авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Моделирование электромагнитных процессов в элементах ускорителей заряженных частиц

На правах рукописи

Корсун Мария Михайловна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ В

ЭЛЕМЕНТАХ УСКОРИТЕЛЕЙ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Новосибирск – 2010

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент Рояк Михаил Эммануилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Винокуров Николай Александрович доктор технических наук, профессор Фроловский Владимир Дмитриевич

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и мате матической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 23 декабря 2010 года в 1200 часов на заседании диссертаци онного совета Д 212.173.06 при Государственном образовательном учрежде нии высшего профессионального образования «Новосибирский государст венный технический университет» по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государ ственного технического университета.

Автореферат разослан «_» ноября 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Чубич В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При разработке конструктивных элементов ускори телей заряженных частиц необходимо рассматривать большое количество ва риантов для выбора наилучшей конструкции, что, как правило, удается с боль шими временными, материальными и энергетическими затратами. Поэтому со временное проектирование сложных технических установок во многом опреде ляется степенью эффективности предварительного математического моделиро вания, суть которого заключается в детальном анализе различных физических процессов.

В области ускорительной физики к самым распространенным можно от нести задачи: моделирования трхмерных магнитостатических полей с возмож ностью задания сложной геометрии устройства, нелинейных и анизотропных свойств материалов;

исследования динамики заряженных частиц в магнитном поле. Решением перечисленных задач успешно занимаются известные зарубеж ные программные комплексы такие, как ANSYS, OPERA3D, FEMLAB. В каче стве основного метода моделирования в этих программных комплексах исполь зуется метод конечных элементов (МКЭ), а в качестве основной математиче ской модели электромагнитного поля используется система уравнений Мак свелла.

За последнее десятилетие моделирование нестационарных электромаг нитных процессов получило наибольшее развитие в задачах геоэлектроразвед ки (поиск нефтегазоносных слоев, залежей угля и других ископаемых) и волно вых процессов (моделирование СВЧ устройств, выбор оптимальных конструк ций антенн и пр.). Для решения таких задач могут применяться как указанные выше универсальные программные пакеты, так и разрабатываемые для решения конкретной проблемы узконаправленные программные комплексы (например, ЭР-ГЭЛ, QuickWave, CST MWS, HFSS).

Для решения новых нестандартных задач зачастую требуется такой инст рументарий, которого универсальные программные комплексы не имеют в на личии. Поэтому большинство проектировщиков-исследователей вынуждены проводить «приближенное» компьютерное моделирование с использованием, например, двумерных расчетов. Стоит отметить, что существует достаточно много развитых программных комплексов для моделирования двумерных не стационарных задач электромагнетизма, среди зарубежных можно выделить COMSOL, FLUX 2D, среди российских ELCUT (QuickField).

Моделирование трхмерных задач, в которых необходимо достаточно точно учитывать влияние вихревых токов на изучаемый физический процесс, представляет особую сложность. В области ускорительной физики к таким за дачам можно отнести: оценку времени выхода циклотрона на стационарный режим (фактически нужно отслеживать время затухания вихревых токов), мо делирование схем экстракции, в которых используются импульсные магниты.

При изучении таких процессов методы моделирования должны, прежде всего, обладать высокоточными вычислительными схемами.

В настоящее время для решения таких задач предлагаются подходы с ис пользованием элементов векторного типа. Эти методы основаны на примене нии специально организованных векторных базисов, которые позволяют стро ить аппроксимации математических моделей как в терминах естественных век торных переменных, так и в терминах потенциалов. Такие методы хотя и суще ственно расширяют класс решаемых задач, но имеют серьзные проблемы при наличии в трхмерной расчтной области непроводящих подобластей. В рабо тах Соловейчика Ю.Г. рассматриваются математические модели, основанные на использовании в проводящих подобластях векторного МКЭ, а в непроводя щих подобластях – скалярного МКЭ. Предлагаемый подход позволяет в непро водящем пространстве описать физический процесс скалярным потенциалом, что не только делает матрицу конечноэлементной системы линейных алгебраи ческих уравнений (СЛАУ) невырожденной, но и существенно сокращает ее размерность.

Наряду с использованием МКЭ, при моделировании нестационарных электромагнитных процессов в некоторых работах зарубежных исследователей предлагается использовать метод граничных элементов (МГЭ). Безусловно, к преимуществам этого метода можно отнести значительное упрощение алгорит мов построения сеток, поскольку в нм нет необходимости проводить дискре тизацию внутри области, а также возможность естественным образом учиты вать неограниченные подобласти. Однако применение метода граничных эле ментов в чистом виде для моделирования нестационарных электромагнитных процессов затруднительно из-за необходимости использования векторного по тенциала в проводящих областях и возможной зависимости коэффициентов уравнения от искомого поля. Кроме того, получаемая в методе граничных эле ментов СЛАУ является плотной, что в условиях ограниченных вычислительных ресурсов может создавать дополнительные трудности.



В данной диссертационной работе рассматриваются и исследуются под ходы к моделированию нестационарных электромагнитных полей, основанные на математических моделях с совместным использованием векторного и ска лярного МКЭ, как напрямую (т.е. без выделения нормального поля), так и с учетом технологии разделения полей. Кроме решения задач традиционным для большинства программных пакетов методом конечных элементов, в данной ра боте исследуется возможность моделирования электромагнитных процессов смешанным методом – методом конечных и граничных элементов. Все предла гаемые вычислительные технологии реализованы в программном комплексе TELMA.

