авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Астрологический Прогноз на год: карьера, финансы, личная жизнь


2007 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 43, № 9

Початку третього тисячоліття

присвячується

Началу третьего тысячелетия

посвящается

To the Beginning of the Third Millennium УДК 539.3 © 2007 M. Бохнер, А.А.Мартынюк ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ А.М. ЛЯПУНОВА ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ВРЕМЕННОЙ ШКАЛЕ 150-летию со дня рождения А.М. Ляпунова посвящается §1. Введение. 6 июня 2007 г. исполнилось 150 лет со дня рождения великого рус ского ученого — математика и механика академика А.М. Ляпунова*. Подробный очерк о жизни и деятельности А.М. Ляпунова приведен в статье [10].

Основными направлениями научной деятельности Ляпунова являются:

- устойчивость равновесия и движения механических систем с конечным чис лом степеней свободы;

- фигуры равновесия равномерно вращающейся жидкости;

- устойчивость фигур равновесия вращающейся жидкости;

- уравнения математической физики;

- теория вероятностей;

- курсы лекций по теоретической механике.

Детальный анализ трудов А.М. Ляпунова по каждому из указанных направлений имеется в обзоре [11].

Работы, посвященные вопросам устойчивости движения систем с конечным чис лом степеней свободы, А.М. Ляпунов начал печатать в 1888 г. Строгое определение устойчивости было дано Ляпуновым в 1892 г. и явилось завершением его напряжен ной работы в период времени 1889–1892 гг. Принятое в настоящее время понятие “ус тойчивости по Ляпунову” является устойчивостью решений по отношению к возму щениям начальных данных на бесконечном промежутке времени. Точная формули ровка понятия устойчивости имела принципиальное значение для последующих по исков критериев устойчивости равновесия и/или движения механических и другой природы систем.

В 1892 г. Харьковским математическим обществом была опубликована работа А.М. Ляпунова “Общая задача об устойчивости движения” [3]. Эта работа была за щищена Александром Михайловичем как докторская диссертация в 1892 г. в Москов ском университете.

В этой работе А.М. Ляпунов рассматривает дифференциальные уравнения воз мущенного движения весьма общего вида и открывает два общих метода анализа их решений. Первый основан на интегрировании рассматриваемых уравнений при по мощи рядов специального вида. Второй основан на применении некоторой вспомога тельной функции, свойства которой вместе со свойствами ее полной производной по времени вдоль решений исследуемой системы позволяют сделать заключение о дина мическом поведении решений системы.

Наряду с этими двумя методами качественного анализа уравнений движения А.М.

Ляпунов ввел понятие характеристичного числа функции и применил его для анализа устойчивости решений линейных систем дифференциальных уравнений с перемен ными коэффициентами.

* Краткий обзор жизни и деятельности А.М. Ляпунова приведен в статье Ю.А.Митропольского и А.А.Мартынюка “Александр Михайлович Ляпунов (к 150-летию со дня рождения)” // Укр. матем. журн. — 2007. — 59, N 7. — C. 3–8.

ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2007, 43, № 9 А.М. Ляпунов полностью решил вопрос об устойчивости по первому прибли жению и исследовал проблему устойчивости решений уравнений возмущенного движения в некоторых критических случаях.

В списке литературы (см. [1–9, 20–24]) приведены опубликованные к настоя щему времени работы А.М. Ляпунова, посвященные проблеме устойчивости си стем с конечным числом степеней свободы, общей теории обыкновенных диффе ренциальных уравнений и классической механике. Заметим, что многие работы А.М. Ляпунова остаются все еще не опубликованными.

Целью данной статьи является изложение некоторых результатов анализа устойчивости решений нового класса уравнений возмущенного движения, полу чивших название динамических уравнений на временной шкале.

Уравнения на временной шкале представляют возможность для одновремен ного описания динамики непрерывных и дискретных во времени систем. Такие двухрежимные системы возникают в задачах импульсного управления и при опи сании некоторых технологических процессов с дискретным влиянием катализа тора.

§2. Элементы анализа на временной шкале. Необходимые сведения из математического анализа на временной шкале здесь приведены согласно моно графий [13, 14], где имеется обширная библиография.

2.1. Описание временной шкалы. Временной шкалой T называется прои звольное непустое замкнутое подмножество множества вещественных чисел R.

Примерами временной шкалы являются: множество R, целые числа Z, натураль ные числа N и неотрицательные натуральные числа N0. Наиболее распространен ными являются шкала T = R для непрерывных систем, T = Z для дискретных систем и T = q N0 = {q n : n N0 }, где q 1, для квантового анализа.

Для любого t T функция скачка вперёд (назад) определяется соотношения ми (t) = inf{s T : s t} и (t) = sup{s T : s t} соответственно.

При помощи операторов : T T и : T T текущие значения {t} на временной шкале T классифицируются так: если (t) = t ((t) = t), то точка t T называется плотной справа (слева);

если (t) t ((t) t), то точка t T называется рассеянной справа (слева) соответственно. При этом предполагается, что inf = sup T (т.е. (t) = t, если T содержит максимальный элемент t) и sup = inf T (т.е. (t) = t, если T содержит минимальный элемент t). Наряду с множеством T применяется множество T.

Если T содержит рассеянный слева максимум m, то T = T\{m} и T = T в остальных случаях. Следовательно, T\((sup T), sup T], если sup T, T = (2.1) если sup T =.



T, Расстояние от произвольного элемента t T до его последователя называется зернистостью временной шкалы T и определяется формулой µ(t) = (t) t. (2.2) Если T = R, то (t) = t = (t) и µ(t) = 0 и если T = Z, то (t) = t + 1, (t) = t и µ(t) = 1.

При рассмотрении уравнений на временной шкале в некоторых случаях при меняется принцип индукции на временной шкале T. В формулировке, принятой в монографии [13], этот принцип формулируется так.

Теорема 2.1. Пусть t0 T и предположим, что {S(t) : t [t0, )} некоторое семейство утверждений, удовлетворяющих таким условиям.

1. Утверждение S(t) верно при t = t0.

2. Если t [t0, ) рассеяно справа и S(t) верно, то S((t)) также верно.

3. Если t [t0, ) плотно справа и S(t) верно, то существует окрестность W значения t такая, что S(s) верно при всех s W (t, ).

4. Если t (t0, ) плотно слева и S(s) верно при всех s [t0, t), то S(t) верно.

Тогда S(t) верно при всех t [t0, ).

2.2. Дифференцирование на временной шкале. Далее рассмотрим фун кцию f : T R и определим её -производную в точке t T.

Пусть f : T R и функция f определена при всех t T. Функция f называ ется -дифференцируемой в точке t T, если существует такое R, что для любого 0 и W окрестности t T выполняется неравенство |[f ((t)) f (s)] [(t) s]| |(t) s| при всех s W. В этом случае обозначаем f (t) =.

Если функция f (t) является -дифференцируемой при любом t T, то f :

T R является -дифференцируемой на T.

Некоторые полезные соотношения для производной функции f (t) содержатся в таком утверждении.

Теорема 2.2. Предположим, что f : T R и t T. Тогда верны следующие утверждения:

(1) если f дифференцируемая в точке t, то она непрерывна в точке t;

(2) если f непрерывна в t и t является рассеянной справа, то f является диф ференцируемой в точке t с производной f ((t)) f (t) f (t) = ;

µ(t) (3) если t является плотной справа, то функция f дифференцируема в точке t если и только если существует предел f (t) f (s) lim, ts st f (t) f (s) являющийся конечным числом, и в этом случае f (t) = lim ;

ts st (4) если f дифференцируемая в точке t T, то f ((t)) = f (t) + µ(t)f (t).

Заметим, что если T = R, то f (t) = f (t), что является эйлеровой произво дной функции f (t), и если T = Z, то f (t) = f (t) = f (t + 1) f (t), т.е. получаем первую разность для функции f (t).

Далее приведём следующее утверждение.

