авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

А. П. С т а х о в (Канада), С. Х. А р а н с о н (США)

«ЗОЛОТАЯ» ФИБОНАЧЧИЕВАЯ ГОНИОМЕТРИЯ, ЧЕТВЁРТАЯ ПРОБЛЕМА

ГИЛЬБЕРТА, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИБОНАЧЧИ-ЛОРЕНЦА И «ЗОЛОТАЯ»

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Статья посвящается светлой памяти

выдающегося математика современности

академика Митропольского Юрия Алексеевича.

Авторы Содержание Предисловие 1. Введение 1.1. V-й постулат Евклида и геометрия Лобачевского 1.2. Геометрия Лобачевского и гиперболические функции 1.3.Четвертая проблема Гильберта 1.4. Cпециальная теория относительности Эйнштейна, преобразования Лоренца, и геометрия Минковского 1.5. Золотое сечение и формулы Бине ЧАСТЬ I. «ЗОЛОТАЯ» ФИБОНАЧЧИЕВАЯ ГОНИОМЕТРИЯ 2. числа Фибоначчи и металлические пропорции 2.1. числа Фибоначчи 2.2. Металлические пропорции 3. «Золотая» -гониометрия Фибоначчи 3.1. Формулы Газале для -чисел Фибоначчи и Люка 3.2. Определение гиперболических -функций Фибоначчи и Люка 3.3. Графики гиперболических -функций Фибоначчи и Люка 3.4. Частные случаи гиперболических - функций Фибоначчи и Люка 3.5. Важнейшие формулы для «золотой» -гониометрии Фибоначчи 4.«Золотые» матрицы 4.1. Q-матрица 4. 2. «Золотые» матрицы Часть II. 4-ая ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА 5. «Золотая» фибоначчиевая -гониометрия и 4-ая проблема Гильберта 5.1. «Золотые» метрические -формы плоскости Лобачевского 5.2. Частные случаи метрических -форм плоскости Лобачевского 6. Геодезические линии и другие геометрические объекты метрических -форм плоскости Лобачевского 7. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского на единичном диске 7.1. Геодезические линии и углы пересечения геодезических линий в модели Пуанкаре 7.2. Связь между моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на единичном диске и «золотыми» -моделями плоскости Лобачевского Часть III. Преобразования Фибоначчи-Лоренца и «золотая» интерпретация специальной теории относительности 8. Преобразования Лоренца 9. Современные представления о скорости света в вакууме и роли фактора самоорганизации в эволюции Вселенной 9.1. Скорость света материальной Вселенной уменьшается в процессе её эволюции 9.2. О самоорганизации Вселенных с противоположным течением времени 9.3. Роль золотой пропорции и Платоновых тел в современной науке 9.4. Основные гипотезы исследования 10. Двумерные преобразования Фибоначчи-Лоренца 10.1. Собственные двумерные преобразования Фибоначчи-Лоренца 10.2. Космологическая интерпретация 10.3. Нормированная относительная фибоначчиевая скорость 10.4. Метрическая форма 11. Число 12. Основные результаты исследования Литература Предисловие Статья посвящена изложению новых результатов в области математики и теоретической физики. Первый результат – это «золотая» фибоначчиевая -гониометрия ( 0 - любое положительное число), которая задает бесконечное множество новых гиперболических функций, основаниями которых являются металлические пропорции, в частности, золотая пропорция при = 1.

Второй результат состоит в построении на основе «золотой» фибоначчиевой гониометрии бесконечного множества изометричных моделей плоскости Лобачевского, что имеет непосредственное отношение к четвёртой проблеме Гильберта.

Третий результат состоит в развитии нового подхода к специальной теории относительности (СТО), основанного на преобразованиях Фибоначчи-Лоренца, являющихся обобщением преобразований Лоренца.

На основе этого подхода авторами предложена «золотая» космологическая модель эволюции Мироздания с момента сингулярности пространства- времени - «Большого Взрыва» (время Т равно нулю) как в положительную сторону увеличения времени Т (рождение «белой дыры», внутри которой начала развиваться наша материальная Вселенная), так и с поворотом стрелы времени - увеличению времени Т в отрицательную сторону (рождение «чёрной дыры», являющейся временной противоположностью белой дыры, при этом внутри чёрной дыры начала развиваться Вселенная, состоящая из антиматерии ). Наша модель состоит в том, что в процессе эволюции материальной Вселенной (при увеличении времени Т в положительном направлении) было две «бифуркации».

Первая бифуркация соответствует «Большому Взрыву», а вторая – к переходу Вселенной от «Темных Веков» к «Светлому Периоду», когда возникает свет и первые звезды, освещающие Вселенную. Скорость света с сразу после этой второй бифуркации является очень большой, значительно превышающей ее современное значение. По мере эволюции Вселенной скорость света с начинает быстро убывать и затем при дальнейшем увеличении времени Т в положительном направлении скорость света с медленно (как бы «замораживаясь») стремится к предельному значению 300 000 [км.сек –1].

Что касается эволюции Вселенной, состоящей из антиматерии, наша модель состоит в том, что для неё кроме вышеуказанной бифуркации, то есть «Большого Взрыва» (время Т =0), больше бифуркаций не было. Далее при T отрицательном, но близким к нулю, скорость света с также была близка к нулю. Затем по мере эволюции этой Вселенной (то есть при дальнейшем увеличении времени Т в отрицательном направлении) скорость света с возрастает и затем при дальнейшем увеличении времени в отрицательном направлении скорость света с медленно стремится снизу к предельному значению [км • сек ], где - «золотое сечение».

– В статье также обсуждается естественно возникающая в нашей модели «Вселенская константа» - число 137 и связанная с этим числом важнейшая безразмерная физическая константа - «постоянная тонкой структуры» 1/ 137, характеризующая физические свойства нашего мира в целом. В 1955 году российский физик Лев Давидович Ландау (1908-1968) высказал предположение, что может меняться в зависимости от времени, при этом эти изменения не могут быть очень большими, иначе они бы «всплыли» в сравнительно простых экспериментах.

Авторами данной статьи предложена формула зависимости «постоянной тонкой структуры» от времени Т, отсчитываемое от момента «Большого Взрыва» (Т=0) для любого Т как большего, так и меньшего нуля.

1. Введение 1.1. V-й постулат Евклида и геометрия Лобачевского 23 февраля 1826 года российский математик Николай Лобачевский (1792 -1856) на заседании физико-математического факультета Казанского университета провозгласил о создании новой геометрии, названной им «воображаемой геометрией». Эта геометрия была основана на тех же традиционных постулатах и аксиомах геометрии, как и у Евклида (330-275 гг. до н. э.), но с заменой его V-го постулата о параллельных на новый V-ый постулат о параллельных (аксиома параллельности Лобачевского).

Впервые свою новую геометрию Н.И. Лобачевский опубликовал в 1829 году в работе О началах геометрии в журнале «Казанский вестник».

Белая дыра –физический объект, возникающий из сингулярности пространства- времени, в область которой ничего не может войти. Белая дыра является временной противоположностью чёрной дыры, из области которой (внутренности сферы Шварцшильда) ничего не может выйти (по материалам из Википедии -свободной энциклопедии). Первым, кто высказал сомнение о том, что время Т должно течь только в одном направлении (в сторону увеличения в положительном направлении) был сам Альберт Эйнштейн (1879-1955), поскольку уравнения общей теории относительности (ОТО) инвариантны относительно замены Т на «минус» Т. В 70-х годах прошлого века в Санкт-Петербургском физико-техническом институте имени Иоффе был дан ответ на то, что физические объекты, для которых время Т течёт в отрицательном направлении, должны состоять из антиматерии, в противоположность тому, что для материальных физических объектов время Т может течь только в положительном направлении.

Независимо от Лобачевского к подобным идеям пришёл венгерский математик Янош Больяи (1802-1860), опубликовавший свою работу Appendix... на три года позже Лобачевского (1832), и выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777 1855), у которого после его смерти были найдены отдельные неопубликованные наброски начальных положений неевклидовой геометрии.

Полное признание и широкое распространение геометрия Лобачевского получила через 12 лет после его смерти, когда стало понятно, что научная теория, построенная на базе некоторой системы аксиом, считается только тогда полностью завершённой, когда эта система аксиом удовлетворяет трём условиям: независимости, непротиворечивости и полноты. Именно этим свойствам и удовлетворяет геометрия Лобачевского. Окончательно это стало ясно, когда в 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835-1900) в своём мемуаре «Опыт толкования неевклидовой геометрии» показал, что в евклидовом пространстве R3 на псевдосферических поверхностях имеет место геометрия куска плоскости Лобачевского, если на них за прямые принять геодезические линии.

Далее немецкий математик Феликс Христиан Клейн (1849-1925) и французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912) строго доказали непротиворечивость неевклидовой геометрии, построив соответствующие модели плоскости Лобачевского.

Истолкование геометрии Лобачевского на поверхностях евклидова пространства решающим образом способствовало общему признанию идей Лобачевского.

Итогом такого неевклидового подхода явилось создание Георгом Фридрихом Бернхардом Риманом (1826-1866) римановой геометрии, развившей учение о пространстве, понятие расстояния между элементами многообразия и учение о кривизне.

Введение обобщённых римановых пространств, частными случаями которых являются пространства Евклида и Лобачевского и так называемой геометрии Римана, открыло новые пути в развитии геометрии и нашли применение в физике (теория относительности) и других разделах естествознания.

1.2. Геометрия Лобачевского и гиперболические функции Геометрию Лобачевского называют также гиперболической на том основании, что для описания математических соотношений данной геометрии используются гиперболические функции e x e x e x + e x sh( x ) =, ch( x ) =, (1) 2 введенные в 18-м веке итальянским математиком Винценто Рикатти (1707-1775), где e 2.71828 – число Непера, являющееся основанием натуральных логарифмов, разработанных Джоном Непером (1550-1617) и Иостом Бюрги (1552—1632).

Геометрическая теория логарифмов, основанная на геометрических свойствах площадей гиперболы, изложена в работе [1]. Как подчеркивается в [1], «из геометрических рассмотрений, связанных с площадями, мы неожиданно пришли к логарифмам. При этом основание системы логарифмов равно некоторому определенному числу е, а не произвольно, как это имеет место при обычном введении логарифмов. Это обстоятельство проливает свет на то, почему создатели теории логарифмов Непер и Бюрги независимо друг от друга пришли к логарифмам по одному и тому же основанию е». Далее в [1] геометрическая теория натуральных логарифмов используется для вывода аналитических выражений (1), задающих гиперболические функции.

Основным же недостатком аксиоматики Евклида, с современной точки зрения, следует считать её неполноту – здесь нет аксиом непрерывности, движения и порядка. В дальнейшем эти недостатки были устранены немецким математиком Давидом Гильбертом (1862-1943 ) в его книге «Основания геометрии»

(1899).

