авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Спектральные методы и задачи рассеяния в теории эффекта казимира

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

МАРАЧЕВСКИЙ Валерий Николаевич

СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ

В ТЕОРИИ ЭФФЕКТА КАЗИМИРА

Специальность 01.04.02 – теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2011

Работа выполнена на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета Санкт-Петербургского государственно го университета

Научный консультант:

д.ф.-м.н., проф.

НОВОЖИЛОВ Юрий Викторович

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., в.н.с. ФИАН БАРВИНСКИЙ Андрей Олегович д.ф.-м.н.,проф. каф. теоретической физики университета “Дубна” ФУРСАЕВ Дмитрий Владимирович д.ф.-м.н., проф. каф. квантовой механики СПбГУ ШАБАЕВ Владимир Моисеевич

Ведущая организация:

Институт Ядерных Исследований Российской академии наук

Защита состоится “ ” 2012 г. в 15.00 часов на заседании совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр.,В.О.,д. 41/43,ауд.304.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан “ ” 2012 г.

Ученый секретарь Аксенова Е.В.

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В настоящее время эффект Казимира [1] является активно развивающейся областью теоретической и экспериментальной физики. Изучение эффекта Казимира важно с точки зрения фундаментальной физики. Особый интерес к этой обла сти связан с тем, что эффект Казимира является макроскопическим эффектом квантовой электродинамики. Теоретическое и эксперимен тальное изучение эффекта Казимира позволяет лучше понять физику систем большого числа частиц.

Другим важным аспектом эффекта является то обстоятельство, что при любом расчете нано и микроэлектромеханических устройств, в ко тором существенны расстояния порядка сотен нанометров, необходимо учитывать силы Казимира.

Последние несколько лет в теории эффекта Казимира активно раз виваются новые математические методы для вычисления эффектов вза имодействия в сложных геометриях и с использованием различных ма териалов. Развитие данных методов сделало возможным детальное срав нение теории и эксперимента в данной области.

Замечательно, что энергия Казимира может быть изначально запи сана в конечной форме, без расходимостей. С физической точки зре ния это связано с наличием вакуумной щели между неоднородностя ми и возможностью явным образом выделить вклад от взаимодействия разделенных вакуумной щелью частей в энергию системы. При этом наиболее эффективным методом, позволяющим вычислять силу Кази мира между объектами произвольной формы в общем случае, является теория рассеяния в сочетании с комплексным анализом. Теория рас сеяния позволяет удобным образом записать энергию Казимира в ко нечной форме с помощью коэффициентов отражения или матриц отра жения электромагнитных волн. Результаты теории эффекта Казимира для периодических геометрий, развитой в диссертации, подтверждены экспериментально.

Методы, используемые при вычислении энергии Казимира и свобод ной энергии, проиллюстрированы в диссертации на различных приме рах.

Целью настоящей работы является развитие новых эффектив ных методов для вычисления сил Казимира в геометриях различной формы. Часть задач в диссертации решены методами спектральных функций - с помощью методов ядра теплопроводности и дзета функ ции, другие задачи решены с помощью методов комплексного анализа в сочетании с теорией рассеяния. Особое внимание уделено рассмот рению периодических геометрий с использованием реалистичных мо делей для диэлектрических проницаемостей материалов и сравнению теории с экспериментом. В работе также детально исследован конечно температурный эффект Казимира в системе графен - параллельный ме талл. Теория потенциала Казимира-Полдера исследуется методом функ ций Грина, киральная аномалия с граничными условиями MIT типа вычислена с использованием метода ядра теплопроводности.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Разработана теория эффекта Казимира для двух однородных па раллельных дифракционных решеток произвольной формы с совпада ющими периодами, периодических в одном пространственном направ лении, трансляционно инвариантных в перпендикулярном направлении и разделенных вакуумной щелью. Энергия взаимодействия выражена через коэффициенты Рэлея. Свойства материалов характеризуются за данием частотной дисперсии диэлектрических проницаемостей.

2. Объяснены результаты экспериментов по измерению нормальной силы Казимира между прямоугольными дифракционными решетками из силикона и сферой из золота, впервые измеривших отклонения от приближения близкой силы (PFA), основанного на теории Лифшица для плоскопараллельных геометрий.

3. Теория с исключительной точностью предсказала и объяснила ре зультаты экспериментов по измерению боковой силы Казимира для ди фракционных решеток синусоидальной формы с совпадающими пери одами и различными амплитудами, при этом отличие результатов точ ной теории и теории PFA достигало 66%. Тем самым было впервые проведено сравнение точной теории, отличной от теории Лифшица, и экспериментов.



4. Аналитически вычислен однопетлевой поляризационный оператор двумерных Дираковских фермионов, распространяющихся со скоростью Ферми vF c/300 при конечной температуре. Для системы плоский лист графена – параллельный металл с плоской поверхностью иссле дована свободная энергия системы, получены аналитические форму лы на больших и промежуточных расстояниях. Высокотемпературная асимптотика системы графен – металл совпадает с высокотемператур ной асимптотикой системы металл – металл для Друде модели диэлек трической проницаемости металлов. В системе графен – металл ре жим высоких температур начинается на расстояниях a 0.1 мкм при T = 300K, что на порядок меньше расстояний, на которых начинается высокотемпературный режим в системе металл – металл.

Тем самым впервые в теории эффекта Казимира высокотемпературная асимптотика системы получена исходя из первых принципов, из пря мого вычисления компонент поляризационного оператора и квантовой электродинамики.

5. Найдено точное аналитическое решение для энергии Казимира порш ней произвольного сечения внутри бесконечного цилиндра с идеально проводящими граничными условиями.

6. Вычислена киральная аномалия с граничными условиями MIT ти па. Впервые получен нетривиальный граничный вклад в киральную аномалию.

7. Разработана общая теория эффекта Казимира – Полдера в произ вольной калибровке вектор-потенциалов. Вычислен потенциал Казими ра – Полдера для взаимодействия нейтрального атома и плоскости с членом Черна – Саймонса.