Теорема 2.3. Предположим, что функции f, g : T R дифференцируемые в точке t T. Тогда верны следующие утверждения:

(1) сумма f + g : T R дифференцируема в точке t T и (f + g) (t) = f (t) + g (t);

(2) для любой постоянной, выражение f : T R дифференцируемо в точке t T и (f ) (t) = f (t);

(3) произведение двух функций f g : T R дифференцируемо в точке t T и (f g) (t) = f (t)g(t) + f ((t))g (t) = f (t)g (t) + f (t)g((t));

(4) если f (t)f ((t)) = 0 при всех t T, то функция 1/f дифференцируема в точке t T и f (t) (t) = ;

f f (t)f ((t)) (5) если g(t)g((t)) = 0 при всех t T, то выражение f /g дифференцируемо в точке t T и f (t)g(t) f (t)g (t) f (t) =.

g g(t)g((t)) 2.3. Интегрирование на временной шкале. Далее рассмотрим функции, интегрируемые на временной шкале T. Функцию f : T R будем называть упо рядоченной на T, если и только если существуют право- и левосторонние пределы во всех плотных справа и плотных слева точках на T, соответственно.

Функция f : T R является rd-непрерывной, если она непрерывна в плотных справа точках на T и существует левосторонний предел в плотных слева точках шкалы T.

Множество всех rd-непрерывных функций f : T R обозначается Crd = = Crd (T) = Crd (T, R).

Теорема 2.4. Предположим, что f : T R. Тогда верны следующие утвер ждения:

(1) если f непрерывна на T, то она является rd-непрерывной на T;

(2) если f является rd-непрерывной на T, то она является упорядоченной на T;

(3) функция : T T является rd-непрерывной;

(4) если f является упорядоченной или rd-непрерывной на T, то f ((t)) имеет те же свойства на T;

(5) если f : T R непрерывна и g : T R упорядочена и rd-непрерывна, то функция f (g(t)) является упорядоченной или rd-непрерывной, соответ ственно.

Некоторая функция F : T R с производной F (t) = f (t) является -анти производной функции f (t), и тогда для любых a, b T определяется интеграл b f (t)t = F (b) F (a). (2.3) a Любая rd-непрерывная функция f : T R имеет антипроизводную.

Если f (t) 0 на [a, b] и s, t T, a s t b, то t f ( ) f (s), f (t) = f (s) + s т.е. функция f (t) возрастает на T.

Некоторые свойства интегрирования на T содержатся в таком утверждении.

Теорема 2.5. Пусть a, b, c T, R и функции f, g Crd (T). Тогда b b b (i) [f (t) + g(t)]t = f (t)t + g(t)t;

a a a b b (ii) f (t)t = f (t)t;

a a b a (iii) f (t)t = f (t)t;

a b b c b (iv) f (t)t = f (t)t + f (t)t;

a a c b b f ((t))g (t)t = f (b)g(b) f (a)g(a) f (t)g(t)t;

(v) a a a (vi) f (t)t = 0;

a (t) t Tk ;

(vii) f ( ) = µ(t)f (t), t b b (viii) если |f (t)| g(t) на [a, b), то f (t)t g(t)t;

a a b (ix) если f (t) 0 при всех a t b, то f (t)t 0.

a Далее приведем правила -дифференцирования сложной функции. Напом ним, что если f, g : R R, то (f g) (t) = f (g(t))g (t).

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2.6. Пусть g : R R является непрерывной, g : T R является -дифференцируемой на Tk и f : R R непрерывно дифференцируема. Тогда существует c из интервала [t, (t)] такое, что (f g) (t) = f (g(c))g (t).

Приведем еще правило -дифференцирования сложной функции (f g), где g : T R и f : R R.

Теорема 2.7. Пусть функция f : R R непрерывно дифференцируема и функция g : T R является -дифференцируемой. Tогда (f g) : T R является -дифференцируемой и верно представление f (g(t) + hµ(t)g (t)) dh g (t).

(f g) (t) = Если sup T =, то несобственный интеграл определяется формулой b f (t)t = lim F (t) a b a при всех a T.

2.4. Определение экспоненциальной функции на T. Функция f : T R называется регрессивной, если 1 + µ(t)f (t) = 0 при всех t T, и положительно регрессивной, если 1 + µ(t)f (t) 0 при всех t T.

Для операции, определяемой выражением (p q)(t) = p(t) + q(t) + µ(t)p(t)q(t), t T, пара (R, ) является Абелевой группой, где R множество всех rd-непрерывных и регрессивных функций f : T R.

Если операция определяется соотношением p(t) p(t) =, 1 + µ(t)p(t) то p q = p (q) на R.

Заметим, что если p, q R, то p, q, p q, p q, q p R.

Для определения экспоненциальной функции на временной шкале T необхо димы следующие понятия.

Для некоторого h 0, следуя [16], будем рассматривать полосу Zh = z C: Im (z) (2.4) h h и множество Ch :

Ch = z C: z =. (2.5) h При h = 0, пусть Zh = C0 = Ch множество комплексных чисел.

Далее для h 0 определим цилиндрическое преобразование h : Ch Zh формулой Log(1 + zh), если h 0, h = h (2.6) z, если h = 0.

где Log является главной логарифмической функцией. Обратное цилиндриче ское преобразование h : Zh Ch определяется соотношением ezh = (exp zh 1)h1.

h (z) = (2.7) h Для функции p R экспоненциальная функция ep (t, s) определяется выражени ем t ep (t, s) = exp µ(t) (p( )), (s, t) T T, (2.8) s где h (z) цилиндрическое преобразование функции p(t).

Известны (см. [13]) следующие свойства экспоненциальной функции (2.8).

Пусть p, q R и t, r, s T. Тогда (i) e0 (t, s) 1 и ep (t, t) 1;

(ii) ep ((t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep (t, s);

(iii) = ep (t, s);

ep (t, s) (iv) ep (t, s) = = ep (s, t);

ep (s, t) (v) ep (t, s)ep (s, r) = ep (t, r);

(vi) ep (t, s)eq (t, s) = epq (t, s);

ep (t, s) (vii) = epq (t, s);

eq (t, s) t p( )d и если p(t) = const, то ep (t, s) = ep(ts) ;

(viii) если T = R, то ep (t, s) = e s t (ix) если T = Z, то ep (t, s) = (1 + p( ));

=s (ts) (x) если T = hZ, h 0 и p = const, то ep (t, s) = (1 + hp).

h 2.5. Формула вариации постоянных на T. На основе экспоненциальной функции (2.8) формула вариации постоянных имеет следующий вид.

Пусть f функция rd-непрерывная на T и p R. Тогда единственное решение начальной задачи x (t) = p(t)x((t)) + f (t), x(t0 ) = x0, (2.9) где t0 T и x0 R, выражается формулой t x(t) = ep (t, t0 )x0 + ep (t, )f ( ). (2.10) t Для функций f и p, определённых для задачи (2.9), единственное решение задачи x (t) = p(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0, (2.11) где t0 T и x0 R, выражается формулой t x(t) = ep (t, t0 )x0 + ep (t, ( ))f ( ).





t §3. Метод интегральных неравенств анализа устойчивости решений на временной шкале. Метод интегральных неравенств в теории устойчивости непрерывных систем разработан достаточно полно и основные результаты изло жены в ряде известных работ, среди которых отметим [27, 31].

Разработка этого метода для анализа устойчивости решений на временной шкале T связана с получением соответствующих неравенств, имеющих место на временной шкале.

В этом параграфе метод интегральных неравенств вводится для динамиче ских уравнений в форме x = A(t)x + f (t, x), f (t, 0) = 0, (3.1) где A R(T, Rnn ) со значением n N, f : T Rn Rn, F (t) = f (t, x(t)) удов летворяет условию F Crd (T) как только x является дифференцируемой фун кцией. Эти предположения гарантируют существование единственного решения x = x(·;

t0, x0 ) системы (3.1) при начальных условиях x(t0 ) = x0, где t0 T и x0 Rn. Согласно формулы (2.11) §2 это решение может быть представлено в форме t x(t) = x(t;

t0, x0 ) = eA (t, t0 )x0 + eA (t, ( ))f (, x( )). (3.2) t Предположим, что m N и о системе (3.1) сделаем два предположения:

m t t0, x Rn, f (t, x) a(t) x при где a Crd (T), (3.3) и eA (t, s) (t)(s) при t s t0, где, Crd (T). (3.4) При этих предположениях будут получены условия устойчивости, равномерной устойчивости и асимптотической устойчивости невозмущенного движения систе мы (3.1).

