авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Факторизация алгебры петель над so(4)

и интегрируемые нелинейные

дифференциальные уравнения

О. В. ЕФИМОВСКАЯ

Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова

УДК 517.958+512.77

Ключевые слова: интегрируемые нелинейные дифференциальные уравнения, пара

Лакса, алгебра петель.

Аннотация Рассматриваются факторизующие подалгебры для алгебры петель над so(4). В тер минах коэффициентов коммутационных соотношений найден явный вид связанных с факторизующей подалгеброй системы типа уравнения главного кирального поля, двухспиновой модели типа уравнения Ландау—Лифшица и гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с однородным квадратичным гамильто нианом и линейными so(4)-скобками Пуассона.

Abstract O. V. Efimovskaya, Factorization of loop algebras over so(4) and integrable non linear differential equations, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 11 (2005), no. 3, pp. 79—94.

We consider factoring subalgebras for loop algebras over so(4). Given a factoring subalgebra, we find (in terms of coefficients of commutator relations) an explicit form of (1) the corresponding system of the chiral field equation type, (2) the corresponding two-spin model of the Landau–Lifshitz equation, and (3) the corresponding Hamiltonian system of ordinary differential equations with homogeneous quadratic Hamiltonian and linear so(4)-Poisson brackets.

Введение Наиболее универсальным современным способом интегрирования нелиней ных дифференциальных уравнений является метод обратной задачи рассея ния [8, 12]. Этот метод применим, если для исследуемого уравнения известно представление Лакса [15].

Рассмотрим случай обыкновенных дифференциальных уравнений. Представ лением Лакса для дифференциального уравнения (1) Ut = F(U) Фундаментальная и прикладная математика, 2005, том 11, № 3, с. 79—94.

c 2005 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

80 О. В. Ефимовская является операторное соотношение (2) Lt = [A, L], где L = L(U, ), A = A(U, ) — некоторые матрицы, такие что (2) эквивалент но (1).

Нетрудно показать, что если L удовлетворяет (2), то коэффициенты харак теристического многочлена Det(L µE) являются интегралами движения.

Пример. Пусть U(t) является матрицей размера N N, U L = a + U, A=, где a = diag(a1,..., aN ). Тогда (2) эквивалентно следующему соотношению:

Ut = [U2, a].

В частности, если 0 u1 u2 a3 0 U = u1 u3, a=0 0, 0 a u2 u3 0 0 0 a то (2) эквивалентно волчку Эйлера (u1 )t = (a3 a2 )u2 u3, (u2 )t = (a1 a3 )u1 u3, (u3 )t = (a2 a1 )u1 u2.

Характеристический многочлен Det(L µE) задаётся формулой (µ a1 )(µ a2 )(µ a3 ) + (u2 + u2 + u2 )µ + (a1 u2 + a2 u2 + a3 u2 ).

1 2 3 1 2 Соответствующая характеристическая кривая Det(L µE) = является эллиптической. Собственная функция (, µ, t), удовлетворяющая уравнению L = µ, задаёт векторное расслоение с некоторыми специаль ными аналитическими свойствами над этой кривой. Зависимость от перемен ной t описывается уравнением t = A. Современный подход [5,6], основанный на представлении Лакса, состоит в том, чтобы сначала восстановить (, µ, t) в терминах -функций и затем, зная, найти неизвестную функцию U(t).

Для уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными x и t представление Лакса выглядит следующим образом:

(3) Lt = Ax + [A, L].

Как правило, предполагают, что A и L в формулах (2), (3) являются функ циями от параметра, принимающими значения в некоторой конечномерной алгебре Ли G. Однако в соотношении (2) можно считать, что A принадлежит G, а L — некоторому модулю над G. Для (3) такое предположение невозможно.

Факторизация алгебры петель над so(4) Основной вопрос при попытке перечислить все пары Лакса, соответствующие данной алгебре Ли G, состоит в том, каков должен быть характер зависимости A и L от. Обычно его фиксируют, считая, что A и L являются рациональными (или эллиптическими) функциями от.