Разработанные в данной диссертационной работе вычислительные схемы и их программная реализация позволяют создавать новые технологии модели рования электромагнитных процессов, необходимые на этапе проектирования элементов ускорительной техники, что в конечном итоге заметно ускоряет и удешевляет процесс проектирования технических устройств. Вс это и опреде ляет актуальность предлагаемой диссертационной работы.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема численного моделирования трех мерных электромагнитных полей, формирующихся в основном за счет вихре вых токов, в конструкциях с высоким контрастом магнитных проницаемостей и электрических проводимостей.

Цель исследования состоит в разработке новых и повышении эффектив ности наиболее часто используемых перспективных методов численного моде лирования трхмерных электромагнитных процессов в сложных трхмерных областях и программных средств, реализующих эти методы.

Научная новизна:

1. Разработаны вычислительные схемы с использованием смешанных ко нечноэлементных сеток для моделирования нестационарных электромагнитных полей, которые в проводящих подобластях описываются дифференциальным уравнением в естественных переменных, а в непроводящих подобластях – диф ференциальным уравнением относительно магнитного потенциала.

2. Разработана и реализована технология совместного использования ме тода конечных и граничных элементов для вычислительной схемы моделирова ния нестационарных электромагнитных полей, описывающихся дифференци альными уравнениями на основе скалярного и векторного потенциалов.

3. Проведены исследования эффективности использования различных вычислительных схем при решении задачи моделирования слоистых магнит ных экранов для проектирования ускорителей заряженных частиц.

4. Разработана и реализована вычислительная схема с использованием анизотропных коэффициентов магнитной проницаемости и электрической про водимости для моделирования нестационарных электромагнитных полей в тех нических устройствах с шихтованными материалами.

На защиту выносятся 1. Результаты исследования эффективности вычислительных схем при решении задачи моделирования слоистых магнитных экранов для проектирова ния ускорителей заряженных частиц.

2. Объектно-ориентированная реализация вычислительной схемы с ис пользованием смешанных конечноэлементных сеток и возможностью исполь зования в непроводящих подобластях граничных элементов совместно с век торными конечными элементами в проводящих подобластях.

3. Результаты исследования эффективности вычислительной схемы с со вместным использованием конечных и граничных элементов.

4. Результаты исследований возможности учта шихтованного материала как материала с анизотропными коэффициентами магнитной проницаемости и электрической проводимости при решении практических задач.

5. Объектно-ориентированная реализация библиотеки токовых обмоток COILEDITOR в программном комплексе TELMA и полученные с е использо ванием результаты решения практических задач.

Практическая ценность работы и реализация результатов Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном ком плексе TELMA и применяются для решения сложных практических задач:

моделирование многослойных магнитных экранов, используемых в системе экстракции пучка заряженных частиц из ускорительных установок;

моделирование магнитостатических полей при анализе качества фокусиров ки квадрупольной линзы;

моделирование магнитных систем, основанных на использовании косинус ных магнитов.

Результаты диссертационной работы использовались при выполнении следующих хоздоговорных работ:

«Конечноэлементные исследования магнитных полей дипольных магнитов HEBT и MEBT с учетом шихтованности и сложной геометрии» (2007 г., НИУ ИЯФ им Г. И. Будкера СО РАН);

«Конечноэлементные исследования магнитных полей косинусных магни тов» (2009 г., НИУ ИЯФ им Г. И. Будкера СО РАН).

Достоверность результатов Корректность вычислительных процедур, разработанных на основе мате матических моделей нестационарного электромагнитного поля, подтверждена следующими вычислительными экспериментами.

1. Корректность расчетов трехмерных нестационарных электромагнит ных полей проверялась посредством сравнения решения осесимметричной за дачи в трехмерной постановке с решением этой же осесимметричной задачи в двумерной постановке.

2. Точность расчетов нестационарного электромагнитного поля с исполь зованием технологии выделения поля проверялась путем сравнения с решения ми трехмерных задач на сетках с высоким уровнем подробности.

3. Корректность результатов, полученных вычислительными схемами, позволяющими заменить шихтованный материал материалом с анизотропными коэффициентами, проверялась в сравнении с серией расчетов трехмерной зада чи, в расчетной области которой постепенно уменьшалась толщина шихтовки и, следовательно, увеличивалось число пластинок. При уменьшении толщины шихтовки решение задачи сходилось к решению задачи с анизотропными ко эффициентами.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что исследованы раз личные вычислительные схемы для решения задач электромагнетизма в техни ческих устройствах, содержащих слоистые материалы.

Личный вклад Разработаны и программно реализованы конечноэлементные схемы моде лирования нестационарных электромагнитных полей. Построенные численные процедуры протестированы, проведена оценка их точности и вычислительной эффективности. Выполнена верификация решения трехмерных задач.





Для использования в программном комплексе TELMA смешанных сеток автором реализованы пятигранные и шестигранные конечные элементы с ли нейными базисами скалярного и векторного типов.

Автором проведен анализ точности разработанных методов и алгоритмов, выполнено сравнение их вычислительной эффективности с другими подхода ми.

Все приведнные в диссертационной работе результаты численного моде лирования получены с использованием программного комплекса TELMA, од ним из разработчиков которого является автор.

Апробация работы Основные результаты работы были представлены и докладывались на:

Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии.

Инновации» (г. Новосибирск, 2005 и 2006 г.г.);

Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникации» (г. Новосибирск, 2006 г.);

Восьмой международной конференции Актуальные проблемы элек тронного приборостроения (г. Новосибирск, 2006 г.);

XV Международной кон ференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (г. Москва, 2008 г.);

XVI Международной конференции по вычислительной механике и со временным прикладным программным системам (г. Алушта, 2009 г.);

Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математи ческое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.);

V и VII Всерос сийской межвузовской конференции молодых ученых (г. Санкт-Петербург, 2008 и 2010 г.г.);

XVII международной конференции «Математика. Компьютер.

