авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Астрологический Прогноз на год: карьера, финансы, личная жизнь


Численное моделирование сейсмических и сейсмоакустических волновых полей в разномасштабных и резкоконтрастных средах

На правах рукописи

РЕШЕТОВА ГАЛИНА ВИТАЛЬЕВНА ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМИЧЕСКИХ И СЕЙСМОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ В РАЗНОМАСШТАБНЫХ И РЕЗКОКОНТРАСТНЫХ СРЕДАХ 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2010

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институ те вычислительной математики и математической геофизики Сибир ского отделения РАН (ИВМиМГ СО РАН)

Научный консультант: доктор физико-математических наук, академик РАН Михайленко Борис Григорьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Лаевский Юрий Миронович доктор физико-математических наук, профессор Роменский Евгений Игоревич доктор физико-математических наук, профессор Крукиер Лев Абрамович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Ин ститут вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН (ИВМ СО РАН, г. Красноярск)

Защита состоится 15 февраля 2011 г. в 15 час. на заседании диссерта ционного совета Д 003.061.02 при Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической гео физики СО РАН.

Адрес: пр-т Ак. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090.

Факс: (383) 3308783, e-mail: kosova@rav.sscc.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВМиМГ СО РАН.

Автореферат разослан ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н. С.Б. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования данной работы – процессы формирова ния и распространения сейсмических и сейсмоакустических волновых полей в трхмерно-неоднородных резкоконтрастных и разномасштаб ных средах путем построения и изучения их математических моделей, корректной конечномерной аппроксимации и создания программно алгоритмических средств, ориентированных на использование вычис лительных систем с параллельной архитектурой.

Актуальность Несмотря на то что современные параллельные вычислительные системы позволяют решать большинство практических задач в стан дартной постановке, некоторые прикладные задачи геофизики либо до сих пор не решены, либо решены при существенных ограничениях, уменьшающих их практическую значимость. Общим препятствием является сложное строение изучаемой геологической среды - наличие границ с весьма значительными перепадами упругих параметров, су ществование неоднородностей с чрезвычайно различающимися, порой на несколько порядков, характерными масштабами. Однако решение именно таких задач и представляет в последнее время наибольший практический интерес в современных геофизических исследованиях.

К ним относится, например, изучение сейсмоакустических вол новых полей при акустическом каротаже скважин. Действительно, даже в простейшем случае открытой (необсаженной) скважины при ходится иметь дело с двумя характерными размерами - диаметром скважины 0.1-0.2 м и максимальным расстоянием источник - прием ник 10-12 м. При наличии обсадки приходится также учитывать влия ние стальной трубы, отделяющей заполненную жидкостью скважину от вмещающей среды. Толщина стенок трубы составляет первые сан тиметры и является еще одним масштабом задачи.

Геологические среды, наряду с регулярными, то есть протяжен ными и достаточно гладкими, границами, содержат множество объек тов субсейсмического масштаба (трещины, каверны, поровое про странство), размеры которых гораздо меньше доминирующей длины волны. Такие объекты могут заполнять довольно протяженные облас ти и оказывать существенное влияние на волновые поля, что приводит к возникновению рассеянных волн, использование которых в настоя щее время является одним из приоритетных направлений изучения строения трещиноватых сред, таких как кавернозно-трещиноватые коллекторы. Несмотря на наличие классической теории рассеяния, описывающей образование и распространение таких волн для про стейших моделей строения вмещающей среды, необходимы числен ные методы, позволяющие моделировать полные волновые поля, включая как рассеянную, так и регулярную их компоненты. Однако для этого необходимо детально описать структуру неоднородностей субсейсмического масштаба и только после этого приступать к коли чественному анализу процессов формирования и распространения рассеянной компоненты. Так возникает необходимость применения сеток с различным пространственным шагом. Использование именно этих волн позволяет определить такие важнейшие характеристики ка вернозно-трещиноватых коллекторов, как ориентация коридоров тре щиноватости, и оценить их фильтрационно-емкостные свойства.

За последние десятилетия накоплен огромный эксперименталь ный материал об ионосферных возмущениях, вызванных сильными землетрясениями и техногенными воздействиями, такими как про мышленные взрывы, подземные ядерные испытания. Возбужденные в литосфере сейсмические колебания генерируют в атмосфере акусто гравитационные волны, которые регистрируются дистанционным ра диозондированием. Этот эффект может быть положен в основу мето дов локации землетрясений и подземных ядерных взрывов. Однако лишь в небольшом количестве работ сделаны попытки с теоретиче ских позиций объяснить механизмы этих связей в системе литосфера атмосфера-ионосфера. Численное моделирование способствует выяв лению особенностей формирования волнового процесса и созданию на этой основе надежных систем контроля. Но его выполнение сопря жено с существенными вычислительными затратами из-за больших перепадов скоростей сейсмических волн в литосфере и акусто гравитационных волн в атмосфере (в 15-20 раз), а также огромных пе репадов плотностей в упругом полупространстве и в верхних слоях атмосферы (значение плотности экспоненциально падает с высотой).



Использование классических явных разностных схем при решении за дачи накладывает непомерно высокие ограничения на шаг разностной схемы по времени. Поэтому разработка новых экономичных по памя ти и времени счета методов решения таких задач, несомненно, акту альна.

Цель исследования - опираясь на современные достижения теории разностных схем и методов параллельных вычислений, развить численные методы решения прямых задач динамической теории упру гости для трхмерно-неоднородных упругих и вязкоупругих резко контрастных и разномасштабных сред, создать на этой основе научно исследовательские версии программного обеспечения, ориентирован ные на использование современных вычислительных средств с парал лельной архитектурой и провести численные эксперименты.

Научные задачи 1. Разработать конечно-разностный метод численного модели рования сейсмоакустических волновых полей при акустическом каро таже в трхмерных неоднородных средах с поглощением с использо ванием адаптивных пространственных сеток в цилиндрической систе ме координат. Создать на этой основе научно-исследовательский ва риант параллельного программного обеспечения.

2. Разработать численный метод расчта сейсмических волно вых полей в трхмерных неоднородных разномасштабных упругих средах (с учетом системы трещин, каверн) с использованием конечно разностных схем с локальным измельчением сеток по пространству и времени. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения.

3. На основе интегрального преобразования Лагерра разработать спектрально-разностный метод численного моделирования сейсмиче ских волновых полей для трхмерных неоднородных сред с резкокон трастными границами раздела. Создать на этой основе научно-иссле довательский вариант параллельного программного обеспечения.

Теория и методы исследования Для решения поставленной проблемы использовались как клас сические, так и современные достижения вычислительной математи ки, теории разностных схем и теории распространения волн, позво ляющие с требуемой точностью описать особенности сейсмических волновых процессов в реалистичных моделях трхмерных неоднород ных сред. В основе используемого математического аппарата лежат методы и приемы, разработанные в ряде смежных областей вычисли тельной и прикладной математики:

- теория начально-краевых задач для гиперболических систем уравне ний в частных производных для обеспечения корректности постано вок;

- теория конечно-разностных схем для аппроксимации начально краевых задач теорий упругости и вязкоупругости;

- теория ортогональных многочленов и специальных функций, в пер вую очередь применительно к полиномам Лагерра для обоснования спектрально-разностного метода;

- методы функционального анализа для построения алгоритмов ин терполяции в задаче пространственного измельчения шагов конечно разностной сетки с сохранением порядка аппроксимации конечно разностной схемы;

- теория функций комплексного переменного для описания моделей вязкоупругих сред и обоснования метода поглощающих граничных слоев;

- теория параллельных вычислений, в том числе методы пространст венной декомпозиции областей для разработки параллельных версий алгоритмов, а также использование последних эффективных разрабо ток программного интерфейса обмена сообщениями в стандарте MPI 2, в частности, новые возможности параллельных коллективных об менов и ввода/вывода в среде MPI-2 I/O.