Единственный подход [1, 10, 13], свободный от этого недостатка, состоит в том, что мы считаем A и L рядами Лорана по вида gi i, где gi G, n Z. (4) i=n Однако если эти ряды произвольны, то уравнение Лакса эквивалентно бесконеч ной системе дифференциальных уравнений относительно бесконечного набора коэффициентов.

Предположим, что у нас имеется разложение (см. [1, 3, 10, 11, 13]) G(()) = G[[]] U (5) алгебры G(()) всех рядов Лорана в прямую сумму (как векторных пространств) подалгебры Ли G[[]] рядов Тейлора и некоторой дополнительной подалгебры Ли U. Следуя И. В. Череднику [13], мы будем называть подалгебру U факто ризующей.

Если A и L принадлежат U, соотношение (2) эквивалентно конечному набору уравнений. Действительно, если в элементе Lt [A, L] алгебры U сократились все члены с отрицательными степенями, то в силу (5) этот элемент тожде ственно равен нулю. То же самое верно и для соотношения (3).

Для приложений особенно важны маломерные полупростые алгебры Ли G.

Например, как было показано в [4], классическим волчкам динамики твёрдого тела соответствуют случаи G = so(3) и G = so(4). В [11] описаны все фактори зующие подалгебры для G = so(3).

В статье исследуются факторизующие подалгебры в случае G = so(4). Из вестно [2, 3, 7, 14], что с каждой факторизующей подалгеброй для so(4) связаны следующие интегрируемые дифференциальные уравнения:

• нелинейная гиперболическая система типа уравнения кирального поля;

• двухспиновая модель типа уравнения Ландау—Лифшица;

• гамильтонова система обыкновенных дифференциальных уравнений с од нородным квадратичным гамильтонианом и линейными so(4)-скобками Пуассона.

В статье все эти системы явно выписаны в терминах постоянных из коммута ционных соотношений (1.11)—(1.14).

Автор благодарна В. В. Соколову за постановку задачи, А. В. Михалёву за внимание к работе. Работа была частично поддержана грантом НШ 1910.2003.1.

82 О. В. Ефимовская 1. Факторизация алгебры петель Пусть G — полупростая конечномерная алгебра Ли. Алгеброй петель G(()) над G называется алгебра рядов Лорана вида gi i, где gi G, n Z, (1.1) i=n по параметру с коэффициентами из алгебры G. При сложении двух элемен тов алгебры петель складываются коэффициенты при одинаковых степенях.

Коммутатор задаётся формулой [ap, bq ] = [a, b]p+q.

Факторизацией алгебры G(()) будем называть всякое разложение G(()) = G[[]] U (1.2) алгебры G(()) в прямую сумму (как векторных пространств) подалгебры Ли G[[]] рядов Тейлора и некоторой дополнительной подалгебры Ли U. Очевидно, что • U не должна содержать рядов Тейлора;

gi i, где gi G, в подалгебре U содер • для любой главной части P = i=n жится (единственный) элемент вида P + O().

Стандартным примером факторизующей подалгебры являются многочлены вида n U st = gi i gi G, n N. (1.3) i= Две факторизующие подалгебры естественно считать эквивалентными, если они связаны заменами параметра вида + k2 2 + k3 3 +... (1.4) и автоморфизмами вида gi G, (1.5) exp (adg1 +g2 2 +... ), сохраняющими алгебру рядов Тейлора.

На алгебре петель над полупростой алгеброй G определена инвариантная невырожденная форма X(), Y () G(()), (1.6) X(), Y () = res X(), Y (), где (·, ·) — невырожденная инвариантная форма на G, res P означает коэффици ент при 1 у (скалярного) ряда Лорана P. Инвариантность формы означает, что [a, b], c = b, [a, c]. (1.7) Факторизация алгебры петель над so(4) Легко видеть, что как G[[]], так и U st являются изотропными относительно формы (1.6).