Образование» (г. Дубна, 2010 г.).

Публикации По результатам выполненных исследований опубликовано 10 печатных работ, из них: 3 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендо ванных ВАК РФ;

1 статья в сборнике научных трудов;

6 работ в сборниках тру дов конференций.

Диссертационная работа выполнялась при финансовой поддержке феде ральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инно вационной России» на 2009 – 2013 годы.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (132 наименования) и двух приложений.

Работа изложена на 186 страницах, содержит 68 рисунков и 9 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В первой главе рассматриваются вычислительные схемы, которые ис пользуются при моделировании трехмерных нестационарных электромагнит ных процессов, описываемых системой уравнений Максвелла.

В п. 1.1 приводится математическая модель с совместным использовани ем векторного потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала магнитного поля.

Будем считать, что среда, в которой изучается электромагнитное поле, состоит из двух (возможно, не односвязных) подобластей и 0, причм в подобласти удельная проводимость отлична от нуля, а в подобласти проводимость равна нулю. Магнитная проницаемость в обеих подобластях может быть произвольной функцией координат (в том числе и зависеть от на пряженности магнитного поля). Будем также считать, что в подобласти 0 от сутствуют сторонние токи.

В подобласти 0 для напряженности и индукции магнитного поля долж ны выполняться уравнения rot H0 0, div B0 0. (1.1) Тогда напряженность магнитного поля H0 и магнитную индукцию B0 можно представить в виде:

H0 gradU, B0 gradU, (1.2) где U – полный скалярный магнитный потенциал. Для выполнения уравнений системы (1.1) нужно, чтобы скалярный потенциал U в области 0 удовлетво рял уравнению div gradU 0. (1.3) В подобласти представим индукцию магнитного поля B и напря женность электрического поля E через вектор-потенциал A с помощью соот ношений A B rot A, E. (1.4) t Тогда с учетом (1.4) получим векторное уравнение для описания электромаг нитного поля в подобласти :

1 A ст rot rot A J.

(1.5) t Чтобы индукция B, определяемая в подобласти 0 соотношением (1.2), а в подобласти соотношением (1.4), удовлетворяла системе уравнений Мак свелла во всей расчетной области 0, на границе S между подобла стями 0 и должны выполняться следующие соотношения (обеспечиваю щие непрерывность нормальной составляющей B и тангенциальной состав ляющей H ):

0 Bn Bn, H0 H, (1.6) где n – любая (например, внешняя по отношению к ) нормаль к рассматри ваемой границе S, – произвольный касательный вектор к границе S.

Особенностью рассмотренной модели является то, что во многих случаях для сохранения е корректности необходимо либо вводить поверхности разры ва скалярного магнитного потенциала внутри 0, либо изменять способ разде ления расчтной области на подобласти 0 и. Это необходимо делать в случае, когда внутри 0 можно провести такой замкнутый контур L, что инте грал от всех токов, пересекающих натянутую на этот контур поверхность L, не равен нулю.

Конечноэлементная аппроксимация эквивалентной вариационной поста новки для модели (1.3), (1.5) с условиями (1.6) выполняется с использованием векторного и скалярного МКЭ на смешанных конечных элементах. Для дискре тизации по времени используется полностью неявная трехслойная схема.

В п. 1.2 приводится вычислительная схема на основе потенциалов A,U для совместного решения задач методом конечных и граничных элементов. В такой схеме, основанной на совместном использовании двух методов, аппрок симация в проводящих подобластях осуществляется с помощью векторного метода конечных элементов, в непроводящих подобластях 0 – с помощью ме тода граничных элементов.

Аппроксимация по времени уравнения (1.5) приводит к векторному урав нению 1 rot rot A A F, (1.7) где коэффициент и вектор-функция F определяются разностной схемой ап проксимации по времени. Учитывая представление индукции и напряженности магнитного поля через векторный и скалярный потенциалы, условия непрерыв ности (1.6) принимают вид:

1 rot A n gradU n, (1.8) S S gradU n rot A n. (1.9) S S Будем считать, что граница расчетной области может быть либо бес конечно удаленной, либо на ней в качестве краевых условий могут быть заданы краевые условия равенства нулю касательных или нормальных составляющих магнитной индукции. Обозначим через S участок границы, на котором задано условие равенства нулю касательных составляющих B, а через S n – участок границы расчетной области, на котором задано условие равенства нулю нор мальных составляющих B.

Введем следующие обозначения для скалярных произведений, соответст v, w v wdV, вующие интегралам по объему и по границе:

V V v, w v wd. С учетом введенных обозначений эквивалентная вариаци онная постановка для векторного уравнения (1.7) и условия сопряжения (1.8) принимает вид:

1 rotA, rot gradU n, A, F,. (1.10) S H 0, где под rot Уравнение (1.10) должно выполняться H 0 понимается пространство вектор-функций, определнных на, rot для которых функция rot является суммируемой с квадратом, при этом каса тельные всех функций должны быть равны нулю на границе S n S (S – граница области ).

В том случае, когда коэффициент магнитной проницаемости в области 0 является постоянным, уравнение (1.3) эквивалентно уравнению Лапласа div gradU 0. (1.11) Тогда, используя представление решения этого уравнения в виде суммы потен циалов, можно получить граничные интегральные уравнения и построить ап проксимацию скалярного потенциала в подобласти 0 с помощью метода гра ничных элементов.