Перечислим наиболее известные классические изометричные (сохраняющие расстояние между точками) интерпретации плоскости Лобачевского, имеющую гауссову кривизну K = 1 :

- интерпретация Бельтрами на диске;

- интерпретация Бельтрами гиперболической геометрии на псевдосфере;

- евклидова модель Кэли-Клейна;

- проективная модель Кэли Клейна;

- интерпретация Пуанкаре на полуплоскости;

- интерпретация Пуанкаре внутри круга;

- интерпретация Пуанкаре на гиперболоиде.

В частности, классическая модель плоскости Лобачевского в псевдосферических координатах (u,v), 0 u +, - v+, имеющей гауссову кривизну K = (интерпретация Бельтрами гиперболической геометрии на псевдосфере), имеет вид:

( ds )2 = ( du )2 + sh 2 ( u )( dv )2 (2) где ds – элемент длины, sh ( u ) - гиперболический синус. Как вытекает из (2), определяющую роль в плоскости Лобачевского играет гиперболический синус.

1.3.Четвертая проблема Гильберта В докладе «Математические проблемы», сделанном на II Международном Конгрессе математиков, происходившем в Париже с 6 по 12 августа 1900 года, Давид Гильберт (1862-1943) сформулировал свои знаменитые 23 математические проблемы, которые в значительной степени определили развитие математики 20-го века. Этот доклад, охватывающий проблемы математики в целом, был несколько раз опубликован в подлиннике и в переводах и является уникальным явлением в истории математики и в математической литературе.

Русский перевод доклада Давида Гильберта и комментарии к нему даны в работе [2]. 4-ая проблема Гильберта названа им «ПРОБЛЕМОЙ О ПРЯМОЙ КАК КРАТЧАЙШЕМ СОЕДИНЕНИИ ДВУХ ТОЧЕК». Как подчеркивается в Wikipedia [3], "в математике, 4-я проблема Гильберта относится к разряду фундаментальных проблем геометрии. В ее формулировке, полученной из оригинала, суть проблемы состоит в нахождении геометрий, чьи аксиомы наиболее близки к Евклидовой геометрии, если при этом сохраняются аксиомы порядка и инцидентности, аксиома конгруэнтности ослаблена, и аксиома о параллельных опущена».

Отметим, что у самого Гильберта в его докладе априори (или даже явно) предполагается возможность замены аксиомы Евклида о параллельных (ибо она опущена) другими аксиомами. Поэтому Гильберт в качестве геометрий, наиболее близких к евклидовой геометрии, называет геометрию Лобачевского (гиперболическую геометрию) и геометрию Римана (эллиптическую геометрию). Саму же 4-ю проблему Гильберт формулирует так: «Более общий вопрос, возникающий при этом, заключается в следующем: возможно ли ещё с других плодотворных точек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли бы считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии».

В математической литературе 4-я проблема Гильберта иногда считается сформулированной в весьма расплывчатой форме, что затрудняет ее окончательное решение. Как подчеркивается в [3], «оригинальная формулировка 4-й проблемы Гильберта является весьма расплывчатой для получения определенного ответа». В работе [4] американский геометр Герберт Буземан проанализировал весь комплекс вопросов, связанных с 4-й проблемой Гильберта, и также пришел к заключению, что эти вопросы являются излишне широкими. В этой связи следует отметить также книгу [5], посвященную частному решению 4-й проблемы Гильберта.

Несмотря на критическое отношение математиков к 4-й проблеме Гильберта, необходимо подчеркнуть ее чрезвычайную важность для развития математики, в частности, геометрии. Без всякого сомнения, интуиция Гильберта привела его к выводу, что геометрии Лобачевского, Римана и другие неевклидовые геометрии не исчерпывают все возможные варианты возможных неевклидовых геометрий. 4-я проблема Гильберта нацеливает исследователей на поиск новых неевклидовых геометрий, которые являются ближайшими геометриями к обыкновенной евклидовой геометрии.

1.4. Cпециальная теория относительности Эйнштейна, преобразования Лоренца, и геометрия Минковского Наиболее широкое применение неевклидовые геометрии получили в теоретической физике. В 2005 г. произошло замечательное событие: исполнилось сто лет со дня опубликования в 1905 году Альбертом Эйнштейном (1879-1955) его специальной теории относительности (СТО). С момента появления этой теории и до настоящего времени не прекращается критика СТО и споры относительно её научного статуса. С одной стороны, критики неопровержимо доказывают несостоятельность СТО. С другой стороны, апологеты СТО c не меньшим упорством защищают эту теорию, обвиняя своих оппонентов в некомпетентности. Обе стороны приводят свои неотразимые аргументы.

СТО основывается на двух принципах: принцип относительности и принцип независимости скорости света в пустоте от скорости источника. Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены другими преобразованиями.

Преобразования Лоренца, используемые в СТО, — это преобразования, которым подвергаются галилеевы координаты события (x, y, z, t) при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) К - к другой ИСО К, движущейся относительно ИСО К с постоянной скоростью V. Преобразования названы в честь их первооткрывателя — нидерландского физика Х. А. Лоренца (1853–1928), который вывел их, чтобы устранить противоречия между электродинамикой Максвелла и механикой Ньютона. Преобразования Лоренца были впервые опубликованы в 1904 г., но в то время их форма была несовершенна. К современному, полностью самосогласованному виду их привёл французский математик А. Пуанкаре (1854-1912).

В 1908 г., то есть спустя три года после обнародования СТО, немецкий математик Герман Минковский (1864-1909) дал оригинальную геометрическую интерпретацию преобразований Лоренца. В пространстве Минковского геометрически связь между двумя ИСО К и К устанавливаются с помощью гиперболического поворота – движения, аналогичного обычному повороту декартовой системы в евклидовом пространстве. При этом координаты x и t в ИСО К оказываются связанными с координатами точек x и t в ИСО К с помощью гиперболических функций (1). Таким образом, в геометрии Минковского преобразования Лоренца – не что иное, как выраженные в терминах физики зависимости гиперболической тригонометрии. То есть, геометрия Минковского является гиперболической интерпретацией СТО и поэтому она знаменует революционный прорыв геометрических представлений в физике, выход на качественно новый уровень взаимоотношений физики и геометрии.

Как известно, основной спор, касающийся СТО, в основном, идёт относительно второго принципа, то есть зависит или не зависит скорость света в вакууме от скорости источника света. В этом плане могут представить теоретический интерес работы С.Х.

Арансона и Е.В. Жужомы [6-8], в которых в ситуации классической СТО в качестве пространства-времени рассматривался двумерный тор, что вызвало квантование света и наложило жёсткие условия на арифметические свойства скоростей света и их спектров из допустимых относительных скоростей источников света.

1.5. Золотое сечение и формулы Бине Как известно, Начала Евклида являются источником огромного количества математических идей (аксиоматический подход, V-й постулат Евклида, теория чисел, теория иррациональностей и др.), которые фундаментально повлияли на развитие математики. Кроме V-го постулата Евклида, в числе других математических результатов фундаментального характера из Начал Евклида к нам пришла еще одна задача, значение которой для развития математики и новых физических представлений в настоящее время пока еще до конца не осознано.

Речь идет о задаче о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, сформулированной Евклидом в Теореме II.11. В современной науке эта задача более широко известна как золотое сечение [9, 10]. Задача сводится к делению отрезка на две неравные части в такой пропорции, чтобы отношение большей части к меньшей равнялось бы отношению всего отрезка к большей части. Задача сводится к решению простейшего алгебраического уравнения x2 x 1 = 0 (3) Положительный корень уравнения (3) 1+ = (4) есть ни что иное, как знаменитое иррациональное число, имеющее много замечательных названий: золотое число, золотая пропорция, божественная пропорция и т.д.

Алгебраическое уравнение (3) и золотая пропорция (4) тесно связаны с двумя числовыми последовательностями – числами Фибоначчи Fn, задаваемыми рекуррентным соотношением:

Fn= Fn-1+Fn-2;

F0=0, F1=1, (5) и числами Люка Ln, задаваемыми рекуррентным соотношением:

Ln= Ln-1+Ln-2;

L0=2, F1=1, (6) где n=0,±1,±2,±3, ….

Любые три соседние числа Фибоначчи Fn-1, Fn, Fn+1 (n=0,±1,±2,±3, …) связаны между собой уникальным математическим тождеством:

n + Fn2 Fn1Fn+1 = (1). (7) Формула (7) называется формулой Кассини в честь французского астронома Джовани Кассини (1625-1712), который впервые вывел это тождество.

Заметим, что в течение нескольких тысячелетий задача о золотом сечении была предметом восторженного внимания со стороны выдающихся ученых и математиков, включая Пифагора, Платона, Евклида, Леонардо да Винчи, Луки Пачоли, Иоганна Кеплера и др. В 20-м веке было привлечено внимание к уникальному свойству золотой пропорции, которые выделяют её среди других иррациональных чисел. Например, в работах А.Я. Хинчина [11] и Н.Н. Воробьева [9] доказано, что главная особенность золотой пропорции (4) состоит в том, что среди всех иррациональных чисел она хуже всех аппроксимируется рациональными дробями.

Известно, что золотую пропорцию (4) можно представить в виде непрерывной дроби:

= 1+ (8) 1+ 1+ 1 +...

Если мы будем аппроксимировать золотую пропорцию, представленную в виде (8), подходящими дробями m / n, то мы придём к числовой последовательности, состоящей из отношений соседних чисел Фибоначчи:

1+ F 1 2 3 5 8 13,,,,,,,... = lim n =. (9) 1 1 2 3 5 8 13 n F n Но эта последовательность чисел выражает ни что иное, как знаменитый закон филлотаксиса [12], в соответствии с которым Природа конструирует сосновые шишки, ананасы, кактусы, головки подсолнечников и другие ботанические объекты. Другими словами, Природа использует уникальное математическое свойство золотой пропорции, задаваемое (8), (9), в своих замечательных конструкциях!

Явление филлотаксиса известно в науке со времен Кеплера. Считается, что именно Иоганн Кеплер установил соотношение (9), задающее связь чисел Фибоначчи с золотой пропорцией. С тех пор формула (9) называется формулой Кеплера.

В 19-м столетии французский математик Жак Бине (1786-1856) вывел еще две замечательные формулы, связывающие числа Фибоначчи и Люка с золотой пропорцией:

n (1)n n Ln = n + (1)n n Fn = ;

(10) Заметим, что эти формулы были открыты Абрахамом де Муавром (1667-1754) и Николаем Бернулли (1687-1759) на одно столетие раньше Жака Бине. Однако в современной математической литературе эти формулы называются формулами Бине.

К сожалению, формулы (10) не были оценены по достоинству математиками 19-го и 20-го века, хотя в этих формулах содержался намек на важное математическое открытие – гиперболические функции Фибоначчи и Люка.