Тестирование разработанных алгоритмов и программ проводи лось в несколько этапов. Сначала оно выполнялось на простейших моделях, допускающих точные аналитические решения. Для более сложных моделей проверялась корректность описания ряда ключевых характеристик изучаемых физических процессов: времн первых вступлений, связь добротности с амплитудой волн в вязкоупругой среде, наличие в результатах численных экспериментов всех теорети чески доказанных типов волн.

Окончательная верификация программного обеспечения прово дилась в нефтяных и сервисных компаниях (Schlumberger, Total, ООО «РН-КрасНИПИНефть») и Югорском НИИ Информационных техно логий путм сопоставления результатов численного моделирования и лабораторных и натурных наблюдений.

Защищаемые научные результаты 1. Теоретически и экспериментально обоснованный конечно разностный метод численного моделирования сейсмоакустических волновых полей при акустическом каротаже в трхмерных неодно родных средах с поглощением, разработанный с использованием адаптивных пространственных сеток в цилиндрической системе коор динат. Научно-исследовательский вариант параллельного программ ного обеспечения (с графическим интерфейсом пользователя).

2. Теоретически и экспериментально обоснованный численный метод расчта сейсмических волновых полей в трхмерных неодно родных разномасштабных средах (с учетом системы трещин, каверн), разработанный на основе конечно-разностных схем с локальным пространственно-временным измельчением сеток. Научно-иссле довательский вариант параллельного программного обеспечения.

3. Теоретически и экспериментально обоснованный спектраль но-разностный метод численного моделирования сейсмических вол новых полей для трхмерных неоднородных сред с резкоконтрастны ми границами, разработанный на основе интегрального преобразова ния Лагерра по времени. Научно-исследовательский вариант парал лельного программного обеспечения.

Научная новизна и личный вклад 1. Разработан, теоретически и экспериментально обоснован и апробирован новый метод конечно-разностного моделирования сейс моакустических волновых полей при акустическом каротаже в трх мерных неоднородных средах с поглощением с использованием адап тивных пространственных сеток в цилиндрической системе коорди нат. В основе метода лежит совокупность оригинальных решений:

1.1. Интегро-интерполяционным методом (методом баланса) по строена консервативная конечно-разностная схема для численного моделирования обобщенной модели стандартного линейного тела GSLS для нескольких релаксационных механизмов, проведен анализ устойчивости схемы и исследованы ее дисперсионные свойства для минимизации численной дисперсии скорости.

1.2. В ходе реализации метода разработаны оригинальные под ходы для эффективного решения ряда ключевых задач:

- использование экономичного -метода, обеспечивающего заданное поведение добротности в модели вязкоупругой среды;

- ограничение расчетной области слабо отражающими слоями в ци линдрической системе координат с помощью модифицированного ме тода PML (аббревиатура английского Perfectly Matched Layer) без расщепления переменных по азимуту;

- построение решения на оси скважины, где система уравнений имеет математическую особенность в цилиндрической системе координат;

- радиальное и азимутальное измельчение сеток, адаптирующихся к неоднородностям численной модели среды;

- организация параллельных вычислений методом декомпозиции рас четной области с использованием библиотеки MPI-2.

1.3. Диссертантом создан научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для численного моделиро вания сейсмоакустических волновых полей при акустическом карота же в трхмерных неоднородных вязкоупругих средах, оснащнный дружественным графическим интерфейсом пользователя. Программ ный продукт был применен для изучения проявления неоднородно стей призабойной зоны скважины в сейсмоакустических волновых полях, что позволило сформулировать гипотезу о зоне проникновения как динамическом волноводе.

2. Разработан, теоретически и экспериментально обоснован и протестирован новый устойчивый эффективный численный метод расчта сейсмических волновых полей в трхмерных неоднородных разномасштабных средах на основе конечно-разностных схем с ло кальным пространственно-временным измельчением сеток. Прове днные теоретические исследования коэффициентов искусственных отражений, возникающих на границах смены шага, позволили сфор мулировать разумные требования на точность вычислений, обеспечи вающую достоверное моделирование рассеянных волн.

Создан научно-исследовательский вариант параллельного про граммного обеспечения для численного расчта сейсмических волно вых полей в трхмерных неоднородных разномасштабных упругих средах, основывающийся на новых возможностях параллельных кол лективных обменов и параллельного ввода/вывода больших массивов данных с использованием библиотек MPI-2 I/O (Input/Output):

- организация параллельных вычислений за счет выделения двух групп процессоров: для вмещающей среды с крупной сеткой и блока, содержащего субсейсмические неоднородности, заданные на мелкой сетке;

- использование для распределения вычислений внутри каждой груп пы трехмерной декомпозиции области;

организация внутри- и меж групповых обменов с использованием только неблокирующих опера ций по пересылке/приему данных.

Программный продукт был применен при изучении свойств рассеян ных волновых полей для реалистичных моделей резервуара. Результа ты численных экспериментов показали принципиальную возможность использования рассеянных волн для локализации коридоров трещино ватости и прогнозирования их ориентации.

3. Разработан, теоретически и экспериментально обоснован и протестирован новый спектрально-разностный метод численного мо делирования сейсмических волновых полей для трхмерных неодно родных сред с резкоконтрастными границами раздела, основываю щийся на отделении времени с использованием интегрального преоб разования Лагерра (совместно с Б.Г.Михайленко).

Диссертантом получено и исследовано аналитическое решение для плоской акустической волны, распространяющейся в однородной среде, представленное в виде ряда по функциям Лагерра. На его осно ве получена формула для оценки количества членов ряда в разложе нии Лагерра для обеспечения требуемой точности приближенного решения. Для ограничения расчетной области предложен и программ но реализован новый оригинальный способ конструирования PML без расщепления, основанный на преобразовании Лагерра по времени.

Создан научно-исследовательский вариант параллельного про граммного обеспечения для численного моделирования волновых по лей в трхмерных неоднородных средах с резкоконтрастными грани цами раздела. Численными экспериментами установлено существова ние предсказанной ранее теоретически поверхностной волны Стоун ли-Шолтэ и модифицированной волны Лэмба.

Теоретическая и практическая значимость результатов С помощью современных достижений теории разностных схем и методов параллельных вычислений диссертантом разработаны, тео ретически и экспериментально обоснованы эффективные численные методы решения прямых задач динамической теории упругости для трхмерных неоднородных упругих и вязкоупругих резкоконтрастных и разномасштабных сред и на этой основе созданы научно исследовательские версии программного обеспечения, ориентирован ного на использование современных вычислительных систем с парал лельной архитектурой.





1. Разработанный автором конечно-разностный метод с исполь зованием адаптивных разностных сеток в цилиндрической системе координат позволяет изучать особенности геологического строения околоскважинного пространства в сейсмоакустических полях. Анализ и систематизация этих особенностей повышают информативность и достоверность геофизических методов исследования скважин.

Созданное на этой основе параллельное программное обеспече ние с графическим интерфейсом пользователя для численного моде лирования волновых полей при акустическом каротаже открывает но вые возможности для изучения волновых процессов в скважинах и околоскважинном пространстве и может быть использовано:

- для исследования проявлений неоднородности зоны проникновения в сейсмоакустических волновых полях и для оценки на этой основе фильтрационных свойств коллектора;

- для оценки качества выполненного гидроразрыва пласта;

- для исследования скользящих волн (creeping waves) на стенке сква жины для определения анизотропии прискважинной зоны.

2. Разработанный автором конечно-разностный метод с локаль ным пространственно-временным измельчением сеток позволяет ус тойчиво выделять и корректно описывать тонкие эффекты взаимодей ствия сейсмических волн с кавернозно-трещиноватыми коллекторами.

