авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Мирошникова О.В., Филимонова З.А

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

ИНФОРМАЦИИ

Учебное пособие для специальностей

050100 «Педагогическое образование»

030401 «Клиническая психология»

ТЕМА 1. Представление информации в виде формул, таб-

лиц, графиков, диаграмм

Математическая формула лат.

(от formula –

уменьшительное от forma — образ, вид) — принятая в математике

(а также физике и прикладных науках) символическая запись законченного логического суждения (определения величины, уравнения, неравенства или тождества).

В более широком смысле формула — всякая чисто символьная запись, противопоставляемая в математике различным выразительным способам, имеющим геометрическую коннотацию:

чертежам, графикам, диаграммам, графам и т.п.

Как правило, в формулу входят переменные (одна или более), причём сама формула представляет собой не просто выражение, а некое суждение. Такое суждение может утверждать что-то о пере менных, а может — о применяемых операциях. Точный смысл формулы зачастую подразумевается из контекста и его невозможно понять непосредственно из её вида. Можно выделить три распро странённых случая:

1. Формула должна сообщить, как искать значения перемен ной (уравнения и т.п.);

2. Формула (записываемая как « искомое = выражение ») оп ределяет величину через свои параметры 3. Формула является собственно логическим утверждением:

тождеством (например, аксиомой), утверждением теоремы и т.п.

Таблицы Таблица - это список приближенных (или точных) значений какой-либо функции при разных (точных!) значениях аргумента (или аргументов). Входом таблицы называют значения аргументов функции. Шагом называют интервал задания аргумента. Таблицы могут быть с одним или двумя входами. В первом случае она может быть оформлена в виде двух колонок. Например, отношение длины дуги к величине стрелки при различных значениях центрального угла (в градусах) выглядит так:

l = cosec h2 l/h 1 458. 2 229. 3 152.......

Статистическая таблица – это особый способ краткой и на глядной записи сведений об изучаемых общественных явлениях.

По внешнему виду статистическая таблица представляет со бой ряд пересекающихся горизонтальных и вертикальных линий, образующих по горизонтали строки, а по вертикали – графы (столбцы, колонки), которые в совокупности составляют как бы скелет таблицы.

В образовавшиеся внутри таблицы клетки записывается ин формация. Составленную таблицу принято называть макетом таб лицы.

Статистическая таблица имеет свое подлежащее и сказуемое.

Подлежащее таблицы показывает, о каком явлении идет речь в таблице, и представляет собой группы и подгруппы, которые ха рактеризуются рядом показателей.

Сказуемым таблицы называются числовые показатели, с по мощью которых характеризуется объект, т. е. подлежащее таблицы.

Показатели, образующие подлежащее, располагают в левой части таблицы, а показатели, составляющие сказуемое, помещают справа.

Составленная и оформленная статистическая таблица должна иметь общий, боковые и верхние заголовки.

Одними из ответственных моментов построения статистиче ских таблиц являются разработка сказуемого, определение его со держания, правильное установление связи между группировочны ми признаками и показателями, их характеризующими.

График Современную науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного анализа и обобщения. Та кие свойства графиков, как выразительность, доходчивость, лако ничность, универсальность, смысловая однозначность, интерна циональность, легкость кодирования, а также обозримость графи ческих изображений сделали их незаменимыми в исследователь ской и практической работе.

График может иллюстрировать функциональную зависимость или служить вычислительным средством, позволяющим по значе нию одной переменной “считать” с чертежа значение второй пере менной. Если в первом случае шкалы могут быть схематическими, скелетными, то во втором они должны быть детальными. График обычно помещают в рамку, на сторонах этой рамки наносят штри хи шкал. Как правило, штрихи направляют внутрь рамки, а обозна чения переменных и единицы измерения - вне. Необходимо сле дить, чтобы поле чертежа было использовано оптимально. Пустое поле можно занять какой-либо дополнительной информацией. Для наилучшей демонстрации функциональной зависимости необходи мо подобрать наиболее подходящие шкалы.

Пример. График функции f ( x ) = x Статистический график – чертеж, на котором при помощи условных геометрических фигур (линий, точек или других симво лических знаков) изображаются статистические данные.

Диаграмма представляет чертеж, на котором статистическая информация изображается посредством геометрических фигур или символических знаков.

Наиболее простой вид диаграммы – это столбиковые диа граммы, при которых построение данных изображается в виде столбиков от количественных значений изображаемых величин по определенному масштабу.

Разновидностью столбиковых диаграмм являются ленточные диаграммы, изображающие размеры признака в виде расположен ных по горизонтали прямоугольников одинаковой ширины, но раз личной длины, пропорционально изображаемым величинам.

Ленточная диаграмма представляет ряд простирающихся по оси абсцисс полос одинаковой ширины. Длина полос (лент) должна соответствовать значениям изображаемых показателей.

В таких диаграммах удобно располагать надписи. Ее также используют для характеристики отдельных единиц совокупности.

Достоинство линейных графиков в том, что на одном и том же поле графика можно изобразить несколько показателей, которые позволят сравнить и выявить специфику их развития во времени или характере изменения одного показателя по различным объек там в пространстве или на территории.

Линейные графики иногда строятся с логарифмической шка лой по оси ординат. В статистике коммерческой деятельности стро ятся графики с равномерной шкалой. Координатную сетку, в кото рой по оси абсцисс нанесена шкала в равномерном масштабе, при нято называть арифметической.

Графики с равномерной шкалой по оси ординат дают доста точно наглядное представление об изменениях изучаемых абсо лютных показателей.

При построении столбиковых диаграмм используется прямо угольная система координат. Значение изучаемого показателя изо бражается в виде вертикального столбика.

Количество столбиков определяется числом изучаемых пока зателей (данных).

Столбиковые и полосовые диаграммы подходят для характе ристики структуры совокупности. Структура состава воспринима ется лучше в относительных величинах.

Диаграммы, в которых сравниваемые величины изображаются в виде правильных геометрических фигур, строятся так, чтобы площади их соотносились между собой как значения величин, эти ми фигурами изображаемых. Эти диаграммы должны выражать ве личину изображаемого явления размером своей площади. Для по строения квадратных и круговых диаграмм необходимо из стати стических данных извлечь квадратные корни, затем определить сторону квадрата или радиус круга соответственно принятому масштабу.

Решение задач по теме занятия.

Формулы.

5 ( f 32) 1. Из формулы с =, где f – температура в градусах Фаренгейта, с – температура в градусах Цельсия, выразите пере менную через с.

а) Как изменится площадь прямоугольника, если:

б) Его длину и ширину уменьшить на 10 %;

в) Его длину увеличить на 30%, а ширину уменьшить на 30%.

2. Как изменится объем куба, если длину его ребра увеличить на 20 %?

a+b 3. Выразите из формулы S = h переменную b.

4. Задайте формулой зависимость массы куска пробки от его объема, если известно, что плотность пробки равна 0,18 г/см3. Най дите по формуле: а) массу куска пробки, объем которого равен см3;

б) объем куска пробки, масса которого равно 64,9 г.

5. Укорочение мышцы при одиночном раздражении описыва kt ется уравнением Релея y = bte 2, где t - время;

b, k - постоянные.

Выразить постоянную k.

6. Амплитуда вынужденных колебаний материальной точки f, где – коэффици выражается функцией A = ( 0 ) + 2 22 ент затухания, 0 – частота собственных колебаний материальной точки, – частота вынуждающей силы, f 0 – амплитудное значение вынуждающей силы, приходящейся на единицу массы. Выразите частоту вынуждающей силы.

7. Энергия ультразвука (УЗ) определяется уравнением:

E = BV sin( t ), где B и – постоянные, выразить время t.

( 8. Для увеличения сокоотдачи при обработке свежего лекарст венного растительного вещества используется ультразвук (УЗ).

Общее уравнение сокоотдачи при использовании УЗ имеет вид:

y = A(1 + k t 0,7 e 0,0125h ), где A и k – постоянные, t продолжитель ность процесса (время), h толщина «озвучиваемого» слоя сырья.

Выразить продолжительность процесса.

Таблицы.

1) Заполните таблицу, вычислив значения выражений для указанных в верхней строке значений а:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 a 15 3a 3a 2) Составьте и заполните таблицу с двумя входами, вычис лив значения выражения:

а) a 2 2ab + b 2 при всех целых а и b, удовлетворяющих нера венствам a 4 и b б) (a + b )2 при всех целых а и b, удовлетворяющих неравенст вам a 3 и b 3.

Графики и диаграммы.

На рисунке показано из менение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в граду сах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую темпера туру воздуха 22 января. Опре делите по рисунку наимень шую температуру воздуха 23 января. Определите по рисунку раз ность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха января.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются ме сяцы, по вертикали - темпера тура в градусах Цельсия. Оп ределите по диаграмме наи меньшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включи тельно. Определите по диа грамме разность между наибольшей и наименьшей среднемесяч ными температурами в 1973 году. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с положительной среднемесячной темпера турой.

