авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ТИХООКЕАНСКИЙ ОКЕАНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.И. ИЛЬИЧЕВА

На правах рукописи

Трофимов Михаил Юрьевич Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

01.04.06 акустика Владивосток 2009

Работа выполнена в Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильи чева ДВО РАН.

доктор физ.-мат. наук,

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН, профессор А.А. Буренин доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент РАН, профессор М.А. Гузев доктор физ.-мат. наук, профессор И.О. Ярощук Институт гидродинамики

Ведущая организация:

им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится 11 декабря 2009 года в часов на заседании диссертаци онного совета Д 005.017.01 при Тихоокеанском океанологическом институте по адресу: г. Владивосток, ул. Балтийская, 43, ТОИ ДВО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТОИ ДВО РАН.

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 005.017. доктор технических наук, профессор В.И. Коренбаум

Общая характеристика работы

Актуальность темы Математическое моделирование распространения звуковых и внутренних волн в океане важно не только для более глубокого понимания этих процессов, но и для решения различных прикладных задач. В последнее время интересные для практики задачи относятся в основном к океанскому шельфу, мелким мо рям и заливам, что приводит к необходимости разработки математических моделей, учитывающих особенности таких акваторий.

Типичные задачи подводной акустики состоят в определении звукового поля в некоторой области пространства по данным, измеренным в отдельной точке или на кривой (трассе). Таким образом, соответствующие математи ческие модели должны допускать постановку начально-краевых задач, эво люционных по выделенной пространственной переменной. Такие задачи для типичных волновых уравнений (уравнение Гельмгольца, классическое вол новое уравнение) являются, как правило, некорректными. Поэтому на прак тике большое распространение получили модели однонаправленного распро странения, которые получаются лучевым методом (методом ВКБ), а также методом параболического уравнения.

Метод параболического уравнения, широко применяющий также для ре шения задач распространения электромагнитных и поверхностных волн, по явился в работах М. А. Леонтовича и В. А. Фока при рассмотрении задач приземного распространения радиоволн, далее развивался трудами много численных отечественных и зарубежных исследователей, в (далеко не пол ный) список которых входят Г. В. Малюжинец (электромагнитные волны), F. D. Tappert, Н. Е. Мальцев, К. В. Авилов, О. А. Годин,M. D. Collins, S. T. McDaniel, B. J. Orchard, P. Joly, J. A. Kriegsmann, L. Fishman и W. L. Sieg mann (подводная акустика и сейсмика), J. T. Kirby, R. A. Dalrymple, C. C. Mei, P. L. Liu (поверхностные волны). Количество работ, связанных с этим мето дом, достаточно велико.

Наиболее распространенным методом получения параболических моделей является метод факторизации с последующей рациональной аппроксимаци ей операторного квадратного корня. Следует отметить, что в этом методе коммутатор операторного квадратного корня с оператором дифференциро вания по эволюционной переменной считается пренебрежимо малым и тем самым предполагается лишь слабая зависимость коэффициентов исходного волнового уравнения от эволюционной переменной. Поэтому такой подход применим при рассмотрении только достаточно крупномасштабных задач, в случаях, когда допустимо усреднение по вариациям параметров среды более мелких масштабов.

При рассмотрении мезомасштабных и мелкомасштабных задач подвод ной акустики необходим тщательный учет переменности свойств среды, как водной, так и морского дна. В таких задачах большое значение имеет го ризонтальная рефракция звука, а также рефракция и рассеяние звука на внутренних волнах (Наугольных и др., Кацнельсон и др.). Для учета этих факторов вывод параболических моделей следует производить с использо ванием асимптотических методов, их которых наиболее подходящим пред ставляется метод многих масштабов. Известные ранее примеры применения этого метода (Orchard et al.) содержат неточности и в целом не достигают указанной цели.

Классический метод параболического уравнения применим только для сред с бесконечно малым изменением показателя преломления по попереч ным переменным. Этот вопрос подробно разобран в третьем разделе первой главы диссертации. Поскольку при включении в рассмотрение морского дна вертикальные изменения скорости звука и плотности не могут считаться бес конечно малыми, большое значение для подводной акустики среднего и мало го масштабов имеет разработка моделей, использующих модовое представ ление волнового поля по вертикали и параболических по горизонтальным переменным. Впервые такое уравнение (adiabatic mode parabolic equation) получил Collins (1993) методом факторизации и применил к одной крупно масштабной задаче. Проблема получения таких моделей (как стационарных, так и нестационарных), пригодных для расчета звуковых полей в мелком море, является актуальной. Для таких уравнений следует ставить условия прозрачности на искусственных границах, ограничивающих расчетную об ласть. Граничные условия такого типа рассматривались в многочисленных работах, но задача их получения остается весьма актуальной.



Задача разработки простых моделей распространения внутренних волн в непрерывно стратифицированном океане с переменной топографией дна важна как сама по себе, так и в связи с существенным влиянием этих волн на звуковое поле. Развитие для этих волн метода параболического уравнения, хорошо работающего для поверхностных волн, является актуальной задачей.

Цель работы Получить новые параболические модели для двумерных и трехмерных за дач распространения звуковых и внутренних волн в океане, рассмотреть и исследовать постановки основных начально-краевых (смешанных) задач для полученных уравнений, численно реализовать полученные модели и прове сти тестирующие модельные расчеты.

Вывести новые граничные условия прозрачности для параболических и волновых уравнений.

В качестве первого шага к построению модовых моделей распространения волн в движущейся среде построить теорию возмущений спектральных задач для звуковых и внутренних волн с учетом течения.

Методы исследования Для вывода уравнений применялся обобщенный метод многих масштабов и метод разложений по собственным функциям самосопряженных обыкно венных дифференциальных операторов. Для анализа начально-краевых за дач применялись классические методы общей теории уравнений в частных производных. В отдельных задачах использовались элементы спектральной теории операторных пучков и теории упорядоченных операторов. Для про верки полученных моделей были использованы тестовые численные расчеты и выполнено сравнение с точными и приближенными (приближение Борна) аналитическими решениями.

Научная новизна В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

- Разработаны параболические модели для задач распространения звука в нестационарных морских волноводах с зависящими от пространственных переменных и времени параметров и течениями;

- Рассмотрена в характерном для задач распространения звука в океане случае проблема применения стандартного параболического уравнения для двумерных волноводов, имеющих границу раздела, на которой показатель преломления имеет конечный скачок (разрыв первого рода);

- Систематически развит метод многих масштабов в сочетании с методом разложения по собственным функциям для вывода широкоугольных модо вых параболических уравнений;

- Выведены широкоугольные модовые параболические уравнения, учиты вающие все основные характеристики звуковых волноводов в мелком море и излучение звука в другие моды;

- Разработан метод параболического уравнения для внутренних волн;

- На основе лучевого метода получены и численно реализованы простые абсорбирующие граничные условия для численного решения краевых задач для параболического и волнового уравнений в неограниченных областях;

- Методом упорядоченных операторов получены абсорбирующие гранич ные условия для численного решения смешанных задач для волнового урав нения в неограниченных волноводах с сильной стратификацией скорости зву ка;

- Разработаны методы асимптотического решения спектральных задач для операторных пучков, относящихся к звуковым нормальным волнам на слабом течении и внутренним нормальным волнам на течении со слабым сдвигом, являющиеся расширением классического метода Рэлея для самосо пряженных задач.