Созданное автором параллельное программное обеспечение яв ляется новым инструментом изучения сейсмических волновых полей в трехмерных неоднородных разномасштабных средах и может быть использовано:

- для определения фильтрационно-емкостных характеристик кавер нозно-трещиноватых коллекторов по полю рассеянных волн;

- при моделировании волновых полей в средах с детальным описани ем неоднородных включений (конструкций).

3. Разработанный новый спектрально-разностный метод чис ленного моделирования волновых полей для трхмерных неоднород ных сред с резкоконтрастными границами раздела на основе инте грального преобразования Лагерра расширяет рамки использования численных методов при решении ряда важнейших задач прикладного характера, таких как:

- получение надежных сигнальных признаков сильных землетрясений и техногенных воздействий (несанкционированных промышленных взрывов, подземных ядерных испытаний);

- раннее обнаружение цунамигенного землетрясения;

- контроль подземных ядерных взрывов.

Реализация результатов Результаты диссертации составили основу проекта «Численное моделирование взаимодействия сейсмических волн с кавернозно трещиноватыми коллекторами в трхмерно-неоднородных средах реа листичного строения», занявшего первое место в Конкурсе проектов в сфере высокопроизводительных вычислений под девизом «Невоз можное стало возможным», организованного корпорацией Intel совме стно с Российской корпорацией нанотехнологий («РОСНАНО») в 2010 году.

Представленный в диссертации спектрально-разностный метод на основе интегрального преобразования Лагерра получил развитие в серии работ зарубежных и отечественных исследователей (Lk, Chung, Sarkar, Jung, А.А. Михайлов, А.Ф. Мастрюков, В.Н.Мартынов).

Эффективность этого метода для численного моделирования электро магнитных волновых полей продемонстрирована в работе Chung et al.

(2003), в которой убедительно показано, что применение преобразо вания Лагерра дает ускорение времени вычислений в 100 раз по срав нению с применением обычных конечно-разностных схем при чис ленном моделировании двумерной системы уравнений Максвелла.

Результаты, представленные в диссертации, были включены в Основные результаты исследований Сибирского отделения РАН по приоритетным направлениям развития науки и техники и в Список достижений СО РАН в 2003, 2005, 2006 годах.

Основным направлением научно-исследовательских работ, вы полняемых в ИВМиМГ СО РАН с участием диссертанта, являлось развитие данного подхода к численному моделированию подземных и наземных ядерных взрывов в рамках проекта по программе СО РАН 1.4.1.1. «Математическое моделирование природных и техногенных геофизических полей в средах сложной геометрии и реологии».

Все исследования, проводимые по теме диссертации, являются составной частью планов НИР Института, а их выполнение постоянно поддерживалось Российским фондом фундаментальных исследо ваний в рамках проектов № 00-05-65323, № 04-05-64177, № 06-05 64149, № 07-05-00538 № 10-05-00233.

Внедрение научных результатов Созданный диссертантом программный продукт по моделиро ванию сейсмических волн в двумерно-неоднородных сложнопостро енных упругих средах был внедрен в мобильный программно аппаратный комплекс, созданный в рамках комплексного проекта «Разработка комплексной технологии поиска и разведки углеводоро дов в сложнопостроенных, глубокозалегающих месторождениях» по Госзаказу 2005-РИ-00.0/009/202, шифр - RU.IBMMG.00103-01 34 (Акт о внедрении от 25.11.2006).

Разработанное автором программное обеспечение для модели рования трхмерных сейсмоакустических волновых полей в средах с затуханием (акустический каротаж) в настоящее время используется инженерными технологическими центрами компании Schlumberger (в рамках контракта с ИНГГ СО РАН, Акт о внедрении от 01.08.2009).

Разработанное диссертантом программное обеспечение для мо делирования сейсмических волновых полей в трехмерных неоднород ных средах с субсейсмическими неоднородностями (кавернозно трещиноватые коллекторы) используется ООО «Геола» с целью изу чения проявлений ориентации коридоров трещиноватости по полю рассеянных волн (Акт о внедрении от 14.09.2010).

Апробация, публикации, объем и структура диссертации Результаты диссертационной работы известны научной общест венности. Всего по теме диссертации автором лично и в соавторстве опубликовано более 100 работ, в том числе 38 статей, из которых 15 в ведущих рецензируемых научных журналах из перечня ВАК. Ре зультаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях в России и за рубежом.

Основные:

- Генеральные Ассамблеи Европейского геофизического общества (EGU) - 2000, 2002, 2004;

- Коференции Европейской ассоциации геофизиков (EAGE) - 2000, 2003, 2007, 2008, 2010;

- Конференции сообщества геофизиков-исследователей (SEG) - 2006, 2008, 2010;

- Международные конференции "Математические и численные аспек ты теории распространения волн" - 2007, 2009;

- 7-я Международная европейская конференция по вычислительной математике, Австрия, Грац, 2007;

- 8-я Международная конференция "Математические и численные ас пекты теории распространения волн", Великобритания, Рединг, 2007.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Со держит 298 страниц, в том числе 98 рисунков. Библиография содер жит 171 наименование.

Благодарности Успешному проведению исследования способствовала под держка академиков РАН А.Н. Коновалова и Б.Г. Михайленко, оказав ших большое влияние на формирование научных взглядов соискателя.

Автор глубоко благодарна своему коллеге и соавтору д.ф.-м.н.

В.А. Чеверде за содержательные и плодотворные обсуждения, мо ральную помощь при выполнении работы.

Автор ценит всестороннюю поддержку, постоянное внимание к работе и благодарит всех сотрудников Лаборатории численного моде лирования сейсмических полей Института вычислительной математи ки и математической геофизики Сибирского отделения РАН, а также сотрудников Лаборатории вычислительных методов геофизики Ин ститута нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука Си бирского отделения РАН, особенно В.В.Лисицу и Е.В. Лыся.

Особую признательность автор выражает д.ф.-м.н. Крауклису П.В., который оказал определяющее влияние на понимание проблема тики и постановку задачи полномасштабного численного моделирова ния сейсмических и сейсмоакустических волновых полей при акусти ческом каротаже.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Численное моделирование сейсмоакустических волновых полей при акустическом каротаже в трхмерных неод нородных средах с поглощением Первый раздел посвящн истории вопроса и описанию совре менных методов численного моделирования сейсмоакустических вол новых полей при акустическом каротаже. Сформулированы особенно сти постановки, связанные с наличием в упругом пространстве сква жины, заполненной жидкостью (Biot, 1952;

Крауклис П.В. и Крауклис Л.А., 1976). Введено понятие поглощения сейсмической энергии и прокомментированы математические модели, позволяющие описы вать волновые процессы с затуханием (Chistensen, 1982;

Robertsson et al., 1994).

В заключение дается описание результатов, полученных авто ром при разработке численных методов моделирования сейсмоаку стических полей при акустическом каротаже.

Во втором разделе формулируется математическая постановка задачи и вводятся основные модели среды с поглощением: модель Максвелла, модель Фойгта, стандартная линейная модель тврдого те ла (Curtin and Sternberg, 1962;

Christensen, 1982). Наиболее подробно исследуется последняя модель, для которой получены частотные зави симости фазовой скорости и добротности. Далее вводится модель обобщнного стандартного линейного тврдого тела и доказывается, что для разумных значений добротности (Q10) для е описания дос таточно двух релаксационных механизмов.

Рассмотрение дифференциальной постановки задачи завершает ся введением переменных памяти, с помощью которых распростране ние сейсмоакустических волновых полей описывается системой урав нений в частных производных первого порядка (скорости напряжения-переменные памяти).