ТЕМА 2: Элементы теории множеств.

Совокупность элементов, объединённых некоторым признаком, свойством, составляет понятие множество. Например, множество книг в библиотеке, множество студентов в группе, множество натуральных чисел N и т.д.

Запись a M означает: элемент a принадлежит множеству М, т. е. элемент a обладает некоторым признаком. Аналогично a M читается: элемент a не принадлежит множеству М.

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера.

Множество K на рис. 1.1 называют подмножеством множества М и обозначают K M.

Множество называется K подмножеством множества M ( K M ), если для любого x K выполняется x M.

Рис. 1.1.

Универсальным называется множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком.

Если множество не содержит элементов, обладающих данным признаком, то оно называется пустым и обозначается.

Равными называют два множества A и B, состоящие из одинаковых элементов: A = B.

Число элементов множества A называется мощностью () множества и обозначается A или n( A).

Множество, элементами которого являются подмножества множества М, называется семейством множества М или булеаном этого множества и обозначается В(М).

Мощность булеана множества М вычисляется по формуле:

B (M ) = 2n, где n – это мощность множества М.

Пример.

{ } M 2 n = 2 i | i Z, i 0};

B ( M ) = {, { y}, { x}, {a}, { y, x}, { x, a}, { y, a}, { y, x, a}}.

}}} } } } } Множество считается заданным, если перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству. Само свойство называется характеристическим.

В качестве характеристического свойства может выступать указанная для этого свойства порождающая процедура, которая описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов.

Множество всех чисел, являющихся неотрицательными степенями числа 2 можно задать:

а) перечислением элементов: M 2n = { 1, 2, 4, 8, 16, 32,...};

} б) указанием характеристического свойства:

{ } M 2 n = 2 i | i Z, i 0};

в) с помощью порождающей процедуры по индуктивным правилам: 1 M 2 n ;

если k M 2 n, то (2k ) M 2 n.

Суммой или объединением двух множеств Х и Y называется множество, состоящее из элементов, входящих или во множество Х, или во множество Y, а может в оба множества одновременно (рис. 1.2). Обозначается: Z = X U Y.

Рис. 1.2.

Пересечением множеств Х и Y называется множество, со стоящее из элементов, входящих одновременно и во множество Х, и во множество Y (рис. 1.3). Обозначается: Z = X I Y.

Разностью множеств X и Y называется множество Z, содер жащее все элементы множества X, не содержащиеся в Y (рис. 1.4);

эта разность обозначается: Z = X \Y.

Рис. 1.3. Рис. 1.4.

Дополнением X множества X до универсального множества U (рис. 1.5) является множество X = { x i | x i X, x i U }.

Симметрической разностью множеств X и Y называется множество Z, содержащее либо элементы множества X, либо эле менты множества Y, но не те и другие одновременно (рис. 1.6);

эта разность обозначается X •\• Y.

X •\• Y = ( X \Y ) U (Y \ X ) Рис. 1.5. Рис. 1.6.

Вместо выражения «любое х из множества Х» можно писать, x X где перевёрнутая латинская буква А взята от начала анг лийского слова Any – любой.

Вместо выражения «существует элемент х из множества Х»

кратко пишут: x X, где перевёрнутая латинская буква Е являет ся начальной в английском слове Existence – существование.

Множество A можно разбить на классы (непересекающиеся подмножества) Ai, если:

объединение всех подмножеств совпадает с множеством A:

A = U Ai ;

i пересечение любых двух различных подмножеств пусто, т.е. для любых i j выполняется Ai I A j =.

Для операций над множествами справедливы следующие тож дества:

законы коммутативности объединения и пересечения X UY = Y U X, X IY = Y I X ;

законы ассоциативности объединения и пересечения ( X UY ) U Z = Y U ( X U Z ), ( X I Y ) I Z = Y I ( X I Z );

законы дистрибутивности пересечения относительно объ единения и объединения относительно пересечения X I (Y U Z ) = ( X IY ) U ( X I Z ), X U (Y I Z ) = ( X U Y ) I ( X U Z ) законы поглощения X U (X IY ) = X, X I (X UY ) = X законы склеивания ( ) ( ) (X IY ) U X IY = X, (X UY ) I X UY = X законы Порецкого ( ) ( ) (X UY ) I X UY = X, X I X UY = X IY.

Операция I имеет преимущество перед операцией U. Скобки - для наглядности.

законы идемпотентности объединения и пересечения XUX = X, XIX = X законы действия с универсальным (U) и пустым ( ) мно жествами X U = X X UU = U X U X =U X I = X IU = X X IX = законы де Моргана X IY = X UY, X UY = X IY закон двойного дополнения X = X.

Пары (ai, b j ) задают соответствие между множествами A и B, если указано правило R, по которому для элемента множества A выбирается элемент из множества B.

Пусть для некоторого элемента a множества A поставлен в со ответствие некоторый элемент b из множества B, который называ () ется образом элемента a и записывается b = R(a).

Тогда a = R 1 (b) - прообраз элемента b B.

) Образ множества A при соответствии R называется множест () () вом значений этого соответствия и обозначается R( A), если R( A) состоит из образов всех элементов множества А:

R( A) = { b | a A, b B : b = R(a )}.

() ( Прообраз множества B при некотором соответствии R назы вают областью определения этого соответствия и обозначают R 1 ( B) т.е. R 1 ( B ) = { a | b B, a A : R(a ) = b}.

) ( } R 1 является обратным соответствием для R.

Для описания соответствий между множествами используют понятие отображения.

Для задания отображения f необходимо указать:

множество, которое отображается (область определения отображения), обозначается D( f ) ;

( множество, в (на) которое отображается область опреде ления (множество значений этого отображения), обозначается E ( f );

закон или соответствие между этими множествами, по которому для элементов первого множества выбраны элементы из второго.

При записи f : A B подразумевается, что отображение f определено всюду на A, т.е. A – полный прообраз отображения f, хотя для B такое свойство полноты не подразумевается.

Однозначным называется отображение, где каждому аргу менту поставлено в соответствие не более одного образа.

Отображения можно задавать:

а) аналитически (с помощью формул);

б) графически (с помощью стрелочных схем);

в) с помощью таблиц.

Классификация отображений по мощности На множество, «сюръекция», рис 1.7;

Рис. 1.7.

Соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В.

На множество, «биекция», рис 1.8;

Рис. 1.8.

Отображение множества А на множество В, при котором каж дому элементу множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно-однозначным соответствием между двумя множествами, или биекцией.

Во множество, «инъекция» рис 1.9.

Рис. 1.9.

Соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу В соответствует не более одного прообраза из А, называется отобра жением множества А во множество В.

Пусть множество А отображается взаимно-однозначно на множество В, т.е. f : A B. Тогда отображение, при котором ка ждому элементу множества В ставится в соответствие его прообраз из множества А, называется обратным отображением для f и за писывается B A или f 1 : B A.

f Если между элементами множеств установлено взаимно однозначное соответствие, то эти множества равносильны, рав номощны, или эквивалентны.

Множество, содержащее конечное число элементов, называет ся конечным. Пустое множество является конечным и имеет мощ ность, равную нулю, т.е. = 0. Множество, не являющееся ко нечным, называется бесконечным.

Бесконечное множество, эквивалентное множеству натураль ных чисел N, называется счётным. В противном случае бесконеч ное множество будет несчётным.

Теорема. Любое конечное множество не эквивалентно ника кому его собственному подмножеству, кроме самого себя.

Следствие. Всякое непустое конечное множество эквива лентно одному и только одному отрезку натурального ряда чисел [1, n].

] Счётными являются множество Z целых чисел и Q рацио нальных чисел. Множество R действительных чисел несчётно.

Множество действительных чисел называется множеством мощности континуума (от лат. continuum – непрерывный).

Решение задач по теме занятия.

1. Вычисление множеств.

Дано:

U = { 1;

2;

3;

4;

5;

6;

7;

8;

9;

10;

11}, } A = { 1;

2;

3;

7;

9}, } B = { 3;

4;

5;

6;

10;

11}, } C = { 2;

3;

4;

7;

8}, } D = { 1;

7;

11}.} Вычислить множества:

1) A U B = { 1;

2;

3;

4;

5;

6;

7;

8;

9;

10;

11}, } 2) ( A U C ) I D = { 1;

2;

3;

4;

7;

8;

9} I D = {1;

7}, } } 3) ( A \ D) U C = { 2;

3;

9} U C = { 2;

3;

4;

7;

8;

9}, ) } } 4) ( B C ) I D = { 2;

5;

6;

7;

8;

10;

11} I D = { 7;

11}, } } 5) B \ C I ( D \ A) = { 5;

6;

7;

10;

11} I ( D \ A) = ) } ) = {1;

2;

3;

4;

7;

8;

9} I {11} =.

