авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Моделирование и анализ эффективности ценообразования опционов на российском срочном рынке

На правах рукописи

Морозова Марианна Михайловна

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ

ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ

НА РОССИЙСКОМ СРОЧНОМ РЫНКЕ

Специальность 08.00.13 – математические и

инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата экономических наук

Новосибирск

2011

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте экономики и организации промышленного производства Сибирского отделения РАН (УРАН ИЭОПП СО РАН)

Научный руководитель: кандидат экономических наук, доцент Блам Юрий Шабсович

Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор Коломак Евгения Анатольевна кандидат физико-математических наук, доцент Бусыгин Владимир Петрович

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образова тельное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный университет»

Защита состоится 9 декабря 2011 года в 16 часов на заседании Диссер тационного совета Д 003.001.02 при ИЭОПП СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЭОПП СО РАН.

Автореферат разослан 8 ноября 2011 года «»»»»января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.э.н. М.А. Ягольницер

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Последние десятилетия стали пе риодом интенсивного развития срочного сегмента финансового рынка, важ ной экономической функцией которого является функция первичного цено образования. В цене срочного контракта заложена информация относитель но рыночных перспектив базового актива, поэтому их эффективное ценооб разование играет определяющую роль в функционировании финансового рынка. Однако на сегодняшний день процесс развития российского срочно го рынка сдерживают проблемы оценки стоимости опционов.

С научной точки зрения неэффективное ценообразование выражается в несоответствии между эмпирическими свойствами динамики цен базовых активов и свойствами используемых моделей. В основе традиционных мо делей оценки справедливой стоимости опционов лежит предположения о нормальном распределении доходностей базовых активов и полноте рынка.

Однако чрезвычайно большие ценовые движения (скачки) не столь редки, как предсказывает нормальная кривая. Скачкообразные изменения приводят к неполноте рынка, т. е. невозможности полного хеджирования рисков. Цено образование, основанное исключительно на нормальном распределении, не способно адекватно отражать все многообразие рынка, что приводит к серь езным неточностям в оценках.

С практической точки зрения существующее рыночное ценообразование опционов приводит к искаженным ожиданиям участников относительно бу дущего состояния рыночной динамики базового актива, что снижает актив ность торгов и увеличивает риски инвестиционной деятельности.

Актуальность исследования обусловлена высокой практической значи мостью и недостаточной проработкой проблемы оценки справедливой стоимости опционов на неполном неликвидном рынке. Эта проблема осо бенно актуальна в условиях развивающегося российского срочного рынка, что вызвало необходимость в создании эффективного инструмента адекват ной оценки стоимости опционных контрактов.

Степень разработанности проблемы. Изучением теоретических вопро сов функционирования срочного рынка и формирования цен производных активов занимались такие классики экономической науки как Дж. М. Кейнс, Дж. Р. Хикс, Н. Калдор, К. Эрроу, Д. Дебре.

Теория производных финансовых инструментов, в частности, опционов представлена в трудах П. Джеймса, Дж. Халла, Э. Хауга, С. Нэфчи, Л. Макмиллана, С. Вайна, Ш. Натенберга, А. Бэйрда, М. Чекулаева, А. Н. Буренина, А. Б. Фельдмана, А. Н. Балабушкина.

Решение задачи ценообразования опционных контрактов обусловило появление целого ряда исследовательских работ, посвященных построению реалистичных моделей расчета справедливой стоимости опционов. Под справедливой понимается такая цена опциона, которая исключает проведе ние сделок, позволяющих получить прибыль лишь за счет неправильной оценки опциона, т.е. не создающая возможностей для арбитража. Матема тический аппарат оценки стоимости производных финансовых инструмен тов развит такими учеными как П. Блэк, М. Шоулз, Дж. Кокс, С. Росс, М. Рубинштейн, Р. Мертон, С. Г. Коу, Р. Джэрроу, Д. Хиз. Модели оценки опционов, охватывающие современные достижения в области ценового мо делирования, изложены в работах: К. Конолли, М. Томсета, Р. Колба, А. Н. Ширяева, А. Мортона, М. Гармана, С. Колхагена, Р. Ролла, Р. Джеске, Х. Джонсона, Э. Дермана, У. Тойя.

В ценообразовании опционов первоочередной задачей является по строение достоверного вероятностного прогноза цены базового актива.

Вопросы моделирования ценовой динамики отражены в трудах ученых:

Л. Башелье, П. Самуэльсон, Ч. Доу, которые описывали ценовое движение гауссовскими процессами. Начиная с 90-х гг. широко используются негаус совские безгранично делимые распределения, которые представлены в ра ботах Р. Конта, П. Танкова, К. Сато, В. Шоутенса, Д. Апплебаума, О. Баен дорф-Нильсона, Дж. Бертоина, С. З. Боярченко, С. И. Левандорского, Д. Мадана, Е. Сенете, Е. Мордеки, Г. Бакши, З. Чена и др.



Среди общего класса безгранично делимых распределений особого вни мания заслуживает класс устойчивых распределений. Наибольший вклад в развитие теории устойчивых распределений внесли работы В. М. Золотарева, В. В. Учайкина, Дж. П. Нолана, Б. Мальденброта, Г. Самординского, М. Такку.

На протяжении последних лет исследования в области статистического моделирования привели к появлению безгранично делимых модификаций устойчивого распределения. Наиболее известными являются работы С. Раче ва, Ч. Менна, Ф. Фабози, Й. Кима, Дж. Росинского, Д. Чанга, И. Копонена.