Уравнения движения:

u r rr 1 r rz rr ;

r t r z r rz 1 z zz rz u z (1) ;

r t r z r r 1 z 2 r u ;

r t r z r Закон Гука:

rr u r L rrrl ;

M (1 L P ) 2 (1 L S ) 2 1 L S t r l zz u z L rzzl ;

M (1 L P ) 2 (1 L S ) 2 1 L S t z l 1 u u r L r ;

M (1 L P ) 2 (1 L S ) 2 1 L S r r t l l (2) rz u u L 1 L S z r rrzl ;

t r z l z 1 u z u L r z rzl ;

1 L S t l r u 1 u r u L r r r rrl ;

1 L S t l r r0, 0, z z где введены обозначения div u, F (t ).

2 r Уравнения на переменные памяти:

rrrl S u r ( M 2 ) rrrl ;

P S l t r rzzl S u z 1 ( M 2 ) rzzl ;

P S l t z rl u u r S 1 ( M 2 ) r r rl ;

P S l t (3) S u r u z rrzl rrzl ;

l t z r rzl 1 S 1 u r u rzl ;

r z l t rrl 1 S u 1 u r u r r r rrl ;

l t Система уравнений (1)-(3) решается с нулевыми начальными данными 0;

rr zz r rz z t 0 uz 0 (4) ur u t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t и условиями контакта на границе скважины r R0, заключающимися в непрерывности нормальных компонент вектора скорости смещений и тензора напряжений:

[ur ] r R 0;

[ rr ] r R [ rr ] r R ;

[ rz ] r R ;

[ r ] r R 0. (5) 0 0 0 0 Для ограничения расчтной области автором реализована оригиналь ная версия PML, разработанная при е непосредственном участии (Костин, Решетова, Чеверда, 2006).

Конечно-разностная аппроксимация задачи (1)-(5) строится на сдвинутых сетках (Virieux, 1986) методом баланса (Самарский, 1977).

Полученная при этом явная конечно-разностная схема является ус ловно устойчивой (доказан спектральный признак устойчивости) и имеет второй порядок аппроксимации всюду вне границ разрыва уп ругих параметров среды. На границах разрыва она аппроксимирует условия согласования типа (5) с первым порядком аппроксимации, однако е решение сходится к решению исходной задачи со вторым порядком (Самарский, 1977;

Lisitsa, Podgornova and Tcheverda, 2010).

Использование цилиндрической системы координат при по строении пространственной сетки позволяет описать особенности конструкции скважины и строения околоскважинного пространства.

Однако она имеет два существенных недостатка - линейное увеличе ние азимутального размера ячейки по мере удаления от оси r 0 и ма тематическую особенность в нуле. Для их преодоления предложены и реализованы оригинальные решения.

Разбухание ячейки по азимуту. Для обеспечения примерно одинаковых размеров ячеек сетки по радиусу и по азимуту предлага ется уменьшать в два раза дискретизацию по азимуту каждый раз, как радиус увеличивается в два раза, но при этом необходимо согласовы вать сетки, заданные при разном азимутальном шаге. На рис.1 приве дено взаимное расположение узлов при переходе с одной сетки на другую. Принимая во внимание 2 -периодичность всех участвую щих в рассмотрении переменных, восполнение неизвестных значений (в красных узлах) выполняется с помощью интерполяционной проце дуры, основанной на быстром преобразовании Фурье (БПФ), что обеспечивает экспоненциальную точность и тем самым позволяет из бежать сколько-нибудь существенных артефактов при переходе с сет ки на сетку. Кроме того, использование для этих целей процедуры БПФ обеспечивает максимальное быстродействие при выполнении такой интерполяции.

Особенностью конструкции скважины является наличие весьма сложной структуры в окрестности е границы - обсадной колонны, цементного кольца, а также трхмерной неоднородной зоны проник новения. Для детального описания таких особенностей при расчетах вводятся специальные «транзитные» зоны, в которых происходит уменьшение/увеличение шагов по радиусу по экспоненциальному за кону: hi q 1hi 1 (рис.2). Конечно, при этом аппроксимация становится уже первого порядка. Однако за счт выбора оптимального для задан ного частотного диапазона коэффициента изменения шагов удатся добиться приемлемого уровня погрешности.

б) а) Рис.1. Согласование сеток при азимутальном измельчении. Красным отме чены узлы, в которых должны быть вычислены дополнительные значения переменных на грубой и мелкой сетках, по известным узлам (зеленым).

Рис.2. Сетка с периодическим измельчением по азимуту и квазиравномерным изменение шагов по радиусу в окрестности границы скважины.

Устранение математической особенности при r 0. Ис пользуемая сетка начинается с окружности r 0.5hr и, следовательно, не содержит ось r 0. Однако для вычисления некоторых компонент вектора скорости смещений и тензора напряжений необходимо знание компонент ur, r, rz при r 0. Так как скважина заполнена жидко стью, внедиагональные компоненты тензора напряжений внутри не равны нулю, поэтому в нуле надо определить только радиальную компоненту вектора скорости смещений. Для этого используется ин терполяция полиномами Лагранжа по шести соседним узлам.

Организация параллельных вычислений производится де композицией расчтной области на непересекающиеся дискообразные элементы, каждый из которых приписывается своему процессорному элементу. На каждом временном шаге соседние процессорные эле менты обмениваются текущими значениями векторов скорости сме щений и тензора напряжений, рассчитанными на соприкасающихся гранях элементарных дисков (рис.3). Высокая эффективность и мас штабируемость параллельного программного обеспечения была дос тигнута благодаря организации асинхронных вычислений. Для этого использовалось сочетание неблокирующих MPI-процедур межпроцес сорного обмена Isend/Irecv и специальной организации вычислений внутри элементарной области - из е самой внутренней точки по на правлению к соседним процессорным элементам. Оценка точности вычислений как для идеально-упругой среды, так и среды с поглоще нием проводилась путм сравнения численного решения с точным, а также выделением таких характеристик волнового поля, как времена вступления отдельных волн (продольных и поперечных) и уменьше ние их амплитуды.

В заключение представлены результаты расчтов для несколь ких реалистичных сейсмоакустических моделей, одна из которых по казана на рис. 4. Расчтная область - цилиндр радиусом 1 м и высотой 6 м, радиус скважины (1) - 0.1 м, толщина охватывающей е стальной обсадной колонны (2) - 0.01 м, цементного кольца (3) - 0.04 м, толщи на вертикальной трещины (7) - 0.02 м. Параметры модели:

1. буровой раствор в скважине: 1000 кг / м 3,V p 1500 м / с, Q 65;

2. обсадная колонна: 7830 кг / м 3,V p 5600 м / с, V s 3270 м / с, Q 100;

3. цементное кольцо: 2400 кг / м 3,V p 4200 м / с, V s 2425 м / с, Q 80;

4. упругая среда №4: 2400 кг / м 3,V p 4989 м / с, V s 2605 м / с, Q 100;

5. упругая среда №5: 2400 кг / м 3,V p 3208 м / с, V s 1604 м / с, Q 60;

6. упругая среда №6: 2400 кг / м 3,V p 2650 м / с, V s 1219 м / с, Q 15;

7. вертикальная трещина заполнена тем же самым буровым раство ром, что и скважина.

Рис.3. Декомпозиция расчётной Рис.4. Модель строения среды и конст области. рукции скважины для моделирования проявления вертикальной трещины в сейсмоакустических полях: а) верти кальное сечение;

б) горизонтальное сече ние;

в) увеличение в окрестности сква жины.

Рис.5. Серия моментальных снимков разности компонент rr тензора на пряжения, рассчитанных для модели с вертикальной трещиной.

Результаты численного моделирования представлены на рис.5, где отчтливо прослеживается образование в трещине низкоскорост ной каналовой волны.