Для описания гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с факторизующей подалгеброй U [4], необходимо кон структивное описание ортогонального дополнения U относительно формы (1.6) к факторизующей подалгебре U. В статье находятся коммутационные соотноше ния для U в случае so(4).

1.1. Факторизующие подалгебры для алгебр петель над so(4) Элементы из so(4) мы будем представлять себе как блочно-диагональные матрицы с двумя блоками, принадлежащими so(3). В качестве базиса в so(4) выберем ei 0, i = (1.8) fi = f, i = 1, 2, 3, 00 0 ei где через e1, e2, e3 обозначен стандартный базис в so(3):

0 10 0 01 00 e1 = 1 0 0, e2 = 0 0 0, e3 = 0 0 1.

1 0 0 0 0 00 Очевидно, что всякая факторизующая подалгебра U в so(4)(()) содержит ряды вида 1 e1 E1 = + + O(), 00 0c 1 e2 E2 = + + O(), 0 0 0a 1 e3 E3 = + + O(), 0 0 0b (1.9) 1 00 c E1 = + + O(), 0 e1 1 00 a E2 = + + O(), 0 e2 1 00 b E3 = + + O(), 0 e где a= ai ei, b= bi ei, c= ci ei, (1.10) i ei, ci ei — a= ai ei, b= b c= некоторые элементы so(3).

Следующее утверждение фактически доказано в [11].

84 О. В. Ефимовская Теорема 1.1. Для всякой факторизующей подалгебры U имеют место соот ношения вида [E1, [E2, E3 ] ] [E2, E3 ] E [E2, [E3, E1 ] ] = A [E3, E1 ] + B E2, [E3, [E1, E2 ] ] [E1, E2 ] E (1.11) [E2, [E1, E2 ] ] + [E3, [E3, E1 ] ] [E2, E3 ] E [E3, [E2, E3 ] ] + [E1, [E1, E2 ] ] = C [E3, E1 ] + D E2, [E1, [E3, E1 ] ] + [E2, [E2, E3 ] ] [E1, E2 ] E где 0 u w 0 A= v 0 w, B=, v u 0 (1.12) w u z C = w x v, D = u v y для некоторых чисел u, v, w, x, y, z,,,,,,, таких что tr C = tr D = 0.

При этом существуют числа k1, k2, такие что (1.13) k1 A + k2 B = 0, k1 C + k2 D = 0.

Аналогичные коммутационные соотношения связывают образующие E1, E2, E3.

Одним из результатов [7] является следующая теорема.

Теорема 1.2. Для всякой факторизующей подалгебры U для so(4)(()) имеют место коммутационные соотношения вида 0 c3 c2 3 c [E1, E1 ] E1 0 c cE [E1, E2 ] = 0 a3 a2 E2 + c3 1 E2, 0 c 3] 0 b3 b2 2 c [E1, E E3 c 0 E c3 0 c1 3 a [E2, E1 ] E1 0 a E [E2, E2 ] = a3 0 a1 E2 + a3 E2, 1 (1.14) 0 a b3 0 b1 2 a [E2, E3 ] E3 a 0 E 3 c2 c1 [E3, E1 ] E1 0 b b E [E3, E2 ] = a2 a1 0 E2 + 3 1 E2, b 0 b 2 b2 b1 [E3, E3 ] E3 b b 0 E где ai, bi, ci, ai, i, ci — элементы матриц (1.10).

b Постоянные в соотношениях (1.11)—(1.14) не являются произвольными. Ни же указывается система алгебраических соотношений между ними.

Во-первых, рассматривая члены при 0 в соотношениях (1.11) получаем, что Факторизация алгебры петель над so(4) c a [, [, b] ] [b, c] a [b, [, a] ] = A [, a] + B b, c c a a [, [b, c] ] [, b] c (1.15) a c c [b, [, b] ] + [, [, a] ] [b, c] a [, [b, c] ] + [, [, b] ] = C [, a] + D b, c a a c [, b] a c a c [, [, a] ] + [b, [b, c] ] где матрицы A, B, C, D задаются формулами (1.12), а a, b, c — формула ми (1.10). Аналогичные соотношения связывают a, b, c с A, B, C, D.

