авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


От анализоцентризма к логикоцентризму в

преподавании математики для

информатиков

Н.Н. Непейвода

Примечание и предупреждение

Данная статья была написана в 1996 г. как один из элементов отчета по теме,

выполнявшейся по гранту программы «Университеты России» и послана в

НГУ на конференцию по методике преподавания. В результате страшного со-

противления проводящимся в ней еретическим идеям она была опубликована

лишь в электронной форме. Здесь представлен дважды пересмотренный ее вариант: первый пересмотр осуществлен после работы автора на ФИТ НГУ, а второй — после возобновления работ в УдГУ и подведения первых итогов эксперимента ФИТ НГУ, выхода монографии [10], учебника [11] и сдачи в печать задачника [12], сбора отзывов выпускников, обучавшихся по экспе риментальным программам.

Пересмотр связан не только с показом дополнительных преимуществ под хода. выявившихся после анализа практики работы выпускников, но и с рас становкой предупредительных знаков. В частности, опыт показал, что изло женные в статье идеи таят две опасности.

Во-первых, можно легко впасть в профанацию, пытаясь преподавать ло гику, не обладая при этом достаточной логической культурой. Примеры та кой профанации автор в последние два года, когда его идеи стали кое-где переходить из разряда еретических в разряд общепризнанных, имеет несча стье постоянно наблюдать. Поэтому стоит еще раз подчеркнуть, что, пытаясь начинать реформы, нужно прежде всего посмотреть на свои силы, есть ли достаточное число людей с хорошим фундаментом в той области, которую пытаетесь сделать фундаментальной.

Автор приносит благодарности А.П. Бельтюкову, Л.К. Непейвода и Тоне Непейвода, И.

Н. Скопину, С. Н. Васильеву, А.Д. Яшину за многочисленные ценные обсуждения.

Во-вторых, пытаясь перестраивать курс математики, неизбежно натыка ешься на сопротивление исключительно мощного физического сообщества и большей части математиков, которые рассматривают анализ почти как свя щенную корову. Более того, глупо преодолевать такое сопротивление в лоб (и редко удается, и наломать дров можно не меньше, чем при любой рево люции... ) Поэтому стоит вводить новую ориентацию математики именно на новых специальностях либо тех специальностях, где неадекватность тради ционных курсов высшей математики уже очевидна, ведь традиции почти ни когда не заслуживают грубой ломки. Если обомшелое в них обойти, они и сами потихоньку отвалятся, а разумное из них останется. А при насильной реформе слишком часто вместе с водой выплескивается и ребенок (смотри, например, реформы Петра I или Ельцина).

Введение В настоящее время происходит переоценка относительной роли различных математических курсов в образовании. В частности, это касается и курса ло гики, традиционно относящегося для естественных и лингвистических спе циальностей к математическому циклу.1 В Удмуртском университете (УдГУ) на практике преподавания проверен ряд подходов к самому курсу логики и к его месту в системе образования на специальностях математика, приклад ная математика и информационные системы. Данная статья основана прежде всего на двадцатилетнем опыте данного университета, в частности, автора, проф. А.П. Бельтюкова, доц. А.Д. Яшина и некоторых других преподавателей и на пятилетнем опыте работы ФИТ НГУ, где автор явился одним из созда телей концепции учебного плана.

Изменение подходов к логике оказало достаточно сильное влияние как на другие математические курсы, так и на общую ориентацию студентов. В дальнейшем это получило отражение в учебных планах групп повышенного уровня, с 1990 г. регулярно набираемых в УдГУ, в учебном плане специаль ности ‘Информационные системы.’ Один из наиболее любопытных аспектов такого влияния кратко можно сформулировать следующим образом. Мате матический анализ и связанный с ним цикл дисциплин перестал играть роль Стоит вспомнить, что по классификации Британской энциклопедии логика относится к отраслям знания первого уровня, в отличие от математики, являющейся подразделом есте ственных наук.

станового хребта математического образования. На его место уверенно встал логический цикл.

Известно, что хорошая организация обучения требует выделения главно го курса, задающего тон, язык и систему ценностей для других курсов дан ного цикла. В математике главной дисциплиной долгое время считалась гео метрия, затем она уступила место анализу, а во второй половине XX века в ряде университетов Запада — алгебре (в отдельных — современной геоме трии, базирующейся на алгебре и топологии.) Логика, ставшая в XIX веке в значительной степени математической дис циплиной, накопила к настоящему времени громадный потенциал идей, ме тодов и результатов, и, безусловно, задает тон в математическом языке ны нешнего времени. Кроме того, логика, к счастью, не утеряла и роль одной из ведущих гуманитарных дисциплин, математические методы естественно вписались в систему неформальных и полуформальных методов традицион ной логики, и поэтому логика — одно из тех мест, где можно легче всего навести мосты между математикой и ее приложениями, прежде всего, нетра диционными, не охватываемыми аппаратом математического анализа. Поэтому логический цикл в настоящее время уже подготовлен к тому, чтобы играть роль ведущего.

В целом необходимо подчеркнуть, что выбор одного из четырех возмож ных базисных курсов диктуется квалификацией преподавательского соста ва и традициями данного университета.