Необходимость совершенствования подходов к оценке справедливой стоимости опционов на неполных и неликвидных рынках обуславливает ак туальность темы исследования, предопределяя ее структуру, цель и задачи.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке методи ческого подхода к оценке справедливой стоимости опционов в условиях российского срочного рынка.

Сформулированная цель предполагает решение следующих задач:

1. Выявить проблемы существующего ценообразования опционов на российском срочном рынке и определить перспективные направления раз вития математического аппарата оценки стоимости опционов.

2. Обосновать выбор безгранично делимых распределений для модели рования цен базовых активов, позволяющих адекватно отразить эмпириче ские свойства их динамики.

3. Предложить процедуру поиска риск-нейтральной меры в условиях неликвидного срочного рынка.

4. Разработать основанную на риск-нейтральном подходе методику оп ределения справедливой цены опциона, отражающую специфику россий ского срочного рынка.

5. Выполнить численное моделирование справедливой стоимости оп ционов на основе разработанного методического подхода и осуществить сравнительный анализ модельных и рыночных цен.

6. Провести анализ функционирования срочного рынка в рамках гипотез относительно эффективности ценообразования, обращающихся на нем произ водных инструментов на разных временных периодах рыночной динамики.

Объект исследования — ценообразование опционов на российском срочном рынке.

Предмет исследования — модели и методы оценки справедливой стоимости опционов на неполном и неликвидном рынке.

Область исследования соответствует паспорту специальности ВАК РФ 08.00.13 «Математические и инструментальные методы экономики»

пунктам 1.1. Разработка и развитие математического аппарата анализа эко номических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискрет ной математики и других методов, используемых в экономико-матема тическом моделировании, 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов.

Теоретической и методологической основой являются исследования в области стохастической финансовой математики, математической стати стики и эконометрики, теории вероятностей и случайных процессов, мето ды статистического анализа финансовых временных рядов, численные ме тоды оценки параметров и характеристик распределений доходностей фи нансовых активов.

Программный комплекс статистического анализа финансовых времен ных рядов и моделирования справедливой стоимости производных активов реализован с использованием пакетов прикладных программ MS Excel, Oracle Crystal Ball, MathWorks MATLAB, IHS Econometric Views, Matrixer.

Информационную базу исследования составили:

— данные информационно-аналитических материалов по исследуемой проблеме, представленные в научной литературе, периодической печати и сети интернет;

— статистические источники в виде итогов торгов срочного сектора фондовой биржи РТС – ФОРТС (www.forts.ru), и информация, полученная из отчетов брокерской фирмы ФИНАМ (www.finam.ru).

Научная новизна работы заключается в разработке методического подхода к оценке справедливой стоимости опционных контрактов с учетом специфики российского срочного рынка. Новыми являются следующие ре зультаты:

1. Обосновано использование моделей динамики цен базовых активов, основанных на безгранично делимых распределениях, которые позволяют учесть скачкообразные изменения финансовых показателей на неполных рынках, в отличие от модели геометрического броуновского движения.

2. Предложена процедура оценки рыночной меры, в основу которой положена калибровка моделируемых безгранично делимых распределений к эмпирическим распределениям доходностей базовых активов, в условиях, когда калибровка модельных и рыночных цен опционов невозможна (в слу чае неликвидного рынка), либо не позволяет получить корректные оценки меры (в случае неэффективного рынка).

3. В рамках риск-нейтрального подхода разработана методика оценки справедливой стоимости производных инструментов на неполном и нелик видном рынке.

4. На основе сопоставления справедливых цен опционов с их рыноч ными котировками показано, что на российском рынке опционов наблюда ются нереализуемые арбитражные возможности, препятствующие обеспе чению эффективности рынка и выполнению им информационной функции.

Теоретическая значимость результатов. Сформулированные в дис сертационном исследовании положения и выводы развивают методологиче скую базу анализа динамики цен финансовых активов и оценки справедли вой стоимости производных инструментов, адаптируя ее к российским ус ловиям.

Практическая значимость результатов. Разработанный методичес кий подход дает участникам срочного рынка математически корректный инструмент оценки справедливой стоимости производных активов, имею щий: а) более реалистичные предпосылки по сравнению с существующими методами;

б) потенциал практического применения в деятельности частных и институциональных инвесторов, давая им возможность принимать обос нованные решения по хеджированию риска и планированию своей деятель ности в будущем, что, в свою очередь, поможет привлечь на опционный ры нок новых участников и повысить его ликвидность и эффективность.





Результаты исследования также могут быть использованы в учебных дисциплинах «Финансовая математика» и «Экономико-математическое мо делирование» для студентов экономических специальностей.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследования обсуждались на международной научной конференции «Студент и научно технический прогресс» (г. Новосибирск, 2008), конференции студентов и аспирантов (с международным участием) «Экономика и бизнес: позиция молодых ученых» (г. Барнаул, 2008, 2009), конференции молодых ученых «Социально-экономическое развитие России: идеи молодых ученых»

(ИЭОПП СО РАН, г. Новосибирск, 2008 – 2010), методическом семинаре в Институте Экономики и организации промышленного производства СО РАН (г. Новосибирск, 2009), Первом Российском Экономическом Конгрессе, Но вая Экономическая Ассоциация (г. Москва, 2009), Всероссийском Симпо зиуме с международным участием «Сложные системы в экстремальных ус ловиях» (г. Красноярск, 2010), IX Международном Симпозиуме «Экономи ка и Бизнес: Экономическое Развитие и Рост» (г. Несебр, Болгария, 2010), Пермской зимней школе: «Рыночный риск» (г. Пермь, 2011).

