авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Имитационное моделирование динамики популяций, развивающихся в нестационарной среде

На правах рукописи

Логинов Константин Константинович Имитационное моделирование динамики популяций, развивающихся в нестационарной среде 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск – 2012

Работа выполнена в Омском филиале Учреждения Российской академии наук Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор, Перцев Николай Викторович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, Калинкин Александр Вячеславович кандидат физико-математических наук, доцент, Вакилов Андрей Николаевич

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 1 марта 2012 г. в 13 часов на заседании диссер тационного совета ДМ 212.179.07 при Омском государственном университете им. Ф. М. Достоевского по адресу: 644099, г. Омск, ул. Певцова, 13, ОФИМ СО РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета А. М. Семенов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одно из современных направлений в исследовании популяционной динамики связано с применением теории случайных процес сов, описывающих миграцию, репродукцию, гибель и превращение особей.

Наиболее разработанный подход к построению моделей опирается на слу чайный процесс рождения и гибели, а также ветвящиеся процессы, включая процессы с взаимодействием частиц (см., например, D.G. Kendall, 1948 г., T. Harris, 1966 г., P. Jagers, 1975 г., 1997 г., T.G. Hallam, 1983 г., Б.А. Сева стьянов, 1971 г., 1974 г., 1982 г., А.М. Зубков, 1985 г., 1993 г., Л.В. Недорезов, 1997 г., А.В. Калинкин, 2001 г., В.А. Ватутин, 2005 – 2008 г.г., В.И. Афанасьев, 2005 г., В.А. Топчий, С.А. Клоков, 2005 г., 2006 г., Б.Ю. Пичугин, 2006 г. и др.).

Важным аспектом в исследовании динамики популяций является учет неста ционарных условий среды обитания особей. На динамику популяций оказыва ют влияние разнообразные факторы, среди которых можно выделить ресурсы питания, температурный режим, емкость среды, загрязняющие и токсичные ве щества. Перечисленные факторы могут быть подвержены значительным изме нениям, что в свою очередь отражается на продолжительности жизни особей, численности их потомства и миграционной активности. Учет нестационарных условий среды обитания в сочетании с конкуренцией и самолимитированием особей, а также взаимодействием особей с компонентами окружающей среды, приводит к значительным трудностям при построении и исследовании стоха стических моделей популяционной динамики. Существующие аналитические методы зачастую неприменимы в конкретных задачах. Поэтому актуальной яв ляется разработка имитационных моделей популяционной динамики на основе теоретико–вероятностного описания, численных методов Монте–Карло и про грамм для высокопроизводительных ЭВМ. Имитационные модели позволяют изучать динамику популяций в условиях совместного влияния разноообраз ных факторов на отдельно взятых особей. Результаты имитационного моде лирования дают возможность оценивать не только математические ожидания численностей популяций, но и их дисперсии, корреляции между численно стями различных популяций, вероятности вырождения популяций и другие числовые характеристики.

Целью диссертационной работы является создание семейства стохастиче ских моделей, вычислительных алгоритмов и моделирующих программ, пред назначенных для исследования динамики популяций, развивающихся в неста ционарных условиях среды обитания особей.

Задачи работы:

1. Построение стохастических моделей динамики популяций с учетом влияния условий среды обитания на процессы репродукции и гибели особей (непосто янная продолжительность периодов между сезонным размножением особей, переменное количество пищевых ресурсов, приходящихся на одну особь, огра ниченное количество мест репродукции особей, воздействие на особей вред ных и токсичных веществ).

2. Исследование построенных моделей на основе изучения вспомогательных систем разностных и дифференциальных уравнений для математических ожи даний численностей популяций.

3. Разработка алгоритмов и моделирующих программ, реализующих постро енные модели на многопроцессорных и многоядерных ЭВМ.

4. Проведение вычислительных экспериментов для изучения характерных ре жимов динамики численности популяций и условий их вырождения.

Научная новизна.

1. На основе процессов Гальтона-Ватсона и -ветвящихся процессов впервые построены модели динамики популяций с сезонным размножением, учитыва ющие зависимость числа производимых особями потомков от нестационарных условий среды обитания (длительность до начала очередного сезона размно жения особей;

объем пищевых ресурсов, приходящихся на одну особь;

коли чество мест, доступных для репродукции особей).