Научная новизна проведенных исследований состоит в следую щем:

1. Впервые в теории эффекта Казимира энергия систем, периодиче ских в одном пространственном направлении и трансляционно инва риантных в перпендикулярном направлении, выражена через коэффи циенты Рэлея. Предполагается наличие вакуумной щели между дву мя периодическими структурами с произвольно заданными профилями, периоды структур совпадают. Для рассматриваемых геометрий разра ботан алгоритм вычисления энергии Казимира и свободной энергии с использованием произвольных реалистичных моделей диэлектрических проницаемостей с заданной частотной дисперсией. Задача решена с ис пользованием матриц отражения для плоских волн, выраженных через коэффициенты Рэлея. В задаче нет разделения на поперечные электри ческие и поперечные магнитные моды.

2. Впервые проведено сравнение теории и экспериментов вне преде лов применимости теории Лифшица для плоскопараллельных геомет рий. Эксперименты по измерению боковой силы Казимира между двумя дифракционными решетками синусоидальной формы с совпадающими периодами были проведены в университете Калифорнии, Риверсайд, США. Отличие предсказаний точной теории для периодических геомет рий и приближения PFA, основанного на теории Лифшица, достигало 66%. В результате теория PFA в данной системе была полностью ис ключена экспериментальными данными, а развитая точная теория для боковой силы Казимира подтверждена с исключительной точностью.

3. Получено аналитическое решение для энергии Казимира в геомет рии поршня с произвольным поперечным сечением поршня. Предпо лагается, что поршень может свободно двигаться внутри бесконечного цилиндра с тем же поперечным сечением, при этом внутри цилиндра находится второй поршень такой же формы. Задача решена для идеаль но проводящих условий электрического и магнитного типа на поршнях и цилиндре.

4. Впервые вычислен нетривиальный граничный вклад в киральную аномалию. В задаче использовались граничные условия MIT для фер мионов. Задача решена с использованием формализма ядра теплопро водности. Найдено несколько новых коэффициентов в разложении сле да ядра теплопроводности.

5. Разработан формализм для вычисления потенциала Казимира-Пол дера в произвольной калибровке вектор-потенциалов. Вычислен потен циал Казимира – Полдера для атома над плоскостью с членом Черна – Саймонса.

6. Впервые вычислен поляризационный оператор двумерных квазича стиц дираковского типа в графене при конечной температуре. Иссле дован эффект Казимира для плоского листа графена, взаимодействую щего с параллельным металлом при конечных температурах. Предска зан сильный температурный эффект Казимира на расстояниях порядка нескольких сотен нанометров при температуре T = 300K.

7. В системе графен – металл впервые из первых принципов вычислена высокотемпературная асимптотика эффекта Казимира.

Достоверность полученных результатов обоснована тем, что для решения рассмотренных в диссертации проблем использованы совре менные методы теоретической и математической физики. В частности, использованы метод ядра теплопроводности, метод дзета функции, ме тод функций Грина. Также использована теория рассеяния в сочетании с комплексным анализом. Результаты сравнивались в предельных слу чаях с ранее известными результатами. Для вычисления коэффициен тов Рэлея использовались апробированные численные методы решения систем линейных дифференциальных уравнений и матричных вычис лений.

Теоретические результаты для боковой силы Казимира сравнива лись с экспериментальными данными, полученными в экспериментах по измерению боковой силы Казимира, проведенных в университете Кали форнии, Риверсайд, США. Полученные результаты продемонстрирова ли прекрасное согласие теории и проведенных экспериментов.

Теоретическая и практическая значимость.

Разработан метод вычисления энергии Казимира в геометриях, пе риодических в одном пространственном направлении и трансляцион но инвариантных в перпендикулярном пространственном направлении.

Также в данном формализме можно получить результат для энергии Казимира двух трансляционно инвариантных в выделенном направ лении тел произвольного конечного сечения, разделенных вакуумной щелью. При разработке и расчете нано и микроэлектромеханических приложений необходимо принимать во внимание силы Казимира. Раз работанный формализм решает данную задачу для вышеупомянутых геометрий.

Развитая теория для периодических геометрий позволила впервые провести детальное сравнение точной теории и эксперимента вне пре делов применимости теории Лифшица для плоскопараллельных гео метрий. Разработанная теория получила подтверждение в проведенных экспериментах по измерению боковой силы Казимира в системе двух дифракционных решеток синусоидальной формы с различными ампли тудами и совпадающими периодами.





Разработанная квантовополевая теория графена позволяет прове сти детальное сравнение теории и экспериментов в системе графен – металл при конечной температуре. Предсказанный сильный конечно температурный эффект Казимира в системе графен – металл является интересным следствием квантовой электродинамики и квантовой тео рии поля, вычисленным из первых принципов.

Разработанный формализм для вычисления потенциала Казимира – Полдера может быть эффективно использован в различных калибров ках вектор-потенциалов электромагнитного поля.

Геометрия поршня является одной из немногих аналитически реша емых моделей в теории эффекта Казимира. Данная модель позволяет лучше понять физику эффекта Казимира в геометриях нетривиальной формы.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на меж дународных семинарах “QUARKS -2006” (Санкт-Петербург, 2006), “Фо ковские чтения: современные проблемы физики” (Санкт-Петербург, 2008), были представлены на международных конференциях : “Quantum Field Theory under the inuence of external conditions - 2007” (Leipzig, Germany, 2007), “60 years of the Casimir eect” (Brasilia, Brasil, 2008), “7th International Friedmann seminar on gravitation and cosmology” (Joao Pessoa, Brasil, 2008), “Quantum Field Theory under the inuence of external conditions - 2009” (Norman, USA, 2009), “Quantum Field Theory under the inuence of external conditions - 2011” (Benasque, Spain, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 оригинальной работе. Из них 19 в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов докторских диссертаций. Список публика ций приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения. Библиография состоит из 264 наименований. Работа содержит 15 рисунков, размещенных внутри глав.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сфор мулированы задачи работы и используемые методы, описана структура работы и приведены положения, выносимые на защиту.

