авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Ростовский государственный университет

На правах рукописи

Колесников Алексей Михайлович

БОЛЬШИЕ

ДЕФОРМАЦИИ ВЫСОКОЭЛАСТИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физиико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Зубов Л. М.

Ростов-на-Дону – 2006 2 Содержание Введение...................................................................................................................... 3 Глава 1. Нелинейная теория безмоментных оболочек при больших деформациях............................................................................................................... 1.1. Модель безмоментной оболочки как двумерного материального континуума.............................................................................................................. 1.2. Определяющие соотношения безмоментных оболочек............................ 1.3. Об одном случае деформации безмоментной оболочки........................... 1.4. Численный метод решения краевых задач деформирования безмоментных оболочек....................................................................................... Глава 2. Осесимметричная деформация оболочек вращения.............................. 2.1. Уравнения осесимметричной деформации................................................. 2.2. Раздувание замкнутой сферической оболочки........................................... 2.3. Нагружение плоской мембраны гидростатическим давлением............... 2.4. Раздувание замкнутой торообразной оболочки......................................... 2.5. Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки..... Глава 3. Большие деформации чистого изгиба цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением..................................................................... 3.1. Сведение задачи чистого изгиба к системе обыкновенных дифференциальных уравнений............................................................................ 3.2. Анализ напряженно-деформированного состояния оболочки при изгибе.

................................................................................................................................. Глава 4. Экспериментальные исследования торообразной оболочки при больших деформациях........................................................................................... Заключение............................................................................................................. Литература.............................................................................................................. Введение Нелинейная теория оболочек относительно новый и сложный раздел механики оболочек. Оболочка – создание природы: бамбук, скорлупа яиц, улитка, клеточная мембрана и т.д. Тонкостенные конструкции являются одним из самых распространенных конструктивных элементов в технической деятельности человека: разнообразные надувные сооружения, гибкие емкости, пневмоопалубка, мембранные плотины, горные пневмоконструкции, гибкие трубопроводы. Применение нетрадиционных резиноподобных материалов в технике, изучение биологических структур требует учета и исследования больших деформаций тонкостенных конструкций, что невозможно вне рамок нелинейной теории. Увеличение в XXI веке количества работ рассматривающих большие деформации тонкостенных конструкций свидетельствует об актуальности данной темы.

Исследованию нелинейной теории оболочек посвящен ряд монографий и публикаций в журналах. Значительный вклад в развитие нелинейной теории оболочек внесли И. И. Ворович [3], К. З. Галимов [4], П. А. Жилин, Л. М. Зубов [11], П. Е. Товстик, К. Ф. Черных [30], Л. И. Шкутин, J. E. Adkins [10], S. S.

Antman [34], A. E. Green [10], W. T. Koiter [58], A. Libai [67], W. Pietraszkiewic [74, 75], J. G. Simmonds [67] и другие.

Изучению больших деформаций оболочек также посвящены работы: [7, 8, 9, 13, 15, 20, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 38, 40, 43, 44, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 60, 61, 62, 63, 66, 68, 72, 73, 79, 80, 81, 85, 87, 91, 92, 94] и др. Большая часть исследований в нелинейной теории оболочек изучает деформацию осесимметричных оболочек. Часть публикаций посвящена исследованию деформаций цилиндрических оболочек, при которых напряжения и деформации одинаковы в любых сечениях оболочки. В ряде работ рассмотрены другие задачи о деформации оболочек, например, задача о раздувании прямоугольной мембраны.

Изгиб тонкостенной цилиндрической оболочки и влияние внутреннего давления на деформацию в рамках нелинейной теории упругости практически не исследованы. Ряд работ в рамках линейной теории упругости посвящёны изучению изгиба тонкостенных конструкций и влиянию на него давления [35, 42, 48, 49, 64, 69, 76, 77, 78, 86, 88, 90, 93] и др. Резиноподобные материалы рассматриваются в работе [57], где исследуется задача о наложении малых деформаций изгиба на конечные деформации раздувания круглой цилиндрической безмоментной оболочки. Впервые задача об изгибе цилиндрической оболочки в рамках нелинейной теории упругости рассмотрена Л. М. Зубовым в работе [95], где с помощью полуобратного метода предложен вид решения.

Содержание работы изложено в четырех главах.



Первая глава содержит основные соотношения нелинейной теории оболочек.

В п. 1.1 дается вывод нелинейных уравнений безмоментной оболочки при больших деформациях. Из вариационного принципа минимума потенциальной энергии получены уравнения равновесия для безмоментной оболочки, состоящей из несжимаемого изотропного материала.

В п. 1.2 формулируются определяющие соотношения теории оболочек с помошью трехмерной функции потенциальной энергии. Там же представлен список различных видов функций потенциальной энергии для изотропного несжимаемого материала.

В п. 1.3 рассматривается класс задач о деформации оболочек, характеризующийся независимостью первой квадратичной формы в отсчетной и текущей конфигурациях от одной из гауссовых координат поверхности оболочки. Такой вид деформации реализуется в задачах осесимметричной деформации оболочки вращения, в задачах деформации цилиндрических оболочек, для которых напряженно-деформированное состояние не зависит от сечения, и некоторых других случаях. В этом разделе выведены уравнения равновесия для этого частного случая, и полученны ограничения на внешнюю нагрузку, необходимые для реализации такого вида деформации. Показано, что если вторая квадратичная форма также не зависит от той же гауссовой координаты, то система дифференциальных уравнений равновесия является системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

В п. 1.4 описывается численный метод решения краевой задачи системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Вторая глава посвящена осесимметричной деформации оболочки вращения. Выведены уравнения равновесия для произвольной оболочки вращения. Рассмотрены частные случаи деформации осессимметричных оболочек.

В п. 2.1 показано, что осессиметричная деформация оболочки вращения удовлетворяет классу задач, рассмотренному в п. 1.3. Разрешающая система уравнений выводится относительно функций кратности удлинений и некоторой новой функции координат. Эта система является системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

В п. 2.2 рассматривается задача о деформации сферической оболочки.

Задача может быть решена аналитически в постановках теории упругости и теории оболочек для некоторых видов функции потенциальной энергии. Это позволяет проверить точность численного метода решения краевой задачи, сформулированной в п. 2.1. Получены решения задачи для материала Муни в трех видах: 1) численное решение задачи, когда сфера рассматривается как оболочка вращения, 2) аналитическое решение теории оболочек и 3) аналитическое решение теории упругости. Сравнение результатов показывает высокую точность приближения теории оболочек и высокую точность численного решения уравнений равновесия.

В п. 2.3 решается задача о раздувании плоской круглой мембраны.

Рассмотрены несколько видов потенциалов, описывающих высокоэластичные материалы. Представлены результаты исследования формы деформированной оболочки, ее прогиба, утончения и величин напряжений в центре. Для неогуковского материала и материала Муни сравнение полученных результатов с теоретическими и экспериментальными данными исследований других авторов показывают достоверность полученного решения задачи.

В п. 2.4 рассматривается задача о деформации торообразной оболочки под действием внутреннего давления для различных материалов. Исследуется влияние геометрических размеров тора на деформацию и напряжения, возникающие в оболочке.

В п. 2.5 решается задача о деформации круговой цилиндрической оболочки. В гипотезах скользящей заделки, неучитывающей жесткое закрепление мембраны по краю, построены аналитические решения теории упругости и теории оболочек о раздувании и растягивании тонкостенной трубы, состоящей из неогуковского материала. Представлены численные решения задачи о раздувании цилиндрической оболочки, растягиваемой на некоторую заданную величину и закрепленной по краю так, чтобы радиус оставался постоянным. Аналитические и численные решения сравниваются в двух задачах. В первой задаче для растянутой на некоторую величину цилиндрической оболочки из неогуковского материала строится зависимость радиуса сечения от величины внутреннего давления. Полученные данные свидетельствуют, что при больших деформациях, даже вдали от краев, разница между решениями, учитывающими и неучитывающими условия закрепления, существенна. Учет граничных условий дает возможность исследовать убывающую часть диаграммы «даваление–радиус». Во второй задаче рассматривается влияние условий закрепления цилиндрической оболочки (растягиваемой вдоль образующей, но не нагруженной внутренним давлением) на деформацию вдали от края. Показывается, что для безмоментных оболочек, у которых отношение длины к радиусу сечения более четырех, аналитическое решение, не учитывающее условий закрепления, может быть принято с погрешностью менее 10%. Результаты исследования растягиваемой цилиндрической оболочки закрепленой по краю так, чтобы радиус оставался постоянным, сравниваются с исследованиями других авторов.

Задача изгиба цилиндрической оболочки нагруженной равномерно распределенной нагрузкой рассматривается в третьей главе.

В п. 3.1 излагается теория сильного изгиба замкнутой цилиндрической оболочки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой изнутри. Теория основана на сведении первоначально нелинейной двумерной задачи статики оболочки к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналогично задаче о деформации оболочки вращения, уравнения равновесия сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для функций кратностей удлинений и связывающей их новой функции. В п. 3.2 исследуется круговая цилиндрическая оболочка. Для случая оболочки, состоящей из неогуковского материала, вводятся безразмерные параметры, для которых выполняются условия подобия. Найдена безразмерная комбинация независимых параметров, для которой искомые величины деформации и напряжения в оболочке в безразмерном виде не зависят от геометрических размеров и постоянной материала. На основе численного моделирования показано влияние внутреннего давления на жесткость конструкции и существование критической изгибающей нагрузки. Для расчета критического изгибающего момента и некоторых величин деформированной оболочки предложены простые формулы расчета.

В четрвертой главе описывается экспериментальное исследование раздувания торообразной оболочки. На основе экспериментальных данных выбран вид функции потенцаильной энергии и постоянные материала, описывающие свойства материала автомобильной камеры.

В заключении дана сводка основных выводов, полученных в диссертации.

Основные результаты докладывались на III Всероссийской конференции по теории упругости (Ростов-на-Дону – Азов, 2003), Международной школе семинаре “Математическое моделирование и биомеханика в современном университете” (пос. Абрау-Дюрсо, 2005), 8th Conference “Shell Structures: Theory and applications” (Gdask–Jurata (Poland), 2005), 16-ом симпозиуме “Проблемы шин и резинокордных композитов” (Москва, 2005).

По теме диссертации опубликованы статьи [12,16,17,18,19,59]. Работы [12] и [59] написаны в соавторстве с научным руководителем Л. М. Зубовым, которому принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения. Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация численного метода, численные результаты принадлежат автору диссертационной работы.

Глава 1. Нелинейная теория безмоментных оболочек при больших деформациях.

1.1. Модель безмоментной оболочки как двумерного материального континуума.

