авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Внешняя устойчивость резонансов в динамике движения космических аппаратов с малой асимметрией

На правах рукописи

ЛЮБИМОВ ВЛАДИСЛАВ ВАСИЛЬЕВИЧ

ВНЕШНЯЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЗОНАНСОВ В ДИНАМИКЕ ДВИЖЕНИЯ

КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ

Специальность 05.07.09

Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

САМАРА - 2009

Работа выполнена на кафедре динамики полета и систем управления Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. Королёва» (СГАУ)

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Заболотнов Юрий Михайлович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Асланов Владимир Степанович доктор технических наук, профессор Горелов Юрий Николаевич доктор технических наук, профессор Соллогуб Анатолий Владимирович Ведущее предприятие: Государственный ракетный центр «КБ имени академика В. П. Макеева», г. Миасс

Защита состоится 23 октября 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.04 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. Королёва» по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ

Автореферат разослан 1 сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.215.04, кандидат технических наук, доцент А. Г. Прохоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей и методов исследования внешней устойчивости резонансов в динамике вращательного движения космических аппаратов (КА) с малой асимметрией.

Актуальность проблемы. В динамике возмущенного движения КА различных типов и назначения неизбежно возникают резонансные явления, связанные с реализацией целочисленных соотношений между частотами динамических систем. Влияние резонансов на движение КА значительно усиливается, если в рассматриваемых динамических системах наблюдается устойчивые околорезонансные режимы движения, когда резонансные соотношения между частотами поддерживаются в течение достаточно длительного времени в силу действующих возмущений. Это приводит к дестабилизации движения КА и, как следствие, к невыполнению целевых задач космического полета.

Под внешней устойчивостью резонанса понимается устойчивость данного резонанса вне малой резонансной зоны ширины порядка, где - малый параметр задачи. Внешняя устойчивость резонанса приводит к притяжению траекторий динамической системы к резонансным зонам и, как правило, к реализации длительных резонансных режимов движения КА. С точки зрения динамики движения КА, близких по форме и по массово-инерционным характеристикам к осесимметричным, это приводит к эволюции угловой скорости вращения вокруг продольной оси КА к ее резонансным значениям с последующей потерей устойчивости движения по углам ориентации КА.

Исследованиям устойчивости резонансов при движении КА внутри малых резонансных зон (внутренней устойчивости резонансов) посвящено множество работ отечественных и зарубежных авторов. В то же время, проблема исследования внешней устойчивости резонансов применительно к динамике движения КА до настоящего времени практически не рассматривалась. Это, видимо, связано с тем, что изменение медленных переменных системы, обусловленное внешней устойчивостью резонансов, проявляется в высших приближениях метода усреднения. Аналитическое исследование данного явления представляет собой достаточно сложную задачу. Однако, использование современных математических пакетов с их возможностями в плане символьных преобразований позволяет существенно продвинуться в этом направлении.

Резонансные эффекты, связанные с внешней устойчивостью резонансов, проявляются во многих задачах динамики движения КА, таких, как спуск в атмосфере неуправляемого космического аппарата с малой асимметрией, возмущенное вращательное движение по орбите спутника с сильным магнитом на борту и других. Все эти задачи, относящиеся к классу задач пассивной стабилизации движения (аэродинамической, магнитной, гравитационной), естественно включают в себя оценку точности и устойчивости подобных режимов движения КА. Причем анализ известных работ и математических моделей, относящихся к этому направлению исследований, показывает, что любая задача пассивной стабилизации движения КА сводится к исследованию колебаний в многочастотной системе при действии возмущений и неизбежно приводит к необходимости изучения эволюционных эффектов, обусловленных внутренней и внешней устойчивостью резонансов.

Состояние проблемы. Основополагающие результаты по исследованию резонансов в динамических системах с медленными и быстрыми переменными принадлежат Боголюбову Н. Н., Аносову Д. В., Арнольду В. И., Моисееву Н. Н., Волосову В. М., Митропольскому Ю. А., Хапаеву М. М., Нейштадту А. И., Белецкому В. В., Ярошевскому В. А., Найфэ А., Мозеру Ю., и др. В этих работах заложены основы теории резонансных динамических систем и показано, что основными методами исследования резонансных явлений в двухчастотных и в многочастных задачах являются методы возмущений, в частности, методы усреднения. Так, например, еще в замечательной работе Арнольда В. И. «Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике» (Успехи математических наук, 1963, 18, вып.6) исследуется проблема малых знаменателей, которые неизбежно появляются в асимптотических решениях для динамических систем с несколькими частотами. Появление малых знаменателей, которые, по сути, представляют собой резонансные соотношения между частотами системы, связано не столько с применяемыми математическими методами, а с самой сущностью решаемых задач, в которых эволюционные изменения медленных переменных определяются возникающими резонансами. Проблема внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА также связана с влиянием малых знаменателей, которые появляются в высших приближениях метода усреднения при построении усредненных систем дифференциальных уравнений.



В работе исследуются две задачи пассивной стабилизации движения КА:

аэродинамическая стабилизация спускаемых КА в плотных слоях атмосферы и магнитная стабилизация спутника в геомагнитном поле на орбите.