Используя оператор Стеклова-Пуанкаре S, который связывает значения потенциала на границе и потоки через границу, запишем вариационное уравне ние, соответствующее условию (1.9):

SU 0, v 0 rot A n, v 0, v H 0 S 0, (1.12) S S S где S 0 – граница области 0, H 0 S 0 – гильбертово пространство скалярных функций v, определенных на границе S 0, имеющих интегрируемые с квадра том первые производные и равных нулю на границе S S 0 (более подробно вывод уравнения (1.12) приводится в [3]).

Построив дискретные аппроксимации уравнений (1.10) и (1.12), получим систему линейных алгебраических уравнений, решение которой позволяет най ти искомые потенциалы U и A.

В п. 1.3 рассматривается математическая модель на основе совместного использования напряженности магнитного поля и скалярного потенциала маг нитного поля. Для проводящих подобластей, где коэффициент проводимости отличен от нуля, система уравнений Максвелла может быть преобразована к уравнению вида:

H 1 rot rotH rot Jст.

(1.13) t Таким образом, в проводящих подобластях вместо векторного уравнения (1.5) для вектор-потенциала A будем использовать векторное уравнение (1.13) для напряжнности магнитного поля H.

Недостатком такой модели является то, что в подобластях с нулевой электромагнитное поле может быть описано только скалярным потенциалом U.

Это может привести к серьзным трудностям в тех случаях, когда в решаемой задаче по подобластям с нулевой проводимостью возможны обходы ненулевых токов.

В предположении, что на границах расчтной области заданы краевые условия равенства нулю касательных либо нормальных составляющих магнит ной индукции, эквивалентная вариационная постановка для соответствующей системы дифференциальных уравнений (1.3), (1.13) с условиями сопряжения (1.6) будет включать в себя два уравнения H 1 d Jст rotd rotH rotd t 1 S 0, Jст n dS, H 0, rot n (1.14) S H n dS 0, H 1 gradU gradd (1.15) S S gradU n S, и условие H n которое можно рассматривать как главное краевое условие, либо учитывать в вариационной постановке в слабой форме. Запись означает, что в поверхностном интеграле значения бе рутся по поверхности S со стороны подобласти.

В п.1.4 вводится понятие нормального поля, описывается постановка за дачи на поиск добавочного поля в терминах системы уравнений Максвелла.

Предлагается вычислительная схема с выделением нормального поля для рас смотренной в п. 1.1 модели с разрывным векторным потенциалом и скалярным потенциалом магнитного поля.

В предположении, что рассматриваемый электромагнитный процесс име ет довольно хорошее приближение в виде более простой задачи, определяющей электрическое поле E0 и магнитное поле H0, удовлетворяющие системе урав нений Максвелла, получим следующую систему уравнений:

1 A ст 0 1 B0 0 E0, (1.16) rotA J J rot rot t div gradU div 0 H0, (1.17) A где B rotA, E – искомые поля в уравнении (1.16), U – искомый t магнитный потенциал в уравнении (1.17), при этом H gradU.

Условия сопряжения на границе S записываются в виде:

rot A n gradU n 0 H0 n, (1.18) 1 B0 n 1 rot A n gradU n.

1 (1.19) 0 В п. 1.5 рассматривается пример решения модельной задачи – обнаруже ния дефекта в металлическом объекте. Приводятся результаты исследования эффективности реализованных вычислительных схем.

В качестве объекта моделирования был выбран усеченный металлический цилиндр толщиной 5 и радиусом 50 мм с проводимостью 107 См/м и отно сительной магнитной проницаемостью 10. Источником возбуждения элек тромагнитного поля является токовая петля, имеющая радиус 25 мм и располо женная соосно с объектом на высоте 10 мм над ним. Токовый импульс имеет прямоугольную форму: в начальный момент времени t 0 с импульса нет, в следующий момент времени t 109 с подается импульс тока, который длится до времени t 5 104 с, затем отключается. Объект имеет сквозную щель толщиной 0.02 мм и длиной 19 мм, идущую вдоль радиуса от края цилиндра.

Щель расположена симметрично относительно плоскости y 0, перпендику лярна основанию цилиндра, тогда в силу симметрии задачи в расчетную об ласть можно включить только половину цилиндра.

Обратим внимание на то, что при отсутствии щели в объекте рассматри ваемая задача является осесимметричной, т.е. может быть решена как двумер ная в цилиндрических координатах. Поскольку двумерную задачу можно ре шить с любой необходимой точностью, решение трехмерной задачи с однород ным объектом можно использовать не только для проверки правильности раз работанных вычислительных схем, но и для оценки погрешности конечноэле ментной аппроксимации построенной трехмерной сетки.

Задача была решена тремя постановками на различных сетках, для реше ния СЛАУ использовался решатель PARDISO из библиотеки Intel MKL. По скольку в рассматриваемой задаче был выбран равномерный временной шаг и трехслойная неявная схема по времени, то, начиная с третьего временного слоя, матрица СЛАУ не изменялась. Следовательно, разложение матрицы СЛАУ ре шателем PARDISO строилось только для первых трех временных слов, для решения задачи на следующих временных слоях использовалось сохраненное разложение, что значительно увеличило скорость решения. В таблице 1.1 пока заны размерности СЛАУ, время счета для одного временного слоя (приведено время в случае сохранения разложения и в случае, когда разложение строилось на каждом слое по времени), погрешность полученного решения в точках изме рения.

Таблица 1. Сравнительный анализ результатов моделирования осесимметричной задачи Временные затраты на Погреш слой, мин Тип постанов- Число степе Тип сетки ность ре ки ней свободы сохр. раз- без сохр.