В работе ООО «УК «Теллура Капитал» использован модельный ком плекс как аналитический инструмент для оценки справедливой стоимости производных финансовых инструментов.

Материалы, методы и результаты диссертации используются на кафедре «Математическое моделирование бизнес-процессов» Сибирского государст венного университета телекоммуникаций и информатики в преподавании учебных дисциплин «Модели рисковых инвестиционных процессов» и «Ин тегрированный риск-менеджмент на уровне предприятия».

Внедрение результатов исследования в указанных организациях под тверждено соответствующими документами.

Публикации. По теме диссертации опубликовано двадцать работ об щим объемом 8.2 п.л., в том числе две статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов диссертаций (1.2 а.л.), семнадцать в сбор никах материалов и научных трудов конференций (5.9 а.л.) и одна в моно графии (1.1 а.л.).

Содержание диссертационного исследования Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой иссле дования. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка исполь зуемой литературы и 9 приложений.

В первой главе выделены проблемы ценообразования опционов на российском срочном рынке. Рассмотрены модели ценообразования опцио нов, используемые для описания полных и неполных рынков, их предпо сылки, возможности и границы применения, а также основные эмпирические свойства динамики цен базовых активов, которые необходимо учитывать при выборе моделей для оценки меры рынка и справедливой стоимости опциона.

Во второй главе представлена разработанная методика оценки спра ведливой стоимости опционов, основанная на риск-нейтральном подходе.

Приведены характеристики и статистические свойства класса процессов Леви для описания движения цен базовых активов. Обосновано использова ние математического аппарата эконометрического моделирования для оценки параметров распределений цен базовых активов и риск нейтрального моделирования для задач перехода к эквивалентным мартин гальным мерам и вычисления безарбиртажных цен опционов.

В третьей главе на основе предложенной методики проведено числен ное моделирование справедливых цен наиболее ликвидных опционных кон тракта, торгуемых на срочной площадке биржи РТС (базовыми активами являются фьючерс на индекс РТC, фьючерс на акции ОАО «Газпром» и фьючерс на акции ОАО «Сбербанк»). Получены результаты сопоставления динамики рыночных и справедливых цен для рассматриваемых инструмен тов на различных временных отрезках и различных ценах исполнения. Про ведено тестирование выдвинутых гипотез относительно эффективности ра боты срочного рынка, характеризующих его информационную функцию.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Показано, что российский срочный рынок является неполным (не позволяет полностью хеджировать риски). В этих условиях цены опцио нов, рассчитанные с помощью модели полного рынка, формируют у его участников нереалистичные ожидания относительно будущих исходов, поскольку заложенное в модель цен базовых активов логнормальное рас пределение неадекватно отражает процессы на рынке базовых активов.

Модели ценообразования опционов, основанные на диффузионных процессах логарифмов доходностей базовых активов, применимы только в условиях полного рынка. Реальные финансовые рынки не являются полны ми, так как риски возникающих скачков в динамике процесса, которые при водят к существенным изменениям цен активов, становится невозможно полностью хеджировать. Проявления скачкообразности изменений цен акти вов выражаются в том, что эмпирические плотности вероятностей доходно стей активов имеют более толстые хвосты (убывают намного «медленнее», чем у нормального) и более острую вершину, чем плотность нормального распределения и описываются степенным законом (рис. 1).

Подтверждение неполноты российского рынка базовых активов стро ится на статистической проверке соответствия эмпирического и нормально го распределений, которая включает статистический выбор закона распре деления базовых активов, адекватно описывающего эмпирическое распре деление, из конечного числа рассматриваемых альтернатив и сравнение его с нормальным. В случае, когда нормальное распределение статистически отвергается, рынок этого актива будет определен как неполный.

Анализ свойства неполноты российского рынка базовых активов про веден на примере базовых активов самых ликвидных опционных контрак тов, торгуемых на срочной площадке биржи РТС (занимают 90% опционно го рынка) (табл. 1). Проверка исходных рядов цен фьючерсных контрактов с помощью критериев ADF и KPSS показала их нестационарность, поэтому осуществлен переход к стационарным логарифмическим доходностям.

Рис. 1. Степенной (1) и нормальный (2) закон распределения логарифмических доходностей и их правые хвосты: а — в обычной шкале;

б — в логарифмиче ской шкале ТАБЛИЦА 1. Исходные данные Диапазон выборки активов Производный инструмент Базовый актив базовых производных Ct (H ) St t = –n,…, 0 t = 0,…, T Опцион на фьючерс Фьючерс 03.08.05 – 08.02.10 16.09.08 – 14.04. на индекс РТС на индекс РТС Опцион на фьючерс Фьючерс на акции 19.01.06 – 08.02.10 15.11.06 – 12.04. на акции ОАО «Газпром» ОАО «Газпром»

Опцион на фьючерс Фьючерс на акции 10.10.05 – 08.02.10 29.01.07 – 12.04. на акции ОАО «Сбербанк» ОАО «Сбербанк»

Анализ ядерных оценок плотностей, построенных по соответствующим историческим выборкам логарифмических доходностей длиной n, показал, что эмпирическое распределение для фьючерсных контрактов на индекс РТС и акции ОАО «Газпром» характеризуется «толстыми хвостами» и низ ким пиком, что указывает на преобладание больших (по модулю) ценовых движений над относительно малыми. Для значительной части выборок ха рактерна асимметрия, в ряде случаев эмпирическое распределение смещено влево (относительно нормального), что свидетельствует о подавлении поло жительных темпов прироста цен фьючерсов отрицательными.