Глава 2. Конечно-разностные методы численного моделиро вания распространения сейсмических волн в трхмерных неодно родных разномасштабных средах.

Одной из наиболее актуальных задач современных сейсмиче ских методов является картирование кавернозно-трещиноватых резер вуаров, представляющих собой скопления каверн и трещин, напол ненных флюидом. Проницаемость такого коллектора и, следователь но, его фильтрационно-мкостные свойства определяются именно структурой этих трещин, поэтому их достоверная реконструкция чрезвычайно важна для грамотного процесса разработки месторожде ний. И первый шаг в этом направлении - детальный анализ особенно стей взаимодействия сейсмических волн с такими структурами. Глав ная трудность на этом пути - огромная разница в масштабах неодно родностей. В то время как коллектор содержит скопления микронеод нородностей от долей сантиметра до первых десятков сантиметров (карстовые полости), характерные неоднородности вмещающего про странства могут составлять десятки и сотни метров, а характерные размеры - и первые километры. Таким образом, использование в ко нечно-разностных схемах равномерных пространственно-временных сеток выдвигает нереалистичные требования на необходимые для это го вычислительные ресурсы.

Подход к решению данной проблемы предлагается в использо вании сеток с различными шагами по пространству и времени для корректного описания составляющих модели: сравнительно крупный шаг для трхмерно-неоднородной вмещающей среды и гораздо более мелкий внутри пласта-коллектора. Заметим, что используемые явные конечно-разностные схемы являются условно устойчивыми, и, следо вательно, шаги по времени и по пространству должны быть связаны условием устойчивости Куранта, то есть чем меньше шаг по про странству, тем меньше должен быть и шаг по времени. Однако не обоснованно мелкий шаг по времени во всей расчтной области не только ведт к существенному возрастанию времени счта, но и вво дит значительную численную дисперсию, искажающую форму рас пространяющейся волны. Поэтому в работе реализован подход, осно ванный на локальном пространственно-временном измельчении шагов сетки.

Конечно-разностное моделирование с использованием сеток с локальным измельчением по пространству и по времени. Ти пичная задача трхмерного численного моделирования сейсмических волновых полей требует десятки и сотни гигабайт оперативной памя ти, и следовательно, е решение невозможно без использования вы числительных систем с параллельной архитектурой. На сегодня наи более распространнной и, пожалуй, самой эффективной является ор ганизация таких вычислений с использованием явных конечно разностных схем, аппроксимирующих систему уравнений динамиче ской теории упругости в скоростях-напряжениях. В работе использу ется стандартная схема на сдвинутых сетках (Virieux, 1986), адаптиро ванная для неоднородных сред с границами раздела с использованием метода баланса (Самарский, 1977). Переход с одного временного слоя на другой осуществляется в два шага: от скоростей для момента вре мени t к напряжениям в момент времени t 0.5t и от напряжений в момент времени t 0.5t к скоростям в момент времени t t.

Согласование сеток. Интересующие нас рассеянные волны, возникающие на микроструктуре пласта-коллектора, имеют амплиту ду порядка 1% от интенсивности падающей волны. Поэтому разраба тываемый конечно-разностный метод должен обладать искусствен ными отражениями от границы смены шагов на уровне 0. 0.001% от интенсивности падающей волны. Для обеспечения этого уровня выполнено измельчение по времени и по пространству на раз ных поверхностях, охватывающих целевую область (рис.6а).

б) а) в) Рис.6. а) Взаимное расположение поверхности с измельчением шага по вре мени (красный прямоугольник) и шага по пространству. б) Согласование ша гов по времени. в) Согласование шагов по пространству.

Измельчение шага по времени. Для одномерного случая из мельчение шага по времени при фиксированном шаге по пространству представлено на рис. 6б и достаточно очевидно. Его модификации в двумерной и трхмерной постановках отличаются только использова нием соответствующего пространственного шаблона, оставляя неиз менной структуру вычислений (Reshetova et al., 2009).

Измельчение шага по пространству. Для согласования сеток с различными шагами по пространству используется интерполяция на основе БПФ. Чтобы упростить объяснение, рассмотрим двумерную реализацию этого подхода. На рис. 6в изображено взаимное располо жение крупной и мелкой сеток. Треугольниками обозначены узлы, в которых задаются компоненты векторов скорости смещения (ориен тация треугольника совпадает с направлением компоненты вектора), а прямоугольниками и косыми крестиками - узлы, в которых задаются соответственно диагональные ( xx и zz ) и внедиагональные ( xz ) компоненты тензора напряжений. Рассмотрим шаг, на котором по за данным компонентам вектора скоростей смещения вычисляются ком поненты тензора напряжений. Как видно, для того чтобы вычислить компоненту xz на границах мелкой сетки, необходимо знать векторы скоростей смещения в узлах, отмеченных красным треугольником. Но эти узлы не принадлежат крупной сетке, поэтому искомые значения в них должны быть получены интерполированием, для чего использует ся преобразование Фурье. Определяющими факторами этого выбора явились экспоненциальная точность такой интерполяции и высокое быстродействие БПФ. Единственное отличие в трхмерном случае – необходимость выполнения двумерной интерполяции.

Организация параллельных вычислений. Разработанное про граммное обеспечение предназначено для анализа взаимодействия сейсмических волн с кавернозно-трещиноватыми резервуарами в реа листичных трхмерных неоднородных средах. Поэтому параллельные вычисления должны быть организованы как во вмещающей среде, описываемой крупной сеткой, так и в самом резервуаре - на мелкой сетке. Одновременное использование крупной и мелкой сеток и необ ходимость организации взаимодействия между ними делает задачу обеспечения равномерной загрузки процессорных элементов (при ор ганизации параллельных вычислений) на основе декомпозиции облас ти нетривиальной.

Ещ одним важным моментом является создание сейсмогеоло гической модели трхмерной разномасштабной среды, включая зада ние вмещающей среды на крупной сетке и расположенного в ней ре зервуара на мелкой сетке. Для обеспечения максимального удобства пользователя в разработанной версии программного обеспечения предполагается, что резервуар погружн внутрь параллелепипеда, ко торый определяется одной из своих вершин и длинами сторон. Рас пределение упругих параметров во вмещающей среде (на крупной сетке) и в резервуаре (на мелкой сетке) задатся отдельными файлами, которые загружаются независимо друг от друга. Трхмерная декомпо зиция каждой из областей выполняется независимо и задатся количе ством их разбиений по трм направлениям.

б) а) Рис.7. а) Сверху вниз: одномерная, двумерная и трёхмерная декомпозиции об ласти. б) Ускорение при использовании одномерной (чёрная), двумерной (синяя) и трёхмерной (красная) декомпозиции расчётной области.

Взаимодействие процессорных элементов в группе и между группами. Для организации параллельных вычислений используется пространственная декомпозиция области на соприкасающиеся парал лелепипеды, каждый из которых приписывается своему процессорно му элементу (рис.7а). Используемый пространственный шаблон тре бует для расчта скоростей и напряжений в точке M в последующий момент времени их знания в некоторой окрестности этой точки в пре дыдущий момент. Итак, возникает необходимость организации поша говых обменов между соприкасающимися процессорами. Время, за трачиваемое на такие обмены, относится к непроизводительным поте рям, и чем больше объм пересылаемых данных, тем значительнее эти потери и, следовательно, ниже эффективность разработанного про граммного обеспечения. В свою очередь, объм пересылаемых дан ных, а значит, и эффективность программного обеспечения зависят от геометрии декомпозиции области. Как видно из рис.7б, наилучшей эффективностью обладает трхмерная декомпозиция, что объясняется тем фактом, что среди всех параллелепипедов фиксированного объма куб имеет наименьшую площадь поверхности и, следовательно, при этом пересылается наименьший объм данных.