В первой главе дано историческое введение, представлен краткий обзор современных теоретических и экспериментальных исследований по эффекту Казимира. Заключительная часть главы посвящена про блеме высокотемпературной асимптотики результатов в эффекте Кази мира. В процессе изложения определенное внимание уделено и резуль татам автора, вошедшим в диссертацию. Чтение данной главы может быть существенно для понимания основных понятий, используемых в последующих главах. За исключением первой главы, в работе исполь зованы единицы = c = kB = 1.

Во второй главе дается краткое введение в математический фор мализм методов ядра теплопроводности и дзета функции. Киральная аномалия с локальными граничными условиями MIT типа вычисляется с использованием данных методов. Найдено несколько новых коэффи циентов в разложении следа ядра теплопроводности.

Рассмотрим оператор Дирака на n-мерном Римановом многообразии D = µ µ + Vµ + iAµ 5 [, ]µ [] (1) во внешнем векторном Vµ и аксиально-векторном Aµ полях. Мы пола гаем, что Vµ и Aµ являются антиэрмитовыми матрицами в пространстве [] некоторого представления калибровочной группы, µ - спин-связность.

Оператор Дирака преобразуется ковариантно при инфинитезималь ных локальных калибровочных преобразованиях (локальное калибро вочное преобразование есть D exp()D exp()):

Aµ = [Aµ, ] Vµ = µ + [Vµ, ] (2) D D + [D, ] и при инфинитезимальных локальных киральных преобразованиях (ло кальное киральное преобразование есть D exp(i5 )D exp(i5 )):

Aµ = µ + [Vµ, ], Vµ = [Aµ, ], D D + i{D, 5 }. (3) и - антиэрмитовы матрицы.

Киральная аномалия по определению равна изменению эффектив ного действия W под действием инфинитезимального кирального пре образования. Для этого нужно использовать тождество:

+ + dt t dt t (4) ln(/0 ) = e e t t = Тогда изменение эффективного действия Фока-Швингера при инфини тезимальных киральных преобразованиях может быть записано:

+ 1 dt tD A = ln det D2 = tr e = 2 2t = + + tD { 5, D2 }etD = 2itr = itr e = t =0 = = 2 lim tri 5 etD = 2an (i 5, D2 ). (5) t Здесь an - n-ый коэффициент разложения следа ядра теплопроводности.

Наложим локальные граничные условия:

1 5 n, (6) |M = 0, = которые являются евклидовым вариантом граничных условий MIT меш ка [2]. Для дифференциального оператора второго порядка L = D необходимы граничные условия на оставшиеся компоненты. Они опре деляются условием самосогласования [3]:

(7) D|M = 0, которые эквивалентны граничному условию Робена 1 + 5 n (8) (n + S) + |M = 0, + = с (9) S = + Laa.

Киральная аномалия вычисляется c использованием формулы (5).

Граничная часть киральной аномалии является новой:

d3 x h tr 12 i abc {Ab, }Da Ac Abound = 180 (2)2 M +24{, Aa }{Aa, An } 60 [Aa, ](Vna [An, Aa ]) +60(Dn )Dµ Aµ. (10) Она получена в работе при дополнительном условии равенства нулю внешней кривизны границы: Lab = 0.

В третьей главе рассматривается эффект Казимира с идеально проводящими граничными условиями на взаимодействующих поверхно стях. Вначале рассмотрены два классических примера: две параллель ные плоскости и полость в форме прямоугольного параллелепипеда.

Результаты для данных геометрий получены спектральными метода ми. Далее методом дзета функции получены результаты для геометрии поршня с произвольным поперечным сечением и граничными услови ями идеального проводника. На малых расстояниях между взаимодей ствующими поршнями используется метод ядра теплопроводности для вывода асимптотики свободной энергии. В конце главы мы строим иде ально проводящую полость в форме прямоугольного параллелепипеда и вычисляем изменение энергии в этом процессе.

Чтобы вычислить силу, действующую на поршень (пластину) внут ри бесконечного цилиндра с поперечным сечением M (Рис.1), удобно провести следующий мысленный эксперимент. Допустим, что внутрь цилиндра вставлены 4 параллельные пластины, затем удалим две внеш ние пластины на большое расстояние. В этом случае получаемая гео метрия в точности совпадает с геометрией трех идеально проводящих полостей, касающихся друг друга. Энергия каждой из полостей запи сывается с учетом известных в явном виде собственных частот поло сти методом дзета функции. Из энергии этой системы нужно вычесть энергию Казимира неограниченного цилиндра без поршней внутри него.

В результате получаем силу притяжения, действующую на каждый из поршней при нулевой температуре:

E(a) (11) F (a) =, a (12) E(a) = ln(1 exp(2a wave )), wave где сумма берется по всем T E и T M собственным частотам wave для цилиндра с поперечным сечением M неограниченной длины.

Рис. 1 Две пластины внутри неограниченного цилиндра Используя свойство + + 1 dp K1 (2l a) (13) 2 p2 ) ln 1 exp(2a + =, 2 2 2 l l= можно переписать (12) в виде:

+ 1 kD K1 (2lkD a) iN K1 (2liN a) (14) E(a) = +, 2 l l l=1 kD iN где kD и iN являются собственными значениями двумерного опера тора Лапласа с граничными условиями Дирихле и Неймана на границе M:

(2) fk (x, y) = 2 fk (x, y), (2) gi (x, y) = 2 gi (x, y), kD iN gi (x, y) fk (x, y)|M = 0, = 0.

n M Из выражения (14) и его обобщения на случай конечных температур получены асимптотики в случае больших и малых расстояний между поршнями. Для получения асимптотики малых расстояний использован метод ядра теплопроводности.