Далее рассматриваются случаи m = 1 и m 1. Если m = 1, тогда применяется известное неравенство Гронуолла на временной шкале. Если m 1, тогда приме няется динамическая версия неравенства Стахурской [33], которая доказывается в этой работе. Это неравенство является новым результатом для динамических уравнений и, в частности, из него следуют неравенства для непрерывного и дис кретного случаев.

Напомним стандартные определения некоторых типов устойчивости невозму щенного движения.

Определение 3.1. Невозмущенное движение системы (3.1) называется:

(S1 ) устойчивым, если для любых 0 и t0 T существует = (, t0 ) такое, что из условия x0 следует неравенство x(t;

t0, x0 ) при всех t t0 ;

(S2 ) равномерно устойчивым, если значение в определении (S1 ) не зависит от t0 ;

(S3 ) асимптитически устойчивым, если оно устойчиво и существует 0 такое, что из условия x0 0 следует limt x(t;

t0, x0 ) = 0.

3.1. Анализ устойчивости на основе неравенства Гронуолла. Нера венство Гронуолла для динамических уравнений имеет следующий вид (см. [13], Theorem 6.4).

Теорема 3.1 (Неравенство Гронуолла). Пусть функции y, f Crd и p 0. Тогда из неравенства t y(t) f (t) + y( )p( ) при всех t t t следует t y(t) f (t) + ep (t, ( ))f ( )p( ) при всех t t0.

t Далее применяется такой вариант этого неравенства (см.Corollary 6.7 в [13]).

Следствие 3.1. Пусть функция y Crd, p 0, и R. Тогда из неравен ства t y(t) + y( )p( ) при всех t t t следует y(t) ep (t, t0 ) при всех t t0.

Утверждение, аналогичное приведенному ниже, было получено для временной шкалы T = R (см. лемму 2 и теорему 5 в статье [28]).

Лемма 3.1. Предположим, что условие (3.3) выполняется при m = 1 и име ет место неравенство (3.4). Тогда любое решение системы (3.1) удовлетворяет оценке x(t;

t0, x0 ) (t)(t0 )e a (t, t0 ) x0 при всех t t0. (3.5) Доказательство. Прежде всего заметим, что при выполнении условий леммы 3.1 выполняются все условия следствия 3.1. Пусть x(t) решение системы (3.1) и, следовательно, при всех t t0 из соотношения (3.2) и условий (3.3), (3.4) находим оценку t x(t;

t0, x0 ) (t)(t0 ) x0 + (t)(( ))a( ) x( ;

t0, x0 ).

t Заменой y = x(·;

t0, x0 ) / преобразуем это неравенство к виду t y(t) (t0 ) x0 + ( )(( ))a( )y( ) при всех t t0.

t Применяя к этому неравенству следствие 3.1, получим оценку y(t) (t0 ) x0 e a (t, t0 ) при всех t t0.

Учитывая сделанную выше замену функции y, находим неравенство (3.5). Этим лемма 3.1 доказана.

Теорема 3.2. Предположим, что для системы (3.1) выполняется условие (3.3) при m = 1 и неравенство (3.4).

(1) Если при всех s t0 существует K(s) 0 такое, что (t)e a (t, s) K(s) при всех t s t0, то невозмущенное движение системы (3.1) устойчиво;

(2) если существует K 0 такое, что (t)(s)e a (t, s) K при всех t s t0, то невозмущенное движение системы (3.1) равномерно устойчиво;

(3) если lim {(t)e a (t, s)} = 0, то невозмущенное движение системы (3.1) t асимптотически устойчиво.

Доказательство. Докажем утверждение (1). Пусть 0 и t0 T. Определим (, t0 ) = K 1 (t0 ) 1 (t0 ) и предположим, что x0. Тогда согласно леммы 3.1 получим x(t;

t0, x0 ) (t)(t0 )e a (t, t0 ) (t0 )K(t0 ) =.

Далее докажем утверждение (2). Пусть 0. Определим () = K 1 и предположим, что x0. Как и выше, применяя лемму 3.1, находим x(t;

t0, x0 ) (t)(t0 )e a (t, t0 ) K =.

Теперь докажем утверждение (3). Так как e a (·, s) стремится к нулю, то это выражение ограничено. При этом в силу утверждения (1) теоремы невозму щенное движение устойчиво. Пусть 0 = 1 и предположим, что x0 0. Тогда согласно лемме 3.1 имеем x(t;

t0, x0 ) (t)(t0 )e a (t, t0 ) 0, как только t.

3.2. Анализ устойчивости на основе неравенства Стахурской. Для до казательства неравенства Стахурской на временной шкале понадобятся две лем мы.

Лемма 3.2. Если f g и f, g R+, то f g.

Доказательство. При сделанных предположениях вычисляем f g gf (f ) (g) = + = 0.

1 + µf 1 + µg (1 + µf )(1 + µg) Лемма 3.3. Если f 0 и g (0, 1], то (f /g) (f )/g.

Доказательство. Прямым вычислением получаем µf 2 (1 g) f f f f = + = 0, g g g + µf g + µf g (g + µf )(g + µf g) что и требовалось доказать.

Теорема 3.3 (Неравенство Стахурской). Предположим, что функции f, g, p rd-непрерывны и неотрицательные на T. Пусть m N \{1}. Если частное f /p является неубывающим на T, то для любой функции x(t), удовлетворяющей неравенству t q(s)xm (s)s x(t) f (t) + p(t) при всех t t0 (3.6) t верна оценка f (t) x(t) (3.7) 1/(m1) t (qpf m1 )(s)s 1 + (m 1) t на интервале [t0, tm ), где tm является первой точкой, в которой знаменатель в правой части неравенства (3.7) становится неположительным.

Доказательство. Докажем это утверждение методом индукции. Предполо жим вначале, что неравенство (3.6) выполняется при m = 2. Определим функцию t f (t) q(s)x2 (s)s + v(t) =.

p(t) t Тогда имеем x pv и f f v = qx2 + qp2 v 2 +, p p и согласно теоремы 6.1 из монографии [13] находим оценку t f f (t) v(t) eqp2 v (t, t0 ) v(t0 ) + eqp2 v ((s), t0 ) (s)s eqp2 v (t, t0 ), p p(t) t так как v(t0 ) = f (t0 )/g(t0 ), (f /p) 0 и eqp2 v2 ((s), t0 ) 1. Далее определим V = eqp2 v (·, t0 ) так, что v f /(pV ), и тогда qp2 v qpf /V ;

применяя леммы 3. и 3.2, получаем qpf qpf qp2 v.

V V Таким образом, имеем qpf V = (qp2 v)V V = qpf.

V Отсюда находим t t V (t) V (t0 ) + (qpf )(s)s = 1 + (qpf )(s)s t0 t и, следовательно, f (t) f (t) v(t).

p(t)V (t) t p(t) 1 + (qpf )(s)s t Подставляя эту оценку в неравенство x pv, получаем требуемое неравенство при m = 2.

Теперь предположим, что утверждение теоремы 3.3 верно для некоторого m N \ {1}. Пусть неравенство (3.6) верно при замене m на m + 1. Тогда t q(s)x(s)xm (s)s x(t) f (t) + p(t) t и, применяя принцип индукции, получаем t f (t) (qxpf m1 )(s)s.

где x(t), u(t) := 1/(m1) {1 + (m 1)u(t)} t Применяя вновь леммы 3.2 и 3.3, получим qpf m qpf m u = qxpf m1.

1/(m1) 1/(m1) {1 + (m 1)u} {1 + (m 1)u} Таким образом, 1/(m1) mu {1 + (m 1)u} m(qpf m ).