В 1984 г. Алексей Стахов опубликовал книгу Коды золотой пропорции» [13], в которой формулы Бине (10) были представлены в виде, который ранее не использовался в математической литературе:

n + n для четных n = 2k Ln = n (11) n для нечетных n = 2k + n + n для нечетных n = 2k + Fn = n, (12) n для четных n = 2k где - золотая пропорция (4).

Сходство формул Бине, представленных в виде (11), (12), с гиперболическими функциями (1) настолько поразительно, что формулы (11), (12) можно считать прообразом нового класса гиперболических функций, основанных на золотой пропорции, то есть, Алексей Стахов еще в 1984 г. [13] предвосхитил введение нового класса гиперболических функций – гиперболических функций Фибоначчи и Люка.

Разработка новой теории гиперболических функций, основанных на формулах Бине (11), (12), была выполнена украинскими математиками Алексеем Стаховым, Иваном Ткаченко и Борисом Розиным [14-16]. Независимо от них к этим же идеям пришел украинский исследователь Олег Боднар, который в книге [12] ввел так называемые «золотые» гиперболические функции, которые отличаются от гиперболических функций Фибоначчи и Люка только постоянными коэффициентами. Используя новый класс гиперболических функций, Боднар создал оригинальную геометрическую теорию филлотаксиса, в которой показал, что геометрия филлотаксиса является неевклидовой геометрией, основанной не на классических гиперболических функциях, а на «золотых»

гиперболических функциях. Основная отличительная особенность новых гиперболических функций, введенных в работах [14-16], состоит в том, что их основанием является не трансцендентное число Непера е, а алгебраическое число - золотая пропорция.

Таким образом, в работах [12,14-16] сделан прорыв «гиперболических представлений» в теоретическом естествознании. В этих работах введен новый класс гиперболических функций, основанных на золотой пропорции [14-16], и показано [12], что эти функции являются «естественными» функциями Природы, которые обнаруживают себя в ботаническом явлении филлотаксиса (сосновые шишки, кактусы, ананасы, головки подсолнечников, корзинки цветов и т.д.) и других явлениях и структурах Природы.

Самым главным результатом этих исследований является осознание той важной роли, которую золотая пропорция играет в структурах Природы.

Очевидно, что золотая пропорция и связанные с ней числа Фибоначчи и Люка выражают некоторую «скрытую гармонию» Природы, суть которой состоит в гиперболическом характере Природы. Таким образом, обнаружение золотой пропорции или чисел Фибоначчи в том или ином природном явлении является индикатором того, что геометрическая природа этого явления является гиперболической.

Уместно отметить, что идеи создания новых гиперболических функций активно поддерживались академиком Юрием Алексеевичем Митропольским (1917-2008) и первая в истории науки статья на эту тему «Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи»

[14] была опубликована в Докладах академии наук Украины в 1993 г. по рекомендации академика Митропольского.

Дальнейшее развитие теории «золотых» гиперболических функций дано в работе [17], в которой введены так называемые гиперболические функции Фибоначчи и Люка ( 0 - любое положительное число). Основанием для этих функций являются так называемые металлические пропорции – новые математические константы, введенные аргентинским математиком Верой Шпинадель [18], Мидхатом Газале [19] и другими исследователями (в частности, российским исследователем Александром Татаренко) независимо друг от друга.

Успех «золотых» гиперболических функций в раскрытии «загадки филлотаксиса»

(«геометрия Боднара») [12] натолкнул на мысль рассмотреть некоторые фундаментальные математические проблемы и физические концепции, связанные с «гиперболическими представлениями», с точки зрения «золотых» гиперболических функций, введенных в [14-17].

Пожалуй, наиболее важными из таких проблем и концепций, рассмотренных авторами данной статьи Алексеем Стаховым и Самуилом Арансоном, является их вклад в решение 4-й проблемы Гильберта, имеющей прямое отношение к гиперболической геометрии, и новый взгляд на преобразования Лоренца, которые лежат в основе СТО.

Настоящая статья преследует следующие цели:

1. Первая цель состоит в развитии так называемой «золотой» фибоначчиевой гониометрии, вытекающей из работы [17].

2. Вторая цель состоит в том, чтобы внести свою лепту в решение 4-й проблемы Гильберта, основываясь на «золотой» фибоначчиевой гониометрии.

3. Третья цель состоит в том, чтобы на основе симметричных гиперболических функций Фибоначчи и «золотых матрицах» [13,14,19], ввести и исследовать новый класс преобразований, названный авторами преобразованиями Фибоначчи-Лоренца, обобщающих классические преобразования Лоренца, и с помощью этих новых преобразований дать «золотую» интерпретацию СТО.

4. Четвертая цель состоит в том, чтобы обсудить некоторые новые космологические эффекты, вытекающие из «золотой» СТО, то есть дать «золотую»

интерпретацию эволюции Вселенной с момента сингулярности пространства-времени - «Большого Взрыва» как при увеличении времени, так и при обращении стрелы времени.

5. Пятая цель касается числа 137 – Вселенской константы, которой приписываются множество странных физических зависимостей и магических свойств. В нашем исследовании, основываясь на новом подходе к специальной теории относительности, основанной на преобразованиях Фибоначчи-Лоренца и современных данных Космологии, мы получили, что введённый нами безразмерный параметр самоорганизации и время T [млн. лет], отсчитываемое от момента Большого Взрыва T (T=0 ) с учётом периода «Тёмных Веков» (200 млн. лет), связаны соотношением: =, a где a=100 [млн. лет].

В такой трактовке параметр самоорганизации можно считать безразмерным временем, отчитываемым от момента Большого Взрыва. Поскольку по уточнённым данным Космологии, от момента Большого Взрыва по настоящее время существования Вселенной прошло Tнаст [млн. лет ] 13700 [млн. лет ], то = = 137.

С числом 137 связана важнейшая безразмерная физическая константа «постоянная тонкой структуры» 1/137, характеризующая физические свойства нашего мира в целом. Однако, как показали современные астрофизические наблюдения, изменяется с возрастом Вселенной Мы предложили формулу зависимости «постоянной тонкой структуры» от времени Т, отсчитываемое от момента «Большого Взрыва» (Т=0) для любого Т как большего, так и меньшего нуля. Расчёты по этой формуле как качественно, так и количественно, согласуются с этими астрофизическими наблюдениями.

Заметим, что впервые сформулированные выше идеи были изложены авторами в электронной публикации [20].

ЧАСТЬ I. «ЗОЛОТАЯ» ФИБОНАЧЧИЕВАЯ ГОНИОМЕТРИЯ 2. числа Фибоначчи и металлические пропорции 2.1. числа Фибоначчи Зададимся положительным числом 0 и рассмотрим следующее рекуррентное соотношение:

F ( n + 2) = F ( n + 1) + F ( n ) ;

F ( 0) = 0, F (1) = 1. (13) Заметим, что для случая = 1 рекуррентное соотношение (13) сводится к рекуррентному соотношению (5), задающему классические числа Фибоначчи. Основываясь на этой аналогии, числовые последовательности, генерируемые рекуррентным соотношением (13), были названы в [17] -числами Фибоначчи. Поскольку каждое число генерирует свою собственную последовательность типа (13), то это означает, что множество новых рекуррентных числовых последовательностей, задаваемых (13), бесконечно.

2.2. Металлические пропорции Представим рекуррентное соотношение (13) в виде:

F (n + 2) 1. (14) = + F (n + 1) F (n + 1) F (n) При n ± выражение (14) сводится к квадратному уравнению x 2 x 1 = 0. (15) Уравнение (15) имеет два корня:

+ 4 + 2 4 + x1 = и x2 =. (16) 2 Обозначим через положительный корень x1 и рассмотрим новый класс математических констант, задаваемых следующей формулой:

+ 4 + =. (17) Заметим, что для случая = 1 формула (17) принимает форму (4), задающую классическую золотую пропорцию.

Аргентинский математик Вера Шпинадель [18] назвала математические константы, задаваемые выражением (17), металлическими пропорциями. Если в (17) мы примем =1, 2, 3, 4, тогда мы получим следующие математические константы, имеющие согласно Шпинадель следующие названия:

1+ ( золотая пропорция, = 1) ;

2 = 1 + 2 ( серебряная пропорция, = 2) ;

1 = 3 + ( бронзовая пропорция, = 3) ;

4 = 2 + 5 ( медная пропорция, = 4).

3 = Остальные металлические пропорции ( 5 ) не имеют специальных названий:

5 + 29 7 + 2 5 = ;

6 = 3 + 2 10;

7 = ;

8 = 4 + 17...

2 Нетрудно доказать [17], что корень x2 может быть выражен через металлическую пропорцию (17) следующим образом:

4 + x2 = =. (18) Используя алгебраическое уравнение (15), легко доказать [17] следующие замечательные свойства металлических пропорций (17):

= 1 + 1 + 1 +... ;

= + (19) + + +...

Заметим, что эти соотношения являются обобщением аналогичных свойств для классической золотой пропорции ( = 1 ).

3. «Золотая» -гониометрия Фибоначчи 3.1. Формулы Газале для -чисел Фибоначчи и Люка Используя металлические пропорции (17), Мидхат Газале в книге [19] вывел следующую формулу, которая задает -числа Фибоначчи (13) в аналитическом виде:

(1)n n n F (n) =, (20) 4 + где n=0,±1,±2,±3,… В работе [17] выведена подобная аналитическая формула для -чисел Люка:

L (n) = + (1)n n, n (21) где n=0,±1,±2,±3,… Формулы (20) и (21) названы в [17] формулами Газале в честь Мидхата Газале, который, как упоминалось, впервые вывел формулу (20) в книге [19]. Заметим, что для случая = 1 формулы Газале (20) и (21) сводятся к формулам Бине (10).

Как показано в [17], -числа Люка (21) могут быть также заданы с помощью следующей рекуррентной формулы:

L (n) = L (n 1) + L (n 2);

L (0) = 2, L (1) =. (22) Заметим, что -числа Люка (22) для случая = 1 сводятся к классическим числа Люка (6).

Представим формулы Газале (20) и (21) для отрицательных значений n в виде:

n ( 1) n n F ( n) = (23) 4 + L (n) = n + (1) n.

n (24) Сравнивая попарно формулы (20) и (23), а затем формулы (21) и (24) для четных (n=2k) и нечетных (n=2k+1) значений n, мы приходим к следующему заключению:

F ( 2k ) = F ( 2k ) и F ( 2k + 1) = F ( 2k 1) (25) и L ( 2k ) = L ( 2k ) и L ( 2k + 1) = L ( 2k 1). (26) Это означает, что для заданного положительного числа 0 последовательность -чисел Фибоначчи (13) в бесконечном диапазоне n=0, ±1, ±2, ±3, … является симметричной относительно -числа Фибоначчи F ( 0) = 0. При этом необходимо учитывать, что -числа Фибоначчи F ( 2k ) и F ( 2k ) противоположны по знаку.