Хотя и недопустимо делать выводы о том, какая из основ лучше, необ ходимо сравнивать подходы к преподаванию математики, базирующиеся на разных фундаментах. Кроме того, разные базисные курсы благоприятствуют различным типам мышления и определяют типы математических моделей, выбираемых в дальнейшем выпускниками. Так, аналитический цикл делает в настоящее время упор на отработке навыков манипулирования стандартны ми преобразованиями, символьными вычислениями и стандартными блока ми рассуждений. Геометрический цикл всегда базировался прежде всего на соединении образного и точного мышления. Алгебраический — на выделе нии абстрактных структур и их взаимных представлений. Оказывается, что логический цикл при соответствующем преподавании развивает творческое мышление,3 навыки понимания и критического анализа. Таким образом, он Но и с традиционными приложениями логика работает не хуже, чем аналитические дис циплины, прежде всего ввиду большей концептуальной мощности ее идей и более глубокого анализа моделей.

Здесь и ниже творческое и рутинное мышление — не оценочные слова, а термины со приближает математику к гуманитарным наукам.

Далее, те, кто изучают математику, базируясь на анализе, получают навы ки формальных преобразований аналитических формул. Выразить содержа тельные понятия аналитической формулой часто означает ввести недопусти мую с точки зрения современной теории измерений шкалу оценок, сводящую наблюдаемые явления к действительным числам. А выражение всего дей ствительными числами и вытекающая из него убежденность в возможности сравнить два любых объекта либо решения и однозначно отдать предпочте ние одному из них, является одной из бед современной науки и цивилизации.

В данном пункте мы согласны с идеями книги А. А. Мальцева4. Данное след ствие системы (не только школьного) образования приводит к страшной по своим внутренним предпосылкам и отдаленным последствиям философии утилитаризма.

Те, кто изучает логику, получают при современном подходе навыки пре образования не математических формул, говорящих о количествах. а произ вольных предложений, что, конечно, несравнимо ценнее.

Те, кто базируются на алгебре, получают представление о богатстве мате матических структур и их сложных взаимоотношениях, и уже не могут быть склонны к столь примитивной философии, как традиционно образованные люди, считающие себя рационально мыслящими. Точно так же и современ ная геометрия дает изрядную инъекцию против примитивизма.

Общие педагогические принципы Как известно, Я. А. Коменский в качестве одного из базовых педагогических принципов выдвинул требование, чтобы преподаватель излагал лишь исти ны, дабы не вводить учащихся в заблуждение [5]. Убеждение в том, что исти на доступна человеку, а не Богу, является одним из проявлений человеческой самонадеянности. Оно поддерживается как многими религиозными пропо ведниками, чей духовный уровень порою резко отстает от степени убежден ности в правоте данного конкретного учения, так и адептами исповедуемой временной психологии и науки о творчестве, см., напр., [2].

Психологическая готовность выпускника школы... имеется к измерению чего угодно:

от количества чертей, помещающихся на острие иглы, до интеллектуального развития и на ционального продукта... Не составляет труда убедить среднего индивидуума измерять все в килограммах и метрах (альтернативный, менее физический пример: в долларах). [8, стр.

205] большинством нынешнего научного сообщества квазирелигии — “религии прогресса”.5 На практике в школе требование Коменского привело к разви тию авторитарного стиля преподавания, при котором учитель уверен, что он излагает истины, а учащиеся привыкают без сомнений заглатывать ту ин формацию, которая им преподносится. Это губительно действует на задатки критического мышления учащихся и в вуз они приходят со сформировав шимися традициями рутинного мышления и ученической в худшем смысле этого слова работы.

В результате студенты приходят на первый курс вуза со следующими от рицательными навыками, закрепившимися в ходе школьного обучения.

1. Они панически боятся ошибок,поскольку даже исправленная ошибка приводит к снижению оценки за работу.

2. Они привыкли к тому, что в первую очередь оценивается полученный ответ и оформление работы, а не ее содержание. Оригинальное реше ние задачи, сопровождающееся технической либо арифметической ошиб кой и заканчивающееся неправильным ответом, как правило, оценива ется двойкой. Часто так же оценивается и просто оригинальное реше ние, не соответствующее единственным канонам оформления, к кото рым привык учитель и которые он способен понять.

3. Они привыкли воспринимать слова учителя как нечто не подлежащее (по крайней мере, выраженному явно) сомнению. Как известно, попыт ка указать учителю даже на его явную ошибку обычно жестоко карает ся.

4. Они привыкли к тому, что их решения оцениваются извне, учителем либо сравнением с ответом в конце задачника. Навыки самопроверки почти отсутствуют.

5. Они привыкли рассматривать учителя и учебники как единственные источники знаний и теряются при необходимости что-то изучить само стоятельно. Более того, часто самостоятельно полученные неканониче ские знания наказываются учителем и общественным мнением класса.

В дальнейшем словосочетание религия прогресса употребляется без кавычек, хотя нуж но помнить о принципиальной разнице уровня данного мировоззрения и настоящих рели гий.

6. Они почти моментально перестают работать, как только один из них вызывается к доске для показа решения.

7. Они привыкли к формальной дисциплине на занятиях и к тому, что спросить нечто у соседа (даже тихо и с целью лучше понять) является криминалом, а тупо сидеть, думая по себя: “Все равно ничего не пони маю,” — нет.

8. Они практически не могут задавать вопросы и осознанно формулиро вать, что же не понято. Более того, сознаться в непонимании зачастую считается позором.

Как известно, в университетском образовании никогда не стремились сде лать вид, что излагаются лишь истины, но традиции школьного образования в значительной степени влияли на преподавание основных курсов, сомни тельным вещам оставалось место лишь на курсах специализации.