} } 2. Выражение множеств.

Пусть:

U = { 1;

2;

3;

4;

5;

6;

7;

8;

9}, } A = { 1;

2;

3;

5}, } B = { 2;

4;

6;

8},} C = { 1;

3;

5;

7}, } D = { 4;

5;

7;

8}.

} Выразить через известные множества A, B, C, D следующие множества:

1) { 1;

2;

3;

4;

5;

7;

8} = A U D, } 2) { 4;

7;

8} = D \ A, } 3) { 2;

5;

6;

7} = B D, } 4) { 2;

5} = A \ (C \ D), } ) 5) { 5;

7;

9} = ( A I D) U ( A U B ), } ) 6) { 4;

5} = } Невозможно выразить через данные множества, так как эле менты 4 и 8 одновременно принадлежат или не принадлежат дан ным множествам.

3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера Изобразить с помощью кругов Эйлера следующие множества:

A B ( A B) C 1) C ((( A B) C ) \ ( A B)) (D \ ( A C )) 2) 3) B C \ (A D) & (A C ) (D \ A \ C ) 4) & 4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера ((B C ) \ D) ( D \ A \ C) & (A \ D) (C \ (B D )) ТЕМА 3: Функции. Свойства элементарных функций.

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х - независимая переменная или аргумент. Пе ременная у - зависимая переменная.

Свойства функции.

1.Четность и нечетность.

Определение. Функция называется четной, если для всех значений переменной х, принадлежащих области определения функции, значение (-х) тоже принадлежит области определения функции и выполнено равенство f (-x) = f (x).

Определение. Функция называется нечетной, если для всех значений переменной х, принадлежащих области определения функции, значение (-х) тоже принадлежит области определения функции и выполнено равенство f (-x) = - f (x).

График четной функции симметричен относительно оси орди нат, а график нечетной функции центрально симметричен относи тельно начала координат.

Функцию, не являющуюся четной или нечетной, называют функцией общего вида.

Например, функции y = x, y = x 2n, у = cos x – четные;

функ + ции;

y = x 2 n+1, у = sin x, y = tg x – нечетные;

функции y = х + 1, у = а х, у = log а х – ни четные, ни нечетные.

2. Нули функции.

Нули функции – это абсциссы точек пересечения графика с осью OX (y=0).

х1, х2, х3 – нули функции y = f(x).

3.Промежуткизнакопостоянства – это промежутки на ко торых функция либо только положительна либо только отрица тельна.

В промежутке, на котором функция положительна, график ее расположен над осью OX;

а на котором функция отрицательна – под осью OX.

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y = f ( x ) необходимо решить неравенства f ( x ) 0 и f ( x ) 0.

1. Периодичность.

Определение. Функция y = f ( x ) называется периодической, если существует такое число T 0, что для всех х из области опре деления х + T и х Т также принадлежат области допустимых значений и f ( х + T ) = f ( х T ) = f ( х ). Число Т называется перио дом функции.

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

Периодическими являются все известные тригонометрические функции.

2. Монотонность (возрастание, убывание).

Определение. Функцию, возрастающую или убывающую на всей области определения, называют монотонной в области опре деления.

Определение. Функция y = f ( x ) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений x1 и x2 из это го промежутка таких, что x2 x1, выполнено неравенство f ( х2 ) f ( х1 ), т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение. Функция y = f ( x ) называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений x1 и x2 из этого x2 x1, выполнено неравенство промежутка таких, что f ( х2 ) f ( х1 ), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Интервалы, на которых функция только возрастает или только убывает, называют интервалами монотонности функции, а саму функцию называют монотонной на этих интервалах.

Анализ функции y = f ( x ) на строгую монотонность можно осуществлять с помощью производной, т.е. если f ( x ) ( f ( x ) 0 ) на отрезке x [ a, b], то функция y = f ( x ) является ] строго возрастающей (убывающей) для a x b.

Решение примеров по теме занятия.

Найти область определения функции:

1.

6) y = log 2 ( x 5 x + 6) ;

1) y = ;

x x 7) y = x + 4 ;

x 5 2) y = ;

x2 4 8) y = 1 6 x 36 x ;

x 3) y = 2 ;

9) y = 2 2 x 3 1 ;

x + y = 2 log 5 5 x ;

4) y = 1 x 2 ;

10) 3 x x 5) y = 1 x + y = 4 log 0. ;

11).

x+3 1 + 2x 2. Найти область значений функций:

y = 2 cos x ;

y = 1 2 cos( x + ).

y = 3 cos( x );

3. Установите четность или нечетность функций:

y= x;

x y= ;

y = 2x ;

7 + x x y= y= ;

.

x+ 2 + x 4. Найдите все значения аргумента, при которых функция 5 10 x y= принимает положительные и отрицательные значения.

3 x ТЕМА 4: Графики функций. Преобразования графиков функ ций.

Построение графиков функции, используя преобразование графиков (сдвиг, растяжение).

Функция Преобразования графика функции y = f ( x ) Параллельный перенос графика вдоль оси OY на А y = f ( x) + A единиц вверх, если А0, и на |А| единиц вниз, если А Параллельный перенос графика вдоль оси OX на a y = f (x a) единиц вправо, если a0, и на -a единиц влево, ес ли a y = kf ( x ), Растяжение графика вдоль оси OY относительно оси OX в k раз, если k1, и сжатие в 1/k раз, если k0 0k y = f (kx ), Растяжение графика вдоль оси OX относительно оси OY в k раз, если k1, и сжатие в 1/k раз, если k0 0k y = f (x) Симметричное отражение графика относительно оси OX Часть графика, расположенная ниже оси OX, сим y = f (x) метрично отражается относительно этой оси, ос тальная его часть остается без изменений y = f ( x ) Симметричное отражение графика относительно оси OY График функции у=х у х -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 у=х2+а Параллельный перенос вдоль оси ординат навектор (0;

а) a= у х -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 (0;

5) у=х2+а Параллельный перенос вдоль оси ординат на вектор (0;

а) у a = - 0 х -5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 - (0;

-5) у=(х+а) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор (-а;

0) a= y 0 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 (-2;

0) у=(х+а) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор (-а;

0) a = - y 0 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 (2;

0) у=ах Растяжение в а раз вдоль оси ординат при а a= 0 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 в 2 раза у=ах Сжатие в а раз вдоль оси ординат при |а| a = 0. 0 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 в 2 раза График функции у=2х+5 получается при параллельном переносе вдоль оси ординат графика функции у=2х на вектор (0;

5).

График функции у=2х+1+5получается при параллельном переносе вдоль оси абсцисс графика функции у=2х+5 на вектор (-1;

0).

у х -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 График функции у=log2x-3 получается при параллельном переносе вдоль оси ординат графика функции у=log2x на вектор (0;

-3).

График функцииу=2log2x получается растяжением (21) вдоль оси ординат в 2 раза графика функции у=log2x.

у 0 х 0 6,,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6, - - - График функции y=0,5sin(x+/2) получается при параллельном переносе вдоль оси абсцисс графика функции у=sin x на вектор (-/2;

0) и сжатием (1/21) вдоль оси ординат в 2 раза графика функции y=sin(x+/2).

у 1, 0, 0 х 0 /2 3/ -0, - -1, Решение примеров по теме занятия.

1) Построить графики функций:

log 3 ( x + 1) ) ( ) y = 2( x 3) 3 ;

y= 2;

y = ( x 4) + 2 ;

) e x+ 2 y= 1,5 ;

( ) cos( x 1) y= + 3;

y= + 0,5 ;

x 1 ( ) y = 2 sin( x + 4) 3.

y = 2 x 1 2;

y = 2 3 x 2 + 1 ;

2) Решите графически уравнения:

6 2.2.

2.1 x 2 = = 0,5 x x x ТЕМА 5: Основные законы и тождества алгебры логики.

Логика - это наука о формах и способах мышления.

Основные формы мышления:

1) Понятие;

2) Высказывание;

3) Умозаключение Понятие - это форма мышления, фиксирующая основные, су щественные признаки объекта. Характеризуется Содержанием • Объемом • Высказывание - это форма мышления, в которой что-либо ут верждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними.

Высказывание может быть истинно или ложно.

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или несколько суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение). Посылками умозаключения по пра вилам формальной логики могут быть только истинные суждения.

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два зна чения «истинно» и «ложно».

Истинно = Ложно= Для образования новых высказываний используются базовые логические операции:

инверсия (логическое отрицание) – операция не, конъюнкция (логическое умножение) – операция и, дизъюнкция (логическое сложение) – операция или.

Приоритет логических операций 1. Отрицание.

2. Конъюнкция.

3. Дизъюнкция.

Каждое составное высказывание можно выразить в виде фор мулы (логического выражения), в которую входят логические пе ременные, обозначающие высказывания, и знаки логических опе раций, обозначающие логические функции.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих произво дить равносильные преобразования формул.

