривают.

Горб А.М. Стр. Общепризнано, что предусмотренные действующими нормами конструктивные решения, предполагающие устройство тонких (20 - 50мм) финишных слоев из «высокопрочного» бетона по бетонному подстилающему слою, технически и экономически не оправданы, поскольку в этом случае не учитываются технологические и экономические аспекты, в том числе обоснованность устройства полов по «двухстадийной» схеме. Несмотря на это, в проектной практике зачастую можно встретить подобные решения.

Также в нормах не представлен метод расчета двухслойных бетонных полов, что на сегодняшний день крайне востребовано при реконструкции полов для увеличения их несущей способности, а так же, при невозможности по различным причинсм устраивать полы в виде однослойной плиты. Существующий метод рассматривает двухслойную конструкцию, состоящую из «нижнего» бетонного подстилающего слоя и слоя «покрытия» с «нулевой» жёсткостью. К сожалению, даже указанный метод содержит неточности в части характера распределения и передачи нагрузки на нижележащую плиту.

Отсутствуют рекомендации по расчёту участков (зон) плит полов вблизи швов. Отсутствие учёта нагрузок, приложенных на краях и углах плит, приводит к искажению результатов расчётов и необеспечению несущей способности плиты в этих зонах.

Не приведены указания по расчёту эквивалентного коэффициента постели многослойного основания, что особенно важно в случае наличия в составе сжимаемой толщи просадочных и слабых водонасыщенных грунтов. Табличный метод назначения коэффициентов постели является некорректным, не отражает реалий, и давно устарел.

Не нормированы требования к подготовке грунтового основания и подстилающих слоёв.

Не разработаны методы диагностики полов и способы устранения дефектов.

Предусмотренная современными строительными технологиями дневная производительность работ до 5000 кв.м требует организации в полу различных типов швов, как по технологическим причинам, так и для ограничения величин температурно-усадочных напряжений и деформаций, которые в гипотетическом случае применения чисто бетонной конструкции достигают неприемлемых Горб А.М. Стр. величин. До сих пор не проработаны вопросы принципов расчёта и конструирования таких швов, расстояний между ними и их влияние на конструкцию пола в целом.

Отсутствие в действующих нормах указаний по решению вышеуказанных задач в большинстве случаев приводит к необоснованному и ошибочному принятию проектных решений. Учитывая возросшие требования к качеству и надёжности современных полов, такая ситуация недопустима.

Рассмотрение в данной работе вопросов проектирования полов в зданиях производственно - складского назначения весьма актуально по причине, как уже отмечалось, существенного увеличения объемов строительства таких зданий на территории Российской Федерации. При этом, до сих пор у инженера проектировщика отсутствует простой и ясный инструмент для расчета полов, решения часто выбираются «по аналогии» без учёта всех особенностей, присущих данному типу конструкции и конкретному объекту. Экономичность и надежность проектных решений зависит от качества расчетного аппарата, который, к сожалению, не соответствует современным требованиям.

Предлагаемые методы расчётов основаны на указаниях действующих нормативных документов, учитывают технические и технологические требования предъявляемые к современным промышленным полам поставщиками подъёмно транспортного и технологического оборудования и базируются на решениях теории упругости для бесконечной гибкой плиты, лежащей на упругом винклеровском основании.

Предлагаемые новые конструктивные решения учитывают возросшие требования к полам при строительстве новых и реконструкции существующих складских зданий, предложения по использованию современных строительных технологий, возможные конструктивные, экономические, сырьевые и т.п.

ограничения на конкретном объекте и реально требуемую степень экономической ответственности.

Разработанные проектные и технологические решения могут быть рекомендованы проектным и строительным организациям для массового применения при возведении и реконструкции полов в зданиях современных складов.

Горб А.М. Стр. 2. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДОВ РАСЧЁТА КОНСТРУКЦИЙ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПОЛОВ ИЗ ЦЕМЕНТОБЕТОНА, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА УПРУГОМ ГРУНТОВОМ ОСНОВАНИИ.

Введение.

Устройство промышленных полов из цементобетона является одним из перспективных направлений и получило широкое распространение во всём мире.

Возрастающие требования, предъявляемые к современным промышленным объектам, обуславливают необходимость проектирования и устройства полов с повышенной прочностью и износостойкостью. На сегодняшний день особо актуальным стал вопрос совершенствования методов расчёта и конструирования таких полов, с учётом многообразия условий конкретных строительных объектов.

Действующими строительными нормами допускается устройство плит полов в том числе и из неармированного бетона. Такие конструкции имеют определённые преимущества по сравнению с полами других типов: высокую прочность и долговечность, устойчивость к воздействиям различных эксплуатационных нагрузок, беспыльность и достаточную водонепроницаемость, возможность использования местных строительных материалов, возможность производства работ механизированным способом с использованием прогрессивных технологий и поточным методом, а также сравнительно низкие эксплуатационные расходы.

Однако низкая стойкость основного материала (бетона) к воздействию растягивающих усилий обусловливает его невысокую сопротивляемость температурно-усадочным напряжениям, которые могут развивать критические состояния, особенно опасные в начальный период твердения бетона. Эти особенности конструкций бетонных полов требуют проведения специальных мероприятий, уменьшающих влияние отрицательных свойств неармированного бетона, в том числе их армирование и устройство различных типов швов и прослоек.

Конструкции промышленных полов предусматривают несколько конструктивных слоев, выполняющих разные назначения. При этом, различают верхний (бетонный) слой (слои) и нижний слой – грунтовое основание (искусственное и естественное).

Горб А.М. Стр. Верхний слой непосредственно воспринимает статические, динамические и вибрационные нагрузки от опор стоек стеллажей, технологического оборудования, временных и стационарных построек, колёс подъёмно-транспортного оборудования, а также подвергается воздействию температурных, ударных, а иногда и химических воздействий. Он должен быть наиболее прочен и устойчив.

Часто, для повышения стойкости поверхности пола к восприятию химических, абразивных и т.п. эксплуатационных нагрузок и воздействий предусматривается устройство дополнительных конструктивных слоёв, воспринимающих такие воздействия.

В зависимости от способа армирования верхние слои пола подразделяются на бетонные, армобетонные, железобетонные и фибробетонные.

Искусственное основание - несущая часть конструкции, устраиваемая, как правило, из местного материала, обеспечивающее совместно с верхним слоем передачу усилий на естественное грунтовое основание. В состав искусственного основания могут входить слои из щебня, гравия, песка и других местных материалов, обладающих соответствующей прочностью.

Естественное грунтовое основание – подстилающие материковые грунты, воспринимающие нагрузки, передаваемые через верхний слой и искусственное основание.

При усадке, изменении температуры и влажности в монолитных полах возникают растягивающие напряжения, вызывающие их трещинообразование. Для снижения этих напряжений и предотвращения растрескивания, монолитные бетонные полы разделяют на отдельные плиты (карты), продольными и поперечными швами, как правило, прямоугольной формы. Швы устраивают по типу сжатия или расширения. Швы сжатия дают возможность плитам сокращать свои размеры, т. е. сжиматься при усадке бетона в процессе его твердения и при понижении температуры. Швы расширения представляют собой зазоры между соседними плитами, ширина которых обеспечивает свободу перемещения плит при их расширении вследствие повышения температуры, при увеличении влажности бетона или при необходимости изолирования конструкции плиты пола от несущих элементов здания. По типу швов сжатия устраивают продольные и поперечные швы. Швы расширения также применяют в местах изменения толщин Горб А.М. Стр. примыкающих участков плит полов в процессе укладки бетона.

Ранее швы расширения устраивали, как правило, с шагом 12-24м. Однако в последние годы от их устройства отказались, так как они существенно влияют на долговечность полов вблизи таких швов при их интенсивной эксплуатации и не выполняют своих функций. Необходимость устройства швов расширения должна быть соответствующим образом обоснована.

