авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Асимптотические методы расчета дифракции когерентного электромагнитного излучения на дифракционных оптических элементах

На правах рукописи

ХАРИТОНОВ Сергей Иванович АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИФРАКЦИИ КОГЕРЕНТНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДИФРАКЦИОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ Специальность 01.04.05 - Оптика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Самара 2010

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмиче ский университет имени академика С.П. Королева (национальный универси тет)» и Учреждении Российской академии наук Институте систем обработки изображений РАН член-корреспондент РАН, доктор технических

Научный консультант:

наук, профессор Сойфер В.А.

член-корреспондент РАН, доктор физико-матема

Официальные оппоненты:

тических наук, профессор Крыжановский Б.В.

доктор физико-математических наук, профессор Степанов С.А.

доктор физико-математических наук, профессор Молевич Н.Е.

Государственное образовательное учреждение

Ведущая организация:

высшего профессионального образования «Самарский государственный университет».

Защита состоится 22 октября 2010 года на заседании диссертационного совета Д212.215.01 в Самарском государственном аэрокосмическом универ ситете имени академика С.П. Королева по адресу: 443086 Самара, Москов ское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь совета, профессор В.Г. Шахов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена расчету дифракции когерентного электромагнит ного излучения на дифракционных оптических элементах (ДОЭ), основанному на асимптотических методах решения системы уравнений Максвелла, и иссле дованию на этой основе фокусирующих свойств диэлектрических ДОЭ в ши роком диапазоне фокусных расстояний и апертур.

Актуальность темы.

Дифракционная компьютерная оптика развивается более 30 лет, начиная с основополагающих работ А. М. Прохорова, И.Н. Сисакяна и В.А. Сойфера.

За прошедшие годы решены фундаментальные задачи фокусировки, селек ции мод лазерного излучения, формирования бездифракционных пучков.

ДОЭ представляют собой пропускающие или отражающие пластинки, рабо тающие на основе дифракции электромагнитного излучения на оптическом микрорельефе. Созданные ДОЭ нашли применение в лазерных технологиче ских установках, оптических устройствах хранения и записи информации.

Один из наиболее интересных классов ДОЭ образуют оптические эле менты, фокусирующие когерентное излучение – фокусаторы. Они позволяют сформировать требуемое распределение энергии в заданной области. Ключе вой проблемой при создании оптических элементов, фокусирующих излуче ние, является совместное достижение высокой энергетической эффективно сти и точности формирования заданного распределения интенсивности. Ра нее в основополагающих работах были получены решения задач фокусиров ки в приближении геометрической оптики для “тонкого” оптического эле мента в рамках скалярной теории дифракции. В работах Н.Л. Казанского был проведен анализ дифракции когерентного излучения на ДОЭ с квантованной фазовой функцией. Следует отметить, что все эти решения были получены без учета дифракции излучения внутри оптического элемента и векторного характера падающего излучения. Однако, результаты расчетов пространст венного распределения поля от короткофокусных элементов, полученные в приближении скалярной геометрической оптики внутри ДОЭ, отличаются от результатов, полученных в рамках строгой электромагнитной теории. В этой связи методы расчета, основанные на лучевом приближении и скалярной теории дифракции, становятся неадекватными, что приводит к постановке задачи решения уравнений Максвелла в векторной форме. Это обусловливает актуальность основного направления данной работы – расчета дифракции ко герентного оптического излучения на ДОЭ в рамках строгой электромагнит ной теории с учетом влияния толщины оптического элемента и дифракции «в теле» ДОЭ. В настоящее время наблюдаются тенденции к миниатюризации ДОЭ и интеграции их с другими оптическими и электронными компонентами различных устройств. Это также приводит к необходимости более детального описания дифракции оптического излучения на ДОЭ.

Различные численные методы решения уравнений Максвелла дают воз можность анализа дифракции оптического излучения на ДОЭ.

Разностный метод решения уравнений Максвелла для анализа дифракции на ДОЭ был первые применен в работах А. Taflove и Д.Л. Головашкина. Дос тоинством этого метода является универсальность, а недостатком - вычисли тельная сложность алгоритма. Кроме того метод не адаптирован для решения стационарных задач дифракции, рассмотренных в диссертации.

Метод связанных волн, разработанный в работах M.G. Moharam, T.K.

Gaylord, изначально применялся для расчета дифракции только на периоди ческих структурах. Л.Л. Досколович в своих работах использовал этот метод для исследования дифракции на непериодических ДОЭ. В качестве базиса для представления электромагнитного поля в методе связанных волн исполь зуются Фурье-моды, соответствующие плоским волнам вне структуры. Дан ный базис не всегда является наилучшим, например, при описании дифрак ции на радиально-симметричных структурах. Кроме того, недостатками ме тода являются сложность его применения в случае непериодической струк туры, а также рост вычислительной сложности с увеличением размеры апер туры.



Метод конечных элементов и метод Галеркина использовался в работах D.W. Prather и В.В. Котляра для решения двухмерных задач дифракционной оптики. Однако при использовании этих методов для решения векторных за дач дифракции в 3-х мерном случае возникают трудности, связанные с уве личением размерности получаемых систем линейных уравнений.

Следует также отметить, что все изложенные методы не учитывают спе цифику задачи дифракции на ДОЭ, обладающим зонной структурой, позво ляющей упростить решение задачи дифракции по сравнению с общим случа ем. Это делается в данной работе.

От перечисленных недостатков свободны асимптотические методы.

Асимптотические методы в оптике появились давно и прошли несколько стадий развития. Они обычно ассоциируются с приближением геометриче ской оптики, которое основано на замене решения волнового уравнения на решение уравнений эйконала и переноса. Эти уравнения были получены Га мильтоном. Асимптотические методы решения волновых уравнений были развиты в работах математиков В.П. Маслова и М.В. Федорюка. Работы этих авторов были посвящены вычислению быстроосциллирующих интегралов методами стационарной фазы и перевала, тесно связанных с приближением геометрической оптики. Обычно в оптике указанные методы использовались для вычисления интеграла Релея-Зоммерфельда, который в свою очередь яв ляется интегральным представлением решения уравнения Максвелла в одно родной среде. Метод, основанный на решении уравнений эйконала и перено са, впоследствии был распространен на решение задач дифракции вблизи не особенных точек каустических поверхностей В.М. Бабичем и В.С. Булдыре вым. К сожалению, сфера применения указанных асимптотических методов существенно ограничена. Все они применимы для решения задач дифракции в среде с медленно изменяющимся показателем преломления. Следует отме тить, что все приведенные асимптотические методы, используемые для ре шения задач дифракции в оптике, были разработаны без учета специфики дифракции когерентного излучения на ДОЭ. Типичным представителем ДОЭ, обладающего зонной структурой, является зонная пластинка Френеля.

Анализ топологии микрорельефа на зонной пластинке Френеля приводит к выводу, что ДОЭ можно представить в виде набора дифракционных решеток с различными периодом и ориентацией штрихов, изменяющимися от точки к точке. Идея локального рассмотрения тонкого элемента как набора дифрак ционных решеток с переменным периодом для определения направления ди фракционных лучей, предложена в работах Г.И. Грейсуха и С.А. Степанова.

Позднее J. Turunen (1997) использовал эту идею для расчета дифракции элек тромагнитного излучения на радиально-симметричных элементах. Однако достаточного обоснования данного метода для электромагнитного расчета ДОЭ общего вида в работах указанных авторов нет. Это является предметом исследования диссертации.

Целью работы является расчет дифракции когерентного электромагнит ного излучения на диэлектрических ДОЭ на основе разработки приближен ных методов решения уравнений Максвелла, которые должны учитывать зонную структуру микрорельефа ДОЭ и быть работоспособными в широком диапазоне фокусных расстояний и апертур.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Разработка асимптотического метода решения задач дифракции на квазипериодических структурах;

2. Создание модифицированного метода связанных волн для задач с произвольной симметрией;

3. Исследование дифракции на радиально-симметричных ДОЭ;

4. Разработка асимптотического метода для вычисления поля вблизи особых точек каустических поверхностей;

5. Исследование дифракции вблизи особых точек каустических по верхностей.

Научная новизна работы.

1. Метод представления уравнений Максвелла в произвольной ортого нальной системе координат позволяет получить решения системы уравнений Максвелла в единой форме для различных типов сред, включая неоднородные и анизотропные среды. Новизна состоит в переходе от системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, за счет разложения решения по базису в криволинейной системе координат.

2. Для решения задач дифракции в неоднородной среде предложен мо дифицированный метод связанных волн. Метод отличается тем, что решение системы уравнений Максвелла представлено в виде разложения по базису в криволинейной системе координат, отличному от базиса плоских волн, что обеспечивает снижение размерности решаемой задачи в несколько раз.