Именно такая декомпозиция используется в работе для органи зации параллельных вычислений и во вмещающем пространстве (крупная сетка), и в резервуаре (мелкая сетка). Кроме того, для сокра щения непроизводительного ожидания вычисления организованы асинхронно, а именно обмен данными между соприкасающимися процессорными элементами осуществляется с помощью неблоки рующих MPI-процедур Isend/Irecv, а внутри поцессорного элемента вычисления для каждого текущего временного слоя конечно разностной схемы начинаются из самой внутренней точки приписан ной к нему элементарной области и расширяются по направлению к е границам. Таким образом, при формировании граничных значений уже поступают необходимые данные от соседних процессоров, и од новременно готовится к пересылке их следующий пакет для перехода на новый слой по времени.

Взаимодействие между группами процессорных элементов.

Как уже было отмечено выше, изучаемая среда представляется в виде суперпозиции вмещающей среды (крупная сетка) и содержащегося в ней резервуара (мелкая сетка). Процессорные элементы разбиваются на две группы, производящие вычисления на крупной и мелкой сетке соответственно (рис.8а). Рассмотрим организацию обменов между этими группами, имея в виду, что при этом также выполняется и со гласование сеток, как это было описано ранее.

Передача данных с крупной сетки на мелкую. Прежде всего определяются процессорные элементы из первой группы (крупная сетка), охватывающие резервуар (рис.8б), и группируются по каждой из граней, соприкасающихся с параллелепипедом на мелкой сетке.

Для каждой грани определяется специальный мастер-процессор (МП), который собирает рассчитанные на ней текущие значения решения и пересылает их соответствующему МП на мелкой сетке. Последующая обработка этих данных по согласованию сеток путм интерполяции выполняется уже МП для мелкой сетки, который затем рассылает данные по соответствующим процессорам из второй группы (мелкая сетка). Выполнение интерполяции на месте позволяет существенно уменьшить объм пересылаемых данных и, следовательно, время не производительного ожидания.

Передача данных с мелкой сетки на крупную. Как и в преды дущем случае, сначала определяются процессоры, выполняющие вы числения на гранях параллелепипеда с мелкой сеткой, охватывающего резервуар, и для каждой грани определяется мастер-процессор (МП) (рис.8б). Именно он собирает с каждой грани данные для пересылки на группу процессоров, работающих на крупной сетке. В этом случае для вычисления значений решения для следующего момента времени нужны не все данные, полученные с мелким шагом, а лишь те, кото рые соответствуют узлам крупной сетки (рис.6в). Выделение мастер процессора для каждой из граней существенно уменьшает объм пе ресылок, а следовательно, и время ожидания, и тем самым повышает эффективность программного обеспечения.

Максимально возможная степень асинхронности вычислений при организации межгрупповых обменов и обменов внутри групп обеспечивается за счт использования неблокирующих процедур MPI Isend/Irecv и специальной организации вычислений – на каждом шаге по времени они начинаются из самой внутренней точки области, при писанной конкретному процессорному элементу.

Рис.8. а) Две группы процессоров. б) Взаимодействие между ними Пример моделирования рассеянных волн на коридорах трещиноватости. В заключение приводятся результаты численного моделирования для реалистичной модели карбонатного резервуара с коридорами трещиноватости. Такого типа коллекторы характерны для месторождений нефти и газа в Восточной Сибири, в частности в Юрубчено-Тохомской зоне. В основу построенной численной модели резервуара положена схематическая модель, представляющая погру женный в однородную среду однородный слой, содержащий в себе два слоя с коридорами трещиноватости. Параметры вмещающей сре ды выбраны соответствующими типичной модели карбонатных по род: V p 4500 м / c, Vs 2500 м / с, 2500 кг / м3.

Резервуар содержит область трещиноватости коридорного типа с из менчивостью концентрации трещин от 0 в цельных фациях до макси мального значения 0.3 (рис.9). Для дискретизации резервуара исполь зовался пространственный шаг 0.5 м. В итоге получается массив из 4000х4000х400 точек. Декомпозиция области была выполнена таким образом, чтобы на каждый из процессорных элементов приходился куб 200х200х200 точек (примерно 1Gb RAM), что потребовало процессорных элементов. Вмещающая среда заполняет куб 2000х2000х2000 м и дискретизуется с шагом 2.5 м, что соответствует массиву 800х800х800 точек. Выбирая такую же загруженность про цессорных элементов, получаем необходимость использования процессорных элементов. Таким образом, для моделирования взаимо действия сейсмических волн с тонкой структурой данного резервуара необходимо 864 процессорных элемента.

а) б) Рис.9. Распределение коридоров трещиноватости в резервуаре. а) вид сбоку, б) вид сверху.

Синтетические сейсмограммы. С помощью разработанного программного обеспечения было проведено полномасштабное чис ленное моделирование для изучения рассеянных волн, возникающих на построенных выше коридорах трещиноватости. На рис.10 приведе ны синтетические трхкомпонентные сейсмограммы, вычисленные на двух профилях: параллельном (а) и ортогональном (б) направлению распространения коридоров трещиноватости. Отчтливо прослежива ется разница между волновыми полями, которая может быть положе на в основу методики определения ориентации коридоров трещи новатости и выработки на этой основе рекомендаций по разработке и эксплуатации месторождений.

а) б) Рис.10. Трёхкомпонентные сейсмограммы, вычисленные на профилях, параллельных (а) и ортогональных (б) коридорам трещиноватости.

Глава 3. Спектрально-разностный метод численного моде лирования сейсмических волновых полей в резкоконтрастных средах на основе преобразования Лагерра по времени Описанные в предыдущих главах численные методы моделиро вания сейсмических волновых процессов основаны на явных конечно разностных схемах. Эти схемы являются условно устойчивыми, то есть величина шага по времени связана с шагом по пространству так называемым условием Куранта Ch /Vm ax, где через Vmax обозначена максимальная скорость в среде. В то же время, все явные схемы обла дают численной дисперсией, что ведт к необходимости выбора шага по пространству, подчиняющегося неравенству h Vmin /(k ), где есть доминирующая частота сигнала, а k – некоторый множитель, за висящий от выбранной схемы (так, для схемы на сдвинутых сетках второго порядка k=20). Из приведнных соотношений видно, что в средах с высокими контрастами скоростей применение явных конеч но-разностных схем, особенно при необходимости проведения моде лирования волновых полей на большие расстояния и, следовательно, для больших времн, связано со значительными затратами вычисли тельных ресурсов.

Альтернативой этому подходу, свободному от жстких ограни чений на шаги по времени, является отделение времени и переход к решению однопараметрического семейства эллиптических задач с ис пользованием преобразования Фурье по времени. Однако его сущест венным недостатком является знаконеопределнность возникающего при этом дифференциального оператора по пространству. Следова тельно, и возникающая при его дискретизации матрица тоже является знаконеопределнной, что существенно осложняет построение сходя щихся итерационных процессов для решения соответствующей сис темы линейных алгебраических уравнений (заметим, что использова ние прямых методов, как правило, весьма затруднено ввиду огромной размерности матриц для интересующих нас трхмерных постановок).

Указанного недостатка лишн подход с применением преобра зования Лагерра по времени. В этом случае получается строго отрица тельно определнный эллиптический оператор. Более того, этот опе ратор не зависит от параметра разделения, что существенно уменьша ет затраты на вычисление и хранение соответствующей матрицы. Этот подход предложен и обоснован при непосредственном участии автора (Конюх (Решетова), Михайленко, Михайлов;

2001;

Mikhailenko, Mik hailov, Reshetova, 2003). Одно из приложений подхода, опирающегося на преобразование Лагерра, подробно рассматриваемое в диссертации, связано с моделированием взаимодействия сейсмических и акусто гравитационных волновых полей для модели неоднородной среды ли тосфера - атмосфера.