Чтобы уменьшить влияние швов сжатия и расширения на несущую способность плиты пола, в них предусматривают различные стыковые соединения для распределения нагрузок, находящейся у шва, на соседние плиты или усиление краевых участков плит дополнительной стержневой арматурой. К стыковым соединениям предъявляют два основных требования: они должны допускать горизонтальное перемещение плит при температурно - усадочных деформациях, и не допускать взаимных вертикальных поперечных смещений смежных плит при воздействии эксплуатационных нагрузок, то есть обеспечивать передачу части нагрузки с одной плиты на другую. Во всех швах, как правило, предусматривают стыковые соединения, как правило, это штыревые, шпунтовые или ромбовидные соединения из металлических пластин. Относительно недавно расчёт таких соединений производился исходя из шарнирного соединения смежных плит.

Однако, последние исследования доказали обоснованность применения в расчётах плит на упругом основании расчётной схемы шарнирно-подвижного соединения.

Искусственные основания под полы выполняют с лабораторным контролем их уплотнения. При устройстве искусственных оснований из крупнозернистых материалов, укладываемых непосредственно на глинистые, суглинистые и пылеватые грунты, должна быть предусмотрена изолирующая прослойка, исключающая проникание грунта при его уплотнении в слой крупнозернистого материала. Прослойку, как правило, устраивают из геотекстильных материалов.

При устройстве полов в неотапливаемых помещениях или на открытых площадках, на участках с грунтами, подверженными пучению, необходимо учитывать эти особенности. Предотвращению пучения грунтов могут способствовать следующие мероприятия: необходимое возвышение отметки чистого пола над уровнем подземных вод;

использование в промерзающем слое грунтов, не подверженных вспучиванию (песка, гравия, щебня), а также снижение Горб А.М. Стр. глубины промерзания посредством устройства теплоизолирующих прослоек.

Основными материалами для устройства полов являются бетон и арматура (стержневая и фибровая). Бетон, при этом, является основой, и его свойства в зна чительной мере определяют долговечность полов. Особенностями эксплуатации промышленных полов, которые необходимо учитывать при назначении состава бетона, являются: многократно повторяющиеся интенсивные динамические нагрузки, ударные и температурные воздействия, а так же повышенные требования к истираемости поверхности. Сложные условия работы бетона в конструкциях промышленных полов обусловливают ряд требований к нему. Бетон должен иметь высокую механическую прочность, плотность и обладать, при определённых условиях, достаточной морозостойкостью и водонепроницаемостью. В качестве вяжущего, в силу ряда причин, следует использовать бездобавочный портландцемент. Для уменьшения усадки в процессе твердения при подборе состава бетона необходимо стремиться к снижению количества вяжущего, путём использования высокомарочного высокомодульного цемента высокого качества, использования в качестве мелкого заполнителя крупных песков, применения прочных крупных заполнителей, а также к снижению водоцементного отношения. Для повышения пластичности и улучшения свойств бетонной смеси допустимо использование пластифицирующих добавок. Содержание растворной части в бетоне должно быть оптимальным для проведения работ по чистовой обработке бетона, в условиях конкретной строительной площадки. Время схватывания бетона должно быть определено;

бетон не должен подвергаться замедленному схватыванию, иметь разность во времени схватывания или проблем с образованием поверхностной «корки» из-за свойств конкретных добавок и температурно-влажностных условий, существующих на строительной площадке. Некоторые виды пластифицирующих добавок могут создавать подобные явления, особенно при их чрезмерном содержании в бетонной смеси.

Особо тщательно необходимо контролировать наличие и процентное содержание примесей в заполнителях;

их количество, по необходимости должно быть сведено к минимуму.

Для устройства полов применяется тяжелый бетон, отвечающий требованиям ГОСТ 25192-82. «Бетоны. Классификация и общие технические Горб А.М. Стр. требования» и ГОСТ 26633-85. «Бетон тяжелый. Технические условия» и иметь минимальную прочность на сжатие, соответствующую классу В22,5.

Для армирования монолитных армированных плит полов используется стержневая и фибровая арматура в соответствии с требованиями СП 52-01-2003.

«Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения» и СП 52-104-2006 «Сталефибробетонные конструкции».

В качестве стержневой арматуры применяют обыкновенную арматурную проволоку классов Вр-1 сварных сетках) или арматурную сталь (в периодического профиля классов А400С и А500С. В качестве монтажной и конструктивной арматуры, а также для элементов стыковых соединений используют горячекатаную арматурную сталь класса A-I.

Для фибрового армирования используется стальная фибра фрезерованная из слябов, выпускаемая по ТУ 0882-193-46854090, резанная из стального листа, выпускаемая по ТУ 0991-123-53832025, и рубленная из проволоки, выпускаемая по ТУ 1211-205-46854090.

Ниже приведены основные положения, методики и обоснования расчёта конструкций промышленных полов из цементобетона.

Горб А.М. Стр. 3. КОНСТРУИРОВАНИЕ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПОЛОВ ИЗ МОНОЛИТНОГО ЦЕМЕНТОБЕТОНА, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА УПРУГОМ ГРУНТОВОМ ОСНОВАНИИ.

Конструкции промышленных полов обычно изготавливаются из цементобетона различных классов и марок, в виде одно- или двухслойных монолитных плит различной толщины и характера армирования. Существуют три основных варианта конструкций полов, в зависимости от характера их армирования:

- конструкции из неармированного бетона;

- конструкции, армированные стержневой или фибровой арматурой с целью уменьшения трещинообразования при усадке, изменении температуры и влажности бетона и окружающей среды;

- конструкции, армированные стержневой и/или фибровой арматурой, воспринимающей помимо температурно - усадочных напряжений, силовые воздействия от эксплуатационных нагрузок.

Выбор оптимальной конструкции должен производиться на основании технико экономического сравнения вариантов. Выбранный вариант, в том числе, должен обеспечивать:

- комплексность конструктивных и технологических решений;

- прочность, устойчивость и долговечность грунтового и искусственного оснований, а также конструктивных слоёв пола;

- наиболее полное использование прочностных и деформативных характеристик грунтов и физико-механических свойств применяемых материалов;

- ровность, износоустойчивость и беспыльность поверхности;

- оптимальное использование местных строительных материалов;

- возможность максимальной механизации и технологичности строительных работ;

- оптимальные эксплуатационные качества устраиваемых полов, соответствующих заданным требованиям;

- минимально необходимые единовременные и суммарные приведённые затраты на строительство и эксплуатацию.

Горб А.М. Стр. 3.1. Монолитные неармированные бетонные полы.

Неармированные бетонные полы устраивают, как правило, в виде однослойных плит из монолитного цементобетона толщиной не более 25 см. В плитах большей толщины, явления коробления и последствия неравномерной усадки бетона приобретают недопустимые значения. В том случае, когда на основании расчёта требуется толщина плиты больше допустимой, необходимо применять двухслойную конструкцию, состоящую из двух независимых бетонных слоёв. В двухслойных плитах в качестве нижнего слоя, как правило, используют менее прочный цементобетон, тощий бетон или керамзитобетон. Керамзитобетон обладает хорошей термоизолирующей способностью, и поэтому его целесообразно применять при наличии в основании пучинистых грунтов, в случае их возможного промерзания в период строительства и эксплуатации здания или сооружения. Конструкция плиты нижнего слоя должна иметь достаточную несущую способность, обеспечивающую возможность перемещения построечного транспорта, а также временного складирования необходимых для строительства материалов и конструкций.

Между плитами верхнего и нижнего слоёв располагают разделительную прослойку. Основное назначение прослойки состоит в том, чтобы снизить трение между слоями, обеспечив свободу разнонаправленного деформирования при их усадке и изменении температуры окружающей среды. Обычно, в этом случае, применятся полимерная плёнка толщиной 0,2 - 0,25 мм. При необходимости выравнивания поверхности плиты нижнего слоя, защиты прослойки от механических повреждений, а также для дополнительного снижения трения между слоями, устраивается песчаный выравнивающий слой толщиной до 5 см. При необходимости устройства выравнивающего слоя большей толщины, используют более устойчивые к сдвиговым деформациям материалы: пескоцемент или мелкофракционный щебень.