Пусть F (x) = (1 + (m 1)x)m/(m1) при x 0, так что F (x) = m(1 + (m 1)x)1/(m1) является неубывающей функцией. Применяя цепное правило Келлера (см. [13], теорема 1.90), получим (1 + (m 1)u)m/(m1) = (F u) = u F (u(1 h) + hu )dh u F (u)dh = u F (u) m(qpf m ), 0 и его следствие u u. Интегрируя при этом используется неравенство u это неравенство, получаем t m/(m1) (1 + (m 1)u)m/(m1) {1 + (m 1)u} (t) = 1 + (s)s t t (qpf m )(s)s 1+m t и, как следствие, 1/m t 1/(m1) (qpf m )(s)s {1 + (m 1)u(t)} 1+m.

t Подставляя эту оценку в неравенство x f /(1 + (m 1)u)1/(m1), получим нера венство (3.7) с заменой m на m + 1. Этим теорема 3.3 доказана.

Приведем теперь результат, имеющий ключевое значение для этого раздела.

Прототипом этого утверждения является лемма 1 из статьи [28], доказанная для временной шкалы T = R.

Лемма 3.4. Предположим, что для системы (3.1) выполняется условие (3.3) при m 1 и условие (3.4). Тогда любое решение системы (3.1) удовле творяет оценке (t)(t0 ) x x(t;

t0, x0 ) (3.8) 1/(m1) m m1 (t 1 (m 1) x0 0 )D(t, t0 ) при всех t t0, для которых m m1 (t0 )D(t, t0 ) 1, (m 1) x где t m ( )(( ))a( ).

D(t, t0 ) = t Доказательство. Вначале заметим, что в данном утверждении все условия теоремы 3.3 выполняются. Пусть x решение системы (3.1). Тогда вследствие соотношения (3.2) при всех t t0 верна оценка t m x(t;

t0, x0 ) (t)(t0 ) x0 + (t)(( ))a( ) x( ;

t0, x0 ).

t Следовательно, функция y = x(·;

t0, x0 ) / удовлетворяет неравенству t m ( )(( ))a( )y m ( ) y(t) (t0 ) x0 + при всех t t0.

t Согласно теоремы 3.3 имеем неравенство (t0 ) x y(t), 1/(m1) t m (m a m1 (t0 ) 1 + (m 1) x0 )( ) t которое выполняется до тех пор, пока знаменатель остается положительным. Так как g g = g при всех g 0, 1 + µg то, возвращаясь к определению y, находим, что неравенство (3.8) доказано.

Оценка (3.8) позволяет установить новые условия устойчивости невозмущен ного движения квазилинейной системы (3.1) на временной шкале аналогично то му, как это было сделано для системы обыкновенных дифференциальных урав нений (cf. [28], теоремы 1–3).

Теорема 3.4. Предположим, что для системы (3.1) выполняется условие (3.3) при m 1 и условие (3.4).

(1) Если при всех s t0 существует K(s) 0 такое, что (t) K(s) при всех t s t0 и D(t0 ) = lim D(t, t0 ), (3.9) t то невозмущенное движение системы (3.1) устойчиво;

(2) если существуют K1, K2 0 такие, что (t)(s) K1 при всех t s t0 и m1 (s) lim D(t, s) K2 при всех s t0, то невозмущенное t движение системы (3.1) равномерно устойчиво;

(3) если выполняется условие (3.9) и lim (t) = 0, то невозмущенное движе t ние системы (3.1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Докажем вначале утверждение (1) теоремы 3.4. Пусть и t0 T. Определим (, t0 ) = min [2(m 1) m1 (t0 )D(t0 )]1/(m1), 1 (t0 )K 1 (t0 )21/(m1) и предположим, что x0. Тогда согласно лемме 3.4 имеем (t)(t0 ) x(t;

t0, x0 ) 1/(m1) 1) m1 m1 (t {1 (m 0 )D(t, t0 )} (t)(t0 ) 1 (t0 )K 1 (t0 )21/(m1) 1/(m1) {1 (m 1)21 (m 1)1 1m (t0 )D1 (t0 ) m1 (t0 )D(t, t0 )} 21/(m1) =.

1/(m1) {1 21 } Теперь докажем утверждение (2). Пусть задано 0. Определим () = min [2(m 1)K2 ]1/(m1), K1 21/(m1) и предположим, что x0. В этом случае согласно лемме 3.4 имеем (t)(t0 ) x(t;

t0, x0 ) 1/(m1) 1) m1 m1 (t {1 (m 0 )D(t, t0 )} (t)(t0 )K1 21/(m1) 1/(m1) 1)21 (m 1)1 K2 m1 (t0 )D(t, t0 ) 1 (m 21/(m1) =.

1/(m1) {1 21 } Доказательство утверждения (3) следующее. Так как стремится к нулю, то оно ограничено. Согласно утверждению (1) невозмущенное движение устойчиво.

Пусть 0 0 такое, что знаменатель в неравенстве (3.8) положителен, и предпо ложим, что x0 0. Тогда согласно лемме 3. (t)(t0 ) x(t;

t0, x0 ) 1/(m1) m1 m 1 (m 1)0 (t0 )D(t, t0 ) как только t.

§4. Анализ устойчивости на основе обобщенного прямого метода Ля пунова. Созданный А.М. Ляпуновым [3] прямой метод исследования устойчиво сти движения непрерывных систем с конечным числом степеней свободы к на стоящему времени распространен на многие классы систем дифференциальных уравнений (см. [25] и библиографию там).

4.1. Общие теоремы. В данном параграфе приведены основные теоремы прямого метода Ляпунова для динамических уравнений на временной шкале T.

На временной шкале T будем рассматривать следующие подмножества:

A = {t T : t плотные слева и рассеяны справа};

B = {t T : t рассеяны слева и рассеяны справа};

C = {t T : t рассеяны слева и плотные справа};

D = {t T : t плотные слева и плотные справа}.

Предположим, что sup T = a A D и inf T = b B D, и обозначим эйлерову производную вектора состояния системы x(t) Rn, t T через x(t), если она существует.

Для анализа устойчивости нулевого решения системы на временной шкале рассматривается система динамических уравнений возмущенного движения x (t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0, (4.1) где x((t)) x(t), если t A C, x (t) = µ(t) x(t) в остальных точках, x Rn, f : T Rn Rn. О системе (4.1) сделаем следующие предположения.

H1. Вектор-функция F (t) = f (t, x(t)) удовлетворяет условию F Crd (T), как только x является дифференцируемой функцией со значениями в N, N Rn открытая связная окрестность состояния x = 0.

H2. Вектор-функция f (t, x) является покомпонентно регрессивной, т.е.

eT + µ(t)f (t, x) = 0 при всех t [t0, ), где eT = (1,..., 1)T Rn.

H3. f (t, x) = 0 при всех t [t0, ), если и только если x = 0.

H4. Функция зернистости 0 µ(t) M при всех t T, где M компактное множество.

В качестве вспомогательной функции для анализа устойчивости состояния x = 0 системы (4.1) будем применять матрично-значную функцию [25] U (t, x) = [vij (t, x)], i, j = 1,..., m, (4.2) где vii (t, x) : T Rn R+ при i = 1,..., m и vij (t, x) : T Rn R при i = j, i, j = 1,..., m.

Предполагается, что элементы vij (t, x) функции (4.2) удовлетворяют услови ям:

(а) vij (t, x) локально Липшицевы по x при всех t T;

(б) vij (t, x) = 0 при всех t T, если только x = 0;

(в) vij (t, x) = vji (t, x) при всех t T и i, j = 1,..., m.

Наряду с функцией (4.2) будем использовать скалярную функцию v(t, x, ) = T U (t, x), Rm, (4.3) + и функции сравнения K-класса. Напомним, что вещественная функция a(r) при надлежит K-классу (KR-классу), если она определена, непрерывнa и строго во зрастает при 0 r r1 (0 r +) и a(0) = 0.

Определение 4.1. Матрично-значная функция (4.2) называется:

(а) положительно (отрицательно) полуопределенной на T N, N Rn, если v(t, x, ) 0 (v(t, x, ) 0) при всех (t, x, ) T N Rm соответственно;

+ (б) положительно определенной на T N, N Rn, если существует функция a K-классу такая, что v(t, x, ) a( x ) при всех (t, x, ) T N Rm ;

+ (в) убывающей на T N, если существует функция b K-классу такая, что v(t, x, ) b( x ) при всех (t, x, ) T N Rm ;

+ (г) радиально неограниченной на T N, если v(t, x, ) + при x +, при (t, x, ) T N Rm.