Упругую безмоментную оболочку можно рассматривать как двумерный материальный континуум, то есть, как материальную поверхность, наделенную определенными свойствами [4, 10, 11, 34, 58, 67, 74, 75]. Пусть o и O – поверхности, соответствующие отсчетной и деформированной (текущей) конфигурации этого континуума. Положение точки на o определяется радиус вектором r(q1,q2), где q (=1,2) – гауссовы координаты на o. Единичный вектор нормали к поверхности o обозначим n, а основной и взаимный базисы на o обозначим r и r r, r r =, r n = r n = 0.

r = (1.1.1) q Здесь и ниже греческие индексы принимают значение 1, 2, а означает символ Кронекера. Коэффициенты первой квадратичной формы g и первый фундаментальный тензор g поверхности o вводятся соотношениями g = r r, g = g r r = E nn, (1.1.2) где E – единичный тензор в трехмерном евклидовом пространстве. Считая параметры q лагранжевыми координатами материальной поверхности, будем задавать положение точки поверхности O радиусом-вектором R(q1,q2). Таким образом, материальная точка поверхности, имевшая в отсчетной конфигурации положение r(q1,q2), после деформации имеет положение R(q1,q2). Нормаль к поверхности O обозначим N, а основной и взаимный базисы на O – R и R.

Имеют место формулы, аналогичные (1.1.1) R, R R =, R N = R N = 0.

R = (1.1.3) q Коэффициенты первой квадратичной формы и первый фундаментальный тензор на O обозначаются по аналогии с (1.1.2) прописными буквами G = R R, G = G R R = E NN. (1.1.4) В дальнейшем будут использоваться двумерные операторы градиента (набла-операторы) на поверхностях o и O 0 = r, = R. (1.1.5) q q Следуя общему принципу локальности [26], предположим, что удельная (на единицу площади поверхности) потенциальная энергия деформации оболочки W в данной материальной частице поверхности определяется заданием положения R этой частицы в текущей конфигурации и градиента деформации 0R:

W = W ( R, 0 R ). (1.1.6) Используя требование инвариантности энергии относительно поступательного движения, получим, что W не зависит от первого аргумента в (1.1.6), так что W=W(0R). Последнюю функцию остается подчинить ограничениям, вытекающим из инвариантности энергии относительно произвольных поворотов оболочки как абсолютного твердого тела. Это условие инвариантности имеет вид W ( 0 R Q) = W ( 0 R). (1.1.7) где Q – любой ортогональный тензор в трехмерном евклидовом пространстве.

Чтобы решить функциональное уравнение (1.1.7), при помощи (1.1.3)–(1.1.4) введем в рассмотрение неособый тензор дисторсии деформирующейся поверхности [11] С0 = 0 R + nN = r R + nN и запишем его полярное разложение C0 = (U 0 + nn) A 0, U 0 + nn = (C0 CT )1 2, (1.1.8) C0 CT = G + nn, G = ( 0 R) ( 0 R)T = G r r, U 0 = G 1 2.

Здесь A0 – собственно ортогональный тензор поворота двумерного континуума, G – мера деформации Коши материальной поверхности [11]. Из (1.1.8) вытекают соотношения 0 R = U 0 A0, N = n A0. (1.1.9) Положив в (1.1.7) Q = A0 и учтя (1.1.9) получим W ( 0 R) = W (U 0 ). (1.1.10) Легко видеть, что представление (1.1.10) не только необходимо, но и достаточно для инвариантности удельной энергии W относительно жестких движений. Кроме того, из взаимно однозначной зависимости между тензорами U0 и G следует представление удельной потенциальной энергии оболочки, эквивалентное (1.1.10), но более удобное в приложениях W = W (G ). (1.1.11) Соотношение (1.1.11) выведенное из (1.1.6), соответствует безмоментной упругой оболочке, которая не сопротивляется изгибам (т.е. изменениям кривизны) поверхности o. Для учета моментности напряженного состояния предположение (1.1.6) следует дополнить зависимостью удельной энергии также и от второго градиента деформации W = W ( 0 R, 0 0 R).

Уравнения равновесия безмоментной упругой оболочки выводятся из вариационного принципа Лагранжа = 0, = W ( 0 R 0 R T )do Э. (1.1.12) o Здесь Э – потенциал внешних сил, – символ вариации. В дальнейшем предполагается, что допустимые функции на всей границе оболочки удовлетворяют кинематическим краевым условиям (R0 – заданная функция) R o = R0, (1.1.13) а вариация потенциала внешних сил имеет вид ~ Э = q (r, R, 0 R) Rdo. (1.1.14) o Варьирование функционала согласно (1.1.8), (1.1.12)–(1.1.14) приводит к уравнениям равновесия ~ 0 D + q = 0, (1.1.15) W D=2 0 R.

G Введение тензора усилий Коши W g g 0 R = L R R, L= ( 0 R)T D = 2 ( 0 R)T G G G (1.1.16) G = G11G22 G12, g = g11 g 22 g12.

2 позволяет записать уравнения равновесия (1.1.15) в геометрии деформированной конфигурации оболочки L + q = 0, (1.1.17) g~ q= q.

G ~ Введенная в (1.1.14) функция нагрузки q отнесена к площади поверхности оболочки в отсчетной конфигурации. В дальнейшем удобней пользоваться функцией q выражающей нагрузку, отнесенную к площади оболочки в текущей конфигурации.

Уравнения (1.1.17) можно получить также путем осреднения по толщине оболочки трехмерных уравнений равновесия [11].

Из (1.1.16) вытекает, что тензор усилий Коши оболочки принадлежит поверхности O, то есть удовлетворяет условию N·L = L·N = 0.

Для безмоментных оболочек с достаточной степенью точности можно принять, что элемент оболочки испытывает плоское напряженное состояние, однородное по толщине. Поэтому определяющие соотношения для заданного материала можно получить, рассмотрев задачу о плоском напряженном состоянии упругого листа при однородной деформации. В случае изотропного несжимаемого материала будем исходить из уравнений состояния в форме Фингера [21] T = 1 ( I1, I 2 ) -1 2 ( I1, I 2 ) PE, W * ( I1, I 2 ) W * ( I1, I 2 ) 1 ( I1, I 2 ) = 2, 2 ( I1, I 2 ) = (1.1.18) I1 I 1 I1 = tr -1 = tr, I 2 = (tr 2 -1 tr - 2 ) = (tr 2 tr 2 ).

2 Здесь –1 – мера деформации Фингера, – мера деформации Альманзи, P – функция гидростатического давления, – мера деформации Коши, W* – объемная плотность энергии деформации.

Для задачи о плоском напряженном состоянии имеем = g + 2 NN, 1 = g + 2 NN, = H h.

g = (r ) (r )T = g R R, g = g R R.

Здесь h и H – толщина слоя до и после деформации. Поперечная деформация исключается из условия несжимаемости:

= g G, (1.1.19) после чего выражения для инвариантов (1.1.18) примут вид 1 I1 = j1 + j2, I 2 = j1 j2 + j2. (1.1.20) Здесь j1 и j2 – инварианты меры деформации оболочки G:

G j1 = tr G, j2 = det G =.

g Давление P находится из условия отсутствия поперечного нормального напряжения:

N·T·N = 0. (1.1.21) В результате определяющее соотношение безмоментной упругой оболочки из произвольного изотропного несжимаемого материала записывается в виде 1 L = HT = hT = h[( j2 2 j2 (1 + j1 2 ))G + (1 + j2 2 )g ]. (1.1.22) Непосредственной проверкой при помощи (1.1.18) легко убедиться в том, что соотношение (1.1.22) можно записать в форме W W g, W = hW.





j2 L = 2 j2 G+ (1.1.23) j j В свою очередь соотношение (1.1.23) в случае изотропной оболочки эквивалентно следующему W C, C = r R + nN.

j2 L = 2CT (1.1.24) G Выражение (1.1.24) с точностью до обозначений соответствует выражению (1.1.16) тензора L, которое было выведено на основе представления о безмоментной оболочке, как двумерном материальном континууме.

W С учетом (1.1.19) функция удельной энергии оболочки из несжимаемого материала выражается через функцию удельной энергии трехмерной среды W* по формуле W (G ) = hW (G + (g/G)nn). (1.1.25) Толщина оболочки в отсчетной конфигурации h может быть переменной:

h=h(q1,q2). Толщина деформированной оболочки H(q1,q2) определяется из (1.1.16) и (1.1.19) для несжимаемого материала. В случае сжимаемого материала для заданной функции энергии W*() сначала необходимо из условия (1.1.21) определить поперечную деформацию.

1.2. Определяющие соотношения безмоментных оболочек.

Удельная потенциальная энергия W* задается как функция меры деформации Коши. Для изотропного материала ее можно представить как функцию главных инвариантов I1, I2, I3 тензора или как функцию главных кратностей удлинений 1, 1, W ( ) = W ( I1, I 2, I 3 ) = W (1, 2, 3 ).

Как было показано выше, мера деформации Коши для оболочки полностью определяется деформацией поверхности оболочки (1.1.25), где поперечная деформация исключается с помощью условия несжимаемости соотношением (1.1.19). Это позволяет задавать удельную потенциальную энергию деформации как функцию только двух независимых величин W ( ) = W ( I1, I 2 ) = W (1, 2 ). (1.2.1) Для несжимаемых материалов справедливы следующие соотношения:

I 3 = 1, 3 = 1 2.

-1 - Первый и второй инварианты меры деформации Коши выражаются через меру деформации оболочки G уравнениями (1.1.20).

В литературе представлено большое число упругих потенциалов для несжимаемых материалов:

неогуковский (c1 = µ/2) W = c1 ( I1 3) ;

(1.2.2) Муни-Ривлина [70] (c1 = µ/2, c2 0) W = c1 ( I1 3) + c2 ( I 2 3) ;

(1.2.3) или в другой форме ( 1 1) µ [(1 + )( I1 3) + (1 )( I 2 3)];

W = (1.2.4) Чоеглы [84] (| | 1, 0) µ [(1 + )(I ] 3) + (1 )( I 2 3) + ( I1 3) 2 ;

W = (1.2.5) Клоснера-Сегала [55] (| | 1, 0) µ [(1 + )(I ] 3) + (1 )( I 2 3) + ( I 2 3) 2 ;

W = (1.2.6) Бидермана [2] (c0 0, c1 0, c3 0, c1 + c3 0, 3c2 + 15c1c3 0 ) W = c0 ( I 2 3) + с1 ( I1 3) + c2 ( I1 3) 2 + c3 ( I1 3)3 ;

(1.2.7) Муни-Ривлина обобщенный [39] (c00 = 0) M N cmn ( I1 3)m ( I 2 3) n ;

W= (1.2.8) m =0 n = Бартенева-Хазановича (в иностранной литературе Варга) [1] W = 2 µ (1 + 2 + 3 3) ;

(1.2.9) Черныха [28] (| | 1) [ ] 1 1 W = µ (1 + )(1 + 2 + 3 3) + (1 )(1 + 2 + 3 3) ;

(1.2.10) степенной [30] (n 0, | | 1) [(1 + )( ] µ n n n + 2 + 3 3) + (1 )(1 + 2 + 3 3) ;

W = n n n (1.2.11) n Огдена [71] µi i N W = (1 + 2 i + 3 i 3) ;

(1.2.12) i =1 i Джента [46] (Jm = const) µ I W = J m ln1 1 ;

(1.2.13) Jm 2 Джента и Томаса [47] (0 1) µ I ( I1 3) + (1 )ln W = ;

(1.2.14) 2 Беккера-Трелоара [37] W = 2 µ i (lni 1) ;

(1.2.15) i = Ноулса [56] ( n 0, b 0) µ n b W= 1 + ( I1 3) 1 ;

(1.2.16) 2b n биологический материал, предложенный Фыном (Y. C. Fung) [36] µ (eb ( I1 3) 1) ;

W = (1.2.17) 2b существенно нелинейный материал [14] (d1 0, d2 0, d12+d22 0, 1 0.5, 2 0.5) W = d1 ( I1 3)1 + d 2 ( I 2 3) 2. (1.2.18) Для всех представленных материалов µ – модуль сдвига, остальные величины – некоторые постоянные материала.