2. Для моделей с сезонным размножением особей, учитывающих количество доступных для особей мест репродукции, впервые установлено, что динамика популяций определяется репродуктивным потенциалом особей A 0, вы числяемом в рамках линейной мажорирующей системы для математических ожиданий численностей популяций: для A A популяции вырождаются с ве роятностью 1;



при A A вероятность вырождения популяций за достаточно длительный период времени практически равна нулю, где A 1 — некоторое пороговое значение.

3. Для стохастической модели динамики конкурирующих популяций, разви вающихся в условиях воздействия на особей токсичных веществ, впервые исследованы режимы динамики популяций в терминах устойчивости поло жений равновесия вспомогательной системы нелинейных дифференциальных уравнений для условных математических ожиданий численностей популяций и количества токсичного вещества.

4. Для стохастических моделей динамики конкурирующих популяций, подвер женных воздействию вредных и токсичных веществ, разработаны эффектив ные алгоритмы численного моделирования и программы, ориентированные на многопроцессорные и многоядерные ЭВМ.

Теоретическая ценность. На основе процессов Гальтона-Ватсона, – вет вящихся процессов, нелинейного процесса рождения и гибели предложены подходы к построению и исследованию стохастических моделей динамики популяций, развивающихся в нестационарной среде обитания. Построенные модели представляют основу для создания моделей популяционной динамики в нестационарных условиях с учетом индивидуально-ориентированного опи сания особей.

Практическая ценность. Построенные модели и комплекс программ могут быть использованы при разработке технологий мониторинга и прогнозирова ния состояния окружающей среды, предотвращения и ликвидации ее загрязне ния, оценки воздействия природных и антропогенных факторов на динамику различных популяций.

Методы исследования. В работе использованы методы теории вероятно стей, ветвящихся случайных процессов и математической статистики, числен ные методы Монте-Карло, элементы теории обыкновенных дифференциаль ных уравнений, методология проведения вычислительных экспериментов на базе высокопроизводительных ЭВМ. Осреднение результатов вычислительных экспериментов проводилось с помощью стандартных формул математической статистики по выборкам из N = 1000 и N = 2000 реализаций.

Положения, выносимые на защиту.

1. Подходы к построению моделей динамики популяций с сезонным размноже нием особей на базе стохастических рекуррентных уравнений;

аналитические и численные методы исследования моделей.

2. Разработка моделей динамики конкурирующих популяций на базе нелиней ного процесса рождения и гибели и системы линейных дифференциальных уравнений на случайных промежутках времени.

3. Алгоритмы статического моделирования динамики популяций с учетом нелинейных эффектов и нестационарных условий среды обитания особей.

4. Характерные режимы динамики популяций, полученные по результатам вычислительных экспериментов на многопроцессорных и многоядерных ЭВМ.

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены соиска телем самостоятельно.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 2-ой и 3-ей Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007, 2009 г.г.), на 2-ой сессии научной школы-практикума молодых ученых и специалистов «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного модели рования» в рамках 6-ой Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (г. Санкт-Петербург, 2009 г.), на Всероссийской конференции по вычис лительной математике КВМ-2009 (г. Новосибирск, 2009 г.), на Международной конференции «Новые алгебро–логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах», секция «Вероятностные модели динамики попу ляций» (г. Омск, 2009 г.), на Международной конференции «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры» (г. Омск, 2010 г.), на 3–ей междуна родной конференции «Математическая биология и биоинформатика» (г. Пущи но, 2010 г.), на семинаре отдела численных методов Монте-Карло Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (г. Новоси бирск, 2010 г.), на научных семинарах лаборатории теоретико-вероятностных методов Омского филиала Учреждения Российской академии наук Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (г. Омск, 2007 – 2011 гг.).





Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 11 научных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (95 наименований). Объем диссерта ции — 131 страница. В каждой главе используется своя нумерация разделов, утверждений и формул. Работа содержит 28 диаграмм и 11 таблиц.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводятся задачи работы и краткое содержание диссертации.

В первой главе приведен обзор детерминированных и стохастических мо делей динамики популяций, опирающихся на дифференциальные уравнения, случайные процессы рождения и гибели, случайные процессы с взаимодей ствием частиц, процессы Гальтона-Ватсона, –ветвящиеся процессы и ветвя щиеся процессы в случайной среде. Представленный обзор показывает, что детерминированные и стохастические модели динамики популяций в неста ционарной среде представляют собой достаточно сложный объект для иссле дования.