+ Предложение 4.1. Матрично-значная функция U : T Rn Rmm являе тся положительно определённой на T, если и только если функция (4.3) может быть представлена в виде T U (t, x) = T U+ (t, x) + a( x ), t T, где U+ (t, x) положительно полуопределенная матрично-значная функция и a K-классу.

Предложение 4.2. Матрично-значная функция U : T Rn Rmm являе тся убывающей на T, если и только если функция (4.3) может быть представ лена в виде T U (t, x) = T U (t, x) + b( x ), t T, где U (t, x) отрицательно полуопределённая матрично-значная функция и b K-классу.

Далее будет использоваться выражение полной -производной функции (4.3) вдоль решений системы (4.1). Определим его так:

v+ (t, x, ) = T U+ (t, x), Rm, t T, + где U+ (t, x) вычисляется поэлементно согласно формулы lim{[uij (t + h) uij (t)]h1 : h 0, h + t T}, если t = (t), U+ (t) = [uij ((t)) uij (t)]µ1 (t), если t (t), где uij (t) = uij (t, x(t;

t0, x0 )).

В частном случае, когда v(t, x, ) = xT x, x Rn, согласно правилу (3) теоре мы 2.3 имеем v+ (t, x, ) = (xT x) (t) = xT (t)x (t) + xT (t)x((t)) = = xT (t)f (t, x(t)) + f T (t, x(t))[x(t) + µ(t)f (t, x(t))].

Если T = R, то µ(t) = 0 и dT (x x) = xT f (t, x) + f T (t, x)x.

v+ (t, x, ) = dt Если U (t, x) = xxT, x Rn, то v+ (t, x, ) = T (xxT ) (t) = T {x(t)f T (t, x(t))+ T T f (t, x)x (t) + µ(t)f (t, x(t))f (t, x(t))}. Если T = R, то µ(t) = 0 и d v+ (t, x, ) = T (xxT ) = T {x(t)f T (t, x) + f (t, x)xT (t)}.

dt Далее сформулируем утверждения об устойчивости состояния равновесия x = 0 системы (4.1).

Теорема 4.1. Предположим, что вектор-функция f (t, x) в системе (4.1) удовлетворяет предположениям H1 –H4 на T N, N Rn. Если существует:

(1) матрично-значная функция U : T N Rmm и вектор Rm та- + кие, что функция v(t, x, ) = T U (t, x) локально Липшицева по x при всех t T;

(2) функции сравнения i1, i2, i3 K-классу и m m-матрицы Aj, j = 1, 2, такие, что при всех (t, x) T N T (a) 1 ( x )A1 1 ( x ) v(t, x, );

T (б) v(t, x, ) 2 ( x )A2 2 ( x );

(в) существует m m матрица A3 = A3 (µ(t)) такая, что T v+ (t, x, ) 3 ( x )A3 3 ( x ) при всех (t, x) T N ;

[AT (µ(t)) + A3 (µ(t))] A3 (µ ) (г) существует 0 µ M такое, что при любых 0 µ(t) µ, положительно определённые и матрица A = тогда, если матрицы A1 и A2 = A3 (µ ) отрицательно полуопределенная, то состояние x = 0 системы (4.1) устойчиво при условиях 2(a), 2(б), 2(г) и равномерно устойчиво при условиях 2(a)–2(г).

Доказательство. Из того, что A1 и A2 положительно определенные матрицы, следует, что m (A1 ) 0 и M (A2 ) 0, где m (A1 ) и M (A2 ) минимальное и максимальное собственные значения матриц A1 и A2 соответственно. Учитывая это, оценки (a), (б) из условия 2 теоремы 4.1 представим в виде m (A1 )1 ( x ) v(t, x, ) M (A2 )2 ( x ) при всех (t, x) T N, где 1, 2 K-классу такие, что T T 1 ( x ) 1 ( x )1 ( x ), 2 ( x ) 2 ( x )2 ( x ) при всех x N.

Пусть 0 и S(t) следующее утверждение:

Существует = () 0 такое, что из условия x0 следует x(t;

t0, x0 ).

Пусть S = {t [t0, ) : S(t) не верно}.

Покажем, что при выполнении условий теоремы 4.1, множество S =. Пред положим обратное, что S =. Из того, что S замкнутое и непустое, следует, что inf S = t S. Покажем, что утверждение S(t ) верно. Пусть t = t0, тогда S(t0 ) верно, так как x(t0 ;

t0, x0 ) при x0, так как x(t0 ;

t0, x0 ) = x0.

Далее, пусть t = t0. Покажем, что и в этом случае S(t ) верно.

Действительно, выберем 1 = 1 () так, что M (A2 )2 (1 ) m (A1 )1 ().

Далее, пусть = min(, 1 ) такое, что x(t ;

t0, x0 ) и x(t;

t0, x0 ), при t [t0, t ) и x0. Из условия 2(в), 2(г) теоремы 4.1 имеем v+ (t, x, ) M (A )3 ( x ) при всех (t, x, ) T N Rm. Отсюда при t = t имеем + m (A1 )1 () = m (A1 )1 ( x(t ;

t0, x0 ) ) v(t, x(t ), ) (4.4) v(t0, x0, ) M (A2 )2 () при x0. Из противоречия (4.4) следует, что S(t ) верно, так что t S.

Следовательно, S =. Этим теорема 4.1 доказана.

Следствие 4.1 (cf. [18]). Пусть вектор-функция f в системе (4.1) удовлетво ряет предположениям H1 –H4 на T N, N Rn и существует, по крайней мере, одна пара индексов (p, q) [1, m], для которой (vpq (t, x) = 0) U (t, x) и функция v(t, x, ) = eT U (t, x)e = v(t, x) при всех (t, x) T N удовлетворяет условиям:

(a) 1 ( x ) v(t, x);

(б) v(t, x) 2 ( x );

(в) v (t, x)|(4.1) 0 при всех 0 µ(t) µ M, где 1, 2 некоторые функции K-класса.

Тогда состояние x = 0 системы (4.1) устойчиво при условиях (а) и (с) и рав номерно устойчиво при условиях (а)–(с).

Теорема 4.2. Предположим, что вектор-функция f (t, x) в системе (4.1) удовлетворяет условиям H1 –H4 на T N, N Rn. Если существуют:

(1) матрично-значная функция U : T Rn Rmm и вектор Rm та- + кие, что функция v(t, x, ) = T U (t, x) локально Липшицева по x при всех t T;

(2) функции сравнения i1, i2, i3 K-классу и mm матрицы Bj, j = 1, 2, 3, такие, что:

T (a) 1 ( x )B1 1 ( x ) v(t, x, );

(б) v(t, x, ) 2 ( x )B2 2 ( x ) при всех (t, x, ) T N Rm ;

T + (в) существует m m матрица B3 = B3 (µ(t)) такая, что T v+ (t, x, ) 3 ( x )B3 3 ( x ) + w(t, 3 ( x )) при всех (t, x, ) T N Rm, где функция w(t, ·) удовлетворяют + условию |w(t, 3 ( x ))| = 0 при lim 3 равномерно по t T;

1 T (г) существует 0 µ M такое, что [B3 (µ(t)) + B3 (µ(t))] B3 (µ ) при любых 0 µ(t) µ, тогда, если матрицы B1 и B2 положительно определённые и матрица B3 = = B3 (µ ) отрицательно определённая, то:

(а) при условии 2(а), 2(в) состояние x = 0 системы (4.1) асимптотически устойчиво на T;

(б) при условиях 2(а)–2(в) состояние системы (4.1) равномерно асимптоти чески устойчиво на T.

Доказательство. Рассмотрим утверждение {S1 (t) : S(t) при t [t0, ) и lim x(t;

t0, x0 ) = 0, если x0 (t0 )}.

t Применяя рассуждения, аналогичные приведeнным в доказательстве теоремы 4.1, нетрудно проверить справедливость утверждений теоремы 4.2.