Решению задачи устойчивости движения КА в атмосфере и влиянию резонансов на их движения посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных специалистов.

Здесь следует отметить работы американских ученых Платуса Д., Мерфи К., Найфэ А., Бредли Д.

и других, которые впервые поставили и изучали проблему резонансного движения КА в атмосфере. Параллельно с исследованиями за рубежом данная проблема активно исследовалась отечественными учеными. Основные результаты по исследованию резонансного движения космических аппаратов в атмосфере содержатся в работах Ярошевского В. А., Шилова А. А. и Гомана М. Г., Бюшгенса Г. С., Студнева Р. В., Асланова В. С., Заболотнова Ю. М., Тимбая И. А. и др. Хотя во многих этих работах исследовались эволюционные изменения медленных переменных, в частности, исследовалось возникновение нерезонансной закрутки КА вокруг своей продольной оси в атмосфере, однако, эти эволюционные изменения не связывались с появлением малых знаменателей в усредненных уравнениях в нерезонансном случае, то есть проблема внешней устойчивости резонансов не рассматривалась.

Задача о движении по орбите КА - спутника с сильным магнитом на борту, включая исследования резонансов, рассматривалась в работах Белецкого В. В., Хентова А. А., Сарычева В. А., Сазонова В. В., Садова Ю. А., Сидоренко В. В., Овчинникова М. Ю. и др. Однако исследования внешней устойчивости возникающих резонансов в этих работах также не проводилось.

Термин «внешняя устойчивость резонанса» принадлежит Садову Ю. А. Им была исследована общая двухчастотная почти гамильтонова система с двумя быстрыми переменными.

Внешнюю устойчивость резонансов в рассматриваемой гамильтоновой системе Садов Ю. А.

связал с появлением малых знаменателей в высших приближениях усредненной системы дифференциальных уравнений. Данное явление притяжения траекторий к резонансным зонам еще на нерезонансных участках движения системы в силу появления резонансных знаменателей в методе усреднения он связал также с проявлением эволюционных резонансных эффектов, проявляющихся также лишь в высших приближениях метода усреднения. Проведенные им исследования имеют большое значение для теории внешней устойчивости резонансов, так как в них рассмотрены математические аспекты возникновения данного явления.

Таким образом, обзор известных работ, посвященных различным аспектам влияния резонансов на динамику движения КА, показывает, что вопросы внешней устойчивости резонансов в данных прикладных задачах практически не рассматривались.

Научная проблема, решению которой посвящена диссертация, состоит в отсутствии методов исследования внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА, предназначенных для анализа и синтеза значений их параметров, и исключающих нарушение ограничений на контролируемые характеристики полета КА.

Цель работы. Целью работы является разработка методов и математических моделей исследования внешней устойчивости резонансов в динамических системах, описывающих вращательное движение космических аппаратов, анализ закономерностей возникающих резонансных эффектов и выбор на этой основе параметров КА, приводящих к выполнению заданных ограничений на параметры его движения на различных участках космического полета.

Для достижения этой цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Разработаны методы исследования внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА с малой асимметрией, основанные на применении метода усреднения и метода интегральных многообразий.

2. Построены математические модели для анализа внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА в рассматриваемых прикладных задачах: квазилинейные математические модели для малых углов нутации (углов атаки), нелинейные модели движения по исследуемым интегральным многообразиям.

3. Разработан метод построения резонансных кривых (кривых, определяющих положение резонансных зон) в нелинейном случае, базирующийся на применении метода интегральных многообразий.

4. Получены усредненные математические модели с учетом высших приближений для аналитического исследования внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах.

5. Произведен сравнительный анализ рассматриваемых резонансных эффектов с точки зрения их влияния на эволюцию медленных переменных, определяющую вращательное движение КА, и получены условия их реализации.

6. Сформулирована и доказана теорема о внешней устойчивости резонанса в системе с медленными и быстрыми переменными.

7. Определены области внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах при различных сочетаниях асимметрий КА.

8. Исследована внешняя устойчивость резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул.

9. Произведено сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонансную область в задаче динамики движения спускаемых КА в атмосфере.

10. Разработаны методики учета внешней устойчивости резонансов при проектировании космических аппаратов, осуществляющих неуправляемый спуск в атмосфере и КА - спутников с магнитной системой ориентации.

11. С целью повышения достоверности результатов численного интегрирования и построенных асимптотических решений произведен выбор параметров метода интегрирования, учитывающий неизбежно возникающие погрешности численного интегрирования и методов асимптотического анализа.

Объект исследования. Объектом исследования являются резонансы, возникающие в возмущенном движении КА, условия их внешней устойчивости, и методики проектирования КА с учетом влияния рассматриваемых резонансных эффектов.

Предмет исследования. Предметом исследования является динамика возмущенного вращательного движения КА при реализации аэродинамической и магнитной систем пассивной стабилизации на различных участках его космического полета.

Методы исследования. При исследовании внешней устойчивости резонансов, для получения математических моделей, аналитических формул, оценок, условий устойчивости использовались методы и подходы, разработанные и развитые Ляпуновым А. А., Боголюбовым Н. Н., Моисеевым Н. Н., Арнольдом В. И., Тихоновым А. Н., Нейштадтом А. И., Хапаевым М. М., Ярошевским В. А., Садовым Ю. А. и др.

Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем.

1. Разработан метод исследования внешней устойчивости резонансов в задачах пассивной стабилизации движения КА (аэродинамической и магнитной).

2. Разработан метод построения резонансных кривых, определяющих положение резонансных зон в нелинейной динамической системе, основанный на совместном применении метода интегральных многообразий и метода усреднения.

3. Получены новые математические модели, допускающие аналитический анализ внешней устойчивости резонансов в рассмотренных задачах динамики движения КА.

4. Установлены причины эволюционных эффектов, приводящих к притяжению траекторий рассмотренных динамических систем к резонансным зонам, и проанализировано влияние сложной асимметрии КА на внешнюю устойчивость резонансов.

5. Сформулирована и доказана теорема о внешней устойчивости резонансов для общей двухчастотной динамической системы с медленными и быстрыми переменными.

6. Построены области внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах при различных сочетаниях асимметрий КА.

Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что разработанные методы, теоремы и построенные математические модели основаны или являются развитием известных математических положений и методов, таких, как теория устойчивости Ляпунова А. А., метод усреднения, теория возмущений динамических систем, методы численного анализа.

Результаты работы не противоречат известным опубликованным результатам в этом направлении.

Практическое значение работы состоит в том, что основные результаты, описывающие влияние внешней устойчивости резонансов и резонансных эффектов на движение космических аппаратов, доведены до простых аналитических выражений и оценок, которые удобны для инженерных расчетов при проектировании КА. Выявленные в работе закономерности по влиянию сложной асимметрии на устойчивость резонансов позволяют повысить качество проектирования КА, так как ведут к исключению нерасчетных режимов его движения.

Разработанные методы и методики реализованы в виде программных продуктов, удобных для практического использования.

На защиту выносятся.

1. Методы исследования внешней устойчивости резонансов в задачах аэродинамической и магнитной стабилизации движения КА.

2. Метод построения резонансных кривых в нелинейном случае, базирующийся на применении теории интегральных многообразий.

3. Квазилинейные и нелинейные математические модели, усредненные в нерезонансном случае и предназначенные для получения условий внешней устойчивости резонансов при движении КА.

4. Теорема о внешней устойчивости резонанса в динамической системе с медленными и быстрыми переменными.

5. Общие закономерности, условия и области внешней устойчивости резонансов в рассмотренных прикладных задачах движения КА.

6. Результаты сравнительного анализа условий внешней и внутренней устойчивости главного резонанса при движении КА в атмосфере и определение обобщенных параметров асимметрии, влияющих на оба вида устойчивости.

7. Результаты анализа условий внешней устойчивости резонансов для спускаемых капсул с большими баллистическими коэффициентами.

8. Методика определения областей допустимых значений параметров асимметрий КА, учитывающая разработанные методы исследования внешней устойчивости резонансов.

Реализация результатов работы. Научные и практические результаты работы внедрены и используются на ведущих предприятиях отрасли: Федеральном государственном унитарном предприятии «Государственный научно-производственный ракетно-космический центр «ЦСКБ ПРОГРЕСС», г. Самара, Государственном ракетном центре «КБ имени академика В. П.

Макеева», г. Миасс.

Математические методы и методические разработки автора и созданное им программное обеспечение используется: при проектировании малых спутников c магнитом на борту в Институте космического приборостроения ГОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва» (СГАУ);

в учебном процессе СГАУ при подготовке студентов по специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 18 всероссийских, международных и отраслевых конференциях, в числе которых: Научные чтения по космонавтике (1997-1998 г., 2002 г.), Научные чтения, посвященные разработке творческого наследия Циолковского К. Э. (1996 г.), российско-европейская летняя космическая школа (2003 г.), международная конференция «Авиация и космонавтика-2006», Научно-технические семинары по управлению движением и навигации летательных аппаратов (1997 г., 1999 г., 2002 г., 2005 г., 2007 г.), международная конференция «Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках» (2008 г.), и др. Исследования автора диссертации в области динамики систем, проводимые совместно с группой коллег, дважды поддерживались РФФИ (проект № 99-01-00477 и проект № 07-01-96606). Часть материалов диссертации докладывались на научном семинаре В. В. Белецкого, проходившем на физико математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 40 печатных работах, в том числе одной монографии [1] и одиннадцати статьях в журналах из списка ВАК для докторских диссертаций [2]-[12].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 7 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Объем диссертации 353 с., из них 340 страниц машинописного текста, 105 рисунков, 10 таблиц, 2 приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая характеристика рассматриваемой проблемы, обосновывается актуальность работы, формулируется цель исследований, показывается практическая ценность диссертации, приводятся сведения о публикациях и перечисляются положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвящается описанию проблемы исследования внешней устойчивости резонансов в динамических системах. Приводится обзор известных работ по теории резонансов в динамических системах, их устойчивости и математическим методам исследования. Обсуждаются известные результаты по исследованию резонансов в задачах динамики движения КА. Рассматриваются понятия внешней и внутренней устойчивости резонансов для систем стандартного вида с двумя быстрыми фазами. С математической точки зрения, внешнюю устойчивость резонанса определяют усредненные в нерезонансном случае уравнения, в которых появляются малые знаменатели в высших приближениях метода усреднения.