Во второй главе рассматриваются две стохастические модели динамики изолированных популяций с сезонным размножением особей. Раздел 2.1 по священ исследованию динамики популяции с переменной длительностью пе риодов между сезонами размножения особей. В основу модели положен вет вящийся процесс Гальтона-Ватсона. Специфика модели состоит в том, что процессы рождения и гибели особей зависят от воздействия ряда факторов, которые влияют на численность и выживаемость потомства, а также на продол жительность жизни особей. Процесс рождения особей задается следующим образом: в моменты времени tk = k + k, k = 0, 1,..., каждая оплодотворен ная особь производит потомство, численность которого зависит от величины k. При выполнении неравенства k 0 от каждой оплодотворенной особи появляется 0 m1 особей. Если k 0, то величина потомства от одной оплодотворенной особи составляет m2 особей, 0 m2 m1. Величи ны k образуют ограниченную числовую последовательность, |k | q 1, 0 = 0. Обозначим 0 — интенсивность гибели особей;

— вероятность оплодотворения одной особи в течение промежутка (tk1, tk ), 0 1;

y(tk ) — численность особей в момент времени tk.

Уравнения модели имеют вид:

y(tk1 ) y(t0 ) = y0 0, y(tk ) = i (tk ), k = 1, 2,..., i= где i (tk ) — i.i.d. случайные величины, независящие от y(tk1 ), y0 — начальная численность популяции (заданная константа).

Закон распределения величин i (tk ) таков:

P (1 (tk ) = 0) = 1 exp tk, P (1 (tk ) = 1) = (1 ) exp tk, P (1 (tk ) = µk + 1) = exp tk, где tk = tk tk1 = 1 + k k1, µk = m1 I{k 0} + m2 I{k 0}.

Утверждение 1. Математическое ожидание E(y(tk )) и дисперсия D(y(tk )) численности популяции удовлетворяют рекуррентным соотношениям E(y(t0 )) = y0, E(y(tk )) = Hk E(y(tk1 )), D(y(t0 )) = 0, D(y(tk )) = Mk + Hk D(y(tk1 )), k = 1, 2,..., где 2 2 2 Mk = k E(y(tk1 )), k = Bk Hk, Bk = exp (1 + k k1 ) 1 + µk (µk + 2), Hk = exp( tk ) (1 + µk ), k = 1, 2,...

Из утверждения 1, находим, что k E(y(tk )) = y0 exp( tk ) (1 + µj ), k = 1, 2,...

j= Достаточные условия вырождения популяции или ее неограниченного роста зависят от поведения E(y(tk )) при t. Обозначим верхний репродуктив ный потенциал особи через AU = exp() (1 + m1 ), а нижний репродуктив ный потенциал через AL = exp() (1 + m2 ).

Следствие 1. Если lim E(y(tk )) = 0, (например, при AU 1), то популяция t вырождается с вероятностью 1;

если lim E(y(tk )) = +, (например, при t AL 1), то численность популяции неограниченно возрастает при условии ее невырождения в какой-либо момент tk.

На основе метода Монте-Карло разработан алгоритм численного моделиро вания динамики y(tk ) и создана моделирующая программа (язык программи рования C++). Приведены результаты вычислительных экспериментов, иллю стрирующих режимы вырождения и неограниченного роста популяции.

В разделе 2.2 построена модель, описывающая динамику популяции в усло виях переменного количества пищевых ресурсов, приходящихся на одну особь.

В основу модели положен -ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона. Главная особенность модели заключается в том, что при наступлении очередного се зона размножения не все дожившие особи популяции могут давать потом ство. Предполагается, что особи должны иметь определенный уровень по требленных пищевых ресурсов, необходимых для воспроизводства потомства.

В случае неограниченного количества пищевых ресурсов, необходимых для воспроизводства потомства, модель задается соотношениями (x(tk1 )) x(0) = x 0, x(tk ) = k,j, k = 1, 2,..., j= где x(t) — численность популяции в момент времени t, x0 — начальная числен ность особей (заданная константа), k,j — i.i.d. случайные величины с матема тическим ожиданием 0 A, независящие от (x(tk1 )), {tk } — последо вательность моментов времени, в которых особи дают потомство в количестве k,j, tk = tk1 +, t0 = 0, k Z+, k 1, Z+, 1. Случайная величина (x(tk1 )) описывает количество особей, рожденных в момент времени tk1 и доживших до момента времени tk в условиях воздействия различных факто ров, влияющих на гибель особей. Для задания закона распределения (x(tk1 )) используются постулаты случайного процесса чистой гибели. В этом случае случайная величина (x(tk1 )) имеет условное биномиальное распределение:

если x(tk1 ) = z Z+, то (x(tk1 )) B(exp(µ ), z), где µ 0 — интенсив (i) ность гибели особей. Обозначим через {tk1 } последовательность моментов (i) времени, в которые особи потребляют пищевые ресурсы, tk1 = tk1 + i, (i) (i) i = 1,...,. Для фиксированного tk1 полагаем, что xk1,i = x(tk1 ) — чис (i) ленность популяции, ck1,i = c(tk1 ) — количество пищевых ресурсов в среде (i) обитания особей, uk1,i = u(tk1 ) — текущее количество потребленных одной особью пищевых ресурсов, rk1,i — количество пищевых ресурсов, поступив ших в среду обитания особей в данный момент времени. Уравнения модели в случае учета влияния пищевых ресурсов на воспроизводство особей популя ции имеют вид:

xk1,i B(exp(µ), xk1,i1 ), k = 1, 2,..., i = 1,...,, ck1,i = q ck1,i1 + rk1,i min(q ck1,i1, xk1,i1 ), uk1,i = I{xk1,i1 0} uk1,i1 + min q ck1,i1 /xk1,i1,, uk1,i ( i), (xk1, ) B((wk ), xk1, ), wk = i= (xk1, ) k,j, ck,0 = ck1,, uk,0 = 0, x0,0 = x0, c0,0 = c0, u0,0 = 0.

xk,0 = j= Для изучения характерных режимов динамики численности популяции x(t) применялся метод Монте-Карло. Разработан алгоритм статистического мо делирования и моделирующая программа на языке программирования C++.

Представлены результаты вычислительных экспериментов для режима выро ждения популяции и стационарного режима, при котором численность попу ляции поддерживается на высоком положительном уровне. Эти режимы вы бирались исходя из значений репродуктивного потенциала особи Aµ,, = A () exp(µ ), где A () — математическое ожидание численности потомства одной особи с учетом максимально возможного средневзвешенного за промежуток (tk1, tk ) количества потребленных пищевых ресурсов, () — вероятность события, состоящего в том, что каждая из доживших до момента tk особей способна дать потомство в зависимости от конкретного значения величины. Вычисли тельные эксперименты показывают, что при Aµ,, 1 популяция вырождается с вероятностью 1 (это соответствует известным результатам для -ветвящихся процессов). В случае Aµ,, 1 численность популяции поддерживается на стационарном положительном уровне довольно длительный промежуток вре мени, вероятность вырождения популяции практически равна нулю. На (рис. 1) представлены типичные режимы динамики средней численности популяции:

стационарный режим (Aµ,, 1) и режим вырождения (Aµ,, 1).

n t t 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Рис. 1. Стационарный режим и вырождение популяции (модель из раздела 2.2) В третьей главе рассматривается нелинейная стохастическая модель ди намики популяции с учетом возрастной структуры особей и ограниченности мест репродукции. Процесс воспроизводства потомства задается следующим образом: в момент времени t = 0, 1, 2,..., особи репродуктивного возрас та производят кладку яиц в местах репродукции, в момент времени t + из яиц появляются особи нулевого возраста. Предполагается, что: 1) коли чество мест репродукции фиксированно;

2) на конкретном месте потомство появляется только у особи, пришедшей туда последней;

3) некоторые места репродукции могут иметь преимущество перед другими местами. Модель за дается марковским случайным векторным процессом x(t) = (x0 (t),..., x (t)), где xi (t) — количество особей возраста i в момент времени t, i = 0,...,.

Уравнения модели имеют вид:

n I xj (t) 0 j (t), x0 (t + 1) = r j= xi1 (t) xi (t + 1) = xi1 (t) (i1)j (t), i = 1,...,, j= xi (0) = x0 0, i = 0,...,, i где — предельный возраст особи;

ij (t) — i.i.d. случайные величины, отра жающие гибель особи i-го возраста, независящие от xi (t);

n — количество мест репродукции;

xj (t) — количество особей репродуктивного возраста, при r шедших производить кладку на место репродукции с номером j;

j (t) 0 — дискретная случайная величина, равная величине потомства от одной особи, независящая от xj (t);

x0 — начальные численности особей (заданные констан r i ты). Обозначим 0 l1 l2 — границы репродуктивного возраста особей, qj — вероятность предпочтения особью j–го места репродукции, pk1 — веро ятность для особи возраста k 1 дожить до возраста k, j — среднее число потомков от одной особи на месте репродукции под номером j.