Высокое качество отделки поверхности нижнего слоя позволяет отказаться от его выравнивания. В этом случае, для снижения трения между слоями допустимо использовать только плёночную прослойку, одновременно выполняющая роль средства по уходу за бетоном.

При проектировании полов из неармированного бетона важным является учёт температурно-усадочных напряжений и деформаций, возникающих в период его твердения. При этом, учитывая рассматриваемый тип конструкции, характерным Горб А.М. Стр. является различие в скорости набора прочности и охлаждения верхней и нижней части плиты, что приводит к формированию внутреннего градиента напряжений по высоте сечения плиты и, в связи с этим, к возможности появления усадочных трещин, если не принять соответсвующих мер по их снижению.

Для предотвращения растрескивания от воздействия внутренних температурно усадочных напряжений бетонные однослойные плиты и верхний слой двухслойных плит проектируют из стандартных прямоугольных плит при соотношении сторон в плане 1:1 - 1:1,5, при этом, более предпочтительным является соотношение 1:1.

Прямоугольные бетонные плиты образуются делением плиты продольными и поперечными температурно-усадочными швами сжатия с целью снижения риска образования случайных трещин в результате объёмных деформаций бетона. Для неармированных бетонных плит расстояние между швами составляет от 24 до толщин плиты в зависимости от свойств применяемого бетона и температурно влажностных условий окружающей среды. Наибольшее расстояние между швами для однослойных и верхнего слоя двухслойных плит не должно превышать 6 м.

Расстояния между швами в нижнем слое двухслойных конструкций может быть увеличено до 15м. Двухслойные конструкции проектируют с совмещением или несовмещением швов в слоях. Двухслойными конструкциями с несовмещенными швами считаются такие, в которых продольные и поперечные швы в слоях взаимно смещены относительно друг друга более чем на 2hв (hв - толщина верхнего слоя).

При устройстве двухслойных плит с совмещенными швами предусматривают взаимное смещение швов в обоих направлениях от 1,5 до 2,0 hв. В конструкциях с совмещенными швами жесткость плиты нижнего слоя не должна превышать жесткость верхнего более чем в 2 раза.

Опыт показывает, что применение в качестве несущей конструкции пола плит из неармированного бетона, способствует образованию усадочных трещин не менее чем на 5% площади пола. Их число зависит от деформативных свойств основания, прочностных свойств бетона, температурно-влажностных условий окружающей среды, характера нагрузок, а также других факторов и их сочетаний. Часто расположенные швы с неконтролируемым раскрытием, так же являются очагами разрушения, поэтому их большое число в сочетании с хаотично расположенными трещинами являются главными недостатками неармированных бетонных полов.

Горб А.М. Стр. 3.2. Монолитные армобетонные, непрерывно армированные и железобетонные полы, армированные стержневой арматурой.

3.2.1. Армобетонные полы.

Армобетонные плиты пола обладают рядом преимуществ по сравнению с бетонными, основными из которых являются следующие: повышенная деформативная способность армированного бетона значительно снижает риск образования случайных трещин от многократно повторяющихся подвижных нагрузок, возникающих усадочных напряжений и температурно - влажностных изменений окружающей среды. Наличие арматуры препятствует раскрытию обра зовавшихся трещин, позволяет увеличить расстояния между швами и соот ветственно уменьшить их количество, что существенно улучшает эксплуатационные показатели и долговечность полов.

Армобетонные плиты армируют сварными и вязаными сетками из стержневой арматуры периодического профиля диаметром 6 - 10 мм с шагом 100 – 200 мм.

Сетки располагают в верхней зоне сечения, на расстоянии от поверхности от 1/3 до 1/4 толщины плиты. Отдельные сетки стыкуют между собой внахлестку без сварки или с частичной сваркой и связыванием. Длина перепуска стержней должна быть в поперечном направлении не менее 15-ти диаметров стержней, а в продольном направлении не менее 30-ти диаметров.

Монолитные армобетонные плиты разделяют на отдельные прямоугольные плиты продольными и поперечными швами сжатия. Расстояние между поперечными швами не должно превышать 12 м. Продольные швы сжатия совмещаются с технологическими швами и выполняются с использованием штыревых соединений между смежными плитами.

Расчёт армобетонных плит не отличается от расчёта бетонной конструкции, однако, наличие конструктивной арматуры позволяет уменьшить толщину плиты на 10%.

Горб А.М. Стр. 3.2.2. Непрерывно армированные бесшовные полы.

Непрерывно армированные бесшовные полы являются разновидностью армированных полов. В таких полах стальная стержневая арматура размещена непрерывно по всей длине полосы бетонирования. Поперечные температурно усадочные швы, при этом, не устраиваются, так как их функции выполняют образовавшиеся при строительстве и эксплуатации микротрещины, ограниченные максимальной шириной 0,3 мм. Ограничение раскрытия трещин обеспечивается насыщением бетонного сечения продольной арматурой с расходом 5 - 8 см2 на погонный метр поперечного сечения плиты. Такие полы представляют собой ряд продольных полос, примыкающих друг к другу. Длину каждой полосы принимают по конструктивным соображениям и, как правило, ограничивают габаритными размерами помещения. Она может иметь длину 100 м и более. В непрерывно армированных полах выполняют швы следующих видов: продольные - между продольными полосами бетонирования и поперечные - швы примыкания торцов продольных полос, являющихся продолжением друг друга. Толщина таких плит должна быть не менее 0,15 м.

По характеру трещинообразования различают конструкции с нерегулируемым и регулируемым трещинообразованием.

В первом случае возможны два варианта бесшовных плит: по типу армобетонных, с размещением рабочей арматуры в верхней трети плиты и по типу обычных железобетонных, с размещением рабочей арматуры в верхней и нижней зонах сечения плиты.

Во втором случае плиты с регулируемым трещинообразованием (шарнирные плиты) состоят из ряда элементов (плит) длиной lп, не имеющих трещин, через которые проходит непрерывная арматура. Создание шарнира может быть обеспечено различными конструктивными мероприятиями. В одном из возможных решений арматуру верхней зоны (при её наличии) прерывают, а отдельные участки l продольной арматуры нижней зоны изолируют от бетона путем обмазки пластичным материалом (битумом, праймером) и установкой картонных или полиэтиленовых изолирующих трубок. По центру участков l нарезают ложные швы. Поперечная арматура, уложенная вдоль оси шва, в его вертикальной проекции, служит дополнительным позитивным концентратором напряжений. В Горб А.М. Стр. другом решении, продольную арматуру в месте нарезки ложного шва прерывают.

Однако, для ограничения раскрытия шва, восприятия усилий, а так же передачи нагрузки с одной плиты на другую, в швах устраивают анкерное и штыревое соединения. Для обеспечения свободной подвижки бетона по арматуре стержни анкера на участке l и штыри на 2/3 их длины обмазывают пластичным материалом.

Штыри располагают в средней зоне сечения, а анкера в нижней трети плиты.

В обоих конструктивных решениях температурные и усадочные изменения длины между соседними шарнирами возможны благодаря растяжению арматуры на участке l, где она не имеет сцепления с бетоном.

Армирование плит осуществляют сварными или вязаными сетками из стержневой арматуры периодического профиля диаметром мм.

8 - Непрерывность продольного армирования плит осуществляется за счет перепуска стыкуемых стержней и сеток, составляющего не менее 30 диаметров рабочей арматуры.

Непрерывно армированные плиты полов, с нерегулируемым трещинообразованием обладают повышенной ровностью, долговечностью и экономичностью при строительстве и эксплуатации. При этом, существенным является экономический аспект, где снижение затрат достигается снижением толщины и армирования таких плит, что обуславливается отсутствием повышенных краевых напряжений на участках вблизи швов за счёт непрерывности армирования в швах. Наличие минимального количества поперечных швов и ограниченное их раскрытие, существенно влияет на эксплуатационные качества полов. На сегодняшний день применение непрерывно армированных конструкций полов ограничено, однако в перспективе ожидается их широкое применение.