Кроме этих алгебраических соотношений, имеются и другие. Положим a2 b2 c n1 = a3, n2 = b3, n3 = c3, a1 b1 c a1 a2 a m 1 = b1, m 2 = b2, m 3 = b3, c1 c2 c a b c a3, 3, n3 = c3, n1 = n2 = b a b c a a a m1 = 1, m2 = 2, m3 = 3.

b b b c c c Теорема 1.3. Для всякой факторизующей подалгебры U для so(4)(()) меж ду постоянными из формул (1.11)—(1.14) имеются следующие алгебраические соотношения:

vm1 wm3 m2 n1 = 0, um2 vm1 m3 n = 0, wm3 um2 m1 n3 = 0, um1 vm2 + ym3 m1 n1 m2 n = 0, um3 wm2 zm1 + m3 n1 + m2 n = 0, vm3 wm1 + xm2 m1 n2 m3 n = 0, (1.16) v m1 wm3 m2 n = 0, um2 v m1 m3 n = 0, wm3 um2 m1 n = 0, um1 v m2 + y m3 m1 n1 m2 n3 = 0, um3 wm2 z m1 + m3 n1 + m2 n2 = 0, v m3 wm1 + xm2 m1 n2 m3 n3 = 0.

86 О. В. Ефимовская Доказательство. Рассмотрим коммутационные соотношения (1.14). Будем вычитать из коммутаторов [Ei, Ej ] соответствующие им линейные комбинации.

Эти разности тождественно равны нулю. Посмотрим на коэффициент при 0.

Это кососимметрические матрицы размера 6 6. Необходимым условием выпол нения коммутационных соотношений является равенство нулю каждого элемен та этих матриц. Из этих уравнений и состоит система (1.16).

По-видимому, соотношения (1.15), (1.16) являются не только необходимыми, но и достаточными для того, чтобы коммутационные соотношения (1.11)—(1.14) задавали факторизующую подалгебру.

1.2. Коммутационные соотношения для ортогонального дополнения к U Невырожденная билинейная форма (·, ·) на so(4) в ортогональном базисе (1.8) имеет вид xi ei + xi ei, yi ei + yi ei = k xi yi + k xi yi, где k и k — такие произвольные постоянные, что k k = 0. Соответствующая форма ·, · на алгебре петель задаётся формулой (1.6).

Обозначим через Gr матрицу Грамма E1, E1 E1, E2 E1, E3 E1, E1 E1, E2 E1, E E2, E1 E2, E E2, E2 E2, E3 E2, E1 E2, E E3, E1 E3, E 1 2 E3, E2 E3, E3 E3, E E3, E Gr =. (1.17) E1, E1 E1, E E1, E2 E1, E3 E1, E1 E1, E E2, E1 E2, E E2, E2 E2, E3 E2, E1 E2, E E3, E1 E3, E2 E3, E3 E3, E1 E3, E2 E3, E Лемма. Коэффициент матрицы Грамма (1.17) при 1 для всякой фактори зующей подалгебры имеет вид kG + k Gt kJ (1.18) Gr =.

t G J kG + k k Здесь J, J, G, G — следующие матрицы размера 3 3:

s1 w u s1 w u J = w s2 v, J = w s2 v, (1.19) u v s3 u v s где s1 s3 = x, s2 s1 = y, s3 s2 = z, s1 s3 = x, s2 s1 = y, s3 s2 = z, c1 a1 b1 c1 a1 b G = c2 a2 b2, G = c2 a2 2, (1.20) b c3 a3 c3 a3 b3 b а Gt, Gt — транспонированные матрицы.

Факторизация алгебры петель над so(4) Доказательство. Прямое вычисление коэффициента даёт утверждение лем мы.