Утверждение 2. Для математических ожиданий Exi (t) численностей особей справедливы оценки 0 Exi (t) zi (t) zi, i = 0,...,, t = 1, 2,..., где zi (t) удовлетворяют системе уравнений l n zi (t) j (1 (1 qj )i=l z0 (t + 1) = ), j= zi (t + 1) = (1 pi1 ) zi1 (t), i = 1,...,, zi (0) = xi (0), i = 0,...,, а константы zi задаются соотношениями:

n j, zk = (1 pk1 ) max{zk1 (0), zk1 }, k = 1,...,.

z0 = j= i (1 pk ), R(0) = 1 — функцию дожития особей Обозначим через R(i) = k= до возраста i и введем репродуктивный потенциал особи A по формуле:

l n A= j ln R(i).

(1 qj ) j=1 i=l Утверждение 3. Пусть A 1. Тогда переменные zi (t) из утверждения таковы, что для каждого i = 0,...,, существует lim zi (t) = 0.

t+ Следствие 2. При выполнении неравенства A 1 имеем, что для каждого i = 0,...,, Exi (t) 0 при t +, т.е. популяция вырождается с вероят ностью 1.

На основе метода Монте-Карло построен алгоритм численного модели рования и разработана моделирующая программа (язык программирования C++). Проведены вычислительные эксперименты при различных значениях репродуктивного потенциала A. Вычисления показывают, что при A 1 по пуляция вырождается за относительно короткий промежуток времени. При 1 A A, где A = 1.3, время до вырождения популяции значительно возрастает. В случае A A численность популяции поддерживается на по ложительном стационарном уровне довольно продолжительный промежуток времени. Этот уровень оценивается сверху стационарным решением системы разностных уравнений, приведенной в утверждении 2. Таким образом, вычис лительные эксперименты показывают, что вероятность вырождения популя ции в случае A A за длительный период времени практически равна нулю.

Описанные результаты продемонстрированы на (рис. 2);

пунктирной линией показана верхняя оценка математического ожидания численности популяции.

mt t 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Рис. 2. Стационарный режим динамики популяции при A A В четвертой главе построены и исследованы две стохастические модели динамики конкурирующих популяций, развивающихся в условиях воздействия на особей вредных и токсичных веществ. Рассматривается биологическое со общество, состоящее из особей, принадлежащих популяциям X1,..., Xm, осо би которых дают потомство и погибают вследствие конкуренции с другими особями сообщества. Приток особей и их миграция отсутствуют.

Раздел 4.1 посвящен стохастической модели динамики конкурирующих по пуляций, развивающихся в условиях воздействия токсичных веществ. Предпо лагается, что в среду обитания особей поступает токсичное вещество, взаимо действие особей с этим веществом может приводить к их гибели. В качестве модели рассматривается случайный процесс Z(t) = (x(t), c(t)), t 0, где x(t) = (x1 (t),..., xm (t)) — вектор численностей популяций, компоненты ко торого неотрицательны и целочисленны, c(t) 0 — количество токсичного вещества в среде обитания особей в момент времени t. Вводится семейство детерминированных функций C,v (t), 0, v 0, которые описывают ди намику изменения количества токсичного вещества при условии, что особи сообщества с ним не контактируют. Каждая из функций указанного семейства является решением задачи Коши C,v (t) = r(t) C,v (t), t, C,v ( ) = v, где под C,v (t) понимается правосторонняя производная;

r(t) — функция, за дающая скорость поступления токсичного вещества в среду обитания осо бей;

— интенсивность снижения количества токсичного вещества за счет естественного распада и потери токсичности. Случайная последовательность 0 = t0 t1 · · · моментов скачков процесса Z(t) задается следующим образом: для всех k Z+, u Zm, 0, v 0, s 0, + +s P tk+1 + s | tk =, Z(tk ) = (u, v) = exp Q,u,v (t) dt, m где Q,u,v (t) = (i + i (u) + µi C,v (t)) ui ;

i — интенсивность производства i= m потомства особями популяции Xi ;

i (u) = ij uj — интенсивность гибели j= одной особи популяции Xi вследствие конкуренции с особями сообщества;