3.2.3. Железобетонные полы.

Железобетонные полы обладают наибольшей прочностью и долговечностью по сравнению с бетонными и армобетонными. При действии эксплуатационных нагрузок и воздействий они работают с образованием трещин в растянутой зоне. В сечениях с раскрывшимися трещинами растягивающие усилия воспринимает арматура, сжимающие усилия – бетон или бетон в сочетании с арматурой. Наличие арматуры, пересекающей трещину, ограничивает её ширину и глубину раскрытия.

Горб А.М. Стр. Железобетонные полы так же, как и бетонные, разбивают в плане продольными и поперечными швами сжатия на прямоугольные плиты. Длину плит, то есть расстояния между швами сжатия, увеличивают, при этом, до 40 м. Рекомендуемая толщина железобетонных плит составляет 16 – 25 см, а расход стали 12 - 26 кг/м2.

Для их армирования используют стальную стержневую арматуру периодического профиля диаметром 8 - 14 мм в виде сварных или вязаных сеток и каркасов.

Арматуру размещают в верхней и нижней зонах сечения плиты в соответствии с эпюрой действующих изгибающих моментов. Степень насыщения бетона арма турой характеризуется процентом армирования а = Fа / Fб.100 (где: Fa - площадь поперечного сечения арматуры;

Fб - площадь сечения плиты при высоте h и ширине b). Оптимальное значение а для железобетонных конструкций плит составляет 0, - 0,40 %. Максимальное количество арматуры размещается в нижней зоне сечения плиты. Продольные и поперечные швы в железобетонных полах устраивают по типу штыревых, сквозных или ложных.

3.2.4. Монолитные предварительно напряженные железобетонные полы.

Низкая прочность бетона на растяжение и малая растяжимость до разрыва являются его существенными недостатками. Удлинение бетона в момент разрушения от разрыва составляет около 0,15 мм/м. При таком удлинении напряжения в арматуре достигают примерно 30 МПа. Поэтому, ещё задолго до полного исчерпания несущей способности арматуры, в растянутой зоне бетона появляются трещины. Для повышения трещиностойкости и долговечности полов производится их предварительное напряжение.

Полы из монолитного предварительно напряженного железобетона обладают высокой трещиностойкостью благодаря хорошей сопротивляемости растягивающим и изгибающим усилиям. Такие конструкции допускают большое раскрытие трещин в бетоне растянутой зоны, так как под влиянием предварительных напряжений сжатия трещины после снятия нагрузки закрываются. Это позволяет уменьшить толщину плит в 1,5 - 2 раза по сравнению с бетонными и расход арматуры в 2 - 3 раза по сравнению с обычными железо бетонными полами и устраиваться в виде бесшовных плит больших размеров, с Горб А.М. Стр. минимальным количеством швов и тем самым улучшает эксплуатационные качества полов.

Наряду с отмеченными преимуществами, предварительно напряженные конструкции полов имеют и ряд недостатков, наиболее существенными из которых являются: сложность технологического оборудования и производства работ, необходимость участия специально обученного высококвалифицированного персонала, а так же применения повышенных мер по технике безопасности и охране труда.

Горб А.М. Стр. 3.3. Усиление промышленных бетонных полов при реконструкции.

Усиление существующих бетонных полов обуславливается необходимостью повышения несущей способности и наличием дефектов (выбоин, трещин, деформаций, сильного износа верхнего слоя и т.п.), недопустимых для их нормальной эксплуатации, устранение которых невозможно текущим ремонтом.

Методы усиления следует определять с учетом планируемых нагрузок и воздействий, в зависимости от технического состояния существующей плиты пола, естественного и искусственного оснований, водосточно-дренажной сети и гидрогеологических условий строительной площадки.

Для слоя усиления применяют бетон, армобетон, железобетон и фибробетон.

Усиление существующих полов осуществляется методом сращивания и методом наращивания по разделительной прослойке. В случае сращивания обеспечивается надежная связь между слоем усиления и плитами существующего пола при обязательном совмещении швов в слое усиления со швами в существующих полах.

При усилении методом сращивания необходимо обеспечить надёжную связь между существующими плитами пола и устраиваемым слоем усиления. Снижение прочности сопряжения старого и нового бетона по сравнению с монолитным сечением объясняется меньшей величиной сил адгезии растворной части бетона к затвердевшему бетону по сравнению с силами внутреннего сцепления материала (когезии), определяющими прочность старого и нового бетона. Кроме того, швы и трещины являются границами изменения направления температурно-усадочных деформаций стыкуемых конструкций, поэтому зона шва, разделяющая слои становится напряжённой» растягивающими усилиями, «предварительно провоцирующая сдвиг слоёв друг относительно друга.

Совмещение швов является обязательным во избежание растрескивания слоя усиления над швами усиливаемого слоя.

При усилении способом сращивания обязательным является очистка поверхности старого бетона от пыли, грязи, масла и строительного мусора и удаление с поверхности бетона верхнего пористого слоя вместе с карбонатной плёнкой. Этот слой имеет пониженную прочность вследствие преобладания в нём растворной части, повышенного водоцементного отношения по сравнению с Горб А.М. Стр. внутренними областями, в результате водоотделения и расслоения бетонной смеси, а так же наличия более рыхлой структуры матрицы из-за повышенной капиллярной пористости. Прочность верхнего слоя снижается, кроме этого, в результате выноса в него отделяющегося водой наиболее мелких частиц (шламов) составляющей бетонной смеси.

Удаление верхнего слабого растворного слоя с частичным обнажением крупного заполнителя, обеспечит адгезию слоёв и возможность организуемого межслойного шва воспринимать сдвигающие усилия. Этой же цели может способствовать и другие способы увеличения механического зацепления по площади бетона, работающего на сдвиг, например, создание искусственных неровностей с помощью фрезерования или дробеструйной обработки. Обязательным также является срезка или выравнивание имеющихся уступов между отдельными плитами. Рекомендуется также, при армировании слоя усиления стержневой арматурой, выполнить её укрепление на усиливаемом слое. Для предотвращения обезвоживания укладываемой бетонной смеси, существующее бетонное основание необходимо увлажнить.

При изготовлении слоя усиления рекомендуется использовать высокоподвижный бетон для заполнения всех неровностей на поверхности основания и для предотвращения образования не заполненных растворной частью “гнёзд” между крупными фракциями заполнителя. Толщину и армирования слоя усиления следует назначать расчётом. При этом минимальную толщину слоя усиления необходимо определять в зависимости от максимального диаметра фракции крупного заполнителя по формуле: hмин = 5(dз + ам), где: dз – диаметр заполнителя, ам – средняя толщина одной прослойки матрицы. Для тяжёлого бетона, при использовании фракции щебня 5-20мм, толщина слоя, соответственно, составляет 100 – 120 мм. Для армирования слоёв усиления применяется стержневая арматура в виде сварных или вязаных сеток из арматуры периодического профиля, фибровая арматура или комбинированное армирование. Использование дисперсного армирования стальными фибрами дополнительно увеличивает адгезию слоёв, снижает объёмную усадку, повышает ударную и усталостную прочность, трещиностойкость и истираемость. Дополнительное применение низкомодульных синтетических волокон повышает технологические свойства бетонной смеси и Горб А.М. Стр. снижает трещинообразование на ранних стадиях твердения бетона.

При усилении полов методом наращивания по разделительной прослойке не требуется обязательного совпадения швов в слоях.

В том случае, когда существующее бетонное основание имеет неровности, помимо разделительной прослойки устраивают выравнивающий песчаный или пескоцементный слой. При больших неровностях, рекомендуется выполнять выравнивающие слои из щебня или мелкозернистого бетона. Слои усиления выполняют в виде монолитных прямоугольных плит. Конструкция плит такая же, как для обычных бетонных, фибробетонных, армобетонных и железобетонных полов.

Горб А.М. Стр. 4. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЁТА.