Рассмотрим ортогональное дополнение U относительно формы (1.6) к фак торизующей подалгебре U на so(4). Из инвариантности (1.7) формы следует, что U является модулем над U:

[U, U ] U.

Легко видеть, что U содержит ряды вида 1 e1 0 R1 = + + O(), 0 0 0 h 1 e2 0 R2 = + + O(), 0 0 0 d 1 e3 0 R3 = + + O(), 0 0 0 g (1.21) 1 00 h R1 = + + O(), 0 e 1 00 d R2 = + + O(), 0 e 1 00 g R3 = + + O(), 0 e3 где d= di ei, g= gi ei, h= hi ei, (1.22) hi ei — d= di ei, g= gi ei, h= некоторые элементы so(3). Эти ряды порождают U как модуль над U.

Теорема 1.4. Для всякого ортогонального дополнения факторизующей по далгебры U имеют место коммутационные соотношения вида 0 b1 a1 3 c [E1, R1 ] R1 0 c R k [E1, R2 ] = 0 2 a2 R2 + c3 1 R2, b 0 c k 3 a 3] 0 b 2 c [E1, R R3 c 0 R b 0 1 3 a [E2, R1 ] c R1 0 a R k [E2, R2 ] = R2 + a3 R2, (1.23) b2 0 2 c 0 a k 3] b3 0 3 2 a [E2, R c R3 a 0 R 3 c [E3, R1 ] a R1 0 b b R k 1 [E3, R2 ] = R2 + 3 1 R2, 2 c2 0 b a b k ] c 0 b [E, R a R b 0 R 3 3 3 3 3 2 1 88 О. В. Ефимовская c3 c2 0 b1 a [E1, R1 ] 0 R1 R k [E1, R2 ] = c3 c1 R2 + 0 b2 a2 R2, k 0 b a c2 c [E1, R3 ] 0 R3 R 3 a3 a2 b1 0 c [E2, R1 ] 0 R1 R R2 + k b2 0 c2 R2, (1.24) [E2, R2 ] = a a 0 k b 0 c 2, R3 ] a2 a [E 0 R3 R 3 b3 b2 a c [E3, R1 ] 0 R1 R k 1 [E3, R2 ] = b3 R2 + R2, b1 a2 c2 k a c 3, R3 ] b2 b [E 0 R3 R 3 где ai, bi, ci, ai, i, ci — элементы матриц (1.10). Также верны следующие соот b ношения:

[E1, R1 ] R1 [E3, R2 ] + [E2, R3 ] R [E2, R2 ] = A R2, [E1, R3 ] + [E3, R1 ] = C R2, (1.25) [E3, R3 ] R3 [E1, R2 ] + [E2, R1 ] R [E1, [E2, R3 ] ] 00w [E2, R3 ] [E2, [E3, R1 ] ] = v 0 0 [E3, R1 ] + [E3, [E1, R2 ] ] 0u0 [E1, R2 ] + vw uv + wz 0 R + uw + vx + uv R2, + uw vw + uy 0 R (1.26) x 0 u [E2, [E1, R2 ] ] + [E3, [E3, R1 ] ] [E2, R3 ] [E3, [E2, R3 ] ] + [E1, [E1, R2 ] ] = w y 0 [E3, R1 ] + v z [E1, [E3, R1 ] ] + [E2, [E2, R3 ] ] 0 [E1, R2 ] 2 v + w + xz uv + vw ux R + + uv yw R2, u2 + v 2 + xy uw + u2 w2 + yz vw + uw vz R где A, C — матрицы из (1.12).

Соотношения, аналогичные (1.25), (1.26), выполнены и для E1, E2, E3, R1, 2, R3.

R Доказательство. Во-первых, заметим, что ортогональное дополнение не со держит рядов Тейлора. Действительно, если предположить, что P = p0 +p1 +...

является рядом Тейлора и принадлежит U, то из условия Ei, P будет следо вать, что (ei, p0 ) = 0. В силу невырожденности формы это означает, что p0 = 0.