Определяющие соотношения (1.1.16) в компонентной форме представляются в виде 1, = g W 2h, = = L. (1.2.19) 2, G G Если потенциальная энергия задана как функция главных инвариантов меры деформации, то с учетом соотношений 1.1.20 выражения (1.2.19) примут вид g W I1 W I 2h.

= + L (1.2.20) G I1 G I 2 G Для изотропного материала главные оси деформации являются и главными осями напряжений. В главных осях не нулевыми остаются только диагональные компоненты тензора меры деформации оболочки G и тензора усилий L. Главные кратности удлинений выражаются через компоненты меры деформации соотношениями G11 G 1 =, 2 =. (1.2.21) g11 g В случае задания потенциальной энергии деформации как функции кратностей главных удлинений главные усилия согласно (1.2.19), (1.2.21), примут следующий вид g W W h h = = L. (1.2.22) G g 1 g G Определяющие соотношения для тензора усилий D легко получить из соотношений (1.2.20), (1.2.22) и уравнений (1.1.16), связывающего тензоры L и D.

1.3. Об одном случае деформации безмоментной оболочки.

Рассмотрим поверхность o и гауссовы координаты q1 и q2 такие, что компоненты метрического тензора g (1.1.2) не зависят от координаты q2 и образуют диагональную матрицу g = 0, g = 0 ( ). (1.3.1) q Кроме того, положим, что толщина оболочки также не зависит от гауссовой координаты q h = h( q1 ). (1.3.2) На деформацию оболочки наложим ограничения, сходные с допущеными выше. Компоненты метрического тензора G (1.1.4) не зависят от координаты q2 и образуют диагональную матрицу G = 0, G = 0 ( ). (1.3.3) q Контравариантные компоненты метрических тензоров отсчетной и текущей конфигураций в этом случае выражаются через его ковариантные компоненты соотношениями 1 g 11 = g11, g 22 = g 22, g 12 = g12 = 0, 1 G11 = G11, G 22 = G22, G12 = G12 = 0.

При таких предположениях инварианты меры деформации Коши (1.1.20) можно представить в виде G11 G22 g11 g I1 = + +, g11 g 22 G11G (1.3.4) g g GG I 2 = 11 + 22 + 11 22.

G11 G22 g11 g Производные инвариантов I1 и I2 по компонентам меры деформации G11 и G представляются выражениями G22 g 22 g 1 g 22 g11 I I 1, 1, = = G11 g11 G22G112 G11 g11 g 22 G22G (1.3.5) 1 gg G11 gg 2 I1 I 1 11 22 2, 1 11 22 2.

= = G22 g 22 G11G22 G22 g11 g 22 G11G Подставляя уравнения (1.3.5) в (1.2.20), получим определяющие соотношения в форме 2h g g 22 g11 W G22 W 1, L= + g11 G G22G112 I1 g 22 I (1.3.6) 2h g g g W G W 1 11 22 2.

L22 = + g 22 G G11G22 I1 g11 I В силу сделанных предположений (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.3) компоненты тензора усилий L (1.3.6) не зависят от координаты q2. Это утверждение справедливо и для случая задания удельной потенциальной энергии W* как функции главных кратностей удлинений (1.2.21), (1.2.22).

Векторы основного базиса в отсчетной и текущей конфигурациях являются функциями двух переменных q1 и q2. В дальнейшем нам потребуются формулы для производных базисных векторов, которые задаются уравнениями R µ = Rµ + B N. (1.3.7) q µ Здесь – символ Кристоффеля второго рода, B – компоненты второго фундаментального тензора B поверхности O, N – единичная нормаль к поверхности O. Представленные величины определяются соотношениями G G G = G µ + µ, q q q 2 R B = N, B = N, (1.3.8) q R1 R N=.

R1 R µ Величины (1.3.8) при ограничениях (1.3.1), (1.3.3) примут значения G G 1 11 = G11 11, 22 = G11 22, 1 q q 2 1 22 G 22 G 1 (1.3.9) 12 =, 21 = G 2 G, q 1 q 2 12 = 21 = 11 = 22 = 0.

1 1 2 Учитывая определение поверхностного набла-оператора (1.1.5), преобразуем уравнения равновесия (1.1.17) к виду R L R R R R + R L R + R L R + q = 0.

q q q Используя выражения производных базисных векторов (1.3.7), получим:

L ( ) R R R + R L R + B N R + q ( ) + R L R R + B N + q = 0.

С помощью соотношений (1.1.3), придем к уравнению L R + L R + Lµ µ R + L B N + q = 0.

(1.3.10) q Пока не было наложено никаких прямых ограничений на функцию интенсивности внешних сил q. Представим ее в базисе связанном с деформированной поверхностью:

q = R + N. (1.3.11) Векторное уравнение (1.3.10) представим в виде трех скалярных уравнений, учитывая разложение (1.3.11) вектора q и выражения для символов Кристоффеля (1.3.9) L11 + L (211 + 21 ) + L2222 + 1 = 0, 1 2 q (1.3.12) 2 = 0, L11B11 + L12 B21 + L21B12 + L22 B22 + = 0.

Полученная система уравнений (1.3.12), основанная на допущениях (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.3), приводит к ограничению на внешние нагрузки в виде отсутствия компонент направленных вдоль координаты q2. Кроме того, в случае, когда компоненты тензора кривизны B не зависят от координаты q2, система уравнений (1.3.12) будет системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Примерами реализации такого случая являются: задача об осесимметричной деформации оболочки вращения, задача о деформации цилиндрической оболочки, для которой напряженно-деформированное состояние не зависит от сечения.

1.4. Численный метод решения краевых задач деформирования безмоментных оболочек.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (1.3.12) (случай, когда компоненты тензора кривизны не зависят от координаты q2) вместе с кинематическими граничными условиями (1.1.13) образуют нелинейную краевую задачу. Аналитическое решение краевой задачи нелинейной безмоментной теории оболочек, как правило, построить не удается. Поэтому при построении решения используются приближенные методы численного интегрирования. В качестве метода решения краевой задачи используется метод пристрелки.

Для простоты изложения численного метода рассмотрим частный вид краевой задачи:

F (q1, 1 (q1 ), 2 (q1 ), (q1 )) = 0, (1.4.1) 1 ( x0 ) = a, ( x0 ) = c, 2 ( x0 ) = 2 ( x1 ).

Здесь F – нелинейный дифференциальный оператор первого порядка, 1(q1), 2(q1), (q1) – искомые неизвестные функции, [x0, x1] – область изменения переменной q1, a и с – заданные значения неизвестных функций на границе области.

Решение краевой задачи (1.4.1) будет заключаться в отыскании некоторого значения параметра b, для которого решение задачи Коши:

F (q1, 1 (q1 ), 2 (q1 ), (q1 )) = 0, (1.4.2) 1 ( x0 ) = a, ( x0 ) = c, 2 ( x0 ) = b.

приводит к удовлетворению условия 2 (b, x1 ) = b. (1.4.3) Здесь символом «*» обозначено найденное решение задачи Коши (1.4.2).

Решение алгебраического уравнения (1.4.3) можно осуществлять любым из известных численных методов, например, методом половинного деления или методом линейной интерполяции. На каждом из шагов решения уравнения (1.4.3) необходимо интегрировать нелинейную задачу Коши (1.4.2).

Интегрирование системы дифференциальных уравнений (1.4.2) осуществляется конечно-разностным методом. Отрезок [x0, x1] разбивается на n отрезков, на каждом из которых решение отыскивается методом Рунге-Кутта с контролем погрешности на шаге.

В рассмотренном выше примере решается задача, в которой необходимо определить всего один параметр пристрелки. Более сложен случай, когда при переходе к задаче Коши таких неизвестных параметров два:

F (q1, 1 (q1 ), 2 (q1 ), (q1 )) = 0, (1.4.4) 1 ( x0 ) = 1 ( x1 ), 2 ( x0 ) = 2 ( x1 ), ( x0 ) = c.

В краевой задаче (1.4.4) в качестве граничных условий выступает периодичность функций 1, 2. Решение такой краевой задачи можно свести к предыдущему случаю, то есть, к отысканию значения параметра a, для которого решение краевой задачи:

F (q1, 1 (q1 ), 2 (q1 ), (q1 )) = 0, (1.4.5) 1 ( x0 ) = a, ( x0 ) = c, 2 ( x0 ) = 2 ( x1 ).

приводит к выполнению равенства 1 (a, x1 ) = a. (1.4.6) Здесь символом «*» обозначено найденное решение краевой задачи (1.4.5).

Уравнение (1.4.6) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение, корни которого находятся тем же методом, что и корни уравнения (1.4.3). На каждом шаге поиска решения необходимо интегрировать краевую задачу (1.4.5).

Глава 2. Осесимметричная деформация оболочек вращения.

В этой главе рассматриваются задачи деформирования оболочки вращения с сохранением ее осесимметричности. Этот класс задач наиболее часто встречается в работах по исследованию больших деформаций оболочек:

[7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 25, 30, 31, 38, 40, 43, 44, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 60, 61, 62, 63, 68, 72, 73, 79, 80, 81, 85, 87, 91, 92, 94].

В первом параграфе из уравнений равновесия выводится разрешающая система уравнений для произвольной оболочки вращения, нагруженной равномерно распределенной нормальной нагрузкой. Уравнения равновесия сводятся к системе нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций главных кратностей удлинений и некоторой новой функции координат. Замыкая систему кинематическими граничными условиями, получаем краевую задачу, которая интегрируется численно.

Рассмотрены некоторые частные случаи оболочки вращения: сферическая оболочка, плоская мембрана, тороидальная и круговая цилиндрическая оболочка.

Задача о раздувании замкнутой сферической оболочки может быть решена аналитически, причем как в рамках теории оболочек [10], так и в трехмерной постановке нелинейной теории упругости [21, 22]. Во втором параграфе численное моделирование деформации сферической оболочки будет сравниваться с точными решениями, для проверки приближенного метода решения уравнений равновесия.

В третьем параграфе будет рассмотрена задача о раздувании плоской круглой мембраны. Задача не имеет аналитического решения, но широко представлена в литературе, как теоретическими исследованиями, так и экспериментальными данными: [10, 16, 20, 23, 40, 44, 45, 52, 53, 54, 79, 80, 85, 87, 91] и др.