Конструкции бетонных полов рассчитываются по методу предельных состояний, позволяющему наиболее полно учесть специфику их работы под воздействием эксплуатационных нагрузок. При наступлении предельного состояния конструкция не способна сопротивляться внешним воздействиям или получает недопустимые, по условиям эксплуатации, деформации. Задача расчета состоит в том, чтобы обеспечить запас по прочности и трещиностойкости, для предотвращения наступления, в период эксплуатации, того или иного предельного состояния. Вместе с тем, для получения экономичных решений, эти запасы не должны быть лишними, т.е. необходимо учитывать условия, при которых возникающие усилия оказывались максимально близкими к предельно допустимым значениям.

Расчетные предельные состояния для различных типов конструкций полов отличаются. При появлении трещин в бетонных полах их несущая способность практически исчезает. Поэтому, для таких конструкций, состояние, соответствующее появлению трещин в результате воздействия нагрузок, является расчетным и характеризуется как предельное состояние по прочности. В железобетонных конструкциях полов, в стадии эксплуатации трещины допускаются, но ограничивается ширина их раскрытия. Расчетным предельным состоянием для таких плит является предельное состояние по прочности, которое наступает, когда напряжения в растянутой арматуре достигают его расчетного значения, а предельное состояние по раскрытию трещин, характеризуется шириной их раскрытия не более 0,4 мм, определяемое различными условиями.

Расчётное предельное состояние сталефибробетонных конструкций полов зависит от прочности бетона – матрицы и параметров фибрового армирования;

определяющим фактором, при этом, является объёмное содержание фибр в бетоне – матрице.

При проценте армирования ниже минимального уровня, усилия в сжатой и растянутой зонах до момента образования первой трещины воспринимаются фибробетоном, а момент образования трещины в растянутой зоне, соответствует потере элементом несущей способности и характеризуется как предельное состояние по прочности.

Горб А.М. Стр. При проценте армирования выше минимального уровня, усилие, возникающее в сталефибробетонном изгибаемом элементе в момент возниковения трещин, воспринимается в сжатой зоне сталефибробетоном, а в растянутой - только фибрами, считающимися «размазанными» в пределах площади растянутой зоны.

Предельное состояние по прочности характеризуется усилием, возникающим в момент обрыва или выдёргивания всех фибр пересекающих расчётное сечение.

Поскольку, рассмотренные выше предельные состояния вызываются действием знакопеременных изгибающих моментов, расчет необходимо производить с их учётом.

В связи с этим, основное уравнение прочности может быть записано в виде:

md mu (1.1) расчетный момент в сечении плиты при наиболее невыгодном md расположении и сочетании нагрузок;

- предельно допустимый для рассматриваемого сечения изгибающий mu момент.

При расчете железобетонных конструкций полов, с учётом раскрытия трещин, помимо условия (1.1), необходимо выполнить условие:

acrc [ат] (1.2) расчётная ширина раскрытия трещин (мм), в рассматриваемом acrc сечении плиты, при действии эксплуатационных нагрузок;

[ат] - предельно допустимая ширина раскрытия трещин, равная 0,4мм.

Смысл формулы (1.1) состоит в том, чтобы максимально возможное (с учетом динамических нагрузок и коэффициента перегрузки) усилие в конструкции было не больше ее минимальной несущей способности (с учетом возможного изменения прочности материала). Расчет конструкций полов заключается в определении моментов md и mu, расхождение между которыми должно быть не более 5%.

Изменение напряжённо - деформируемого состояния конструкций полов, являющимися плитами, лежащими на упругом основании, происходит в зависимости от величин прикладываемых нагрузок, реакции основания и характера армирования. Для различных типов конструкций необходимо учитывать различные стадии их работы.

Горб А.М. Стр. В конструкциях бетонных полов, в отличии от свободно - опёртых балок и плит, следует различать следующие четыре стадии их работы:

Стадия I характеризуется тем, что в результате действия нагрузки возникает напряжение р, меньшее абсолютного предела выносливости Rt. За абсолютный предел выносливости обычно принимают значение, равное 0,4·Rbtb, которое, согласно гипотезе прочности бетона по О. Я. Бергу, гарантирует от появления микротрещин на границе сред (заполнителей и цементного камня). Считается, что Rt при значении фактического напряжения больше могут возникать микротрещины, которые по мере увеличения напряжения «пронизывают» всё большую толщину плиты и охватывают всё больший объем материала.

Стадия при которой развитие и накопление микроповреждений II завершается, нагрузка возрастает до значения Rtпред, вызывающего напряжения в плите, равные пределу прочности бетона на растяжение при изгибе.

Подобное напряжение в бетонной балке вызывает мгновенное разрушение. В плите на упругом основании это приводит к появлению поверхностных трещин и перераспределению внутренних усилий.

В результате работа конструкции переходит в III стадию - стадию развития трещин.

Можно считать, что появление сквозных трещин, разделяющих плиту на несвязанные элементы, разрушает конструкцию, меняя ее форму. Однако, если при этом, основание испытывает напряжения в пределах, ограниченных его упругой работой, существенных прогибов не наблюдается и ровность поверхности не изменяется (не ухудшается). Требуется дополнительное увеличение нагрузки или числа циклов ее повторения, чтобы одни элементы плиты сместились по отношению к другим. Этот процесс отнесен к IV стадии – стадии физического разрушения конструкции.

Конструкций железобетонных плит полов, армированных ненапрягаемой арматурой, предусматривают три стадии их работы:

Стадия I. При малых нагрузках напряжения в бетоне и арматуре невелики и деформации носят преимущественно упругий характер;

зависимость между напряжениями и деформациями линейная, и эпюры нормальных напряжений в бетоне сжатой и растянутой зон сечения треугольные.

Горб А.М. Стр. С увеличением нагрузки напряжения в бетоне растянутой зоны сечения быстро приближаются к пределу прочности бетона при растяжении. При этом, в растянутой зоне сечения развиваются пластические деформации и эпюра напряжений искривляется, а в сжатой зоне бетон испытывает ещё преимущественно упругие деформации. Этот конечный этап стадии I переходит в стадию Ia. Эпюра напряжений в бетоне сжатой зоны близка по очертанию к треугольной, а в бетоне растянутой зоны – к прямоугольной.

При дальнейшем увеличении нагрузки бетон растянутой зоны разрывается в местах, где образовались трещины, и выключается из работы, растягивающие напряжения воспринимаются только продольной арматурой. Наступает новое качественное состояние – стадия II. При этом происходит изменение жёсткости сечения (в сторону его уменьшения) и, соответственно, уменьшение значений действующих изгибающих моментов, при учёте увеличения реактивных давлений основания. По высоте сечения деформации при изгибе изменяются нелинейно. По длине элемента деформации сжатой и растянутой зон сечения и высота сжатой зоны также переменные, а нейтральная ось волнообразная.

Стадия II. В растянутой зоне в местах, где образовались трещины, внутреннее растягивающее усилие воспринимается стальной арматурой. На участках между трещинами сцепление арматуры с бетоном не нарушается, и бетон продолжает работать на растяжение. Как и при центральном растяжении, по мере удаления от краёв трещин, растягивающие напряжения в бетоне увеличиваются, а в арматуре уменьшаются. В сжатой зоне с повышением напряжений и развитием ползучести бетона эпюра нормальных напряжений постепенно искривляется. При этом, одновременно, происходит увеличение значения реактивного давления упругого основания, что приводит к более плавному нарастанию внутренних усилий в плите по сравнению со статически определимыми системами.

При увеличении нагрузки происходит дальнейшее раскрытие трещин в растянутой зоне, напряжения в материалах увеличиваются, и наступает разрушение сечения, т.е. стадия III.

Стадия III. В этой стадии работы деформации ползучести бетона распространяются на значительную часть высоты сжатой зоны сечения, и Горб А.М. Стр. криволинейность эпюры нормальных сжимающих напряжений становится ярко выраженной. Разрушение сечения наступает, когда напряжение в растянутой арматуре достигает предела текучести Ra, а затем, под влиянием значительного прогиба плиты, разрушается сжатая зона или напряжения в бетоне сжатой зоны достигает предела его прочности. Напряжение в сжатой арматуре в том или другом случаях достигают предела текучести.