Практическая значимость работы Полученные результаты могут быть использованы для акустического мони торинга акваторий и проектирования систем обнаружения подводных объ ектов на акваториях.

Выведенные уравнения могут быть использованы для новых постановок обратных задач нахождения свойств морской среды по измеряемому звуко вому полю или полю внутренних волн.

Параболическое уравнение для внутренних волн может быть использова на для прогноза внутреннего волнения в морях и заливах, включая аквато рии портов.

Апробация работы и публикации Бльшая часть результатов работы доложены на семинаре “Нелинейная ди о намика” Тихоокеанского океанологического института ДВО РАН(руководитель д.ф.-м.н, профессор С. В. Пранц.). Часть результатов докладывалась на школе-семинаре им. Бреховских (Москва)(1998 и 2003 гг), VII Дальнево сточной научно-технической конференции по судовой радиоэлектронике (1- мая 1994 г.) Владивосток,1994, IV Всероссийской акустической конференции “Исследование и освоение Мирового океана”, 22-23 декабря 1998 г. Владиво сток, 1998, The 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996, The Sixth Pan Ocean Remote Sensing Conference (PORSEC), Bali, 3- September 2002, Дальневосточной школе-семинаре им. Золотова, МЭС “Во сток”, 2008, конференции памяти Шишмарева, Владивосток, 2008, междуна родном семинаре “Акустика неоднородных сред Х”, Новосибирск, 1-6 июня 2009. Полностью материалы диссертации были доложены на расширенном семинаре лаборатории механики деформируемого твердого тела Института автоматики и процессов управления ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, чл. корр. РАН А. А. Буренин), расширенном семинаре отдела физики океана и атмосферы (руководитель д.ф.-м.н, профессор С. В. Пранц), объединен ном семинаре Института прикладной математики ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, чл.-корр. РАН М. А. Гузев), Акустическом семинаре Тихоокеан ского океанологического института (руководитель д.ф.-м.н, чл.-корр. РАН Г. И. Долгих).

Основные результаты работы опубликованы в 13 статьях, вышедших в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов доктор ских диссертаций. Список этих, а также некоторых дополнительных работ приведен в конце реферата.

Личный вклад автора В работах теоретического характера автору принадлежат постановки задач и основные результаты, в работах, выполненных совместно с эксперимента торами, автором сделан определяющий вклад в теоретическую часть работы.

Структура и объем работы Диссертация состоит из предисловия, введения, четырех глав и заключения.

Объем работы 274 страницы, в ней содержится 44 рисунка и библиография из 169 наименований.

Содержание диссертации В предисловии кратко обсуждается история вопроса и отмечается вклад различных авторов в решение основных задач.

Во введении обсуждаются особенности постановок задач распростране ния акустических волн в океане, на характерном примере излагается основ ной метод предлагаемой работы метод многомасштабных разложений и его применение для получения параболических моделей.

В первой главе получены параболические уравнения для квазимонохро матических пакетов звуковых волн в нестационарных волноводах и обсужде на проблема применения стандартного параболического уравнения для дву мерных волноводов с границами раздела, при переходе через которые пока затель преломления имеет конечный скачок.

В первом разделе приведен вывод некоторых волновых уравнений, описы вающих распространение звука в нестационарных движущихся средах, ко торые будут применяться в последующих частях работы.

Во втором разделе рассмотрено построение параболических приближе ний для уравнения распространения звука в нестационарных волноводах (пе ременные обезразмерены) 1 1 1 px + py + pz n pt = 0, x y z t где p акустическое давление, = (x, y, z, t) плотность, n = 1/c пока затель преломления, c = c(x, y, z, t) скорость звука.

Построение математических моделей распространения звука в нестацио нарных средах актуально для изучения влияния на звуковое поле волн дру гой природы, например, внутренних.

Применяя метод многих масштабов с медленными переменными T = t, X = x, Y = 1/2 y, Z = 1/2 z, одной быстрой переменной = (1/)(X, Y, Z, T ) и разложениями n2 = n2 (X, T ) + (X, Y, Z, T ), p = p0 (X, Y, Z, T, ) + p1 (X, Y, Z, T, ) +..., мы находим, что pj = Aj (X, Y, Z, T ) exp((i/)(X, Y, Z, T ), где фаза удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби (X )2 n2 (T )2 = (X + n0 T ) (X n0 T ) = 0, (1) и получаем уравнения для амплитуд Aj 1 1 (2) 2in0 [Aj,X + n0 Aj,T ] + Aj,Y + Aj,Z + Aj = F, Y Z где = T локальная частота, 1 12 F= Aj1,X n0 Aj1,T + 2i Aj1,T X T (3) 1 +i T Aj1 Aj2,T.

T T Эти уравнения записаны для волн, распространяющихся в положительном направлении и мы полагаем, что Al = 0 для l 0.

Полученные уравнения проще, чем известные ранее (Orchard et al., Collins). Показано, что система из первых двух уравнений обобщает извест ное широкоугольное уравнение, полученное методом факторизации с дробно линейной аппроксимацией квадратного корня из вертикального оператора, причем наши уравнения содержат некоторые дополнительные члены, кото рые методом факторизации не улавливаются.





Из уравнения для A0 и уравнения Гамильтона-Якоби получается замкну тое уравнение для p0, имеющее первый порядок по переменной x. Это уравне ние обобщает известное 15o уравнение сейсмической миграции (Клаербоут), для которого в литературе имеются только эвристические выводы.

Далее излагается только двумерный случай, допускающий, как это видно из полученного уравнения, прямое обобщение на трехмерный.

Для задач моделирования звуковых волн в океане наибольший интерес представляют начально-краевые задачи для уравнения Гамильтона-Якоби (1) и параболических уравнений (2) с начальными данными при X = 0 в области = {Z0 Z Z1 } {T0 T T1 }.

Для энергетической нормы T1 Z |X A0 |2 dZdT.