В четвертой главе исследуется электромагнитное поле в пятимер ной геометрии Калуцы-Клейна. Рассматривается взаимодействие двух идеально проводящих параллельных пластин в трехмерном простран стве, получено выражение для силы Казимира между пластинами, ис следована его зависимость от радиуса дополнительного измерения.

Рассматривается разложение Калуцы – Клейна для 4 + 1 (5D) Макс велловского действия на два сектора в 4D: безмассовый и массивный (Прока) сектор. Безмассовый сектор содержит 4D Максвелловское дей ствие и 4D безмассовое скалярное поле. Прока сектор дает бесконечный (n) (n) набор 4D массивных калибровочных полей Aµ (и Aµ ) с массами mn = n/R, где n - положительное целое число и R - радиус компактного измерения. Преимущество такого разложения состоит в том, что задача может быть проанализирована в четырех пространственно – временных измерениях без ссылки на дополнительное пятое компактное измерение.

В 4D Прока секторе массивный фотон имеет три поляризации из за наличия продольной моды в дополнение к двум поперечным. Одна ко даже при наличии идеально проводящих пластин не все три моды идеально отражаются на границе пластин. Отличительным свойством данного решения является наличие моды, которая проникает вглубь проводника с идеально проводящими граничными условиями.

Электрическое и магнитное поля внутри идеальных проводников равны нулю, но калибровочные потенциалы нулю не равны, давая вклад в ненулевую плотность энергии, равный m2 ((A0 )2 + A2 ), где m - масса.

Проникающая мода требует анализа только третьей компоненты век торного потенциала Az [4], где ось z перпендикулярна поверхности пла стин. Граничные условия на Az и его производную z Az сводятся к их непрерывности на границах, эти граничные условия оказываются эквивалентными граничным условиям на поперечную электрическую (TE) моду, распространяющуюся между плоскими параллельными ди электриками с различными диэлектрическими проницаемостями. Тем самым вклад в энергию Казимира от проникающей моды может быть вычислен с использованием теории Лифшица, и данный вклад в энер гию зависит от толщины каждой из идеально проводящих параллель ных пластин.

В пятой главе получена свободная энергия для геометрий, пери одических в одном пространственном направлении, трансляционно ин вариантных в другом пространственном направлении и разделенных вакуумной щелью. Свободная энергия выражена через коэффициенты отражения Рэлея электромагнитной волны от каждой из периодиче ских поверхностей. Математический аппарат теории рассеяния, необ ходимой для вычисления коэффициентов Рэлея, приводится в деталях, необходимых для проведения расчетов. Заключительная часть главы посвящена сравнению теории с проведенными экспериментами.

Рассмотрим две диэлектрические (или металлические) дифракцион ные решетки произвольного профиля в плоскости x, y с периодом d в направлении x, разделенные щелью в трехмерном пространстве (Рис.2).

Система инвариантна относительно сдвига в направлении z (направле ние z перпендикулярно рисунку) и, таким образом, формирует волно вод. В общем случае верхняя и нижняя дифракционные решетки могут иметь различную форму и различные диэлектрические (металлические) свойства. На Рис.2 высота периодически меняющейся области равна h для нижней дифракционной решетки. Определение бокового сдвига ста новится понятным из сравнения Рис.2 с Рис.3 и Рис.4. Для простоты предполагается, что пространство между двумя решетками заполнено вакуумом, удовлетворяющим условию = µ = 1.

Рассмотрим дифракцию электромагнитных волн на нижней дифрак ционной решетке, когда верхняя дифракционная решетка отсутствует.

Нас интересует решение задачи для произвольных значений z-компо ненты волнового вектора kz. Продольные компоненты электромагнит ного поля в области y h могут быть записаны с использованием базиса Рэлея [5]:

(e) (1) Ez (x, y) = Ip exp(ip x ip y) + + (e) (1) (15) Rnp exp(in x + in y), n= (m) (1) Hz (x, y) = Ip exp(ip x ip y) + + (m) (1) (16) Rnp exp(in x + in y), n= y y L h s d x Рис. Система из двух параллельных дифракционных решеток с совпадающим периодом d, разделенных вакуумной щелью где p = 2 kz 2, (1)2 (17) p = kx + 2p/d, p n = 2 kz 2, (1)2 (18) n = kx + 2n/d, n p - целое число, суммирование производится по всем целочисленным n, /d kx /d. Другие компоненты электромагнитного поля мо гут быть выражены через продольные компоненты Ez, Hz с использо ванием формул, хорошо известных из теории волноводов. Это решение верно вне любой одномерной периодической структуры в трехмерном пространстве (т.е. при y h).

Для решения уравнений Максвелла удобно рассмотреть фиксиро ванное число членов в разложениях (15), (16), где n меняется от N до N. Решение может быть получено с любой необходимой точностью при достаточно большом N.

В общем случае в данной задаче нет разделения на T E и T M моды.

Поэтому матрица отражения R1down для отражения от нижней дифрак ционной решетки может быть определена следующим образом:

R1down = (EE) (e) (m) (EH) (e) (m) Rn1 q1 (Ip = pq1, Ip = 0) Rn2 q2 (Ip = 0, Ip = pq2 ). (19) = (HE) (e) (m) (HH) (e) (m) Rn3 q3 (Ip = pq3, Ip = 0) Rn4 q4 (Ip = 0, Ip = pq4 ) Для вычисления энергии Казимира необходимо определить собствен ные частоты всех нормальных мод колебаний электромагнитного поля между двумя дифракционными решетками. Эти собственные частоты могут быть просуммированы с использованием принципа аргумента:

1 d (20) () ln f ()d = (0 ) ( ), 2i d где 0 - нули и - полюса функции f () внутри контура интегри рования, вырожденные собственные значения суммируются согласно вырождению. Для энергии Казимира имеем () = /2. Уравнение на собственные частоты соответствующей проблемы классической элек тродинамики есть f () = 0.