µi — интенсивность контактов одной особи популяции Xi с токсичным ве ществом. При фиксированных tk = и Z(tk ) = (u, v) предполагается, что до момента следующего скачка процесс Z(t) определяется равенством Z(t) = (u, C,v (t)) для всех t (tk, tk+1 ). Обозначим через Fi (w, c) [0, 1] — вероятность того, что в момент контакта особи популяции Xi с токсичным веществом будет израсходовано не более w 0 токсичного вещества при условии, что на момент контакта общее количество токсичного вещества рав но c 0, Fi (0, c) = 0, Fi (w, c) = 1 при w c;

i 0 — пороговое количество токсичного вещества для особей популяции Xi : если в момент контакта особи с токсичным веществом израсходовано больше чем i этого вещества, то особь погибает. Случайный скачок процесса Z(t) в момент tk+1 для всех k Z+ таких, что tk+1, определяется следующим образом: рассматривается слу чайная величина i ( ), равная количеству токсичного вещества, которое будет израсходовано в момент, если в этот момент произойдет контакт особи по, пуляции Xi с токсичным веществом. Для i = 1,..., m, m u Z+, u = 0, v 0, w 0, i ui P Z( ) = (u + ei, C,v ( )) | tk =, tk+1 =, Z(tk ) = (u, v) =, Q,u,v ( ) i (u) ui ) = (u ei, C,v ( )) | tk =, tk+1 =, Z(tk ) = (u, v) = P Z(, Q,u,v ( ) ) w | tk =, tk+1 =, Z(tk ) = (u, v) = Fi (w, C,v ( )), P i ( ) = (u ei, C,v ( ) w) | tk =, tk+1 =, Z(tk ) = (u, v), i ( ) = w = P Z( µi C,v ( ) ui = I{w i }, Q,u,v ( ) ) = (u, C,v ( ) w) | tk =, tk+1 =, Z(tk ) = (u, v), i ( ) = w = P Z( µi C,v ( ) ui = I{w i }, Q,u,v ( ) где ei Zm — вектор, у которого координата номер i равна 1, а остальные координаты равны 0.

Аналитическое исследование построенной модели практически невозмож но. Вместе с тем, указан частный случай модели, при котором удается объ яснить эффект вырождения одной из популяций в терминах анализа устой чивости положений равновесия вспомогательной системы дифференциальных уравнений. Пусть далее рассматривается динамика двух конкурирующих по пуляций в условиях, когда уровень токсичного вещества в среде обитания осо бей достаточно высок. Положим i ( ) = min{C,v ( ), i ( )}, где i ( ) — слу чайная величина, равномерно распределенная на промежутке [0, i ], i i, i = 1, 2, = max{1, 2 }. Обозначим m1 (t) = E x1 (t)|c(t), m2 (t) = E x2 (t)|c(t), m3 (t) = E c(t)|c(t).

Для описания динамики m1 (t), m2 (t), m3 (t) предложена следующая система дифференциальных уравнений (без учета условных моментов второго поряд ка — дисперсий и ковариаций):

m1 (t) = 1 m1 (t) 11 m2 (t) 12 m1 (t) m2 (t) µ1 p1 m1 (t) m3 (t), m2 (t) = 2 m2 (t) 21 m1 (t) m2 (t) 22 m2 (t) µ2 p2 m2 (t) m3 (t), m3 (t) = r m3 (t) µ1 q1 m1 (t) m3 (t) µ2 q2 m2 (t) m3 (t), m1 (0) = x1 (0), m2 (0) = x2 (0), m3 (0) = c(0), где pi = 1 i /i, qi = 0.5 i, i = 1, 2, r(t) = r = const 0. Установлены условия асимптотической устойчивости неотрицательных положений равнове сия этой системы. Для конкретных наборов параметров модели показано, что вырождение популяций в рамках стохастической модели соответствует асим птотической устойчивости положений равновесия вида (0, m, m ) при выро 2 ждении популяции X1 и (m, 0, m ) при вырождении популяции X2, m 0, 1 3 i i = 1, 2, 3.

В разделе 4.2 исследуется стохастическая модель динамики популяций в условиях потребления особями вредных пищевых ресурсов. В данной модели в среду обитания особей поступают вещества C1,..., Cn, которые потребляются особями в составе пищевых ресурсов, причем потребление отдельных веществ Cj или некоторых их комбинаций может приводить к гибели особей. Предпола гается, что одна особь популяции Xi способна потреблять любую комбинацию веществ C1,..., Cn, пока не достигнет предела насыщения. Каждое вещество Cj может потребляться особью в несколько приемов. В качестве модели ди намики сообщества рассматривается случайный процесс Z(t) = (x(t), c(t)), где x(t) = (x1 (t),..., xm (t)) — вектор численности популяций, компоненты которого неотрицательны и целочисленны, c(t) = (c1 (t),..., cn (t)) — век тор с неотрицательными компонентами, описывающими количество веществ C1,..., Cn в среде обитания особей в момент времени t. Вводится семейство функций Cj,,b (t), 0, b 0, как набор решений задач Коши dCj,,b (t) = rj (t) j Cj,,b (t), t, Cj,,b ( ) = b, j = 1,..., n, dt где rj (t) — функция, задающая скорость поступления вещества Cj в среду оби тания особей;