По мере удаления от расчётного центра приложения нагрузок имеются сечения, испытывающие различные стадии напряжённо-деформируемого состояния. Положение нейтральной оси в последовательных стадиях напряжённо-деформируемого состояния постепенно перемещается.

При изгибе железобетонных конструкций в отличии от упругих материалов вследствие ползучести бетона и раскрытия трещин в растянутой зоне зависимость между усилиями и деформациями в сечениях непостоянна: она изменяется с течением времени в зависимости от величины напряжений, повторяемости нагрузок, накопления остаточных прогибов и изменения реакции основания.

Работа сталефибробетонных конструкций полов отличается от работы бетонных и железобетонных и характеризуется следующими пятью стадиями:

Стадия 1. Стадия упругой работы композита, при которой фибра и бетонная матрица работают совместно, а напряжения в крайних волокнах растянутой зоны не достигает предела прочности матричного бетона на осевое растяжение. До появления первой микротрещины в растянутой зоне напряжённо-деформированное состояние бетонного пола и пола армированного стальной фиброй будет одинаковым, т.е. оба сечения работают в упругой стадии. Эпюра напряжений имеет треугольную форму. При дальнейшем возрастании нагрузок происходит переход в упругопластичную стадию (стадию 2).

Стадия 2 характеризуется упругопластичной работой конструкции, при которой напряжение в крайних волокнах растянутой зоны достигают предела прочности матричного бетона на осевое растяжение и в нём развиваются пластические деформации, при этом, нейтральная ось начинает перемещаться вверх, эпюра сжатой зоны сечения треугольная, а растянутой зоны приобретает трапециевидное очертание. Вторая стадия соответствует моменту, предшествующему началу Горб А.М. Стр. образования трещин в растянутой зоне. При увеличении нагрузки происходит образование первой микротрещины и переход в третью стадию работы – стадию образования и развития трещин в матричном бетоне.

Стадия 3 определяется появлением первой трещины в растянутой зоне, при этом, растягивающие усилия воспринимаются фибровой арматурой в вершине трещины и фибробетоным композитом в зоне над трещиной.

При дальнейшем росте нагрузок, в зоне максимальных напряжений в нижней части плиты, вызванных действием положительных изгибающих моментов, первичные микротрещины объединяются в макротрещины, которые начинают распространяться вверх по толщине плиты в радиальных направлениях. В образовавшихся трещинах вся нагрузка воспринимается фибрами, при этом, напряжения в них значительно увеличиваются, а напряжения в матричном бетоне в окрестности трещины снижаются по мере удаления от вершины трещины. Эпюра напряжений растянутой зоны становится прямоугольной. Характер распространения трещин определяется прочностью бетонной матрицы, материала фибры, её объёмным содержанием, коэффициентом ориентации, степенью анкеровки, а также количеством фибр пересекающей трещину в расчётном сечении.

При дальнейшем возрастании нагрузок завершается процесс образования радиальных трещин в матричном бетоне с одновременным возникновением поверхностных тангенциальных трещин кольцевого очертания и переходом в 4-ю стадию – стадию вязкого течения и начала процесса разрушения плиты.

Стадия 4 характеризуется достижением предельного состояния прочности сталефибробетоного сечения на растяжение при изгибе. В фазе наступления предела прочности сталефибробетонного сечения происходит взаимодействие (перераспределение) между положительными и отрицательными изгибающими моментами, определяемое как функция жесткости плиты пола и реакции основания, которые формируют напряжённо-деформируемое состояние конструкции плиты.

Дальнейшее развитие трещин происходит за счёт выдёргивания и разрыва волокон дисперсной арматуры последовательно по высоте сечения. Волокна разрываются, если прочность сцепления их с бетонной матрицей превосходит их прочность на растяжение, и выдергиваются, если прочность сцепления меньше прочности волокон.

Горб А.М. Стр. В реальных условиях при разрушении всегда наблюдаются оба механизма, так как в дисперсно-армированных бетонах фибра располагается хаотично и площадь сцепления волокон с матрицей, регулируется глубиной их заделки в матрицу по отношению к фронту трещины. В элементах, армированных фибрами, длина которых меньше удвоенного значения необходимой длины их анкеровки после возникновения трещины возникает предельное напряжение сцепления фибр с последующим выдёргиваним фибр из бетона. При длине анкеровки фибр больше их удвоенной длины, часть пересекающих трещину фибр воспринимает действующую нагрузку, а напряжения в армирующем материале повышается до момента исчерпания несущей способности фибр. При этом, в отличие от бетонного сечения, в котором при образовании трещины в растянутой зоне несущая способность элемента исчезает, на диаграмме фибробетона «напряжение-деформация» наблюдается ниспадающий участок, учитывающий работу фибр после образования трещины, при условии контроля деформаций. Угол наклона ниспадающей кривой зависит от прочности бетон - матрицы и параметров фибрового армирования. При дальнейшем увеличении внешней нагрузки происходит переход в пятую стадию – стадию образования сквозных трещин и окончательного разрушения плиты.

В Стадии 5 происходит сквозное пересечение радиальными и тангенциальными трещинами сечения плиты по всей её высоте с обрывом и выдёргиванием практически всех фибр, при этом, разрушение сталефибробетонной плиты завершается полностью с образованием отдельных фрагментов, ограниченных линиями образовавшихся радиальных и тангенциальных трещин. В стадии разрушения происходит изменение расчётной схемы плиты: вместо схемы бесконечной гибкой плиты, с нагрузкой, действующей на достаточном удалении от края, происходит переход к полу- и четверть бесконечной схеме, с образованием «консольных» участков и возникновением отрицательных изгибающих моментов вблизи трещин. При этом, происходит увеличение реактивных давлений, обуславливающих нелинейный характер изменения значений изгибающих моментов.

Многообразие условий, в которых эксплуатируются полы, позволяет считать допустимым для отдельных типов конструкций различные стадии их работы.

Горб А.М. Стр. 5. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРИНЦИПОВ РАСЧЁТА КОНСТРУКЦИЙ БЕТОННЫХ ПОЛОВ.

Вопросу конструирования и оценки прочности бетонных полов, в отечественной литературе уделяется относительно мало внимания, не соответствующее его значению. Определение вертикальных перемещений плит, лежащих на упругом основании, является первостепенной задачей, большое значение, при этом, имеет выбор расчётной модели основания при проектировании плит полов.

Выбор расчетной модели основания представляет большой практический интерес, так как, с одной стороны, модель должна отображать наиболее существенные особенности совместной работы плиты и грунтового основания, от чего зависит точность результатов расчета, а с другой, - не вызывать чрезмерную математическую сложность, затрудняющую решение практических задач по расчету плит при различных граничных и начальных условиях, видах воздействий и схемах загружения. По существу этот вопрос сводится к выбору зависимости между реакциями, действующими со стороны основания на подошву плиты, ее прогибами и их производными.

Дифференциальное уравнение изгиба гибкой плиты постоянной толщины при статической вертикальной нагрузке и любой модели основания имеет вид:

Dw( x, y ) = q( x, y ) - r ( x, y ) (2.1) где: D - цилиндрическая жесткость плиты;

- оператор Лапласа четвертого порядка:

4 4 = 4 + 2 2 2 + 4 (2.2) x x y y w(x, у) - прогибы плит, считаемые малыми;

q(x, y) - интенсивность вертикальной нагрузки;

r(x, y) - интенсивность вертикальной реакции основания, выражение которой зависит от вида её модели.

Решая вопрос о выборе расчетной модели основания, ограничимся суждениями о следующих моделях: модель с одним коэффициентом постели Горб А.М. Стр. (винклеровская модель) и однородного, изотропного, линейно-деформируемого, идеально упругого полупространства (модель упругого полупространства).