3. Для диэлектрических квазипериодических структур предложен асим птотический численно-аналитический метод, заключающийся в многократном решении задачи дифракции на одномерной решетке в конечном числе точек на апертуре ДОЭ и интерполяции на всей области. Метод позволяет представить поле в плоскости, непосредственно прилегающей к плоскости ДОЭ, в аналити ческой форме. Это обеспечило снижение вычислительной сложности решения задач дифракции.

4. Для радиально и линейно поляризованных волн, падающих на ДОЭ, впервые получены выражения для поля в плоскости, непосредственно приле гающей к плоскости радиально-симметричного оптического элемента.

5. Получены асимптотические представления для поля линейно поляри зованной электромагнитной волны, прошедшей через оптический элемент, фокусирующий излучение в кольцо, основанные на вычислении спектра пло ских волн в цилиндрической системе координат с использованием метода стационарной фазы. Полученные выражения впервые позволили проанализи ровать эффекты, связанные с деполяризацией падающего излучения и отсут ствием радиальной симметрии в результирующем поле.

6. Впервые получено аналитическое представление эйкональной функ ции оптического элемента, фокусирующего излучение в произвольную кри вую в плоскости, параллельной плоскости оптического элемента. Представ ление позволяет получить выражение для эйкональной функции по известной функции раствора светового конуса лучей, приходящих в данную точку фо кальной кривой.

7. Получено интегральное уравнение для определения функции раствора светового конуса лучей, приходящих в данную точку фокальной кривой, по известной функции линейной плотности энергии.

В пунктах 2-5 выражения отличаются от ранее полученных другими ав торами в приближении геометрической оптики, поскольку, учитывают ди фракцию внутри оптического элемента.

На защиту выносятся • асимптотический метод решения задач дифракции на квазипериодиче ских структурах;

• модифицированный метод связанных волн для задач с произвольной симметрией;

• результаты исследования дифракции на радиально-симметричных ДОЭ с учетом дифракции внутри оптического элемента, включая выявленное нарушение в фокальной области радиальной симметрии и деполяриза цию входного пучка;

• асимптотический метод вычисления поля вблизи особых точек каустиче ских поверхностей;

• результаты исследования дифракции вблизи особых точек каустических поверхностей (фокальных кривых), включая зависимость дифракционной ширины фокальной кривой от длины слоя, формирующего поле в окре стности данной точки.

Практическая ценность работы.

Асимптотические методы решения уравнений Максвелла доведены до про стых выражений для поля на выходе оптического элемента. Сложная задача вы числения поля на выходе радиально-симметричного оптического элемента све дена к решению задачи дифракции на одномерной дифракционной решетке в конечном числе точек на апертуре. В работе получены простые выражения для декартовых компонент поля, прошедшего через радиально-симметричный ди фракционный оптический элемент. Получены интегральные представления поля от радиально-симметричного оптического элемента в виде одномерных интегра лов. Практическая ценность полученных результатов состоит в существенном (на порядок) сокращении времени расчета электромагнитного поля, формируе мого оптическими элементами, по сравнению с разностными методами и клас сическим методом связанных волн.

Получены простые выражения для эйкональной функции оптических элементов, фокусирующих излучение в окрестности произвольной кривой, лежащей в плоскости, параллельной плоскости оптического элемента. Эти выражения позволяют легко рассчитать и изготовить соответствующие опти ческие элементы.

Получены интегральные представления для компонент электрического по ля вблизи фокальной кривой (вырожденной каустической поверхности). Инте гральные представления для поля выражаются через одномерные интегралы, что снижает вычислительную сложность задачи на 1-2 порядка. Разработанные методы были использованы при проектировании и изготовлении 12 фокусато ров лазерного излучения и ряда оптических устройств, содержащих ДОЭ.

Достоверность работы.

Достоверность полученных результатов обеспечивается физической аде кватностью используемых математических моделей, корректностью матема тических выкладок и подтверждается сравнением с результатами численного расчета по методу связанных волн. Полученные аналитические выражения для дифрагированных полей в пределе переходят в известные решения ска лярной теории дифракции. Результаты решения задач дифракции, получен ные с помощью интегральных представлений, верифицировались путем уд воения числа узлов интегрирования. При этом отклонение результатов в среднем составляет не более 5%.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях.

Всесоюзные совещания по компьютерной оптике (г. Москва, 1987;

г. Су хуми, 1988 г.;

г. Тольятти, 1990г.;

г. Самара 1993 г.);

Четвертый Европейский конгресс по оптике "ECO-4" (г. Гаага, Голландия, 1991);

Конференция “Mi niature and Micro-Optics and Micromechanics” (Сан-Диего, США, 14-15 июля 1993 г.);

5-ый Международный семинар по цифровой обработке изображений и компьютерной оптике "Image Processing and Computer Optics" (22-26 авгу ста 1994, Самара);

Международный симпозиум "Информационная оптика.

Научные основы и технологии" (Москва, 27-30 августа 1997);

Международ ная конференция «Математическое моделирование – 2001» (Самара: СГАУ, 2001);

Международная конференция “Automation, Control, and Information Technology” (Новосибирск, 10-13 июня 2002);

Международный оптический конгресс «Оптика – XXI век» (Санкт-Петербург, 20-24 октября 2008);

Науч но-практическая конференция «Голография в России и за рубежом. Наука и практика» (Киев, Украина, 1-2 июля 2009 г.);

6-ая международная конферен ция «Оптика-2009» (Санкт-Петербург, 19-23 октября 2009 г.);

научные семи нары Института систем обработки изображений РАН, кафедры Технической кибернетики Самарского государственного аэрокосмического университета.

Результаты, изложенные в диссертации, использованы при выполнении хозяйственных договоров с ОАО «АВТОВАЗ», Исследовательским центром «ФИАТ» (Италия), “LG Electronics” (Южная Корея).

Связь с государственными программами.

Результаты, изложенные в диссертации, получены при выполнении работ в рамках Российско-американской программы «Фундаментальные исследо вания и высшее образование» (BRHE), государственных контрактов с Феде ральным агентством по науке и инновациям, с Федеральным агентством по образованию.

Большинство результатов было получено при поддержке грантов Рос сийского фонда фундаментальных исследований (95-01-00562, 96-01-10021 ГФЕНА, 98-01-00894-а, 01-01-00097-а, 04-01-96517-р2004, 04-07-90149-в, 07 07-00210-а, 07-07-91580-асп-а, 07-07-97601-р-офи, 08-07-99005-р-офи, 09-07 12147-офи-м, 09-07-92421-кэ-а), грантов Президента РФ (НШ-7414.2010.9, НШ-1007.2003.01, НШ-3086.2008.9) и программы развития Национального Исследовательского университета - СГАУ.





Структура и объем работы Диссертация состоит из Введения, пяти Глав, Заключения и Приложения, списка использованных источников из 219 наименований, изложенных на 228 страницах, содержащих 12 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются различные численные и аналитические мето ды решения задач дифракции. Приведена классификация асимптотических методов, используемых в оптике для решения волновых уравнений. Показа ны достоинства и недостатки существующих асимптотических методов.

Обосновывается актуальность, научная новизна работы, сформулированы положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвящена постановке задачи дифракции на ДОЭ с учетом дифракции электромагнитного излучения внутри (“в теле”) ДОЭ. Большое внимание уделено математическому аппарату, который ис пользуется в последующих главах. Система уравнений Максвелла записыва ется в эволюционной форме, по аналогии с уравнением Шредингера и Дирака в квантовой механике. Запись уравнений в абстрактной операторной форме позволяет в дальнейшем выявить свойства системы уравнений и их решений вне зависимости от конкретной используемой системы координат.

Пусть когерентное электромагнитное излучение падает на ДОЭ, пред ставляющий собой слой с толщиной D с изменяющимся показателем пре ломления.

Оптическая схема приведена на рис. 1.

Необходимо выделить три об ласти:

• область со стороны падающе го излучения (область 1);

• область внутри оптического элемента (область модуляции, область 2);

• область после оптического элемента (область регистра ции излучения, область 3).

Задача состоит в определении характеристик электромагнитного Рис 1. Постановка задачи дифракции на ДОЭ излучения в области регистратора.

Система уравнений Максвелла в произвольных ортогональных коорди натах имеет вид i E i H = AH, = BE.

k x 3 k x E, H – тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей в криволинейной системе координат. Матричные дифференциальные операто ры A, B имеют вид 1 B = 2 C (1) +.

A = 2 C 1, k k При этом их элементы вычисляются следующим образом:

g ( j i) j 1 g C ij 1 = ( 1), ij =.

3 j x g x i g3i, j (x1, x2, x3) – криволинейные координаты;

gij – компоненты метрического тензора в криволинейной системе координат;

– распределение диэлектриче ской проницаемости;

i = 1, 2;

j = 1, 2.