Исследования тороидальной оболочки встречаются в литературе реже [12, 17, 18, 19, 60, 61, 62, 63, 73]. В четвертом разделе данной главы будет рассматриваться задача о деформации тороидальной оболочки круглого поперечного сечения.

Задача о больших деформациях цилиндрической оболочки в гипотезах скользящей заделки имеет аналитическое решение в трехмерной постановке [21, 22] и в рамках теории оболочек. Для случая неоднородной деформации в литературе опубликованы некоторые варианты приближенного решения и экспериментальные данные [43, 51, 72]. В пятом параграфе представлены несколько вариантов решения задачи о растяжении тонкостенной трубы из неогуковского материала. Проведено сравнение полученных результатов.

2.1. Уравнения осесимметричной деформации.

Введем цилиндрические координаты r,, z так, чтобы ось z совпадала с осью симметрии оболочки, гауссова координата q2 совпадала с угловой координатой. За гауссову координату q1 примем некоторый параметр, отсчитываемый вдоль меридиана оболочки. Базисные векторы цилиндрических координат выражаются через базис декартовой системы координат следующим образом er = i1cos + i2sin, e = i1sin + i2cos, e z = i3.

В выбранной системе координат положение точки поверхности оболочки вращения до деформации представится в виде r = r (q1 ) = r (q1 )er + z (q1 )e z. (2.1.1) Считаем, что толщина недеформированной оболочки удовлетворяет условию (1.3.2), т. е. не зависит от угловой координаты.

Под действием осесимметричной нагрузки оболочка сохранит симметрию. Срединная поверхность после деформации будет задаваться с помощью неизвестных функций R(q1) и Z(q1) уравнениями R = R(q1 ) = R (q1 )er + Z (q1 )e z. (2.1.2) Основной и взаимный базисы, связанные со срединной поверхностью до и после деформации (1.1.1), (1.1.3), примут вид r1 = r (q1 )er + z(q1 )e z, r2 = r (q1 )e, R1 = R(q1 )er + Z (q1 )e z, R2 = R(q1 )e.

Вектор нормали к срединной деформированной поверхности (1.3.8) определяется соотношением Re z Z er N=.

R 2 + Z Для оболочки вращения компоненты первого фундаментального тензора срединной поверхности до и после деформации (1.1.2), (1.1.4) выражаются по формулам g11 = r 2 + z2, g12 = 0, g 22 = r 2, (2.1.3) G11 = R2 + Z 2, G12 = 0, G22 = R 2.

Таким образом, требования (1.3.1) и (1.3.3) удовлетворяются.

Представим первое уравнение системы (1.3.12) относительно функций главных кратностей удлинений 1, 2. По определению (1.2.19) с учетом (1.3.1) и (1.3.3) они являются функциями только переменной q1.

В случае задания удельной потенциальной энергии W* как функции 1, (1.2.1), производная L11 (1.2.22) по переменной q1 представится в виде h W g11 W L11 1 h = + q 1 g111 2 2 q 1 1 g11 2 1 2 2 q 1 (2.1.4) 2W 2 W 1 1 W W h h 1+ +.

2 1 q g111 2 1 1 1 q g111 2 2 12 Символы Кристоффеля (1.3.9) выразятся через главные кратности удлинений (1.2.21) с помощью соотношений 1 1 g 222 2 2 2 g 1 g = +, 22 = 1, 1 q 1 2 g11 q 1 g111 q 2 g111 q 2 1 (2.1.5) 1 2 1 g 12 = 21 = + 2, 12 = 21 = 11 = 22 = 0.

1 1 2 2 q 2 g 22 q 1 Подставив выражения (2.1.4) и (2.1.5) в первое уравнение системы (1.3.12), получим следующее выражение h W g 11 W 1 h + q 1 1 q 1 g 111 2 g 11 1 2 2 2W 2 W h + 2 q 1 + g 111 2 1 W 2W h q 1 + + (2.1.6) g 111 2 1 1 1 1 g 1 g 11 1 W h 2 + + q 1 2 g q 1 q 1 2 g q 1 + + + g 111 2 1 11 2 W g 22 2 2 2 2 g 22 h + = 0.

+ 2 g 111 2 q 1 2 g 111 2 q g 22 1 Уравнение (2.1.6) представим в виде 1 2 1 h + F2 + F3 + F4 + F5 = 0.

F1 (2.1.7) q1 q1 h q1 h Здесь использованы обозначения 2W 1 W 2W F1 =, F2 =, 1 2 1 W 2 W g q 1, F3 = (2.1.8) 2 g 22 1 W F5 = g111 2.

F4 =, Если функция энергии W* (1.2.1) зависит от инвариантов I1, I2 меры деформации Коши, то выражение для производной L11 компоненты тензора усилий L получим из уравнения (1.3.6). Введем обозначения W 2 W + P = 1 4 2, Q1 =, (2.1.9) I1 I 1 W 2 W + P2 = 1 2 4, Q2 =.

I1 I 1 Тогда компоненты тензора усилий выразятся соотношениями 2h 2h L11 = P Q1, L22 = P2Q2. (2.1.10) g1112 g Откуда выражение для производной компоненты L11 по координате q1 примет вид L11 h 2h g = P Q1 2 PQ q1 g1112 q 1 1 g11 12 q (2.1.11) 1 2h P Q 2h 2h 2 1 + 1 2 P Q1 + Q1 + P 1.

g111 2 q q g1112 q1 g1112 q Из уравнения (2.1.9), используя соотношения (1.3.3), (1.3.4) и учитывая (1.2.21), получим выражения для производных от величин P1 и Q1 в форме 4 P = 5 2 1+ 4 3 2, q 1 2 q 1 2 q 1 (2.1.12) W 2 Q = 21P Q3 1 + 22 P2Q4 2 + 22.

q q q I 2 q 1 1 Здесь используются обозначения 2W 2W 4W 2 + 22 + Q3 =, I1I 2 I1 I 2W 2 W 2W 2 + (1 + 2 ) + 1 2 Q4 =.

I1I 2 I1 I Подставив соотношения (2.1.5), (2.1.11) и (2.1.12) в первое уравнение системы (1.3.12) получим 4Q P1Q1 + 4 1 2 + 21 2 P1 2 Q3 q 1 + 1 2Q1 1 W + 4 2 + 2 2 P1 P2 Q 4 + 2 P2 Q q 1 + (2.1.13) I 2 1 2 1 g 22 1 h 2 2 1 P1Q1 2 P2 Q 2 1 + g 11 1 2 = 0.

+ PQ + q h q 2 g 22 h Или введя обозначения 4Q F1I = P1Q1 + 4 1 2 + 21 P1 Q3, 2 1 2Q1 W F = 4 2 + 2 2 P1 P2 Q4 + 2 P2 Q2, I I 2 1 2 2 (2.1.14) 1 g 2 P1Q1 2 P2 Q2 22, F= I 2 g 22 q g 111 2.

F4I = P1Q1, F5I = уравнение (2.1.13) представим в виде 1 I 2 1 h I 1 I + F2 1 + F3 + F4 + F5 = 0.

I I F (2.1.15) q1 q h q1 h Компоненты тензора кривизны поверхности B (1.3.8) задаются в форме RZ Z R RZ, B12 = 0, B22 = B11 =. (2.1.16) R + Z R + Z 2 2 2 Очевидно, что компоненты тензора кривизны (2.1.16) не зависят от гауссовой координаты q2, таким образом, система уравнений (1.3.12) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Введем в рассмотрение функции Z ( q1 ) R(q1 ) (q ) =, ( q ) = = 1. (2.1.17) R(q1 ) Z (q1 ) (q1 ) Полагаем, что функции R'(q1) и Z'(q1) не обращаются в ноль одновременно. Для простоты в дальнейших выкладках будем пользоваться только функцией (q1).

Главные кратности удлинений (1.2.21), учитывая выражения для компонент метрических тензоров поверхности в отсчетной и текущей конфигурациях (2.1.3) для случая осесимметричной деформации, примут вид R 2 + Z 2 R, 2 =.

1 = (2.1.18) r 2 + z2 r Компоненты кривизны (2.1.16) с учетом соотношений (2.1.17), (2.1.18) и (2.1.3) можно представить в форме 2 g B11 = 1 g 22 2 +, g 11 q q 2 g 22 q (2.1.19) 2 g 22 g 22 B22 = g 22 2 +.

2 g 22 q g11 q Третье уравнение системы (1.3.12) с помощью соотношений (1.2.22) и (2.1.19), преобразуем к системе уравнений относительно функций главных кратностей удлинений 1, 2 и функции E1 + E2 + E3 = 0. (2.1.20) q1 h Здесь использованы обозначения 1 W g 22 2 + 2 g 22, E1 = g 11 1 1 q 1 2 g 22 q (2.1.21) g 22 2 + 2 g 22, g 11 W E2 = q 1 2 g 22 q g 22 2 E3 = g111 2.

В случае задания определяющих соотношений в виде (1.3.6), дифференцируя потенциальную энергию W*(I1(1,2), I2(1,2)) как сложную функцию, уравнение (2.1.20), (2.1.21) можно представить в виде + E2I + E3I = 0, E1I (2.1.22) q1 h где g E1I = P1Q1 2 g 22 2 + 2 22, q q g E 2I = 2 g 11 2 P2 Q2 2 g 22 2 + 2 22, q q E 3I = 2 g 11 g 22 1 2.

3 Функции 1, 2 и не являются полностью независимыми между собой.

Из соотношений (2.1.17) и (2.1.18) можно получить следующую дифференциальную зависимость 2 2 g g = s1, s = sgn(R'(q1)).

g 22 (1 + ) 2 g 22 q q 1 2 Таким образом, система уравнений (1.3.12) преобразуется к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех неизвестных функций 1, 2, и представляется в виде 1 2 1 h F1 1 + F2 1 + F3 + F4 + F5 = 0, q q h q1 h + E2 + E3 = 0, E1 (2.1.23) q1 h 2 2 g g = s1.

g 22 (1 + 2 ) 2 g 22 q q Слагаемые Fk и El задаются соотношениями (2.1.7), (2.1.20) в случае задания потенциальной энергии деформации W* как функции главных кратностей удлинений 1, 2 или определяются из (2.1.15), (2.1.22), если функция энергии зависит от инвариантов I1, I2 тензора меры деформации.

Система (1.3.12) относительно функций R(q1) и Z(q1) (2.1.2), является системой дифференциальных уравнений второго порядка. Можно показать, что функция Z(q1) входит в уравнения только своими производными, поэтому в большинстве случаев решение может быть определено до произвольного жесткого смещения по оси z. Решение системы уравнений (2.1.23) полностью определяется заданием граничных условий. Но переход от функций 1(q1), 2(q1) и (q1) к функциям R(q1) и Z(q1) задает функцию Z(q1) с точностью до произвольной постоянной, соответствующей жесткому смещению. В некоторых случаях из условий задачи можно наложить ограничения на функцию Z(q1) для ее однозначного определения.