E(X) = T0 Z при выполнении некоторых простых и естественных требований к граничным условиям, поставленных на, имеет место Теорема 1. Энергетическая норма решения начально-краевой задачи для уравнения (2) при j = 0 удовлетворяет неравенству X n0,s (s, T ) (4) E(X) E(0) · exp sup ds n0 (s, T ) T Если n0 представим в виде n0 = n0 (X)a(T ), верно неравенство n0 (X) (5) E(X) E(0) sup a(T ).

n0 (0) T Непосредственным следствием этой теоремы является единственность ре шения цепочки начально-краевых задач для уравнений (2), решаемых после довательно, в пространствах вида C([0, X], L2 ()).

Предложенный подход к широкоугольным параболическим моделям в ви де треугольной системы уравнений дает естественную параллелизацию ал горитмов численного решения начально-краевых задач.

Полученные уравнения, записанные в характеристических координатах, принимают вид однопараметрического семейства формально стационарных параболических уравнений, что дает метод их решения, допускающий высо кую степень распараллеливания.

В последнем подразделе рассмотрены параболические уравнения, учиты вающие течения. Показано, что для них выполняются приведенные выше оценки и верны теоремы единственности. С целью проиллюстрировать зна чимость введения скоростей течений в параболическое уравнение приведен численный пример.

В третьем разделе рассмотрена задача о применении стандартного (узко угольного) параболического уравнения к расчету поля в двумерном волново де с границей раздела, на которой показатель преломления имеет конечный скачок. Здесь рассматривается стационарный случай, когда волновое поле описывается уравнением Гельгольца uxx + uzz + k0 n2 u = Основатели метода параболического уравнения (Фок, Тапперт) неодно кратно подчеркивали то обстоятельство, что вывод этого уравнения, эври стический или формальный, требует, чтобы вариации показателя прелом ления n по отношению к трансверсальной (вертикальной) переменной были бесконечно малыми (порядка при асимптотическом выводе). Тем не менее, это уравнение используется в многочисленных работах по подводной акусти ке для вычисления звуковых полей в слоистых средах с конечным скачком показателя преломления на границах раздела, причем условия на этих гра ницах ставятся такие же, как для уравнения Гельмгольца.

В разделе рассмотрен вопрос о применении метода параболического урав нения к для задач в двуслойной среде с конечным скачком показателя пре ломления на границе слоев в типичном для подводной акустики случае, ко гда показатель преломления в нижнем слое меньше, чем в верхнем (водном) слое.

Предположим, что, в верхнем слое волновое поле описывается стандарт ным параболическим уравнением, записанным в нерастянутых координатах координатах (x, z) 2ikBx + ikx B + Bzz + k0 B = 0, где волновое поле представлено в виде u = B exp(i), k = x, квадрат пока зателя преломления представляется в виде n2 = n2 (x) + (x, 1/2 z), и фаза есть решение уравнения Гамильтона-Якоби (x )2 = k0 n2.

Стандартные условия сопряжения на границе раздела, состоящие в непре рывности давления и колебательной скорости, включают как амплитуду вол нового поля, так и фазу (что ранее упускалось) и приводят к тому, что в нижнем слое параболическое приближение неприменимо и волновое поле мо жет описываться только полным уравнением Гельмгольца. Учитывая форму представления поля, это уравнение удобно записывать в форме приведенного уравнения Гельмгольца 2ikBx + 2ilBz + i(kx + lz )B + Bxx + Bzz + k0 B = 0, где волновое поле и показатель преломления представляются так же, как и в верхнем слое, k = x, l = z, и фаза удовлетворяет уравнению Гамильтона Якоби (x )2 + (z )2 k0 n2 = 0.

Условия на границе раздела, записанные с учетом фазы, вместе с услови ем непрерывности фазы на этой границе, приводят к тому, что в нижнем слое фаза должна иметь положительную мнимую составляющую. Поэтому вол новое поле в нижнем слое имеет характер экспоненциального пограничного слоя. Далее применяются идеи метода ВКБ с комплексной фазой (Маслов), которые состоят в том, что в таком случае можно рассматривать решения, асимптотические при стремлении мнимой части фазы к нулю. При некото рых предположениях о поведении показателя преломления в нижнем слое Transmission loss, dB 0 2000 4000 6000 8000 10000 Distance, m Рис. 1: Зависимость относительной интенсивности волнового поля (потери на рас пространение) на оси волновода для решения с полученными в разделе граничны ми условиями (сплошная линия) и решения методом нормальных мод (штриховая линия).

такое асимптотическое решение для нижнего слоя может быть найдено в яв ном виде, а поскольку оно определяется значениями поля на границе слоя, то дает граничные условия для волнового поля в верхнем слое. Тем самым задача сводится к решению начально-краевой задачи для параболического уравнения в верхнем слое с найденными граничными условия, после реше ния которой поле в нижнем слое находится по явным формулам.

Попытки найти граничные условия, замыкающие задачу для верхнего слоя, предпринимались и ранее (Papadakis et al, Arnold, Ehrhardt) но в этих работах комплексный характер фазы в нижнем слое (как, впрочем, и сама фаза) не принимался во внимание, что привело к неверным результатам.

Численные примеры, выполненные для волновода Пекериса с глубиной водного слоя, равной 100 м, подтвердили теоретические соображения. На рис. 1 приведены графики зависимости относительной интенсивности волно Transmission loss, dB 0 2000 4000 6000 8000 10000 Distance, m Рис. 2: Зависимость относительной интенсивности волнового поля (потери на рас пространение) на оси волновода для решения с традиционными условиями на гра нице раздела (сплошная линия) и решения методом нормальных мод (штриховая линия).

вого поля на оси волновода от расстояния (кривые потерь при распростра нении). В качестве начальных условий использовалась сумма распростра няющихся мод с равными коэффициентами. Отметим, что такое начальное условие является достаточно трудным для узкоугольного (стандартного) па раболического уравнения. Приведенные на рис. 2 результаты вычислений с традиционными граничными условиями практически совпадают результата ми использования граничных условий из работы (Papadakis et al).

Вторая глава посвящена построению и анализу параболических моде лей распространения трехмерных звуковых полей и полей внутренних волн в морских волноводах.

В первом разделе параболические модели трехмерного распространения звука построены в стационарном случае, когда волновое поле описывается уравнением Гельмгольца (Px )x + (Py )y + (Pz )z + n2 P = 0, (6) записанного в безразмерных переменных, где P акустическое давление, показатель преломления, = 1/, плотность, обезразмеренная с n использованием типичного значения плотности. Полагая, что ось x задает преимущественное направление распростране ния волн, медленные переменные вводятся соотношениями X = x, Y = 1/2 y, Z = z. Такие масштабы приводят к параболическим уравнениям в гори зонтальных переменных, по вертикальному направлению естественным об разом выявляется модовая структура. Малый параметр имеет, как обыч но, геометрический смысл и показывает соотношение длин рассматривае мых волн и характерных размеров неоднородностей среды. Показатель пре ломления представляется в виде n2 = n2 (X, z) + (X, Y, z), где n0 веще ственно, а мнимая часть показателя преломления, связанная с поглоще нием звука, отнесена к. Параметр имеет аналогичное представление = 0 (X, z) + 1 (X, Y, z). Параметры среды могут иметь разрывы на по верхностях z = h(x, y), для которых в медленных переменных постулируется представление h = h0 (X) + h1 (X, Y ). Таким образом, приняты во внимание все характерные особенности акустической среды мелкого моря, включая дно, за исключением течений.