Первая модель построена на следующих допущениях:

· основание считается упругим и линейно-деформируемым;

· касательными реакциями по подошве плиты пренебрегают;

· вертикальная интенсивность реакции на подошву пропорциональна ее прогибу в данной точке:

r(x, y) = c · w(x, у) (2.3) где: с - коэффициент реакции основания (коэффициент постели).

Характерно, что основание по этой модели не обладает распределительной способностью, так как деформируется только в пределах плиты, там, где на него действует давление. Это противоречит опыту в случае грунтов, обладающих связностью частиц. Такие грунты в известной степени являются упругими сплошными средами, которые, при загрузке плиты, деформируются и за её пределами. Однако, деформации упругого основания, за пределами подошвы плиты, не всегда существенны для расчета самой плиты, поэтому данная модель упругого основания проста, особенно, если учесть часто возникающие случаи водонасыщенного состояния связанного и несвязанного грунта, когда они мало способны к деформациям за пределами подошвы плиты.

Следует отметить, что при испытании грунтов штампами большого диаметра почти не наблюдается влияние диаметра штампа на значение коэффициента постели. Плиты полов имеют значительную протяженность и малую жесткость, рассматриваемые как гибкие и поэтому опыты со штампами большого диаметра соответствует действительным условиям работы плит. Это и вызывает практический интерес к первой модели.

Во второй модели сплошного упругого полупространства вертикальные перемещения его поверхности w0 (x, у) определяются по формулам теории упругости, а именно по формуле Буссинеска, приводящей к следующей зависимости (рис. 2.1):

1 - m0 r (x,h )dxdh ab w0 ( x, y ) = (2.4) pE0 ( x - x )2 + ( y -h ) Горб А.М. Стр. Е о, µ 0 - модуль упругости и коэффициент Пуассона основания;

a и b - интегральные размеры прямоугольной плиты в плане.

Рис. 2.1. Зависимость между реакцией основания и прогибами плиты по второй модели упругого основания. (1 – упругое полупространство).

Как видно из выражения (2.4), во второй модели учтены деформации поверхности основания, не только в месте приложения нагрузки, но и за её пределами. Для связных грунтов это вполне обосновано, и тем более естественно предположение, что реакция основания в данной точке, зависит не только от вертикального перемещения данного сечения, как в первой модели, но и от совокупности всех перемещений, включая угловые и сдвиговые. При этом, вторая модель учитывает деформации основания и за пределами подошвы плиты. Однако, если задача расчета плиты по первой модели сводится к решению одного дифференциального уравнения (2.1) при условии (2.3), то по второй модели необходимо решать систему двух уравнений (2.1) и (2.4) при учете условия полного контакта подошвы и основания: w(x,у) = wo(x,у). Поэтому мате матические трудности при использовании второй модели значительно превосходят сложность решения по первой модели.

Здесь уместно отметить, что по второй модели, деформации поверхности полупространства вокруг загруженного участка теоретически распространяются до бесконечности, что резко противоречит наблюдениям при экспериментах с Горб А.М. Стр. штампами, вдавливаемыми в поверхность основания даже для грунтов со значительной связностью частиц.

Существует более сложные модели, часто представляющие собой различные комбинации рассмотренных выше моделей, как, например: на упругое полупространство по второй модели опирается основание по первой модели, на котором располагается плита. Еще более сложные модели основания получаются для упруго - пластических оснований.

Необходимо особо отметить, что все упругие линейно - деформируемые основания считаются изотропными (двухсторонними), т.е. способными вос принимать как сжимающие напряжения, так и растягивающие. Такое допущение позволяет получать решения от нескольких одновременно действующих нагрузок путем суммирования частных решений от отдельных нагрузок. Однако, расчет при односторонних связях, существующих для грунтовых оснований, будет действите лен в том случае, если в основании от всех нагрузок не возникнут растягивающие напряжения на подошве плиты. В противном случае, участок с растягивающими напряжениями должен быть исключен из рассмотрения. Но, при этом, появляются новые его границы. Путем последовательных приближений можно, наконец, получить приемлемый расчет, но он окажется сложным.

Исходя из вышеизложенного, можно считать достаточно обоснованным, применение при проектирования бетонных полов первой модели – модели с одним коэффициентом постели.

Горб А.М. Стр. 6. ОБОСНОВАНИЕ ПРИНЦИПОВ РАСЧЁТА КОНСТРУКЦИЙ ПОЛОВ НА ОСНОВЕ ГИПОТЕЗЫ КОЭФФИЦИЕНТА ПОСТЕЛИ.

Определение внутренних усилий в плитах полов сводится к расчету плит, лежащих на многослойных грунтовых основаниях, при действии эксплуатационных нагрузок, приложенных к любому участку плиты. Плиты рассчитывают на действие статических нагрузок.

Динамическое воздействие нагрузок учитывают введением в расчет коэффициентов динамичности. Повторность приложения нагрузок, величина температурно-усадочных напряжений и нарастание прочности бетона во времени учитывается введением в расчёт коэффициента условия работы.

Плиты полов рассматриваются лежащими на упругом основании, свойства которого описываются принятой расчетной моделью. Исходя из этого, расчет необходимо производить исходя из условия (1.1).

Расчётные изгибающие моменты определяют в различных сечениях плиты с учётом задач строительной механики для плит, лежащих на упругом основании.

Определение внутренних усилий в плитах сводится к нахождению функции эпюр реактивного отпора (реакции) основания от заданной нагрузки. При этом обычно принимают, что осадка поверхности основания в точности совпадает с прогибами плиты под нагрузкой.

Конструкции промышленных бетонных полов, с точки зрения теории упругости, представляют собой плиту, неограниченных размеров, лежащую на упругом основании, разделённую различными типами швов на прямоугольные участки (плиты). С целью упрощения расчётов, определение действующих усилий и перемещений, в этом случае, сводится к решению задачи изгиба тонких прямоугольных плит в декартовых координатах для краевых участков и в полярных координатах для центральных полей плиты. В последнем случае, рассматривается задача об изгибе гибкой круглой плиты неограниченного радиуса, при действии сосредоточенной нагрузки, распределённой по малой площади, достаточно удалённой от краёв и углов плиты. Для нагрузок расположенных вблизи краевых и угловых участков плиты, рассматривают решения для полу- и четвертьбесконечных прямоугольных плит.

Горб А.М. Стр. 6.1. Решение для прямоугольных плит, лежащих на упругом основании.

Для прямоугольных плит условие изгиба нейтральной оси плиты выражается дифференциальным уравнением изгиба средней плоскости плит:

4w 4w 4w D 4 + 2 2 2 + 4 + p( x, y ) = q( x, y ) (3.1) x y x y Eб h где: D = - цилиндрическая жёсткость плиты;

12(1 - m 2 ) Еб, m - модуль упругости и коэффициент Пуассона плиты;

h – толщина плиты;

w – прогиб плиты;

x, y – координаты срединной плоскости плиты;

p (x, y) - реактивный отпор упругого основания;

q (x,y) – внешняя нагрузка.

В зависимости от положений в основу расчёта гипотезы о работе грунта в основании, вид функции p (x, y) может быть различным.

Действующий расчетный изгибающий момент в рассматриваемом сечении плиты определяется с учетом решений задач строительной механики для гибких прямоугольных плит, лежащих на упругом основании. Методология расчёта таких плит, при заданных граничных условиях, наиболее полно рассмотрена Б. Г.

Галёркиным.

Вопросу расчёта плит на упругом основании, в разное время, посвящены работы А.П. Синицына, Б.Г. Коренева, В.А. Киселева, М.И. Горбунова-Посадова, И.А.

Медникова, Л.И. Манвелова и В.И. Травуша. На основе модели коэффициента постели Л.И. Манвеловым и Э.С. Бартошевичем получено решение для прямоугольной плиты при нагрузке, приложенной к любому участку в пределах ее контура, интегрированием дифференциального уравнения изгиба плиты (3.1) при соответствующих граничных условиях.