В качестве мысленного эксперимента предположим, что мы удали ли верхнюю дифракционную решетку из системы. Матрица отражения волны, распространяющейся вниз, есть R1down. Представим теперь, что мы удалили нижнюю дифракционную решетку из системы. Обозначим матрицу отражения для волны, распространяющейся вверх, как R2up.

Матрицы отражения R1down, R2up зависят от волновых векторов пада ющих волн, параметров дифракционных решеток и взаимного располо жения дифракционных решеток. Уравнение нормальных мод системы из двух дифракционных решеток имеет вид:

(21) R1down R2up i = i, где i - собственный вектор, соответствующий нормальной моде с ча стотой i. Отсюда получаем условие на собственные частоты системы:

(22) det(I R1down R2up ) = 0.

y x d Рис. Воображаемая дифракционная решетка, для которой вычисляется R2down y y L x s d Рис. Верхняя дифракционная решетка из Рис.2, для которой вычисляется матрица от ражения R2up. Нормальный и боковой сдвиги от воображаемой дифракционной ре шетки, показанной на Рис.3, обозначены L и s соответственно Отсюда следует, что функция f в принципе аргумента (20) равна f = det(I R1down R2up ).

Предположим, что матрица отражения R2down для отражения от фиктивной (воображаемой) дифракционной решетки, расположенной как на Рис.3, известна в координатах (x, y). Выполняя замену коорди нат y = y1 + L, x = x1 s (s d) в разложениях (15), (16), можно получить матрицу отражения R2up для отражения волн, распространя ющихся вверх от дифракционной решетки того же профиля, получен ной зеркальным отражением и сдвинутой от нижней дифракционной решетки на x = s, y = L (см. Рис.4). Таким образом, получаем R2up = Q (s)KR2down KQ(s), (23) где R2down - матрица отражения для волн, распространяющихся вниз, от дифракционной решетки в системе координат (x, y), изображенной на Рис.3. Здесь K – диагональная 2(2N + 1) матрица вида G1 (24) K=, 0 G 2m с членами exp L d ), m = N... N, на главной 2 + kz + (kx + диагонали матрицы G1. Диагональная матрица бокового сдвига с 2(2N + 1) матричными элементами Q(s) имеет вид G2 (25) Q(s) =, 0 G где матричные элементы exp (2ims/d), m = N... N, расположены на главной диагонали матрицы G2.

Суммирование по собственным частотам может быть выполнено с использованием принципа аргумента (20), в результате получаем энер гию Казимира двух параллельных дифракционных решеток на период d и единичной длины в направлении z:

+ + d d E= d dkz dkx (2)3 0 d ln det I R1down (kx, kz, i)R2up (kx, kz, i, L, ), (26) здесь = 2s/d, s - боковой сдвиг двух дифракционных решеток, в формуле (26) восстановлена явная зависимость матриц отражения от волновых векторов, частот и параметров, характеризующих рассмат риваемую геометрию. Выражение (26) является точным для двух па раллельных дифракционных решеток произвольной формы c совпада ющими периодами d, разделенных вакуумной щелью при нулевой тем пературе. Выражение (26) легко обобщается на случай конечных тем ператур, который также детально рассмотрен в пятой главе.

В эксперименте [6] измерялась сила Казимира между сферой ради уса R, покрытой золотым слоем, и силиконовой поверхностью с прямо угольными канавками. В этом эксперименте, впервые показавшем от личие экспериментальных данных от приближения близкой силы, осно ванного на теории Лифшица для плоскопараллельных геометрий, изме рялось изменение резонансной частоты микромеханического крутиль ного осциллятора, которое пропорционально производной силы Кази мира по расстоянию между поверхностями. В приближении PFA эта производная равна F (L h) = 2RP (L h), (27) где P – давление Казимира между дифракционной решеткой с прямо угольными канавками и параллельной плоскостью, L h - минималь ное расстояние между сферой и дифракционной решеткой. Результаты расчетов точной теории, проведенные автором, оказались в хорошем согласии с экспериментальными данными работы [6] и приведены в за ключительной части главы.

Впервые детальное сравнение теории эффекта Казимира и экспе риментов вне области применимости теории Лифшица было осуществ Рис. Фазовая зависимость боковой силы Казимира для двух синусоидальных дифракци онных решеток с амплитудами 85.4 нм, 13.7 нм и периодом d = 574.7нм. Среднее расстояние между решетками Y = 124.7нм. Экспериментальные данные показаны точками. Теоретическая кривая показана сплошной линией лено при измерениях боковой силы Казимира для двух синусоидаль ных дифракционных решеток из золота с совпадающими периодами и разными амплитудами. Эксперименты были проведены в университете Калифорнии, Риверсайд, США. Теория для периодических геометрий, изложенная в пятой главе, была детально проверена и подтверждена в проведенных экспериментах. Впервые экспериментально обнаружена асимметрия боковой силы Казимира. В заключительной части пятой главы приводится описание экспериментов по измерению боковой си лы Казимира. Также приводятся результаты проведенных расчетов и сравнение теории с экспериментальными данными. Типичные резуль таты сравнения теории и эксперимента приведены на Рис.5 и Рис.6, на больших расстояниях отличие точной теории от приближения PFA составило 66%.

В шестой главе построена теория для вычисления потенциала Ка зимира-Полдера в произвольной калибровке вектор-потенциалов. С ис пользованием данной теории получено выражение для потенциала Ка зимира-Полдера нейтрального атома над поверхностью с членом Черна Рис. Максимальные по амплитуде экспериментальные значения боковой силы Казимира показаны точками. Непрерывная и прерывистая линии - предсказания точной тео рии и теории PFA соответственно. Y - среднее расстояние между поверхностями, амплитуды синусоид равны 85.4 нм и 13.7 нм, период d = 574.7нм Саймонса. Также рассмотрено решение для потенциала Казимира-Пол дера нейтрального атома внутри идеально проводящего клина.