Формальная проверка логарифмических доходностей на нормальность на основе критерия Жарка – Беры, позволила отвергнуть гипотезу о нор мальности: в 95% случаев гипотеза о равенстве эксцесса и асимметрии ну лю отвергается с вероятностью ошибки I рода не более 1%.

Проведенный анализ выявил периодические расхождения в поведении функции плотности нормального и эмпирического распределений. Характер этих расхождений может отличаться для различных базовых активов, но вы вод относительно выявленных эмпирических особенностей будет одинако вым — логарифмические доходности базовых активов не описываются нор мальным распределением, т. е. российский фьючерсный рынок является не полным, а модель ценообразования опционов Блэка – Шоулза на таком рынке не может давать адекватную оценку их справедливой стоимости.

2. Для моделирования динамики цен базовых активов предложено использовать ряд моделей, основанных на экспоненциальных процессах Леви, которые позволяют учесть скачкообразные изменения цен, что невозможно осуществить в рамках диффузионной модели геометриче ского броуновского движения. Спецификация скачкообразной компонен ты в процессе ценовых изменений позволяет формализовать неполноту рынка (нехеджируемый риск).

Полученные результаты проверки неполноты российского фьючерсно го рынка вызвали потребность в поиске других классов распределений для моделирования цен базовых активов и построения моделей ценообразова ния опционов. В работе обоснован выбор класса процессов Леви, которые взаимно однозначно определяются безгранично делимыми распределения ми. Во-первых, этот класс позволяет моделировать большинство эмпириче ских закономерностей, наблюдаемых на финансовых рынках. Во-вторых, свойство безграничной делимости дает возможность включить в модель нехеджируемый риск в виде скачкообразной компоненты процесса лога рифмических доходностей активов и таким образом разделить риск на хед жируемую и нехеджируемую составляющие.

Nt Процесс Леви имеет вид: X t J t, где — сдвиг (среднее Wt t диффузионной части процесса);

— среднеквадратическое отклонение Nt диффузионной части процесса;

Wt — процесс Винера;

J t — скачкооб t разная компонента (показывает частоту появления скачков и их величину).

Количество скачков N t следует процессу Пуассона с параметром 0, который характеризует интенсивность скачкообразной составляющей.

Скачки J t — независимые и одинаково распределенные случайные величи ны, характеризующиеся плотностью распределения, называемой мерой Леви.

В зависимости от соотношения диффузионной и скачкообразной ком поненты процессы Леви делятся на:

— чисто диффузионные, в рамках которых цена актива изменяется со гласно геометрическому броуновскому движению;

— скачкообразной диффузии, в которых цена актива изменяется не прерывно, но иногда испытывает скачки, которые описываются составным процессом Пуассона;

данный подкласс является наиболее общим видом модели Леви;

— чисто скачкообразные, в которых логарифм темпа роста цены актива описывается как последовательность скачков различной величины.

Поскольку ценовая динамика финансовых активов в различные вре менные периоды имеет свои особенности, в работе предлагается использо вать множество случайных процессов для описания рыночных ситуаций.

В этом контексте преимуществом процессов Леви является их возможность формализации скачков разной величины: от небольших — в диффузионном движении до чрезвычайно больших — в нестабильные периоды рыночной конъюнктуры, характеризующиеся наступлением экстремальных событий.

Среди распределений, применяемых в моделировании доходностей с толстыми хвостами, устойчивое распределение представляет собой наибо лее широкий класс устойчивых к суммированию распределений и включает нормальное распределение как частный случай. Только для нормального и устойчивого распределения выполняются предельные теоремы (ЦПТ — для нормального с конечной дисперсией и обобщенная ЦПТ — для устойчивого с бесконечной дисперсией). Различные стохастические процессы сходятся к этим асимптотически притягивающим вероятностным распределениям, чем и объясняется их широкое использование для финансового моделирования.

Однако плотность нормального распределения слишком «тонкохво ста», чтобы быть подходящей моделью для распределения финансовых до ходностей, а плотность устойчивого распределения слишком «толстохво ста», что приводит к бесконечной дисперсии приращений цены. В связи с этим с начала 90-х гг. предложено несколько семейств процессов Леви с плотностью вероятности, имеющей «полутолстые хвосты», которые стати стически лучше аппроксимируют динамику исторических доходностей, а оценки опционов, основанные на этих процессах дают более адекватные результаты, чем предельные модели.

В 2004 – 2007 гг. разработаны модели, в которых эмпирические распре деления описываются как толстохвостые в смысле степенного закона, но с конечной дисперсией — модификации устойчивого распределения. Они позволяют получить конечные моменты распределений через процедуру облегчения хвостов плотностей вероятности, основанные на методах замед ления хвостов и сглаживания. В работе систематизированы и использованы как известные, так и новые разработки в области статистического модели рования эмпирических распределений финансовых активов (рис. 2).

Использование этого множества распределений в моделях динамики цен активов помогает описать особенности российского финансового рын ка, характеризующегося резкими и сильными ценовыми колебаниями.