мы можем сделать и для -чисел Люка, то есть Подобный вывод последовательность -чисел Люка (22) в бесконечном диапазоне n=0, ±1, ±2, ±3, … также является симметричной относительно -числа Люка L ( 0) = 2. При этом также необходимо учитывать, что -числа Люка L ( 2k + 1) и L ( 2k 1) противоположны по знаку.

Заметим, что для случая = 2 формулы Газале (20) и (21) генерируют числовые последовательности, известные как числа Пелли и числа Пелли-Люка, соответственно.

Несложно вывести следующее тождество для -чисел Фибоначчи F2 (n) F (n 1)F (n + 1) = (1)n +1. (27) Заметим, что формула (27) является обобщением классической формулы Кассини (7), к которой формула (27) сводится при = 1.

3.2. Определение гиперболических -функций Фибоначчи и Люка Формулы Газале (20) и (21) являются исходными для определения нового класса гиперболических функций – гиперболических -функций Фибоначчи и Люка, введенных в [17]. Рассмотрим эти функции.

Гиперболический -синус и -косинус Фибоначчи x x 2 x + 4 + + 4 +, x sF ( x ) = = (28) 4 + 2 2 4 + 2 x + 4 + x + 4 + + x x.

cF ( x ) = = + (29) 4 + 2 2 4 + 2 Гиперболический -синус и -косинус Люка x x + 4 + 2 + 4 + sL ( x ) = x = x, (30) 2 x x + 4 + 2 + 4 + cL ( x ) = + x = + x, (31) 2 где x – непрерывная переменная и 0 - любое положительное число.

-числа Фибоначчи и Люка определяются через гиперболические функции Фибоначчи и Люка следующим образом:

n = 2k n = 2k sF (n), cL (n), F (n) = L (n) = ;

. (32) cF (n), n = 2k + 1 sL (n), n = 2k + Нетрудно видеть, что функции (28)-(31) связаны простыми соотношениями:

sL ( x ) cL ( x ) sF ( x ) = cF ( x ) = ;

. (33) 4+ 4 + Это означает что функции (28) и (29) совпадают с функциями (30) и (31) с точностью до постоянного коэффициента.

4 + Заметим, что для случая = 1 гиперболические -функции Фибоначчи и Люка (28)-(31) сводятся к следующим симметричным гиперболическим функциям Фибоначчи и Люка, введённым в работе [15]:

Симметричный гиперболический синус и косинус Фибоначчи x x x + x sFs ( x ) = cFs ( x ) = ;

. (34) 5 Симметричный гиперболический синус и косинус Люка sLs ( x ) = x x ;

cLs ( x ) = x + x, (35) 1+ где = - золотая пропорция.

3.3. Графики гиперболических -функций Фибоначчи и Люка Рассмотрим графики симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка, приведенные в работе [15] (Рис. 1).

Y y=cLs(x) Y y=cFs(x) 0 O y=sFs(x) y=sLs(x) (a) (b) Рисунок 1. Графики симметричных гиперболических функций Фибоначчи (a) и Люка (b) Графики гиперболических функций Фибоначчи и Люка имеют форму, аналогичную симметричным гиперболическим функциям Фибоначчи и Люка. Отличие состоит в том, что в точке x=0, гиперболический -косинус Фибоначчи (29) принимает значение cF (0) =, а гиперболический -косинус Люка (31) принимает значение 4 + cL ( 0) = 2.

Важно также подчеркнуть, что -числа Фибоначчи F ( n ) с четными значениями n = 0, ±2, ±4, ±6, … «вписываются» в график гиперболического -синуса Фибоначчи sF ( x ) в точках x = 0, ±2, ±4, ±6, …, в то же время -числа Фибоначчи F ( n ) с нечетными значениями n = ±1, ±3, ±5, … «вписываются» в график гиперболического косинуса Фибоначчи sF ( x ) в точках x = ±1, ±3, ±5 …. (Рис. 1-а).

С другой стороны, -числа Люка L ( n ) с четными значениями n «вписываются» в график гиперболического -косинуса Люка cL ( x ) в точках x = 0, ±2, ±4, ±6 …, и числа Люка L ( n ) с нечетными значениями n «вписываются» в график гиперболического -синуса Люка sL ( x ) в точках x = ±1, ±3, ±5 …. (Рис. 1-b).

По аналогии с симметричными гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка [15], мы можем ввести другие виды гиперболических -функций Фибоначчи и Люка, в частности, гиперболические -тангенсы, котангенсы, секансы и косекансы и т.д.

3.4. Частные случаи гиперболических - функций Фибоначчи и Люка Формулы (28)-(31) задают бесконечное множество различных гиперболических функций, поскольку каждое число 0 генерирует свой собственный вариант гиперболических -функций Фибоначчи и Люка типа (28)-(31).

-функций Рассмотрим характерные случаи гиперболических (28)-(31), соответствующих различным значениям.

Для случая = 1 золотая пропорция (4) является основанием гиперболических 1 функций Фибоначчи и Люка, которые для этого случая совпадают с симметричными гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка (34) и (35). В дальнейшем мы будем называть функции (34) и (35) соответственно «золотыми» гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка.

Для случая = 2 серебряная пропорция 2 = 1 + 2 является основанием нового класса гиперболических функций, которые мы будем называть «серебряными»

гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка:

) (1 + 2 ) ( 2 2 x x x 1, x sF2 ( x ) = = 1+ 2 (36) 2 2 ( ) + (1 + 2 ) 2 + 2 x x x 1, x cF2 ( x ) = = 1+ 2 (37) 2 2 2 ) (1 + 2 ), ( x x sL2 ( x ) = 2 2 x = 1 + x (38) 2 ) + (1 + 2 ).

= (1 + x x cL2 ( x ) = 2 + 2 x x (39) 3 + Для случая = 3 бронзовая пропорция 3 = является основанием нового класса гиперболических функций, которые мы будем называть «бронзовыми»

гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка:

x 1 3 + 13 3 + x 3 3 x x, sF3 ( x ) = = (40) 13 2 x 1 3 + 13 3 + x 3 + 3 x x, cF3 ( x ) = = + (41) 13 2 x x 3 + 13 3 + sL3 ( x ) = 3 3 x = x, (42) 2 x x 3 + 13 3 + cL3 ( x ) = 3 + 3 x = + x. (43) 2 Для случая = 4 медная пропорция 4 = 2 + 5 является основанием нового класса гиперболических функций, которые мы будем называть «медными» гиперболическими фунциями Фибоначчи и Люка:

) (2 + 5 ) ( 4 4 x x x 1, x sF4 ( x ) = = 2+ 5 (44) 2 5 ) + (2 + 5 ) ( 4 + 4 x x x 1, x cF4 ( x ) = = 2+ 5 (45) 2 5 5 ) (2 + 5 ), ( x x sL4 ( x ) = 4 4 x = 2 + x (46) 5 ) + (2 + 5).

= (2 + x x cL4 ( x ) = 4 + 4 x x (47) Сравним теперь гиперболические -функции Люка (30) и (31) с классическими гиперболическими функциями (1). Нетрудно доказать [17], что для случая + 4 + = =e (48) гиперболические -функции Люка (30) и (31) совпадают с классическими гиперболическими функциями (1) с точностью до постоянного коэффициента 1/2, то есть cL ( x ) sL ( x ) и ch( x ) = sh( x ) =. (49) Используя (48) после простых преобразований мы можем вычислить значение e, для которого выражение (49) является верным:

= 2sh (1) 2.35040238.

e = e (50) e Таким образом, согласно (49) классические гиперболические функции (1) является частным случаем гиперболических -функций Люка для случая (50).

3.5. Важнейшие формулы для «золотой» -гониометрии Фибоначчи Заметим, что перечень гиперболических -функций Фибоначчи и Люка, задаваемых (28)-(31), можно продолжать до бесконечности. Этот факт дает нам основание утверждать, что функции (28)-(31) образуют основу общей теории гиперболических функций, которые, с одной стороны, обладают всеми свойствами классических гиперболических функций («гиперболические свойства») и, с другой стороны, обладают «рекурсивными свойствами», подобными свойствам -чисел Фибоначчи и Люка, задаваемыми рекуррентными соотношениями (13) и (22).

Ниже приведены соотношения, связывающие золотую пропорцию (4) с металлическими пропорциями (17) (таблица 1) и классические гиперболические функции (1) с гиперболическими -функциями Фибоначчи (28) и (29) (таблица 2).

Таблица 1. Связь золотой пропорции с металлическими пропорциями З о ло та я п р о п о р ц и я ( = 1 ) М е та л л и ч е с к и е п р о п о р ц и и ( 0 ) 1+ 5 + 4 + = = 2 = 1+ 1+ 1 +... = 1 + 1 + 1 +...

1 = 1+ = + 1 1+ + 1 1+ + 1 +... +...

n = n 1 + n 2 = n 1 = n 1 + n 2 = n n ( 1) n n n ( 1) n n n F (n ) = F ( n ) = 4 + L ( n ) = n + ( 1) n n L ( n ) = + ( 1) n n n x x x x sF ( x ) = sF s ( x ) = 4 + x + x + x x cF s ( x ) = cF ( x ) = 4 + sL s ( x ) = x x sL ( x ) = x x cL s ( x ) = x + x cL ( x ) = + x x Таблица 2. Основные формулы «золотой» фибоначчиевой гониометрии Формулы для классических Формулы для гиперболических гиперболических функций лямбда - функций Фибоначчи x x x x x + x e e e +e x x sh ( x ) = ;

ch ( x ) = sF ( x ) = ;

cF ( x ) = 2 2 4 + 2 4 + sh ( x + 2) = 2 sh (1) ch ( x + 1) + sh ( x ) sF ( x + 2) = cF ( x + 1) + sF ( x ) ch ( x + 2) = 2 sh (1) sh ( x + 1) + ch ( x ) cF ( x + 2) = sF ( x + 1) + cF ( x ) sF ( x ) cF ( x + 1) cF ( x 1) = sh 2 ( x ) ch ( x + 1) ch ( x 1) = ch 2 (1) ch 2 ( x ) sh ( x + 1) sh ( x 1) = ch 2 (1) cF ( x ) sF ( x + 1) sF ( x 1) = ch 2 ( x ) sh 2 ( x ) = 1 cF ( x ) sF ( x ) = 2 4 + sF ( x + y ) = sF ( x ) cF ( x ) + cF ( x ) sF ( x ) sh ( x + y ) = sh ( x ) ch ( x ) + ch ( x ) sh ( x ) 4 + sh ( x y ) = sh ( x ) ch ( x ) ch ( x ) sh ( x ) sF ( x y ) = sF ( x ) cF ( x ) cF ( x ) sF ( x ) 4 + cF ( x + y ) = cF ( x ) cF ( x ) + sF ( x ) sF ( x ) ch ( x + y ) = ch ( x ) ch ( x ) + sh ( x ) sh ( x ) 4 + ch ( x y ) = ch ( x ) ch ( x ) sh ( x ) sh ( x ) cF ( x y ) = cF ( x ) cF ( x ) sF ( x ) sF ( x ) 4 + ch ( 2 x ) = 2sh ( x ) ch ( x ) cF ( 2 x ) = sF ( x ) cF ( x ) 4 + n ch ( x ) ± sh ( x ) = ch ( nx ) ± sh ( nx ) cF ( x ) ± sF ( x ) = cF ( nx ) ± sF ( nx ) n n 4 + 4.«Золотые» матрицы 4.1. Q-матрица Известный американский математик Вернер Хоггат (1921-1981) исследовал свойства так называемой Q-матрицы [10], которая представляет собой квадратную матрицу следующего вида:

1 Q =. (51) 1 Если Q-матрицу (51) возвести в n-ю степень, то возникает циклическая группа с образующей (51), при этом элементами матрицы Q n являются числа Фибоначчи (5) и Q n при этом принимает вид:

F n +1 F n Qn =. (52) F n F n Детерминант матрицы (52) выражается формулой Кассини (7):

det Q n = Fn +1Fn 1 ( Fn ) = (1)n.