Перечисляются основные направления исследований, связанные с резонансами, возникающими в общих динамических системах и прикладных задачах:

- определение резонансов, возможных в системах;

- оценка возмущений переменных при прохождении системы через резонансы;

- получение и анализ условий внутренней устойчивости резонансов;

- получение и анализ условий внешней устойчивости резонансов;

- оценка вероятности захвата в резонанс, то есть вероятности реализации длительных резонансных режимов движения.

Показывается, что традиционно рассматривались первые три направления исследований.

Данная работа посвящена в основном исследованию четвертого направления применительно к задачам динамики возмущенного движения КА. Кроме того, в работе устанавливается связь между условием внешней устойчивости резонансов, условием захвата в резонансную область в вероятностной постановке и условием внутренней устойчивости резонанса. В заключение первой главы содержатся задачи, на которые разбивается исследование поставленной в работе проблемы.

Во второй главе рассматриваются математические модели, являющиеся исходными для исследований внешней устойчивости резонансов в данной работе. Для того, чтобы разработать метод исследования внешней устойчивости резонансов, сначала рассматривается, модельная задача о возмущенном движении твердого тела (ТТ) вокруг неподвижной точки в случае, близком к случаю Лагранжа, которая является аналогичной по форме записи уравнений движения задачам о движении КА с малой асимметрией.

В этом случае исследование резонансных движений волчка Лагранжа в возмущенном случае сводится к исследованию резонансов в нелинейной системе, имеющей следующий вид:

dч / dt = е ( ч, ц, и, dи / dt ), d 2 и / dt 2 + F ( ч, и ) = е[ f1 ( ч, ц, и ) + f 2 ( ч, ц, и )dи / dt ], (1) dц / dt = 0 ( ч, и ) + е 1 ( ч, ц, и, dи / dt ), где и и ц - углы нутации и собственного вращения (быстрые переменные), ч – медленные переменные, среди которых содержится угловая скорость вращения ТТ щz ), е 0 – малый параметр, f1, f 2, 1, - функции, периодичные по фазе ц с периодом 2р, F и 0 - известные функции переменных ч и и. Уравнение для угла прецессии отделяется от системы (1) и здесь не записано. Ось Z в невозмущенном случае ( е =0) является осью динамической симметрии ТТ.





Уравнения (1) описывают нелинейную систему дифференциальных уравнений, которая позволяет исследовать резонансные эффекты только посредством численных методов. По этой причине в работе рассматривается получение приближенных квазилинейной и нелинейной (низкочастотной) систем уравнения движения, позволяющих использовать известный метод усреднения для изучения указанных эффектов.

Применение асимптотических методов для анализа полученной системы усложняется большим количеством возмущений, которые необходимо учитывать. В данной модельной задаче учитываются возмущения от малого смещения центра масс от оси динамической симметрии тела и малые постоянные в связанных с телом осях моменты M x, M y, M z. Причем способ введения малого параметра в систему связан с выделением порождающего решения и исследованием поведения системы в окрестности этого решения. В этом случае малый параметр е используется как безразмерный коэффициент (или масштабный коэффициент), указывающий на вид порождающего решения. Успех использования асимптотических методов в этом случае определяется близостью порождающего и точного решений друг к другу.

При получении квазилинейной модели исходная система нелинейных уравнений (1) приводится к комплексной форме. Проводится замена переменной и на комплексную переменную о = iиe iш, а коэффициенты возмущающих моментов G z, G n представляются в виде степенных рядов: G z = G z 0 + G z 2 и 2, Gn = Gn1и + Gn3и 3, где и = оо, о = iиe iш.

Квазилинейная система уравнений движения принимает вид:

dо 2 1 dо dо d dо = щz е i о о, + C 2 о = еf (о, щz, ), iС1 (2) dt dt dt 2 dt dt 4 [ ] dщ z = е G n1 + G n 2 (о о ) C 3 (оe i + оe i ) + еC 4, dt где = ш + - быстрая фаза, С i, i = 1...4 - некоторые положительные постоянные, f (о, щz, ) - известная функция своих переменных, щz - угловая скорость тела относительно его продольной оси, ш- угол прецессии тела.

После замены переменных квазилинейная система (2) приводится к стандартному виду систем с быстрыми и медленными переменными, к которым можно применять метод усреднения:

dz / dt = еZ ( z, г, е), dг / dt = щ( z ) + е ( z, г, е), (3) г = (ш1, ш2, ) - вектор медленных и быстрых переменных, где z = (a1, a 2, щz ) и щ( z ) = (щ1, щ2 ) -частоты, Z ( z, г, е) и ( z, г, е) - функции, периодичные по быстрым фазам ш1, ш2, с периодом 2р и состоящие из конечного числа гармоник. Здесь о = a1eiш1 + a2eiш2, a1, a 2 - амплитуды колебаний, а ш1, ш2 - фазы колебаний комплексной переменной о.

Систему стандартного вида (3) можно записать как систему с двумя быстрыми фазами.