Законы алгебры высказываний – это тавтологии. Иногда эти законы называются теоремами.

Формула А называется тавтологией (или тождественно истин ной), если она истинна при любых значениях своих переменных.

Логические законы и правила преобразования логических вы ражений Закон тождества: всякое высказывание тождественно са • мому себе. А=А Закон непротиворечия: высказывание не может быть од • новременно истинным и ложным. А & А= Закон исключенного третьего. Высказывание может быть • истинным, либо ложным, третьего не дано. Пример: число 123 либо четное, либо нечетное A A = 1.

Закон двойного отрицания: если дважды отрицать неко • = торое высказывание, то в результате мы получим исходное выска зывание. A = A Законы де Моргана:

A& B = A B A B = A& B Переместительный (коммутативный) закон A& B = B & A A B = B A Сочетательный (ассоциативный) закон ( A B) C = A (B C ) ( A & B ) & C = A & (B & C ) Распределительный (дистрибутивный) закон ( A & B) C = ( A C ) & (B C ) ( A B) & C = ( A & C ) (B & C ) Закон идемпотентности (равносильности) A& A = A A A = A Закон исключения констант A 0 = A A 1 = A&1 = A A& 0 = Закон противоречия: Невозможно, чтобы противоречащие вы сказывания были одновременно истинными A& A = Закон поглощения A ( A & B) = A A & ( A B) = A ) Закон исключения (склеивания) ( ) ( A B ) & (A B ) = B ( A & B) A & B = B Решение примеров по теме занятия.

1) Найдите значения выражений (0 & 1) & 1 = ) (1 1) (1 0) = ) ) ( A 1) (b 0) = ) ) ((1 & A) ( B & 0)) 1 = ) ) 2) Вычислите 1 x &0 = 0& x 0 = x & x &1 = 0 x& x = 3) Упростите:

( A B ) & (A B ) X Y & (X & Y ) ( A & B ) (A & B ) X &Y X Y X X &Y Z A& C B & C A& B X Y Докажите первый закон поглощения: X ( X & Y ) = X 4) ( )( ) Найдите X, если X A) X A) = B.

5) ТЕМА 6: Формы задания и синтез логических функций.

Любой из законов алгебры логики может быть доказан с по мощью таблиц истинности.

1. Количество строк = 2a, где а – количество переменных;

2. Количество столбцов = количество переменных + ко личество логических операций.

Для инверсии А(вход) (выход) 0 1 Для конъюнкции А(вход) В(вход) С(выход) 0 0 0 1 1 0 1 1 Для дизъюнкции А(вход) В(вход) С(выход) 0 0 0 1 1 0 1 1 При построении таблиц истинности целесообразно руково дствоваться определённой последовательностью действий:

1) Определить количество строк в таблице истинности. Опре делить количество столбцов в таблице истинности.

2) Построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возмож ные наборы значений исходных логических переменных.

3) Заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя ба зовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

Пример.

Доказательство первого закона де Моргана A & B = A B :

X Y X &Y X Y X &Y X Y 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 Равносильные, тождественно истинные и тождественно ложные логические выражения.

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозна чения равносильных логических выражений используется знак «=».

Логическое выражение, у которого в каждой строке последне го столбца стоят единицы, называется тождественно истинным.

Логическое выражение, у которого в каждой строке последне го столбца стоят нули, называется тождественно ложным.

Решение примеров по теме занятия.

1) Составить таблицы истинности для а) закона поглощения б) закона исключения 2) С помощью таблиц истинности докажите равносильность следующих высказываний ( )( )( )( ) а) A & B B & C и A & B A & C ( B & C ) ;

б) ( A & B ) ( A & C ) и ( A & B ) A C.

3) Определите с помощью таблиц истинности, какие из сле дующих формул являются тождественно истинными или тождест венно ложными:

а) A & A B & ( A & B B ) ;

б) A & B & (C E D) & B ;

) в) A & (B & ( A B ));

( )( ) г) A B & B C A C.

ТЕМА 7: Элементы комбинаторики.

«Особая примета» комбинаторных задач — вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами:

«Сколькими способами...»

Важную область комбинаторики составляет теория перечис лений. С ее помощью можно подсчитать число решений различных комбинаторных задач.

В основе этой теории лежат «правило суммы» и «правило произведения».

Правило суммы Если в нашем распоряжении m способов выбрать элемент а и (независимо от них) n способов выбрать элемент b, то выбор «или a или b» можно сделать m+n способами.

Например, если на тарелке лежат 5 яблок и 9 груш, то выбор «яблоко или грушу» можно сделать 14 способами – выбрать либо одно из 5 яблок, либо одну из 9 груш.

Правило произведения Если в нашем распоряжении m способов выбрать элемент а и n способов выбрать элемент b, то пару (a,b) можно выбрать m n способами.

Таким образом, если на блюде лежат 5 яблок и 9 груш, то пару (яблоко, груша) можно выбрать 59=45 способами.

Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье действие - n3 способами и так далее, все k действий вместе могут быть выполнены n1 n2 n3... nk спосо бами.

Установленный в конечном множестве порядок расположения его элементов называется перестановкой. Число перестановок обозначается латинской буквой Р.

Число перестановок из любого количества k элементов можно найти по формуле:

Pk = 1 2 3... k.

Произведение натуральных чисел от 1 до данного натурально го числа k называется факториалом числа k и обозначается k!

Каждое упорядоченное подмножество множества А называют размещением. Например: сколькими способами можно выбрать четырех человек на различные должности из девяти кандидатов на эти должности. Так как каждый выбор 4 человек из 9 имеющихся должен иметь определенный порядок распределения их на должно сти, то мы имеем задачу составления размещений из 9 по 4.

A94 = 9 8 7 6 = Число размещений из n элементов по m вычисляется по фор муле:

n!

An = m.

(n m ) !

Замок открывается только в том случае, если набран опреде лённый трёхзначный код. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать код удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предше ствовало удачной?

Решение:

Общее количество попыток равно числу размещений с повто рениями из пяти элементов по три т.е. A5 = 52 = 125.

Количество неудачных попыток 124.

Ответ: 124.

Размещения – это упорядоченные подмножества данного множества, которые отличаются друг от друга не только выбором элементов, но и порядком их расположения. Произвольные неупо рядоченные подмножества данного множества называются соче таниями. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом (выбором) элементов. Количество сочетаний (или число сочетаний) обозначается латинской буквой С и соответствующими индексами.

Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по форму ле m An n!

C=n или C n = m m.

(n m ) !m !

Pn Формула числа сочетаний с повторениями:

Например: в группе 10 юношей. Сколькими способами они могут выбрать четверых для участия в слете ДОСААФ? Для ответа на этот вопрос нам надо найти число сочетаний из 10 элементов по 4, т.к. порядок в котором будут избраны 4 делегата на слет, безраз личен:

10 9 8 10!

= С10 = = (10 4) ! 4! 1 2 3 ) Памятка. При решении комбинаторных задач следует отве тить на следующие вопросы:

1. Из какого множества осуществляется выбор (надо найти n)?

2. Что требуется: расставить все в ряд (перестановки Р), или выбрать часть (найти k)?

3. Важен ли порядок? Если важен, то применяем правило размещений А, а если нет - правило сочетаний С.

4. Возможны ли повторения?

Решение примеров по теме.

1) Сколько способов существует для того чтобы рассадить человек на восьми свободных стульях 2) Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается циф рами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Ука жите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.

3) В расписании на понедельник шесть пар: алгебра, гео метрия биология, история, физкультура, химия. Сколькими спосо бами можно составить расписание на этот день так, чтобы два уро ка математики стояли рядом?

4) Сколькими способами может разместиться семья из трёх человек в четырёхместном купе, если других пассажиров в купе нет?

5) Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

6) Сколькими способами могут быть присуждены золотая, серебряная и бронзовая медами трем участникам из 11?

7) Играющий зачеркивает шесть номеров карточки из 49.

Сколькими способами это можно сделать?

8) В группе 7 человек успешно занимаются математикой.

Сколькими способами можно выбрать двоих из них для участия в математической олимпиаде?

9) Для ремонта университета прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трёх из них надо отправить на четвёртый этаж, а че тырёх из оставшихся – на пятый. Сколькими способами это можно сделать?

10) Сколько прямых можно провести через 7 точек, из кото рых никакие три не лежат на одной прямой?

11) Решите уравнение: Ах = 0.

ТЕМА 9: Дискретные случайные величины и законы рас пределения.

Определение. Величина, принимающая свои значения в зави симости от исходов некоторого испытания, причем для каждого элементарного исхода имеющая одно единственное значение, на зывается случайной.

Дискретная случайная величина Определение. Величина, принимающая отдельные, изолиро ванные возможные значения с определенными вероятностями на зывается дискретной случайной величиной.