3. Обоснован подход к оценке риск-нейтральной меры неликвидного рынка производных инструментов на основе калибровки модельных и рыночных цен базовых активов.

Расчет справедливой цены опциона на неполном рынке проводится в рамках риск-нейтрального подхода, в котором цену производного инстру мента можно определить как математическое ожидание будущих выплат этого инструмента держателю. В основе подхода лежит принцип отсутствия арбитражных возможностей, согласно которому цены производных активов должны быть такими, чтобы у участников рынка не возникало возможно стей формирования стратегий инвестирования, систематически приводящим к выигрышам без риска. Такие цены будем называть справедливыми (безар битражными, риск-нейтральными). Следовательно, математическое ожида ние вычисляется на основе вероятностей будущих событий, т.е. некоторой вероятностной меры, которая содержит информацию о текущей и будущей динамике базового актива.

Рис. 2. Классификация безгранично делимых распределений, применяемых в моделировании динамики цен финансовых активов Принцип отсутствия арбитража связан со свойствами вероятностной меры, лежащей в основе вычисления справедливых цен активов — риск нейтральной меры рынка — фундаментальными теоремами ценообразова ния. Для выполнения принципа отсутствия арбитражных возможностей в основе цен производных активов должна лежать мера, эквивалентная и мар тингальная по отношению к истинным вероятностям исходов на рынке ба зовых активов.

Эквивалентность означает, что для, если P( ) 0 Q( ) 0, то P( ) ~ Q( ), где — множество рыночных траекторий (исходов), P( ) — рыночная вероятностная мера;

Q( ) — мера, лежащая в основе ценообразования производных активов. Если дополнительно выполняется условие t, E Q (St 1 | I t ) St, где St ( ) — процесс цены базового актива, описываемый мерой P( ) ;

It — информация о ценах активов, известная на момент t, то мера Q( ) является мартингальной.

При выполнении свойства мартингальности и эквивалентности риск нейтральная стоимость производного инструмента вычисляется по правилу *( H ( )) E Q H ( ), где H ( ) — функция выплат рассматриваемого ин струмента (денежный выигрыш, который получит держатель при реализа ции рыночного исхода ).

Первоочередная задача в оценке справедливой стоимости производного инструмента — определение характеристик риск-нейтральной меры, удов летворяющей свойствам мартингальности и эквивалентности. На развитых рынках при выборе эквивалентной мартингальной меры принято использо вать для калибровки модельных цен рыночные цены опционов. При таком подходе срочный рынок рассматривается как эффективно функционирую щий, т. е. рыночные цены производных инструментов систематически явля ются безарбитражными. Арбитражные возможности, если и возникают в со ответствии со стохастической природой колебаний цен базовых активов, то при достаточной ликвидности под давлением спроса и предложения в крат чайшие сроки исчезают, а цены возвращаются к своему справедливому уров ню. Характеристики меры Q( ), лежащей в основе образования этих цен, можно определить, решив задачу калибровки предварительно выбранной модели меры (например, геометрическое броуновское движение для полно го рынка или процесс Леви для неполного): min, где M (H ) E Q H Q (H ) — наблюдаемая рыночная цена некоторого производного актива H;

M — некоторая мера расстояния между рыночными и теоретическими (справедливыми) ценами, заданная на множестве рассматриваемых произ водных активов H.

Низкая ликвидность российского опционного рынка и высокая ликвид ность фьючерсного рынка (рынка базовых активов) предопределила исполь зование подхода к вычислению риск-нейтральной меры рынка и справедли вых цен производных инструментов на основе рынка базовых активов. При этом данный подход подразумевает двухэтапный переход к риск-нейтральной мере. На первом — выбор параметризации меры P( ) из класса безгранично делимых распределений. На втором — переход к риск-нейтральной (эквива лентной и мартингальной) мере рынка Q( ).

Сначала определяются характеристики объективной рыночной меры из решения задачи калибровки теоретического закона распределения цен базо вых активов к эмпирическому: F M F P min, где F M — наблюдаемые P характеристики закона распределения цены некоторого базового актива (на пример, эмпирическая функция распределения или эмпирическая характери стическая функция логарифмических доходностей базового актива S t );

F P — соответствующие теоретические (модельные) характеристики рыноч ной меры P( ). Решение данной задачи подразумевает выбор конкретной параметризации меры P( ) из класса безгранично делимых распределений.

Для оценки параметров используется метод максимального правдо подобия (ММП), однако поскольку у большинства моделей не существует аналитической функции плотности распределения вероятности, необхо димой для построения функции максимального правдоподобия, применя ется метод вычисления плотности из характеристической функции на ос нове быстрого преобразования Фурье. Окончательный выбор специфика ции процесса из конкурирующих осуществляется на основе информаци онного критерия Акаике. Расчеты реализованы в среде The MathWorks MATLAB. Пример эмпирической плотности распределения вероятностей логарифмических доходностей в сравнении с ММП оценкой и нормальным распределением показан на рис. 3. Статистика выбираемых моделей описания логарифмических доходностей базовых активов приведена в табл. 2.

В работе показано, что стабильные этапы функционирования рынка описываются процессами, которые включают наряду с броуновской компо нентой умеренные (с конечной активностью) скачки. На рассматриваемом временном горизонте чисто диффузионное поведение ценовых приращений наблюдалось в 14% случаев, а диффузионно-скачкообразное — в более 10%.