Для описания распространения света в различных задачах используются различные базисы для представления системы уравнений Максвелла. Рассмот рим распространение поля в области (волноводе), ограниченной цилиндриче ской поверхностью с образующей, параллельной оси распространения. Пред ставим вектора E и H в следующем виде (k = 1, ;

l = 1, 2) E = f kl ek,l,l, H = g kl ek,3l,l.

lk lk Базисные вектора имеют вид Fk1 Fk g ( 1)s 1.

ek 2 s = ek 1s =, g3 s,3 s x 3 s x s Fk 1 – решение уравнения Гельмгольца с постоянной диэлектрической проницаемостью, удовлетворяющее граничному условию Fk1 = 0 на границе цилиндрической области, Fk 2 –- решение уравнения Гельмгольца с постоян ной диэлектрической проницаемостью, удовлетворяющее граничному усло Fk = 0 на границе цилиндрической области, где – нормальная вию n n производная на цилиндрической поверхности. В данном базисе система уравнений Максвелла имеет наиболее простой вид.

В этом представлении система уравнений Максвелла в произвольной ор тогональной системе координат сводится к системе обыкновенных диффе ренциальных уравнений df sn dg sn = g kl es,n,n Aek,l,3 l, = f kl es, n,3 n Bek,l,l.

dz dz lk lk Для описания распространения поля в декартовой системе координат, представим тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей в виде линейной комбинации базисных векторов E = f 12 s x 3 e12 s, H = g 12 s x 3 e12 s.

s s Базисные вектора имеют вид 1 2 e12i = q12i exp ik 1 x1 + 2 x 2, q12 =.

Подставляем это разложение в систему уравнений Максвелла, получаем систему интегро-дифференциальных уравнений i df 12 s = A1122ks x 3 g 12 k x 3 d1d2, 3 k dx k i dg 12 s = B1122ks x 3 f 12 k x 3 d 1d 2.

3 k dx k В диссертации приводятся выражения для вычисления ядер интеграль ных преобразований (матричных элементов) A1122ks x 3 и B1122ks x 3.

Для описания распространения света в однородной анизотропной среде в диссертации предложено использовать следующее представление для тан генциальных компонент электрического и магнитного полей f x 3 F1,2 s d1d 2, 1, 2s E x1, x 2, x 3 = s f x 3 11,2 BF1,2 s d1d 2.

1, 2s H x, x, x = 3 1 s F1,2, s = Q1, 2, s exp ik 1 x1 + 2 x 2.

Функции Q1,2,s, определяющие базисные вектора, удовлетворяют сле дующему уравнению на собственные значения.

(CD ) Q,, s = 2, sQ,, s.

1 2 1 2 1 где матрицы C и D имеет вид C ij (1, 2 ) = 331 ( 1) i 3 j + ( 1) µ3ij, j i D ij (1, 2 ) = µ331 ( 1) i 3 j ( 1) 3ij.

j i ij и µij – компоненты тензоров диэлектрической и магнитной прони цаемостей среды, в которой распространяется электромагнитная волна.

После подстановки в уравнения Максвелла приведенных представлений, дифференциальное уравнение для функции f 1,2 s x 3 имеет вид 3 f 1,2 s x 3 = ik 1,2 s f 1,2 s x 3.

Функции f 1,2 s можно найти, если известно распределение тангенциаль ных компонент электрического (или магнитного поля) в плоскости, перпен дикулярной направлению распространения волны. В однородной изотропной среде, описание распространения электромагнитного поля значительно уп рощается.

Матрица-столбец f 12 находится, если известно распределение танген циальных составляющих электрического поля в плоскости x 3 = f 1 2 = Q112 E ( x1, x 2, 0 ) exp ik0 1 x1 + 2 x 2 dx1dx 2.

Предлагаемый подход позволил разработать модифицированный метод связанных волн для произвольной ортогональной системы координат. Он да ет возможность решить задачу дифракции электромагнитной волны с опре деленным угловым моментом на фокусирующем оптическом элементе с уче том дифракции излучения внутри ДОЭ.

Вторая глава диссертации посвящена изложению асимптотического ме тода, который позволяет решать задачи дифракции когерентного света на од номерных ДОЭ, представляющих собой квазипериодические диэлектриче ские микроструктуры.

Уравнение, описывающее распространение света в случае ТЕ поляриза ции, имеет вид 2 E 2 E + k 2 ( x ) E = 0.

+ z 2 x x – поперечная координата (в плоскости параллельной оптическому элементу);

z – продольная координата (вдоль оптической оси);

( x, z ) – распределение диэлектрической проницаемости ДОЭ. В про странственно-частотном представлении поля в окрестности точки x0 на апертуре ДОЭ k ( x, z ) exp ik ( x x0 ) dx, (, z ) = k E ( x, z ) exp ik ( x x0 ) dx.

f (, z ) = В таком представлении уравнение в частных производных сводится к ин тегро-дифференциальному уравнению d 2 f (, z ) = ( k 2 (, z ) + k 2 2 ( ) ) f (, z ) d.

2 dz Рассмотрим случай, когда показатель преломления не зависит от про дольной координаты. Показатель преломления изменяется только по аперту ре. Пусть на оптический элемент падает плоская электромагнитная волна.

Рассмотрим дифракцию на эталонном оптическом элементе. Эталонный ДОЭ – это оптический элемент с показателем преломления следующего вида n ( x ) = ( kg ( x ) ), где Ф(x) – функция с периодом 2, k – волновое число в вакууме. Для много уровневой дифракционной решетки эта функция определяет закон квантова ния микрорельефа. Для эталонного ДОЭ функция g(x) в окрестности точки x на апертуре представляется в виде g ( x ) = g ( x0 ) + ( x x0 ) + ( x x0 ).

Такой вид g(x) соответствует распределению показателя преломления n(x) бинарной фазовой зонной пластинки Френеля (дифракционной линзы).

Многие ДОЭ могут быть представлены в виде набора сегментов дифракци онных линз с различным положением фокуса. Задачу дифракции на эталон ном элементе можно решить с помощью метода связанных волн. Однако для ДОЭ с большой апертурой в этом случае требуется большое число членов разложения N D /, где - длина волны, D - размер апертуры. Для «тон кого» оптического элемента в работах, предшествующих данной диссерта ции, задача обычно решалась в приближении геометрической оптики. В дис сертации предложен метод решения задачи дифракции, основанный на ло кальном методе связанных волн с последующим использованием теории Ре лея-Зоммерфельда. Этот метод позволяет получить решение в окрестности точки x0 на апертуре ДОЭ. Метод основан на специальном представлении решения интегрального уравнения в окрестности каждой точки x0. Для обоснования этого представления рассмотрим решение задачи дифракции в приближении геометрической оптики.

В этом приближении поле на выходе описывается выражением Et ( x ) = Texp ( ikhn ( x ) ).

где h – толщина ДОЭ, T – коэффициент пропускания. Отраженное поле представляется в виде Er ( x ) = R1 + R2 exp ( 2ikhn ( x ) ), где R1 – коэффициент отражения от первой грани, R2 – коэффициент отра жения от второй грани ДОЭ. Поле внутри оптического элемента (зоны моду ляции или микрорельефа) Ein ( x, z ) = A+ exp ( ikn ( x ) z ) + A exp ( ikn ( x )( 2h z ) ), где A+ описывают волны, распространяющиеся внутри микрорельефа в пря мом направлении, A – отраженные волны.

Так как ( x ) – функция с периодом 2, мы можем представить поле прошедшее, поле отраженное и поле внутри оптического элемента в виде Et ( x ) = T m ( x0 ) exp (ikmg ( x ) ), m Er ( x ) = R m ( x0 ) exp (ikmg ( x ) ), m Ein ( x, z ) = f m ( x0, z ) exp ( ikmg ( x ) ).

m Осуществим переход в пространственно-частотное представление. Для поля внутри оптического элемента ( ) f in (, z ) = F ( Ein ( x, z ) ) = f m ( x0, z ) F exp ( ikmg ( x ) ), m где F – символ преобразования Фурье.

f in (, z ) = f m ( x0, z ) Gm [ ], m ( m ) ik Gm [ ] = exp ik.

2 m 2m В этом виде будем в дальнейшем искать решение интегрального уравнения.

Для эталонного оптического элемента распределение диэлектрической проницаемости имеет вид ( x ) = n 2 ( x ) = 2 ( kg ( x ) ).

Так как 2 ( x ) функция с периодом 2, то можно ее разложить в ряд Фурье, и функция ( x ) принимает вид ( x ) = m exp ( ikmg ( x ) ).

В пространственно-частотном представлении ( ) = m Gm [ ].