Развитие логики XX века поставило научное сообщество перед несосто ятельностью мифа об абсолютности научной истины или даже эвфемизмов о том, что научное знание является приближением к истине. Выяснилось, что даже в математике исходные понятия гораздо более относительны, чем это можно было ожидать в XIX веке, а тем более в XVII, когда формиро валось мировоззрение науки. Таким образом, упомянутое выше пожелание Я. А. Коменского является невыполнимым, и в таком качестве неизбежно превращается в благоглупость.6 Тем не менее призрак абсолютной истины по-прежнему бродит в методиках преподавания. Кажется аморальным учить студентов тому, недостатки чего ты знаешь. Но разве не более аморально учить тому, недостатки чего тебе неизвестны? Принцип 1: Бесспорное бесполезно. Любое научное зна ние односторонне, оно является результатом самоограничения.

И лучше, если это самоограничение будет сознательным и будут осознаваться, а не отвергаться с порога, возможные альтернати вы.

Насколько известно автору, понятие “благоглупость” введено Лесковым и отсутствует в ведущих европейских языках. Впрочем, Оливье де Боно при попытках обучения англо саксов (американцев) азам творческого мышления был вынужден изобрести слово ‘авось’, отстутствующее в английском [3].

Тем более, что зачастую эта неизвестность — результат почти сознательного нежелания знать, уклонения от неудобных знаний.

Итак, нужно стараться открывать дыры и недостатки даже в самых устояв шихся областях знания, показывать возможные альтернативы, тем более, что это зачастую позволяет ярче обосновать преимущества того подхода, кото рый сегодня наиболее распространен, в большинстве встречающихся в ны нешней практике ситуаций. Это психологически подготавливает учащихся к возможной смене парадигмы, а наиболее дерзких из них поощряет к крити ческим исследованиям в альтернативных областях, которые иначе остались бы вотчиной самодовольных невежд. Соответственно, отказавшись от монополии на истину, преподаватель вы нужден отказаться и от монополии на путь к ней. Известно, что каждый че ловек незаменим. Он идет к знанию своим собственным путем.9 Таким обра зом:

Принцип 2: В идеале учитель должен помочь ученику вы брать наиболее подходящий для него путь.

Автор понимает, что это требует от преподавателя глубокого понимания сущ ности предмета и высокой общей культуры, но по крайней мере даже сред ний преподаватель в соответствующей атмосфере приучается терпимее от носиться к нарушениям формы и не подавлять оригинальность мышления.

Теперь рассмотрим известную оппозицию: творческое и рутинное мыш ление. Одно из их важнейших различий — отношение к ошибкам. Если твор чески мыслящий человек рассматривает ошибку как закономерный этап на пути к решению задачи, то рутинно мыслящий — как грех. Если творческий стремится превратить выявленную и понятую им ошибку в элемент решения (хотя бы использовав ее как отправной пункт для того, чтобы сделать наобо рот), то рутинно мыслящий стремится не признавать ошибки до последнего момента, а, будучи вынужден признать ее, пытается отбросить все сделанное и начать сначала. Итак:

Принцип 3: Ошибка является неизбежным шагом на пути к решению трудной задачи. Задача преподавателя — научить сту дентов здравому отношению к ошибкам и научить их превращать ошибочные попытки в правильное решение.

Негативизм — одна из форм конформизма. Претворять в жизнь лозунг Дж. Оруэлла ‘Ignorance is power’ можно двумя способами. Можно тупо следовать общепринятому, можно столь же тупо отвергать его, не желая знать, почему же большинство пошло по данному пути.

Пути большинства могут почти совпадать (царский путь, торная дорога), но тем ценнее пути меньшинства.

Далее, развитие критического мышления требует научить критическому отношению и к словам педагога. Поэтому иногда на занятиях стоит допус кать намеренные ошибки либо недостаточно обоснованные утверждения, и поощрять тех, кто это заметит.10 Но в данном случае необходимо ставить и ловушки другого рода: маскировать под ошибки или необоснованные выво ды нетривиальные следствия из изучаемого материала и приводить к проти воречию попытки их опровергнуть. Тот, кто возражает, должен быть готов к отстаиванию своих возражений и к отступлению, если они будут признаны неправильными (в первую очередь, им самим). Соответственно, иногда пси хологически необходимо реагировать на правильные ответы как на непра вильные, требуя дополнительных объяснений либо всячески вселяя в уча щихся сомнение, поскольку они должны учиться отстаивать то, в чем увере ны. Недостаточно обоснованный ответ не является решением с точки зрения математика. И, наконец, еще один вид ловушки: хвалить неверное решение, с тем, чтобы стимулировать у учащихся самопроверку, а не ожидание оценки от преподавателя. Поэтому Принцип 4: Вырабатывая у учащихся здравое отношение к ошибкам, не стесняйтесь показывать это на своем примере. До пустимы даже некоторые провокационные приемы, чтобы разру шить стереотип безошибочного продвижения к истине и вырабо тать навыки ответственного критического подхода.

Скорость работы и понимания у разных студентов разная. Поэтому при ориентации на средних остаются недогруженными сильнейшие и за бортом те, кто в данный момент не поспел за другими, но в силу большей глубины и основательности в дальнейшем мог бы быть как минимум не хуже. Как из вестно, быстрота понимания не означает его глубину (хотя и не противоречит ей.) Поэтому необходимо в большинстве случаев поощрять коллективную работу студентов, вырабатывая навыки неформальной дисциплины и взаим ного общения, не мешающего работе других. Если ты не понял — сначала спроси товарища, а уже затем обращайтесь к преподавателю. Если товарищ понял быстрее, ему будет полезно объяснить тебе, если он только думал, что понимает, он выявит свою дыру и вместе учащиеся смогут задать более глу бокий и точный вопрос.