История вопроса. При математическом моделировании распро странения сейсмических волн при землетрясениях и взрывах обычно исходят из того, что поверхность Земли граничит с вакуумом, что по зволяет рассматривать е как свободную от напряжений. При этом не учитываются эффекты взаимодействия волн на дневной поверхности, приводящие к возбуждению акусто-гравитационных волн в неодно родной атмосфере. Однако появились теоретические и эксперимен тальные работы, в которых приводятся экспериментальные данные о существовании взаимозависимости волновых процессов в литосфере и атмосфере. В частности, А.С. Алексеевым с соавторами описан эф фект акусто-сейсмической индукции (Alekseev et al., 1996), заклю чающийся в возбуждении акустической волной от мощного вибратора интенсивных сейсмических поверхностных волн, распространяющих ся на расстояние в десятки километров. Теоретическим исследованиям волновых процессов на границе упругого однородного полупростран ства с изотермической моделью однородной атмосферы посвящены работы А.В. Разина (1993), Л.А. Гасиловой и Ю.В. Петухова (1999). В них с использованием метода контурного интегрирования и результа тов исследования дисперсионного уравнения для собственных реше ний построенной модели установлено существование поверхностной волны Стоунли-Шолтэ и модифицированной волны Лэмба.

Постановка задачи. Система линеаризованных уравнений, описывающая распространение акусто-гравитационных волн для мо дели неоднородной атмосферы в цилиндрической системе координат (r, z), имеет вид:

2 P u u r P P P 0 z g ;

0 c0 0 u z 0 u z ;

;

t z t r t t z z (6) u u 0 r u r z z u z F (r, z, t ).

t r r z Здесь u r, u z - компоненты скорости движения частиц воздуха в волне, P, - соответственно, возмущения давления и плотности под дейст вием источника массы F ( z, r, t ) ( z z0 ) f (t ), c0 ( z ) - скорость звука в ат мосфере, константа g - ускорение силы тяжести. Нулевыми индекса ми обозначены величины, относящиеся к среднему невозмущенному состоянию атмосферы. Зависимость значений гидростатического дав ления P0 и плотности атмосферы 0 от высоты z определяется соот ношением P0, 0 ~ exp( z / H ), где H - высота изотермической однород ной атмосферы. Для покоящейся атмосферы в однородном поле силы тяжести имеют место формула: P0 g и ( z ) exp( z / H ), где 1 0 плотность при z 0 (граница литосфера - атмосфера).

Распространение сейсмических волн для модели неоднородной литосферы в цилиндрической системе координат записывается в виде системы уравнений теории упругости первого порядка:

u z rz zz rz 0 0 Fz ( r, z, t );

t r z r u r rr rz rr 0 0 Fr ( r, z, t );

t r z r zz u u u 2 z r r ;

t z r r (7) rr u u u 2 r r r ;

t r z r u u 2 r z r ;

u t z r r rz u u r z.

t z r В этих уравнениях u r, u z - компоненты скорости смещения упругой среды, zz, rr, rz, - компоненты тензора напряжений, 0 z - плот ность упругой среды, z и z - коэффициенты Ламе. При этом Fz, Fr - составляющие силы F ( z, r, t ) Fz ( z, r, t )ez Fr ( z, r, t )er, описывающие рас пределение локализованного в пространстве источника типа «центра давления», «вертикальной силы» или «диполя без момента» (если ис точник находится в упругой среде). Например, в случае источника ти па «центра давления» компоненты силы F ( z, r, t ) имеют вид:

(r ) d d (r ) ( z z 0 ) f (t );

Fr ( z, r, t ) ( z z 0 ) f (t ).

Fz ( z, r, t ) 2r dz dr 2r Функция f (t ) задат изменчивость источника по времени. Для фор мального описания источников используются выражения, содержащие обобщенные функции и производные от них. При численном решении для обобщенных функций вводятся соответствующие гладкие анало ги. Задачи (6) и (7) решаются при нулевых начальных данных в атмо сфере и упругом полупространстве, а также и при условии согласова ния на границе литосфера – атмосфера:

zz P P, rz uz 0.

uz (8) uz ;

t t z лит атм лит атм лит Алгоритм решения. Последовательное применение преобразо ваний Фурье-Бесселя по радиусу и Лагерра по времени сводит задачу к решению системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для набора правых частей. Для отыскания численного ре шения использовалась конечно-разностная схема на сдвинутых сет ках, обеспечивающая второй порядок аппроксимации. В полученной системе алгебраических уравнений параметр разделения р (степень полинома Лагерра) присутствует только в правой части, а матрица системы от него не зависит. Это дат возможность использовать пря мые методы решения, например, на основе разложения Холецкого, выполняемого только один раз. При этом решение системы строится одновременно для всех правых частей или, другими словами, сразу для всех значений параметра разделения. Этот процесс повторяется для всех корней уравнения Бесселя, что позволяет вернуться в про странственную область по радиальной переменной.

Спецификой поставленной задачи является необходимость мо делирования совместных волновых процессов в атмосфере и упругом неоднородном полупространстве, скорости распространения волн в которых отличаются в 10-15 раз. Поэтому для изучения волновых яв лений необходимо рассматривать волновые поля для больших проме жутков времени, а следовательно, и для больших пространственных областей. Для ограничения расчетной области в атмосфере и упругом полупространстве вводятся специальным образом сконструированные достаточно узкие (меньше длины волны) поглощающие слои, учиты вающие специфику задачи, связанную с использованием преобразова ния Лагерра (Решетова, Чеверда, 2006). С их помощью удатся обес печить устойчивость алгоритма вне зависимости от длительности рас четов по времени.

Примеры численных расчтов. При численном моделирова нии взаимодействия сейсмических и акусто-гравитационных волн для неоднородной среды литосфера-атмосфера волновая картина сущест венно меняется в зависимости от доминирующей частоты в источни ке. При низких частотах (периоды волн более 100 сек.) возникают акусто-гравитационные волны, которые значительно усложняют вол новую картину, поэтому ограничимся моделированием взаимодейст вия сейсмических и акустических волн для высоких частот (ГСЗ и сейсморазведка).

Для понимания особенностей волновых процессов рассматрива ется однородное упругое полупространство, граничащее с атмосфе рой, в которой скорость звука постоянна, а плотность экспоненциаль но падает с высотой. Скорость распространения продольных волн в упругом полупространстве V p 3000 м / с, скорость поперечных волн Vs 1760 м / с, плотность 0 2.3г / см 3. Скорость распространения аку стических волн в атмосфере c0 340 м / с, плотность 0 0001225 г / см (при z 0 ). Источник типа «центра давления» расположен в упругом полупространстве.

На рис. 11а приведен численный снимок в момент времени для горизонтальной компоненты скорости смещения в упругом t 20с полупространстве и давления в атмосфере. Источник типа «центра давления» расположен в полупространстве на расстоянии 3000м (, где - доминирующая длина волны P) от границы z 0. В первых вступлениях в упругом полупространстве регистрируется продольная P - волна от источника и отраженная PP - волна от границы с атмо сферой и далее обменная PS - волна. В атмосфере регистрируется ко ническая волна.

Волновая картина усложняется, если источник типа «центра давления» находится вблизи свободной поверхности на расстоянии 750м ( 1/ 4 ). На рис. 11б приведен численный снимок в тот же момент для той же самой горизонтальной компоненты скорости смещения в упругом полупространстве и давления в атмосфере. В упругом полу пространстве, кроме классических волн, возникает «нелучевая» S* волна. Как видно из рисунка, она возникает и в атмосфере. Кроме то го, по границе литосфера-атмосфера распространяется поверхностная волна Стоунли-Шолтэ, а в атмосфере - серия конических волн.