Атом как локализованный в точке (x1, x2, x3 ) = (0, 0, l) электриче ский диполь моделируется классическим внешним полем Jµ (x) pi (t) i (x1 )(x2 )(x3 l), (28) J0 (x) = i= (29) Ji (x) = pi (t)(x1 )(x2 )(x3 l), i = 1, 2, 3, для которого выполняется условие сохранения тока:

µ J µ = 0.

Здесь p(t) - случайная функция с гауссовым распределением с нулевым средним и коррелятором + ei(t1 t2 ) jk i j k (30) p (t1 )p (t2 ) = 2 ()d, e где jk () при 0 совпадает с атомной поляризуемостью.

Взаимодействие плоской поверхности с электромагнитным полем Aµ описывается действием вида S(A) = Fµ F µ + Sdef (A), (31) где Fµ = µ A Aµ и 3 A (x) A (x)(x3 )d4 x, (32) Sdef (A) = aV где Sdef - действие с членом Черна-Саймонса, aV - безразмерный пара метр, характеризующий взаимодействие.

Для расчета энергии E взаимодействия атома с плоскостью восполь зуемся ее представлением в виде i, (33) E= ln exp (iS(A) + JA) dA ln exp (iS(A)) dA T (aV ) где {· · · }(aV ) означает, что у стоящей внутри скобок функции от aV следует вычесть ее значение при aV = 0: {g(aV )}(aV ) g(aV ) g(0).

Проинтегрировав по фотонному полю, получим exp {iS(A) + iJA} dA (34) ln = J{D}(aV ) J exp {iS(A)} dA (aV ) где {D}(aV ) = D D|aV =0, D – пропагатор фотонного поля при нали чии плоскости с членом Черна-Саймонса. Таким образом, для энергии E, которая определяется правой частью (33), получаем следующее вы ражение J{D}(aV ) J (35) E = i, 2T где T1 - временной интервал, стремящийся к +.

Энергия основного состояния нейтрального атома при наличии плос кости с членом Черна - Саймонса равна:

+ a de2l 2(1 + 2l)33 (i) V E= 2 l3 1 + a 64 V + (36) de2l (1 + 2l + 4 2 l2 ) 11 (i) + 22 (i) + + 1 aV de2l 2 1 + 2l 12 (i) 21 (i).

+ 64 2 l2 1 + a2 V В предельном случае aV + результат совпадает с результатом Ка зимира-Полдера [7] для энергии взаимодействия нейтрального атома с идеально проводящей плоскостью. Существенной особенностью резуль тата (36) является член, зависящий от антисимметричной части атом ной поляризуемости при конечных значениях параметра aV.

В седьмой главе вычислены компоненты однопетлевого поляри зационного оператора для квазичастиц дираковского типа в графене.

Вычислена свободная энергия взаимодействия плоского листа графе на с параллельным металлом. Детально рассмотрены исключительные свойства данной системы при конечных температурах.

Динамика квазичастиц в графене хорошо описывается в рамках 2 + 1– мерной модели Дирака. Все наиболее важные свойства низкоэнерге тических возбуждений включены в эту модель: линейность спектра при энергиях ниже примерно 2 эВ, очень малая массовая щель и “скорость света” внутри слоя графена vF. Более того, взаимодействие квазича стиц с классическим или квантовым электромагнитным полем напря мую описывается в рамках этой модели введением ковариантной произ водной с помощью электромагнитного вектор - потенциала Aµ. Таким образом, имеем дело с моделью, описываемой следующим классическим действием (предполагая, что плоскость графена лежит при x3 = 0):

1 / d4 x Fµ + d3 x D, (37) S= где D = (i0 µ eA0 )0 + vF [ 1 (i1 eA1 ) + 2 (i2 eA2 )] m. (38) / В формуле (38) µ - химический потенциал, m - массовая щель. Так как в графене имеется N = 4 типа фермионов, то имеем прямую сумму четы рех 2 2 представлений (две копии каждого из двух неэквивалентных), 0 = ( 1,2 )2 = 1.

В квадратичном приближении эффективное действие Se (A) для взаимодействия дираковских квазичастиц с электромагнитным полем есть d3 p A (p)jl (p)Al (p), (39) Se (A) = 3j 2 (2) где поляризационный оператор mn может быть записан в импульсном пространстве как dq0 d2 q mn tr S(q0, q) m S(q0 p0, q p) n, (40) (p0, p) = ie (2) и пропагатор квазичастиц в графене равен (q0 + µ)0 vF q m / (41) / S(q0, q) D |Aµ =0 =.

(q0 + µ + i sgnq0 )2 vF q2 m Заметим, что из-за квазирелятивистской природы возбуждений в гра фене S также зависит от скорости Ферми vF. Здесь qj = (q 1, q 2 ), q = / 1 q1 + 2 q2.

Из-за лоренцевой и калибровочной инвариантности поляризацион ный тензор в пустом пространстве может быть полностью определен вычислением одной скалярной функции. При наличии среды, характе ризуемой скоростью u, для полного определения четной по четности части ij необходимы две функции [8] 1 m ji 0 A(p0, p) + p2 ji B(p0, p) i mn = n (42) 2 j 0u vF pj pi pj pi pj ui + uj pi uj ui ji ji ji =g 2, = 2 + p 0 u (u) p p (u) p p где = diag(1, vF, vF ), и A, B - скалярные функции. Заметим, в этом выражении мы учли вышеупомянутую квазирелятивистскую природу возбуждений в графене, введя подходящую зависимость от vF. Векторы с тильдой отмасштабированы домножением пространственных компо j нент на vF, т.е., pj i pi = (p0, vF p).

В системе покоя среды, u = (1, 0, 0), скалярные функции A, B могут быть выражены через временную компоненту поляризационного опера тора и его след следующим образом (p2 p2 p2, p2 p2 vF p2 ):

3 0 p2 p2 + p 1 A = 3 00 + tr, (43) B= 2 2 00 + tr.

p2 p vF p Ясно, что мы можем выразить A, B через любую пару компонент.