Для того чтобы доказать, что p1 = 0, рассмотрим [Ei, Ej ], P и т. д. Таким образом, P = 0. Во-вторых, ясно, что [Ei, Rj ] принадлежит U и не содержит члена с 2. Следовательно, вычитая подходящую линейную комбинацию Ri, Rj получим ряд Тейлора. А так как U не содержит рядов Тейлора, то это 0.

Теперь понятно, что для i, j = 1, 2, 3 должно иметь место разложение Факторизация алгебры петель над so(4) [Ei, Rj ] = (mk Rk + nk Rk ), k= где mk и nk — некоторые константы. Подставляя вместо Ei, Rj, Rk соответ ствующие ряды (1.9), (1.21) в приведённое выше соотношение и приравнивая коэффициенты при 1 в обеих частях данного равенства, мы получаем явные формулы, которые задают mi и ni через коэффициенты разложения, введённые в формулах (1.10) и (1.12). Рассуждая аналогично, мы получаем все остальные тождества.

2. Дифференциальные уравнения, обладающие представлением Лакса в so(4) 2.1. Представления Лакса для систем типа волчков Всякая факторизующая подалгебра порождает бесконечное множество пар Лакса [4]. Дополнительные данные, задающие оператор L, — пара идеалов I и I+ конечной коразмерности в G[[]] и U. Рассмотрим подпространство в G(()) вида O = I I+, (2.1) где означает ортогональное дополнение в G(()) относительно формы ·, ·.

Поскольку I I+ = (I + I+ ), то пространство O конечномерно и его размерность N равна сумме коразмерно стей идеалов. Если g1,..., gN — базис в O, то N ui g i, L= i= где ui (t) — неизвестные функции в соответствующем нелинейном дифференци альном уравнении.

Наиболее стандартный выбор идеалов — это I = n G[[]].

I+ = U, Соответствующая орбита имеет вид On = n G[[]] U.

В качестве оператора A выбирают A = (r T, Ls ), где через обозначается проектор на U, соответствующий разложению (1.2), r, s — некоторые целые числа, такие что r Ls G(()), а T — такая матрица, которая коммутирует с любым элементом из алгебры G. В последней формуле и далее подразумевается, что алгебра G вложена в алгебру матриц.

90 О. В. Ефимовская Теорема 2.1 ([4, 9]).

1. Операторное соотношение Lt = [(r Ls ), L] (2.2) эквивалентно динамической системе из N уравнений относительно неиз вестных u1 (t),..., uN (t).

2. Для любых r1, r2, s1, s2 потоки уравнений Лакса Lt = [(r1 Ls1 ), L] (2.3) и L = [(r2 Ls2 ), L] (2.4) коммутируют между собой.

3. Для любых p1, p2, q1, q2 выражение = p1 Lq1, p2 Lq2 является первым интегралом для уравнения Лакса.

Уравнение Лакса является гамильтоновым относительно некоторой линейной скобки Пуассона. Определим алгебру Ли H формулой H = G[[]]/I U/I+, где алгебра U получается из U заменой скобки [a, b] на [b, a]. Подчеркнём, что в этой формуле символ означает прямую сумму алгебр Ли, а не векторных пространств, как это было в формуле (1.2).

Зададим невырожденную билинейную форму, спаривающую алгебру H и орбиту O, формулой (2.5) (a + I, a+ + I+ ), L = a+ + a, L.

Так как I I+, O = 0, форма (2.5) корректно определена. Скобка Кириллова на O задаётся формулой {, }(L) = ([gradL, gradL ], L), L O, gradL, gradL H. (2.6) i Предположим, что базисы g и ei в O и H сопряжены относительно формы (2.5), [ei, ej ] = ck ek ij и L = ui gi. Тогда, поскольку grad ui = ei, скобки Пуассона между координат ными функциями задаются формулой {ui, uj } = ck uk. (2.7) ij Теорема 2.2 ([4, 9]).