Решение исходной задачи о деформации высокоэластичной оболочки происходит в два этапа. Сначала интегрируется дифференциальная система (2.1.23), затем с помощью соотношений (2.1.17) и (2.1.18) находятся функции R(q1) и Z(q1).

2.2. Раздувание замкнутой сферической оболочки.

Сферическую оболочку постоянной толщины можно рассматривать как оболочку вращения относительно любой оси, проходящей через ее центр. За гауссову координату q1 примем угол, начальный радиус оболочки через r0. В отсчетной конфигурации положение точки оболочки задается уравнениями (2.1.1), где функции формы r() и z() задаются соотношениями r = r0 sin, z = r0 cos, 0.

Внешняя нагрузка (1.3.11), соответствующая равномерно распределенному нормальному давлению интенсивности p, задается с помощью уравнений = p, 1 = 2 = 0. (2.2.1) Граничными условиями будет неразрывность решения в точках = 0 и = :

R(0) = 0, Z (0) = 0, (2.2.2) R( ) = 0, Z ( ) = 0.

При переходе к функциям 1, 2 и граничные условия (2.2.2) с помощью некоторого параметра a = R'(0)/r0 выразятся соотношениями 1 (0) = a, 2 (0) = a, (0) = 0, (2.2.3) 1 ( ) = a, 2 ( ) = a, ( ) = 0.

Система уравнений (2.1.23) с граничными условиями (2.2.3) и заданных нагрузкой (2.2.1) и функцией потенциальной энергии W* образует краевую задачу, которая решается численным методом пристрелки.

Рис. 2.2.1. Раздувание замкнутой сферической оболочки.

Аналитическое решение теории оболочек [10] Рассмотрим сферическую оболочку радиуса r0 и постоянной толщины h, нагруженную внутренним давлением интенсивности p. За гауссовы координаты примем координаты q1 =, q2 =. В силу симметрии положение точки на поверхности задается только величиной радиуса оболочки:

r = r0er.

При равномерно распределенной нормальной нагрузке оболочка сохраняет свою симметрию в процессе деформации, и единственной характеристикой деформации будет радиус оболочки R0 в текущей конфигурации R = R0er.

Векторы основного базиса в отсчетной и текущей конфигурациях и вектор нормали к деформированной поверхности выразятся уравнениями r1 = r0e, r2 = r0 sin e, R1 = R0e, R2 = R0 sin e, N = er.

Компоненты фундаментальных тензоров начальной и деформированной поверхности примут вид g11 = r0, g12 = 0, g 22 = r0 sin 2, 2 G11 = R0, G12 = 0, G22 = R0 sin 2, 2 (2.2.4) B11 = R0, B12 = 0, B22 = R0 sin 2.

Из соотношений (2.2.4) видно, что выполняются условия (1.3.1), (1.3.3) и главные кратности удлинений (1.2.21) равны между собой. Внешняя нагрузка задается уравнениями (2.2.1). Система уравнений (1.3.12) сводится к одному уравнению 2h W = p. (2.2.5) r01 Если потенциальная энергия W* задана как функция инвариантов меры деформации, уравнение (2.2.5) представится в форме [10] 4h r0 W R0 W 6 1 = p.

+ R0 R0 6 I1 I r Задача Ляме для шара [21, 22].

Рассмотрим деформацию полого шара толщины h, нагруженного равномерно распределенными нормальными нагрузками интенсивностей p1 и p на внутренней и внешней поверхностях. За материальные координаты точки начального объема примем сферические координаты q1 = r, q2 =, q3 =.

Предполагаем, что деформация происходит с сохранением симметрии, тогда деформированное состояние может быть задано в той же сферической системе величинами h h R = R(r), =, =, r1 r r2, r1 = r0, r2 = r0 +, 2 где r0 – средний радиус.

Радиус-векторы точки сферы в отсчетной и текущей конфигурациях представляются в виде r = rer, R = R(r )er.

Векторы базиса недеформированной и деформированной среды выразятся уравнениями r1 = er, r2 = re, r3 = r sin e.

R1 = Rer, R2 = Re, R3 = R sin e.

Коэффициенты квадратичных форм отсчетной и текущей конфигурации задаются соотношениями g11 = 1, g 22 = r 2, g 33 = r 2 sin 2, g ij = 0 (i j, i, j = 1,2,3), G11 = R2, G22 = R 2, G33 = R 2 sin 2, Gij = 0 (i j, i, j = 1,2,3).

Мера деформации Коши и ее инварианты примут вид R2 R = R er er + 2 e e + 2 e e, r r R2 R4 2R 2R I1 = R + 2 2, I 2 = 2 R 2 + 4, I 3 = R 4.

r r r r В случае несжимаемого материала выполняется равенство I3 = 1 и справедливо уравнение r R = 2, (2.2.6) R откуда можно получить выражение для функции R(r) 3 R 3 = R2 + (r 3 r2 ), R2 = R(r2 ). (2.2.7) Тензор напряжений Коши для несжимаемого материала можно представить в виде W 1 W T = I I PE.

1 Здесь W* = W*(I1, I2) – функция потенциальной энергии деформации, P – функция гидростатического давления. Мера деформации Фингера –1 и мера деформации Альманзи задаются соотношениями R2 R = R er er + 2 e e + 2 e e, 1 r r (2.2.8) 2 1 r r = er er + 2 e e + 2 e e.

R 2 R R Введем в рассмотрение тензор T* такой, что справедливо выражение T = T PE.

С учетом уравнения (2.2.6) и (2.2.8), компоненты тензора напряжений T* выразятся соотношениями W r 4 W R T = I R 4 I r 4, rr 1 W R 2 W r T = I r 2 I R 2, 1 W R 2 W r T = I r 2 I R 2.

1 Из уравнений равновесия [21, 22] получим систему уравнений 1 Trr Trr T 1 P +2 = 0, R r R r R 1 P = 0, R 1 P = 0.

R sin Следствием уравнений равновесия является независимость функции гидростатического давления P от координат и. Из первого уравнения равновесия получим уравнение для нахождения неизвестной функции P(r):

R P( r ) = P0 + Trr + 2 (Trr T ) dr. (2.2.9) R Здесь P0 – постоянная интегрирования.

Введем в рассмотрение функцию r u (r ) =.

R(r ) Преобразуем подинтегральное выражение (2.2.9):

R r2 dr dr = 3 dr = u 3, R R r r r dr = d (Ru ) = uRdr + Rdu = u 3dr + du = u 3dr + du.

u u Откуда получим следующее соотношение u dr = du.

r (1 u 3 ) Теперь уравнение для функции гидростатического давления можно представить следующим образом (Trr (u ) T (u ))u P(u ) = P0 + T (u ) + 2 du. (2.2.10) rr (u 3 1) Рассмотрим случай, когда потенциальная энергия деформации задается потенциалом Муни (1.2.3). Интегрируя уравнение (2.2.10) и возвращаясь к исходным обозначениям, получим выражение для функции гидростатического давления P(r) в явном виде r4 r R R r P(r ) = P0 + c1 4 4 + c2 4 2 2 2 4, R R r r R 3 R 3 = R2 + (r 3 r2 ).

Уравнение содержит две неизвестные постоянные P0 и R2, которые определяются из граничных условий:

Trr (r1 ) = p1, Trr (r2 ) = p2, (2.2.11) где p1 и p2 – интенсивности давлений на внутренней и внешней поверхностях сферы.

Рассмотрим случай, когда отсутствует внешнее давление:

p1 = p, p2 = 0.

Из второго граничного условия (2.2.11) получим выражение постоянной интегрирования P0 через значение внешнего радиуса деформированной сферы R2 в виде r2 4 r2 r2 2 R P0 = c1 4 + 4 + c2 2 2 4 2. (2.2.12) R R2 R r 2 2 Подставляя (2.2.12) в первое граничное условие (2.2.11) получим нелинейное уравнение, связывающее неизвестную постоянную R2 с величиной внутреннего давления p r14 r2 4 r1 r2 r 2 r 2 R R + 4 + c2 2 1 2 2 2 4 1 2 = p, c1 4 4 R R 1 R2 R1 R2 1 R2 r1 r2 (2.2.13) 3 3 R1 = 3 R2 + ( r1 r2 ).

Решение уравнения (2.2.13) позволяет из уравнения (2.2.7) получить зависимость деформации срединной поверхности R0 = R(r0) от интенсивности давления p:

3 3 R0 = 3 R2 + (r0 r2 ).

Результаты Раздувание шара – одна из немногих задач нелинейной теории упругости, имеющая аналитическое решение. Это позволяет оценить точность численного метода решения системы дифференциальных уравнений (2.1.23).

Таблица 2.2.1. Сравнение результатов численного и аналитического исследования деформации сферической оболочки.

q q q R=R0/r расчет теория оболочек теория упругости 1.010895564 0.300000 0.300000 0. 1.018746770 0.500000 0.500000 0. 1.040923192 1.000000 1.000000 1. 1.067992000 1.500000 1.499999 1. 1.102602281 2.000000 2.000000 2. 1.150373456 2.500000 2.500000 2. 1.227291251 3.000000 3.000000 3. 1.314125364 3.300000 3.299999 3. 1.454021888 3.500000 3.499999 3. 1.571088888 3.550000 3.550000 3. 2.247551920 3.550000 3.550000 3. 2.570524175 3.600000 3.600000 3. 2.920337021 3.700000 3.699999 3. 3.184410250 3.800000 3.800000 3. 3.621618100 4.000000 3.999999 4. 4.519292431 4.500000 4.500000 4. 5.308370750 5.000000 5.000000 5. Результаты представлены для потенциала Муни (1.2.3) с заданными константами материала c1 = 1, c2 = 0.2. На рисунке 2.2.2 представлена зависимость радиуса срединной поверхности деформированной сферической оболочки отнесенного к начальному радиусу R=R0/r0 от величины обезразмеренного внутреннего давления q = pr0/c1/h. Сплошной линией на рисунке представлены аналитические решения задачи. Точками обозначены результаты решения задачи о раздувании сферы как оболочки вращения, полученные численным методом. Эта же зависимость представлена в таблице 2.2.1. Как видно из графика и таблицы все три решения полностью совпадают.

Рис. 2.2.2. Зависимость давления от радиуса деформированной сферической оболочки.

2.3. Нагружение плоской мембраны гидростатическим давлением.

Рассмотрим задачу о нагружении нормальным давлением плоской круглой мембраны, закрепленной по контуру. Положение точки оболочки (2.1.1) определяется с помощью функций формы мембраны, представляющихся в виде r (q1 ) = q1, z (q1 ) = 0, 0 q1 r0.

Внешняя нагрузка (1.3.11), соответствующая равномерно распределенному нормальному давлению интенсивности p, задается с помощью уравнений = p, 1 = 2 = 0.

Рис. 2.3.1. Плоская круглая мембрана.

Граничные условия: закрепление мембраны по краю, непрерывность и гладкость решения в центре, задаются в форме R(r0 ) = ar0, Z (r0 ) = 0, R(0) = 0, Z (0) = 0.