Она значительно проще исходной нелинейной модели и позволяет производить аналитические исследования эволюций, вызванных резонансными эффектами от нескольких резонансов и анализировать внешнюю устойчивость этих резонансов. Недостатком этой модели является относительно небольшой диапазон изменения угла (до величин порядка 25K 30 град) Этого недостатка лишена нелинейная низкочастотная модель, поскольку ее можно использовать для описания движения при углах в диапазоне и [0, р / 2). Для получения низкочастотной модели движения исходная нелинейная система (1) упрощается методом интегральных многообразий, что значительно облегчает ее применение для анализа резонансных явлений. В работе рассматриваются вопросы, связанные с выполнением условий теоремы о существования интегрального многообразия для исходной системы уравнений движения.

Низкочастотная система уравнений, описывающая движение по интегральному многообразию, в исходных переменных представляет собой стандартную систему с одной быстрой фазой ц :

dц / dф= с (щz, и ) + м 1 (щz, ц, и, щб ), dщz / dф= м 2 (щz, ц, и, щб ), (4) щи = dи / dt = H 1 (щz, ц, м), и = ш( x) + H 2 (щz, ц, м), (5) где м = е, ф= мt - медленное время;

с (щz, и ) = м1 0 (щz, и ) ;

и 0 = ш(щz 0 ) - корень уравнения F (щz, и ) = 0, причем F / и (щz 0 ) 0 ;

1 (щz, ц, и, щб ), 2 (щz, ц, и, щб ) -известные функции, периодические по фазе ц с периодом 2р и включающие конечное число гармоник. Здесь выражения (5) описывают интегральное многообразие. В отличие от исходной системы (1), низкочастотная система (4)-(5) позволяет производить усреднение с последующим анализом внешней устойчивости резонанса при больших углах и (до р / 2 ).

В заключение во второй главе определяются резонансы, возникающие в рассматриваемой модельной задаче в квазилинейной и нелинейной моделях движения, и производится их сравнение.

В третьей главе обосновывается методика выбора параметров метода интегрирования, обеспечивающих необходимую точность численного расчетов при исследовании внешней устойчивости резонансов. В качестве основного метода интегрирования используется классический метод интегрирования Рунге-Кутты с постоянным и переменным шагами.

При численном исследовании нерезонансных и резонансных движений механических систем с высокими частотами, для обеспечения необходимой точности вычислений в некоторых случаях возникает необходимость использования специальных методов интегрирования или методов высокого порядка точности. Одним из способов получения достоверных результатов, оставаясь в рамках классических методов, является применение метода усреднения. Метод усреднения позволяет изучить эволюцию медленных переменных с учетом высших приближений. Однако при численном интегрировании усредненной системы необходимо определять параметры метода интегрирования так, чтобы обеспечить согласованность погрешности интегрирования с погрешностью высших приближений метода усреднения. При этом погрешность численного интегрирования должна быть меньше погрешности высших приближений метода усреднения, как в резонансном, так и в нерезонансном случаях.

Системы уравнений (3) и (4)-(5) представляют собой стандартные уравнения с двумя и одной быстрыми фазами соответственно. Общий вид таких систем следующий:

dx = еX ( x, y, е), (6) dt dy = щ( x) + еY ( x, y, е), (7) dt где x – вектор медленных переменных, y – вектор (или скаляр) быстрых фаз, е - малый параметр, щ(x) - вектор-функция частот, X ( x, y ) и Y ( x, y ) - вектор-функции, периодичные по фазам y с периодом 2р и имеющие конечное число гармоник.

Применение метода усреднения в нерезонансном случае для стандартной системы (6)-(7) заключается в поиске такой замены переменных x = x o + еx1 ( x o, y o ) + е 2 + K, (8) y = y o + еy1 ( x o, y o ) + е 2 + K, и такой системы уравнений для новых переменных x o, y o :

dx o / dt = еA1 ( x o ) + е 2 A2 ( x o ) + е 3 + K, (9) dy o / dt = щ( x o ) + еB1 ( x o ) + е 2 + K, правые части которой не содержат вращающихся фаз y o.

Неизвестные функции x1, y1, A1, A2, B1 асимптотических разложений (8)-(9) определяются по известной методике метода усреднения.

Для усредненной в нерезонансном случае системы уравнений движения (квазилинейной или низкочастотной) в итоге получаем следующие оценки величины шага при численном интегрировании методом порядка точности p (приближения метода усреднения A1, A2, A определяются в нерезонансном случае по известной методике):

p 1) если первое приближение метода усреднения A1 0, то O(h) O( е ), p 2) если второе приближение A2 0, при A1 = 0, то O(h) O( е 2 ), p 3) если третье приближение A3 0, при A1 = 0, A2 = 0, то O(h) O( е 3 ).

Для усредненной в резонансном случае системы уравнений движения приближения A1, A2, A3 определяются также по известной методике, но в резонансном случае.

В результате в резонансном случае имеем следующие оценки:

p 1) пусть A1 = 0 и A2 0, тогда O(h) O( е ), p 2) пусть A1 = 0, A2 = 0 и A3 0, тогда O(h) O( е 3 ).