Подставляем в интегральное уравнение и получаем вместо интегрально го уравнения систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

d 2 f s ( x0, z ) = k 2 ( A1 ) Bnp f n ( x0, z ) k 2 m s f m ( x0, z ).

s dz 2 p n ns Решаем полученную систему дифференциальных уравнений в трех об ластях – внутри элемента, в области со стороны падающей волны, в области после оптического элемента. Условия сшивки на границах этих трех областей приводят к системе линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов отражения и пропускания. В отличие от классического мето да связанных волн количество членов разложения, необходимых для аппрок симации поля, приблизительно равно N~/. Отметим также, что функции T m ( x0 ) на апертуре изменяются непрерывно без резких осцилляций. Это по зволяет провести расчет только на ограниченном множестве точек внутри апертуры. В остальных точках при расчетах была использована линейная ин терполяция. В результате время решения задачи сокращается на порядок по сравнению с методом связанных волн, в котором в качестве периода исполь зуется ДОЭ. Работоспособность продемонстрирована на задаче дифракции гауссова пучка, прошедшего через оптический элемент с распределением ди электрической проницаемости:

( ) + ( x ) = max min + max min cos k x 2 + f 2, x [ D / 2, D / 2], 2 где max = 2, 25 ;

min = 1 ;

D = 200 – диаметр апертуры оптического элемен та. Оптический элемент с указанной диэлектрической проницаемостью обес печивает фокусировку падающего пучка в точку в фокальной плоскости z=f.

Поле на выходе оптического элемента рассчитывалось тремя способами: ме тодом связанных волн, в приближении геометрической оптики, с помощью разработанного асимптотического метода. Далее, для нахождения поля в пространстве, вычислялся интеграл Релея-Зоммерфельда. Результаты расче тов приведены на рис. 2–5 при различных значениях фокуса f и расстояний от оптического элемента до плоскости наблюдения z. Сплошной линией изо бражены результаты, полученные с помощью асимптотического метода.

Пунктирной линией изображены результаты, полученные с помощью метода связанных волн. Крестиками показаны результаты, полученные без учета ди фракции внутри ДОЭ.

Анализ рис. 2-5 показывает, что отклонение результатов, полученных при использовании приближения геометрической оптики, от результатов, полученных с помощью строгого метода связанных волн, составляет 3-5% при больших фокусах (100 и 200 длин волн рис. 2,3). С уменьшением фо кусного расстояния (до 50 длин волн рис. 3, 4) указанное отклонение воз растает более чем на 110%. При этом ошибка разработанного асимптоти ческого метода для случаев рис.2-5 составляет 0,6%;

0,7%;

4,3% и 11,6% соответственно. Таким образом, асимптотический метод, в отличие от приближения геометрической оптики для «тонкого» ДОЭ, существенно точнее описывает дифракцию при малых значениях фокуса, чем прибли жение геометрической оптики.

В третьей главе диссертации предложен метод локальных связанных волн в общем случае для двумерного оптического элемента, обладающего зонной структурой. Метод позволил получить простые выражения для поля на выходе радиально-симметричного оптического элемента при освещении пучком света с радиальной и линейной поляризациями.

Рис. 3. Распределение интенсивности в Рис.2. Распределение интенсивности в фокальной плоскости ( z = f ) фокальной плоскости ( z = f ) дифракционной линзы с f = дифракционной линзы с f = Рис.4. Распределение интенсивности в Рис.5. Распределение интенсивности в фокальной плоскости ( z = f ) плоскости z = 1,5 f для дифракционной дифракционной линзы с f = 50 линзы с f = Метод, рассмотренный во второй главе, здесь распространен на двумер ные оптические элементы, показатель преломления которых описывается функцией ( ) n ( x1, x 2 ) = kg ( x1, x 2 ), где kg(x, x ) – фазовая функция оптического элемента, (x1, x2) – декартовы 1 координаты (см. Рис. 1). Эта функция используется для описания тонких оп тических элементов. Ее физический смысл – изменение фазы падающей вол ны при прохождении оптического элемента. Кроме этого, она определяет границы зон на оптическом элементе. Функция Ф(х) определяет распределе ние показателя преломления внутри зон оптического элемента. Предложен ный метод расчета дифракции позволяет найти поле в плоскости, прилегаю щей к плоскости оптического элемента, в случае, когда оптический элемент имеет некоторую толщину. Метод представляет собой локальный метод свя занных волн и позволяет получить выражение в специальном виде, который в дальнейшем позволяет применить к решению задачи дифракции метод гео метрической оптики.

Рассмотрим дифракцию в окрестности точки ( x1, x0 ), на апертуре. Пусть в окрестности этой точки функция g ( x1, x 2 ) имеет вид g ( x1, x 2 ) = g ( x0, x0 ) + 1 ( x1 x1 ) + 2 ( x 2 x0 ) + 0.51 ( x1 x1 ) + 0.51 ( x 2 x0 ).

2 1 2 2 0 В пространственно-частотном представлении выражение для электриче ского и магнитного полей имеет вид E 1, 2 = exp ( ikng0 ) T n,1 3e1 T n,2 e2 Dnn (1 n 1, 2 n 2 ), n H 1, 2 = exp ( ikng 0 ) T n,1 3 e2 + T n,2 3e1 Dnn (1 n 1, 2 n 2 ), n (1 ) 2 (2 ) ik ik Dnn (1, 2 ) = exp ik +.

2n1 2n 2 n1 2 n 2 T n,1, T n,2 – локальные коэффициенты дифракции.

В координатном представлении выражение для электрического и маг нитного полей имеет вид ( ) E ( y1, y 2 ) = exp ik (1 y1 + 2 y 2 ) d1d 2, 1 E ( ) H ( y1, y 2 ) = exp ik (1 y1 + 2 y 2 ) d1d 2.

1 H Электрическое поле в точке (0, 0) подвижной системы координат с началом в точке ( x1, x0 ) имеет вид E ( 0,0 ) = exp (ikng0 ) T n,1 3e1 T n,2 e2.

n При переходе от подвижной системы координат к неподвижной системе выражение для электрического поля принимает вид E ( x1, x 2 ) = E n ( x1, x 2 ) exp ikng ( x1, x 2 ), n n 1 где E (x, x ) – медленно изменяющиеся функции. Следует отметить, что поле на выходе оптического элемента представляет собой суперпозицию полей, каждое из которых описывается своим волновым фронтом. Эти по ля будем называть парциальными. Волновой фронт этих волн описывает ( ) ся выражением exp ikng ( x1, x 2 ). Волновые фронты описываются гладки ми функциями, если g ( x, x ) 1 является гладкой функцией. Это позволяет вычислить парциальные поля в приближении геометрической оптики. При этом каждому парциальному полю будет соответствовать геометрический луч. Так как в каждой точке мы имеем несколько парциальных полей, то это в свою очередь означает, что из каждой точки в плоскости, непосред ственно прилегающей к оптическому элементу, исходит несколько лучей.

Направление этих лучей совпадает с направлением лучей, прошедших че рез дифракционную решетку с периодом d = / ( dg / dr ). На этом основа нии можно сделать заключение о том, что дифракция на оптическом эле менте в каждой точке локально может быть представлена как дифракция на локальной дифракционной решетке. Это дает возможность придать ме тоду, рассмотренному в предыдущей главе диссертации, дополнительное физическое обоснование.

Четвертая глава посвящена расчету поляризованного электромагнитно го поля, прошедшего через радиально-симметричный оптический элемент.

Для расчета поля в этом случае в диссертации предлагается использовать ци линдрическую систему координат в сочетании с применением а) разложения по цилиндрическим волнам;

б) разложения по плоским волнам;

в) метода связанных волн.

Расчет поля от радиально-симметричного ДОЭ с помощью первых двух из упомянутых методов подразумевает, что нам известно распределение комплексной амплитуды в плоскости, прилегающей к плоскости оптического элемента. Расчет комплексной амплитуды проводился с использованием асимптотического метода, рассмотренного в предыдущей главе.

Рассмотрим расчет поля в случае азимутальной, радиальной, и линейной поляризации входного пучка.

В случае азимутальной поляризации входного пучка электрическое поле на выходе оптического элемента имеет вид E = E0 ( r ) Tte ( r ) exp ( ikng ( r ) ), n где E – азимутальная составляющая электрического поля, r – радиальная координата ( r 2 = ( x1 ) + ( x 2 ) ), E0 ( r ) – азимутальная компонента входного 2 поля, g ( r ) – эйкональная функция оптического элемента, Tten ( r ) – локаль ный коэффициент дифракции на окружности радиусом r. Коэффициент ди фракции получается как решение задачи дифракции для случая ТЕ поляриза ции на квазипериодической структуре.