(53) Как показано в [21], характеристическое уравнение матрицы Q может быть записано в виде:

1 x = x x 1 = 0.

det (54) x Уравнение (54) является уравнением золотой пропорции (3), при этом корни этого уравнения x1 = и x 2 = 1 являются собственными значениями симметрической x1 матрицы Q. Но тогда матрица Q подобна диагональной матрице X =, то есть 0 x Q = TXT 1, где T называется сопрягающей матрицей. В данном случае сопрягающая матрица T и обратная к ней матрица T -1 имеют вид:

1 1 + 2 1+ 1 + 2 1+ 2 T 1 = T = ;

. (55) 1 1 + 2 1 + 2 1+ 1 + Отсюда матрицу Q n можно представить в виде:

n Fn +1 Fn = TX nT 1 = T T 1.

Qn = n (56) ( ) Fn Fn 1 0 4. 2. «Золотые» матрицы.

В [22] по аналогии с матрицами Qn вида (52) введено понятие «золотых» матриц.

Рассмотрим следующую символическую матрицу ( x + 1) k (x ) Q k ( x ) = k +1, (57) k (x ) k +1 ( x 1) где функции k ( x ) = sFs ( x ) при k=0 (тот же результат получается при любом чётном k ) и k ( x ) = cFs ( x ) при k=1 (тот же результат получается при любом нечётном k), xR, где R-множество всех вещественных чисел.

Отсюда получаем следующие свойства:

( 1) k x x k ( x ) = ;

Qn ( n ) = Q n ;

det Qk ( x ) = ( 1), k k=0;

1, n -множество всех целых чисел, xR.

где Но тогда, расписывая при k =0 и k = 1 соотношение (57), получаем следующие две матрицы, которые называются золотыми матрицами [20], составленными из симметричных гиперболических функций Фибоначчи sFs, cFs вида (34):

cFs( x + 1) sFs( x ) Q0 ( x ) = cFs( x 1) sFs( x ), (58) Q ( x ) = sFs( x + 1) cFs( x ) cFs( x ) 1 sFs( x 1) причём det Q0 ( x ) = 1, det Q1 ( x ) = 1 (59) Ясно, что «золотые матрицы» (58) являются обобщениями Q-матрицы (52) на непрерывную область.

Итак, основным результатом исследования, проведенного в части I статьи, является разработка общей теории гиперболических функций. В отличие от классических гиперболических функций с основанием е (число Непера), основанием нового класса гиперболических функций – гиперболических функций Фибоначчи и Люка ( 0 любое положительное число) – являются новые математические константы – металлические пропорции, являющиеся корнем простейшего квадратного уравнения + 4 + x 2 x 1 = 0 и задаваемые с помощью формулы =, которая при = 1+ сводится к классической золотой пропорции =.

Новый класс гиперболических функций, задаваемых выражениями (28)-(31), может оказаться перспективным для разработки моделей современного естествознания.

Часть II. 4-ая ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА 5. «Золотая» фибоначчиевая -гониометрия и 4-ая проблема Гильберта 5.1. «Золотые» метрические -формы плоскости Лобачевского В связи с 4-ой проблемой Гильберта авторы настоящей статьи предложили в [20] бесконечное множество метрических форм плоскости Лобачевского в зависимости от вещественного параметра 0. Эти метрические формы задаются в координатах ( u, v ), 0 u +, v +, имеют гауссову кривизну K = 1 и представляются в виде 4 + ( ds ) = ln 2 ( )( du ) + sF ( u ) ( dv ), 2 2 (60) 4 + 4+ - металлическая пропорция и sF ( u ) - гиперболический -синус где = Фибоначчи. Назовем формы (60) метрическими -формами плоскости Лобачевского.

В [20] мы утверждали (без доказательства), что для всякого вещественного параметра 0 метрические формы (2) и (60) являются изометричными с помощью диффеоморфизма 4 + 2 4+ 2 u = u ( u, v ) = Arcch cF ( u ) = Arcsh sF ( u ), v = v ( u, v ) = v, (61) 2 ( u, v), 0 u +, v +.

где ( u, v ), 0 u +, v + и Ниже мы приведём доказательство изометрии метрических форм (2) и (60). Это доказательство осуществляется в три этапа.

Этап 1. Докажем, что метрическая форма (60) имеет гауссову кривизну K = 1. С этой целью введем следующие обозначения:

4 + A = ln ( ), B = sF ( u ). (62) u u Здесь, в соответствии с (28) sF ( u ) =, тогда второе соотношение в (62) 4 + может быть представлено в виде:

u u 4 + sF ( u ) = B=, (63) 2 + 4+ где, в силу (17), =. Тогда соотношения (62) могут быть записаны в виде:

+ 4 + 2 u u 4 + A = ln ( ) = ln sF ( u ) =,B=. (64) 2 2 Следовательно, метрическая форма (60) может быть записана в виде:

( ds )2 = A2 ( du )2 + B2 ( dv )2. (65) Принимая во внимание выражение (64) и очевидные условия:

0, 0 u +, v +, мы можем записать:

A0, B0. (66) Известно [23], что для метрической формы типа (65) гауссова кривизна K определяется соотношением:

1 Av Au K = K ( u, v ) = +. (67) AB B v B u Здесь символы ( ) v и ( ) u означают частные производные по v и u.

Используя определение (64), мы можем получить следующие выражения:

+ u u u u ln ( ) ;

Buu = ln ( ) ;

Av = 0;

Bu = 2 u u u u A B Buu ln ( ) ;

v = 0;

u = ln ( ) ;

AB = = A u ln ( ) B v 2 u u 1 Av Bu u u ln ( ) ln ( ) = 1, K= + = AB B v A u 2 что и следовало доказать.

Этап 2. Докажем, что преобразование (61) может быть записано в виде:

u = ln ( ) u, v = v (68) Так как u + u u u 4 + 2 4 + cF ( u ) = sF ( u ) =, и (69) 2 2 2 Тогда, в силу (69), из преобразования (61) для случаев u 0, u 0 мы получаем:

+ u u u u ch ( u ) = и sh ( u ) =. (70) 2 Возьмем дифференциал d от первого соотношения в (70):

u + u u u () ln ( ) ch ( u ) = sh u du = d = d du. (71) 2 u u () Так как sh u =, тогда после подстановки этого выражения в (71) мы () () () получаем: sh u d u = ln ( ) sh u du. Так как u 0, тогда после сокращения на sh u мы приходим к дифференциальному уравнению:

du = ln ( ). (72) du Следовательно, мы имеем:

u = ln ( ) u + C, (73) где C=const. Так как в (72) мы имеем u =0 при u=0, тогда в (72) мы можем положить С=0, и тогда мы получаем из (73), что u = ln ( ) u. Но тогда для всех ( u, v), 0 u +, v + ( u, v ), 0 u +, v +, (74) вместо (61) мы можем рассматривать преобразование (68), что и следовало доказать.

Этап 3. Докажем, что метрические формы (2) и (71) изометричны. Для доказательства мы будем использовать преобразования (68), которые являются дифеоморфизмами для всех значений переменных, задаваемых (74).

С этой целью рассмотрим более общую ситуацию, когда заданы две изометричные формы:

( )( ) () ( )( ) ds 2 = E u, v d u 2 + 2F u, v d ud v + G u, v d v ( ) (75) ( ds ) 2 = E ( u, v )( du ) 2 + 2F ( u, v ) dudv + G ( u, v )( dv ) () E 0, G 0, EG F 0, E 0, G 0, EG F 2 0.

где Обозначим диффеоморфизм, осуществляющий эту изометричность, в следующем виде:

h : u = u ( u, v ), v = v ( u, v ). (76) Рассмотрим дифференциал от u :

d u = d u ( u, v ) = u u du + u v dv and d v = d v ( u, v ) = v u du + v v dv. (77) Подставим (77) в (75) и при этом напомним, что в соответствии с нашим предположением первая и вторая метрические формы в (75) являются изометричными.

Принимая во внимание, что они имеют общий линейный элемент ds, мы можем записать следующее тождество:

( ds )2 = E ( uu du + u v dv ) ( )( ) ( ) 2 + 2F u u du + u v dv v u du + v v dv + G v u du + v v dv (78) = E ( du ) + 2F dudv + G ( dv ) 2 Сравнивая в левой и правой части тождества (78) равные коэффициенты при (du)2, du, dv и (dv)2, мы получим следующие соотношения:

() (v ) E u 2 2u u v u u u E = uu u v vu vv F.

F uu u v + u v uu (79) () () G u 2 v v G 2u v v v v Справедливо также и обратное утверждение, то есть, если мы имеем две метрические формы () ( )( ) () ( )( ) d s 2 = E u, v d u 2 + 2F u, v d ud v + G u, v d v (80) ( ds ) 2 = E ( u, v )( du ) 2 + 2F ( u, v ) dudv + G ( u, v )( dv ) и существует диффеоморфизм (76) такой, что соотношения (79) выполняются, тогда (d s ) = ( ds ), то есть, метрические формы (80) изометричны.

2 В нашей ситуации мы имеем две метрические формы (2) и (60). Как показано выше (этап 1, соотношение (64)), метрическая форма (60) может быть записана в виде выражения (65), коэффициенты которого A2 и B2 имеют вид:

u u A = ln ( ), B = 2 2.

Докажем изометрию метрических форм (2) и (60):

()() ( )( ) 2 2 d s = d u + sh 2 u d v (81) u u ( ds ) = ln ( )( du ) + ( dv ) 2 2 Эта изометрия доказывается путем использования аналитического диффеоморфизма u = u ( u, v ) = ln ( ) u, v = v ( u, v ) = v, который, как показано в (76), имеющего вид параграфе 5.1 (этап 2 ), может быть записан в форме (68).