Числовые характеристики дискретной случайной величи ны Математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием M ( x ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех воз можных ее значений на соответствующие им вероятности:

n M ( x ) = xi pi = x1 p1 + x2 p2 +... + xn pn.

i = Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M (C ) = C, где C = const 2. Математическое ожидание алгебраической суммы не скольких случайных величин равно алгебраической сумме матема тических ожиданий этих величин:

M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M (Y ) Следствие. Если C = const, то M ( X ± С ) = M ( X ) ± С 3. Математическое ожидание произведения нескольких вза имно независимых случайных величин равно произведению мате матических ожиданий этих величин:

M ( X Y ) = M ( X ) M (Y ) Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M (С X ) = M (С ) M ( X ) = С M ( X ), где C = const 4. Математическое ожидание M ( X ) числа появлений события A в n независимых испытаниях (математическое ожидание бино минального распределения) равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

M ( X ) = np Дисперсия Определение. Дисперсией D( X ) дискретной случайной ве личины X называется математическое ожидание квадрата откло нения этой величины от ее математического ожидания:

D( X ) = M ( X M ( X )).

) Для вычисления дисперсии также можно использовать следующую формулу:

D( X ) = M ( X 2 ) M 2 ( X ), т.е. дисперсия случайной величины равна разности между ма тематическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом её математического ожидания.

Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(C ) = 0, C = const Постоянный множитель можно выносить за знак дис 2.

персии, предварительно возведя его в квадрат:

D(CX ) = C 2 D( X ), C = const 3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых слу чайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) Дисперсия разности двух независимых случайных вели 4.

чин равна сумме дисперсий этих величин:

D( X Y ) = D( X ) + D(Y ) Если С = сonst, то D( X + C ) = D( X ) 5.

Замечание 2. Для вычисления дисперсии биноминального распределения можно воспользоваться следующей формулой:

D( X ) = npq, где n– число испытаний;

p – вероятность осуществ ления события A в одном испытании;

q – вероятность осуществле ния события A (противоположного событию A ) в одном испыта нии.

Среднее квадратическое отклонение.

Определение. Средним квадратическим отклонением случай ной величины называется квадратный корень из дисперсии:

(X) = D.

Замечание3. На основании данного определения для обозна чения дисперсии часто используется символ 2 ( X ).

Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины X :

10 30 50 70 X 0,1 0,2 0,1 0,2 0, P Найти:

а) математическое ожидание M ( X ), дисперсию D( X ) и среднее квадратическое отклонение ( X ) ;

б) составить функцию распределения случайной величины F ( X ) и построить ее график;

в) вычислить вероятности попадания случайной величины X в интервал ( x 2 X x4 ), пользуясь составленной функцией распре деления F ( X ) ;

г) составить закон распределения случайной величины Y = 100 2 X ;

д) вычислить математическое ожидание и дисперсию состав ленной случайной величины Y двумя способами: пользуясь свой ствами математического ожидания и дисперсии, а также непосред ственно по закону распределения случайной величины Y = 100 2 X.

Решение.

1) Для вычисления числовых характеристик случайной ве личины X составим таблицу:

10 30 50 70 X 0,1 0,2 0,1 0,2 0,4 P M ( X ) = 1 6 5 14 XP M ( X 2 ) = X 2P 10 180 250 980 Таким образом:

математическое ожидание по определению равно – n M ( X ) = xi pi = x1 p1 + x2 p2 +... + xn pn, или M ( X ) = 62 ;

i = дисперсию D( X ) определим по формуле – D( X ) = M ( X 2 ) M 2 ( X ), или D( X ) = 4660 62 2 = 816 ;

среднее квадратическое отклонение ( X ) по определе – нию равно ( X ) = D, или ( X ) = 816 = 28,57 ;

2) Для составления функции распределения F ( X ) восполь зуемся ее определением F ( X ) = p( X = xi ) и свойствами: если возможные значения xi x ] a;

b [, случайной величины принадлежат интервалу X то F ( X ) = 0,если x a, F ( X ) = 1, если x b:

0;

x 0;

1,10 x 0,3;

30 x F(X ) = 0,4;

50 x 0,6;

70 x 1;

x Вероятности попадания случайной величины X в интер 3) ( x 2 X x4 ) вал вычислим по формуле p(a X b) = F (b ) F (a ). В данном случае x2 = 30, x4 = 70, сле довательно p(30 X 70 ) = F (70 ) F (30) = 0,4 0,3 = 0,1 ;

4) Составим закон распределения случайной величины Y = 100 2 X. Для этого найдем все возможные значения случай ной величины Y :

y1 = 100 2 x1= 100 2 10 = y2 = 100 2 x2 = 100 2 30 = y3 = 100 2 x3 = 100 2 50 = y4 = 100 2 x4 = 100 2 70 = y5 = 100 2 x5 = 100 2 90 = Вероятности p( yi ), с которыми Y принимает свои возможные значения, равны вероятностям p( xi ), т.е.

p( x1 = 10) = p( y1 = 80) = 0,1 и т.д.

Таким образом, закон распределения случайной величины Y = 100 2 X имеет вид:

80 40 0 -40 - Y 0,1 0,2 0,1 0,2 0, P 5) Вычислим математическое ожидание и дисперсию со ставленной случайной величины Y :

– пользуясь свойствами математического ожидания и диспер сии:

для Y = 100 2 X M (Y ) = M (100 2 X ) = M (100 ) M ( 2 X ) = 100 2 M ( X ) = = 100 2 62 = D(Y ) = D(100 2 X ) = D(100 ) + D(2 X ) = 0 + 4 D( X ) = = 4 816 = – непосредственно по закону распределения случайной вели чины Y = 100 2 X. Составим таблицу для вычислений M (Y ) и D(Y ) :

80 40 0 -40 - Y 0,1 0,2 0,1 0,2 0,4 P M (Y ) = 8 8 0 -8 - YP M (Y 2 ) = Y 2P 60 320 0 320 Таким образом:

математическое ожидание равно M (Y ) = 24 ;

– дисперсию D(Y ) определим по формуле:

– D(Y ) = M (Y 2 ) M 2 (Y ), или D(Y ) = 3840 (24 2 ) = 3264.

Решение примеров по теме занятия Задание 1.Дискретная случайная величина Х может прини мать только два значения: x1 и x2, причем x1 x2. Известны вероят ность р1 возможного значения x1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X). Найти закон распределения этой случайной вели чины.

Номер задачи р1 D(X) М(Х) 1 0,1 3,9 0, 2 0,3 3,7 0, 3 0,5 3,5 0, Задание 2. Задан закон распределения дискретной случайной величины X. Найти: а) неизвестную вероятность;

б) математиче ское ожидание M ( X ), дисперсию D( X ) и среднее квадратическое отклонение ( X ) ;

в) составить функцию распределения случайной величины F ( X ) и построить ее график;

г) вычислить вероятности попадания случайной величины X в интервал ( x2 X x4 ), поль зуясь составленной функцией распределения F ( X ).

1) 10 12 20 25 X 0,1 0,1 0,2 0, P 2) 10 12 14 16 X 0,2 0,3 0,1 0, P 3) 30 40 50 60 X 0,2 0,2 0,3 0, P 4) 2 4 6 8 X 0,2 0,3 0,1 0, P ТЕМА 10: Непрерывные случайные величины и законы распределения.

Определение. Случайная величина X называется непрерыв ной, если все её возможные значения полностью заполняют какой– либо конечный или бесконечный интервал числовой оси.

Интегральная функция распределения Для количественной характеристики распределения случай ной величины X вводится понятие интегральной функции pacпределения F ( X ) случайной величины.

Определение. Интегральной функцией распределения назы вают функцию F ( X ), определяющую для каждого значения X ве роятность того, что случайная величина X примет значение мень ше x, т. е. F ( X ) = p ( X x).

Свойства функции распределения:

1. Значения интегральной функции распределения принадле жат отрезку [ 0;

1].

] 2. Функция распределения есть неубывающая функция, т. е.

если x1 x2, то F ( x1 ) F ( x 2 ).

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X попадёт в полуинтервал [ a;

b [ равна приращению её интегральной функции распределения на интервале ] a;

b [ :

p(a X b) = F (b) F (a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определённое, заранее заданное значение равна нулю: p ( X = x ) = 0.

3. Если возможные значения случайной величины X принад лежат интервалу ] a;

b [, то:

F ( X ) = 0 при x a, F ( X ) = 1 при x b.

Следствие3. Если возможные значения случайной величины X расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

lim F ( x ) = 0, lim F ( x ) = 1.

x x Для дискретной случайной величины функция распределения определяется по формуле:

F ( X ) = p( X = xi ), xi x где неравенство xi x под знаком суммы указывает, что сум мирование распространяется на все значения xi, меньшие x.

Дифференциальная функция распределения Непрерывную случайную величину можно задавать не только с помощью интегральной функции, но и с использованием диффе ренциальной функции распределения вероятностей.