В случае дифракции радиально поляризованной электромагнитной волны магнитное поле на выходе ДОЭ имеет вид H = H 0 ( r ) Ttm ( r ) exp (ikng ( r ) ), n где H – азимутальная составляющая выходного магнитного поля, H 0 ( r ) – азимутальная компонента входного магнитного поля, g ( r ) – эйкональная функция оптического элемента, Ttm ( r ) – локальный коэффициент дифрак n ции. Коэффициент дифракции получается как решение задачи дифракции для случая ТМ поляризации на квазипериодической структуре. Электриче ское поле в плоскости, прилегающей к плоскости оптического элемента, имеет вид Er = E0 ( r ) E n ( r ) exp ( ikng ( r ) ).

В случае линейной поляризации поле в плоскости, прилегающей к плос кости оптического элемента, имеет вид E1 ( r,, 0 ) = U10 ( r, 0 ) + U12 ( r, 0 ) cos ( 2 ), E2 ( r,, 0 ) = U 22 ( r, 0 ) sin ( 2 ), где E1 ( r,,0 ), E2 ( r,,0 ) – декартовы компоненты электрического поля;

функции U ij ( r, 0 ) описываются выражениями r2 n U10 ( r, 0 ) = 0.5exp 2 ( ETM ( r ) + ETE ( r ) ) exp (ikng ( r ) ), n r2 n U12 ( r, 0) = 0.5exp 2 ( ETM ( r ) ETE ( r ) ) exp ( ikng ( r ) ), n U 22 ( r, 0 ) = U12 ( r, 0 ), где E ( r ) и E ( r ) – коэффициенты дифракции на локальной дифрак n n TM TE ционной решетке для различных типов поляризации. Направление поля ризации освещающего пучка совпадает с направлением оси x1. Анализи руя приведенные выражения, видим, что пучок, прошедший через оптиче ский элемент, не имеет радиальной симметрии. Кроме того, он не являет ся линейно поляризованным. В выражении для поля появляется состав ляющая, ортогональная направлению поляризации исходного пучка. Это в свою очередь связано с тем, что электромагнитные волны, обладающие различными типами поляризации, проходят через оптический элемент по разному. Далее по известному распределению тангенциальных компонент поля в плоскости, прилегающей к оптическому элементу можно найти распределение электрического поля в области за оптическим элементом.

Для этого предлагается использовать метод разложения по плоским вол нам, метод разложения по цилиндрическим волнам или метод геометри ческой оптики. Метод геометрической оптики позволяет значительно сни зить вычислительную сложность задачи. Однако, его (а также родствен ный ему метод стационарной фазы) можно использовать в случае, если точка наблюдения лежит вдали от особых точек. Особыми точками явля ются точки, лежащие на каустических поверхностях, которые, в свою очередь, являются огибающими семейства геометрических лучей. Каждый геометрический луч касается каустических поверхностей 2 раза. Это оз начает, что если в разложении поля на выходе оптического элемента при сутствует N членов, то существует 2N точек, в окрестности которых мето ды геометрической оптики применить нельзя. Для вычисления поля в ок рестности каустик в этом случае будем использовать метод разложения по плоским волнам. Пространственно-частотная функция, соответствующая компоненте E 1, в цилиндрических координатах имеет вид A1 (, ) = A10 ( ) cos ( 2 ) A12 ( ).

(, ) – полярные координаты в спектральной плоскости.

В случае фокусировки в кольцо функции Aij ( ) описываются следую щими выражениями k2 rs U10 ( rs, 0 ) exp ik r0 f n 2 A10 ( ) =, k (, rs ) k2 rs A12 ( ) = U12 ( rs, 0 ) exp ik r0 f n 2, k 2 (, rs ) n2 f где (, rs ) =, rs r0 =, fn 2 n 2 где r0 – радиус кольца, n – показатель преломления среды. Выражения для спектральной функции получены путем вычисления интегралов, входящих в выражения для спектра методом стационарной фазы.

Пространственно-частотная функция для компоненты поля, перпендику лярной направлению поляризации падающей волны, имеет вид A2 (, ) = A12 (, ) sin ( 2 ).

Переходя от пространственно-частотных компонент к пространствен ным координатам, получаем компоненты электрического поля в фокаль ной области. Результаты расчетов представлены на рис.6 и рис 7. R – ра диус апертуры оптического элемента, – параметр освещающего гауссова пучка, f – фокусное расстояние. Полученные выражения впервые позво лили установить, что излучение в фокальной плоскости является эллипти чески-поляризованным даже в случае, если падающее излучение линейно поляризовано. Кроме того, отсутствует радиальная симметрия в результи рующем поле.

Рис.7. Распределение интенсивности в Рис.6. Распределение интенсивности в фокальной плоскости фокусатора в кольцо, фокальной плоскости фокусатора в кольцо, = 1, = 50, R = 500, f = 100.

= 1, = 50, R = 500, f = 1000.

Асимптотический метод расчета поля на выходе радиально симметричного ДОЭ хорошо работает, если на его апертуре умещается не сколько сотен зон. В этом случае оптический элемент в окрестности любой точки на апертуре может быть представлен в виде дифракционной решетки.

В случае, если на апертуре оптического элемента умещается лишь несколько зон, или оптический элемент рассчитан с помощью итерационного метода, использование асимптотического подхода нецелесообразно.

В этом случае более эффективным является подход, основанный на ме тоде связанных волн в цилиндрической системе координат. Классический метод связанных волн служит для расчета периодических структур. При ис пользовании классического метода связанных волн не рассматривается нали чие симметрии ДОЭ. Это приводит к увеличению количества членов разло жения в выражении для электромагнитного поля, что в свою очередь приво дит к возрастанию вычислительной сложности задачи. Для решения задач дифракции на радиально-симметричных оптических элементах в диссерта ции был предложен модифицированный метод связанных волн в цилиндри ческих координатах.

Поле в области 1 представляется в виде падающей и отраженной волны и имеет вид ( ) e en W1 x, x, x = ( ) ( ) n2 i en 21 + I n1 x 3 n1 1 n 11 + I n 2 x 1 1en n n1 ( 1 ) en11 en exp ik (1, n ) x 3.

+ R n + R n2 e 1en n 2 i n n Поле в области 3 за оптическим элементом представляется в виде ( ) e e W3 x1, x 2, x 3 = T n1 x 3 n1 3 n11 + T n 2 x n.

( 3 ) n e 3en nj Поле внутри ДОЭ записывается в виде e W2 x1, x 2, x 3 = f nj x 3 nj1 + g nj x 3, nj e nj DJ m k nj x1 D2 J m k nj x W 1 ( x 3 ).

( z ), enj 2 = enj1 = W D J k nj x DJ k nj x 1 2 m m Здесь x1 – радиальная координата, x 2 – азимутальная координата, x 3 – продольная координата.

Функции qms x 3 и g ms x 3 удовлетворяют системе дифференциальных уравнений. Решение этих дифференциальных уравнений имеет вид E (a ) exp (ik µab x3 ) + a ab exp ( ik µab ( x3 d ) ), f ms x 3 = + ab ms ab a b =1, K ( µ ) a + ab exp (ik µab x3 ) + µab a ab exp ( ik µab ( x3 d ) ), g pq x 3 = pq ab ab b =1, a Eab, M ns = A M Kab = A Emn = µmn Emn.

pq pq ms ml ml pq sq pl 2 nq Bns.

ms pq pl m s =1, 2 p q =1, 2 p l =1, Для вычисления неопределенных коэффициентов используем условия непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного по ле на границах ДОЭ. Условие сшивки при x 3 = 0 приводит к функциональ ному уравнению ( ) e ( ) e en en I n1 n1 1 n11 + I n 2 + R n1 n1 1 n11 + R n 2 = n 2 i en e 1en12 1en n 2 n e e 0 = f n1 ( 0 ) n11 + f n 2 ( 0 ) n 22 + g n1 ( 0) ( 0 ).

+g n e e 0 0 n12 n Условие сшивки при x = d приводит к функциональному уравнению e e 0 f n1 ( d ) n11 + f n 2 ( d ) n 22 + g n1 ( d ) ( d ) = + g n e e 0 0 n 12 n n1 ( 3 ) en11 en n2 = T n1 +T.

e 3en12 n 2 3 n Используя линейную независимость базисных векторов, систему функ циональных уравнений можно свести к системе линейных алгебраических уравнений. Неизвестными в системе линейных уравнений являются a + n, j, a n, j, T n, j. R n, j, где n = 0, N ;

j = 1, 2.

Разработанный метод был применен для моделирования дифракции мо ды цилиндрического волновода с угловым индексом m=2 на радиально симметричном элементе с распределением диэлектрической проницаемости:

max + min max min 1 1 1 ( x1 ) = ( x1 ) + f 2, x1 [0, R], + cos k 2 где x1 – радиальная координата;

max = 2, 25 ;

min = 1 ;

R = 20 – радиус апертуры оптического элемента. Данный элемент обеспечивает фокусировку падающего пучка в точку в фокальной плоскости z=f. Результаты расчета по ля приведены на рис. 8, 9 при f = 40 и показывают формирование фокаль ного пика кольцевой формы.