Применение метода многих масштабов в этом случае дает узкоугольное модовое параболическое уравнение (7) 2ikj AX + ikjX A + AY Y + A = 0, для амплитуды нормальной моды с волновым числом kj, звуковое поле здесь представляется в виде P = A(X, Y ) exp((i/)(X, Y ))j (X, z), где j есть решение известной спектральной задачи с собственным значением kj, в которую входит только главная часть показателя преломления n0. В качестве уравнения Гамильтона-Якоби здесь выступает соотношение X = kj.

Коэффициент выражается формулой умеренной сложности, в которую входят интегралы от собственных функций по вертикали и скачки на поверх ности раздела некоторых величин, выражааемые через собственные функ ции, плотность и показатель преломления.

Следующее приближение по параметру дает параболическое уравнение для широкоугольной поправки 2ikj BX + ikjX B + BY Y + B + AXX + 2ikj AX + (AY )Y + AY + A = 0.

Звуковое поле широкоугольной поправки имеет вид (Bj + A Ejl l ) exp((i/)), l=j где Ejl коэффициент возбуждения моды с номером l. Таким образом, учтено то обстоятельство (впервые в рассматриваемом методе), что, взаи модействуя с неоднородностями среды, распространяющаяся мода излучает энергию во все остальные моды и тем самым порождает поле порядка иного модового состава. При этом не учитывается резонансное взаимодействия мод с периодическими неоднородностями среды, которое происходит в ведущем порядке и требует для описывается уже системой связанных параболических уравнений для амплитуд взаимодействующих мод.

Коэффициенты последнего уравнения довольно сложным образом зави сят от показателя преломления, плотности и значений модовых функций и их вертикальных производных на границах разделов, причем эти параметры могут зависеть от медленных переменных X = x, Y = 1/2 y. В выражения для этих коэффициентов входят также коэффициенты Ejl и коэффициен ты Cjl разложения производных jX собственных функций по эволюционной переменной X по самим собственным функциям jX = l Ejl l. Для коэф фициентов Ejl и Cjl найдены явные формулы.

Впервые широкоугольное уравнение адиабатического распространения мод было выведено Коллинзом (Collins) для среды с более простой струк турой. В разделе показано, что полученные уравнения являются расшире нием уравнения Коллинза, причем содержат существенные дополнительные члены.

В случае, когда плотность не зависит от горизонтальных координат, име ется закон сохранения потока энергии через плоскость (y, z). Показано, что решения выведенных уравнений удовлетворяют этому закону сохранения с точностью O(3 ).

Поскольку именно учет внутренних границ, на которых происходят скач ки показателя преломления и плотности, усложняет формулы для коэффи циентов уравнений, приведена попытка получить формулы при наличии этих границ из формул, когда таковых нет, с помощью -образных возмущений плотности и показателя преломления. Показано, что такой подход позволяет получить часть искомых формул.

Для энергетической нормы Y |kj A|2 dY, E(X) = Y при выполнении некоторых естественных требований к граничным условиям на границах Y = Y0,2 (которым, в частности, удовлетворяют однородные условия Дирихле и Неймана), установлена Теорема 2. Энергетическая норма решения начально-краевой задачи для уравнения (7) удовлетворяет неравенству kj (0) (8) E(X) E(0).

kj (X) Из этой теоремы непосредственно следует единственность решений начально-краевых задач для полученных уравнений в пространствах вида C([0, X), L2 ([Y0, Y1 ])), если на полуинтервале [0, X) kj (X) const 0.

Проведенные численные эксперименты имели цель качественного и в про стых случаях количественного тестирования выведенных уравнений. Для обеспечения поглощения волн на боковых границах расчетной области ис пользовался метод совершенно согласованных (perfectly matched) абсорби рующих слоев (PML), где первые два слова в названии метода означают отсутствие отражения волн на границе между первоначальной расчетной областью и поглощающим слоем. Показано, что введение этих слоев уве личивает устойчивость и не приводит к нарушению теоремы 2. Сравнение результатов решения методом параболических уравнений задачи рассеяния плоской волны на компактных неоднородностях дна специфической формы с результатами решения этой же задачи в борновском приближении показало их удовлетворительную согласованность.

В конце раздела помещено приложение с описанием решения задачи межмодового рассеяния плоской волны на компактных неоднородностях дна в борновском приближении (А. Д. Захаренко).

Во втором разделе приведен краткий вывод нестационарного модового параболического уравнения 1 AX + AT i AY Y + A = 0, cg 2k где A амплитуда моды с волновым числом k, cg групповая скорость моды.

Приведены (без вывода) формулы, выражающие коэффициент через характеристики среды и вертикальных модовых функций. При выводе этого уравнения среда предполагается не только неоднородной, но и медленно меняющейся по времени. Уравнение Гамильтона-Якоби в этом случае, в отли чие от случая стационарных уравнений, не является тривиальным. Поэтому существенной частью раздела являются формулы для пространственно временных лучей, отвечающих уравнению Гамильтона-Якоби. Приведен вид полученного параболического уравнения в соответствующих лучевых координатах. Отмечено, что приведение уравнения к лучевым координатам дает способ решения этого уравнения методами, разработанными для стационарных уравнений.

В третьем разделе из системы линейных уравнений, описывающей дви жения малой амплитуды невязкой стратифицированной жидкости с гармони ческой зависимостью от времени t вида eit получено узкоугольное модовое параболическое уравнение для внутренних волн 1 1 kx 0 (H0 ) · H1 · (z (x, H0 ))2 A = 0, Ax + Ayy A 2ik 2k 2ik в котором A амплитуда моды с модовой функцией и волновым числом k, частота внутренних волн, H0 + H1 топография дна, причем H0 может медленно меняться вдоль оси x, а H1 H0 также и по оси y.

Параболическое уравнение выведено для непрерывно стратифицирован ной среды с фоновой плотностью, не меняющейся по горизонтали. Поле внут ренних волн выражается через амплитуду A, собственную функцию и фазу формулой, совершенно аналогичной соответствующей формуле для стаци онарного акустического случая, причем в качестве уравнения Гамильтона Якоби также выступает спектральная задача для мод, куда k входит как спектральный параметр.