Следствие 4.2 (cf. [18]). Пусть вектор-функция f в системе (4.1) удовлетво ряет условиям H1 –H4 на T N, N Rn и существует, по крайней мере, одна пара индексов (p, q) [1, m], для которой (vpq (t, x) = 0) U (t, x) и функция v(t, x, ) = eT U (t, x)e = v(t, x) при всех (t, x) T N удовлетворяет условиям:

(a) 1 ( x ) v(t, x);

(б) v(t, x) 2 ( x );

(в) при всех 0 µ(t) µ M выполняется неравенство v (t, x)|(4.1) 3 ( x ) + m(t, 3 ( x )) и |m(t, 3 ( x ))| при lim 3 3 ( x ) равномерно по t T, где 1, 2, 3 функции сравнения класса K.

Тогда при условиях (а), (в) состояние x = 0 системы (4.1) асимптотически устойчиво и при условиях (а)–(в) состояние x = 0 системы (4.1) равномерно асим птотически устойчиво.

Теорема 4.3. Предположим, что вектор-функция f (t, x) в системе (4.1) удовлетворяет условиям H1 H4 на T N, N Rn. Пусть:

(1) существуют матрично-значная функция U : T Rn Rmm и вектор Rm такие, что функция v(t, x, ) = T U (t, x) локально Липшицева + по x при всех t T;

(2) существуют 1, 3 K и m m матрица A1 такие, что при всех (t, x) T N:

T (a) 1 ( x )A1 1 ( x ) v(t, x, );

(б) существует m m матрица C3 = C3 (µ(t)) такая, что v+ (t, x, ) 3 ( x )C3 3 ( x ) при (t, x, ) T L Rm, L N ;

T + 1 T (в) существует mm матрица C3 (µ ) [C3 (µ(t))+C3 (µ(t))], µ M, t T;

(3) точка x = 0 принадлежит границе L;

(4) v(t, x, ) = 0 на T (L B ), где B = {x Rn : x }.

Тогда, если матрицы A1, C3 (µ ) положительно определенные, то состо яние x = 0 системы (4.1) неустойчиво.

Доказательство этой теоремы основано на рассмотрении утверждения {S2 (t) : существует t1 [t0, ) такое, что x(t1 ;

t0, x0 ) при любом 0, для которого x0 } и применении рассуждений, аналогичных приведенным при доказательстве тео ремы 4.1.

Следствие 4.3 (cf. [18]). Пусть вектор-функция f в системе (4.1) удовле творяет условиям H1 –H4 на T N, N Rn и существует по крайней ме ре одна пара (p, q) [1, m] для которой (vpq (t, x) = 0) U (t, x) и функция v(t, x, e) = eT U (t, x)e = v(t, x) при всех (t, x) T N удовлетворяет условиям:

(a) 1 ( x ) v(t, x), 1 K;

(б) при всех 0 µ(t) µ M выполняется неравенство v+ (t, x, )|(4.1) 3 ( x ), 3 K;

(в) точка (x = 0) L;

(г) v(t, x) = 0 на T (T B ).

Тогда состояние равновесия x = 0 системы (4.1) неустойчиво.

Пример 4.1. Рассмотрим уравнения возмущенного движения на T с функцией зернистости 0 µ(t) + x = y(x + y), x(t0 ) = x0, (4.5) y = x(x + y), y(t0 ) = y0.

Для функции v(x, y) = x2 + y 2 при T = R имеем v(x(t), y(t)) = при всех tR (4.6) и v+ (x(t), y(t))|(4.5) = µ(t)(x + y)2 (x2 + y 2 ) (4.7) Из (4.6) следует, что x = y = 0 системы, соответствующей (4.5) при T = R устойчиво, в то время как x = y = 0 системы (4.5) неустойчиво при любой функции зернистости 0 µ(t) +.

Пример 4.2. Пусть задана система динамических уравнений x = x y(x2 + y 2 ), x(t0 ) = x0, (4.8) 2 y = y + x(x + y ), y(t0 ) = y0.

Для функции v(x, y) = x2 + y 2 при T = R имеем v(x(t), y(t)) = 2(x2 + y 2 ) при всех tR (4.9) и на T v+ (x(t), y(t))|(4.8) = 2(x2 + y 2 ) + µ(t)[x2 + y 2 + (x2 + y 2 )3 ].

(4.10) Из анализа (4.9), (4.10) следует, что x = y = 0 системы, соответствующей системе (4.8) при T = R, асимптотически устойчиво.

Если шкала T имеет зернистость µ(t) = 1, т.е. T = Z, то при начальных значених (x0, y0 ) из области x2 + y0 1 нулевое решение системы (4.8) будет асимптотически устойчиво на Z. Если же µ(t) = 2, что соответствует временной шкале T = 2N0 = {k0, k0 + 2, k0 + 4,... }, то v (x(t), y(t))|(4.8) = 2(x2 + y 2 )3 (4.11) и состояние равновесия x = y = 0 системы (4.8) неустойчиво.

4.2. Линейные системы. Рассмотрим временную шкалу T и линейное одно родное динамическое уравнение x (t) = A(t)x(t), t T, (4.12) где матрица A : T Rnn является rd-непрерывной и регрессивной. Вместе с уравнением (4.12) рассмотрим начальную задачу x (t) = A(t)x(t), x(s) = x0, (4.13) где s T и x0 Rn.

В некоторых случаях поведение решения x(t) системы (4.12) может быть ис следовано при помощи функции v(x(t)) = xT x, для которой v (x(t))|(4.12) = xT (AT A)(t)x, (4.14) где (AT A)(t) = AT (t) + A(t) + µ(t)AT (t)A(t).

Следуя [12], определим множества:

s (T) = {A R(T) : c R+, для которого (AT A)(t) 2cI 0 при всех t T};

u (T) = {A R(T) : c 0, для которого (AT A)(t) 2cI при всех t T}, n n единичная матрица, R+ где I множество положительно регрессивных |M u| функций. Пусть норма матрицы M определяется формулой M = supu=0.

|u| Известно [12] следующее утверждение.

Теорема 4.4. Пусть в системе (4.12) матрица A s (T), тогда:

(a) eA (t, s) ec (t, s) при всех s t;

(б) eA (t, s) ec (t, s) при всех s t;

(в) limt eA (t, s) = 0 при каждом фиксированном s и lims eA (t, s) = 0 при каждом фиксированном t.

Если матрица A u (T), то:

(г) eA (t, s) ec (t, s) при всех t s;

(д) eA (t, s) ec (t, s) при всех t s;

(е) limt eA (t, s) = при каждом фиксированном s и lims eA (t, s) = = 0 при каждом фиксированном t.

Доказательство этих утверждений основано на анализе выражения -произ водной функции v(x) = xT x:

v (x(t))|(4.12) = (2 c)v(x(t)), (4.15) где 2 c = c c = 2c + µc2.

Далее применим теоремы 4.1–4.3 к системе (4.12). Предположим, что в матрично-значной функции U (t, x) элементы vij (t, x), i, j = 1, 2,..., n, такие, что vii (t, x) = x2, i = 1, 2,..., n, и vij (t, x) 0 при i = j. В этом случае функция (4.3) i с = (1, 1,..., 1)T Rn имеет вид + v(t, x, ) = T U (t, x) = xT x, (t Tk ). (4.16) Следствие 4.4. Пусть система (4.1) имеет вид (4.12) и функция (4.3) име ет вид (4.16). Тогда, если существует µ M такое, что матрица D0 (t, µ(t)) в выражении v+ (t, x(t)) = xT (t)D0 (t, µ(t))x(t), (4.17) где D0 (t, µ(t)) = (AT A)(t), отрицательно полуопределенная (отрицательно опре делена) при всех 0 µ(t) µ M, то состояние равновесия x = 0 системы (4.12) устойчиво (асимптотически устойчиво) соответственно.

Далее рассмотрим случай, когда v(t, x, ) = T U (t, x) = xT H(t)x, t Tk, (4.18) где H C1 (Tk, Rnn ), и предположим, что выполняется условие rd xT H(t)x x(t) t Tk, x(t) (4.19) где, 0 const.