Заметим, что область изменения параметров и переменных имеет следующий вид:

0,(0 u +, v +),(0 u +, v +), (82) + 4+ где, в силу (17), имеем: =.

Тогда, в терминах соотношений (75) для метрических форм (81) мы получаем следующие выражения для коэффициентов этих форм:

() () () () E u, v = 1, F u, v = 0, G u, v = sh 2 u, (83) u u E ( u, v ) = ln ( ), F ( u, v ) = 0, G ( u, v ) = Из преобразований (68) мы получаем следующие производные:

u u = ln ( ), u v = 0, v u = 0, v v = 1 (84) Тогда с учетом (83) и (84) преобразования (80) могут быть записаны в форме:

ln 2 ( ) ln 2 ( ) 0 0 1 = 0 0 0 0 0 (85) () u u 2 0 0 1 sh 2 u 2 Отсюда мы получаем следующие тождества:

ln ( ) ln ( ) 2 (86) u () u sh u Первые два тождества (86) очевидны. Последнее тождество из (86) вытекает из u () u второго соотношения из (70) sh u =, которое доказано в параграфе 5.1 (этап 2) при u = ln ( ) u, где 0 и u 0.

Таким образом, используя преобразования (68), мы доказали, что метрические формы (2) и (60) изометричны.

5.2. Частные случаи метрических -форм плоскости Лобачевского 1) «Золотая» метрическая форма плоскости Лобачевского 1+ Для случая = 1 мы имеем 1 = 1.61803 – золотая пропорция, и, следовательно, метрическая форма (60) сводится к следующему:

( ds )2 = ln 2 ( 1 )( du )2 + sFs ( u ) ( dv ), 2 (87) 1 1 u 1+ 5 u ln 2 ( 1 ) = ln 2 0.231565 и sFs ( u ) = где - симметричный гиперболический 2 синус Фибоначчи (см. параграф 4.1).

Будем называть метрическую форму (87) «золотой» метрической формой плоскости Лобачевского.

2) «Серебряная» метрическая форма плоскости Лобачевского Для случая = 2 мы имеем 2 = 1 + 2 2.1421 - серебряная пропорция, и, следовательно, метрическая форма (71) сводится к следующему:

( ds )2 = ln 2 ( 2 )( du )2 + 2 sF2 ( u ) ( dv )2, (88) 2 2 u u где ln 2 ( 2 ) 0.776819 и sF2 ( u ) =.

Будем называть метрическую форму (88) «серебряной» метрической формой плоскости Лобачевского.

3) «Бронзовая» метрическая форма плоскости Лобачевского 3 + Для случая = 3 мы имеем 3 = 3.30278 - бронзовая пропорция и, следовательно, форма (60) сводится к следующему:

( ds )2 = ln 2 ( 3 )( du )2 + sF3 ( u ) ( dv ) 2 (89) 3 3 u u где ln 2 ( 3 ) 1.42746 и sF3 ( u ) =.

Будем называть метрическую форму (89) «бронзовой» метрической формой плоскости Лобачевского.

4) «Медная» метрическая форма плоскости Лобачевского Для случая = 4 мы имеем 4 = 2 + 5 4.23607 - медная пропорция и, следовательно, форма (60) сводится к следующему:

( ds )2 = ln 2 ( 4 )( du )2 + 5 sF4 ( u ) ( dv )2, (90) 4 4 u u где ln 2 ( 4 ) 2.08408 и sF4 ( u ) =..

Будем называть метрическую форму (90) «медной» метрической формой плоскости Лобачевского 5) Классическая метрическая форма плоскости Лобачевского Для случая = e = 2sh (1) 2.350402 мы имеем e = e 2.7182 - число Непере и, следовательно, форма (60) сводится к выражению (2):

( ds )2 = ( du )2 + sh2 ( u )( dv )2, то есть, к известной [23] классической метрической форме плоскости Лобачевского, задаваемой в псевдогеодезических координатах ( u, v ), где 0u+, - v+.

В таблице 3 сведены выражения для всех рассмотренных выше частных случаев метрических -форм плоскости Лобачевского.

Таблица 3. Метрические формы Лобачевского Название Аналитическое выражение Метрическая форма + 4 + 2 4 + ( ds )2 = ln 2 ( )( du )2 + sF ( u ) ( dv ) 2 0 = 4 Лобачевского 1+ 5 ( ds )2 = ln 2 ( 1 )( du )2 + 4 sFs ( u ) ( dv ) =1 1 = 1. "Золотая" форма ( ds )2 = ln 2 ( 2 )( du )2 + 2 sF2 ( u ) ( dv ) =2 2 = 1 + 2 2. "Серебряная" форма 3 + 13 ( ds )2 = ln 2 ( 3 )( du )2 + sF3 ( u ) ( dv ) 2 =3 3 = 3. "Бронзовая" форма 4 ( ds )2 = ln 2 ( 4 )( du )2 + 5 sF4 ( u ) ( dv ) =4 4 = 2 + 5 4. "Медная" форма ( ds ) = ( du ) + sh ( u )( dv ) 2 e 2.350402 e = e 2.7182 Классическая форма 6. Геодезические линии и другие геометрические объекты метрических -форм плоскости Лобачевского Геодезические линии и углы между геодезическими линиями являются важнейшими понятиями внутренней геометрии. Если метрическая форма задана, тогда геодезические линии определяются как экстремумы функционалов длин кривых.

Выше мы доказали (см. этап 3 параграфа 5.1), что метрические -формы плоскости Лобачевского вида (60) совпадают с метрическими формами (65). Для удобства введем следующие обозначения для этих форм:

( ds )2 = A2 ( du )2 + B ( u ) ( dv )2, (91) где u + 4 + u A = ln ( ) 0, B ( u ) = 0, =, 0, 0 u +, v + (92) 2 Легко доказать (см. формулу (70)), что для условий (92) мы имеем:

u + u u u sh ( Au ) = B ( u ) = 0, ch ( Au ) = C ( u ) = 0. (93) 2 Рассмотрим трехмерное пространство Минковского L3 = ( X,Y, Z ) с метрикой Минковского ( dl )2 = dX 2 dY 2 dZ 2, (94) где dl - линейный элемент пространства L3. Рассмотрим теперь верхнюю половину M 2 двуполостного гиперболоида:

X 2 Y 2 Z 2 = 1, X 0. (95) Поверхность M может быть задана в параметрическом виде:

X = X ( u, v ) = ch ( Au ) = C ( u ) Y = Y ( u, v ) = sh ( Au ) cos ( v ) = B ( u ) cos ( v ) (96) Z = Z ( u, v ) = sh ( Au ) sin ( v ) = B ( u ) sin ( v ) Путем непосредственной проверки, мы можем убедиться что X ( u, v ) Y ( u, v ) Z ( u, v ) 1, X ( u, v ) 0.

2 2 (97) M Подставим (96) в соотношение (94), тогда для верхней половины двуполостного гиперболоида мы получим метрическую форму:

{ A (du) + B (u) (dv) }, ( dl )2 = 2 (98) где A и B(u) задаются в виде (92). Отсюда мы получаем метрическую -форму плоскости Лобачевского вида (91):

( ds )2 = ( dl )2 = A2 ( du )2 + B ( u ) ( dv ) Рассмотрим в пространстве L = ( X,Y, Z ) следующие плоскости ( ) aX + bY + cZ = 0, a 2 + b2 + c 2 0, (99) которые проходят через начало координат O ( 0,0,0) и пересекают верхнюю половину M 2 двуполостного гиперболоида (95), если коэффициенты уравнения (99) удовлетворяют следующим ограничениям:

a 2 + b2 + c 2 0 (100) Тогда линии пересечения плоскостей (99) с поверхностью (95) являются геодезическими линиями на поверхности (95) в метрике (94) (см. [23]). Это аналогично случаю, когда на единичной сфере S 2 : X 2 + Y 2 + Z 2 = 1 линии пересечения плоскостей aX + bY + cZ = 0 (где a 2 + b2 + c 2 0 ) с этой сферой являются геодезическими линиями в метрике с постоянной гауссовой кривизной K = 1.

Если мы подставим (96) в (99), тогда в -метрике (91) в координатах ( u, v ) мы получим уравнение геодезических линий в следующей неявной форме:

ach ( Au ) + bsh ( Au ) cos ( v ) + csh ( Au ) sin ( v ) = 0, (101) + 4 + где 0, 0 u +, v +, A = ln ( ) 0, = 1.

Заметим, что коэффициенты a, b, c в (101) удовлетворяют следующим ограничениям:

a 2 + b2 + c2 0, - a 2 + b2 + c2 0. (102) Запишем (101) в виде:

+ u u F ( u, v ) = a + b cos ( v ) + c sin ( v ) = 0. (103) u u Пусть ( u0, v0 ) - координаты точки пересечения геодезических линий, задаваемых уравнениями:

+ u u F1 ( u, v ) = a1 u + b1 cos ( v ) + c1 sin ( v ) = u u F u, v = a + + b cos v + c sin v = u 2( ) () 2 () 2 u u Угол пересечения двух геодезических линий (отсчитываемый против часовой стрелки), в соответствии с формулами дифференциальной геометрии, может быть найден из следующего соотношения:

F F F F EG F 2 1 2 1 u dv v u tg ( ) =, (104) F1 F1 F1 F2 F1 F2 F2 F +F + G u v E u v u v v u где правая часть соотношения (115) берется в точке ( u0, v0 ), а выражения E = E ( u, v ), F = F ( u, v ), G = G ( u, v ) являются коэффициентами метрической формы ( ds )2 = E ( dv )2 + 2Fdudv + G ( dv )2.

Заметим, что формулы для sin ( ) и cos ( ) могут быть записаны по аналогии.

В нашей ситуации в соответствии с (60), (62), (91), (92) мы можем записать:

4 + 2 u u E = ln ( ), F = 0, G = sF ( u ) = sh 2 u ln ( ).

= (105) 2 Частные производные по u и v от функции F ( u, v ) вида (103) имеют следующий вид:

ln ( ) F F = b sin ( v ) + c cos ( v ) =a 2, (106) u ln ( ) v u ch В дальнейшем по аналогии с плоскостью Лобачевского, задаваемой метрическими -формами (60), для любого действительного числа 0 мы можем найти соответствующие формулы для расстояний между двумя точками, преобразований движения и все другие математические присущие этой геометрии.

Авторы настоящей статьи не преследуют цель записать все соответствующие формулы и геометрические конструкции, которые связаны с метрическими -формами плоскости Лобачевского, поскольку эта проблема является предметом отдельного исследования.