Соответственно, группа, пропустившая такое место, заслуживает некоторой моральной взбучки, и здесь не стоит жалеть розгу.

Принцип 5: Поощряйте коллективную работу в маленьких группах и взаимообмен идеями и решениями по инициативе уча щихся.

Возможно, что этот принцип связан еще и с особенностями психологии русских учащихся. В русских учебных заведениях никогда не было ни амери канского духа глубокого индивидуализма и безжалостной конкуренции меж ду учащимися, ни английской щепетильности в вопросах чести. Так что под сказки и списывание неискоренимы, и лучше уж их легализовать и обратить на пользу обучению.

Одна из основных бед школярского подхода — преувеличенное внимание к оформлению работ. При этом упор делается не на то, насколько оформление пригодно для объяснения другим мыслей учащегося, а на соответствие неко торым произвольно заданным внешним стандартам и на внешнюю красоту.

Такая фетишизация внешних форм приводит многих способных учащихся к негативистской реакции в виде полного пренебрежения оформлением.11 В творческой работе оформление является способом отлить содержание в со ответствующую ему форму. Поэтому необходимо вырабатывать взвешенное и трезвое отношение к нему. Оформление плохо, если оно мешает понять основные мысли. Гармония идей и оформления не всегда достижима в ра боте одного и того же человека: некоторые люди лучше генерируют идеи, другие — их обосновывают, третьи — популяризируют.12 Здесь тоже высту пает роль коллективной работы.

Принцип 6: Поощряйте хорошее оформление хороших идей.

Наказывайте их безобразное оформление либо красивую упа ковку на пустышке.

Интересна обратная связь данного недостатка с мышлением школьных учителей. В шко лах повышенного типа зачастую небрежность, а то и безобразный стиль оформления, счита ется атрибутом творческих, способных учащихся. Нередко хорошее оформление и доведе ние до конца работ приводит к тому, что преподаватели рассматривают способного ученика как субъекта средних способностей, берущего в основном старательностью и усидчивостью.

Здесь имеется в виду популяризация в самом общем смысле слова — умение сделать идеи доступными более широкому кругу людей, чем тот, который понимал оригинальную работу. Внутринаучная популяризация не менее важна, чем ориентированная на публику.

Предварительный курс логики: язык матема тики Курс “Язык математики” появился в программе УдГУ в конце 70-х гг., когда была достигнута договоренность о том, чтобы выделить некоторые базисные логические понятия, необходимые для всех математических курсов и поэто му обычно дублируемые в них, в единый курс, и, кроме того, использовать часть часов т.н. “Введения в специальность” для настоящего введения в спе циальность, а не для представления кафедр и направлений.

Известно, что одним из базисных умений математика, особенно мате матика-прикладника, является владение навыками перевода с естественного языка на формализованный и обратно. Тем не менее традиционно это умение остается за рамками всех математических курсов, считается, что учащийся и так может прочитать сложную формулу, а записывать условия задач в виде формул он научится, подражая действиям преподавателя. Конечно же, такое предположение совершенно необосновано, и, более того, может рассматри ваться как достаточно грубая ошибка, одновременно методологическая, пси хологическая и методическая.

Курс, посвященный специально математическому языку и методам пере вода, оказался тем решающим звеном, которое обеспечило высокий престиж логического цикла и его влияние на остальные математические циклы. По этому ему посвящена большая часть дальнейшего изложения.

Обучению методам перевода в значительной степени мешает устанивив шаяся традиция начинать изложение логического языка с логики высказы ваний и переходить к предикатам и кванторам лишь после ее освоения. На самом деле высказывание A B практически всегда является либо сокра щенным выражением предикатной формулы x(A(x) B(x)), либо ее под становочным частным случаем A(t) B(t). Даже таблица истинности для импликации легче всего объясняется на частных случаях общего выражения типа Если x делится на 6, то x делится на 3 (1) То, что считается основным достоинством логики высказываний: таблицы истинности — половина первокурсников проходили самостоятельно либо в школе. Остальные овладевают ими, как показывает опыт, за один академиче ский час. Поэтому стоит начинать прямо с языка логики предикатов.

Более того, перед изучением языка логики предикатов рассматривается общая структура высказываний с точки зрения современной логики. Выде ляются элементарные высказывания, состоящие из предиката, примененного к предметам, и конструкции, строящие из элементарных более сложные вы сказывания: логические связки, кванторы, модальности. Уже здесь говорится о возможных мирах, поскольку понимание выражений типа Иван-царевич женился на царевне-лягушке (2) требует перехода к тому миру, где действуют данные персонажи.

Вводится еще одно важное понятие, о котором обычно стыдливо умалчи вается в курсах даже содержательной логики: квазивысказывания. Это утвер ждения, имеющие внешнюю форму высказываний, но не поддающиеся про верке на истинность объективными средствами. Например, таковы утвер ждения вида:

Саша любит Машу (3) Но тем не менее и с такими выражениями часто обращаются по тем же пра вилам, что и с высказываниями. Более того, они теснейшим образом связаны с высказываниями через аппарат модальностей. Например, следующие два утверждения Волга впадает в Каспийское море Сталин утверждал, что Троцкий ненавидел (4) СССР — высказывания, а следующие два Ваня уверен, что Волга впадает в Каспий ское море Троцкий ненавидел СССР (5) — уже квазивысказывания.