j — интенсивность снижения количества вещества Cj за счет естественного распада. Случайная последовательность 0 = t0 t1 · · · моментов скачков процесса Z(t), вызванных изменениями численности попу ляций определяется следующим образом: для всех k Z+, u Zm, v Rn,+ + 0, s 0, P tk+1 + s | tk =, Z(tk ) = (u, v) = exp(Qu s), m где Qu = (i + i (u) + µi ) ui ;

i — интенсивность производства потомства i= m особями популяции Xi ;

i (u) = ij uj — интенсивность гибели одной особи j= популяции Xi вследствие конкуренции с особями сообщества;

µi — интенсив ность поиска пищевых ресурсов особями популяции Xi. При фиксированных tk = и Z(tk ) = (u, v) до момента следующего скачка процесс Z(t) опре деляется равенством Z(t) = (u, C,v (t)) для всех t (tk, tk+1 ). Обозначим через Fi (y1,..., yn, w1,..., wn ) — вероятность того, что одной особью популя ции Xi будет потреблено не более y1,..., yn веществ C1,..., Cn при условии, что на момент начала потребления количество этих веществ равно w1,..., wn ;

ji ( ) — случайная величина, равная количеству вещества Cj, которое будет потреблено одной особью популяции Xi в момент. Случайный скачок про цесса Z(t) в момент tk+1 определяется с помощью следующих соотношений:

i ui P Z( ) = (u + ei, C,v ( )) | tk =, tk+1 =, Z(tk ) = (u, v) =, Qu i (u) ui Z( ) = (u ei, C,v ( )) | tk =, tk+1 =, Z(tk ) = (u, v) = P, Qu 1i ( ) y1,..., ni ( ) yn | tk =, tk+1 =, Z(tk ) = (u, v) = P = Fi (y, C,v ( )), Z( ) = (u ei, C,v ( ) y) | tk =, tk+1 =, Z(tk ) = (u, v), i ( ) = y = P µi u i = 1 exp i (y1,..., yn ), Qu Z( ) = (u, C,v ( ) y) | tk =, tk+1 =, Z(tk ) = (u, v), i ( ) = y = P µi u i = exp i (y1,..., yn ).

Qu Изучение характерных режимов динамики популяций в рамках моделей, построенных в разделах 4.1 и 4.2, проводилось на основе методов Монте– Карло. С помощью метода «максимального сечения» построен экономичный алгоритм имитационного моделирования. Для проведения вычислительных экспериментов разработан комплекс моделирующих программ на языке C++.

В расчетах выбраны параметры, при которых детерминированный аналог дан ных моделей без учета влияния токсичных и вредных веществ имеет ненулевое глобально асимптотически устойчивое положение равновесия. Вычисления показали, что учет влияния токсичных и вредных веществ в среде обитания особей существенно снижает уровень популяции или даже может приводить к ее вырождению. На (рис. 3) приведен пример снижения средней численности популяций X1, X2 при воздействии токсичных веществ (цифрами 3, 4 обо значены оценки математических ожиданий Ex1 (t), Ex2 (t) соответственно) по сравнению со стационарным уровнем при отсутствии воздействия токсичных веществ (1, 2 соответственно).

n i t t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Рис. 3. Снижение средней численности популяций при воздействии токсичных веществ (мо дель из раздела 4.1) Для повышения эффективности проведения вычислительных эксперимен тов с моделями были разработаны параллельные алгоритмы для многопроцес сорных и многоядерных ЭВМ с использованием технологий MPI и OpenMP.

Эти алгоритмы построены так, что различными процессорами независимо друг от друга осуществляется вычисление заданного количества реализаций моделируемого случайного процесса с последующим финальным осреднени ем на главном процессоре с помощью стандартных формул математической статистики. Вычисления проводились на вычислительном кластере HKC-30T Сибирского Суперкомпьютерного Центра (г. Новосибирск);

на суперкомпью тере МВС – 1000/128 и четырехъядерном компьютере Core2Quad 2.66 ГГц 3Гб RAM, установленных в Омском филиале Учреждения Российской акаде мии наук Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН. Параллельные расчеты производились также с помощью системы MONC на базе локаль ной сети Омского филиала Учреждения Российской академии наук Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

1. Построено семейство стохастических моделей динамики популяций, учиты вающих влияние нестационарных условиях среды обитания на репродукцию особей и продолжительность их жизни.