В этой связи было бы весьма полезным объединить в дальнейшем развитые авторами метрические -формы плоскости Лобачевского вида (60), имеющие гауссову кривизну K = 1 и реализуемые для любого действительного числа 0 на полуплоскости + = ( u, v ) ( 0 u +, v + ), с хорошо изученной и удобной для приложений классическую модель плоскости Лобачевского, предложенной в 1882 Анри Пуанкаре (1854-1912) на диске D2 : x 2 + y 2 1, (107) пополненную абсолютом E : x + y = 1, который играет роль носителя бесконечно 2 удаленных точек в плоскости Лобачевского.

7. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского на единичном диске 7.1. Геодезические линии и углы пересечения геодезических линий в модели Пуанкаре Напомним основные факты геометрии Лобачевского применительно к модели Пуанкаре на диске (107). Информация взята из [23].

Метрическая форма Пуанкаре гауссовой кривизны K = 1 имеет следующий вид:

4[(dx )2 + (dy)2] (ds ) =. (108) (1 x 2 y 2) Геодезические линии в модели Пуанкаре являются либо дугами, ортогональными к абсолюту (если эти геодезические линии не содержат начало координат O ( 0.0) ) или отрезками прямых линий (если эти геодезические линии проходят через начало координат).

В общем случае уравнение геодезических линий в модели Пуанкаре имеет следующий вид:

( ) F ( x, y ) = a 1 + x 2 + y 2 2bx 2cy = 0, x 2 + y 2 1, (109) a 2 + b2 + c 2 0, a 2 + b2 + c 2 0.

где Угол пересечения двух геодезических линий (отсчитываемый против часовой стрелки) определяется из соотношения:

F1 F2 F1 F x y y x tg ( ) =, (110) F1 F1 F2 F + x y x y ( x0, y0 ), где правая часть в (110) берется в точке являющейся точкой пересечения следующих геодезических линий :

( ) F1 ( x, y ) = a1 1 + x 2 + y 2 2b1 x 2c1 y = (111) ( ) F2 ( x, y ) = a2 1 + x + y 2b2 x 2c2 y = 2 Таким образом, в метрике (108) углы измеряются в евклидовом смысле.

Пусть A1 ( x1, y1 ) и A2 ( x 2, y2 ) произвольные точки плоскости Лобачевского, которые реализуются на диске (107) с метрикой (108).

В дальнейших рассуждениях мы будем использовать комплексные числа. Мы обозначим точку A ( x, y ) через z = x + iy, где i = 1 - мнимая единица.

Как известно, модуль комплексного числа z равен z = x 2 + y 2. Пусть z = x iy число, комплексно-сопряженное с комплексным числом z = x + iy.

Для этого случая точки A1 ( x1, y1 ) и A2 ( x 2, y2 ) в комплексной записи могут быть представлены следующим образом: z1 = x1 + iy1, z2 = x 2 + iy2. Известно, что расстояние ( A1, A2 ) между двумя точками A1 ( x1, y1 ) и A2 ( x 2, y2 ) в комплексной записи имеет следующий вид:

z1 z 1+ z1 z ( A1, A2 ) = ln (112) z1 z 1 z1 z В комплексной записи метрика (108) представляется в виде:

( ds )2 = dzd z, z 1. (113) (1 z ) Движения метрики (113) в плоскости Лобачевского записываются следующим образом:

Az + B z = f ( z ) = 2, A B =1, (114) Bz + A где z = x + iy и z = x +. Заметим, что при движениях (114) расстояния между точками и iy углы между геодезическими линиями сохраняются.

7.2. Связь между моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на единичном диске и «золотыми» -моделями плоскости Лобачевского В работе [23] доказано, что верхняя половина M2 двуполостного гиперболоида (95) допускает параметризацию следующего вида:

2 2x 2y X = X ( x, y) = 1, y = Y ( x, y ) =, Z = Z ( x, y) =, (115) 1 x y 1 x y 1 x 2 y 2 2 2 где x 2 + y 2 1.

Непосредственное вычисление показывает, что если подставить (115) в соотношение (94), тогда мы получим вид метрики (108) на M2 в координатах ( x, y ), то есть, метрика модели Пуанкаре плоскости Лобачевского на единичном диске x 2 + y 2 1 имеет вид 4 ( dx ) + ( dy ) 2, ( ds ) = ( dl ) 2 = ( ) 1 x y где dl – линейный элемент вида (94).

Таким образом, преобразования (115) приводят к модели Пуанкаре на единичном диске, основные свойства которой описаны в пункте 7.1 настоящей статьи.

Чтобы перейти от модели Пуанкаре плоскости Лобачевского на единичном диске x + y 1 к метрическим -формам плоскости Лобачевского на полуплоскости 2 0 u +, v +, мы введём другую параметризацию верхней половины M двуполостного гиперболоида (95), связанную с предыдущей параметризацией (115) следующими соотношениями:

X = X ( x, y) = 1 = ch ( Au ) 1 x 2 y 2x Y = Y ( x, y ) = = sh ( Au ) cos ( v ) (116) 1 x 2 y 2x Z = Z ( x, y) = = sh ( Au ) sin ( v ) 1 x 2 y где + 4 + A = ln ( ) 0, =,0 (117) Выше мы доказали, что если представить верхнюю половину M2 двуполостного гиперболоида (95) в виде(96) X = ch ( Au ), Y = sh ( Au ) cos ( v ), Z = sh ( Au ) sin ( v ), то мы непосредственно придём к метрическим -формам плоскости Лобачевского вида (60) или, в другой записи, вида (91) ( ds )2 = A2 ( du )2 + B ( u ) ( dv )2, где u u B (u) = 0, 0 u +, v +. (118) В силу (93) при условии 0 u + имеют место следующие соотношения:

u u u + u sh ( Au ) = 0, ch ( Au ) = 0. (119) 2 Тогда, из соотношений (116) и (119) мы получаем непосредственно следующие связи между параметрами ( x, y ) и ( u, v ) :

sh ( Au ) u u x = x ( u, v ) = cos ( v ) = cos ( v ) 1 + ch ( Au ) 2 + + u u (120) y = y u, v = sh ( Au ) sin v = u u () () sin ( v ) 1 + ch ( Au ) 2 + + u u Заметим, что для любых 0 и 0 u + преобразования (120) являются диффеоморфизмами, потому что их якобиан не равен нулю и они устанавливают связь -формами между метрическими плоскости Лобачевского в координатах 0 u +, v + и классической моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на единичном диске x 2 + y 2 1.

Более того, преобразования (120) устанавливают изометрию между метрической формой Пуанкаре (108) и метрическими -формами вида (60) или, в другой записи, вида (91).

Используя преобразования (120) и формулы (112) и (114), для метрических форм плоскости Лобачевского в координатах 0 u +, v +, для каждого вещественного числа 0 мы можем получить формулу для расстояния между двумя произвольными точками ( u1, v1 ) и ( u2, v2 ) и формулу для движения метрик (60) и (91).

Общий итог исследования, выполненного в части II, состоит в том, что получено бесконечное множество метрических форм плоскости Лобачевского ( 0 -заданное положительное число), задаваемых выражением (60). Все эти формы изометричны классической метрической форме плоскости Лобачевского, задаваемой выражением (2).

А это означает, что полученные авторами новые «золотые» модели плоскости Лобачевского вместе с классическими геометриями Лобачевского, Римана и Минковского “могут рассматриваться как ближайшие геометрии к обыкновенной геометрии Евклида” (Давид Гильберт).

Таким образом, результаты авторов, полученные в данной статье, являются новым важным вкладом в решение 4-й проблемы Гильберта.

Часть III. Преобразования Фибоначчи-Лоренца и интерпретация «золотая»

специальной теории относительности 8. Преобразования Лоренца Как упоминалось во введении, преобразованиями Лоренца называются кинематические формулы преобразования координат и времени в специальной теории относительности (СТО), созданной Альбертом Эйнштейном (1879 – 1955) в 1905 году.

Они были предложены в 1904 году нидерландским физиком и математиком Гендриком Антоном Лоренцом (1853–1928), как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики.

Преобразования Лоренца устанавливают связь между пространственными координатами ( x1, x 2, x 3 ) и моментом времени t события, наблюдаемого в инерциальной системе отсчёта (ИСО) K = ( x0 = ct, x1, x 2, x 3 ), и пространственными координатами (x ) = ct, x1, x 2, x 3 и моментом времени t этого же события, наблюдаемого в другой ИСО ( ) K = x0 =ct x1, x 2, x 3.

, [м.сек -1 ] - скорость света в вакууме, t [сек ] –время, x0, x1, x 2, x 3 имеют Здесь c размерность [м ]. Для случая, когда ИСО K' движется относительно ИСО K со скоростью.сек –1] вдоль оси x1, преобразования Лоренца имеют вид [23]:

v [м x 0 ch() sh() 0 0 x 0 0 x1, x sh() ch() (121) 1 = 1 0 x x 2 0 x 3 0 1 x где угол ( + ) называется углом гиперболического поворота, при этом v/c sh ( ) =, ch( ) =. (122) 1 (v / c ) 1 ( v / c) Четырёхмерное пространство R1 с координатной системой K = ( x0 = ct, x1, x 2, x 3 ), снабжённое знакопеременной метрикой ( ds )2 = ( dx0 )2 ( dx1 )2 ( dx 2 )2 ( dx3 )2, (123) где ds – элемент дуги, называется четырёхмерным пространством Минковского, а метрика (123) – метрикой Минковского.

Это пространство предложено немецким математиком и физиком Германом Минковским (1864-1909) в 1908 году в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности.

Метрика Минковского (123) обладает замечательным свойством инвариантности относительно преобразований Лоренца (121).

Из инвариантности метрики Минковского (123) относительно преобразований Лоренца (121) с учётом соотношений (122) вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцово сокращение длины, а также вывод об относительности одновременности.

В работе [23] рассмотрены также n-мерные пространства R1 (n 2) c координатной n системой K = (x0 = ct, x1,…, xn-1 ), снабжённые знакопеременной метрикой n ( ds ) = ( dx0 ) ( dx ) 2 2, i i = которые названы пространствами Минковского размерности n.

В частности, в [23] подробно исследован случай n=2 (плоскость Минковского R1 ) и двумерные преобразования Лоренца x 0 ch ( ) sh ( ) x =, (124) 1 sh ( ) ch ( ) x x где sh ( ), ch ( ) удовлетворяют условию (122).

Определитель матрицы ch() sh() A= (125) sh() ch() преобразования (124) равен det A = ch2 ( ) sh2 ( ) = 1, а метрика Минковского при этом имеет вид:

( ds )2 = ( dx0 )2 ( dx1 )2. (126) Преобразования (124) названы в [23] собственными двумерными преобразованиями Лоренца.