В языке логики предикатов обращается внимание на то, что перевод меж ду формальным и естественным языком производится целыми блоками, ми нимальными из которых являются аристотелевы комбинации Все A есть B x(A(x) B(x)) Некоторые A есть B x(A(x)&B(x)) (6) При переводе на формальный язык обращается внимание не только на фор мальную правильность высказываний, но и на их форму, на нахождение не просто верной, а достаточно выразительной формулировки. Форма в идеале должна хотя бы намекать на те аспекты содержания, которые формально не выразимы в классической логике13 и тем самым облегчать обратный перевод на содержательный язык. Приведем несколько примеров.

Не поощряется стремление учащихся выносить все кванторы в сложном высказывании вперед, поскольку эта техника принадлежит лишь классиче ской логике и даже в ней провоцирует ошибки при комбинации условий огра ниченных кванторов. Скажем, для утверждения “Все парни любят девушек” неверны оба перевода xy((П(x)&Д(y) Л(x, y)) (7) xy((П(x)&Д(y)&Л(x, y)) Поэтому в большинстве случаев поощряется т. н. водворенная форма, где ка ждый квантор охватывает минимальную подформулу.

Для многих студентов является открытием, что сложное выражение сто ит чаще всего писать либо снаружи внутрь: либо изнутри снаружу, но не от начала к концу, и на это стоит обязательно обратить внимание.

Обращается внимание на то, что многие утверждения, одинаковые по синтаксической форме, должны переводиться по-разному ввиду того, что под разумевается в их контексте. Например, четыре утверждения Все члены Политбюро, избранного на XIV съезде ВКП(б), ненавидели друг друга Все доисторические ящеры пожирали друг друга Все ханы воевали друг с другом (8) Все известные философы критиковали друг друга переводятся, соответственно, xy(ЧП(x)& ЧП(y)&x = y Н(x, y)& Н(y, x)) x(ДЯ(x) y(ДЯ(y)&(П(x, y) П(y, x)))) x(Хан(x) y(Хан(y)& В(x, y)& В(y, x))) (9) x(ИФ(x) y(ИФ(y)& К(x, y))&y(ИФ(y)& К(y, x))) Утверждение про ящеров позволяет выявить еще одну тонкость. Очень хо чется перевести его как x(ДЯ(x) y(ДЯ(y)&(П(x, y) П(y, x)))) (10) В частности, на модальности.

где обозначает исключающее или. В самом деле, это только в сказке Чу ковского ‘Волки от испуга скушали друг друга’. Но формулировка отрицания обоих вариантов позволяет все-таки сделать выбор в пользу первого: его от рицание столь же естественно, как и его формулировка. Это позволяет обра тить внимание на еще один принцип хорошей формализации, крайне редко формулируемый явно:

Не говори лишнего без необходимости.

Если утверждения уже стали истинными в естественной модели, поработай те с ними, а новые добавляйте, лишь если в них выявилась необходимость.

Все это предоставляет возможность проиллюстрировать основные прин ципы математической формализации, ее достоинства и недостатки и подго товить студентов к деятельности по построению математических моделей и их содержательной перепроверке.

В курс языка математики включаются и базовые математические поня тия. Они также используются для иллюстрации одновременно мощи и огра ниченности формальных методов и для подчеркивания нестандартных хо дов. В частности, аппарат диаграмм Венна [7] используются для разруше ния стеореотипа, что чертеж не может быть доказательством, и одновремен но для анализа самого понятия доказательства. На их примере показывается, что нужно обосновать для того, чтобы некоторая конструкция могла считать ся доказательством, и дается содержательное определение доказательства с точки зрения прикладной математики и информатики:

Доказательство — конструкция, синтаксическая правильность ко торой гарантирует семантическую.

Множества используются также для того, чтобы обратить внимание на вза имосвязь между математическими формулировками и представлением дан ных. После выяснения трудностей, связанных с представлением данных как множеств, естественен переход к мультимножествам (наборам) и кортежам.

При формулировке понятия функции обращается внимание на то, что ее классическое определение полностью опускает одно из центральных для приложений мест содержательного: способ преобразования аргумента в ре зультат. Это является мостиком к теории алгоритмов, теории категорий и кон структивной логике.

На примере понятия прямого произведения множеств показывается еще одна неадекватность теоретико-множественных конструкций и вводится на примерах язык коммутативных диаграмм.

Таким образом, вводный логический курс закладывает основу единого видения различных концепций математики и информатики и критического подхода к ним.

Можно считать, что материал данного курса уже устоялся и оброс аде кватной системой упражнений для отработки необходимых навыков.

Другие курсы логического цикла Общий курс логики в большинстве случаев читался на I курсе во втором се местре и включал в себя классическую логику. Основным аппаратом являют ся семантические (аналитические) таблицы. Их можно ввести как кодифика цию аппарата сокращенных таблиц истинности для логики высказываний, а затем его обобщение на логику предикатов.

Большим методическим преимуществом семантических таблиц является то, что задача ставится в форме: “Проверить высказывание”. Традиционные задачи на доказательство опасны тем, что приглушают критическое мышле ние и вызывают соблазн действовать по принципу: “Вы только скажите нам, что доказать, а мы уж докажем!” Семантические таблицы позволяют ставить перед учащимися множество задач различной трудности, в том числе и за дачи, связывающие строгую технику формальных рассуждений с техникой перевода:

• проверить рассуждение, записанное на естественном языке;

• сформулировать следствие из посылок, выраженных на естественном языке;

• восполнить утверждения, пропущенные в содержательно убедитель ном рассуждении на естественном языке, с тем, чтобы оно стало и ма тематически корректным.