В частности, при численном интегрировании с шагом h по усредненным уравнениям (низкочастотным или квазилинейным) методом Рунге-Кутты четвертого порядка для определения угловой скорости щz при движении ТТ с малой асимметрией существует три области изменения шага интегрирования: 1) O(h) O(е1 / 2 ), 2) O(h) [O(е1 / 2 ), O(е1 / 4 )], 3) O(h) O(е1 / 4 ). В первой области численное интегрирование по усредненным уравнениям позволяет использовать данные уравнения для определения угловой скорости щz в нерезонансном и резонансном случаях. Во второй области численное интегрирование по усредненным уравнениям в резонансном случае позволяет определять значения щz, однако, использовать аналогичные уравнения, усредненные в нерезонансном случае, для нахождения значений щz этом случае не представляется возможным, так как погрешность вычислений численным методом превышает погрешность метода усреднения. По этой же причине в третьей области нельзя использовать усредненные в обоих случаях уравнения для расчета эволюции угловой скорости щz. Аналогичные интервалы для параметров интегрирования (констант автоматического выбора шага) были получены при использовании интегрирования с переменным шагом.

Полученные оценки для параметров численного интегрирования усредненной системы позволяют повысить достоверность численных расчетов при исследовании внешней устойчивости резонансов.

В четвертой главе проводится подробное исследование внешней устойчивости резонансов и влияния связанных с ней эффектов на эволюцию медленных переменных в возмущенном движении ТТ вокруг неподвижной точки в случае, близком к случаю Лагранжа.

Для анализа рассматриваемых резонансных эффектов на нерезонансных участках движения определяются асимптотические решения метода усреднения до второго порядка включительно. С помощью полученных усредненных уравнений определяются условия возникновения и основные факторы, влияющие на эволюцию угловой скорости щz.

Наличие возмущений в рассматриваемых системах может привести к появлению малых резонансных знаменателей. В частности, в квазилинейной системе (3) возможны следующие резонансы: щz щ1,2 0, щz 2щ1,2 + щ2,1 0, где щ1,2 = I z щz / 2 ± щи - частоты колебаний, щи = I z щz / 4 + щ0 2, щ0 = const - частота колебаний при щz =0, I z = I z / I, I = ( I x + I y ) / 2, I x, I y, I z – главные осевые моменты инерции ТТ. Следовательно, в квазилинейной системе (3) щz1 = ± щ0 / 1 I z, r могут существовать четыре резонансные угловые скорости:

щz 2 = ±3щ0 / 1 I z 2 I z, которые симметричны относительно нуля.

r Анализ приведенных выше резонансных угловых скоростей показывает, что эволюцию системы на нерезонансных участках к резонансным зонам определяет зависимость щz (t ).

Усредняя уравнение для угловой скорости щz системы (3), получим (далее верхний индекс для { } усредненных медленных переменных z o = щz, и o опущен):

o dщz = е A1 + е 2 A2. (10) dt f (a, a, щ ) f (a, a, щ ) В рассматриваемом случае: A1 = 0, A2 = 3 1 2 z cos( d ) 4 1 2 z cos( d ) + (щz щ1 ) (щz щ2 ) f (a, a, щ ) f (a, a, щ ) + 5 1 2 z cos( d ) 6 1 2 z cos( d ), cos d - обобщенный параметр, зависящий (щz 2щ2 + щ1 ) (щz 2щ1 + щ2 ) от действующих возмущений, a1,2 - амплитуды угла нутации. Здесь функции f j, j = 3... являются знакопостоянными на каждом нерезонансном участке.

Усредненное уравнение (10) описывает поведение медленной переменной щz вне резонансных областей порядка O( е ). В знаменателях выражений (10) содержатся резонансные расстройки частот, которые определяют влияние резонансов на эволюцию щz. Для анализа внешней устойчивости резонансов по полученным уравнениям строятся графики зависимостей dщz / dt = f (щz ), иллюстрирующие возможные случаи поведения медленной переменной щz (например, рисунок 1). Характерной особенностью зависимостей, приведенных на рисунке 1, является наличие устойчивых (неустойчивых) резонансов и стационарных точек, расположенных вблизи резонансов, определяющих области, где производная dщz / dt принимает значения разных знаков. Направление эволюции угловой скорости щz показаны стрелками. Поэтому переменная щz на нерезонансных участках с течением времени стремится к какому-либо резонансу или к стационарной точке. Вид графиков, аналогичных случаю, показанному на рисунке 1, зависит от сочетания знаков выражений f j, j = 3...6, cos d. Так, рисунок соответствует случаю f j, j = 3...6 0, cos d 0. Анализ эволюций усредненной переменной. - z, c 1, r2 r1 r r c c z z z z z z - z, c -0,5 -0,25 0 0,25 0, -1, - Рисунок 1 – Резонансные эффекты при вращении тела вокруг неподвижной точки щz посредством уравнения (10) позволяет выделить следующие эволюционные резонансные эффекты:

1. Увеличение скорости изменения медленной переменной щz, сопровождающееся уменьшением скорости изменения быстрых переменных г, при приближении к резонансам щz1, щz 2 ;

r r 2. Наличие вблизи резонансов областей притяжения (отталкивания) значений щz ;

3. Существование при определенных условиях ( cos d = 0 и a1 2 a 2 =0) вблизи резонансов устойчивых или неустойчивых стационарных точек, обозначаемых на рисунке с как щz.