Сравнение показало, что отличие результатов, полученных с помощью метода связанных волн, от результатов, полученных с помощью приближе ния «тонкого» элемента, возрастает с уменьшением фокуса, но при этом не превышает 5 процентов. Отметим, что проведение расчетов при указанных параметрах с помощью стандартного варианта метода связанных волн в де картовых координатах является сложной задачей, требующей использования специальных вычислительных средств (вычислительного кластера). Исполь зование метода связанных волн в цилиндрических координатах позволило решать данную задачу на стандартном персональном компьютере.

Рис.9. Поле сфокусированной моды круглого Рис.8. Поле в фокальной плоскости волновода с индексом m=2 в меридиональной сфокусированной моды круглого волновода с плоскости индексом m= Пятая глава посвящена разработке асимптотических методов расчета полей, создаваемых ДОЭ, фокусирующими падающее излучение в фокаль ную линию. Фокусаторы лазерного излучения - это модулированные дифрак ционные решетки, фокусирующие излучение в тонкие линии или малые об ласти пространства. Наиболее простыми для расчета и наиболее разработан ными представляются случаи фокусировки в фокальные кривые. Расчет фо кусаторов в рамках геометрической оптики изложен в книге «Дифракционная компьютерная оптика» под редакцией В.А. Сойфера. Линия фокусировки представляется полосой нулевой ширины. Распределение энергии вдоль ли нии фокусировки характеризуется линейной плотностью. Понятие линейной плотности является математической абстракцией и не учитывает возникаю щие дифракционные эффекты. Фокусаторы по сравнению с фокусирующими ДОЭ, рассчитанными итерационными методами, имеют регулярный, зониро ванный рельеф. Несмотря на то, что итерационные методы обеспечивают бо лее точное решение задачи фокусировки, они, как правило, дают нерегуляр ный микрорельеф. Это не позволяет воспользоваться для расчета поля, созда ваемого этими ДОЭ асимптотическими методами, основанными на методе стационарной фазы, методе перевала и приближении геометрической оптики.

Кроме того, нерегулярность микрорельефа приводит к значительным трудно стям при изготовлении. Наоборот, регулярный микрорельеф снижает требо вания к технологии.

В рамках геометрической оптики и приближения «тонкого» оптического элемента задача расчета фокусаторов сводится к задаче расчета фазовой функции. В диссертации в отличие от ранее полученного скалярного геомет рооптического решения, предлагается проводить расчет фокусаторов в рам ках векторной геометрической оптики, с использованием криволинейной системы координат (, ), связанной со слоями:

u = U (, ) = X ( ) + a ( ) f 2 + 2 X ( ) Y ( ), v = V (, ) = Y ( ) + a ( ) f 2 + 2 Y ( ) + X ( ), где ( u, v ) – декартовые координаты в плоскости фокусатора;

a ( ) – котан генс угла раствора конической поверхности, на которой лежат лучи, прихо дящие в точку кривой X ( ) фокусировки. Координата определяет слой, а координата - положение точки на слое ( ). В этом случае эйконал фоку сатора можно восстановить по формуле a (t ) g (, ) = 1 + a 2 ( ) f 2 + 2 dt.

1 + a 2 (t ) Для расчета интенсивности поля в области фокальной кривой также ис пользуются криволинейные координаты. Связь криволинейных координат с декартовыми координатами в области фокальной кривой имеет вид x = X (1,1 ) = X (1 ) + a (1 ) X (1 )1 1Y (1 ), y = Y (1,1 ) = Y (1 ) + a (1 ) Y (1 )1 + 1 X (1 ), где ( x, y ) – декартовые координаты в плоскости фокусировки;

(1,1 ) – кри волинейные координаты в окрестности фокальной кривой.

В этих координатах выражение для линейной плотности вдоль фокаль ной кривой имеет вид (1 = 0 ) I (U (1, ),V (1, ) ) J (1, ) d, I (1 ) = 2 где I 0 ( u, v ) – распределение интенсивности на апертуре оптического эле мента, J (1, ) – якобиан преобразования от декартовых координат к криво линейным координатам. Распределение линейной плотности вдоль кривой зависит от функции a(t). Функция a(t) входит в выражение для линейной плотности энергии, в якобиан и в выражение для криволинейных координат.

Это позволяет рассматривать выражение для линейной плотности как нели нейное интегральной уравнение относительно функции a(t). Решая уравне ние, получаем функцию a(t), соответствующую заданному распределению линейной плотности вдоль фокальной кривой, а затем и эйкональную функ цию оптического элемента.

На рис 10. приведен результат расчета линейной плотности для функции a(t), удовлетворяющей интегральному уравнению. Расчет производился из условия формирования постоянной линейной плотности при параметрах:

D = 60 мм -размер апертуры, L = 50 мм - длина отрезка, f = 50 мм - фокусное расстояние. Для сравнения, пунктирной линией на рис. 10 показана линейная плотность для известного геометрооптического решения, полученного в па раксиальном приближении. В отличие от представленного решения, линей ная плотность, соответствующая параксиальному решению, спадает к концам отрезка.

Рис 10. Распределение линейной плотности в фокальной плоскости фокусатора в отрезок. Непрерывная линия соответствует функции a(t), полученной из решения интегрального уравнения. Пунктирная линия соответствует параксиальному приближению.

Высота оптического микрорельефа рассчитывается по известной функ ции эйконала. Для расчета дифракционного микрорельефа по распределению эйконала также используется приближение геометрической оптики и при ближение тонкого оптического элемента:

mod 2 ( kg ( u, v ) ), h ( u, v ) = n где n – показатель преломления материала микрорельефа;

– длина волны освещающего пучка. В случае бинарного элемента высота микрорельефа в приближении геометрической оптики рассчитывается по формуле.

( ) rect mod 2 ( kg ( u, v ) ), h ( u, v ) = 2 ( n 1) где rect ( x ) = 0, если x [0, ), rect ( x ) = 1, если x [, 2 ).

В диссертации изложен асимптотический метод расчета поля в окрестно сти фокальной кривой. Метод основан на вычислении интеграла Релея Зоммерфельда в криволинейной системе координат, связанной со слоями на фокусаторе. Задача сводится к вычислению двойного интеграла по апертуре фокусатора. Внутренний быстро осциллирующий интеграл по переменной вычисляется с использованием метода стационарной фазы. Это позволяет значительно сократить вычислительную сложность задачи. Анализ получен ных аналитических выражений показал зависимость ширины фокальной кри вой от длины слоя на фокусаторе, который формирует излучение в окрестно сти заданной точки на кривой.

В приложении 1 приведены характеристики дифракционных оптических элементов, рассчитанных с использованием методов, разработанных в дис сертации.

В приложении 2 приведен расчет поля сфокусированного пучка, про шедшего через тонкую пленку.

В приложении 3 изложен метод решения обратной задачи дифракции для расчета градана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В диссертации проведен расчет дифракции когерентного электромагнит ного излучения на ДОЭ, базирующийся на разработанных асимптотических методах решения уравнений Максвелла с учетом зонной структуры микро рельефа. Методы позволили исследовать фокусирующие свойства диэлек трических ДОЭ с толщиной несколько длин волн в широком диапазоне фо кусных расстояний и апертур с погрешностью не превышающей 5%.

Основными результатами работы являются:

1. Для решения задач дифракции в неоднородной среде предложен мо дифицированный метод связанных волн. Предложенный метод отличается тем, что решение системы уравнений Максвелла представлено в виде разло жения по базису в криволинейной системе координат, отличному от базиса плоских волн.

2. Разработан асимптотический метод решения задач дифракции на ква зипериодических диэлектрических структурах. Метод позволил свести реше ние задачи дифракции на диэлектрических квазипериодических структурах к решению задачи дифракции на одномерной дифракционной решетке и пред ставить поле в плоскости, прилегающей к ДОЭ, в аналитической форме. Это обеспечило снижение вычислительной сложности решения задач дифракции на порядок.

3. Получены выражения для поля в плоскости, непосредственно приле гающей к плоскости оптического элемента, который обладает радиальной симметрией. Полученные выражения отличаются от аналогичных выраже ний, полученных в приближении геометрической оптики. Они учитывают дифракцию при распространении поля внутри оптического элемента.

4. Получены асимптотические представления для поля линейно поляри зованной электромагнитной волны, прошедшей через оптический элемент, фокусирующий излучение в кольцо. Полученные выражения позволили про анализировать эффекты, связанные с деполяризацией падающего излучения и отсутствием радиальной симметрии в результирующем поле.

5. Получено аналитическое выражение эйкональной функции оптическо го элемента, фокусирующего излучение в произвольную кривую в плоскости, параллельной плоскости оптического элемента. На основе полученных фор мул и приведенных исследований создан ряд ДОЭ и оптических устройств, содержащих ДОЭ.