б) а) Рис.11. Численный снимок горизонтальной компоненты волнового поля в момент времени 20 с для двух положений источника: 3000 м (а) и 750 м (б).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Результатом исследования является разработка новых эффек тивных методов, алгоритмов и программного обеспечения для чис ленного моделирования сейсмических и сейсмоакустических волно вых полей в трхмерных неоднородных разномасштабных резкокон трастных средах сложного строения.

1. На основе конечно-разностного подхода разработан и теоре тически и экспериментально обоснован новый метод, создан ориги нальный алгоритм и реализовано программное обеспечение для чис ленного моделирования волновых полей акустического каротажа. Для максимально точного описания наиболее контрастной границы (сква жина/вмещающая среда) используется цилиндрическая система коор динат с квазинеравномерным радиальным и адаптивным азимуталь ным измельчением разностной сетки. Их использование стало воз можным, благодаря оригинальной процедуре согласования адаптив ных сеток по азимуту на основе интерполяции с помощью преобразо вания Фурье.

2. С использованием конечно-разностных схем, опирающихся на сетки с локальным пространственно-временным измельчением, разработан и обоснован новый численный метод, на основе которого создан алгоритм и реализовано программное обеспечение для числен ного моделирования волновых полей в трхмерных неоднородных разномасштабных упругих средах. Выгодным отличием пространст венно-временного измельчения сеток от известных способов является:

- выполнение измельчения по пространству и по времени на различ ных поверхностях, охватывающих целевую область, что обеспечило устойчивость метода;

- использование для согласования сеток пространственной интерполя ции на основе преобразования Фурье, что обеспечило е экспоненци альную точность и низкий уровень возникающих при этом артефактов (менее 0.1% от амплитуды падающей волны);

- двухуровневая параллельная организация вычислений, основанная на создании двух групп процессоров (для референтной среды и блока, содержащего мелкомасштабные неоднородности) и трехмерной де композиции областей для каждой из групп.

3. Разработан, теоретически и экспериментально обоснован и протестирован новый устойчивый эффективный спектрально разностный метод численного моделирования волновых полей для трхмерных неоднородных сред с резкоконтрастными границами раз дела на основе интегрального преобразования Лагерра. Применение интегрального преобразования Лагерра по времени позволило:

- свести решение исходной задачи к решению системы уравнений с отрицательно определнной матрицей, что обеспечивает уверенную сходимость итерационных методов;

- получить матрицу, не зависящую от параметра разделения, что по зволяет выполнять е обращение только раз сразу для всех значений параметра;

- обеспечить возможность ограничения расчетной области устойчи выми PML без расщепления.

Дальнейшее развитие изложенных в диссертации методов чис ленного моделирования сейсмических полей, несомненно, представ ляет значительный теоретический и практический интерес. Его основ ные направления, видимо, связаны со следующими моментами:

- в области акустического каротажа – переход к численным моде лям анизотропных упругих сред с поглощением, учт конструкции скважины и прибора, включая пьезоэлектрическое возбуждение коле баний и наличие демпферов между блоком излучателей и примников;

- в области численного моделирования взаимодействия сейсмиче ских волн с микроструктурой пласта-коллектора – использование конечно-разностных схем более высокого порядка, переход к более реалистичным моделям вмещающего пространства (возможность уч та анизотропии и поглощения) и резервуара (наличие флюидонасы щенных каверн), аппроксимация свободной поверхности с учтом е рельефа, выделение верхней части разреза и зоны малых скоростей и др.;

- в области моделирования системы литосфера-атмосфера – пере ход к сферической системе координат в целях развития численных методов для моделирования полей низкочастотных акусто гравитационных волн и их взаимодействия с литосферой;

учт нали чия ветра, включая глобальный перенос в верхних слоях атмосферы.

Основные публикации по теме диссертации 1. Конюх (Решетова) Г.В., Михайленко Б.Г., Михайлов А.А. Чис ленное моделирование сейсмических полей в вязкоупругих средах на основе спектрального метода Лагерра // Математическое моделирова ние. -2001. -Т.13 (2). -С.61-70.

2. Ельцов И.Н., Кашеваров А.А., Решетова Г.В., Чеверда В.А.

Проявление неоднородностей зоны проникновения в геофизических полях вдоль ствола скважины // Геофизика. -2004. -Т.6. -С.17-21.

3. Ельцов И.Н., Решетова Г.В., Чеверда В.А. Численное моделиро вание процессов распространения сейсмоакустических полей с уче том неоднородности зоны проникновения // Физическая мезомехани ка. -2005. -Т.8. -С.99-105.

4. Михайленко Б.Г., Решетова Г.В. Численно-аналитический метод решения задачи о распространении сейсмических и акусто гравитационных волн для неоднородной модели Земля-Атмосфера // Сибирский журнал вычислительной математики. -2006. -Т.9. -С.37-46.

5. Михайленко Б.Г., Решетова Г.В. Математическое моделирова ние распространения сейсмических и акусто-гравитационных волн для неоднородной модели Земля-Атмосфера // Геология и геофизика, 2006, т.47(5), с. 547-556.

6. Решетова Г.В., Чеверда В.А. Использование преобразования Ла герра для построения идеально подходящих поглощающих слоев без расщепления // Математическое моделирование. -2006. -Т.18 (10). С.91-101.

7. Костин В.И., Решетова Г.В., Чеверда В.А. Численное моделиро вание трехмерного акустического каротажа с использованием много процессорных вычислительных систем // Математическое моделирование. -2008. -Т.20(9). -С.51-66.

8. Гилбо Ж., Ланда Е., Решетова Г.В., Хайдуков В.Г., Чеверда В.А.

Численное моделирование сейсмических волновых полей в двумерно неоднородных упругих разномасштабных средах (карстовые включе ния) // Технологии сейсморазведки. -2008. -Т.3. -С.19-28.

9. Konyukh (Решетова) G.V., Krivtsov Y.I., Mikhailenko B.G. Nu merical-Analytical Modeling of Seismic Wave Propagation in Vertically Inhomogeneous Media//Applied Mathematics Letters. -1998. -V.11(1). P.99-104.

10. Konyukh (Решетова) G.V., Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A.

Application of the integral Laguerre transforms for forward seismic model ing // Journal of Computational Acoustics. -2001. -V.9(4). -P.1523-1541.

11. Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., Reshetova G.V.Numerical vis coelastic modeling by the spectral Laguerre method // Geophysical Pros pecting. -2003. -V.51. -P.37-48.

12. Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., Reshetova G.V.Numerical modeling of transient seismic fields in viscoelastic media based on the La guerre spectral method // Pure and Applied Geophysics. -2003. -V.160. -P.

1207-1224.

13. Pissarenko D.V., Reshetova G.V., Tcheverda V.A. 3D finite difference synthetic acoustic logging in cylindrical coordinates // Geophysical Prospecting. -2009. -V.57(3). -P. 367-377.

14. Mikhailenko B.G., Reshetova G.V. Mathematical modeling of seismic and acousto-gravitational waves in a Heterogeneous earth atmosphere model // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010. -V.234. -P. 1678-1684.

15. Pissarenko D.V., Reshetova G.V., Tcheverda V.A. 3D finite difference synthetic acoustic log in cylindrical coordinates // Journal of Computational and Applied Mathematics. -2010. -V. 234. -P. 1766-1772.

Подписано к печати 03.11. Формат 60х84/16. Объем 2 печ.л.

Тираж 100 экз. Зак. 172.

ОOO «Омега Принт», пр-т. Ак. Лаврентьева, 6, Новосибирск

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.