В нестабильные периоды движения цен соответствуют диффузионно скачкообразным процессам примерно в 87% случаев, при этом в ~ 80% вы бираются модели с бесконечной активностью — риски изменения цен в та кие периоды высоки и практически не поддаются хеджированию.

Рис. 3. Распределения логарифмических доходностей фьючерса на индекс РТС за период 28.05.08 – 10.09.09: ММП оценка;

плотность нор мального распределения;

ядерная оценка плотности эмпирического распределения Обладая информацией о структуре рыночной меры, участники срочного рынка смогут принимать более обоснованные решения о потенциале опци онных контрактов и стратегий хеджирования.

ТАБЛИЦА 2. Статистика выбираемых распределений логарифмических доходностей базовых активов Фьючерсный контракт, % № Распределение на индекс на акции ОАО на акции ОАО всего РТС «Газпром» «Сбербанк»

Нормальное 1 21 12.9 6 14. Модель Мертона 2 2 4 1 2. Модель Коу 3 5 3.4 4.4 4. 4 -устойчивое 4 8.1 2 4. Гамма дисперсии 5 14 18.9 16 Нормально обратно гауссовское 6 20 13.5 16.2 16. Гиперболическое — 7 11 8.7 Микснера — — — — 9 CGMY 6 12.1 9.5 8. Модифицированное замедленное 10 устойчивое 11 17.6 22.9 16. 11 Замедленное Кима и Рачева 6 9.5 13.3 9. 12 Стьюдента — — — — 4. Разработанная методика определения справедливой цены произ водных инструментов на основе риск-нейтрального подхода позволяет:

— находить законы распределений цен базовых активов, отвечаю щих эмпирическим свойствам и способных давать адекватное пред ставление вероятностной меры рынка базовых активов;

— оценивать стоимости производных инструментов на неполных рынках для произвольных значений цен исполнения;

— определять степень соответствия рыночных цен опционов их безарбитражным оценкам.

Предлагаемая методика вычисления справедливой цены опционов на неполном рынке, учитывающая особенности текущего этапа развития рын ков базовых и производных активов включает два этапа (рис. 4).

На первом этапе осуществляется калибровка модели рынка базовых ак тивов по описанной в Положении 3 схеме, результатом которой является оценка вероятностей рыночных исходов P( ). Однако, чтобы воспользо ваться риск-нейтральным правилом ценообразования, необходимо вычис лить эквивалентную мартингальную меру. Второй этап заключается в оценке риск-нейтральной меры Q( ) и вычислении справедливых цен производных активов. Для этого предложено использовать метод Монте-Карло с коррек цией среднего распределения доходностей, в результате применения кото рого генерируются траектории цен базовых активов, соответствующие не исходной оценке рыночной меры P( ), а ее эквивалентной и мартингаль ной замене Q( ), что позволяет считать соответствующие оценки матема тических ожиданий будущих выплат по производным активам оценкой их справедливых стоимостей.

Рис. 4. Методика оценки справедливой стоимости опциона на основе риск нейтрального подхода на неполном и неликвидном рынке Процедура вычисления справедливых цен состоит из двух шагов. Пер вый шаг — подготовка перехода к эквивалентной мартингальной мере, т. е.

в соответствии с рыночной моделью P( ) производится симуляция траек торий доходностей базового актива X t на срок обращения опциона Т. На основе полученных симулированных доходностей строятся траектории цен базовых активов StP, t 1,.... Затем находятся математические ожидания T цены базового актива на момент экспирации опциона, условные по инфор мации I t, доступной на каждый момент времени в течение всего срока жиз ~ ни опциона: ST,t E P (ST I t ), t 1,...,T.

e На втором шаге эти математические ожидания используются для пере хода к мартингальному процессу. Для выполнения свойства мартингально сти вычисляются траектории цен базовых активов со сдвигом ~ ~ StQ StP STe,t St 1. По построению этот процесс (и, следовательно, лежащая в его основе мера Q( ) ) является мартингалом. Расчет безарбитражных цен производных активов осуществляется на основе полученных методом Мон те-Карло симуляций мартингальных процессов цен базовых активов. Для опционов колл европейского и американского типов формула справедливой цены имеет вид:

~ ( StPl STe,T St K) L ~, ( H Call ( K )) EH Call ( K ) E ( StQ K ) * Q C t ;

Call ( K ),,T L l где L — количество симуляций в процедуре Монте-Карло;

K — цена испол нения опциона;

S tPl — l-я симуляция цены базового актива StP, l=1,…, L.

, При переходе к риск-нейтральной мере рынка и вычислении справедли вых цен для каждого опциона проводилось по 10 000 симуляций траекторий цены базового актива на период жизни опциона. Реализация процедур метода Монте-Карло выполнена в среде Oracle Crystall Ball.

5. Выдвинуты три гипотезы об эффективности ценообразования на российском срочном рынке. Показано, что на нем наблюдаются сис тематические отличия рыночных цен опционов от справедливых, ко торые из-за отсутствия механизмов конвергенции, не приводят к кор рекции цены в направлении безарбитражной. Продемонстрировано, что текущее состояние рынка не позволяет его участникам использовать рыночные цены опционов в качестве информационных сигналов о буду щей динамике развития базового рынка.

На основе разработанной методики проведена оценка справедливой стоимости опционов, обращающихся на российском срочном рынке. В ра боте проанализировано 1473 опционных контракта, из которых для расчетов выбрано 248. Рассматриваемые контракты торговались на ФОРТС в период с 2005 по 2010 гг. и имели срок жизни T от 24 торговых дней до 24 месяцев.