Отметим, что хотя для внутренних волн известно уравнение Кадомцева Петвиашвили для двуслойной жидкости (Chen, Liu, 1995), простое линей ное параболическое уравнение для среды с непрерывной стратификацией нами выведено впервые. Несмотря на то, что нелинейность играет существен ную роль в распространении внутренних волн, переменность коэффициентов уравнения имеет превалирует над нелинейностью в задачах с сильно пере менной топографией дна и небольшой дистанцией распространения. Таким образом, полученное уравнение пригодно для расчетов внутренних волн в небольших морях и заливах.

Постановка и анализ начально-краевых задач для полученного уравнения во многом аналогична акустическому случаю. Для введенной выше энерге тической нормы установлена Теорема 3. Энергетическая норма решения начально-краевой задачи для параболического уравнения удовлетворяет равенству k(x) E(x) = E(0).

k(0) Из этой теоремы непосредственно следует единственность решений начально-краевых задач для полученного уравнения в пространствах вида C([0, X), L2 ([Y0, Y1 ])).

Проведенные численные эксперименты имели цель тестирования выве денных уравнений. На боковых границах в этом случае были применены нелокальные граничные условия прозрачности Баскакова-Попова, вывод ко торых был немного модифицирован для того, чтобы охватить интересующие нас случаи. Этот вывод приведен в приложении к первому разделу главы 3.

На примере задачи рассеяния плоской волны на компактных неоднород ностях дна специфической формы проведено сравнение результатов, полу ченных применением параболического уравнения с результатами решения в борновском приближении.

В конце раздела помещено приложение с описанием решения задачи межмодового рассеяния плоской волны на компактных неоднородностях дна в борновском приближении (А. Д. Захаренко).

В третьей главе рассмотрена задача построения абсорбирующих гра ничных условий для параболического (нестационарного уравнения Шредин гера) и волнового уравнений. Такие условия необходимо ставить на тех гра ницах расчетной области, отражение волн от которых нежелательно. Это особенно актуально для расчетов с использованием модовых параболических уравнений, где границы расчетной области редко имеют физический смысл.

Построение таких граничных условий состоит в выделении из уравнения, описывающего распространяющиеся волны той его части, которая описыва ет волны, распространяющиеся в определенном направлении. Наиболее по пулярный метод такого выделения состоит в факторизации уравнения. На пример, для уравнения типа нестационарного уравнения Шредингера iux + (x)uyy + (x, y)u = 0, факторизация iux + uyy + u i i + i x y i i u = 0, x y которая имеет приближенный характер, поскольку операторы i /y и /x i вообще говоря, не коммутируют, дает два множителя. Один из них описывает волны, распространяющиеся вдоль оси y влево, а другой вправо. Поэтому эти множители можно использовать для формулировки аб сорбирующих граничных условий на границах вида x = a, просто приравни вая соответствующий множитель нулю.

Следует, однако, заметить, что множители являются уже псевдодиффе ренциальными операторами, применение метода конечных разностей к ко торым не просто. Иногда удается построить приемлемую вычислительную процедуру, как в методе Баскакова-Попова, который изложен в приложе нии к первому разделу данной главы. Чаще используют дифференциальные аппроксимации псевдодифференциальных операторов, получая тем самым приближенные граничные условия. Впервые это было сделано в семидеся тых годах в статье Энгквиста и Майды, в основном для случая уравнений с постоянными коэффициентами.

В последнее время большую популярность приобрели абсорбирующие условия, называемые условиями Хигдона. Они имеют вид J (9) + Cj u = 0, t x j= где Cj некоторые константы. Эти условия получены формальным рассмот рением плоской волны, падающей под углом на границу, и тем самым пред назначены для уравнений с постоянными коэффициентами, хотя имеются попытки распространить их на более общий случай. В качестве коэффици ентов в этих условиях предлагается брать фазовые или групповые скорости волн, но в общем случае удовлетворительный алгоритм подбора коэффици ентов отсутствует. Хигдон доказал (в случае постоянной скорости звука c) что класс этих условий содержит все граничные условия, получаемые ап проксимациями Паде однонаправленных множителей волнового оператора (граничные условия Энгвиста-Майды).

Метод многих масштабов также позволяет построить приближенные од нонаправленные уравнения. При этом, имея в своем распоряжении фазовую функцию, можно более гибко выделять требуемое направление волн. Это соображение и используется в главе 3.

Другими словами, предлагается вместо плоских волн рассматривать ВКБ-приближения, имеющие более общую форму.

Эти идеи имеют отношение к первым двум разделам третьей главы, последний раздел использует другие соображения.

В первом разделе проведено построение новых простых условий прозрач ной границы для параболического уравнения iux + (x)uyy + (x, y)u = 0, Для этого мы растягиваем переменные одинаковым образом X = x, Y = y, вводим продолженные производные и получаем обычным образом уравне ние Гамильтона-Якоби для фазовой функции и амплитудные уравнения для амплитуд нулевого порядка A0 и первого порядка A1. Задача теперь за ключается в том, чтобы получить уравнения для нулевого приближения поля u A0 exp((i/)) и первого приближения u (A0 + A1 ) exp((i/)) Решая эту задачу, мы получаем для расчетной области a y b прибли женные абсорбирующие граничные условия нулевого порядка ux 2|k|uy ik 2 u |k|y = 0 при y = a, (10) y = b, и условия первого порядка i( + 3k 2 )uy uxy 3i|k|ux |k|(k 2 + 3)u+ (11) iy u ± |k|yy u ± 3i|k||k|y u ± 6|k|y uy = 0 при y = a, y = b, 0 1 2 3 4 x Рис. 3: Зависимость относительной интенсивности от x: сплошная линия при использовании граничных условий Баскакова-Попова, штриховая линия при ис пользовании граничных условий (11), штрих-пунктирная линия при использо вании граничных условий (10).

где k = Y и знаки ’’ и ’+’ соответствуют y = a и y = b соответственно.

Эти граничные условия для простоты записаны в предположении исчез новения потенциала на границе области. Это предположение для данного метода не является существенным и приведенные граничные условия допус кают соответствующее обобщение.

Показано, что эти условия являются обобщением граничных условий, по лученных ранее с использованием факторизации и аппроксимации Паде P и P1 квадратного корня /x i (Shibata), (Kuska).