Поскольку в (122) присутствует 1 (v / c)2 и th ( ) = v / c, то 1 ( v / c ) 0, откуда при всех ( + ) выполняется неравенство:

v c. (127) Можно также рассматривать несобственные двумерные преобразования Лоренца x 0 sh ( ) ch ( ) x o =, (128) 1 ch ( ) sh ( ) x x где определитель матрицы sh() ch() A= (129) ch() sh() преобразования (128) равен det A = sh2 ( ) ch2 ( ) = 1.

Однако вопрос о рассмотрении несобственных преобразований Лоренца и их обобщений мы выносим за рамки настоящей статьи.

9. Современные представления о скорости света в вакууме и роли фактора самоорганизации в эволюции Вселенной 9.1. Скорость света материальной Вселенной уменьшается в процессе её эволюции Как упоминалось во Введении, основной спор, касающийся СТО, в основном, идёт относительно принципа постоянства скорости света в вакууме. В последние годы ряд ученых в области космологии выдвинули гипотезу, согласно которой для наблюдаемой материальной Вселенной ставится под сомнение постоянство фундаментальной величины, на которую опираются основные законы современной физики – скорости света c в вакууме.

По мнению группы учёных, возглавляемых физиком-теоретиком Полом Дэвисом (Paul Davis) из Университета Maсquarie в Сиднее, скорость света с меняется [24].

Согласно новой гипотезе, значение величины c скорости света в вакууме, которое сейчас считается постоянным параметром, с увеличением возраста Вселенной уменьшается.

Новая гипотеза базируется на информации, собранной астрономом Джоном Веббом (John Webb). Он обнаружил, что характеристики света от квазара, удалённого от Земли приблизительно на 3,7 миллиона парсеков, не соответствуют ожидаемым. Как отмечают астрофизики, из этого наблюдения возможны два вывода – либо о непостоянстве скорости света, либо о переменной величине заряда электрона. Однако последнее предполагает нарушение принципа неуменьшения энтропии, т.е. второго начала термодинамики.

Поэтому учёные сделали заключение, что для нашей наблюдаемой материальной Вселенной скорость света с в вакууме с увеличением времени уменьшается. 9.2. О самоорганизации Вселенных с противоположным течением времени Другая фундаментальная идея нашей статьи связана с учетом фактора самоорганизации как для нашей материальной Вселенной в процессе ее эволюции [25, 26], так и для гипотетической нематериальной Вселенной.

Согласно современным представлениям [26] в развитии нашей материальной Вселенной можно выделить ряд процессов самоорганизации и деградации: 1) исходный вакуум;

2) возникновение суперструн;

3) рождение частиц;

4) разделение вещества и излучения;

5) рождение Солнца, звезд, галактик;

6) возникновение цивилизации;

7) гибель Солнца;

8) гибель Вселенной.

Наша идея состоит в том, чтобы связать факт изменения скорости света с в процессе эволюции этих Вселенных с двумя факторами:

1) ввести для этих Вселенных зависимость скорости света с в вакууме от параметра самоорганизации, под которым понимается некоторая безразмерная величина, значение которой для материальной Вселенной возрастает от =0 до =+, а для нематериальной Вселенной убывает от =0 до = - ;

2) связать для этих Вселенных параметр самоорганизации с текущим временем Т их эволюции, начиная от значения Т=0 - сингулярности пространства времени («Большого Взрыва»).

9.3. Роль золотой пропорции и Платоновых тел в современной науке Важнейшая идея исследования состоит в том, чтобы поставить в центр наших ) ( рассуждений золотую пропорцию = 1 + 5 / 2, которая в течение многих тысячелетий считалось одной из важнейших математических констант Природы, связанной с процессами самоорганизации Вселенной.

Существует достаточно подтверждений о том, что золотая пропорция, и связанные с ней Платоновы тела проникли в различные области современного теоретического естествознания (кристаллография – квазикристаллы Шехтмана [27], химия – fullerenes (Нобелевская Премия 1996 г.), квантовая физика – теория Е-infinity Эль Нашие [28-32], генетика – «золотые» геноматрицы Петухова [33] и т.д. ).

Выше мы упоминали о геометрии Боднара [12] – новой геометрической теории филлотаксиса, основанной на «золотых» гиперболических функциях. Исследование резонансной структуры генетического кода и общая классификация генетических кодов на этой основе [34] является еще одним примером успешного применения «золотой»

фибоначчиевой гониометрии. Классификация генетических кодов, приведенная в [34], основана на принципе самоорганизации Природы.

Что касается гипотетической Вселенной, состоящей из антиматерии и для которой в процессе её эволюции время течёт в отрицательном направлении, то насколько известно авторам данной статьи, эти вопросы остаются открытыми.

В заключение уместно упомянуть о работах известного белорусского философа Эдуарда Сороко. В книге [35] им сформулирован следующий Закон структурной гармонии систем: «Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, структурно функциональную... устойчивость».

Все изложенные научные факты отражают важнейшую тенденцию современной науки – возврат к идеям Гармонии и Золотого Сечения, воплощенных в Пифагорейской доктрине о числовой гармонии Мироздания, космологии Платона и Началах Евклида.

9.4. Основные гипотезы исследования 1. Мы допускаем, что скорость света с в вакууме в процессе эволюции, как для нашей материальной Вселенной, так и для гипотетической антиматериальной Вселенной, не является постоянной величиной и не равна эйнштейновской скорости света в вакууме cэйн=3 • 108 м.сек-1 [м.сек-1] (более точно: cэйн= 2.998 • 108 [м.сек-1] ), используемой в СТО, хотя, априори, с может быть и сколь угодно близка к cэйн.

2. Мы постулируем следующую связь скорости света с в вакууме для этих Вселенных с вводимым ниже (пункт 10.1) параметром самоорганизации по формуле:

c = c ( ) = c ( ) c0. (130) Здесь приняты следующие обозначения и терминология:

с [м.сек-1] const – скорость света в вакууме;

c' эйн c0 м.сек 1 = const = - нормирующий множитель;

1+ = 1.61803 - золотая пропорция (безразмерная величина);

( + ) - параметр самоорганизации (безразмерный коэффициент);

c = c ( ) const - собственная нормированная фибоначчиевая скорость света в вакууме (безразмерная величина).

Вид функции c = c( ) будет конкретизирован ниже (пункт 10.1).

3. Мы связываем безразмерный параметр самоорганизации со временем Т [млд. лет ], отсчитываемый от момента «Большого Взрыва» (Т=0 ), по формуле:

T = a, (131) где а [млд. лет] – коэффициент пропорциональности. Как будет показано ниже (пункт 10.2) с учётом периода «Тёмных веков» (0.2 [млд. лет]) и соответствующему этому периоду значению = 2, получаем, что величина а=0.1 [ млд. лет]. Но тогда для современного времени Т =13.7 [млд. лет] существования нашей материальной Вселенной 13. из формулы (131) получаем «Вселенскую константу» = = 137.

0. 4. Мы применяем разработанные в части I соотношения и формулы «золотой фибоначчиевой гониометрии» для введения нового класса преобразований, названных нами преобразованиями Фибоначчи-Лоренца и являющихся обобщением классических преобразований Лоренца, используемых в СТО.

Эти новые преобразования позволяют качественно (и, иногда и количественно) интерпретировать эволюцию как нашей материальной Вселенной (Т0), так и анитиматериальной Вселенной (Т0).

10. Двумерные преобразования Фибоначчи-Лоренца 10.1. Собственные двумерные преобразования Фибоначчи-Лоренца Выше на плоскости Минковского R1 =(x0=ct,x1) были рассмотрены собственные двумерные преобразования Лоренца (124), которые, согласно (122), зависят от двух параметров: c- скорости света в вакууме, являющейся постоянной величиной в любой инерциальной системе отсчёта, и v - постоянной скорости движения одной инерциальной системы отсчёта K’ = (x’0=ct’,x’1) относительно другой инерциальной системы отсчёта K = (x0=ct,x1).

v Назовём величину v = нормированной относительной скоростью и c соотношение (122) перепишем в виде:

sh() v= = th(), v 1, +., (132) ch() Перепишем также соотношения (124) в виде:

( ct ) = ch ( )( ct ) +sh ( x ) (133) x = sh ( )( ct ) +ch ( x ) Предположим, что в соотношениях (133) параметр c const, а определяется соотношением (130).

Обозначим через = c0 t, =c0 t величины, имеющие размерность [м ].

Тогда (133) перепишется в виде:

c ( ) = c ( ) ch ( ) +sh ( x ) (134) x1 = c ( ) sh ( ) +ch ( x1) Разделим верхнее выражение в (134) на c( ), тогда получим преобразование вида:

sh() ch() c( ) x = (135) c( )sh() ch() x 1 Преобразованию (135) соответствует матрица вида sh() ch() ( ) = c( ), (136), c( )sh() ch() зависимая от двух параметров и, где является аргументом пока что неизвестной функции c( ).

Для того, чтобы конкретизировать функцию c ( ) и найти связь между и, приравняем матрицу (136) поэлементно к матрице cFs( 1) sFs( 2) () =, det ( ) = 1, (137) sFs( ) cFs( 1) то есть введём в рассмотрение матричное уравнение (, ) = ( ), где элементами матрицы (137) являются симметричные гиперболические функции Фибоначчи sFs,cFs вида (34).

Заметим, что матрицы ( ) получаются из «золотых матриц» (58) cFs( ) sFs( 1) Q0( ) = Q0 ( ) =, det Q0 ( ) = 1, sFs( 1) cFs( 2) умножением слева на постоянную матрицу, det A = 1, A= 1 то есть ( ) = AQ0 ( ).

Матрица (137) введена авторами данной статьи в [20], где элементы матрицы связаны между собой рекуррентным соотношением:

sFs ( ) = cFs ( 1) + sFs ( 2 ). (138) Матрицу (137) назовём собственной двумерной матрицей Фибоначчи –Лоренца, а преобразование cFs ( 1) sFs ( 2) = (139) sFs ( ) cFs ( 1) x x собственным двумерным преобразованием Фибоначчи -Лоренца Выбор матрицы ( ) вида (137) такой, что из матричного уравнения (, ) = ( ), как оказалось в дальнейшем, находится не только связь между и, но и конкретный вид функции c = c( ), обусловлен тем, что, отталкиваясь от классических преобразований Лоренца (124 ), мы приходим к преобразованиям (139), основанных на симметричных гиперболических функциях Фибоначчи (34), выражаемых через степени «золотой пропорции» (4) – древнейшей научной парадигме о красоте и гармонии Мироздания.

Поэтому мы надеялись (и это оправдалось) на получение новых неожиданных эффектов, согласованных как качественно (а иногда и количественно), с современными взглядами на эволюцию Мироздания с момента сингулярности пространства - времени – «Большого Взрыва». Заметим, что ни один из этих эффектов не может быть получен в рамках классических преобразований Лоренца и специальной теории относительности.

Но тогда из матричного уравнения (, ) = ( ) после поэлементного сравнения их элементов, получаем соотношения:



Pages:   || 2 |
 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.