Следствие 4.5 (cf. [15]). Пусть система (4.1) имеет вид (4.12) и для фун кции (4.18) выполняется оценка (4.19). Тогда, если существует µ M такое, что матрица D1 (t, µ(t)) в выражении v+ (t, x(t))|(4.12) = xT (t)D1 (t, µ)x(t), (4.20) где D1 (t, µ) = (I + µAT (t))H (t)(I + µA(t)) + AT (t)H(t) + H(t)A(t) + µAT (t)H(t)A(t), (4.21) отрицательно полуопределенная (отрицательно определенная) при всех µ(t) µ M, то состояние равновесия x = 0 системы (4.12) равномерно устойчиво (равномерно асимптотически устойчиво) соответственно.

Замечание 4.1. Если в выражении (4.21) -производная матрицы H(t), H (t) 0 при всех t Tk, то анализ знакоопределенности выражения v+ (t, x(t))|(4.12) упрощается.

Далее предположим, что существует положительно-определенная постоянная матрица Q, Q = QT, такая, что AT (t)H(t) + H(t)A(t) + µ(t)AT (t)H(t)A(t) = Q. (4.22) Тогда выражение (4.20) принимает вид v+ (t, x(t))|(4.12) = xT (t)[(I + µ(t)AT (t))H (t)(I + µ(t)A(t)) Q]x(t), t Tk.

(4.23) Из уравнения (I + µ(t)AT (t))H (t)(I + µ(t)A(t)) Q = определим µmax = max { µ(t) : t Tk } M.

Следствие 4.6. Пусть система (4.1) имеет вид (4.12) и для функции (4.18) выполняются условия (4.19) и при 0 µ(t) µmax выполняется неравенство A(t)H(t) + H(t)A(t) + µ(t)AT (t)H(t)A(t) Q, тогда состояние равновесия x = 0 системы (4.12) равномерно асимптотически устойчиво.

Матричное уравнение (4.22) является обобщением известного матричного уравнения Ляпунова [34] AT H + HA = Q (4.24) для устойчивой автономной системы, для которого известно решение в виде exp(AT s)Q exp(As) ds.

H= (4.25) Матрица A в уравнении (4.24) является постоянной и устойчивой.

Для того, чтобы построить решение H(t) уравнения (4.22) на Tk будет исполь зовано следующее утверждение.

Предложение 4.3 [13]. Пусть матрица A R(T, Rnn ) и C Rnn диффе ренцируемая матрица на T. Если C является решением матричного динамиче ского уравнения C = A( )C C(( ))A( ), то C( )eA (, s) = eA (, s)C(s).

Следствие 4.7. Пусть матрица A R и C постоянная матрица. Если матрица C коммутирует с A(t), то C коммутирует с eA(t). В частности, если A(t) постоянная матрица относительно eA(t), то A(t) коммутирует с eA(t).

Используя предложение 4.3, в работе [15] найдено решение уравнения (4.22) в следующем виде.

Предложение 4.4. Предположим, что система (4.12) такова, что все соб ственные значения nn матрицы A(t) лежат в круге Хильгера: {z C : |z + h | = = h }, h 0 при всех t t0. Тогда для каждого t T существует некоторая временная шкала S такая, что интегрирование на TS = [0, ) позволяет найти решение уравнения (4.22) в виде H(t) = eAT (s, 0)QeA (s, 0)s. (4.26) TS Кроме того, если матрица Q положительно определенная, то матрица H(t) также положительно определенная при всех t t0.

Доказательство этого утверждения проводится прямой подстановкой выра жения (4.26) в левую часть уравнения (4.22). При этом рассматриваются случаи µ(t) 0 и S = µ(t)N0 и µ(t) = 0;

S = R.

Следствие 4.8. Пусть система (4.1) имеет вид (4.12) и для функции (4.18) выполняется оценка x(t) 2 xT H(t)x, 0 = const при всех (t, x) T Rn, H(t) Crd (T, Rnn ). Если существует значение 0 µ M такое, что хотя бы для одного значения t T матрица D1 (t, µ(t)) в выражении (4.20) полуопреде ленно положительная (определенно положительная), то состояние x = 0 системы (4.12) неустойчиво (сильно неустойчиво).

Под сильной неустойчивостью понимается экспоненциальный рост решения x(t) на T системы (4.12).

В заключение этого параграфа заметим, что в [19] приведены условия суще ствования функции Ляпунова в случае равномерной экспоненциальной устойчи вости нулевого решения системы (4.12) на временной шкале в виде v(t, x) = sup x(t + ;

t, x) ec, (4.27) At где At = { [0, ) : t + T}.

Теоремы обращения с функциями вида (4.27) для непрерывных систем дока заны в монографиях [34, 35].

§5. Заключительные замечания. Доказательства всех утверждений, при веденных в §2, имеются в монографиях [13, 14] (см. также [16, 17]). Приведенные в статье достаточные условия устойчивости, равномерной устойчивости, асим птотической устойчивости и неустойчивости получены на основе двух общих подходов, анонсированных в данной работе. А именно, в §3 изложен подход, в основе которого лежит применение интегральных неравенств, имеющих место на временной шкале. Для анализа устойчивости невозмущенного движения квази линейной системы (3.1) применяется известное из [13] неравенство Гронуолла и нелинейное неравенство Стахурской на временной шкале, которое установлено в данной статье впервые. Это неравенство доказано для случая целых m в нера венстве (3.6).

В §4 анализ устойчивости системы (4.1) проведен на основе обобщенного пря мого метода Ляпунова. Это обобщение связано с применением матрично-значной функции для динамических уравнений на временной шкале. В работе [30] положе но начало такого рода исследованиям. Применение матрично-значных функций для динамических уравнений на временной шкале позволяет строить гетероген ные функции Ляпунова [26], т.е. функции, состоящие из непрерывных и дискре тных компонент, что невозможно сделать в рамках скалярной функции Ляпуно ва. Некоторая конкретизация в выборе функции Ляпунова проведена при иссле довании линейных динамических уравнений. В заключительной теореме 4.5 при ведены условия существования функции Ляпунова в случае экспоненциальной устойчивости невозмущенного движения на временной шкале. Этим иллюстри руется универсальность прямого метода Ляпунова для динамических уравнений на временной шкале.

Заметим, что построение общей теории устойчивости динамических уравне ний на временной шкале является одной из открытых проблем теории уравне ний этого класса. Представляет несомненный интерес для приложений обобще ние предложенных подходов для анализа колебательных систем [28, 29], а также гибридных систем [32], содержащих непрерывную и дискретную компоненты.

Р Е З Ю М Е. В статтi дослiджується стiйкiсть динамiчних рiвнянь на часовiй шкалi.

Основними результатами є новi умови стiйкостi, рiвномiрної стiйкостi та рiвномiрної асимптотичної стiйкостi для квазiлiнiйних та нелiнiйних систем.

S U M M A R Y. Stability of dynamic equations on time scales is considered in the paper/ The main results are new conditions of stability, uniform stability and uniform asymptotic stability for quasilinear and nonlinear systems.

Key words: dynamic equations on time scales, stability, uniform stability, asymptotic stability, nonlinear integral inequality, Liapunov functions.

1. Ляпунов А.М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости // 1.

Сообщ. Харьк. матем. общ., 2-я серия. 1888. С. 7– 60.

2. Ляпунов А.М. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех 2, № 1–2.

телах // Сообщ. Харьк. матем. общ., 2-серия. 1889. С. 1– 94.

3. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Харьк. матем.

общ., 1892. XI. 250 с.

4. Ляпунов А.М. К вопросу об устойчивости движения. (Дополнение к сочинению “Об щая задача об устойчивости движения”. Харьков, 1892.) // Записки Харьк. уни верситета. 1893. № 1. С. 99 –104.

5. Ляпунов А.М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости XVII, вып. 2.

движения // Матем. cборник. 1893. С. 253 – 333.

6. Ляпунов А.М. О рядах, предложенных Hill’ем для представлеия движения луны // Тр. Отд. физ. наук Общ. любит. естествознания (Москва). 1896. VIII, вып.1.

С. 1– 23.

7. Ляпунов А.М. Об одном вопросе, касающемся линейных дифференциальных урав неий второго порядка с периодическими коэффициентами // Сообщ. Харьк. матем.