1. Функционалы вида Hrs = r Ls, 1, (2.8) где L O, находятся в инволюции относительно скобки (2.7).

2. Уравнение Лакса Lt = [(sr Ls1 ), L] (2.9) на орбите O гамильтоново относительно скобки (2.7) с гамильтониа ном Hrs.

Факторизация алгебры петель над so(4) 2.2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа волчков на so(4) Для того чтобы получить гамильтоновы волчки на so(4), выберем I+ = U, I = so(4)[[]].

Тогда H изоморфна so(4), а сопряжённый базис на орбите O составляют k 1 Ri, k 1 Ri. Соответствующий оператор Лакса имеет вид 3 k 1 ui Ri + k 1 vi Ri.

(2.10) L= i=1 i= Скобка Пуассона (2.7) имеет вид {ui, uj } = ijk uk, {vi, vj } = ijk vk, {ui, vj } = 0, где ijk — полностью кососимметрический тензор.

Теорема 2.3. Рассмотрим операторы Лакса (2.10). Пусть оператор A имеет следующую структуру:

3 A= pi Ei + qi Ei.

i=1 i= Тогда из уравнения Лакса Lt = [A, L] следует, что pi = sui, qi = svi, где s и s — некоторые постоянные. При этом уравнение Лакса равносильно си стеме ut = u (sJu + sGv + sGt v), vt = v (Jv + sGu + sGt u), s где матрицы J, J, G, G задаются формулами (1.19), (1.20).

Доказательство. Подставим в общем виде операторы A, L (2.10) в урав нение Лакса (2). Найдём их коммутатор. Затем, пользуясь коммутационными соотношениями (1.23)—(1.25), заменим все двойные коммутаторы на их ли нейные комбинации. Понятно, что уравнение Лакса выполнено тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых элементах ортогонального дополне ния в правой и левой частях равны. В частности, из равенства коэффициентов при Ri с одинаковыми индексами в правой и левой частях получаем систе му дифференциальных уравнений. Коэффициенты же при оставшихся шести двойных коммутаторов дают возможность найти pi, qi.

2.3. Уравнения Ландау—Лифшица на so(4) В случае уравнений в частных производных и L и A в формуле (3) принад лежат U. Рассмотрим оператор L вида (2.11) L = u1 E1 + u2 E2 + u3 E3 + v1 E1 + v2 E2 + v3 E3.

92 О. В. Ефимовская Пусть оператор A имеет следующую структуру:

A = P1 [E2, E3 ] + P2 [E3, E1 ] + P3 [E1, E2 ] + + Q1 [E2, E3 ] + Q2 [E3, E1 ] + Q3 [E1, E2 ] + 1 + q2 E2 + q3 E3, (2.12) + p1 E1 + p2 E2 + p3 E3 + q1 E где P = (P1, P2, P3 ), Q = (Q1, Q2, Q3 ), p = (p1, p2, p3 ), q = (q1, q2, q3 ) — некото рые дифференциальные многочлены от компонент вектора u, v.

Известно (см., например, [2]), что в этом случае уравнение Лакса (3) допус кает редукцию (2.13) = (u, u), µ = (v, v), где µ и — произвольные положительные постоянные.

Теорема 2.4. Из уравнения Лакса (3) вытекает, что (2.14) P = su, Q = sv, где s и s — некоторые постоянные. При предположениях (2.13), (2.14) уравнение Лакса (3) эквивалентно системе уравнений ut = px + u Gq p Gv + sG(v Gt u) sGt (v Gt u) + su Ru, vt = qx + v Gp q Gu + sG(u G v) sGt (u Gt v) + sv Rv, t где r r1 R =, R = r2, r2 r r3 r2 r3 =, r3 r1 =, r1 r2 =, r2 r3 =, r3 r1 =, r1 r2 =.

Здесь матрицы J, J, G и G задаются формулами (1.19), (1.20), а функции p, q задаются формулами s s u (u Gv + u Ju ux ) p= (u, Ju)u, s s q = v (v Gu + v Jv vx ) (v, Jv)v.