В результате численного моделирования получены графики движения спра ведливых цен опционов. На рис. 5 для примера представлена их динамика в сравнении с поведением расчетных биржевых цен и рыночных котировок.

Результаты сопоставления справедливых и расчетных биржевых цен опционов позволяют сделать следующие выводы:

1) справедливые цены отличаются от расчетной цены биржи. Это озна чает, что в динамике цены базовых активов с относительно высокой вероят ностью происходят экстремальные события, которые искажают ожидаемое значение цены базового актива на момент экспирации производного;

2) справедливые цены тем сильнее отличаются от расчетных цен бир жи, чем сильнее отличается распределение доходностей базовых активов от нормального;

3) расчетная и справедливая цены хотя и сходятся с приближением экспирации, однако это схождение происходит не как на эффективном рын ке. Оно обусловлено элементарными правилами ценообразования произ водных активов: чем ближе срок экспирации, тем меньшее влияние на ожи даемые выплаты имеют относительно редкие скачки и бльший вес — диф фузионная часть.

Рис. 5. Результаты сравнения цен опционных контрактов: а — на фьючерс на индекс РТС, Т = 91 день (07.05.09 — 14.09.09), K = 110 000;

б — на фьючерс на акции ОАО «Газпром», Т = 85 день (08.10.08 — 01.01.09), K = 35 000;

1 — справедливая цена опциона;

2 — цена опциона Блэка-Шоулза;

3 — цена фьючерсного контракта;

4 — цена исполнения;

— рыночные котировки В зависимости от соотношения цен опционов (рыночных и справедли вых) можно выделить три состояния срочного рынка, формирующие сле дующие гипотезы (рис. 6):

Гипотеза 0 (H0): рынок эффективный. Теоретическая цена периодиче ски отличается от текущего рыночного значения, участники пользуются возможностью арбитража, возникающего на их разнице и под корректи рующим воздействием постоянной активности арбитражеров рыночная це на быстро сходится к справедливой — устанавливается эффективное ры ночное равновесие.

Гипотеза 1 (H1): рынок неликвидный. Сделки на рынке происходят не систематически, поскольку при открытии и закрытии опционных контрак тов возникают трудности, связанные с поиском контрагента. Рыночные це ны сильно отличаются от справедливых, и поэтому ожидаемой выгоды от хеджирования и арбитражных возможностей недостаточно, чтобы мотиви ровать участников к торговле на срочном рынке. В данном случае цены не адекватно отражают рыночную информацию и не являются сигналами для входа участников на рынок, следовательно, ожидаемой коррекции цены в направлении ликвидации арбитражных возможностей не происходит.

Гипотеза 2 (H2): рынок неэффективный. Торги происходят системати чески, но из-за асимметрии информации участники торгов не могут пра вильно оценить арбитражные возможности, риски вложений в активы и по тенциалы хеджирования, тем самым формируются нерациональные ожида ния относительно будущей динамики развития рынка. Следовательно, торги происходят по ценам, отличным от справедливых.

Рис. 6. Гипотезы об эффективности ценообразования на российском сроч ном рынке Полученные в работе результаты сопоставления справедливых оценок опционов с рыночными котировками систематизированы по принадлежно сти к выдвинутым гипотезам (табл. 3). Они показывают, что на российском срочном рынке наличие арбитражных возможностей не приводит к росту ак тивности торгов с последующей коррекцией рыночных цен в направлении справедливых, что порождает нереалистичные ожидания участников о буду щей динамике базового рынка и в ряде случаев приводит к торговле по заве домо несправедливым ценам (неэффективный рынок H2) или создает высокий барьер для входа участников на рынок из-за существенной разницы между рыночными котировками и справедливыми ценами опционов (высокий риск ликвидности арбитражных операций, рынок неликвидный H1).

ТАБЛИЦА 3. Статистика соответствия исследуемых опционных контрактов выдвинутым гипотезам Опционный контракт, % на фьючерс на фьючерс Гипотеза на фьючерс на акции ОАО на акции ОАО всего на индекс РТС «Газпром» «Сбербанк»

H0 9 7 21 H1 27 22 63 H2 64 71 16 В целом, проведенное исследование выявило закономерности в пове дении рыночных цен, которые подтверждают неэффективность ценообразо вания опционов на российском срочном рынке.

Предложенный методический подход, основанный на риск-нейтраль ном ценообразовании производных активов при использовании адекватной оценки рыночной меры базового рынка, позволяет в условиях неликвидного и неэффективного рынка находить справедливые цены производных акти вов, которые могли бы стать новым ориентиром для участников, повысив активность торгов и привлекательность опционного рынка.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Бобылев Г.В., Кузнецов А.В., Морозова М.М. Экономическая оценка наукоем ких проектов // Регион: экономика и социология. — 2007. — № 2 (стр. 5 – 19/0.4 а.л.).

2. Морозова М.М., Пырлик В.Н. Устойчивое распределение и его модификации и ценообразование производных финансовых активов // Вестник НГУ. Серия: Соци ально-экономические науки. — 2009. — № 1 (стр. 97 – 113/0.8 а.л.).

Статьи, публикации в материалах и трудах конференций:

3. Бобылев Г.В., Морозова М.М. Обоснование применения и расчет мультип ликатора (затраты-эффекты) на основе ряда инновационных проектов СО РАН с применением метода реальных опционов // Материалы XLV международной студен ческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». — Новосибирск, 2007 (стр. 74 – 75/0.1 а.л.).

4. Морозова М.М., Пырлик В.Н. Оценка инновационных проектов методом ре альных опционов с учетом лептокуртозиса и улыбки волатильности // Труды XLV международной студенческой конференции «Студент и научно-технический про гресс». — Новосибирск, 2007 (стр. 72 –74/0.1 а.л.).

5. Морозова М.М., Пырлик В.Н. Модификация модели реальных опционов на основе процессов Леви и ее применение к оценке инновационных проектов // Мате риалы конференции студентов и аспирантов (с международным участием) «Эконо мика и бизнес: позиция молодых ученых». — Барнаул, 2007 (стр. 405 – 409/0.2 а.л.).

6. Морозова М.М. Оценка возможностей влияния инновационного потенциала СО РАН на экономическое развитие. Расчет мультипликатора «затраты – эф фекты» с применением метода реальных опционов // Монография авторского кол лектива ИЭОПП «Инновационный потенциал научного центра: методологические и методические проблемы анализа и оценки», выполненная по программе фундамен тальных исследований РАН «Прогноз технологического развития экономики России с учетом новых мировых интеграционных процессов». Под. ред. чл.-корр. РАН Су слова В.И. — Новосибирск, 2007 (стр. 235 – 246/1.1 а.л.).

7. Морозова М.М., Пырлик В.Н. Анализ моделей ценообразования производных финансовых инструментов с учетом характеристик эффективной работы финан совых рынков // Материалы конференции студентов и аспирантов (с международным участием) «Экономика и бизнес: позиция молодых ученых». — Барнаул, (стр. 55 – 57/0.1 а.л.).

8. Морозова М.М., Пырлик В.Н. Полнота и арбитражные возможности на российском финансовом рынке: подход к выявлению в рамках стохастической моде ли ценообразования производных инструментов // Материалы XLVI международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». — Новоси бирск, 2008 (стр. 263 – 265/0.1 а.л.).

9. Морозова М.М., Пырлик В.Н. Полнота и арбитражные возможности на российском финансовом рынке: подход к выявлению в рамках стохастической моде ли ценообразования производных инструментов // Труды XLVI международной сту денческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». — Новоси бирск, 2008 (0.3 а.л.).

10. Морозова М.М., Пырлик В.Н. Проверка свойства полноты российского фондового и валютного рынков // Сборник научных трудов молодых ученых «Соци ально-экономическое развитие России: идеи молодых ученых». — Новосибирск, 2008 (стр. 365 – 378/0.5 а.л.).

11. Морозова М.М. Алгоритм расчета справедливой цены опциона на неполных рынках с арбитражными возможностями // Сборник научных трудов молодых ученых «Социально-экономическое развитие России: идеи молодых ученых». — Магнитогорск, 2009 (стр. 69 – 74/ 0.4 а.л.).

12. Морозова М.М. Моделирование динамики цены базового актива в решении задачи рациональной оценки опциона // Статьи и тезисы докладов III Международ ной научно-практической конференции «Актуальные проблемы экономики и права в современных условиях». — Пятигорск, 2009 (стр. 155 – 162/0.6 а.л.).

13. Морозова М.М. Проблемы ценообразования опционов на российском срочном рынке // Сборник научных трудов молодых ученых «Социально-экономическое разви тие России: идеи молодых ученых». — Новосибирск, 2010 (стр. 344 – 352/0.5 а.л.).

14. Морозова М.М. Расчет справедливой цены опциона на неполных рынках с арбитражными возможностями // Новая Экономическая Ассоциация — М., 2009.

Режим доступа (25.10.11) http://www.econorus.org/consp/files/bled.doc (0.5 а.л.).

15. Морозова М.М. Ценообразование опционов в условиях неустойчивой дина мики развития финансового рынка // Материалы Всероссийского Симпозиума с международным участием «Сложные системы в экстремальных условиях». — Крас ноярск, 2010 (стр. 56/0.1 а.л.).

16. Pyrlik V. N., Morozova M.M. On effectiveness of Russian option market // 9th International Symposium «Economy & Business: Economic Development and Growth», Bulgaria, 2010. Режим доступа (25.10.11) http://www.science-journals.eu/economy/ 2010/ISP-EB-Vol4-Part3.swf (pp. 456 – 465/0.6 а.л.).

17. Морозова М.М. Разработка математических моделей для оценки справед ливой стоимости опциона и проверки эффективности российского срочного рынка // Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Социально-экономическое пространство России: инновации и современность». — Новосибирск, 2010 (стр. 113 – 114/0.1 а.л.).

18. Морозова М.М. Моделирование справедливой стоимости опциона в услови ях неликвидного рынка // Материалы Всероссийской научно-практической конфе ренции молодых ученых «Социально-экономическое пространство России: иннова ции и современность». — Новосибирск, 2011 (стр. 412 – 419/0.6 а.л.).

19. Morozova M. Options: Risk Reducing or Creating? Perm Winter School. Edited by D. Sornette, S. Ivliev, H. Woodard. Springer, Perm, 2012 (in progress) (1.2 а.л.).

Подписано в печать 02.11.2011. Формат бумаги 60 841/16.

Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1.25.

Тираж 100 экз. Заказ № 276.

Редакционно-издательский центр Новосибирского госуниверситета 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова,

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.