Определение. Дифференциальной функцией распределения f ( x ) называется производная от интегральной функции:

f ( x ) = F ( x ).

Часто вместо термина "дифференциальная функция" пользу ются термином "дифференциальный закон распределения" или термином "плотность вероятности".

Так как интегральная функция является первообразной диф ференциальной функции, то вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интерва лу (a;

b), определяется равенством:

) b p(a X b) = f ( x )dx = F (b) F (a).

a Зная дифференциальную функцию, можно найти интеграль ную функцию распределения:

x F(X ) = f ( x)dx.

Свойства дифференциальной функции распределения 1. Дифференциальная функция распределения есть функ ция неотрицательная: f ( x) 0.

2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен 1:

+ f ( x )dx = 1.

Последнее равенство называется условием нормировки плотности вероятностей.

Числовые характеристики непрерывной случайной вели чины Математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной слу чайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [ a;

b ] называется определённый интеграл:

b M ( X ) = xf ( x )dx, где f ( x ) – плотность вероятности слу a чайной величины X.

Если возможные значения X принадлежат всей числовой оси OX, то + M( X ) = xf ( x )dx.

Все свойства математического ожидания дискретной случай ной величины имеют силу и для непрерывной случайной величины.

Дисперсия.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

D( X ) = M ( X M ( X )).

) Отсюда следует, что если возможные значения случайной ве личины принадлежат отрезку [ a;

b ], то дисперсия b D( X ) = [ x M ( X )] f ( x )dx.

] a С учётом того, что для вычисления дисперсии справедлива формула D( X ) = M ( X 2 ) M 2 ( X ), то b D( X ) = x 2 f ( x )dx M 2 ( X ).

a Если возможные значения X принадлежат всей оси OX, то + [ x M ( X )] ] D( X ) = f ( x )dx или + D( X ) = f ( x)dx M 2 ( X ).

x Среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется точно так же, как и дискретной случайной b величины: D( X ) = x 2 f ( x )dx M 2 ( X ).

a Пример. Случайная величина X задана интегральной функ цией распределения F ( X ). Требуется:

1) убедиться, что заданная функция F ( X ) является функ цией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства F ( X ).

В случае положительного ответа найдите:

дифференциальную функцию f ( x ) ;

2) математическое ожидание случайной величины X ;

дис 3) персию случайной величины X (двумя способами) и среднее квад ратическое отклонение;

постройте графики интегральной F ( X ) и дифференциальной f ( x ) функций;

вероятность попадания величины X в интервал ( ;

) 4) двумя способами (используя интегральную и дифференциальную функции), а затем проиллюстрируйте этот результат на графиках F ( X ) и f ( x).

0;

x = 1;

= F ( X ) = 0,5 x;

0 x 1;

x Решение.

1) Если функция F ( X ) является функцией распределения и если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу ] a;

b [, то F ( X ) = 0, если x a, F ( X ) = 1, если x b.

Проверим это. По условию X (0;

2), тогда F (0) = 0,5 0 = 0, F (2) = 0,5 2 = 1. Таким образом, заданная функция F ( X ) является функцией распределения;

2) Дифференциальной функцией распределения f ( x ) называ ется производная от интегральной функции: f ( x ) = F ( x ).

Следовательно, получаем:

0;

x 0 0;

x F ( X ) = 0,5 x;

0 x 2 f ( x) = F ( x) = 0,5;

0 x 1;

x 2 0;

x 3) Для вычисления числовых характеристик случайной вели чины X воспользуемся формулами:

b M ( X ) = xf ( x)dx, где f ( x ) – плотность вероятности слу a чайной величины X и если возможные значения случайной вели чины принадлежат отрезку [ a;

b ] ;

b D( X ) = x 2 f ( x)dx M 2 ( X ), если возможные значения слу a чайной величины принадлежат отрезку [ a;

b ] ;

( X ) = D( X ).

Вычисляем:

[] = 0,25(2 2 0) = 0,25 4 = 1;

M ( X ) = x 0,5 dx = 0,25 x 2 [] 13 13 4 D( X ) = 0,5 x 2 dx 12 = 1 = 2 1 = 1 = ;

x 6 6 3 (X ) = = 0,5774.

4) Вычислим вероятность попадания величины X в интервал ( ;

), используя интегральную функцию F ( X ) : вероятности попадания случайной величины X в интервал ( X ) вычислим по фор муле p( X ) = F ( ) F ( ). В данном случае = 1, = 1, следовательно p(1 X 1) = F (1) F (1) = 0,5 1 0 = 0,5 ;

диф b ференциальную функцию f ( x ) : p(a X b) = f ( x)dx. В данном a случае p(1 X 1) = 0,5dx = 0,5 [ x]10 = 0,5 1 = 0,5, ] т.к. f ( x) = 0, если x 0.

Нормальное распределение непрерывной случайной величи ны (закон Гаусса) Определение 1. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой:

( x a ) f ( x) = e 2, где a – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение нормального распре деления.

Закон Гаусса имеет большое значение для практического при менения по следующим причинам:

1. На практике многие случайные величины оказываются либо нормально распределёнными, либо с распределениями, близ кими к нормальному.

2. Случайную величину, не распределённую нормально, часто можно преобразовать таким образом, чтобы она имела рас пределение, близкое к нормальному.

3. Нормальное распределение может служить аппроксима цией для других распределений, например, для биноминального распределения.

4. При проверке статистических гипотез часто возникают распределения, которые оказываются нормальными.

Вычисление вероятности при нормальном распределении случайной величины X 1. Вероятность попадания в интервал ( ;

) определяется формулой:

a a p ( X ) = ;

2. Вероятность попадания в интервал ( ;

) находим по формуле:

a ( ), или p ( X ) = a p ( X ) = + 0,5 ;

3. Вероятность попадания в интервал ( ;

+ ) находим по форму ле:

a p ( X + ) = ( ) + a или p ( X + ) = 0,5 ;

4. Вероятность того, что отклонение нормально распределен ной случайной величины Х от математического ожидания a по аб солютной величине меньше заданного положительного числа равна p ( X a ) = 2, u x где ( X ) = e du – функция Лапласа, a – математи ческое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.

Пример. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a = 25. Вероятность попадания X в интервал (15;

35) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания X в интервал (35;

40)?

Решение.

1) По известной вероятности попадания X в заданный интервал найдем среднее квадратическое отклонение ( X ). Для этого воспользуемся формулой:

a аa p ( X ) =.

Согласно условию a = 25, = 10, = 15, p = 0,2, т.е.

35 25 15 p (10 X 15) = ) = 0,2, 35 25 15 или = 0,2 ;

или = 0,2 ;

10 или 2 = 0,2 = 0,1.

По таблице значений функции ( X ) находим, что ( X ) = 0,1, = 0,25. = если X = 0,25, следовательно, X = = 40.

0, 2) Вероятность попадания X в интервал (35;

40) найдем, используя ту же формулу, тогда:

40 25 35 p (35 X 40) = = (0,375) (0,25) ) ) ) По таблице значений функции ( X ) находим, что (0,375) = 0,14615, (0,25) = 0,0987 а вероятность P (35 X 45) 0,14615 0,0987 = 0,04745.

Решение примеров по теме занятия Задание 1. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F ( X ). Требуется убедиться, что заданная функция F ( X ) является функцией распределения некоторой слу чайной величины, проверив свойства F ( X ). В случае положитель ного ответа найдите: а) дифференциальную функцию f ( x ) ;

в) ма тематическое ожидание случайной величины X ;

c) дисперсию слу чайной величины X и среднее квадратическое отклонение;

d) по строить графики интегральной F ( X ) и дифференциальной f ( x ) функций.

0, x 1) F ( X ) = 0,2( x + 4),4 x 1, x 0, x 2 2) F ( X ) = 3 x + 2 x,0 x,x 0, x 3) F ( X ) = 0,5( x 2 x ),1 x 1, x Задание 2.

1) Математическое ожидание и среднее квадратическое от клонение нормально распределенной случайной величины X соот ветственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15;

25).

) 2) В нормальном законе распределения математическое ожи дание равно 50, среднеквадратическое отклонение равно 4. Чему равно k, если вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше k, равна 0.28.

ТЕМА 11: Элементы математической статистики. Стати стическое распределение выборки.

При решении многих практических задач, связанных со стати стическими моделями, необходимые вероятностные характеристи ки случайных величин неизвестны и должны определяться по экс периментальным данным.

Такое статистическое описание результатов экспериментов, построение и проверка различных математических моделей, ис пользующих понятие вероятности, составляют основное содержа ние математической статистики.

Методы математической статистики расширяют возможности научного предсказания и целесообразного принятия решений в ус ловиях неопределенности, когда принципиально не может быть из вестен полный комплекс условий проведения эксперимента.

Основополагающими понятиями статистической теории яв ляются понятия генеральной совокупности и выборки.

Определение. Совокупность, состоящая из всех объектов, ко торые могут быть к ней отнесены, называется генеральной.