Численные эксперименты были проведены с гауссовскими пучками, за даваемыми начальными условиями u(0, y) = exp(y 2 /a2 + ik0 y). Результаты расчетов на области 0 x 5, 10 y 10 с использованием сетки 500 400 точек представлены на рис. 3 в виде графика зависимости от x величины = y |u(x, y)|2 dy/ y |u(0, y)|2 dy. Поскольку моделируемый гауссовский пучок с параметрами a = 3, k0 = 5 проходит через боковую границу области, величина при больших x в основном показывает отно сительную интенсивность волн, отразившихся от боковых границ y = 10, y = 10. Следует отметить, что на грубой сетке условия нулевого порядка работают лучше условий первого порядка, преимущество последних про является в данном случае на сетках, бльших 1250 1000. Приведенные о результаты (см. рис. 3) показывают удовлетворительную работоспособность полученных граничных условий.

Во втором разделе построены аналогичные граничные условия для вол нового уравнения с двумя пространственными переменными uxx + uyy ut = 0.

c2 t При этом, в силу однородности волнового уравнения, допустима более общая зависимость приближенного решения от фазы u A(X, Y, T )(), что позво ляет рассматривать также и асимптотики по гладкости, используя в качестве ступенчатую функцию Хевисайда и её (обобщенные) производные.

0. 0. 0. 0. 0. 8 10 12 14 16 18 20 22 t Рис. 4: Зависимость среднеквадратичной ошибки от времени. Сплошная линия ошибка при использовании граничных условий (12), Штрих-пунктирная и штри ховая линии ошибки при использовании граничных условий Энгквиста-Майды первого и второго порядков соответственно.

Аналогично предыдущему разделу получены приближенные абсорбиру ющие граничные условия 1 (12) u + ut + (ku)x + kux + (lu)y + luy = c2 c t где = T, k = X и l = Y и вектор (k, l) на границе направлен вовне области. Показана корректность смешанной задачи для волнового уравнения с этими граничными условиями.

Численные эксперименты были проведены с волной, произведенной отработавшим малое время точечным источником. В качестве бралась функция Хевисайда, входящая в фундаментальное решение двумерного волнового уравнения. В данном случае сравнение с граничными условиями нулевого и первого порядков Энгквиста-Майды (Engquist, Majda, 1977), полученных методом факторизации, показало лчшее качество условий у (12). Так, после 380 шагов по времени ошибка (L2 -норма разности рас считанного и точного решений) составила для условий (12) 0.7575, а для условий Энгквиста-Майды нулевого и первого порядков 1.6343 и 0. соответственно. Для сравнения укажем, что ошибки при использовании условий Дирихле и Неймана составляют соответственно 11.8878 и 11.8248.

Зависимость ошибок от времени приведена на рис. 4.

В третьем разделе получено новое параболическое уравнение нестаци онарная форма range refraction параболического уравнения Тапперта и иссле довано применение этого уравнения в качестве абсорбирующих граничных условий для волнового уравнения в волноводе с сильной зависимостью скоро сти звука от вертикальной координаты y. Именно, рассматривается распро странение волн в двумерном волноводе = {(x, y)| x, a y b}, описываемое волновым уравнением 1 2u 2u 2u Lu = 2 2 2 2 = 0, c t x y и для нахождения абсорбирующих граничных условий на вертикальных гра ницах рассматривается факторизация волнового оператора на однонаправ ленные псевдодифференциальные множители 1 2 ± + (13) L=L ·L, L= ±D, D=, x c2 t2 y где используется полностью положительная ветвь квадратного корня. В ап проксимации квадратного корня в этих множителях обычно используется предположение об узкоугольном распространении по отношению к оси x, то есть считается, что оператор (1/c2 )( 2 /t2 ) = A имеет порядок O(1), а ( 2 /y 2 ) = B имеет порядок относительного некоторого малого параметра. В случае постоянной скорости звука c, когда операторы A и B коммути руют, использование обычных рациональных аппроксимаций функции квад ратного корня дает локальные (дифференциальные) волновые уравнения.

При сильной зависимости c от y операторы A и B не коммутируют даже приближенно и применимость стандартных рациональных приближений к операторному квадратному корню в уравнении (13) становится проблематич ной. На самом деле трудности возникают уже при рассмотрении аппроксима ции первого порядка (линейной по B). Эта задача в частном случае впервые была решена Фейнманом, который в своей статье начала пятидесятых годов ввел исчисление упорядоченных операторов и формулы выпутывания для них.

В конце семидесятых годов Ф. Тапперт вывел так называемое range refraction параболическое уравнение для одночастотного распространения звука в волноводах с произвольной зависимостью показателя преломления от глубины:

n2 nyy 1 1 v 1 y ivx + + k0 n+ 2 2 v = 0, 2k0 y n y 4k0 n3 n где n показатель преломления и k0 опорное волновое число. Он исполь зовал формулу выпутывания 1/2 1/ esA BesA C= ds.

для разложения (A + B)1/2 = A1/2 + C + O(2 ) В этом разделе получена формула выпутывания Тапперта из формулы Да лецкого и Крейна, относящейся к исчислению упорядоченных операторов, и верной для некоторого общего класса операторных функций f 1 f (A) f (A) + O(2 ), f (A + B) = f (A) + B 1 AA где номера над операторами (называемые Фейнмановскими номерами) опре деляют порядок, в котором они действуют.

Из приведенной формулы выпутывания получена нестационарная форма уравнения Тапперта для волн, распространяющихся вправо и влево c2 1 1 y u x ± ut cyy u(t s, x, y)ds c 4 c (cuy (t s, x, y))y ds = 0.

2 Далее рассмотрено применение этого уравнения как абсорбирующего гра ничного условия на вертикальных границах волновода. Доказана коррект ность смешанной задачи для волнового уравнения с таким граничным усло вием.

Проведенные расчеты (в диссетации не приводятся) показывают получен ные граничные условия, которые формально являются условиями первого порядка, работают лучше, чем условия Хигдона второго и третьего порядков.

В четвертой главе рассмотрена проблема вычисления нормальных мод полей звука и внутренних волн на течении, что сводится к решения некото рых спектральных задач для операторных пучков. Эта проблема естественно возникает при попытке вывести соответствующие модовые параболические уравнения, и поскольку наиболее приемлемый для практических задач ре зультат можно получить только для слабых в том или ином смысле течений, то естественно и эту задачу рассматривать методом возмущений.

Рассмотренные в главе спектральные задачи, в случае полиномиаль ных пучков, могут быть (не однозначно) сведены к спектральной задаче для некоторого оператора, то есть к спектральной задаче для линейного операторного пучка, но этот оператор обычно не является самосопря женным. Таким образом, в этих задачах обычно отсутствует внутренним образом определенная эрмитова метрика, хотя многие задачи определяют так называемую индефинитную метрику (то есть метрику, определенную индефинитным скалярным произведением). В построении рэлеевской тео рии возмущений для получения некоторых явных формул необходима нормировка собственных функций, естественное определение которой в рассматриваемых задачах отсутствует. Нами предложена, при рассмотрении собственных значений кратности единица, нормировка собственных функ ций в виде условия отсутствия присоединенных функций. На приведенных в главе примерах показано, что такая нормировка обеспечивает построе ние теории возмущений и переходит в обычную нормировку собственных функций спектральной задачи для неподвижной среды при стремлении параметра возмущения к нулю.