Здесь a = const – коэффициент растяжения края мембраны.

В терминах функций 1, 2 и граничные условия примут вид:

1 (0) = 2 (0), (0) = 0, 2 (r0 ) = a.

Результаты На рисунке 2.3.2 представлена зависимость прогиба в центре мембраны от величины внешнего давления. Рассмотрены материал Муни (1.2.3) и биологический материал Фына (1.2.17) (величины констант материала даны в таблице 2.3.1). Параметры мембраны: r0 = 1, a = 1, h = 0.001. По вертикальной оси отложено обезразмеренное давление q = pr0/µh, по горизонтальной оси – обезразмеренный прогиб w = z(0)/r0.

Таблица 2.3.1. Постоянные материалов, представленных на графиках и таблицах.

материал № графика (b) µ 1 2 1. 2 2 0. Муни 3 2 0. (1.2.3) 4 2 0. 5 2 0. 6 2 0. 7 2 0. 8 2 0. Фына 9 2 0. (1.2.17) 10 2 1. 11 2 1. Максимальное утончение мембраны будет происходить в ее центре. На рисунке 2.3.3 изображена зависимость между безразмерным давлением q и деформированной толщиной мембраны в центре, обезразмеренной относительно ее начальной толщины H = H(0)/h.

Максимальное напряжение, так же как и минимальная толщина деформированной мембраны, будет находиться в её центре. Обе компоненты напряжения равны между собой, их зависимость от давления приведена на рисунке 2.3.4. По вертикальной оси отложено безразмерное давление q, горизонтальная ось соответствует напряжению L = L11r0/µ/h = L22r0/µ/h в центре мембраны.

Рис. 2.3.2. Зависимость прогиба в центре мембраны (w=z(0)/r0) от давления (q=pr0/µ/h).

Рис. 2.3.3. Зависимость толщины мембраны в её центре (H=H(0)/h) от давления (q=pr0/µ/h).

Рис. 2.3.4. Зависимость напряжения в центре мембраны (L11r0/µ/h) от давления (q=pr0/µ/h).

Форма сечения деформированной мембраны для материала 4 из таблицы 2.3.1 представлена на рисунке 2.3.5. Величины давлений равны 0.05, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5 и 5, начиная с нижнего графика.

Рис. 2.3.5. Сечения деформированной мембраны из материала 4.

В таблице 2.3.2 приведены численные данные для некоторых материалов.

Для величин прогиба w в центре мембраны представлены значения следующих обезразмеренных величин: давления q, кратности удлинений, толщины H и напряжения L в центре мембраны.

Таблица 2.3.2. Численные результаты.

Материал w 1 4 q H L q H L q H L 0.10 0.014 1.0066 0.9741 0.039 0.014 1.0066 0.9741 0.039 0.014 1.0066 0.9741 0. 0.15 0.045 1.0148 0.9430 0.086 0.045 1.0148 0.9423 0.086 0.045 1.0148 0.9430 0. 0.25 0.185 1.0415 0.8500 0.226 0.187 1.0410 0.8515 0.228 0.185 1.0414 0.8501 0. 0.50 0.901 1.1757 0.5235 0.731 0.957 1.1667 0.5397 0.768 0.919 1.1737 0.5269 0. 0.75 1.561 1.4330 0.2372 1.268 1.827 1.3795 0.2761 1.446 1.702 1.4054 0.2564 1. 1.00 1.840 1.8359 0.0880 1.788 2.464 1.6565 0.1328 2.264 2.278 1.6943 0.1214 2. 1.25 1.874 2.3755 0.0314 2.363 2.909 1.9548 0.0685 3.274 2.754 1.9773 0.0654 3. 1.50 1.803 3.0409 0.0117 3.037 3.247 2.2510 0.0389 4.505 3.285 2.2509 0.0390 4. 1.75 1.697 3.8090 0.0475 3.808 3.528 2.5358 0.0242 5.956 3.818 2.4583 0.0274 6. 2.00 1.583 4.7074 0.0204 4.707 3.780 2.8133 0.0160 7.661 4.530 2.6612 0.0199 8. 2.50 1.371 6.8580 0.0045 6.858 4.247 3.3477 0.0079 11.88 6.520 3.0098 0.0122 13. 3.00 1.195 9.4636 0.0012 9.464 4.697 3.8641 0.0045 17.32 9.547 3.2978 0.0085 21. 3.50 1.053 12.560 0.0004 12.56 5.142 4.3699 0.0027 24.14 14.11 3.5427 0.0063 32. Сравнение с результатами других исследователей В таблице 2.3.3 полученные результаты сравниваются с расчетами других исследований [20] и экспериментальными данными [23, 52, 85]. Различие между численными расчетами, полученными в этой работе, и данными, представленными в книге [20], составляет менее 10% для неогуковского материала и практически отсутствует для материала Муни-Ривлина ( = 0.95).

Таблица 2.3.3. Сравнение результатов расчета с данными других исследователей.

давление pr0/µ/(2h) потенциал неогуковский 1(0) эксперимент Муни = 0.95 потенциал [20] [20] [52] [23] [85] 1.15 0.40 0.38 0.39 0.39 – 0.49 0. 1.20 0.50 0.50 0.50 0.53 0.60 – 0. 1.40 0.78 0.77 0.76 0.88 0.89 – 0. 1.50 0.85 0.84 0.82 0.87 – 0.85 0. 1.60 0.90 0.89 0.87 0.91 0.95 – 0. 1.80 0.96 0.95 0.91 0.97 1.00 – 1. 2.00 0.98 0.98 0.93 0.99 1.00 1.00 1. 2.50 1.00 1.00 0.93 0.99 0.96 – 0. 3.00 0.99 0.99 0.90 0.97 0.91 0.96 0. 3.50 0.97 0.97 0.87 0.94 0.85 0.93 0. 4.00 0.95 0.95 0.84 0.90 0.79 0.85 0. 4.50 0.93 0.93 0.80 0.87 0.73 0.83 0. 5.00 0.91 0.91 0.77 0.83 0.69 0.79 – 5.50 0.89 0.89 0.75 0.81 0.67 0.81 – 6.00 0.87 0.87 0.72 0.78 0.72 0.94 – 6.50 0.86 0.86 0.70 0.75 0.89 – – 2.4. Раздувание замкнутой торообразной оболочки.

Уравнение поверхности оболочки до деформации представляется в форме (2.1.1) с помощью функций r и z, заданных в виде r ( ) = r0 + r1 sin, z ( ) = r1 cos, 2 3 2.

Здесь за координату q1 взят угол, отсчитываемый по меридиану оболочки, r0, r1 – постоянные величины.

Внешняя нагрузка задается с помощью уравнений = p, 1 = 2 = 0.

Рис. 2.4.1. Раздувание замкнутой торообразной оболочки.

Граничными условиями будут условия периодичности функций R(), Z() и их производных с периодом 2. Кроме оси симметрии тороидальная оболочка обладает плоскостью симметрии z = 0. Это позволяет наложить дополнительные ограничения на искомые функции: R(–/2)=R(3/2)=0, уменьшив количество подбираемых параметров в методе пристрелки.

Граничными условиями для функций 1, 2 и будут равенства 1 ( 2) = 1 (3 2), 2 ( 2) = 2 (3 2), ( 2) = (3 2) = 0.

Результаты На рисунке 2.4.2 представлены зависимости безразмерных величин внешнего давления (p*=pr0/µ/h) и площади сечения деформированной оболочки (S*= S/s). Обозначения графиков на рисунках 1–5 соответствуют геометрическим размерам и упругим постоянным приведенным в таблице 2.4.1.

Таблица 2.4.1. Значения упругих постоянных и геометрических параметров.

1 Неогуковский c1 = 1, r0 = 2, r1 = 2 Неогуковский c1 = 1, r0 = 10, r1 = 3 Муни c1 = 1, c2 = 0.5, r0 = 2, r1 = 4 Муни c1 = 1, c2 = 0.5, r0 = 10, r1 = µ = 2, = 1, = 0.25, r0 = 2, r1 = 5 Клоснера-Сегала µ = 2, = 1, = 0.25, r0 = 10, r1 = 6 Клоснера-Сегала Рис. 2.4.2. Зависимость давления (p*=pr0/µ/h) от площади сечения оболочки (S*=S/s).

Для малых значений нагрузки (p*0.6) вид потенциала и геометрические характеристики тороидальной оболочки незначительно влияют на деформацию.

При увеличении объема в два и более раза жесткостные характеристики существенно отличаются для различных потенциалов и значений упругих постоянных. Для материалов неогуковского (1.2.2), Муни (1.2.3) и Клоснера Сегала (1.2.6) изменение размеров оболочки оказывает менее существенное влияние, чем изменение величин упругих постоянных. В частности, для неогуковского потенциала зависимость от параметра r0 отсутствует.

Зависимости «давление–площадь сечения» в рассмотренных материалах дают два типа жесткостных характеристик: возрастающие и характеристики с максимумом.

Рис. 2.4.3. Зависимость давления от внутреннего радиуса тора R*.

Различные типы поведения демонстрирует зависимость давления от минимальной радиальной координаты тора R*=R(–/2)/r(–/2) (рисунок 2.4.3).

На характер кривых оказывают влияние тип потенциала, упругие постоянные и геометрические параметры оболочки. При малых нагрузках (p*0.4) отношение параметров r0 к r1 определяет характер поведения. Влияние свойств материала для этого диапазона нагрузок выражено слабее. Для больших нагрузок на деформацию оболочки существенно влияют также тип потенциала и упругие постоянные.

На рисунке 2.4.4 представлены толщины деформированного тора, отнесенные к начальной толщине (H()/h). Для графиков 1,2 величина безразмерного давления p* равна 0,725;

для 3,4 p*=0,66;

для 5,6 p*=1. На характер деформации оказывает влияние отношение r0/r1: чем оно больше, тем равномернее по координате происходит уменьшение толщины оболочки.

Рис. 2.4.4. Толщина оболочки (H()/h).

Графики напряжений представлены на рисунках 2.4.5 и 2.4.6. Для представленных зависимостей величины давления p* такие же, что и для рисунка 2.4.4.

Рис. 2.4.5. Напряжения T11.

Для всех рассмотренных случаев в оболочке отсутствовали сжимающие напряжения. Обе компоненты напряжений T11 = L11G11 и T22 = L22G положительные, причем компонента T11 всегда больше T22. Максимум напряжений T11 находится на внутреннем радиусе тора ( = –/2), минимум достигается на внешнем радиусе тор ( = /2). Для компоненты напряжений T минимум достигается на внутреннем радиусе тора, положение максимума напряжений T22 зависит от геометрических размеров оболочки и упругих постоянных. Для случаев 2, 4, 6 (таблица 2.4.1), когда r0/r1 = 10, максимальная величина напряжений достигалась на внешнем радиусе. При r0/r1 = 2 (случаи 1, 3, 5) максимум напряжений T22 достигался в интервале 0 /2.

Рис. 2.4.6. Напряжения T22.