Дифференциальное уравнение изгиба прямоугольной плиты со сторонами а и b (Рис. 3.1) имеет вид:

4 w + w = p ( x, y ) (3.2) S Горб А.М. Стр. где, 4 - бигармонический оператор;

w – прогиб плиты;

4D D S =4 = 1,41l ;

l = 4 - упругая характеристика плиты;

c c с – коэффициент постели.

Рис. 3.1. Расчётная схема плиты.

Граничные условия для плит со свободными краями будут иметь вид:

2w 2w +m 2 = x = 0;

M x = (3.3) x 2 y 3w 3w + (2 - m ) x = a;

Q x = = y 3 xy Соответственно, по краям плиты: y = 0 и y = b;

My = Qx = 0.

Для решения уравнения (3.2) с граничными условиями (3.3) применим метод разложения по собственным функциям;

при этом собственные значения однородного дифференциального уравнения и собственные функции определяем вариационным методом. Следовательно, вместо уравнения (3.2) рассмотрим однородное уравнение:

w - lw = 4w + (3.4) S Для определения собственных значений l и собственных функций w, удовлетворяющих условию (3.4) и граничным условиям (3.3), рассмотрим Горб А.М. Стр. функционал:

1 2 2 4 2 w 2 2 w 2 w ab y ( w) = ( w) + 4 - l w + 2(1 - m ) xy - x 2 y 2 dxdy (3.5) S Вариация этого функционала имеет вид:

3w 3w ab b a Ф (0) = 4 w + 4 w - lwhdxdy - 3 + (2 - m ) h dy x xy 2 00 S 3w 3w 2w 2 w h a b b a - 3 + (2 - m ) yx h dx + 2 + m y x dy + y x 0 0 2w 2 w h a b + 2 + m x y dx = 0 (3.6) y 0 Из равенства (3.6) видно, что вариация функционала (3.5) удовлетворяет как диффенциальному уравнению (3.4), так и заданным граничным условиям (3.3).

Функцию w задаём в виде двойного ряда тригонометрических функций:

mpx npy mpx mpy w = d min cos + bmin cos + c min cos sin m n a b a b mpx npy mpx npy sin + d min sin (3.7) cos sin b a b a Далее выражаем функционал (3.5) через заданную функцию (3.7), оставляем в тригонометрическом ряду 41 член и вычисляем все значения:

y y y y = 0;

= 0;

= 0;

= 0;

(3.8) a b c d В результате получаем системы линейных алгебраических уравнений, в результате решения которых определяем собственные значения и собственные функции wi. Приложенную к плите нагрузку интенсивностью q, равномерно распределённую по некоторой площадке, раскладываем в ряд по собственным функциям и определяем все коэффициенты разложения нагрузки qi.

После этого решение дифференциального уравнения (3.2) с граничными условиями (3.3) имеет вид:

qi w= (3.9) wi li Действующие изгибающие моменты определяются по известным формулам теории изгиба плит соответствующим дифференцированием выражения (3.9).

Горб А.М. Стр. 6.2. Случай для симметричного загружения плиты.

(Задача об изгибе круглой пластинки, нагруженной сосредоточенной силой, равномерно – распределённой по кругу и квадрату малой площади).

Для случая симметричного нагружения плиты, относительно расчётного центра, к которым относятся полы производственных зданий, являющихся бесконечной гибкой плитой (пластиной) на упругом основании необходимо рассматривать вместо решения уравнения (3.1) в частных производных для прямоугольных плит, решения для бесконечной круглой плиты с осевой симметрией. В этом случае прогибы плиты зависят только от одного переменного – расстояния от центра симметрии (как правило расчётного центра нагрузок) до рассматриваемого сечения, т.е. появляется возможность решения данного уравнения более простым способом (в полярных координатах). Решение этого уравнения в данном случае упрощается: вместо достаточно сложного для практического решения задач уравнения (3.1) с частными производными решается обыкновенное дифференциальное уравнение с двумя неизвестными функциями:

d 4 w 2 d 3 w 1 d 2 w 1 dw D 4 + 3 - 2 2 + 3 = q (r ) - kw (3.10) dr r dr r dr r dr В частном случае пластинки, нагруженной в центре силой P, интенсивность q обращается в нуль по всей площади пластинки, за исключением центра.

Введя обозначение:

k = 4, (3.11) Dl приведём уравнение (3.10) к следующему виду:

d 2 1 d d 2v 1 dv l4 2 + +v = + (3.12) dr r dr dr 2 r dr где: l – упругая характеристика плиты.

Для упрощения дальнейших выкладок удобно ввести безразмерные величины, воспользовавшись следующими обозначениями:

v r = z, = x. (3.13) l l Горб А.М. Стр. Тогда уравнение (3.12) примет вид:

d 2 1 d d 2 z 1 dz 2+ + z = + (3.14) dx x dx dx 2 x dx Применив символ вместо d2 1 d +, dx 2 x dx напишем это уравнение таким образом:

DDz + z = 0. (3.15) Это – линейное дифференциальное уравнение четвёртого порядка, общее решение которого может быть представлено в следующем виде:

z = AX 1 ( x ) + BX 2 ( x) + CX 3 ( x ) + DX 4 ( x ), (3.16) где A,…,D – постоянные интегрирования, а функции X1,…,X4 представляют собой четыре независимых решения уравнения (3.15).

Попытаемся теперь найти решение уравнение (3.15) в виде степенного ряда.

Пусть anxn будет общий член этого ряда. Дифференцирование даёт нам тогда:

D(a n x n ) = n(n - 1)a n x n- 2 + na n x n- 2 = n 2 a n x n - и DD(a n x n ) = n 2 (n - 2) 2 a n x n -4.

Для выполнения условий уравнения (3.15) необходимо, чтобы каждому члену anxn в ряде соответствовал такой член an-4xn-4, для которого было бы справедливо соотношение:

n 2 ( n - 2) 2 a n x n - 4 + a n - 4 x n - 4 = 0. (3.17) При этом условии по подстановке ряда в уравнение (3.15) все его члены исчезают. Поэтому если этот ряд сходящийся, то он представляет собой частное решение уравнения (3.15). Из уравнения (3.17) следует, что:

a n - an = - (3.18), n (n - 2) Заметив также, что DD(a 0 ) = 0 и DD(a 2 x 2 ) = 0, (3.19) приходим к выводу, что имеются два ряда, удовлетворяющие уравнению (3.15), а именно:

Горб А.М. Стр. x4 x8 x X 1 ( x) = 1 - 2 2 + 2 2 2 2 - 2 2 2 2 +K 2 4 2 4 6 8 2 4 6 8 10 2 и (3.20) x6 x10 x X 2 ( x) = x 2 - 2 2 + 2 2 2 -2 2 2 + K 4 6 4 6 8 10 4 6 8 10 12 2 2 2 Из обозначений (3.13) можно видеть, что при малых значениях расстояния r, т.е. для точек, близких к точке приложения нагрузки P, величина x мала и ряды (3.20) быстро сходятся. Мы видим также, что последовательные производные рядов (3.20) сохраняют конечное значение в точке приложения нагрузки (x = 0). Это указывает на то, что одних этих рядов недостаточно для представления напряженного состояния в точке приложения нагрузки, где, как известно, изгибающие моменты становятся бесконечно большими.

По этим соображениям частное решение X3 уравнения (3.15) берется нами в следующем виде:

X 3 = X 1 ln x + F3 ( x ), (3.21) Где F3(x) – функция x, которую точно так же можно представить степенным рядом. Дифференцируя по x уравнение (3.21), находим:

4 d 3 X DDX 3 = + ln xDDX 1 + DDF3 ( x);

x dx подставляя же X3 вместо z в уравнение (3.15), получаем:

4 d 3 X + ln x(DDX 1 + X 1 ) + DDF3 ( x) + F3 ( x) = 0.

x dx Поскольку X1 удовлетворяет уравнению (3.15) и может быть представлена первым рядом (3.20), получаем для определения F3(x) следующее уравнение: