авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Модельные нелинейные системы с выраженной основной спектральной компонентой вблизи границы фазовой хаотической синхронизации

На правах рукописи

ДАНИЛОВ Дмитрий Игоревич

МОДЕЛЬНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

С ВЫРАЖЕННОЙ ОСНОВНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ

КОМПОНЕНТОЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ ФАЗОВОЙ

ХАОТИЧЕСКОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ

01.04.03 – Радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание учной степени

е

кандидата физико–математических наук

Саратов – 2013

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО “Саратовский государственный универси тет имени Н.Г. Чернышевского” на кафедре физики открытых систем фа культета нелинейных процессов.

Научный руководитель:

Короновский Алексей Александрович, д.ф.–м.н., профессор, ФГБОУ ВПО “Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевско го”, профессор кафедры физики открытых систем

Официальные оппоненты:

Селезнев Евгений Петрович, д.ф.–м.н., доцент, ФГБУН “Институт радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН”, Саратовский филиал, заместитель директора по научной работе Павлов Алексей Николаевич, д.ф.–м.н., профессор, ФГБОУ ВПО “Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского”, профессор кафедры радиофизики и нелинейной динамики

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород

Защита состоится “17” октября 2013 г. в 18 часов 00 минут в 34 ауд. III корпуса СГУ на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 по специальности 01.04.03 в Саратовском государственном университете (410012, г. Саратов, ул.Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского го сударственного университета (Саратов, ул. Университетская, 42).

Автореферат разослан “28” августа 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета В.М. Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследуемой проблемы. Нелинейные динамические си стемы, демонстрирующие сложное поведение, являются важнейшими объек тами для изучения и привлекают пристальное внимание исследователей в самых разных областях науки и техники. Одним из наиболее интересных ти пов динамики для исследования является случай систем, находящейся под внешним воздействием1, а также случай взаимосвязанных двух или несколь ких систем2. В таких случаях может наблюдаться явление синхронизации подстройки ритмов колебаний взаимодействующих систем друг под друга.

Синхронное поведение уже давно вызывает интерес у современных ученых;

при этом изначально под синхронным режимом понималась синхронизация периодических колебаний. Впоследствии явление синхронизации было обна ружено в самых разных системах, демонстрирующих более сложные типы колебаний, в частности, хаотические колебания. Интерес к явлению синхро низации обусловлен широким кругом практических задач, для решения кото рых необходимо понимание синхронного поведения, физических, астроно мических, химических, задач скрытой передачи информации, экологических биологических и т.д. В настоящее время известно и хорошо изучено несколько различных ти пов синхронного поведения взаимодействующих хаотических систем. К таким типам хаотической синхронизации относятся фазовая, обобщенная, синхро низация с запаздыванием и полная хаотическая синхронизация. Каждый из этих типов синхронного поведения хаотических систем характеризуется свои ми особенностями, и для изучения каждого из них используются свои методы анализа и диагностики. Поэтому одним из интересных и важных вопросов, возникающих при исследовании сложной динамики взаимодействующих си стем, является описание всех этих типов синхронного поведения с единых позиций. На данный момент для решения такой задачи было предложено В.С. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова, Г.И. Стрелкова, Синхронизация регулярных, хаотиче ских и стохастических колебаний, М.–Ижевск: Научно–издательский центр “Регулярная и хаотическая динамика”, 2008;

Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов, И.В. Сысоев, Е.П. Селезнев, Письма в ЖТФ, 29 (19) (2003) 69–76.

В.В. Астахов, Б.П. Безручко, В.И. Пономаренко, Е.П. Селезнев, Радиотехника и электроника, 36 (11) (1991) 2167–2171;

В.П. Пономаренко, В.В. Матросов, Радиотехника и электроника, 29 (6) (2006) 1125– 1133;

В.П. Пономаренко, В.В. Матросов, Радиотехника и электроника, 38 (4) (1993) 711–720.

В.С. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова, Регулярные и хаотические автоколебания. Синхро низация и влияние флуктуаций, Издательский Дом “Интеллект”, 2009;

В.С. Анищенко, В.В. Аста хов, Т.Е. Вадивасова и др., Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах, М.– Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003;

V.S. Anishchenko, T.E. Vadivasova, D.E. Postnov, M.A. Safonova, Int. J. Bifurcation and Chaos, 2 (3) (1992) 633–644;

А.С. Пиковский, М.Г. Розенблюм, Ю. Куртс, Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление, М.: Техносфера, 2003.

D. Smirnov, U.B. Barnikol, T.T. Barnikol, B.P. Bezruchko, C. Hauptmann, C. Buehrle, M. Maarouf, V. Sturm, H.-J. Freund, P.A. Tass, Europhysics Letters 83 (2008) 20003;

A.S. Karavaev, M.D. Prokhorov, V.I. Ponomarenko, A.R. Kiselev, V.I. Gridnev, E.I. Ruban, B.P. Bezruchko, Chaos 19 (2009) 033112;

А.А. Короновский, О.И. Москаленко, А.Е. Храмов, Успехи физических наук, 179 (12) (2009) 1281– 1310.

несколько различных подходов, среди которых можно назвать рассмотрение данных типов хаотической синхронизации с позиций теории информации5, синхронизацию временных масштабов6, а также синхронизацию спектраль ных компонент. При помощи подхода, связанного с описанием поведения взаимодействующих систем с позиций синхронизации спектральных компо нент, все вышеперечисленные типы синхронизации были изучены достаточно подробно, однако вопрос “А что происходит с точки зрения такого подхода при переходе от асинхронной динамики к режиму синхронизации?” до сих пор оставался открытым. Поэтому в настоящей работе большое внимание уделено исследованию вопроса о том, что наблюдается при таком переходе с позиций синхронизации спектральных компонент в случае взаимодействую щих хаотических систем с выраженной основной спектральной компонентой.



Известно, что переход от асинхронного поведения к синхронному часто происходит через режим перемежаемости режим, при котором различные типы колебательного поведения чередуются во времени при фиксированных значениях управляющих параметров. В частности, вблизи границы установ ления синхронного режима во временй реализации исследуемой системы мо о гут наблюдаться участки синхронного поведения (так называемые “ламинар ные фазы”, чередующиеся с участками асинхронной динамики (“турбулент ные фазы”). В данной работе выявлены закономерности, присущие переходу между режимами перемежаемости и фазовой хаотической синхронизации с точки зрения спектральных компонент Фурье–спектров взаимодействующих систем. Также в работе освещается важный вопрос о том, будут ли такие закономерности справедливы для систем различных типов, поэтому в каче стве объектов для исследования рассматриваются системы разных классов системы с потоковым и с дискретным временем.

Еще одним важнейшим для исследования классом систем являются пространственно–распределенные системы системы с бесконечным числом степеней свободы. Многие реальные радиофизические системы, так же как и системы из других областей науки и техники, относятся к данному клас су систем. Динамика в пространственно–распределенных системах зачастую принципиально отличается от динамики в конечномерных системах. Тем не менее, многие фундаментальные явления, такие как синхронизация хаоти ческих колебаний и перемежающееся поведение, можно наблюдать как в пространственно–распределенных, так и в конечномерных системах. Поэтому интересно проверить, будут ли закономерности, выявленные для конечномер A. Shabunin, V. Demidov, V. Astakhov, V.S. Anishchenko, Phys. Rev. E 65 (2002) 056215;

А.В. Шабунин, В.Е. Демидов, В.В. Астахов, В.С. Анищенко, Письма в ЖТФ 27 (11) (2001) A.E. Hramov, A.A. Koronovskii, Physica D 206 (3–4) (2005) 252–264.

V.S. Anishchenko, T.E. Vadivasova, D.E. Postnov, M.A. Safonova, Synchronization of chaos, Int. J.

Bifurcation and Chaos, 2 (3) (1992) 633–644;

A.E. Hramov, A.A. Koronovskii, M.K. Kurovskaya, O.I. Moskalenko, Phys. Rev. E 71 (5) (2005) 056204.

ных систем, наблюдаться в случае пространственно–распределенных систем.

В настоящей диссертационной работе приводятся результаты исследования динамики пространственно–распределенных систем на примере однонаправ ленно связанных диодов Пирса вблизи границы установления синхронного режима с точки зрения спектральных компонент, а также проводится сопо ставление полученных результатов с аналогичными результатами для конеч номерных систем.

Как уже отмечалось выше, переход от асинхронной динамики к синхрон ной для хаотических систем, как правило, сопровождается перемежаемостью.

Явление перемежаемости, как и хаотическая синхронизация, является фун даментальным нелинейным явлением, представляющим значительную важ ность для изучения. К настоящему времени известно несколько типов переме жающегося поведения: перемежаемость типов I–III, on–o перемежаемость, перемежаемость игольного ушка, перемежаемость кольца. Перемежающееся поведение, наблюдающееся вблизи границ установления синхронных режи мов, в подавляющем большинстве случаев изучалось для систем с малым числом степеней свободы. Очевидно, что возникает вопрос о том, будут ли закономерности, выявленные для систем с сосредоточенными параметрами, наблюдаться в случае пространственно–распределенных систем. В частности, следует отметить, что для связанных диодов Пирса тип перемежающегося по ведения до настоящего времени не был известен, несмотря на то, что диод Пирса это классическая радиофизическая модельная система. Результаты соответствующего исследования приведены в данной работе.

Очевидно, что при изучении перемежающегося поведения важное значе ние имеет способ определения типа перемежаемости. Определение того, какой именно тип перемежаемости реализуется в системе, как правило, осуществ ляется с помощью анализа статистических характеристик, таких как рас пределение длительностей ламинарных фаз при фиксированных значениях управляющих параметров, а также зависимость средней длительности ла минарных фаз от параметра надкритичности. Очевидно, что для получения подобных статистических характеристик необходимы эффективные методы выделения ламинарных фаз из временной реализации рассматриваемой си стемы. В работе М.О. Журавлева с соавторами8 предложен метод выделения ламинарных и турбулентных фаз для перемежающегося поведения осцилля торов, находящихся вблизи границы фазовой хаотической синхронизации, на основании результатов которого затем можно определить тип перемежаемо сти по виду распределения длительностей ламинарных фаз и зависимости средней длительности ламинарной фазы от параметра надкритичности. Как было установлено в ходе проведения исследований, этот метод дает хорошие результаты при анализе систем с малым числом степеней свободы, однако М.О. Журавлев, М.К. Куровская, О.И. Москаленко, Письма в ЖТФ 36 (10) (2010) 31–38.





он не всегда корректно работает в случае пространственно–распределенных систем со сложной динамикой, как, например, рассматриваемая в настоящей работе пространственно–распределенная система, состоящая из двух одно направленно связанных диодов Пирса. Диод Пирса9 является важнейшим объектом для исследования, так как это классическая модельная радиофи зическая система, часто используемая в современных исследованиях. Соот ветственно, важным представляется создание метода, при помощи которого можно было бы успешно определять тип перемежающегося поведения в слож ных хаотических системах, таких как диод Пирса. В диссертационной работе предлагается такой метод, являющийся модификацией метода, описанного в вышеупомянутой работе.

Таким образом, на основании вышеизложенного можно утверждать, что в области сложного поведения нелинейных хаотических систем круг вопросов, требующих дальнейшего изучения, достаточно широк. Детальному изучению описанных выше вопросов и посвящена настоящая диссертационная работа.

Соответственно, с учетом сказанного можно сделать вывод о том, что тема данной диссертационной работы является важной и актуальной для радио физики, нелинейной динамики и современной теории нелинейных колебаний и волн.

Цель диссертационной работы. Целью настоящей диссертационной работы является выявление закономерностей поведения связанных хаотиче ских осцилляторов вблизи границы установления режима фазовой хаотиче ской синхронизации с точки зрения спектральных компонент, а также опре деление типа динамики вблизи перехода к режиму фазовой хаотической син хронизации в пространственно–распределенных системах на примере двух однонаправленно связанных диодов Пирса. При этом основными вопросами, рассмотренными в данной работе, являются следующие:

• изучение связанных классических конечномерных систем (как с пото ковым, так и с дискретным временем) при переходе от асинхронного поведения к синхронному с точки зрения синхронизации спектральных компонент;

• изучение поведения пространственно–распределенных систем вблизи границы фазовой хаотической синхронизации;

• сопоставление полученных результатов для различных классов систем пространственно–распределенных и конечномерных, выявление общих закономерностей;

Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков, Т. 2, М.:

Физматлит, 2004.

• создание метода выделения ламинарных и турбулентных фаз в режи ме перемежаемости для пространственно–распределенных хаотических систем, находящихся вблизи границы фазовой синхронизации, для кото рых известные методы дают некорректные результаты;

• определение типов перемежаемости, наблюдаемых в однонаправленно связанных диодах Пирса.

Изучение данных вопросов, проведенное в настоящей работе, позволяет продвинуться в понимании того, каким образом происходит переход от асин хронного режима к синхронному с точки зрения поведения спектральных компонент для систем различных классов, характеризующихся выраженной основной спектральной компонентой, а также прояснить некоторые вопро сы, связанные с перемежаемостью пространственно–распределенных систем, находящихся вблизи границы режима фазовой хаотической синхронизации.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Поведение основных спектральных компонент эталонных конечномер ных и пространственно–распределенных систем, обладающих выражен ной основной спектральной частотой, вблизи границы установления ре жима фазовой хаотической синхронизации подчиняется одной и той же универсальной закономерности. Данная закономерность заключается в инвариантности вида зависимости дисперсии распределений разности фаз, вводимых при помощи преобразования Фурье на основной спек тральной компоненте, от величины, определяемой параметром надкри тичности и длительностью анализируемого временного ряда.

2. При помощи анализа скользящего среднего разности фаз взаимодейству ющих осцилляторов возможно выделить ламинарные и турбулентные фазы из временных реализаций связанных хаотических осцилляторов, демонстрирующих перемежающееся поведение вблизи границы установ ления режима фазовой хаотической синхронизации.

3. Система двух однонаправленно связанных диодов Пирса при значении параметра надкритичности из области, прилегающей к области син хронной динамики, демонстрирует перемежающееся поведение, которое подчиняется закономерностям, свойственным как для перемежаемости игольного ушка, так и для перемежаемости типа I в закритической об ласти в присутствии шума.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы яв ляются новыми. В частности, в рамках настоящей работы впервые получены следующие результаты:

• установлена закономерность поведения спектральных компонент эталон ных конечномерных и пространственно–распределенных систем при пе реходе от асинхронной динамики к режиму фазовой хаотической синхро низации, заключающаяся в инвариантности зависимости дисперсии рас пределений разности фаз, вводимых при помощи преобразования Фурье на основной спектральной компоненте, от величины, определяемой па раметром надкритичности и длительностью анализируемого временного ряда;

показано, что системы, обладающие ярко выраженной основной частотой в Фурье–спектре, подчиняются одной и той же закономерно сти;

• предложен модифицированный метод выделения ламинарных и тур булентных фаз в режиме перемежаемости для пространственно– распределенных систем, демонстрирующих хаотическое поведение, на ходящихся вблизи границы фазовой хаотической синхронизации, заклю чающийся во введении в рассмотрение скользящего среднего разности мгновенных фаз взаимодействующих осцилляторов;

• получены зависимости средней длительности ламинарных фаз от па раметра надкритичности для двух однонаправленно связанных диодов Пирса, проведено сопоставление с теоретическими зависимостями, соот ветствующими различным типам перемежающегося поведения;

• определены типы перемежающегося поведения, наблюдающиеся в одно направленно связанных диодах Пирса;

показано, что данное поведение может быть описано и как перемежаемость игольного ушка, и как пере межаемость типа I в присутствии шума.

Научная и практическая значимость работы. Диссертация решает важную научную задачу, состоящую в определении закономерностей поведе ния неавтономных хаотических колебательных систем с выраженной основ ной спектральной компонентой вблизи границы установления режима фазо вой синхронизации. Исследования в работе проводились на примере эталон ных нелинейных динамических систем, таких как система Ресслера, отобра жение окружности, диод Пирса. Благодаря тому, что полученные результаты являются довольно общими, можно ожидать, что они окажутся справедли выми для других систем, в частности, для различных реальных систем радиофизических, биологических, физиологических и т.д. Результаты дан ной диссертационной работы позволяют продвинуться в понимании особен ностей поведения нелинейных хаотических систем с выраженной основной спектральной компонентой, демонстрирующих синхронное или перемежа ющееся поведение. В частности, исследования динамики пространственно– распределенных систем имеют большое как теоретическое, так и практиче ское значение, поскольку исследуемая система диод Пирса является базовой радиофизической моделью, и это позволяет предполагать, что по лученные для данной системы результаты будут также справедливы для подобных реальных радиофизических систем (например, для низковольт ных виркаторов). Тот факт, что были выявлены аналогичные закономерно сти для пространственно–распределенных и конечномерных систем, означа ет, что найденная закономерность обладает большой степенью общности, и, следовательно, применима к широкому кругу сложных систем.

Предложенная модификация метода выделения ламинарных и турбулент ных фаз позволяет эффективно проводить анализ временных реализаций сложных пространственно–распределенных систем, демонстрирующих ре жим перемежаемости. С учетом того, что изучение перемежающегося по ведения систем (прежде всего, систем с бесконечномерным фазовым про странством) является важнейшей задачей, находящей применение в различ ных практических исследованиях, например, при анализе активности голов ного мозга10, можно ожидать, что предложенный модифицированный метод будет востребован при исследовании систем с бесконечномерным фазовым пространством, демонстрирующих явление перемежаемости.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использова нием математических процедур, уравнений, методов и подходов, строго обос нованных в научной литературе, апробированных при проведении научных исследований. Достоверность полученных результатов подтверждается их воспроизводимостью, сопоставлением аналитических и численных результа тов, а также отсутствием противоречий с общепризнанными достоверными результатами, опубликованными в известной научной литературе.

Личный вклад. Представленные в диссертации результаты получены лично соискателем, им проведены все аналитические и численные расчеты.

Постановка задач, разработка методов их решения, а также объяснение ре зультатов были осуществлены автором совместно с научным руководителем.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на все российских и международных научных конференциях и семинарах и опуб ликованы в сборниках тезисов докладов: IX Международной школы “Хаоти ческие автоколебания и образование структур” ХАОС-2010 (Саратов, ок тябрь 2010), XII Всероссийской школы–семинара “Физика и применение мик роволн (Волны–2011)” (Звенигород, май 2011), XV Международной школы– семинара по электронике сверхвысоких частот и радиофизике (Саратов, фев раль 2012), XIII Всероссийской школы–семинара “Физика и применение мик роволн (Волны–2012)” (Звенигород, май 2012), III Всероссийского научно– J.L. Perez Velazquez, et al., European Journal of Neuroscience. 11 (1999) 2571;

A.E. Hramov, et al., Chaos.

16 (2006) 043111.

практического форума “Экология: синтез естественно–научного, техническо го и гуманитарного знания” (Саратов, октябрь 2012), XIV Всероссийской школы-семинара “Физика и применение микроволн (Волны–2013)” (Можайск, май 2013), всего 6 публикаций в трудах конференций. Результаты, изложен ные в диссертационной работе, обсуждались на расширенных научных се минарах кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ.

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении научно–исследовательских работ по проектам Федеральной целевой про граммы “Научные и научно–педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 годы (соглашения № 14.B37.21.0751 от 27 августа 2012 г. и № 14.B37.21.1207 от 18 сентября 2012 г.).

Публикации. Результаты работы опубликованы в центральных рефери руемых научных журналах (3 статьи), рекомендованных ВАК при Минобр науки РФ для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук, а также в трудах конференций (6 тезисов докладов).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из вве дения, трех глав и заключения. Она содержит 150 страниц текста, включая 25 иллюстраций. Список литературы содержит 158 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы данной диссертации, сфор мулирована цель работы, описаны научная новизна и практическая значи мость полученных результатов. Также введение содержит основные положе ния и результаты, выносимые на защиту, и сведения об апробации результа тов и публикациях.

Первая глава диссертационной работы посвящена изложению результа тов исследования перехода от асинхронного режима к синхронному с точки зрения синхронизации спектральных компонент в эталонных конечномерных системах. В первом разделе главы рассматриваются основные типы синхрон ного поведения и методы их описания с единых позиций, а также некото рые связанные с этими понятиями важные моменты, в частности, различные способы введения фазы колебаний. Эта информация необходима для пони мания и логичного изложения дальнейшего материала. В разделе 1.1 также описывается современное состояние изучаемой в данной главе проблемы и формулируются основные вопросы, решению которых посвящены следующие разделы.

В разделе 1.2 рассматривается поведение основных спектральных компо нент связанных нелинейных систем с потоковым временем на примере двух однонаправленно связанных систем Ресслера, находящихся вблизи границы установления режима фазовой хаотической синхронизации. Данная система описывается следующими уравнениями:

xd = d yd zd, xr = r yr zr + (xd xr ), yd = d xd + ayd, yr = r xr + ayr, zd = p + zd (xd c), zr = p + zr (xr c).

В данных уравнениях индекс d соответствует ведущей системе, а индекс r ведомой. Параметры систем выбраны следующим образом: a = 0.15, p = 0.2, c = 10.0. Параметры d = 0.93 и r = 0.95 определяют собственную частоту ведущей и ведомой систем соответственно, а параметр, отве чающий за связь между системами. В ходе работы было получено значение параметра связи, соответствующее границе установления синхронного режи ма: P S 0.041.

Как следует из проведенного рассмотрения, распределение разностей фаз основных спектральных компонент спектров Фурье взаимодействующих си стем (полученных по временным рядам конечной длины) имеет вид функций Гаусса (Рис. 1), что обусловлено конечной длиной анализируемого временно го интервала и хаотической динамикой рассматриваемых систем. Из рисунка видно, что вид распределений зависит от длины временного интервала, по ко торому рассчитывается преобразование Фурье. Показано, что с уменьшением величины параметра связи между взаимодействующими системами вблизи порога возникновения режима фазовой хаотической синхронизации распре деления разности фаз основных спектральных компонент Фурье–спектров взаимодействующих осцилляторов также имеют аналогичную форму распре делений Гаусса. Установлено также, что чем больше интенсивность парамет ра связи, тем меньшей величиной дисперсии характеризуются данные распре деления. При этом пересечение границы фазовой хаотической синхронизации не приводит ни к каким видимым качественным изменениям анализируемой величины, поскольку как выше, так и ниже порога фазовой синхронизации виды распределений оказываются качественно эквивалентны (граница фазо вой хаотической синхронизации в этом случае P S 0.041). В то же время очевидно, что происходят количественные изменения в анализируемых рас пределениях разностей фаз. Тем не менее ответить на вопрос, существуют ли здесь какие–либо количественные закономерности, к сожалению, в рамках аналитического решения этой задачи для связанных осцилляторов Ресслера представляется невозможным из–за достаточной сложности анализируемой системы. Однако можно провести соответствующее исследование на более простых модельных примерах, допускающих в то же самое время аналити ческое рассмотрение.

Раздел 1.3 посвящен исследованию этого вопроса на примере систем друго го класса систем с дискретным временем. В качестве исследуемой системы N N N а 4 1200 800 2 400 2 0 -2.5 -2 -1.5 -0.5 0 -2.5 -2 -1.5 -0.5 - -2.5 -2 -1.5 -0.5 0 - - Рисунок 1 Распределение разности фаз основных спектральных компонент систем Рес слера, введенных как угол поворота на фазовой плоскости (1), а также рассчитанных при помощи преобразования Фурье для разных значений анализируемого интервала времени:

T = 100 (2), T = 600 (3), T = 1600 (4), для значений параметра связи: (а) = 0.043, (б ) = 0.040, (в) = 0.038.

рассматривается отображение окружности под воздействием шума:

xn+1 = xn + 2(1 cos xn ) + n, (mod 2), где управляющий параметр, = 0.1, n –коррелированный белый шум с нулевым средним [ n = 0, n m = D(n m)]. Данная система является очень удобной модельной системой для описания широкого ряда процессов, происходящих вблизи границы возникновения синхронного режима в дина мических системах с потоковым временем. В этом случае переменная x играет роль фазы анализируемого сигнала. Фактически, можно говорить о том, что переменная x представляет собой фазу сигнала в анализируемой системе с потоковым временем, взятую через характерный временной интервал внеш него воздействия. Аналогом разности фаз основных спектральных компонент спектров Фурье взаимодействующих хаотических осцилляторов с потоковым временем является усреднение динамической переменной x по некоторому интервалу дискретного времени. В этом разделе показывается, что распреде ления значений переменной x имеют вид распределений Гаусса (рис. 2, а), как это наблюдалось для систем с потоковым временем, рассмотренных в разде ле 1.2, и, точно также, при увеличении параметра надкритичности величина дисперсии данных распределений уменьшается.

Для выявления количественных закономерностей в поведении рассматри ваемой системы в этом же разделе проведено аналитическое рассмотрение, на основании которого предложены нормировки, в которых следует ожидать проявления универсального характера эволюции рассматриваемых распре делений при изменении значений управляющего параметра. Показано, что, действительно, с учетом предложенных нормировок поведение нормирован ной дисперсии рассматриваемых распределений оказывается количественно N а 4 800 0. 0. TN 0.01 0.1 1 10 100 -0.12 -0.08 -0. Рисунок 2 (а) Распределение усредненной величины xn отображения окружности при значении управляющего параметра = 5 104 для длины интервала дискретного вре мени K = 1 (1), K = 100 (2), K = 500 (3), K = 2000 (4). (б ) Зависимости нормированной величины дисперсии распределений величины xn отображения окружности от нормиро ванной длины интервала дискретного времени TN при значениях управляющего параметра = 5 104 (точки) = 0.001 (квадраты).

идентичным для различных значений параметра надкритичности. На рис. 2, б приведены зависимости дисперсии распределений от нормированной длины интервала дискретного времени для различных значений параметра связи.

Видно, что полученные кривые с учетом нормировки практически совпада ют друг с другом.

Для того, чтобы убедиться в едином характере поведения систем с пото ковым и с дискретным временем вблизи границы синхронизации, в разделе 1.4 проводится сопоставление полученных в предшествующих разделах ре зультатов. Рассматриваемые системы принадлежат к разным классам, однако известно, что потоковые системы можно привести к отображениям при помо щи сечения Пуанкаре. Соответственно, свойства потоковых систем связаны со свойствами отображений. В данном разделе показывается, что полученные для исследуемых систем зависимости хорошо ложатся на определенную кри вую (рис. 3), которая, очевидно, является универсальной и описывает как поведение осцилляторов с потоковым временем, так и динамику систем с дискретным временем при любом значении управляющего параметра, при надлежащем изучаемой области значений. При этом необходимо заметить, что параметры надкритичности в потоковой системе и отображении также имеют разные характерные масштабы, поэтому для корректного сопоставле ния результатов исследования отображения окружности и связанных систем Ресслера была произведена еще одна перенормировка времени.

Раздел 1.5 содержит выводы по первой главе.

0. 0. s 0.01 0.1 1 10 100 Рисунок 3 Зависимости нормированной величины дисперсии от нормированной дли ны временного интервала. Линия с точками соответствует отображению окружности при значении управляющего параметра = 0.001, треугольники системам Ресслера при значении параметра связи = 0.043. Здесь s параметр времени, отнормированный для корректного сопоставления систем с потоковым и с дискретным временем.

Во второй главе рассматривается поведение пространственно–распре деленных систем вблизи границы фазовой хаотической синхронизации с точки зрения синхронизации спектральных компонент. В качестве модель ной пространственно–распределенной системы с бесконечномерным фазовым пространством выбрана эталонная модель нелинейной динамики и электро ники сверхвысоких частот диод Пирса. Целью подобного изучения явля ется рассмотрение вопроса о том, наблюдается ли в системах с бесконечно мерным фазовым пространством закономерность синхронизации основных спектральных компонент, подобная той, которая была рассмотрена в первой главе диссертационной работы.

В разделе 2.1 описывается выбранная модельная система диод Пирса, при этом описание дается на примере автономной системы. В разделе 2. рассматриваются два однонаправленно связанных диода Пирса. В рамках гидродинамического приближения однонаправленно связанные диоды Пирса описываются системой уравнений движения, непрерывности и Пуассона:

(1,2 1,2 ) 2 1, 1,2 1,2 1,2 1,2 = 1,2, =, = 1,2 (1,2 1) t x x t x x с граничными условиями:

1,2 (0, t) = 1, 1,2 (0, t) = 1, 1,2 (0, t) = 0, (1) где безразмерный потенциал поля пространственного заряда, безраз мерная плотность заряда, безразмерная скорость потока, x безразмер ная координата и t безразмерное время. Индексы 1 и 2 обозначают ведущую и ведомую системы соответственно. Управляющим параметром, характери зующим динамику каждой системы, является параметр Пирса невоз мущенный угол пролета электронов по плазменной частоте, 1 = 2.858, 2 = 2.862.

Однонаправленная связь между системами осуществляется при помощи изменения значения безразмерного потенциала на правой границе ведомой системы, в то время как потенциал на правой границе ведущей системы оста ется неизменным:

1 (1, t) = 0, (2) 2 (1, t) = (2 (1, t) 1 (1, t)).

Здесь коэффициент связи между системами, 1,2 (1, t) колебания без размерной плотности пространственного заряда, регистрируемые на выходе каждой из систем.

На примере данной системы изучается вопрос о закономерностях, кото рые будут наблюдаться для основных спектральных компонент при установ лении синхронного режима. Показывается, что полученные распределения разности фаз, введенных при помощи преобразования Фурье, как и в случае систем с малым числом степеней свободы, имеют вид распределений Гаусса (рис. 4, а) и демонстрируют те же самые тенденции при изменении интен сивности связи, которые наблюдались для систем с малым числом степеней свободы. Зависимости нормированной величины дисперсии от нормирован ной длины временного интервала, по которому рассчитывалось преобразова ние Фурье, совпадают при различных значениях параметра надкритичности вблизи границы фазовой хаотической синхронизации (рис. 4, б ) и имеют вид, аналогичный зависимостям, полученным ранее для конечномерных систем.

C учетом того, что при анализе поведения систем использовались вре менные реализации, полученные в одной точке пространства системы (вы бранной произвольно), и гипотетически существует возможность того, что результаты могут отличаться для разных точек пространства исследуемой системы, для подтверждения общности результатов в разделе 2.3 проведено аналогичное рассмотрение для другой точки пространства и показано, что полученные результаты не зависят от того, из какой точке пространства си стемы снимается времення реализация.

а В разделе 2.4 проводится сопоставление результатов, полученных для ко нечномерных и для пространственно–распределенных систем. Показано, что для всех трех рассмотренных систем разных классов, а именно, для осцилля торов Ресслера, отображения окружности и диодов Пирса полученные зави симости ложатся на некоторую кривую, которая является универсальной. На основании этого можно утверждать, что поведение основных спектральных компонент конечномерных систем и пространственно–распределенных систем 2/ N а 0. 1000 T 10 0. -0.4 0 0.8 1. Рисунок 4 (а) Распределения разности фаз двух однонаправленно связанных диодов Пирса при = 0.012 для различных значений T : T = 3900 (сплошная линия);

T = (пунктирная линия);

T = 1950 (штрих-пунктирная линия);

T = 750 (точки). (б ) Зависи мость значения дисперсии распределений разности фаз однонаправленно связанных ди одов Пирса от нормированной длины анализируемого временного интервала T для зна чения параметра связи = 0.008 (ромбы), = 0.01 (круги), = 0.012 (треугольники), = 0.014 (кресты).

с бесконечномерным фазовым пространством при любом значении управляю щего параметра, принадлежащем изучаемой области значений, подчиняется универсальной закономерности.

В разделе 2.5 сформулированы выводы по данной главе.

Третья глава посвящена рассмотрению перемежающегося поведения в системах с бесконечномерным фазовым пространством вблизи границы уста новления режима фазовой хаотической синхронизации. В качестве модель ной системы снова выбрана система двух однонаправленно связанных диодов Пирса.

В разделе 3.1 рассматриваются основные закономерности, характерные для перемежаемости игольного ушка (и, соответственно, для перемежаемости типа I в присутствии шума), что является необходимым для рассмотрения и классификации результатов, полученных при изучении перемежающегося по ведения в однонаправленно связанных диодах Пирса, изложенных в следую щих разделах настоящей главы. Раздел 3.2 посвящен описанию метода выде ления ламинарных и турбулентных фаз в пространственно–распределенных системах. Предлагаемый метод позволяет осуществлять выделение ламинар ных и турбулентных фаз в пространственно–распределенных системах со сложной динамикой, что потенциально дает возможность применения данно го метода для анализа различных систем, демонстрирующих перемежающее ся поведение. В разделе 3.3 описаны результаты изучения перемежающегося N() 0 100000 200000 Рисунок 5 Распределения длительности ламинарных фаз однонаправленно связанных диодов Пирса от времени. Точки, соответствующие значению параметра связи = 0.0075, показаны символами “ ”, значению = 0.008 символами “”, значению = 0. символами “+”.

поведения в системе, состоящей из двух однонаправленно связанных диодов Пирса, вблизи границы фазовой хаотической синхронизации. На рис. 5 по казаны распределения длительности ламинарных фаз исследуемой системы для различных значений параметра надкритичности. Ламинарные фазы бы ли выделены с применением метода, описанного в разделе 3.2. Также при по мощи этого метода были получены зависимости средней длительности лами нарных фаз от параметра надкритичности. Показано, что при сопоставлении численных результатов с теоретическими зависимостями, соответствующими режиму перемежаемости игольного ушка (рис. 6, а) и режиму перемежаемо сти типа I в присутствии шума (рис. 6, б ), наблюдается отличное соответ ствие. Данный факт позволяет утверждать, что перемежающееся поведение двух связанных диодов Пирса может быть описано и как перемежаемость игольного ушка, и как перемежаемость типа I в присутствии шума в закри тической области. Следовательно, в пространственно–распределенных систе мах вблизи границы фазовой хаотической синхронизации реализуется тот же самый тип перемежающегося поведения, что и в системах с малым числом степеней свободы. Полученные результаты являются дополнительным дока зательством того, что перемежаемость игольного ушка и перемежаемость ти па I с шумом являются одним и тем же типом динамики нелинейных систем.

Заключительные выводы по настоящей главе содержатся в последнем раз деле 3.4.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

T ln (1/T) а - - -12 1/ ( c)3/2x 16 (PS ) 10 12 14 0 5 10 Рисунок 6 (а) Зависимость величины ln(1/T ) от параметра (P S )1/2. Критическое значение P S = 0.012. Стрелкой отмечена граница возникновения режима перемежаемо сти игольного ушка 1 = 0.0065. Точки, полученные численно для двух однонаправлен но связанных диодов Пирса, изображены символами “•”. Теоретическая зависимость для перемежаемости игольного ушка показана сплошной линией. (б ) Зависимость средней длительности ламинарных фаз T от параметра ( c )3/2, ось ординат показана в лога рифмическом масштабе. Критическое значение c = 0.005. Точки, полученные численно для двух однонаправленно связанных диодов Пирса, изображены символами “•”. Теорети ческая зависимость для перемежаемости типа I в присутствии шума показана сплошной линией.

Основные результаты и выводы 1. Обнаружена закономерность поведения основных спектральных компо нент эталонных конечномерных и пространственно–распределенных си стем вблизи границы установления режима фазовой хаотической син хронизации. Данная закономерность заключается в инвариантности за висимости дисперсии распределений разности фаз, вводимых при по мощи преобразования Фурье на основной спектральной компоненте, от величины, определяемой параметром надкритичности и длительностью анализируемого временного ряда.

2. Предложен модифицированный метод для выделения ламинарных и турбулентных фаз в режиме перемежаемости из временных реализа ций систем, демонстрирующих сложное поведение, в частности, для пространственно–распределенных систем.

3. Для двух однонаправленно связанных диодов Пирса, находящихся вбли зи границы фазовой хаотической синхронизации и демонстрирующих перемежающееся поведение, распределения длительностей ламинарных фаз при различных значениях параметра надкритичности подчиняются экспоненциальному закону.

4. Определены типы перемежающегося поведения, которое демонстрирует система, состоящая из двух однонаправленно связанных диодов Пирса;

показано, что такое поведение можно трактовать и как перемежаемость игольного ушка, и как перемежаемость типа I в присутствии шума.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ра ботах:

[1] Данилов Д.И., Короноский А.А. Универсальная закономерность синхронизации ос новных спектральных компонент взаимодействующих осцилляторов // Известия РАН. Серия физическая. 2011. Т. 75. №12. С. 1709–1712.

[2] Данилов Д.И., Короновский А.А. Поведение спектральных компонент связанных ди одов Пирса вблизи границы фазовой синхронизации // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т. 20. №1. С. 105–111.

[3] Данилов Д.И., Короновский А.А. Закономерности поведения спектральных компо нент в пространственно–распределенных системах, находящихся вблизи границы фа зовой синхронизации // Известия РАН. Серия физическая. 2012. Т. 76. №12. С. 1500– 1502.

[4] Данилов Д.И., Москаленко О.И. Спектры связанных хаотических осцилляторов, на ходящихся в режиме перемежаемости игольного ушка // Материалы IX Междуна родной школы “ХАОС–2010”. Саратов. 2010. С. 115–116.

[5] Данилов Д.И., Короновский А.А. О поведении основной спектральной компоненты хаотических осцилляторов, находящихся в режиме перемежаемости игольного ушка // Труды школы–семинара “Волны–2011”. Звенигород. 2011. С. 7–11.

[6] Данилов Д.И. Синхронизация спектральных компонент связанных диодов Пирса в области границы фазовой синхронизации // Материалы XV международной школы– семинара по электронике сверхвысоких частот и радиофизике. Саратов. 2012. С. 33.

[7] Данилов Д.И., Короновский А.А. Пространственные аспекты поведения спектраль ных компонент связанных диодов Пирса // Труды школы–семинара “Волны–2012”.

Звенигород. 2012. С. 11–14.

[8] Данилов Д.И., Короновский А.А. Модифицированный метод выделения ламинар ных и турбулентных фаз в перемежающихся временных реализациях // Материа лы III Всероссийского научно–практического форума “Экология: синтез естественно– научного, технического и гуманитарного знания”. Саратов. 2012. С. 321–322.

[9] Данилов Д.И., Короновский А.А. Перемежаемость типа I с шумом и перемежае мость игольного ушка в пространственно–распределенных системах // Труды школы– семинара “Волны–2013”. Звенигород. 2013. С. 17–19.

ДАНИЛОВ Дмитрий Игоревич МОДЕЛЬНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ВЫРАЖЕННОЙ ОСНОВНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ КОМПОНЕНТОЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ ФАЗОВОЙ ХАОТИЧЕСКОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ Автореферат Подписано к печати 05.07.2013. Формат 60 84 1/16.

Бумага офсетная. Гарнитура “Times” Усл. печ. л. 1,39 (1,5). Тираж 120 экз. Заказ № 145-Т.

Отпечатано с готового оригинал–макета Типография СГУ.

410012, Саратов, Большая Казачья, 112а, корпус 8.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.