При формулировке данных задач часто используется методический прием, изобретенный Л. Керролом [6]: формулировать задачи таким образом, что бы для их интерпретации приходилось изобретать свой собственный мир. В частности, классический пример Керрола:

Некоторые цыплята — кошки.

Некоторые кошки знают французский язык.

Значит, некоторые цыплята знают французкий язык.

(11) Неожиданным для учащихся является и то, насколько много простых утвер ждений подразумевается в самых естественных рассуждениях без явной фор мулировки. А умение выделять неявные условия — одна из наиболее тонких сторон искусства формализации.

Основные теоремы математической логики (корректности и полноты) до казываются в случае семантических таблиц весьма естественно, но опять таки поучительно с методической точки зрения. При их доказательстве при ходится переходить от формального, удобного, но трудно формализуемого понятия семантической таблицы к легко формализуемому, но неудобному:

дереву секвенций. Это позволяет показать разницу между математической и прикладной формализациями.

От основных теорем естественен переход к теореме компактности и к ме тодам нестандартного анализа [4]. Данный раздел включается в курс логи ки с той целью, чтобы показать неединственность аналитического мира и продемонстрировать мощь логических методов в других областях математи ки. После его появления стало возможным постепенно склонять сообщество специалистов в области математического анализа к пересмотру их педаго гических установок в сторону увеличения точности и отказа от безапелля ционности. Но этот процесс идет довольно медленно. Он затрудняется тем, что традиционно принято отводить на освоение аналитического цикла вдвое больше учебного времени, чем другим математическим дисциплинам, а ма териал данного цикла не превосходит по глубине идей, трудности и объему современную алгебру либо логику. Далее, в курсах аналитического цикла по чти не опираются при стандартной методике их преподавания на достижения других отраслей математики. Преподаватели по-прежнему заставляют сту дентов заучивать таблицы интегралов и прочие подобные правила, вместо того, чтобы учить их пользоваться современными системами аналитических преобразований и больше времени уделить базовым понятиям и принципи альным вопросам. Несмотря на великолепную разработанность системы за дач и упражнений по анализу, практически не выдаются индивидуализиро ванные контрольные работы, которые позволяют исключить фактор списы вания при оценке технической подготовленности студентов. Методика изло жения по-прежнему находится на уровне XIX века.

Поэтому урезание в учебном плане специальности ‘информационные си стемы’ курса математического анализа до объемов других математических курсов было ошибочно воспринято некоторыми специалистами как дискри минация и недооценка фундаментального математического образования. У нас в унивекрситете мы смогли отстоять данную позицию, показав, что мож но сэкономить половину учебного времени, пользуясь интердисциплинарны ми связями и обучением более высокого уровня.

В основной курс логики включается также один из следующих разделов:

естественный вывод либо -исчисление (первое — для математиков, второе — для информатиков). И для тех, и для других дается краткий обзор неклас сических логик.

Главной целью курса являются результаты о неполноте, которые окон чательно подрывают иллюзии одноуровневого математического мышления и подготавливают студентов к восприятию многоуровневого рефлексивного стиля мышления, который позволяет выводить основные положения совре менной теории творческого мышления как полуформальные следствия со временных логических методов. В настоящее время курсы по теории алгоритмов и неклассическим логи кам рассматриваются прежде всего как мост от логической теории к ее при ложениям в информатике и алгебре. Поэтому большое внимание уделяется взаимоотношениям алгебраических и алгоритмических понятий, сложности алгоритмов, конструктивным логикам и их взаимосвязи с программировани ем, теории абстрактных типов данных.

К логическому циклу отнесли у нас в университете и тот курс, который стоит над циклами: вновь введенный курс Математические структуры. Дан ный курс читается в конце основного цикла математических дисциплин и посвящен показу методов взаимодействия и соотношений различных частей математики. В частности, много внимания уделяется задачам, формулируе мым на языке одного из разделов математики, а легче всего решаемым ме тодами другого раздела (алгебра с помощью геометрии, геометрия через ал гебру, алгебра и логика друг через друга, анализ через геометрию, алгебру и логику).

Объективной реальностью является также то, что в курсе Математиче ских структур приходится резервировать по крайней мере четверть времени на исправление недоработок других курсов. Каждый раз оказывается, что не которые фундаментальные и важные для приложений данной области мате матики понятия были в ее титульном курсе либо вообще забыты, либо даны Большинство авторов, занимающихся теорией творческого мышления, в частности, де Боно и Г.С. Альтшуллер [1], подчеркивают несовместимость творческого мышления и логи ки, рассматривая логику как кодификацию рутинного мышления. Это справедливо лишь для некоторого (к несчастью, устоявшегося) стиля преподавания логики. Это полностью оши бочно по отношению к современной логике, пользующейся методами и результатами мате матической логики в неформализуемых областях.

чисто обзорно, без развития и задач. Точно так же происходит и с теоремами.

Например, алгебраисты через год забывают связать группы с симметриями, либо дать понятие полугрупп. Эти две недоработки не исключают и других.

Специалисты по анализу регулярно вообще забывают сформулировать опре деление подпоследовательности (а это понятие к элементарным и очевидным никак не отнесешь).