Мы выбираем tr m и 00 для удобства дальнейших вычислений.

m Определим e2 4 = 4/137. В результате суммирования по фер мионным Мацубаровским частотам при температуре T получаем сле дующее представление для 00 и tr :

2N T 0 + b 0 + b tr,00 = 2 dx ftr,00 tanh ln 2 cosh vF 2T 2T + (0 0 ), (44) m2 x(1 x)(p2 vF p2 ), b = p0 x µ, и где 0 = 2vF p2 x(1 x) p0 (1 2x)0 + (45) f00 =, 4T 2m2 vF + 2x(1 x)vF p 2 ftr = 4T 2 p0 (1 2vF )(1 2x) 2(1 vF ) (46).

4T Для дальнейшего использования в формуле Лифшица для свобод ной энергии Казимира находятся коэффициенты отражения для попе речной магнитной и поперечной электрической волн электромагнитного поля в терминах компонент поляризационного тензора:

p2 00 + p2 tr p3 00 (47) rTM =, rTE =.

p3 00 + 2ip2 p3 00 + p2 (tr 2ip3 ) Подчеркнем, что результаты (47) получены для свободного отдельно стоящего листа графена.

В 1955 году Лифшиц показал, что взаимодействие Казимира между двумя параллельными диэлектрическими слоями может быть выраже но в замкнутом виде, если известны их диэлектрические проницаемости на мнимых частотах [9]. Кац показал [10], что для любых двух парал лельных поверхностей, разделенных расстоянием a с коэффициентами (1) (2) отражения rTE,TM, rTE,TM для TE и TM электромагнитных мод, плот ность свободной энергии Лифшица можно записать d2 p (1) (2) (1) (2) ln[(1 e2pn a rTE rTE )(1 e2pn a rTM rTM )], (48) F =T n= где pn = n + p2, и n = 2nT - Мацубаровские частоты. Коэффици енты отражения здесь берутся при евклидовых импульсах r = r(n, p).

Выбирая в качестве взаимодействующих поверхностей плоский лист графена и параллельный идеально проводящий металл, подставим в формулу (48) соответствующие коэффициенты отражения. Для идеаль ного проводника имеем (2) (2) (49) rTM = 1, rTE = 1.

Коэффициенты отражения листа графена при евклидовых импульсах могут быть найдены после подстановки p0 = i2nT = in в формулы (44)–(47).

Высокотемпературная асимптотика свободной энергии (4T a 1) для взаимодействия плоского листа графена с идеальным металлом да ется выражением T (3) (0) (50) F0TM = FDrude |T = Fid |T, 16a2 что в точности совпадает со взаимодействием двух металлов при вы сокой температуре, описываемых моделью Друде, или, эквивалентно, равно половине асимптотики взаимодействия двух идеальных металлов при высокой температуре, Fid. Вклад TE моды на больших расстояниях подавлен фактором vF и дополнительным фактором 1/a. Таким обра зом, на больших расстояниях (или при высоких температурах) получа ем очень сильное взаимодействие Казимира для системы одноатомной толщины. Эта особенность дает великолепную возможность для экспе риментального изучения температурного эффекта Казимира в системах графен-металл, графен-графен при комнатных температурах. Энергия на больших расстояниях практически не зависит от модели, которая используется для описания проводимости металла.

При vF 0 вклад в свободную энергию системы графен – идеаль ный металл при стремлении температуры к нулю равен N N (51) F = ln 1 + 8/(N ), T 0 128a3 256a Рис. (0) Отношение 1 свободной энергии к высокотемпературной асимптотике F0TM. Ис пользованы значения m = µ = 0, T = 300K т.е. составляет около 2.6% от взаимодействия двух идеально проводя щих параллельных пластин. Отличие между (51) и результатом при температуре T = 0 и vF = 1/300 скорости света составляет менее 1%.

Далее в седьмой главе получена приближенная аналитическая фор мула для суммы ненулевых Мацубаровских членов в свободную энер гию. Показано, что при T = 300K на расстояниях a порядка 100 нм в системе графен–металл происходит переход к режиму высоких темпе ратур.

На Рис.7 показано отношение 1 свободной энергии Лифшица F (0) (48), деленной на высокотемпературную асимптотику F0TM (50) при T = 300K для двух систем: графен – идеальный металл и идеальный металл – идеальный металл. Из Рис. 7 следует, что система графен – идеальный металл приближается к асимптотическому значению суще ственно быстрее, чем система идеальный металл – идеальный металл.

Это объясняется следующим поведением компонент поляризационного Рис. Отношение 2 свободной энергии для системы графен – идеальный металл при усло виях µ = m = 0 к свободной энергии системы идеальный металл – идеальный металл при температуре T = 300K оператора при ненулевых частотах p2 cn + O(p4 ), tr (n ) T cn + O(p2 ), 00 (n ) n 1, T |p|0 |p| которое дает дополнительное подавление соответствующих вкладов в свободную энергию. Из-за этого подавления нулевой Мацубаровский TM член доминирует в температурной зависимости свободной энергии для системы графен – металл на значительно более коротких расстоя ниях, чем в системе металл – металл.

На Рис. 8 изображено отношение 2 свободной энергии системы гра фен – металл к свободной энергии идеальный металл – идеальный ме талл на расстояниях менее 300 нм и T = 300K. В численных расчетах свободной энергии для полупространства из золота и параллельного слоя графена использована плазма модель для диэлектрической про ницаемости золота (i) = 1 + p / 2 с плазменной частотой p = 9. эВ, коэффициенты отражения от полупространства из золота являют ся стандартными коэффициентами Френеля для TM, TE мод. Заметим, на малых расстояниях поведение свободной энергии для системы золо то – графен отличается на одну степень a от свободной энергии системы графен – идеальный металл. Данное изменение степенного закона за кономерно при приближении к малым расстояниям, так как переход от режима запаздывания к режиму без запаздывания происходит на расстояниях, характеризуемых длиной волны материала p = 2/p.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Цитируемая литература 1. H. B. G. Casimir, On the Attraction Between Two Perfectly Conducting Plates, Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch. 51, 793–795 (1948).