V, №№ 3–6.

общ., 2-я серия. 1896. С. 190–254.

8. Ляпунов А.М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Ленинград: Изд-во Ленинград. ун-та., 1963. 116 с.

9. Ляпунов А.М. Лекции по теоретической механике. Киев: Наук. думка, 1982.

632 с.

10. Ляпунов Б.М. Краткий очерк жизни и деятельности А.М. Ляпунова // А.М. Ляпу нов. Лекции по теоретической механике. Киев: Наукова думка, 1982. C. 7–22.

11. Смирнов В.И. Очерк научных трудов А.М. Ляпунова // А.М. Ляпунов. Избранные труды / Ред. aкадемик В.И.Смирнов. M.: Изд-во АН СССР, 1948. C. 341– 450.

12. Bohner M., Hering R. Perturbations of dynamic equations // J. Dierence Eqns Appl.

8, N 4.

2002. P. 295–305.

13. Bohner M., Peterson A. Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Appli cations. Boston: Birkhuser, 2001.

a 358 pp.

14. Bohner M., Peterson A. Advances in Dynamic Equations on Time Scales. Boston:

Birkhuser, 2003.

a 348 pp.

15. DaCunha J.J. Lyapunov Stability and Floquet Theory for Nonautonomous Linear Dynamic Systems on Time Scales. Waco, Texas, 2004. (Manuscript) 102 p.

16. Hilger S. Analysis on measure chains: a unied approach to continuous and discrete 18.

calculus // Res. in Mathematics. 1990. P. 18–56.

17. Hilscher R. Linear Hamiltonian systems on time scales: Transformations // Dynam.

8, N 3–4.

Systems Appl. 1999. P. 489–501. In: Special Issue on “Discrete and Continuous Hamiltonian Systems”, edited by R.P. Agarwal and M. Bohner.

18. Hoacker J., and Tisdell C.C. Stability and instability for dynamic equations on time scales // Computers and Mathematics with Applications. 2005. bf49, N 9–10. P.

1327–1334.

19. Kloeden P.E., Zmorzynska A. Lyapunov functions for linear nonautonomous dynami cal systems on time scales // Advances in Dierence Equations. 2006. Article ID 69106. P. 1–10.

20. Liapunov A.M. Sur une srie relative ` la thorie des quations direntielles linaires e a e e e e ` coecients priodiques // Comptes rendus de l’Acad. des sciences. Paris.

a e 1896.

CXXIII. P. 1248–1252.

21. Liapunov A.M. Sur l’instabilite de l’quilibre dans certains cas o` la fonction de forces e u n’est pas un maximum // Journ. de mathem. pures et appl., Paris. 1897. 5 series, III. – P. 81–94.

22. Liapunov A.M. Sur une quation direntielle linaire du second ordre // Comptes rendus e e e CXXVIII.

de l’Acad. des sciences. Paris. 1899. P. 910–913.

23. Liapunov A.M. Sur une quation transcendante et les quations direntielles linaires e e e e du second ordre ` coecients priodiques // Comptes rendus de l’Acad. des sciences.

a e CXXVIII.

Paris. 1899. P. 1085–1088.

24. Liapunov A.M. Sur une srie dans la thorie des quations direntielles linaires du e e e e e second ordre ` coecients priodiques // Записки Акад. наук по Физ.-матем. отд.

a e 8-я серия. XIII, N 2.

1902. C. 1–70.

25. Martynyuk A.A. Stability by Liapunov Matrix Functions Method with Applications.

New York: Marcel Dekker, 1998. 276 p.

26. Martynyuk A.A. Stability of Motion. The Role of Multicomponent Liapunov Functi ons. London: Cambridge Scientic Publishers, 2007. – 300 p.

27. Martynyuk A.A., Lakshmikantham V., Leela S. Stability of Motion: Method of Integral Inequalities. Kiev: Naukova Dumka, 1989. – 272 p. [Russian].

28. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. On oscillations od a frictional pendulum // Int. Appl.

42, N 2.

Mech. 2006. P. 214–220.

29. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Complex behaviour of a trajectory in single- and double 41, N 3.

frequency systems. 2005. P. 315–323.

30. Martynyuk-Chernienko Yu.A. On the stability of dynamical systems on a time scale // 413.

Dokl. Acad. Nauk. 2007. P. 1–5. [Russian].

31. Oziraner A.S. On the stability of motion by rst approximation // Prikl. Math. and 41, № 3.

Mekh. 1977. P. 413–421. [Russian].

32. Slyn’ko V.I. Practical stability conditions for a quasilinear hybrid system // Int. Appl.

41, N 2.

Mech. 2005. P. 222–232.

33. Stachurska B. On a nonlinear integral inequality // Zeszyty Nauk. Uniw. Jagiello. Prace 15.

Mat. 1971. P. 151–157.

34. Yoshizawa T. Stability Theory by Liapunov’s Second Method. The Mathematical Society of Japan, Tokyo, 1966. 223 p.

35. Zubov V.I. Mathematical Investigation of Automatic Control Systems. Leningrad:

Mashinostroeniye, 1979. 335 p. [Russian] БОХНЕР МАРТИН Уроженец Германии доктор Бохнер является профес сором математики в университете Миссури-Ролла (США).

Он получил степень бакалавра и магистра по математиче ской экономике в университете Ульма (Германия) в г. и 1993 г., соответственно. Степень магистра по при кладной математике он получил в университете Сан Диего (США) в 1992 г. Степень доктора по естественным наукам он получил в 1995 г. в университете Ульма. В г. доктор Бохнер был сотрудником университета Гуген хейма в Штудгарте. В 1997 г. он получил стипендию А.Гумбольдта и проводил исследования в Национальном университете в Сингапуре и в 1998 в университете Сан Диего (США). Доктор Бохнер работал в университете Миссури-Ролла в 1998 г., в Технологическом университете во Флориде в 2001 г. и вновь вернулся в университет Миссури-Ролла в 2002 г.

Основными направлениями его научной деятельности являются: теория диффе ренциальных и разностных уравнений, Гамильтоновы системы, теория уравнений на временной шкале, проблемы собственных значений для опера торных уравнений, тео рия колебаний. Его работы имеют приложения в инженерии, экономике, биологии и финансовом деле.

Профессор Бохнер автор четырех монографий и свыше 100 научных статей. Он является редактором трех международных журналов и членом редколлегий 15 меж дународных математических журналов. Доктор Бохнер является вице-президентом Международного Общества по разностным уравнениям. Он имеет награды от универ ситета Миссури-Ролла за научные работы и обучение.

МАРТЫНЮК АНАТОЛИЙ АНДРЕЕВИЧ А.А.Мартынюк родился в Украине. В 1963 г. закончил Черкасский педагогический институт им. 300-летия вос соединения Украины с Россией. С 1964 г. – аспирант Ин ститута механики АН УССР (ныне Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины). В 1967 и 1973 гг. он защитил кандидатскую и докторскую диссертации в Ин ституте математики АН УССР (ныне Институт математи ки НАН Украины) соответственно. С 1973 по 1978 г. ра ботал в Институте математики НАН Украины. С 1978 г.

работает в Институте механики им. С.П.Тимошенко заве дующим отделом устойчивости процессов. Звание про фессора присвоено в 1985 г. В 1988 г. избран членом корреспондентом НАН Украины.

Основные научные результаты относятся к следующим научным направлениям:

создание метода матрично-значных функций Ляпунова;

теории устойчивости движе ния;

нелинейная механика;

устойчивость крупномасштабных систем;

математическая биология.

Автор (соавтор) 315 научных работ, 20 монографий. Подготовил 2 доктора и кандидатов наук. Лауреат премии им. Н.М.Крылова НАН Украины (1981). Редактор Международной серии научных монографий "Stability, Oscillations and Optimization of Systems" в издательстве Cambridge Scientific Publishers (Великобритания). Член ред коллегий 5 Международных журналов. Член и заместитель председателя Националь ного комитета Украины по теоретической и прикладной механике (1993).

Ун-т Миссури-Ролла, Ролла (США) Ин-т механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев (Украина) Поступила 02.03.

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.