Кроме того, соотношение радиусов r0/r1 влияет на равномерность распределения напряжений по координате, чем оно больше, тем равномерней распределены напряжения.

2.5. Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки.

Рассмотрим цилиндр круглого сечения, закрепленный по краям и нагруженный равномерно распределенным нормальным давлением по поверхности оболочки. В отсчетной конфигурации поверхность оболочки задается уравнениями (2.1.1) с помощью функций r (q1 ) = r0 = const, z (q1 ) = q1, 0 q1 l.

Равномерно распределенное по поверхности оболочки давление задается соотношениями (1.3.11), (2.2.1).

Рис. 2.5.1. Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки.

Граничными условиями является задание перемещений краев цилиндра в виде R(0) = r0, R (l ) = r0, Z (0) = 0, Z (l ) = L. (2.5.1) Если толщина оболочки симметрична относительно центрального сечения r = l/2, то решение можно искать только на половине интервала, и в качестве граничных условий рассматривать условия R(0) = r0, R(l 2) = 0, Z (0) = 0, Z (l 2) = L 2. (2.5.2) Для функций 1, 2 и краевые условия примут вид 1 (0) = 1 (l ) = 1, (0) = (l ), 2 (0) = 2 (l ). (2.5.3) Или в случае симметричной относительно центрального сечения толщины:

1 (0) = 1, (l 2) = 0, 2 (0) = a. (2.5.4) Условий (2.5.3) или (2.5.4) недостаточно для однозначного решения системы (2.1.23). Еще одно граничное условие получаем из ограничений на функцию Z(q1) в виде (2.5.1) или (2.5.2).

В дальнейшем эту будем называть задачей 1. Зададим некоторые величины, которые будут использоваться при описании результатов.

Растягивающая сила определяется соотношением Q1 = 2 r0G11L11. (2.5.5) q1 =l Удлинение цилиндрической оболочки будем характеризовать величиной 1, задаваемой уравнением Z (l ) 1 =.

l Радиус оболочки будем характеризовать величиной радиуса деформированного серединного сечения оболочки отнесенного к его величине недеформированного R(l 2) R1 =. (2.5.6) r Если не рассматривать условия закрепления цилиндрической оболочки на ее концах, то аналитическое решение задачи деформации цилиндрической трубы можно получить в рамках приближений теории плоской деформации.

Эти решения представлены ниже.

Аналитическое решение теории оболочек (задача 2) Рассмотрим деформацию одноосного растяжения цилиндрической оболочки круглого сечения и постоянной толщины, под действием равномерно распределенной нормальной нагрузки. Гауссовыми координатами будут цилиндрические координаты q1 = z, q2 =. В отсчетной конфигурации поверхность оболочки задается уравнениями r = r0 e r + ze z, r0 = const.

Базисные векторы на поверхности примут вид r1 = e z, r2 = r0e.

Пусть в текущей конфигурации радиус-вектор оболочки определяется уравнениями:

R = R0er + ze z, R0 = const, = const.

Такой вид деформации будет соответствовать одноосному растяжению оболочки, нагруженной равномерно распределенным давлением интенсивности p. Базисные векторы на поверхности деформированной оболочки и вектор нормали к ней примут вид R1 = e z, R2 = R0e, N = er.

Компоненты квадратичных форм отсчетной и текущей конфигурации будут задаваться соотношениями g11 = 1, g12 = g 21 = 0, g 22 = r02, G11 = 2, G12 = G21 = 0, G22 = R0, (2.5.7) B11 = B12 = B21 = 0, B22 = R0.

Из (2.5.7) видно, что условия (1.3.1) и (1.3.3) удовлетворяются. Система (1.3.12) преобразуется к виду B22 L22 p = 0. (2.5.8) Здесь p – интенсивность равномерно распределенного давления.

Рассмотрим упругий потенциал Муни (1.2.3). Уравнение равновесия (2.5.8) запишется в форме r ( ) 1 2 4 c1 + 2 c 2 = p.

2h R r0 При отсутствии давления величина радиуса деформированной оболочки выразится уравнением:

r R0 =.

Растягивающая сила определяется соотношением Q2 = 2 R0 2 L11. (2.5.9) Величину относительного изменения радиуса обозначим R R2 =. (2.5.10) r Цилиндрическая труба под давлением (задача 3) [21, 22] Рассмотрим задачу растяжения и раздувания цилиндрической трубы с точки зрения трехмерной нелинейной теории упругости. За материальные координаты примем цилиндрические координаты отсчетной конфигурации q1 = r, q2 =, q3= z. Предполагаем, что деформация происходит с сохранением осевой симметрии, тогда деформированное состояние может быть задано в той же цилиндрической системе величинами h h R = R(r), =, Z = z, r1 r r2, r1 = r0, r2 = r0 +, 2 причем = const, r0 – средний радиус трубы, h – толщина трубы.

Радиус-векторы точки трубы в отсчетной и текущей конфигурациях представляются в следующем виде r = rer + ze z, (2.5.11) R = R (r )er + ze z.

Векторы базиса недеформированной и деформированной среды выразятся уравнениями r1 = er, r2 = re, r3 = e z.

R1 = Rer, R2 = Re, R3 = e z.

Коэффициенты квадратичных форм отсчетной и текущей конфигурации будут задаваться соотношениями g11 = 1, g 22 = r 2, g33 = 1, g ij = 0 (i j, i, j = 1,2,3), (2.5.12) G11 = R2, G22 = R 2, G33 = 2, Gij = 0 (i j, i, j = 1,2,3).

Мера деформации Коши и ее инварианты примут вид R = R er er + 2 e e + 2e z e z, r R I1 = R + 2 + 2, r R2 R2 I 2 = R 2 + R + 2, 2 r r R2 I 3 = R 2.

r В случае несжимаемого материала выполняется равенство I3 = 1 и справедливо уравнение r R =, (2.5.13) R откуда можно получить выражение для функции R(r) 2 R 2 = R2 + (r 2 r2 ), R2 = R(r2 ). (2.5.14) Тензор напряжений Коши для несжимаемого материала можно представить в виде W 1 W T = I I PE. (2.5.15) 1 Здесь W* = W*(I1, I2) – функция потенциальной энергии деформации, P – функция гидростатического давления. Мера деформации Фингера –1 и мера деформации Альманзи задаются соотношениями R = R 2 e r e r + e e + 2e e, r r 1 = 2 er er + 2 e e + 2 e e.

R R Учитывая (2.5.12) и (2.2.8), уравнение (2.5.15) примет вид W 2 W I R I T = 2 P e r er + R 1 W R 2 W r + 2 P e e + I r 2 I (2.5.16) R 1 W 2 W 1 + 2 P e z e z.

I I 2 1 Введем в рассмотрение тензор T* такой, что справедливо выражение T = T PE. (2.5.17) T* Компоненты тензора напряжений с учетом (2.5.13) выразятся соотношениями W 2 R W r, T = 2 I1 R rr I 2 r W R 2 W r = I r 2 I R 2, T (2.5.18) 1 W 2 W I I 2.

Tzz = 2 1 Из уравнений равновесия получим уравнения 1 Trr Trr T 1 P + = 0, R r R r R 1 P = 0, R 1 P = 0.

z Следствием уравнений равновесия является независимость функции гидростатического давления P от координат и z. Из первого уравнения равновесия, учитывая (2.5.16) и (2.5.13), получим Trr = 2 (Trr T ).

r (2.5.19) R r Граничными условиями будут заданные величины давлений на внутренней и внешней сторонах трубы Trr (r1 ) = p1, Trr (r2 ) = p2, (2.5.20) Рассмотрим правую часть уравнения (2.5.19). Из представления компонент тензора напряжений T* (2.5.18) имеем 2 W r R2 r W ( ) r I + I 2 R 2 r 2 R 2 = Trr T = 2 R 2 1 2 (2.5.21) W r R W 4 2 + = 2.

I I 2 2 R 4 r 1 Соотношение (2.5.14) можно представить в виде R 2 = r 2 + c, c = R2 2 r2 2. (2.5.22) Подставляя полученные выражения (2.5.21) и (2.5.22) в уравнение (2.5.19) получим уравнение ( ) W 2 W r r + c Trr 4 I + I = 2. (2.5.23) ( ) r 2 r r +c В случае, когда производные функции потенциальной энергии W относительно инвариантов меры деформации Коши I1, I2 являются постоянными величинами (материал Муни (1.2.3)), решение уравнение (2.5.23) можно получить в явном виде. Интегрируя уравнение (2.5.23) на интервале [r1;

r2] и учитывая граничные условия (2.5.20), получим зависимость между параметрами задачи: давлениями p1 и p2 и геометрическими характеристиками деформированной трубы R2 и. Для материала Муни справедливы выражения W W = c1, = c2. (2.5.23) I1 I Уравнение (2.5.23) примет вид Trr 2c 2r 2 + c ( ) c + c =. (2.5.24) ( ) r r r +c Откуда с учетом граничных условий получаем искомую зависимость r 2r 2 + c (c + c ) 2c p1 p2 = dr.

( ) 1 2 r r +c r Или в явном виде r22 R12 r22 r p1 p2 = (c1 + c2 ) ln 2 2 + 2 2.

1 R r R R 21 2 (2.5.25) 2 R1 = R (r1 ), R 2 = R2 + (r 2 r2 ).

Из уравнения (2.5.24) можно получить выражение для функции гидростатического давления P(r). С помощью соотношений (2.5.17) и (2.5.18) получим уравнение, которое можно проинтегрировать в квадратурах 2r 2 + c (c + c ) 2c P =T dr.

( ) rr 1 2 r r +c В дальнейшем будет рассматриваться случай отсутствия внешнего давления:

p1 = p, p2 = 0.

Из (2.5.25) выводится зависимость радиуса срединной поверхности R(r0) деформированной цилиндрической трубы от внутреннего давления p и коэффициента растяжения.

Радиальную деформацию будем описывать радиусом срединной поверхности, отнесенным к начальному значению R(r0 ) R3 =. (2.5.26) r Сравнение решения задачи 1 с результатами других исследователей Рассмотрим цилиндрическую оболочку круглого сечения постоянной толщины, состоящую из неогуковского материала (1.2.2) (c1 = 1). Длина цилиндра в недеформированном состоянии l = 4, радиус сечения r0 = 1.

Равномерно распределенная нормальная нагрузка отсутствует. Оболочка растягивается на некоторую заданную величину и закреплена по краю так, чтобы радиус оставался постоянным.

В таблице 2.5.1 сравниваются результаты расчетов решения задачи 1 с данными, представленными J. B. Haddow, L. Favre, R. W. Ogden в статье [51].

Решение, предложенное в работе [51], основывается на нахождении верхней и нижней границы функционала энергии из вариационных принципов минимума потенциальной и максимума дополнительной энергии. Решение ищется в виде полиномов для неизвестных функций. Функции формы деформированной оболочки задавались полиномом четвертой степени, компоненты напряжений представлялись полиномиальными выражениями седьмой степени.