µ 2µ Доказательство. Теорема доказывается аналогично теореме 2.3, но здесь используются коммутационные соотношения (1.11) и аналогичные им соотноше ния, связывающие образующие E1, E2, E3. Из равенства нулю коэффициентов при тройных коммутаторах (тройные коммутаторы встречаются только в пра вой части уравнения) находим P, Q. Коэффициенты при двойных коммутаторах позволяют вычислить p, q. Уравнения Ландау—Лифшица находятся из равен ства коэффициентов при Ei с одинаковыми индексами в правой и левой частях уравнения Лакса. Для того чтобы записать уравнения Ландау—Лифшица в том виде, в котором они приведены в теореме, требуется учесть систему (1.16).

Факторизация алгебры петель над so(4) 2.4. Системы типа уравнения кирального поля на so(4) Напомним общую конструкцию из [3], устанавливающую связь между фак торизующими подалгебрами и системами типа уравнения кирального поля.

Положим 3 d d (2.15) L= + ui Ei, M = + vi Ei.

d i=1 d i= Теорема 2.5 (см. [3, 7]). Соотношение [L, M ] = 0 эквивалентно системе u = Gv u, v = Gu v, (2.16) где матрицы G и G задаются формулами (1.20).

Литература [1] Голод П. И. Гамильтоновы системы на орбитах аффинных групп Ли и нелинейные интегрируемые уравнения // Физика многочастичных систем. Т. 7. — Киев: Наукова Думка, 1985. — С. 30—39.

[2] Голубчик И. З., Соколов В. В. Обобщённые уравнения Гайзенберга на Z-градуиро ванных алгебрах Ли // Теор. и матем. физ. — 1999. — Т. 120, № 2. — С. 248—255.

[3] Голубчик И. З., Соколов В. В. Согласованные скобки Ли и интегрируемые урав нения типа модели главного кирального поля // Функцион. анализ и его прил. — 2002. — Т. 36, № 3. — С. 9—19.

[4] Голубчик И. З., Соколов В. В. Факторизация алгебры петель и интегрируемые уравнения типа волчков // Теор. и матем. физ. — 2004. — Т. 141, № 1. — С. 3—23.

[5] Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы // Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления. Т. 4. — М.: ВИНИТИ, 1985. — С. 179—284.

[6] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Матвеев В. Б. Нелинейные уравнения типа Кор тевега—де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // Успехи мат. наук. — 1976. — Т. 31, № 1. — С. 107—136.

[7] Ефимовская О. В., Соколов В. В. Разложения алгебры петель над so(4) и инте грируемые модели типа уравнения кирального поля // Фундам. и прикл. мат. — 2004. — Т. 10, № 1. — С. 39—47.

[8] Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов:

метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980.

[9] Рейман А. Г., Семёнов-тян-Шанский М. А. Интегрируемые системы. Теорети ко-групповой подход. — Ижевск: РХД, 2003.

[10] Семёнов-Тян-Шанский M. A. Что такое классическая r-матрица // Функцион. ана лиз и его прил. — 1983. — Т. 17, № 4. — С. 17—33.

[11] Соколов В. В. О разложениях алгебры петель над so(3) в сумму двух подалгебр // Докл. РАН. — 2004. — Т. 397, № 3. — С. 321—324.

[12] Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.:

Наука, 1986.

94 О. В. Ефимовская [13] Чередник И. В. Функциональные реализации базисных представлений факторизу ющих групп и алгебр Ли // Функцион. анализ и его прил. — 1985. — Т. 19, № 3. — С. 36—52.

[14] Golubchik I. Z., Sokolov V. V. Factorization of the loop algebras and compatible Lie brackets // J. Nonlinear Math. Phys. — 2005. — Vol. 12, no. 1. — P. 343—350.

[15] Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm.

Pure Appl. Math. — 1968. — Vol. 21, no. 5. — P. 467—490.



 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.