шения, % ложения разложения A,U на осно- грубая менее 0. 20988 ве МКЭ и МГЭ подробная 159238 3 грубая 18200 15 A,U подробная 187736 3 0.5-1. самая подробная 369309 1.5 грубая H,U 187736 60 подробная 402041 8 Исследования показывают, что вычислительная схема на основе поста новки H,U оказывается достаточно чувствительной к выбору конечноэле ментной сетки. Для использования данной вычислительной схемы требуется строить конечноэлементную сетку с более сильными сгущениями к границам раздела векторно-скалярных подобластей. На построенной по такому принципу конечноэлементной сетке было получено решение с погрешностью 8%, при этом число степеней свободы на такой сетке в два и более раза выше, чем на сетке, где постановкой A,U получено решение с погрешностью 4%.

В таблице 1.2 показаны результаты решения трехмерной задачи при на личии дефекта в исследуемом объекте. Погрешность приведена относительно решения на самой подробной сетке, полученного с использованием технологии выделения нормального поля.

Таблица 1. Сравнительный анализ результатов моделирования Число степеней Погрешность ре Тип постановки Тип сетки свободы шения, % грубая A,U на основе МКЭ и МГЭ 28749 подробная 215500 грубая 66814 A,U подробная 187736 самая подробная 369309 грубая A,U с выделением нор- 9543 подробная 79670 мального поля самая подробная 665127 подробная H,U 393357 самая подробная 777558 Анализ результатов показывает, что наличие щели в объекте вносит су щественное изменение в конфигурацию электромагнитного поля, в некоторых точках измерения аномалия достигает 90% от нормального поля. Хотя исполь зование технологии выделения нормальной части поля оказывается довольно эффективным, когда аномалия составляет 15-25%, однако, и в рассматриваемой задаче с существенной аномалией технология выделения поля с гораздо мень шими вычислительными затратами дат точность, сравнимую с решением зада чи напрямую на подробных сетках.

Глава 2. РЕАЛИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СХЕМ ВЕКТОРНО-СКАЛЯРНОГО ТИПА Вторая глава посвящена описанию скалярных и векторных конечных элементов различных типов, приводятся методы вычисления локальных матриц для рассматриваемых элементов. Особое внимание уделяется вычислению вкладов по поверхности скалярных и векторных конечных элементов, а также по поверхности граничных элементов и векторных конечных элементов.

В п. 2.1 описывается конечноэлементная аппроксимация на скалярных элементах. К наиболее простым в реализации конечным элементам относятся тетраэдры, более трудоемкими в реализации являются пятигранные и шести гранные конечные элементы, которые и рассматриваются в данном пункте.

Среди пятигранников отдельно рассматривается призма, у которой две парал лельные друг другу грани – основания – являются одинаковыми двумерными фигурами, а все остальные – боковые – грани являются прямоугольниками.

Среди шестигранных элементов отдельно рассматривается прямоугольный па раллелепипед и шестигранник, аналогичный по построению прямой призме, только основания такого элемента – два одинаковых четырехугольника. Такой шестигранник будем называть прямой призмой с четырехугольным основани ем.

Выделение более простых элементов связано с возможностью примене ния аналитических или полуаналитических методов расчета локальных вкладов от элемента, что значительно ускоряет процедуру сборки глобальной СЛАУ.

В п. 2.2 описывается конечноэлементная аппроксимация на векторных элементах. Рассматривается построение векторных базисных функций, являю щихся элементами пространства Hrot, для прямой призмы, прямоугольного параллелепипеда, пятигранника, шестигранника и прямой призмы с четырех угольным основанием.

Базисные функции в векторном МКЭ, как и в скалярном, строятся в виде полиномов пространственных координат, определяемых на ячейках сетки. Од нако в векторном МКЭ базисные функции не должны быть полностью непре рывными, допускаются такие функции, у которых на границах конечных эле ментов непрерывны только касательные составляющие к этим границам. Раз рывность нормальных составляющих базисных вектор-функций во многих слу чаях является даже необходимым свойством (например, в случаях разрывности коэффициента в уравнении (1.5)).

В п. 2.3 рассматривается технология вычисления вкладов в глобальную СЛАУ от поверхностных интегралов между подобластями и 0.

В п. 2.4 приводятся способы вычисления вкладов от нормального поля для постановок с совместным использованием векторного и скалярного МКЭ.

Показано, как может быть построена универсальная процедура вычисления ло кальной матрицы и вкладов в вектор правой части от произвольного конечного элемента на основе шаблонных локальных матриц этого элемента (содержащих интегралы от произведений локальных базисных функций элемента и их част ных производных).

В п. 2.5 описывается объектно-ориентированная программная реализация рассматриваемых в диссертационной работе вычислительных схем в программ ном комплексе TELMA. На примере шестигранного конечного элемента рас сматриваются классы Hexahedron и VectorHexahedron для работы со скаляр ным и векторным шестигранниками, описываются основные функции классов.

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНЫХ ЭКРАНОВ СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В СХЕМАХ ЭКСТРАКЦИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В п. 3.1 рассматривается задача моделирования элемента системы экс тракции пучка заряженных частиц из синхротрона. Схема экстракции основана на применении многослойных магнитных экранов.