Определение. Число всех объектов, составляющих генераль ную совокупность, называется ее объёмом и обозначается N.

Определение. Конечный набор объектов, случайным образом отобранный из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью, или выборкой.

Определение. Число объектов выборки называется ее объёмом и обозначается n.

Определение. Выборка называется репрезентативной (пред ставительной), если она достаточно полно характеризует генераль ную совокупность.

При отсутствии какой-либо дополнительной информации о специфических особенностях изучаемого явления наилучшим сред ством получения репрезентативной выборки является случайный выбор ее элементов.

Статистические оценки и их свойства.

Установление закономерностей, которым подчинены массо вые случайные явления, основано на изучении методами теории ве роятностей статистических данных – результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики состоит в том, чтобы указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача – разработать методы анализа статисти ческих данных в зависимости от целей исследования. Сюда от носятся:

оценка неизвестной вероятности события;

оценка неиз 1) вестной функции распределения;

оценка параметров распределе ния, вид которого известен;

оценка зависимости случайной величи ны от одной или нескольких случайных величин и др.;

проверка статистических гипотез о виде неизвестного 2) распределения или о величине параметров распределения, вид ко торого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает спо собы определения числа необходимых испытаний до начала иссле дования (планирование эксперимента), в ходе исследования (по следовательный анализ) и решает многие другие задачи. Совре менную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема n, т.е. по некоторой части гене ральной совокупности высказать обоснованное суждение о свой ствах генеральной совокупности в целом.

Использование выборочного метода при изучении генераль ной совокупности неизбежно приводит к ошибкам – ошибкам ре презентативности, имеющим следующие особенности:

1. Возможную величину ошибок репрезентативности опре деляют из анализа выборочных данных и учитывают их при оценке генеральных параметров.

2. Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине (путем увеличения объема выборочных данных).

Определение. Вероятности, признанные достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании вы борочных показателей, называют доверительными ( p или ).

С понятием доверительной вероятности связано понятие уровня значимости.

Определение. Вероятность, которой решено пренебрегать в данном исследовании, называется уровнем значимости : = p (или = 1 ).

Обычно (в статистике) рекомендуется пользоваться уровнем значимости = 0,05 при предварительных исследованиях и = 0,001 при окончательных выводах.

В качестве доверительных используются вероятности:

p1 = 0,95, т.е. на 20 испытаний допускается одна ошибка;

p2 = 0,99, т.е. на 100 испытаний допускается одна ошибка;

p3 = 0,999, т.е. на 1000 испытаний допускается одна ошибка.

Оценка параметров генеральной совокупности (генераль ные параметры).

Существуют точечные и интервальные оценки генеральных параметров.

Точечной называют оценку, которая определяется одним чис лом. К таким оценкам относятся, например, 1n – выборочная средняя xв = xi, или для сгруппированного n i = 1k вариационного ряда xв = xi ni n i = n – выборочная дисперсия = ( x i xв ), или для сгруп в n пированного вариационного ряда n 1n = ( xi xв ) ni, или = xi ni xв 2 2 в в n n – выборочное среднее квадратическое отклонение в = 2 и др., где ni - число попаданий в интервал x i.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие»

приближения оцениваемых параметров, они должны быть:

– несмещенными;

– эффективными;

– состоятельными.

Определение.Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание ее выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра.

Определение. Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками, т.е. обнаруживает наименьшую случайную вариацию.

Определение. Точечная оценка называется состоятельной, ес ли при увеличении объема выборочной совокупности n она стре миться к величине генерального параметра.

Для выборки из нормальной генеральной совокупности эта оценка является также и эффективной.

При выборке малого объема точечная оценка может значи тельно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала – доверительного интервала.

Интервальные оценки позволяют установить точность и на дежность оценок.

Для оценки генерального параметра с помощью доверитель ного интервала необходимы три величины:

– значение выборочного показателя;

– критерий надежности t, или показатель безошибочных про гнозов, значение которого определяется заранее, при планировании исследования, исходя из представления о большей или меньшей от ветственности возможных результатов работы;

– ошибка репрезентативности m или показатель точности вы борочного параметра определяется на основе выборочных данных по формулам математической статистики.

Например, доверительный интервал для генеральной средней X г находится по формуле: X г ( xв m xв ;

xв + m xв ) при уровне значимости = 0,05.

Решение примеров по теме занятия.

Задача 1.

Из продукции, произведенной фармацевтической фабрикой за месяц, случайным образом отобраны 15 коробочек некоторого го меопатического препарата, количество таблеток в которых оказа лось равным соответственно 50, 51, 48, 52, 51, 50, 49, 50, 47, 50, 51, 49, 50, 52, 48. Представить эти данные в виде дискретного стати стического ряда распределения, построить полигон частот, найти точечные и интервальную (с доверительной вероятностью, равной 0,95) оценки.

Задача 2.

Пусть дана последовательность значение некоторого призна ка: 63, 77, 68, 77, 77, 71, 104, 102, 93, 83, 81, 72, 74, 74, 74, 79, 79, 82, 82, 84, 84, 85, 85, 84, 85, 87, 87, 86, 95, 86, 86, 88, 88, 88, 91, 91, 91, 96, 96. Выполните статистическую обработку данных по следую щей схеме:

1) выполнить ранжирование признака и составить безин тервальный вариационный ряд распределения, выбрав n = 40 его значений (согласно своему варианту);

2) составить равноинтервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на k интервалов;

3) построить гистограмму распределения;

4) найти числовые характеристики выборочной совокупно сти;

5) найти доверительный интервал для генеральной средней X г. Принять уровень значимости = 0,05.

Задания для самостоятельной работы.

ТЕМА 1. Представление информации в виде формул, таб лиц, графиков, диаграмм.

Вариант 1.

1) На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 го да. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – тем пература в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки со единены линией. Определите по рисунку, какой была наименьшая среднесуточная температура за указанный период, какой была наи большая среднесуточная температура за указанный период, раз ность между наибольшей и наименьшей среднесуточными темпе ратурами за указанный период 2) На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 10° С. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Когда температура достигает определенного значения, включается вентилятор, охлаждающий двигатель, и температура начинает понижаться. Определите по графику, сколько минут про шло от момента запуска двигателя до включения вентилятора.

4 3) Выразить T: a = 2 R.

T 4) Заполнить таблицу:

-3 -2 -1 0 1 3 а 2 4 6 3 5 -2 b 7 -3 5 -2 4 1 - c a 2 + 2bc + a 2 + 3b 2 + c Вариант 2.

1) На рисунке жирными точками показана среднесуточная темпера тура воздуха в Пскове каждый день с 15 по 28 марта 1959 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены ли нией. Определите по рисунку, какой была наименьшая среднесу точная температура за указанный период, какой была наибольшая среднесуточная температура за указанный период, разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными температурами за указанный период.

2) На графике показан процесс разогрева двигателя внутрен него сгорания при температуре окружающего воздуха. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на ос и ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. К двигателю можно подключить нагрузку, когда темпера тура двигателя достигнет. Какое наименьшее количество минут потребуется выждать, прежде, чем подключить нагрузку к двигате лю.

Mm 3) Используя формулу Fт = G 2, получите выражение для R R.

4) Заполнить таблицу:

-3 -2 -1 0 1 3 а 2 4 6 3 5 -2 b 7 -3 5 -2 4 1 - c (a + b)(b + c ) (a + b) Вариант 3.

1) На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цель сия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определи те по рисунку, какой была наибольшая среднемесячная температу ра в Сочи в 1920 году, наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года.

2) На графике изображена зависимость крутящего момента ав томобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат – крутящий момент в Нм. Чтобы автомобиль начал движение, крутя щий момент должен быть не менее 60 Нм. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение.

4 3) Выразить T: a = 2 R T 4) Заполнить таблицу:

-3 -2 -1 0 1 3 а 2 4 6 3 5 -2 b 7 -3 5 -2 4 1 - c 6(a + b + c ) abc Вариант 4.

1) На рисунке жирными точками показано суточное количест во осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количест во осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах.

Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Оп ределите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков, сколько дней из данного периода выпадало более 3 мил лиметров осадков, какого числа выпало наибольшее количество осадков.

2) На графике показан процесс разогрева двигателя внутрен него сгорания при температуре окружающего воздуха 15. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на ос и ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. К двигателю можно подключить нагрузку, когда темпера тура двигателя достигнет45. Какое наименьшее количество минут потребуется выждать, прежде, чем подключить нагрузку к двигате лю.

Mm 3) Используя формулу Fт = G, получите выражение для R R.

4) Заполнить таблицу:

-3 -2 -1 0 1 3 а 2 4 6 3 5 -2 b 7 -3 5 -2 4 1 - c (a + 3b)c a a 2 b 2 + 2c Вариант 5.

1) На рисунке жирными точками показано суточное количе ство осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года.