2. A. Chodos, R. L. Jae, K. Johnson, C. B. Thorn and V. F. Weisskopf, A New Extended Model Of Hadrons, Phys. Rev. D 9, 3471–3495 (1974).

3. T. P. Branson and P. B. Gilkey, Residues of the eta function for an operator of Dirac type, J. Funct. Anal. 108, 47–87 (1992);

Residues of the eta function for an operator of Dirac type with local boundary conditions Dierential Geom. Appl. 2, 249–267 (1992) 4. G. Barton and N. Dombey, Casimir eect for massive photons, Nature 311, 336 – 339 (1984);

The Casimir eect with nite - mass photons, Ann. Phys. 162, 231 – 272 (1985).

5. O. M. Rayleigh, On the Dynamical Theory of Gratings, Proc.Roy.Soc.A 79, 399 – 416 (1907).

6. H. B. Chan, Y. Bao, J. Zou, R. A. Cirelli, F. Klemens, W. M. Manseld, and C. S. Pai, Measurement of the Casimir Force between a Gold Sphere and a Silicon Surface with Nanoscale Trench Arrays, Phys. Rev. Lett.

101, 030401, 1–4 (2008).

7. H. B. G. Casimir and D. Polder, The Inuence of Retardation on the London-van der Waals Forces, Phys. Rev. 73, 360–372 (1948).

8. V. Zeitlin, QED2+1 with nonzero fermion density and the quantum Hall eect, Phys. Lett. B 352, 422–427 (1995).

9. Е. М. Лифшиц, Теория сил Ван-дер-Ваальса, ЖЭТФ 29, 94–104 (1955).

10. Е. И. Кац, Влияние эффектов нелокальности на вандерваальсовское взаимодействие, ЖЭТФ 73(1), 212-220 (1977).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. A.Lambrecht and V. N. Marachevsky, Casimir Interaction of Dielectric Gratings, Phys.Rev.Lett. 101, 160403, 1–4 (2008).

2. A. Lambrecht and V. N. Marachevsky, Theory of the Casimir eect in one-dimensional periodic dielectric systems, Int. J. Mod. Phys. A 24, 1789–1795 (2009).

3. A. Lambrecht and V. N. Marachevsky, New geometries in the Casimir eect: dielectric gratings, Journal of Physics: Conference Series 161, 012014, 1–8 (2009).

4. В. Н. Марачевский, Теория эффекта Казимира для трёхмерных си стем с одномерной периодичностью, Вестник Санкт-Петербургского университета, Сер. 4, Вып. 4, 297–302 (2009).

5. V. N. Marachevsky, Theory of the Casimir eect for gratings, 280–288, in Quantum Field Theory under the inuence of external conditions (QFEXT09) (World Scientic, Singapore, 2010).

6. H.-C. Chiu, G. L. Klimchitskaya, V. N. Marachevsky, V. M. Mostepanenko, and U. Mohideen, Demonstration of the asymmetric lateral Casimir force between corrugated surfaces in the nonadditive regime, Phys. Rev. B 80, 121402, 1–4 (2009).

7. H.-C. Chiu, G. L. Klimchitskaya, V. N. Marachevsky, V. M. Mostepanenko, and U. Mohideen, Lateral Casimir Force Between Sinusoidally Corrugated Surfaces: Asymmetric Proles, Deviations from the Proximity Force Ap proximation, and Comparison with Exact Theory, Phys. Rev. B 81, 115417, 1–20 (2010).

8. V. N. Marachevsky and D. V. Vassilevich, Chiral anomaly for local boundary conditions, Nucl.Phys.B 677, 535–552 (2004).

9. V. N. Marachevsky, Spectral functions and their applications, in “Lectures on the Physics of Highly Correlated Electron Systems VIII: Eight Training Course”, edited by A.Avella and F.Mancini, AIP Conf. Proceedings 715, 215–224 (2004).

10. V. N. Marachevsky, Chiral anomaly with MIT bag boundary conditions, Czechoslovak Journal of Physics 55, 651–656 (2005).

11. V. N. Marachevsky, Casimir energy of two plates inside a cylinder, QUARKS-2006 Proceedings, 1–7 (2006).

12. V. N. Marachevsky, Casimir interaction of two plates inside a cylinder, Phys.Rev.D 75, 085019, 1–6 (2007).

13. V. N. Marachevsky, Casimir interaction: pistons and cavity, J.Phys.A:

Math.Theor. 41, 164007, 1–7 (2008).

14. A. Edery and V. Marachevsky, The perfect magnetic conductor (PMC) Casimir piston in d+1 dimensions, Phys.Rev.D 78, 025021, 1–10 (2008).

15. A. Edery and V. N. Marachevsky, Compact dimensions and the Casimir eect: the Proca connection, JHEP 12, 035, 1–18 (2008).

16. В.Н.Марачевский, Ю.М.Письмак, Эффект Казимира-Полдера для плоскости со взаимодействием Черна-Саймонса, Вестник Санкт Петербургского университета, Сер.4, Вып.4, 102–108 (2008).

17. V. N. Marachevsky and Yu. M. Pis’mak, Casimir-Polder eect for a plane with Chern-Simons interaction, Phys.Rev.D 81, 065005, 1–6 (2010).

18. I. V. Fialkovsky, V. N. Marachevsky and D. V. Vassilevich, Finite temperature Casimir eect for graphene, Phys.Rev.B 84, 035446, 1– (2011).

19. V. N. Marachevsky, Casimir energy of a dilute dispersive dielectric ball:

realistic microscopic model, Int. J. Mod. Phys. A 17, 786–789 (2002).

20. V. N. Marachevsky, Casimir energy of dielectric systems, Nucl.Phys.B Proc.Suppl. 104, 169–172 (2002).

21. В. Н. Марачевский, Эффект Казимира и квантовая теория поля в диэлектриках, Теоретическая и Математическая Физика 131, 26– (2002).



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.