Сечение магнитного экрана состоит из чередующихся слоев меди и желе за (электротехнической стали). Внешний радиус экрана равен 9.5 мм, внутрен ний – 6 мм. Толщина кольца меди составляет 0.1 мм, стали 0.08 мм, толщина межслоевого воздушного зазора 0.11 мм. Относительная магнитная проницае мость электротехнической стали задана кривой намагничивания H, коэф фициент проводимости меди 57 106 См/м, стали 3.3 106 См/м. Длина магнитного экрана составляет 200 мм. Трубка магнитного экрана помещена в дипольный магнит (см. рис. 3.1) и смещена относительно его центра по оси Oy на 5.5 мм. Относительная магнитная проницаемость электротехнической стали, из которой выполнен дипольный магнит, составляет 1000. Ток в каждой из двух токовых обмоток изменяется по следующему закону:

t А, наибольший интерес представляет возмущение по I 5580 sin 24 ля магнитным экраном первые 500 мкс от начала импульса.

Рис. 3.1. Схема конструкции магнита: проекции в плоскостях ZY (слева) и XY (справа). Размеры указаны в миллиметрах В п. 3.1.1 для оценки возможности моделирования подобных систем рас сматривается упрощенная геометрия экрана: экран состоит из двух слоев меди и железа, аппроксимация колец задана в виде многогранника с фиксированным числом вершин (16 вершин), коэффициент магнитной проницаемости постоя нен ( 547 ).

By В качестве измеряемой характеристики требуется вычислять в точ x ках, расположенных вдоль оси Oy на расстоянии от 13 до 20 мм от центра эк рана. Таким образом, результаты моделирования будем рассматривать в точках при минимальном расположении от оси экрана – 13 мм, при максимальном – 20 мм и в середине этого участка – 17.5 мм. Вдоль оси Oz измерительные точ ки расположим при z 0 мм, z 25 мм, z 50 мм, z 75 мм.

В п. 3.1.2 приводится технология учета анизотропных коэффициентов магнитной проницаемости и электрической проводимости в вычислительной схеме относительно векторного и скалярного магнитных потенциалов.

На рис. 3.2 показан результат решения двумерной задачи (в плоскости z 0 мм), в которой экран был задан как слоистая среда и как материал с ани зотропными коэффициентами. Исследования показывают, что в случае задания анизотропных свойств материалов вместо слоистого экрана электромагнитный процесс не может быть правильно описан.

– решение с анизотропными коэффициентами;

– решение со слоистым экраном.

Рис. 3.2. Измерение By в средней точке от центра экрана Причина этого объясне на следующим (см. рис. 3.3).

железное Конструкция экрана такова, кольцо что на начальных временах медное скин-слой будет сформирован кольцо на внешнем медном кольце, а на внутренних слоях его не будет, поскольку поле внутрь еще не проникло. Очевидно, что усреднение коэффициен направление тов и вдоль радиуса колец вихревых токов приводит к принципиально Рис. 3.3. Направление вихревых токов в кольцах неправильному развитию физического процесса. Далее рассматривается моде лирование электромагнитного процесса, когда слои экрана учитываются непо средственно в конечноэлементной сетке.

В п. 3.1.3 рассматриваются результаты математического моделирования, для решения трехмерной задачи использовалась постановка с потенциалами A,U как напрямую, так и на основе технологии выделения нормального поля.

Для оценки сходимости конечноэлементных решений задача была решена на прямую (без выделения нормального поля) на трех вложенных сетках. Характе ристики построенных сеток приведены в таблице 3.1.

Таблица 3. Параметры сеток Тип сетки Число степеней свободы Грубая сетка Подробная сетка Самая подробная сетка В качестве нормального поля было выбрано решение двумерной задачи, расчетная область которой представляет сечение трехмерной задачи в плоско сти z 0. При таком выборе нормального поля источники тока в задаче на аномалию являются бесконечно длинными вдоль оси Oz. Для того чтобы учесть их конечную длину, необходимо дополнительно решить следующую за дачу: расчетная область этой задачи полностью совпадает с исходной областью задачи, а токовые обмотки геометрически представляют собой разность между бесконечно длинными обмотками и обмотками исходной задачи. Ток в таких обмотках задается в обратном направлении относительно направления тока в задаче на вычисление нормального поля. Тогда искомое решение трехмерной задачи будет составлять сумму трех полей: нормальное поле, аномальное поле и поле от задачи с «обратными» обмотками.

Исследования показали, что аномалия в точках измерения на плоскости z 0 мм не превышает 5%, в точках измерения на плоскости z 25 мм дости гает 15%, при z 50 мм уровень аномалии составляет 50%, а при z 75 мм может превышать 100%.

Учитывая, что в плоскости z 0 мм аномалия составляет низкий про цент от нормального поля, решение трехмерной задачи в этой плоскости фак тически должно совпадать с решением двумерной задачи. Полученные резуль таты показывают, что решение трехмерной задачи прямым методом на грубой сетке отличается от нормального поля на 12%, на подробной сетке на 4%, на самой подробной сетке на 1.5%. При этом решение с выделением поля даже на грубой сетке получено с погрешностью, не превышающей 0.1% относительно нормального поля. Полученные результаты доказывают сходимость конечно элементных решений с дроблением сеток к наиболее точному – нормальному полю.

В точках измерения при z 25 мм погрешность трехмерного решения, полученного без разделения полей, на грубой сетке не превышает 12%, на под робной 4%, на самой подробной 2%. Погрешность решения с выделением поля на грубой сетке не превышает 0.5%.

В плоскости z 50 мм получены измерения на грубой сетке с погрешно стью 14%, на подробной 5% и на самой подробной 4%, различие с решением на грубой сетке с использованием технологии выделения поля составляет 2%.