2. Разработаны подходы для аналитического исследования поведения мате матических ожиданий численностей популяций и условий их вырождения на основе нелинейных систем разностных и дифференциальных уравнений.

3. Разработаны алгоритмы численного моделирования и комплекс программ, реализующих построенные модели на ЭВМ, включая программы для много процессорных и многоядерных ЭВМ.

4. Аналитически и численно исследовано влияние нестационарных условий среды обитания особей на характерные режимы динамики популяций, включая вырождение популяций и поддержание их численностей на ненулевых уровнях в течение длительного периода времени.

Работы автора по теме диссертации Публикации в журналах, рекомендованных ВАК РФ:

1. Леоненко В.Н., Логинов К.К. Вычислительные аспекты имитационно го моделирования распространения туберкулеза // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского Государственного Университета информа ционных технологий, механики и оптики. 2010. № 4 (68). С. 99 – 103.

2. Логинов К.К., Перцев Н.В. Применение – ветвящихся процессов для исследования динамики популяции в условиях ограниченного количе ства пищевых ресурсов // Вестник Омского Университета. 2011. № 2.

С. 24 – 29.

3. Перцев Н.В., Логинов К.К. Стохастическая модель динамики биологи ческого сообщества в условиях потребления особями вредных пищевых ресурсов // Математическая биология и биоинформатика. 2011. Т. 6, № 1.

С. 1 – 13.

4. Перцев Н.В., Пичугин Б.Ю., Логинов К.К. Статистическое моделирование динамики популяций, развивающихся в условиях воздействия токсичных веществ // Сибирский журнал индустриальной математики. 2011. Т. 14, № 2(46). С. 84 – 94.

Прочие публикации:

5. Логинов К.К. Вычислительные аспекты имитационного моделирования динамики конкурирующих популяций в условиях воздействия токсичных веществ // Труды международной конференции «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры». Омск, 2010. С. 54 – 55.

6. Логинов К.К. Математическая модель динамики популяции, развиваю щейся в нестационарной среде // Вестник Омского Университета. 2009.

№ 2. С. 50 – 54.

7. Логинов К.К. Статистическое моделирование динамики конкурирующих популяций в условиях воздействия вредных веществ // Международная школа – семинар «Новые алгебро–логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах», секция «Вероятностные модели динамики популяций». Омск, 2009. С. 43 – 44.

8. Логинов К.К., Перцев Н.В. Имитационное моделирование динамики по пуляции, развивающейся в нестационарной среде // Материалы 3-ей меж дународной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». Воронеж, 2009. С. 61–62.

9. Перцев Н.В., Логинов К.К. Применение ветвящихся случайных процессов для моделирования динамики популяции с сезонным размножением // Ма териалы 2–ой международной научной конференции «Современные про блемы прикладной математики и математического моделирования». Во ронеж, 2007. С. 149 – 150.

10. Перцев Н.В., Логинов К.К. Стохастическая модель популяционной дина мики в условиях ограниченности мест репродукции // Сборник статей 2–ой международной научно–технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем». Пенза, 2007. С. 174 – 177.

11. Пичугин Б.Ю., Перцев Н.В., Логинов К.К. Стохастическая модель ди намики популяций, развивающихся в условиях воздействия токсичных веществ // Доклады 3–ей международной конференции «Математическая биология и биоинформатика». Пущино, 2010. С. 208 – 209.

В [1] Логинову К.К. принадлежит планирование и проведение вычислитель ного эксперимента на основе системы MONC (разработка ИВМиМГ СО РАН).

В [2] Логинову К.К. принадлежат построение и результаты исследования моде ли, в том числе — результаты численного исследования. В [3] Логиновым К.К.

создан вариант модели, для которой учитывается потребление особями ком плекса различных пищевых ресурсов, разработан алгоритм моделирования и проведен вычислительный эксперимент. В [4] Логинову К.К. принадлежат ре зультаты аналитического и численного исследования динамики двух конкури рующих популяций, развивающихся под воздействием токсичного вещества. В работах [8 – 11] Логинову К.К. принадлежат результаты аналитического иссле дования моделей и результаты вычислительных экспериментов, полученных с помощью разработанных моделирующих программ.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.