По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — коли чество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллимет рах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

Определите по рисунку, какое наибольшее количество осадков вы падало в период с 7 по 14 февраля, сколько дней не выпадало осад ков, какое наибольшее количество осадков выпадало в указанный период, сколько дней из данного периода выпадало менее 3 милли метров осадков.

2) На графике изображена зависимость крутящего момента ав томобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат – крутящий момент в Нм. Какое наименьшее число оборотов в мину ту должен поддерживать водитель, чтобы крутящий момент был не меньше 100 Нм.

4 3)Выразить T: a = 2 R.

T 4) Заполнить таблицу:

-3 -2 -1 0 1 3 а 2 4 6 3 5 -2 b 7 -3 5 -2 4 1 - c a 2 + 2bc + a 2 + 3b 2 + c Вариант 6.

1)На рисунке жирными точками показано суточное количест во осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количест во осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах.

Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Оп ределите по рисунку, какого числа выпало наибольшее количество осадков, сколько дней не выпадало осадков, сколько дней выпадало менее 2 миллиметров осадков.

2) Чтобы автомобиль двигался, крутящий момент должен быть не менее 20 Нм. Какое наименьшее число оборотов двигателя в ми нуту достаточно, чтобы автомобиль двигался.

Mm 3) Используя формулу Fт = G, получите выражение для R R.

4)Заполнить таблицу:

а -3 -2 -1 0 1 3 b 2 4 6 3 5 -2 c 7 -3 5 -2 4 1 - 6(a + b + c) abc ТЕМА 2: Элементы теории множеств.

Вариант 1.

1. Даны три множества:

А = { 5;

4;

3;

0;

1;

2;

3;

5}, В = { 0;

1;

2;

3;

4;

5;

6}, } } С = { 3;

2;

1;

0;

1;

5}.

} Найти следующие множества:

а) Е = {(( А U В ) I ( В I С )) \ С}, б) М = ( А \ В ) I ( В \ С ) U ( А \ С ).

} 2. Множеству ((А В)\С) С\(А В)) соответствует диаграм ма?

Вариант 2.

1. Даны три множества:

А = { 5;

4;

3;

0;

1;

2;

3;

5}, В = { 0;

1;

2;

3;

4;

5;

6}, } } С = { 3;

2;

1;

0;

1;

5}.

} Найти следующие множества:

а) Е = (( А \ В ) \ С ) I ( А U В ), б) М = ( А U В U С ) I (( А I В ) \ С ).

2. Множеству ( A U B U C ) \ ( A I B I C ) соответствует диа грамма?

Вариант 3.

1. Даны три множества:

А = { 5;

4;

3;

0;

1;

2;

3;

5}, В = { 0;

1;

2;

3;

4;

5;

6}, } } С = { 3;

2;

1;

0;

1;

5}.

} Найти следующие множества:

а) Е = {(( А U В ) I ( В I С )) \ С}, б) М = ( А \ В ) I ( В \ С ) U ( А \ С ).

} 2. Множеству ( A I B ) U ( A I C ) U ( B I C ) соответствует диа грамма?

Вариант 4.

1. Даны три множества:

А = { 5;

4;

3;

0;

1;

2;

3;

5}, В = { 0;

1;

2;

3;

4;

5;

6}, } } С = { 3;

2;

1;

0;

1;

5}.

} Найти следующие множества:

а) Е = (( А \ В ) \ С ) I ( А U В ), б) М = ( А U В U С ) I (( А I В ) \ С ).

2. Множеству ( A U B U C ) \ ( A I B I C ) соответствует диа грамма?

Вариант 5.

1. Даны три множества:

А = { 5;

4;

3;

0;

1;

2;

3;

5}, В = { 0;

1;

2;

3;

4;

5;

6}, } } С = { 3;

2;

1;

0;

1;

5}.} Найти следующие множества:

а) Е = {(( А U В ) I ( В I С )) \ С}, б) М = ( А \ В ) I ( В \ С ) U ( А \ С ).

} 2. Множеству ( B \ ( A U C )) U (C \ ( A U B)) соответствует диа ) грамма?

Вариант 6.

1. Даны три множества:

А = { 5;

4;

3;

0;

1;

2;

3;

5}, В = { 0;

1;

2;

3;

4;

5;

6}, } } С = { 3;

2;

1;

0;

1;

5}.

} Найти следующие множества:

а) Е = (( А \ В) \ С ) I ( А U В), б) М = ( А U В U С ) I (( А I В) \ С ).

) ) ) 2. Множеству ( A U B U C ) \ ( A I B I C ) соответствует диа грамма?

ТЕМА 3: Функции. Свойства элементарных функций.

Определить Найти область Вари- четность - не Найти область значе определения ант четность ний функции функции функции y = 3 x 2 cos x y = 3 sin( x ) + y = x + Вар. 1.

y= y = 2 cos( x + ) 5 y = sin 2 x + x Вар. 2.

x2 + x y = 0,5 cos( x ) + 1, x y= 2 y = 2 x 4 + cos x Вар. 3. x x2 y = 3 sin( x + ) y= y = tgx 4 x Вар. 4.

x 1 x+6 x2 x y = 2 4 cos y = x 3 cos x y= Вар. 5.

x2 1 20 x x y= y = tg 3 x y = x 4 sin x Вар. 6. 4 x2 ТЕМА 4: Графики функций. Преобразования графиков функций.

Используя правила преобразования графиков построить гра фик функции. Найти область определения функции, множество значений функции, установить четность или нечетность функции.

Вариант. Задание.

y= + Вариант 1.

x y= Вариант 2.

x+ y = ( x + 6) ) Вариант 3.

( ) y = 0,5( x 3) + Вариант 4.

y = 2 x + 1 Вариант 5.

y= 3x3 + Вариант 6.

y = x2 5x + 6 + Вариант 7.

y = 2 cos 2 x + Вариант 8.

x y = 3 sin Вариант 9.

y = 3 x Вариант 10.

y = 4x2 + Вариант 11.

ex y= + Вариант 12.

ТЕМА 5: Основные законы и тождества алгебры логики.

Вариант 1.

Упростить: ( x a ) ( x a ).

Вариант 2.

Упростить: (a b c ) (a b c) (a b).

Вариант 3.

Упростить: ( x y ) x ( x ( x y )).

Вариант 4.

Упростить: ( A B) ( B C ) ( A C A C ).

ТЕМА 6: Формы задания и синтез логических функций.

Вариант 1.

Доказать, используя таблицы истинности, что логические выраже ния равносильны:

AB = AB.

Составить таблицу истинности для логического выражения:

a c c (b c ) (a b ) c.

Вариант 2.

Доказать, используя таблицы истинности, что логические выраже ния равносильны:

AB = A B.

Составить таблицу истинности для логического выражения:

a (b c ) a b Вариант 3.

Доказать, используя таблицы истинности, что логические выраже ния равносильны:

AB = AB.

Составить таблицу истинности для логического выражения:

(a c) a c (b c ) b c.

ТЕМА 7: Элементы комбинаторики.

Вариант 1.

1) Как-то раз в воскресенье семеро друзей зашли в кафе, уселись за один столик и заказали мороженое. Хозяин кафе сказал, что если друзья в каждое следующее воскресенье будут садиться по-новому и перепробуют все способы посадки, то с этого момента он обещает кормить их мороженым бесплатно. Удастся ли друзьям воспользоваться предложением хозяина кафе?

2) В олимпиаде по математике участвуют 12 команд.

Сколькими способами они могут занять призовые места?

3) Сколькими способами можно поставить 8 шашек на чер ные поля доски?

Вариант 2.

1) Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы «к», «о», «н» стоят в указанном порядке?

2) Сколькими способами можно опустить5 писем в 11 поч товых ящиков, если в каждый из них опускают не более одного письма?

3) Замок на подъезде имеет 10 кнопок и открывается одно временным нажатием на определенные 3 кнопки. За сколько минут (в худшем случае) можно открыть такой замок, если перебирать все возможные комбинации со скоростью 1 комбинация в секунду?

Вариант 3.

1) Сколькими способами можно расположить в турнирной таблице 10 футбольных команд, если известно, что никакие две ко манды не набрали поровну очков?

2) В конкурсе участвуют 20 человек. Сколькими способами можно присудить первую, вторую и третью премии?

3) Из состава конференции, на которой присутствуют человека, надо избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколь кими способами это можно сделать?

Вариант 4.

1) Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 чело век, каждый из которых может быть водителем?

2) Сколькими способами можно составить расписание на день из 4 различных дисциплин, если изучается 10 предметов?

3) Группу из 20 туристов нужно распределить по 3 маршру там так, чтобы по первому маршруту шли 8 человек, по второму — 7, по третьему — 5. Сколькими способами это можно сделать?

ТЕМА 9: Дискретные случайные величины и законы рас пределения.

Для случайной величины Х:



Pages:   || 2 |
 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.