Некоторые результаты педагогических экспе риментов Автор с недоверием относится к цифровым выкладкам, пытающимся с по мощью в лучшем случае весьма грубых, а в типичном — неадекватных шкал измерить результаты педагогических экспериментов. Поскольку здесь и це ли, и методы, и экспериментаторы, и обучаемые суть неформализуемые сущ ности, все это лишь уступка требованиям диссертабельности работ либо за щита от нападок невежественных оппонентов (умные найдут дыры в способе измерений, но умные оппоненты не страшны разумному эксперименту.) Но иногда случайное формализованное измерение кое-что высвечивает.

В конце 1995 г. в УдГУ работала комиссия Минвуза России по провер ке качества преподавания. В частности, была проведена министерская кон трольная по математике на математическом факультете. Ее итоги стали скан дальными и были утаены в отчете комиссии: результаты студентов УдГУ ока зались существенно выше студентов МГУ. Так что можно по крайней мере утверждать, что видоизменение педагогических принципов качеству обуче ния математике не повредило.

Конечно, на первом курсе студенты с удивлением осознают разницу в тре буемом от них стиле поведения, а выявляющаяся относительность матема тических “истин” вызывает у них даже некоторый шок. Но быстро разви вающиеся у значительной доли студентов ростки критического мышления начинают помогать им в освоении других курсов из области математики и информатики.

За последние годы студенты УдГУ неоднократно занимали классные ме ста на конкурсах студенческих работ в области математики и программиро вания, ими опубликовано несколько десятков научных работ, созданы обуча ющие системы по математической логике и нескольким разделам аналити ческого цикла.

Попытки преподавания студентам, прошедшим логический цикл, мето дов современного творческого мышления со стороны приверженцев тради ционных школ инженерного творчества заканчивались интересным конфу зом: студенты решали предложенные задачи без применения “алгоритмов ре шения технических задач”, они не нуждались во вредно влияющем на психи ку т. н. расшатывании воображения, поскольку уже привыкли воспринимать наш мир лишь как один из возможных, и в итоге делали вывод, что эти курсы ничего нового, за исключением некоторых любопытных частных примеров, не дают.

Столь же трудно стало работать и преподавателям гуманитарных дис циплин, которые сплошь и рядом становились в тупик после естественных вопросов либо неожиданных выводов студентов. Например, смехом было встречено высказывание одного из преподавателей философии: “Логически невозможно, чтобы бесконечное было частью конечного.” Он ведь о нестан дартном анализе не имел понятия (хотя в свое время учился на математи ческом факультете и среди местных философов считается специалистом по математике!) Но зато повысился неформальный интерес студентов к гумани тарной литературе, в частности, к первоисточникам по философии, истори ческим сочинениям, культурам Китая и Индии, богословию.

Пожалуй, самым важным неформальным итогом частичного перехода на новые принципы обучения является изменение атмосферы в коридорах фа культета: за последние годы стало обычным наблюдать группы студентов, обсуждающих научные вопросы. А, как известно, эффективнее всего люди учатся не на формальных занятиях, а друг у друга. Это замечал еще Я. А. Ко менский, но данная часть его педагогической системы была отброшена по следователями как противоречащая авторитарному стилю обучения и фор мальной дисциплине на занятиях.

Опасности данного подхода Логика является высокоуровневой наукой, но она содержит несколько про стейших методов, и поэтому ее преподавание исключительно легко вульгари зировать. Далее, автор в последние годы столкнулся с другой вульгаризаци ей: когда пытаются дать сложные логические преобразования, не подготовив почвы.

Если каждый из других столпов математики может (ценой некоторых ме тодологических и методических вульгаризаций и проскакивания определе ний и анализа некоторых из используемых понятий и методов) практически замкнуться внутри себя и при этом создавать у студентов иллюзию цельно го взгляда на математику, а то и на весь научный мир, то логика начинает давать интересные результаты прежде всего на стыке с другими областями.

Она не может оторваться от философии, как указывается и в книге [8]. Поэто му построение математики на базе логики не может быть самодостаточным, и мы вынуждены подвергаться всем опасностям взаимодействия с другими дисциплинами.

Это особенно важно в тех университетах, где нет сильных и разнообраз ных школ, поскольку в них количество хороших специалистов в некоторой жизненно важной области легко может сократиться до нуля. А это означает перекос математического образования, и тем более сильный, чем выше бы ла поднята планка. Так что в данном отношении математический анализ — наиболее безопасная основа, поскольку крыша поднимается минимально.

(Добавлено при втором пересмотре статьи) За последние годы основную часть сектора IT-индустрии Ижевска заняли компании, возглавляемые выпускниками УдГУ, учившимися по эксперимен тальной программе. Когда представители компаний встречались со студен тами, студенты были шокированы тем, что боссы и ведущие специалисты говорили им не о необходимости освоения новейших систем, а о необходи мости обращать, особенно на первых курсах, основное внимание на фунда ментальную подготовку, и в первую очередь на те курсы, которые «мозги в правильную сторону поворачивают.» И первое место среди этих курсов за няла логика.

То же самое наметилось и в Новосибирске. Тупейшие претензии типа «Ваши выпускники не знают как следует Cold Fusion» сменились на осо знание того, что выпускники полностью подготовлены к тому, чтобы за два месяца стать асами в любой конкретной системе. Но это обеспечивает лишь общая фундаментальная подготовка.