Такие результаты моделирования объясняются следующим: поскольку в качестве нормального поля было выбрано решение двумерной задачи в плоско сти z 0, а трехмерная задача до z 50 мм имеет достаточно хорошее дву мерное приближение, то точность расчета, а, следовательно, и измеренных ха рактеристик в этой области выше, чем в точках при z 50 мм, где аномалия трехмерной задачи значительно выше. В таблице 3.2 показано, что при z 50 мм технология выделения нормального поля уступает по точности ре шению задачи напрямую, результаты приведены в процентах относительно ре шения без разделения полей на самой подробной конечноэлементной сетке.

Таблица 3. Измерения By x в плоскости z 75 мм Погрешность решения, % Решение прямым методом на грубой сетке Решение прямым методом на подробной сетке Решение с выделением поля на грубой сетке Решение с выделением поля на подробной сетке В п. 3.1.4 приведены результаты моделирования электромагнитного про цесса в исходной многослойной конструкции экрана с учетом зависимости H.

В п. 3.2 в качестве примера эффективного моделирования нестационар ных электромагнитных процессов в областях, содержащих шихтованные мате риалы, рассматривается модельная задача индукционного нагрева. На рис. 3. приведен фрагмент моделируемого устройства, предназначенного для «спека ния» тонких пластинок электротехнической стали, разделенных слоями лака, в единый шихтованный материал. Нагрев выполняется от стабилизированного источника тока на промышленной частоте (50 Гц).

Тепловое поле в конструкции описывается уравнением теплопроводности T div gradT f, cp (3.1) t где T – неизвестная температура, – плотность, c p – теплоемкость, – теп лопроводность, f – объемная плотность источников тепловыделения. Плот ность источников тепловыделения f определяется через модуль E напряжен ности электрического поля E как f E 2.

Следовательно, решение задачи индукционного нагрева можно предста вить в виде двух связанных задач: тепловой и электромагнитной;

связь осуще ствляется как по соответствующим коэффициентам уравнений (в общем случае магнитная проницаемость и электрическая проводимость зависят не толь ко от индукции поля, но и от температуры), так и по правой части уравнения (3.1).

В рамках данной работы рассмотрим только этап моделирования элек тромагнитного поля. Для упрощения будем полагать, что коэффициенты маг нитной проницаемости и электрической проводимости не зависят ни от маг нитного, ни от теплового поля.

Пусть внешний маг нит выполнен из ферро магнитной стали с коэф фициентом относительной магнитной проницаемости 2000. Шихтованный материал состоит из сталь ных пластинок толщиной 2 мм, доля лака между пла стинками составляет 3% от общего объема, направле ние шихтовки совпадает с осью Oy. Относительная магнитная проницаемость «спекаемых» пластинок Рис. 3.4. Трехмерное изображение конструкции модели- 2000, удельная прово руемого устройства димость 3.3 106 См/м.

Для моделирования электромагнитного поля будем использовать вычис лительную схему на основе векторного потенциала и скалярного магнитного потенциала. Целью моделирования является демонстрация возможности реше ния задачи с учетом задания в шихтованном материале анизотропных свойств магнитной проницаемости и электрической проводимости. Сравнение резуль татов решения задачи с анизотропными коэффициентами будем проводить с результатами решения задачи, в которой шихтованный материал задан полно стью с учетом всех пластинок.

Число пластинок железа в шихтованном материале составляет 60 штук, межслоевых прослоек лака – 59 штук. Число неизвестных в СЛАУ для конеч ноэлементных сеток, на которых проводились расчеты, показано в таблице 3.3.

Также в таблице 3.3 приводятся результаты вычисления мощности теплового источника (для единичного полного тока в обмотках). Для расчета мощности tn E t dtdV, использовалась следующая формула: P где V – tn t V t область, занимаемая шихтованным материалом.

Результаты исследований показывают, что задание единого материала с анизотропными коэффициентами вместо шихтованного материала позволяет сократить вычислительные затраты в 4-5 раз, при этом разница между реше ниями составляет от 1 до 2%.

Таблица 3. Измерения мощности теплового источника Число степеней свободы Мощность, Вт Решение задачи с наличием слоев 203787 5.881e- шихтовки в сетке Решение задачи с наличием слоев 346438 5.896e- шихтовки в сетке на подробной сетке Решение задачи с анизотропными ко 44575 5.9963e- эффициентами Решение задачи с анизотропными ко 337984 5.952e- эффициентами на подробной сетке Глава 4. ПОДСИСТЕМЫ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА TELMA ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В четвертой главе рассматриваются задачи моделирования магнитостати ческих полей в практических задачах, для моделирования используется разра ботанная подсистема токовых обмоток COILEDITOR.

В п. 4.1 описывается подсистема COILEDITOR, которая является частью объектно-ориентированного конечноэлементного комплекса TELMA, включает в себя определенный набор токовых обмоток и обладает удобным пользова тельским интерфейсом (см. рис. 4.1).

Подсистема реализована на языке C++ и является Windows-приложением, для отображения заданной конструкции используется графическая библиотека OpenGL. Подсистему условно можно разделить на графический препроцессор (интерактивное Windows-приложение) и вычислительную часть (модули расче та напряженности магнитного поля).

В п. 4.2 приводятся алгоритмы вычисления напряженности магнитного поля, создаваемого токовыми обмотками. При решении задач магнитостатики с использованием полного и неполного потенциалов напряженность магнитного поля в однородном пространстве вычисляется по закону Био-Савара [9].