В низкочастотной системе (4)-(5) возможна реализация главного резонанса, оказывающего наибольшее влияние на нерезонансные эволюции переменных. Главный резонанс возникает при выполнении условия: щz щ1,2 0. Решая данное уравнение, получаем резонансное значение угловой скорости щz : щz = ±щ0 /(1 I z )1 / 2. Здесь частота щ0 = f (и ). Переменная при r применении метода интегральных многообразий также становится медленной переменной (движение системы происходит по интегральному многообразию).

В нелинейном случае (4)-(5) резонансная расстройка частот щz щ1,2 0 зависит от двух медленных переменных щz и и, поэтому на эволюцию низкочастотной системы на нерезонансных участках, связанную с резонансными эффектами, оказывают влияние обе эти переменные z,. Усредняя уравнения для этих переменных, находим:

dщz = еA1 + е 2 A2, щ щ (11) dt dи = еA1 + е 2 A2, и и (12) dt f (и, щz ) f (и, щz ) f (и, щz ) В нашем случае A1 = A1 = 0, A2 = 7 cos ц d + щ щ и cos ц d + 8, (щz щ1,2 ) (щz щ1,2 ) (щz щ1,2 ) f (и, щz ) f (и, щz ) f (и, щz ) f (и, щz ) A2 = 10 cos ц d + и cos ц d + 11 sin ц d + 12.

(щz щ1,2 ) (щz щ1,2 ) (щz щ1,2 ) (щz щ1,2 ) Здесь функции f n (и, щz ), n = 7...13 - функции, знакопостоянные на каждом нерезонансном участке и зависящие от возмущений, cos ц d, sin ц d - обобщенные параметры, зависящие от действующих возмущений (параметров асимметрии ТТ и малых моментов M x, M y, M z ).

Система (11)-(12) является автономной системой второго порядка. Возможные в ней резонансные эффекты удобно анализировать на плоскости переменных ( щz, и ). Для примера на и рисунке 2 показан один из возможных случаев поведения траекторий системы (11)-(12) ( A1 = 0, щ A1 = 0 ). Рассматривается случай, когда на эволюцию медленных переменных, определяющее влияние оказывает слагаемое f 7, зависящее от малого смещения центра масс y и малых моментов M x, M y. В этом случае возможные варианты поведения системы выглядят так:

r резонансные кривые щz (и ) (изображенные на рисунке 2 жирной линией) разбивают плоскость на три области, и эволюция переменных щz, и определяется принадлежностью начальных условий щz (0), и (0) соответствующей области и знаком произведения f 7 cos ц d, характеризующего величину возмущений.

r Если f 7 cos ц d 0, то положительная часть резонансной кривой щz (и ) 0 притягивает r фазовые траектории. Если f 7 cos ц d 0, то устойчива отрицательная часть ( щz (и ) 0). Скорость изменения медленных переменных щz, и, как это следует из (11)-(12), увеличивается при r приближении к резонансной кривой щz (и ), а скорость изменения быстрой фазы ц, напротив, уменьшается.

- zz, c б -, град, град 30 Рисунок 2 – Резонансные эффекты на плоскости переменных щz, и Кроме того, при значениях угла и в интервале ( 70 o и 90 o ) вблизи резонансной кривой r щz (и ) возможно появление особых точек, устойчивость (или неустойчивость) которых совпадает с устойчивостью (или неустойчивостью) соответствующей части резонансной кривой. Появление щ особых точек вблизи резонансной кривой объясняется наличием в выражениях для функций A знаменателей, зависящих от квадратов резонансных расстроек частот (щz щ1,2 )2.

Пусть на эволюцию медленных переменных определяющее влияние оказывает функция f 8 (обратно пропорциональная квадрату расстройки частот (щz щ1,2 )2 и зависящая от малого смещения центра масс y и малых моментов M x, M y ). Тогда поведение системы на рассматриваемой плоскости переменных также изменяется, причем притяжению траекторий при r щz щz к резонансной кривой в этом случае соответствует отталкивание траекторий от той же r кривой при щz щz, или наоборот.

В работе показано, что различные варианты поведения нелинейной системы (11)-(12) зависят от реализуемого сочетания возмущений, действующих на ТТ, и построена полная картина возможных движений ТТ в рамках учитываемых возмущений.

Формулируется и доказывается теорема о внешней устойчивости отдельного резонанса для систем уравнений, описывающих возмущенное движение ТТ вокруг неподвижной точки. Как показано в работе, для этого вместо одной из медленных переменных системы необходимо ввести новую переменную: резонансную расстройку частот (x).

Тогда внешнюю устойчивость резонанса ( x) = 0 в системе (6)-(7) можно определить следующим образом.

Определение. Резонанс ( x) = 0 внешне устойчив в некоторой нерезонансной области D(), если для любого л 0, можно найти такие л1 ( л л1 0), е0 0, L0, что для всех (x), L определенных из системы (6)-(7) при л1 0 е1 / 2 и 0 е е0 на интервале t0 t t* = е выполняется условие е1 / 2 л, где 0 = ( x 0 ), x0 = x(t 0 ), а t* определяет момент выхода (x) на границу е1 / 2 - окрестности резонанса.