Далее, за три года, пока автор работал в Новосибирске и писал книгу, вы явилось следующее. Поскольку у других не было энтузиазма и авторитета отстаивать свой учебный план в условиях нарастающего мелочного бюро кратического контроля со стороны Москвы, специальность в УдГУ перешла вновь на стандартный учебный план, отражающий опыт работы случайной кафедры случайного московского вуза (кстати, отнюдь не самый глупый из навязываемых Москвой учебных планов, но сохраняющий их общую особен ность: отсутствие единой идеи и учета сильных сторон конкретного универ ситета). Работодатели взвыли, убедившись, насколько сразу же упал уровень выпускников.

Это еще раз подтвердило, что учебные планы и стандарты в области информационных технологий полностью неадекватны сложившейся ситу ации, и данный факт необходимо воспринимать с открытыми глазами,если мы действительно желаем диверсификации экономики.

Необходимость новой математической специаль ности В последнее время становится ясно, что Россия неконкурентоспособна с Ин дией и Китаем на уровне кодирования и простого программирования. Не избежные издержки, связанные с более высокой стоимостью рабочей силы и более высоким объективным уровнем затрат на поддержание жизненного уровня, приводят к тому, что даже некоторые российские фирмы привлекают индийских кодеров15.

Поэтому необходимо занимать свою нишу на уровне brainware, что вы зывает необходимость подготовки аналитиков и постановщиков задач. Таких специалистов в принципе можно готовить на базе исключительно высоко уровневого гуманитарного курса (например, философии либо лингвистики), либо на базе математики. Ввиду отсутствия критической массы высококва лифицированных кадров в гуманитарных областях в России остается лишь один выход: готовить информатиков на базе математики.

Собственно с педагогической точки зрения при подготовке информатиков необходимо принимать во внимание следующее концептуальное (и проблем ное) противоречие:

Тот, кто начал на 1 курсе изучать новейшие системы, выходит с 5-го, зная морально устаревшие.

Далее, в условиях дефицита населения невозможно более относиться к человеческим ресурсам как к чему-то неисчерпаемому. Традиционная рос сийская система подготовки кадров высшей квалификации заранее отметает В частности, даже одна из фирм, возглавляемая учеником автора, вовсю использует сле дующую систему работы: русские специалисты ставят задачу, пишут критические методы и доводят ее, а кодирование второстепенных процедур, занимающих 80% программного тек ста, ведут индусы.

80% студентов (причем отнюдь не худших студентов) как отходы производ ства. Особенно ярко это проявляется в системе МГУ, НГУ и МФТИ.

И, наконец, недопустимо в погоне за формальным приближением к ми ровому уровню терять свои собственные достоинства, их нужно развивать и смиряться с тем, что любое достоинство имеет неразрывно связанные с ним недостатки (принцип Пеле). Нужно учитывать психологию наших студен тов и не пытаться копировать рассчитанные на другой психологический тип методы подготовки Америки либо Европы, и вместе с тем смело брать оттуда все лучшее. Словом, как перенимать чужое, нужно учиться у японцев, а не у наших реформаторов.

Нужно четко понимать, что математика, сохраняя единство, все больше делится на две громадных области с разным аппаратом и ценностями: чи сленную и нечисленную. Нечисленная математика дает как раз тот «пово рот мозгов», который требуется для успешной работы на средних и высших должностях в IT-производстве. Далее, она великолепно поддерживает ны нешние технологии индустриального программирования. что дает возмож ность всем успешно закончившим стать квалифицированными и востребо ванными специалистами. Отходы с 80% снижаются до приемлемого уровня Тот учебный план в области прикладной математики и информатики, ко 20%.

торый спущен сверху и по которому ныне работает УдГУ, составлен специа листами, в принципе понимающими данную проблему. Но они не могут пре одолеть идолопоклонничество большинства Ученого Совета и отказаться от анализоцентризма, в итоге недостаточное количество нечисленных курсов оказалось механически добавлено к численным, а весь план получился пе регруженным и практически неисполнимым (а даже если его исполнить, все равно ни к чему хорошему это не приведет ввиду отсутствия общей концеп ции).

Итак, нужно создавать новую специальность, и единственный путь к это му — отпустить в «свободное плавание» тех, кто готов действовать в данном направлении (как минимум, университеты Новосибирска, Нижнего Новго рода, Иркутска, Ижевска), а уж затем обсудить их опыт и выработать реко мендации. Попытка преждевременно навязать сверху новые стандарты ни к чему хорошему не приведет.

Демагогия об интересах студентов парируется тем, что именно экспери ментальные выпускники более всего востребованы, как доказывает много летний опыт.

Список литературы [1] Г. С. Альтшуллер. Творчество как точная наука. М., Советское радио, 1979.

[2] Е. de Bono. Creative thinking. New York, 1974.

[3] E. de Bono. Po: beyond yes and no. New York, 1978.

[4] М. Девис. Прикладной нестандартный анализ. М., Мир, 1980.

[5] Я. А. Коменский. Избранные труды, т. 1. М., Просвещение, 1988.

[6] Л. Кэррол. История с узелками. М., Мир, [7] А. С. Кузичев. Диаграммы Венна. М., Наука, 1968.

[8] Ан. А. Мальцев. Общее математическое образование: традиции и со временность. Новосибирск, 1997.

[9] Н. Н. Непейвода. Прикладная логика. Ижевск, 1997 (2-е издание Ново сибирск, 2000).

[10] Н. Н. Непейвода, И. Н. Скопин. Основания программирования.

Москва—Ижевск, РХД, 2003.

[11] Н. Н. Непейвода. Стили и методы программирования. Москва, ИНТУ ИТ, 2005.

[12] А.Н. Анисимов, В. В. Пупышев. 1001 задача по программированию.

Москва, ИНТУИТ, 2005.



 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.