В п. 4.3 и п. 4.4 рассматривается использование подсистемы COILEDITOR на примере решения двух практических задач: моделирование магнитостатических полей в квадрупольной линзе и моделирование магнито статических полей в косинусных магнитах, в которых поле формируется в ос новном специальной системой обмоток. И в той, и в другой задачах конфигура ция поля в апертуре ускорителя заряженных частиц крайне чувствительна к выбору геометрии обмоток и величине тока. Поэтому к разработанной подсис теме COILEDITOR предъявляются высокие требования как с точки зрения точ ности вычисления напряженности магнитного поля токовых обмоток, так и с точки зрения точного описания конфигурации обмоток.

Рис. 4.1. Окно подсистемы COILEDITOR. Система обмоток для косинусного магнита При проектировании подобных магнитных систем, как правило, исполь зуют следующий критерий: квадрупольная линза будет иметь хорошую фоку сировку при выполнении условия B10 B2 104 ( B2 и B10 – вторая и десятая косинусные гармоники поля). Поэтому отдельной задачей при моделировании являлась задача подбора таких параметров токовых обмоток, чтобы выполнил ся заданный критерий.

Моделирование для полученной системы обмоток проводилось на трех рабочих токах. На основании приведенных в диссертации результатов модели рования можно утверждать, что подобранные параметры магнитной системы обеспечивают выполнение критерия о допустимой фокусировке магнитного поля в квадрупольной линзе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты проведенных в диссертационной работе исследова ний заключаются в следующем:

1. Разработаны и реализованы вычислительные схемы с использованием смешанных конечноэлементных сеток для решения трхмерных нестационарных задач электромагнетизма с совместным использованием векторных и узловых конечных элементов, а также с совместным использованием векторных конечных элементов и скалярных граничных элементов. Проведены исследования эффективности этих вычислительных схем для моделирования электромагнитных полей в технических устройствах, содержащих как подобласти с высокой проводимостью, так и непроводящие подобласти.

2. Исследованы возможности учта шихтованного материала как мате риала с анизотропными коэффициентами магнитной проницаемости и электри ческой проводимости при численном моделировании. Показано, что при суще ственном влиянии скин-эффектов использование анизотропных коэффициентов приводит к существенным погрешностям в результатах моделирования.

3. Проведены исследования эффективности применения технологии вы деления главной части поля при решении ряда модельных и практических за дач. По результатам исследований выбраны эффективные методы и проведено трехмерное компьютерное моделирование электромагнитных процессов в маг нитном экране, проектируемом для системы выпуска пучка заряженных частиц.

4. В рамках программного комплекса TELMA реализована подсистема задания токовых обмоток COILEDITOR. Подсистема обладает удобным интер фейсом задания геометрии катушек, содержит основные типы токовых обмоток и при необходимости может быть расширена. С использованием разработанно го программного обеспечения проведена оптимизация геометрии обмоток для двух разновидностей квадрупольной линзы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Ступаков И. М. Об учете источников электромагнитного поля в совместном методе конечных и граничных элементов / И. М. Ступаков, М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. – СПб : Изд-во СПбГУ ИТМО, 2010. – № 5 (69). – С. 67–71 (из перечня ВАК).

2. Корсун М. М. Об использовании граничных элементов при моделировании электромагнитных процессов с существенным влиянием вихревых токов / М. М. Корсун, И. М. Ступаков, М. Э. Рояк // Научный вестник Новосибирского го сударственного технического университета. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. – № 2 (39). – С. 100–109 (из перечня ВАК).

3. Корсун М. М. Вычислительные схемы моделирования нестационарных за дач электромагнетизма / М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирова ние и краевые задачи». Самара. – 2009. – Ч. 2. – С. 76–79.

4. Корсун М. М. Моделирование нестационарных трхмерных электромагнит ных полей в задачах ускорительной физики / М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Материа лы XVI Международной конференции по вычислительной механике и современ ным прикладным программным системам, Алушта. – М. : Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. – С. 215–218.

5. Корсун М. М. Применение технологии выделения поля при конечноэле ментном моделировании квадрупольной линзы / М. М. Корсун, А. Н. Игнатьев, М. Э. Рояк // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. – СПб : Изд-во СПбГУ ИТМО, 2008. – Т. 55. – С. 61–70 (из перечня ВАК).

6. Корсун М. М. О моделировании динамики заряженных частиц в магнитном поле ускорителей / М. М. Корсун // Сборник научных трудов Новосибирского госу дарственного технического университета. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2007. – № 4 (50). – С. 51–57.

7. Корсун М. М. Методы повышения точности выдачи характеристик элек тромагнитных полей, являющихся пространственными производными конечно элементного решения / М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Материалы восьмой между народной конференции «Актуальные проблемы электронного приборострое ния». – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2006. – Т. 6. – С. 68–72.

8. Корсун М. М. Вычисление характеристик электромагнитного поля, являю щихся производными конечноэлементного решения / М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Материалы Российской научно-технической конференции «Информатика и про блемы телекоммуникации». – Новосибирск : СибГУТИ, 2006. – Т. 1. – С. 170–172.

9. Корсун М. М. Разработка алгоритмов вычисления напряженности поля токо вых обмоток в программном комплексе MASTAC / М. М. Корсун, И. М. Ступаков // Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука Техноло гии Инновации». – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2006. – Ч. 1. – С. 100–102.

10. Корсун М. М. Разработка модулей сглаживания трехмерных решений / М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Материалы Всерос. науч. конф. молодых ученых «Наука Технологии Инновации». Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2005. – Ч. 1. – С. 140–142.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20, тел. (383)346-08- формат 60х84/16, объем 1.5 п.л., тираж 100 экз., заказ №, подписано в печать 18.11.2010 г.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.