6. Разработан асимптотический метод вычисления поля вблизи особых точек каустических поверхностей, исследована дифракция вблизи особых то чек каустических поверхностей. Получена связь между длиной слоя на фоку саторе и дифракционной шириной фокальной кривой.

Содержание диссертации отражено в следующих публикациях Монографии Методы компьютерной оптики (под редакцией В.А. Сойфера, издание 1.

второе, исправленное) / раздел 3.5 “Дифракция на двумерных отражаю щих структурах”, с. 188-210, раздел 3.6 “Градиентный метод синтеза ДОЭ”, с. 210-212, раздел 3.7 “Асимптотический анализ дифракции на зо нированных структурах” с. 212-223;

– С.И. Харитонов // М.: «Физмат лит», 2003, 688 с.

2. Methods for Computer Design of Diffractive Optical Elements (edited by V.A.

Soifer) / Chapter 3 “Design of DOE using electromagnetic theory”, pp.159 266. – L.L. Doskolovich, D.L. Golovashkin, S.I. Kharitonov, V.S. Pavelyev // John Wiley & Sons, Inc., New York, USA 2002, 765 p.

Методы компьютерного расчета дифракционных оптических элементов 3.

(под редакцией В.А. Сойфера) / раздел 3.5 “Дифракция на двумерных от ражающих структурах”, с. 188-210., раздел 3.6 “Градиентный метод син теза ДОЭ”, с. 210-212., раздел 3.7 “Асимптотический анализ дифракции на зонированных структурах” – С.И. Харитонов // Tianjin Science & Technology Press, Tiajin, 2007,570 (на китайском языке).

Статьи в реферируемых журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Голуб, М.А. Дифракционный расчет оптического элемента, фокусирующе 1.

го в кольцо / М.А. Голуб, Н.Л. Казанский, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, С.И.

Харитонов // Автометрия, 1987, № 6, с.8-15.

Голуб М.А Оценка дифракционного размытия фокальной линии геометро 2.

оптических фокусаторов / М.А. Голуб, Н.Л. Казанский, И.Н. Сисакян, В.А Сойфер, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. - 1989. - Вып.5. - С.34-38.

Голуб М.А. Дифракционный расчет интенсивности поля вблизи фокальной 3.

линии фокусатора / М.А. Голуб, Н.Л. Казанский, И.Н. Сисакян, В.А.Сойфер, С.И.Харитонов // Оптика и спектроскопия. - 1989. - Т.67, № 6.

- С.1387-1389.

Голуб М.А. Вычислительный эксперимент с фокусатором Гауссова пучка 4.

в прямоугольник с постоянной интенсивностью / М.А. Голуб, Л.Л. До сколович, Н.Л. Казанский, И.Н.Сисакян, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. - 1990. - Вып.7. - С.42-49.

5. Doskolovich L.L. Focusators for laser-branding / L.L. Doskolovich, N.L Kazan skiy, S.I. Kharitonov, G.V.Usplenjev // Optics and Lasers in Engineering. 1991. - Vol.15, № 5. - P.311-322.

6. Golub M.A. Computer generated diffractive multi-focal lens / M.A. Golub, L.L Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, V.A.Soifer // Journal of Modern Optics. - 1992. - Vol.39, № 6. - P.1245-1251.

Голуб М.А. Дифракционные поправки при фокусировке лазерного излуче 7.

ния в отрезок / М.А. Голуб, Л.Л. Досколович, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов // Оптика и Спектроскопия. – 1992. - № 6. - С. 1069-1073.

Голуб М.А.Дифракционный подход к синтезу многофункциональных фазо 8.

вых элементов / М.А Голуб, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.А Сойфер, С.И.Харитонов // Оптика и спектроскопия. - 1992. - Т.73, №1.- С.191-195.

Голуб М.А. Метод согласованных прямоугольников для расчета фокусато 9.

ров в плоскую область / М.А Голуб, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, И.Н Сисакян, В.А.Сойфер, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. - 1992. Вып.10-11. - С.100-110.

Голуб М.А. Исследование фокусаторов в прямоугольник методом вычис 10.

лительного эксперимента / М.А. Голуб, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.А.Сойфер, С.И.Харитонов // Компьютерная оптика. - 1992. - Вып.10-11. С.110-122.

Голуб М.А. Дифракционный расчет интенсивности светового поля вблизи 11.

фокальной линии / М.А. Голуб, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, И.Н.

Сисакян, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. - 1992. Вып.10-11. - С.122-127.

Голуб М.А. Фокусировка лазерного излучения в прямолинейно 12.

скругленные контура / М.А Голуб, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, С.И.

Харитонов // Компьютерная оптика. - 1992. - Вып.12. - С.3-8.

Досколович Л.Л.Фокусировка лазерного излучения на трехмерную поверх 13.

ность вращения / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, И.Н. Сисакян, В.А.Сой фер, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. 1992. - Вып.12. - С.8-14.

Досколович Л.Л. Нелинейное предыскажение фазы для фокусировки в сис 14.

тему фокальных линий / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов // Научное приборостроение. - 1993. - Т.3, № 1. - С.24-37.

Голуб М.А. Применение методов псевдогеометрической оптики для расче 15.

та полей от дифракционных оптических элементов / М.А. Голуб, Л.Л. До сколович, Н.Л. Казанский, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов // Научное прибо ростроение. - 1993. - Т.3, № 1. - С.38-46.

Досколович Л.Л. Сравнительный анализ аналитических и итерационных 16.

методов решения задачи фокусировки в отрезок / Л.Л. Досколович, Н.Л.

Казанский, В.А. Сойфер, С.И.Харитонов // Компьютерная оптика. - 1993. Вып.13. - С.16-29.

Волотовский С.Г. Программное обеспечение по компьютерной оптике / 17.

С.Г. Волотовский, М.А.Голуб, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.С. Па вельев, П.Г. Серафимович, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов, А.Е. Царего родцев // Компьютерная оптика. 1995. - Вып.14-15. - Ч.2. - С.94-106.

Казанский Н.Л., Сойфер В.А., Харитонов С.И. Математическое модели 18.

рование светотехнических устройств с ДОЭ // Компьютерная оптика. 1995.

- Вып.14-15. - Ч.2. - С.107-116.

Досколович Л.Л. Градиентный метод расчета многопорядковых дифракци 19.

онных решеток в приближении Рэлея./ Л.Л. Досколович, О.И. Петрова, В.А.

Сойфер, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика, 1996, № 16, с. 31-34.

Досколович Л.Л.Практический алгоритм расчета фокусаторов в линию с 20.

использованием криволинейных координат/ Л.Л. Досколович, С.И. Хари тонов // Компьютерная оптика, 1998, № 18, с. 37-39.

21. Doskolovich L.L. A method for estimating the DOE's energy efficiency / L.L.

Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, A.Ye Tzaregorodzev. // Optics and Laser Technology. - 1995. - Vol.27, № 4. - P.219-221.

22. Doskolovich L.L. A method of designing diffractive optical elements focusing into plane areas / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, V.A. Soi fer // Journal of Modern Optics, 1996, vol.43, № 7, pp.1423-1433.

23. Kazanskiy N.L. Application of a pseudogeometrical optical approach for calcu lation of the field formed by a focusator / N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, V.A.

Soifer // Optics & Laser Technology, 1996, vol.28, № 4, pp.297-300.

Сойфер В.А. Синтез бинарного фокусатора в произвольную кривую в 24.

электромагнитном приближении / В.А. Сойфер, Н.Л. Казанский, С.И. Ха ритонов // Компьютерная оптика, 1996, № 16, с. 22-27.

Досколович Л.Л. Метод оценки энергетической эффективности ДОЭ / Л.Л.

25.

Досколович, Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика, 1996, № 16, с. 47-50.

Досколович Л.Л. Проектирование светотехнических устройств с ДОЭ / 26.

Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов // Компьютерная опти ка, 1998, № 18, с. 91-96.

27. Soifer V.A. Synthesis of a Binary DOE Focusing into an Arbitrary Curve, Using the Electromagnetic Approximation / V.A. Soifer, N.L. Kazanskiy, S.I. Khari tonov // Optics and Lasers in Engineering, 1998, vol.29, №№ 4-5, pp. 237-247.

28. N.L. Kazanskiy Simulation of DOE-aided focusing devices / N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, V.A. Soifer // Optical Memory & Neural Networks, 2000, vol.

9, № 3, pp. 191-200.

29. Kazanskiy N.L. Investigation of Lighting Devices Based on Diffractive Optical Elements / N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, V.A. Soifer, A.V. Volkov // Optical Memory & Neural Networks, 2000, vol. 9, № 4, pp. 301-312.