В первом разделе методами теории возмущений решается задача о вычис лении с точностью до первого порядка числа Маха вертикальных модовых функций акустических нормальных мод в слоистой среде с низкоскоростным горизонтальным течением.

d 1 d 2 + n2 2 = k 2, dz 2 dz 1 d = 0, = 0, 2 dz z=0 z=H где = (z) плотность, n(z) = 1/c(z) показатель преломления, c = c(z) скорость звука, k волновое число, = 1 kv, v = v(z) скорость те чения. Переменные обезразмерены с использованием шкалы длины h = c/, шкалы времени 1 (где круговая частота звука, c типичное значение скорости звука) и шкалы плотности (типичное значение плотности).

Для собственной функции l с собственным значением l k 2 из условия отсутствия присоединенных функций выводится условие нормировки 1 1 d l + l 2 dz = 1, 3 lk dz H которое совпадает с обычным условием нормировки для неподвижной среды при = 1.

С числом Маха в качестве малого параметра разыскиваются члены раз ложения = j 0 + M j 1 + M 2 j 2 +... ;

j j k = j k0 + M j k1 + M j k2 +..., где j 0 и j k0 собственная функция и волновое число для неподвижной среды. Например, для поправки первого порядка к волновому числу l k1 по лучается 1 d l 0 d l l k1 = v l k0 l 0 l 0 + dz.

dz dz H 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 M x Рис. 5: Зависимость относительных ошибок аппроксимации собственного числа первой моды от числа M для иллюстративного примера: сплошная линия 1, штриховая линия 2, пунктирная линия ef f, штрих-пунктирная линия pade.

Первое приближение для мод на течении представлялось в виде ряда по собственным функциям оператора для неподвижной среды. Для коэффи циентов ряда найдены простые выражения, в которые входят квадратуры собственных функций неподвижной среды и некоторые другие характери стики спектральной задачи для неподвижной среды.На основе этих резуль татов получено выражение для приближения второго порядка по числу Маха для волнового числа. Показано, что найденные приближения для собствен ных функций удовлетворяют условию псевдоортогональности с точностью до O(M 2 ).

Представлен иллюстрирующий выведенные формулы простой пример, допускающий явное аналитическое решение. В этом примере течение имеет постоянную скорость в нижней половине волновода и отсутствует (скорость течения равна нулю) в верхней половине. Вычисленные собственные значе ния сравнивались с вычисленными с помощью приближения эффективной скорости звука (Годин и др., 1993) и в целом оказались значительно точнее.

На рис. 5 приведены графики зависимостей от числа Маха относительных ошибок аппроксимаций собственного числа первой моды: 1 относитель ной ошибки при аппроксимации первого порядка, 2 второго, ef f приближения эффективной скорости звука и pade аппроксимации Паде, полученной из аппроксимаций первого и второго порядков. Результаты для других мод аналогичны.

Во втором разделе в рамках первого порядка регулярной теории возму щений, где в качестве малого параметра берется отношение характерного сдвига скоростей течения к фазовой скорости моды, получено приближен ное решение спектральной задачи Тейлора-Гольдштейна на отрезке [H, 0], записанной для амплитуды изопикнического поднятия w (z) = k(U c) d d d (U c)2 k 2 (U c)2 G = 0, dz dz dz с граничными условиями (H) = 0, (0) = 0, где w вертикальная компонента скорости, U = U (z) скорость горизон тального течения, c фазовая скорость, k горизонтальное волновое число, = (z) плотность. Переменные обезразмерены, параметр G есть g h1 N 2, где g ускорение свободного падения.

Условие нормировки для собственных функций, полученное из требова ния отсутствия присоединенных функций и переходящее в общепринятое в случае неподвижной среды, здесь такое:

d + k 2 2 (14) c (c U ) dz = 1.

dz H 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0. Рис. 6: Зависимость относительных ошибок приближений фазовой скорости вто рой моды примера 2 от малого параметра : сплошная линия ошибок первого при ближения, штриховая линия ошибок второго приближения и штрих-пунктирная линия ошибок аппроксимации Паде.

Разыскиваются члены разложений l = l 0 + l 1 +...

(15) l c = l c0 + l c1 +...

малый параметр, l 0, l c0 решение задачи для неподвижной среды.

Например, поправка первого порядка для фазовых скоростей имеет вид d l 2 + k 2 l l c1 = l c0 U1 dz.

dz H Собственные функции на течении находятся в форме ряда по собствен ным функциям неподвижной среды. Приводятся формулы для коэффициен тов этих рядов. На основе этих результатов получено выражение для второго приближения к фазовой скорости, а также дробно-линейной аппроксимации Паде.

Представлены иллюстрирующие выведенные формулы простые приме ры. В первом примере течение имеет постоянную скорость в нижней поло вине волновода и исчезает в верхней половине. Такой пример имеет явное аналитическое решение. Во втором примере течение имеет линейный сдвиг по вертикали. Этот пример допускает аналитической решение при принятии приближения Буссинеска и динноволнового приближения. В обоих примерах базовая стратификация плотности экспоненциальная.

На рис. 6 приведены графики зависимостей относительных ошибок первого и второго приближений, а также аппроксимации Паде фазовой скорости первой моды для первого примера.

В Заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Методом многомасштабных разложений получены параболические при ближения произвольного порядка для задач распространения звука в нестационарных волноводах, в том числе при наличии течений.

Рассмотрены постановки начально-краевых задач, получены условия устойчивости и единственности решений.

2. Произведен анализ особенностей применения метода параболического уравнения для волноводов, имеющих границы раздела, на которых ин декс рефракции терпит разрыв первого рода с конечным скачком. Тео ретически показана неправомерность использования в такой задаче ме тода параболического уравнения с обычно применяемыми условиями на границе раздела. Численными экспериментами подтверждены тео ретические выводы.

3. Методом многомасштабных разложений в первом порядке малого па раметра получено параболическое уравнение для амплитуды акустиче ской нормальной моды в общности, достаточной для применения этого уравнения в трехмерных задачах акустики океана. В следующем поряд ке получено параболическое уравнение для широкоугольной поправ ки к этой амплитуде. Показано, что эти два уравнения вместе могут рассматриваться как широкоугольное модовое параболическое уравне ние. Рассмотрены постановки начально-краевых задач для полученных уравнений, получены условия устойчивости и единственности решений.

Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

4. Методом многомасштабных разложений выведено нестационарное па раболическое уравнение для амплитуды акустической нормальной мо ды, распространяющейся в неоднородной и нестационарной среде. По лучены уравнения характеристик и условия на характеристиках для этого уравнения.