В таблице 2.5.1 в первом столбце задано напряжение Био t = W * 1, соответствующее продольному направлению. Для данных величин напряжений построена оценка величин удлинения (второй и третий столбцы). Четвертый и пятый столбцы представляют величины напряжений, рассчитанные из решений задачи 1 для соответствующих удлинений, которые даны во втором и третьем столбцах. Погрешность между полученными напряжениями и данными в статье [51] указана в шестом столбце.

Таблица 2.5.1. Сравнение результатов расчета растяжения цилиндрической оболочки с данными опубликованными в статье [51].

W Погрешность t= l min l max tmin tmax 1 % 1.273 4.996 5.018 1.304 1.329 2.4 – 4. 2.546 6.446 6.500 2.634 2.676 3.3 – 4. 5.093 10.614 10.700 5.240 5.298 2.8 – 3. Результаты Проведем сравнение результатов решения задач 1, 2 и 3.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку из неогуковского материала (1.2.2) (c1 = 1). Размеры оболочки: l = 4, r0 = 1, h = 0.0018.

Пусть оболочка нагружена равномерно распределенной нагрузкой изнутри. Исследуем зависимость радиуса сечения срединной поверхности оболочки в центре цилиндра от величины давления, при постоянном растяжении (рисунок 2.5.2). Для задачи 2 и 3 удлинение будет характеризоваться величиной = 1.262 (2.5.11). Для задачи 1 удлинение будет определяться изменением длины всего цилиндра Z(l) = l, где l – начальная длина цилиндра. Пунктирная линия 2 соответствует решению задачи 2.

Штрихпунктирная линия 3 соответствует расчетам для задачи 3. Сплошная линия 1 соответствует расчетам неоднородного напряженного состояния по теории оболочек задачи 1. Горизонтальная ось соответствует обезразмеренному давлению p*=p/c1. По вертикальной оси отложен обезразмереный радиус деформированной оболочки R* (для задач 1,2,3 это будут величины R1 (2.5.6), R2 (2.5.10), R3 (2.5.26) соответственно).

Рис. 2.5.2. Зависимость радиуса растянутой оболочки от величины внутреннего давления.

В дальнейшем рассматриваем задачу о растяжении цилиндрической оболочки без внутреннего давления. На рисунке 2.5.3 представлен график зависимостей радиуса сечения от удлинений цилиндра. Для задач 2 и удлинение характеризуется параметром. В случае задачи 1 удлинение рассматривается как изменение длины всего цилиндра, отнесенного к начальной длине. По горизонтальной оси отложен обезразмеренный радиус деформированной оболочки R*, по вертикальной оси кратность удлинения A* = = Z(l)/l.

Рис. 2.5.3. Зависимость радиуса растянутой оболочки от коэффициента растяжения.

Сплошная линия 1 соответствует зависимости радиуса от удлинения цилиндра для задачи 1. Пунктирная линия 2 и штрихпунктирная линия совпадают и соответствуют решению задач 2 и 3, т. е. для случаев одноосного растяжения рассчитанному по уравнениям равновесия теории оболочек и уравнениям равновесия трехмерной теории соответственно. Пунктирной линией 4 представлена зависимость радиуса деформированной оболочки от кратности удлинения малого центрального элемента цилиндрической оболочки начальной длины e = 0.03 для задачи 1.

Из рисунка видно, что графики 1 и 4 близки между собой, а линии 2 и совпадают. Графики 2 и 4 близки до величины удлинения цилиндра примерно в 2.5 раза, с дальнейшим ростом удлинения разница между графиками возрастает. Сравнение численных результатов, изображенных на рисунке 2.5.3, дано в таблице 2.5.2.

Таблица 2.5.2. Сравнение удлинения элемента цилиндра к полному его удлинению.

Решение задачи 1 Разность Разность Между между Решение Решение удлинение Радиус столбцами столюцами удлинение задачи 2 задачи 3 центрального 2и4 4и цилиндра элемента % % 1.00 1.000 1.000 1.000 1.000 0.00 0. 0.95 1.108 1.108 1.104 1.108 0.36 0. 0.90 1.235 1.235 1.225 1.237 0.81 1. 0.85 1.384 1.384 1.374 1.394 0.72 1. 0.80 1.563 1.563 1.559 1.585 0.26 1. 0.75 1.778 1.778 1.792 1.821 0.79 1. 0.70 2.041 2.041 2.086 2.119 2.20 1. 0.65 2.367 2.367 2.464 2.491 4.10 1. 0.60 2.778 2.778 2.956 2.978 6.41 0. 0.55 3.306 3.306 3.615 3.633 9.35 0. 0.50 4.000 4.000 4.534 4.546 13.35 0. На рисунке 2.5.4 и в таблице 2.5.3 представлены зависимости растягивающей силы Q* ( Q1 (2.5.5) – сплошная линия 1, Q2 (2.5.9) – пунктирная линия 2) от величины растяжения A* = = Z(l)/l.

Рис. 2.5.4. Зависимость растягивающей нагрузки от удлинения цилиндра.

Сравнение результатов расчета усилий для задач 1 и 2 показывает, что их относительная разность не превышает 8% (таблица 2.5.3).

Таблица 2.5.3. Зависимость растягивающей нагрузки от удлинения цилиндра.

Относительная * Q2 Q A разность % 1.000 0.00000 0.00000 1.103 0.00638 0.00672 5. 1.252 0.01390 0.01491 7. 1.499 0.02383 0.02565 7. 1.990 0.03931 0.04174 6. 2.263 0.04677 0.04927 5. 2.507 0.05311 0.05559 4. 3.013 0.06567 0.06803 3. 3.540 0.07827 0.08048 2. 4.034 0.08986 0.09192 2. 4.534 0.10146 0.10338 1. В тоже время, для больших деформаций для задачи 1 напряжения в оболочке вдоль образующей неоднородны (рисунок 2.5.5). Сплошной линией представлено обезразмеренное напряжение на конце цилиндра, определяемое уравнением G11L T=.

c1 q1 =l Пунктирной линией 3 изображено обезразмеренное напряжение в центральном сечении цилиндра G11L T2 =.

c1 q1 =l Точечной линией 2 показано обезразмеренное напряжение, рассчитанное для задачи 2, по соотношению G11L T=.

c1 q1 =l Рис. 2.5.4. Зависимость напряжения от удлинения цилиндра.

Графики 2 и 3 близки, относительная разность между полученными решениями составляет менее 6% (таблица 2.5.4).

Таблица 2.5.5. Зависимость напряжения от удлинения цилиндра.

Относительная * * * A T3 T2 разность % 1.000 0.00000 0.00000 1.103 0.00106 0.00112 4. 1.252 0.00247 0.00261 5. 1.499 0.00464 0.00485 4. 1.990 0.00882 0.00898 1. 2.263 0.01120 0.01125 0. 2.507 0.01338 0.01332 0. 3.013 0.01814 0.01775 2. 3.540 0.02343 0.02261 3. 4.034 0.02872 0.02739 4. 4.534 0.03438 0.03243 5. Представленные результаты соответствуют цилиндру из неогуковского материала с начальными данными: длина l = 4, радиус r0 = 1, толщина h = 0.0018. Численные расчеты показали, что увеличение длины оболочки приводит к уменьшению влияния условий закрепления и приближению интегральных характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки из задачи 1 к характеристикам напряженно-деформированного состояния оболочки из задачи 2. Так уже при длине l = 6 зависимость между удлинением всего цилиндра и радиусом его центрального сечения для задачи и зависимость удлинение–радиус, полученная из решения задачи 2, имеют относительную разность менее 2%.

Относительная разность между полным удлинением цилиндра и удлинением его малого центрального элемента не превышает 2% и с увеличением начальной длины оболочки уменьшается.

Для зависимости между удлинением и растягивающей нагрузкой относительная разность между решениями задачи 2 и задачи 1 сохраняется в пределах 8%. Уменьшение этой величины не наблюдалось с изменением длины оболочки.

Глава 3. Большие деформации чистого изгиба цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением.

Исследованию изгиба тонкостенных цилиндрических оболочек посвящены работы: [32, 33, 35, 41, 42, 48, 49, 57, 59, 64, 65, 69, 76, 77, 78, 82, 83, 86, 88, 89, 90, 93, 95] и др. Влияние внутреннего давления на деформацию оболочки рассматривается в следующих публикациях [35, 42, 48, 49, 57, 59, 64, 69, 76, 77, 78, 86, 88, 90, 93] и др.

В 1927 году Бразье [41] исследовал неустойчивость тонкостенных труб при изгибе. Он показал, что когда начально несогнутая труба постепенно изгибается, то поперечное сечение трубы принимает овальную форму.

Овализация сечения увеличивается с увеличением кривизны. Это в свою очередь уменьшает момент инерции сечения, а, следовательно, изгибную жесткость мембраны, и приводит к нелинейной зависимости между нагрузкой и деформацией. Более того, Бразье показал, что при строго возрастающей кривизне изгибающий момент имеет точку максимума, которая характеризуется как критический момент потери устойчивости. (В иностранной литературе этот эффект получил название эффект Бразье.) Позже полученные результаты были расширены на случай наличия внешнего или внутреннего давления в работе [93]. Рейсснер в ряде работ [76, 77, 78] исследовал проблему изгиба с помощью вариационных методов. Приближенное решение полученной нелинейной задачи сходилось с результатами исследований [41] и [93]. В дальнейшем было показано, что точное решение нелинейных уравнений Рейсснера имеет расхождение с решением Бразье [48], [35]. Теория, основанная на эффекте Бразье, была развита на анизотропные оболочки, цилиндры конечной длины, армированные оболочки [32, 33, 65, 82, 83] и др. В частности, в работе [82] показано, что для оболочки конечной длины локальное выпучивание почти всегда происходит до достижения предельного момента.

Другой подход к исследованию надувных цилиндрических оболочек был предложен в работе Fitcher [49]. Линеаризованные уравнения равновесия надувных балок [49], полученные из принципа минимума потенциальной энергии в рамках линейной теории упругости, в общем, эквивалентны уравнениям равновесия теории балок Тимошенко. В дальнейших публикациях [64, 86, 88, 89, 90] развивается этот подход на анизотропные и армированные оболочки, теория расширяется на случай конечных поворотов.

В выше перечисленных работах используются гипотезы малых деформаций, а уравнения равновесия линеаризуются. Проблеме нелинейного изгиба цилиндрической оболочки посвящены работы [57, 59, 95].

В работе [57] рассматривается изгиб круговой цилиндрической мембраны из резиноподобного материала, для которой деформация характеризуется малыми удлинениями, полученными от изгиба, наложенными на известное состояние конечной деформации, полученное в результате раздувания оболочки.

В рамках нелинейной теории упругости решение задачи об изгибе цилиндрической оболочки полуобратным методом предложено Л. М. Зубовым в работе [95].

В этой главе рассмотрена нелинейная задача об изгибе гибкой упругой конструкции, которая является своеобразным стержнем со сложным внутренним строением. Этот стержень представляет собой длинную тонкостенную высокоэластичную замкнутую цилиндрическую оболочку, нагруженную внутренним давлением.



Pages:   || 2 |
 


 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.