30. Волотовский С.Г. Методы теории рассеяния для решения задач дифракци онной оптики / С.Г.Волотовский, Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов // Ком пьютерная оптика, 2001, № 21, с. 23-30.

31. Казанский Н.Л. Итеративный алгоритм расчета скорости и затухания трубных волн по данным акустического каротажа / Н.Л. Казанский, П.Г.

Серафимович, С.И. Харитонов // Известия Самарского научного центра РАН, 2001, Том 3, № 1, с.99-103.

32. L.L. Doskolovich A gradient method for design of varied - depth binary diffrac tion grating / L.L. Doskolovich, S.I. Kharitonov, O.I. Petrova, V.A. Soifer // Op tics and Lasers in Engineering, 1998, Vol. 29, № 5, pp. 249-259.

33. L.L. Doskolovich. Design of lenses for the focusing into a line / L.L. Dosko lovich, С.Bigliatti, S.I. Kharitonov, O.I. Petrova // Компьютерная оптика, 2000, № 20, с. 29-34.

34. Волотовский С.Г. Программный комплекс для расчета дифракционных оп тических элементов с использованием высокоскоростных вычислительных средств/ С.Г. Волотовский, Н.Л. Казанский, П.Г. Серафимович, С.И. Хари тонов // Компьютерная оптика, 2001, № 22, с. 75-79.

35. Досколович Л.Л. Исследование оптических систем управления передачей высоких энергий / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.И. Мордасов, С.П.

Мурзин, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика, 2002, № 23, с. 40-43.

36. Досколович Л.Л. Дифракционный расчет фокусаторов в фокальные кри вые. / Л.Л. Досколович, О.И.Петрова, С.И. Харитонов // Компьютерная оп тика, 2002, № 24, с. 8-16.

37. Досколович Л.Л. ДОЭ для формирования диаграммы направленности в виде линии. / Л.Л. Досколович, О.И.Петрова, С.И. Харитонов // Компью терная оптика, 2002, № 24, с. 40-42.

38. Досколович Л.Л. Исследование бинарных линз в рамках электромагнитной теории. / Л.Л.Досколович, О.И. Петрова, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика, 2003, № 25, с. 21-23.

39. Харитонов С.И. Асимптотические решения скалярного волнового уравне ния / С.И. Харитонов, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский // Компьютерная оптика, 2003, № 25, с. 49-53.

40. Doskolovich L.L. A DOE to form a line-shaped directivity diagram / L.L Doskolovich., N.L. Kazanskiy, V.A. Soifer, S.I. Kharitonov, P. Perlo // Journal of Modern Optics, 2004, Vol. 51, № 13, pp. 1999-2005.

41. Досколович Л.Л. Асимптотические решения уравнения Гельмгольца для псевдопериодических структур / Л.Л. Досколович, С.И Харитонов, Н.Л.

Казанский, Е.А. Тулупова, С.А. Скуратов // Компьютерная оптика, 2005, № 27, с. 50-55.

42. Doskolovich L.L. Designing reflectors to generate a line-shaped directivity dia gram / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, P. Perlo, S. Bernard // Journal of Modern Optics, 2005, Vol. 52, № 11, pp. 1529-1536.

43. Doskolovich L. Doskolovich, Calculating the surface shape of mirrors for shap ing an image in the form of a line / L. Doskolovich, S. Kharitonov // Journal of Optical Technology, 2005, vol. 72, № 4, pp.318-321.

44. Doskolovich L.L., Software for designing and modeling the diffraction gratings in the rigorous electromagnetic theory/ L.L. Doskolovich, E. A. Kadomina, I. I.

Kadomin, S. I. Kharitonov. // Optical Memory & Neural Networks, 2007, vol.

16 № 1, pp. 24-30.

45. Белоусов А.А. Градиентный метод расчета оптических элементов для формирования заданной освещенности на криволинейной поверхности / А.А. Белоусов, Л.Л. Досколович, С.И. Харитонов.// «Оптический журнал».

– 2008. – Т. 75. - №3. - С. 30-35.

46. Досколович Л.Л. Асимптотические методы для решения задач дифракции на ДОЭ / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, М.А. Моисеев, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика, 2006, № 30, с. 49-52.

47. Казанский Н.Л. Компактная запись решений системы уравнений Максвел ла в пространственно-частотном представлении / Н.Л. Казанский, М.Л.

Каляев, С.И. Харитонов// Антенны, 2007, № 10 (125), с. 13-21.

48. Харитонов С.И. Асимптотический метод расчета поля от оптических эле ментов, обладающих зонной структурой / С.И. Харитонов, Л.Л. Досколо вич, Н.Л. Казанский, М.Л. Каляев // Компьютерная оптика, 2007, Том 31, № 4, с. 7-18.

49. Досколович Л.Л. Интегральные представления решений уравнений Мак свелла в виде спектра поверхностных электромагнитных волн / Л.Л. Дос колович, Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика, 2008, Том 32, № 2, с. 151-154.

50. Харитонов С.И. Дифракция пространственно-ограниченного пучка на ра диально-симметричных дифракционных оптических элементах/ С.И Хари тонов, Н.Л. Казанский, А.Ю. Дмитриев // Вестник Самарского государст венного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева, 2008, № 2(15), с.72-86.

51. Безус Е.А. Расчет дифракционных структур для фокусировки поверхност ных электромагнитных волн / Е.А. Безус, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казан ский, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов, М. Пицци, П. Перло // Компьютерная оптика, 2009, Том 33, № 2, с. 185-192.

52. Белоусов А.А. Градиентный метод расчета преломляющих поверхностей для формирования заданных распределений освещенности / А.А. Белоусов, Л.Л. Досколович, С.И Харитонов // Автометрия, 2008, Том 44, № 2, с.91-100.

53. Дмитриев А.Ю. Асимптотический расчет светового поля от ДОЭ для фо кусировки в линию/ А.Ю. Дмитриев, Л.Л. Досколович, Харитонов С.И. // «Компьютерная Оптика», 2008, том 32 № 2, 195-200.

54. Дмитриев А.Ю. Расчет дифракционного оптического элемента для фокусировки в линию в непараксиальном случае / А.Ю.Дмитриев, Л.Л. Досколович, С.И. Харитонов// «Компьютерная Оптика», том 32 № 4, 344-347.

55. Дмитриев А.Ю. Геометрооптический расчет оптических элементов для фокусировки в линию в непараксиальном случае/ А.Ю. Дмитриев, Л.Л.

Досколович, Харитонов С.И., Моисеев М.А.//«Компьютерная Оптика», 2009 том 33 № 2, 122-128.

56. Дмитриев А.Ю. Геометрооптический расчет дифракционных оптических элементов для фокусировки в плоскую кривую в непараксиальном случае / А.Ю. Дмитриев, Л.Л. Досколович, С.И. Харитонов.// Компьютерная опти ка, 2009, том 33, № 4, c. 420-426.

57. Bezus E.A. Design of diffractive lenses for focusing surface plasmons / E.A.

Bezus, L.L. Doskolovich, N.L.Kazanskiy, V.A. Soifer and S.I. Kharitonov // Journal of Optics, Volume 12, Number 1, January 2010, 015001 (7pp).

58. Досколович Л.Л. Интегральные представления решений системы уравне ний Максвелла для анизотропных сред / Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Харитонов // Компьютерная оптика, 2010, Том 34, № 1, с. 52-57.

Патенты 1. Голуб М.А. Устройство для фокусировки монохроматического излуче ния / М.А. Голуб, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, И.Н. Сисакян, В.А.

Сойфер, С.И. Харитонов // Патент РФ на изобретение № 2024897. Опуб ликован 15.12.94, бюл. № 23. Решение по заявке № 4927509/10(032674) от 17.04.91.

2. Волков А.В. Устройство направленного излучения / А.В. Волков, Н.Л.

Казанский, О.Ю. Моисеев, В.А. Сойфер, С.И.Харитонов // Патент на изобретение № 2213985 от 10 октября 2003 года по заявке № 2002108779/28(009178) от 05.04.2002. Бюл. № 28.

3. Казанский Н.Л. Способ лазерной термической обработки материалов / Н.Л. Казанский, С.П. Мурзин, Досколович Л.Л., С.И. Харитонов, А.В.

Меженин // Патент РФ на изобретение № 2345148 от 27.01.2009 по заявке № 2006125300/02 от 13.07.2006. Бюл. № 3.

4. Сойфер В.А. Устройство для термозакалки режущей кромки резца / В.А.

Сойфер, Н.Л. Казанский, С.Р. Абульханов, Л.Л. Досколович, С.И. Хари тонов // Патент РФ на изобретение № 2341568 от 20.12.2008 по заявке № 2007101100/02 от 09.01.2007. Бюл. № 35.

Подписано к печати 29.06. Формат 60х84 1/ Бумага офсетная Усл. печ. л. 2,0.

Тираж 100 экз.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.