5. Методом многомасштабных разложений выведено линейное параболи ческое уравнение для амплитуд нормальных мод внутренних волн, рас пространяющихся в непрерывно стратифицированной среде над неров ным дном. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

6. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для уравнений типа нестационарного уравнения Шредингера, основан ные на факторизации уравнения Гамильтона-Якоби вместо факториза ции оператора уравнения. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

7. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для волнового уравнения, основанные на построении однонаправлен ных приближений к этому уравнению методом многомасштабных раз ложений. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

8. Построена регулярная теория возмущений низших порядков для полу чения приближенного решения спектральной задачи для акустических мод на слабом течении. Проведено сравнения с другими приближенны ми методами.

9. Построена регулярная теория возмущений низших порядков для приближенного решения спектральной задачи Тейлора-Голдштейна для мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом. На простых примерах подтверждена эффективность полученных формул.

Публикации по теме диссертации в журналах, реко мендованных ВАК 1. Борисов Н. Г., Гриценко А. В., Козицкий С. Б., Никора О. И., Рутен ко А. Н., Трофимов М. Ю., Филонов А. Е. Флуктуации гидроакустиче ских сигналов, обусловленные внутренними волнами // Акуст. журн.

1994. T. 40, № 5. C. 749-755.

2. Коротченко Р. А., Кузнецов Ю. А., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю.

Акустико-гидрофизические эффекты, порождаемые рыболовным суд ном с донным тралом // Акуст. журн. 1995. T. 41, № 2. C. 260-266.

3. Борисов С. В., Коротченко Р. А., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю.

Пример численного моделирования влияния нелинейных внутренних волн на распространение звука в мелком море // Акуст. журн. 1996.

T. 42, № 5.

4. Трофимов М. Ю. Узкоугольные параболические уравнения адиа батического распространения звука одной моды в горизонтально неоднородном мелком море // Акуст. журн. 1999. Т. 45. № 5. С. 647-652.

5. Трофимов М. Ю. Параболические уравнения с зависимостью от време ни для двумерных акустических волноводов // Письма в ЖТФ. 2000.

Т. 26, № 17. С. 94-98.

6. Трофимов М. Ю. Вычисление собственных значений и функций акусти ческих нормальных мод в слоистой среде с горизонтальным течением // Акуст. журн. 2000. T. 46, № 2. C. 274-278.

7. Трофимов М. Ю. О вычислении нормальных мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом // Известия АН. Физика атмосферы и оке ана. 2000. T. 36, № 2. C. 294-301.

8. Трофимов М. Ю. Широкоугольные модовые параболические уравнения // Акуст. журн. 2002. T. 48, № 6. C. 274-278.

9. Трофимов М. Ю. Новый вывод граничных условий прозрачности для параболических уравнений // Письма ЖТФ. 2005. Т. 31, вып. 9. C. 89 94.

10. Трофимов М. Ю. О новом подходе к асимптотическим абсорбирующим граничным условиям для волнового уравнения // Письма ЖТФ. 2007.

T. 33, вып. 3. C. 21-26.

11. Tromov, M. Yu. On the interface and boundary conditions in the parabolic equation method // Europhysics letters. 2007 V. 77. P. 64005-64011.

12. Tromov, M. Yu., Kozitskiy, S. B., Zakharenko, A. D On the parabolic equation method in internal wave propagation // Ocean Modelling. 2007.

V. 17, No. 4. P. 327-337. arXiv:physics/0609189.

13. Petrov, P. S., Tromov, M. Yu., A nonstationary form of the range refraction parabolic equation and its application as an articial boundary condition for the wave equation in a waveguide // Europhysics Letters.

2009. V. 85. P. 34001-p1-34001-p6. arXiv:math-ph/0908.1249.

Публикации в сборниках трудов и препринты 14. Tromov M. Yu. Modal acoustic tomography with mode interaction // Proceedings of the 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996. P. 2.31-2. 15. Korotchenko R. A., Rutenko A.,N., Tromov M. Yu. Experimental investigations of internal waves inuence on the propagation of low frequency sound in shallow sea // Proceedings of the 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996. P. 2.19-2. 16. Бондарь Л. Ф., Гриценко А. В., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю.

Акустико-гидрофизическая трасса в шельфовой зоне Японского моря // В кн. "Акустика океана." Сб. трудов школы-семинара акад. Л. М.

Бреховских. М.:ГЕОС, 1998. С. 178- 17. Трофимов М. Ю. Использование брэгговского рассеяния звука на по верхностных и внутренних волнах для акустического зондирования неоднородностей скорости звука в мелком море // В кн. "Труды IV Всероссийской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998. C. 52-54.

18. Трофимов М. Ю. Модовое параболическое уравнение для расчета трех мерных звуковых полей в мелком море // В кн. "Труды IV Всероссий ской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998. C. 55-57.

19. Трофимов М. Ю. Об использовании брэгговского рассеяния звука на поверхностных и внутренних волнах для акустического зондирования гидро- и геофизических неоднородностей в мелком море // В кн. "Ин форматика и моделирование в океанологических исследованиях". Вла дивосток: Дальнаука, 1999. С. 180-185.

20. Трофимов М. Ю. Акустическая модовая томография с учетом взаи модействия мод // В кн. "Морская акустика и гидрофизика"(Труды ДВГТУ, вып. 121, сер. 9. Акустика) Владивосток: изд-во ДВГТУ, 1999.

C. 35-47.

21. Tromov M. Yu. Time dependent adiabatic mode parabolic equation // Proceedings of The Sixth Pan Ocean Remote Sensing Conference (PORSEC), Bali, 3-6 September 2002, Vol. II, pp. 773-777.

22. Трофимов М. Ю., Коротченко Р. А. Характеристики нормальных мод в упругом волноводе при малых скоростях сдвиговых волн // В кн.

"Акустика океана." Доклады X Школы-семинара акад. Л. М. Брехов ских. М.:ГЕОС, 2004. С. 173-176.

23. Tromov M. Yu. A new approach to the absorbing boundary conditions for the Schrdinger type equations // arXiv:math-ph/0611031.

o 24. Трофимов М. Ю., Козицкий С. Б., Захаренко А. Д. Модовые параболи ческие уравнения в акустике океана // Дальневосточные моря России.

М.: Наука, 2007. Кн. 4: Океанологические исследования. С. 385-395.

25. Tromov M. Yu. An adiabatic mode time-dependent parabolic equation // arXiv:physics/0909.0204.

26. Tromov M. Yu. Non-stationary parabolic equations for the quasi monochromatic sound propagation in media with a non-stationary background ow // arXiv:physics/0909.0205.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.