Следовательно, о внешней устойчивости резонанса (x) =0 в случае нескольких медленных переменных можно говорить лишь применительно к некоторой области D(), поэтому внешняя устойчивость носит локальный характер.

Теорема (о внешней устойчивости резонанса ( x) = 0 ).

Пусть для системы (6)-(7) выполнены следующие условия:

1) существует положительно определенная по переменной функция Ляпунова V () системы (6)-(7), допускающая по переменной бесконечно малый высший предел, которая е(л) л и имеет вид V = 2 ;

является ограниченной в области 2) равномерно относительно из области е(л) л существует среднее 1 t +T V ш() = lim dt, T T t t и для всякого с е1 / 2 можно указать такое д 0, что если с, то ш() д ( при t 0, t0 = 0 );

3) существуют суммируемые функции F (t ) и M (t ), постоянные F0 и M 0, а также неубывающая функция ч1 (б ), lim ч1 (б ) = 0, такие, что в области е(л) л имеют место б t dV & & & неравенства: V ( ) V ( ) ч1 ( ) F (t ), X (, t ) M (t ), = V, F (t )dt F0 (t 2 t1 ), dt t t M (t )dt M 0 (t 2 t1 ) на любом конечном отрезке [t1, t2 ], и - значения переменной в t моменты времени t 2 и t1, соответственно.

При выполнении условий 1)-3) резонанс ( x) = 0 внешне устойчив.

Основным условием внешней устойчивости резонанса ( x) = 0 в представленной теореме является условие отрицательности усредненной производной функции Ляпунова, вычисленной с учетом действующих в системе возмущений. При этом, в качестве функции Ляпунова используется выражение V = 2.

В этом случае условие внешней устойчивости резонанса = 0 можно записать в форме:

d dV = 2 д, (13) dt dt где д 0 - известная величина.

Из условия (13) следует, что для данной функции Ляпунова резонанс = 0 будет внешне устойчивым, если знаки выражений и d / dt будут различными. Наоборот, если знаки и d / dt выражений совпадают, то рассматриваемый резонанс будет являться внешне неустойчивым.

Для примера запишем данное условие в квазилинейном случае для резонанса = щz щ1 = 0. Для этого найдем полную производную d / dt :

d dщz =. (14) щz dt dt щ I z I z щz = 1 1 = При I z 1 примем, что: 0.

щz щz 2 4щи Усредненное уравнение dщz / dt для рассматриваемого резонанса имеет вид f (a, a, щ ) dщz = 3 1 2 z cos( d ). (15) (щz щ1 ) dt Как показано на рисунке 1 при щz щzp1 производная dщz / dt 0 по крайней мере при щz щz. С другой стороны, при 0 щz щz 1 усредненная производная dщz / dt 0. Так как с p частная производная / щz положительна, то на данных нерезонансных участках знаки выражений dщz / dt и d / dt совпадают.

Итак, для резонанса = щz щ1 0 при щz щz1 имеем 0 и r d / dt 0, а при 0 щz щz1 - 0 и d / dt 0. Поскольку знаки функций и d / dt противоположны, то r резонанс = щz щ1 = 0 согласно условию (13) является внешне устойчивым.

Аналогичным образом рассматривается в квазилинейном случае внешняя устойчивость резонансов щz щ2 0, щz 2щ1 + щ2 0, щz 2щ2 + щ1 0. Производится сравнительный анализ внешней устойчивости рассмотренных четырех резонансов. Показывается, что при малых углах нутации и главные резонансы щz щ1,2 0 имеют большую область притяжения по щz 2щ1,2 + щ2,1 0, сравнению с резонансами что объясняется большей величиной производной dV / dt для главных резонансов.

В нелинейном случае условие внешней устойчивости для главного резонанса = щz щ1,2 = 0 имеет такой же вид (13), однако полная производная усредненной функции d / dt определяется более сложным выражением:

d dи dщz =е +е. (16) и dt щz dt dt Здесь расстройка частот является медленно изменяющейся функцией двух переменных = (и, щz ), а выражения для производных определяются из уравнений (11) и (12). Показано, что в этом случае правая часть условия (13) пропорциональна 1. При этом условие (13) не содержит слагаемых с квадратами расстроек частот в знаменателях (члены ~ 1 / 2 ), а d z d производные, содержат. В нелинейном случае также возможны внешне устойчивые dt dt или внешне неустойчивые резонансы, когда знаки выражений (13) отрицательны или положительны с обоих сторон данного резонанса вне резонансной области. В отличие от квазилинейного случая здесь возможна ситуация, когда знаки выражения (13) при 0 и противоположны. Будем называть такие резонансы полуустойчивыми.

На рисунке 3 представлено поведение нелинейной системы в трехмерном пространстве переменных ( и, щz,V ). При этом может быть получена полная картина эволюций медленных переменных в нерезонансных областях, прилегающих к резонансам. На рисунке 3 в горизонтальной плоскости ( и, щz ) показана резонансная кривая, разделяющая фазовую плоскость на три подобласти I, II и III. При этом положительная ветвь резонансной кривой "притягивает" к себе траектории из областей I и II (внешне устойчивый резонанс). С другой стороны, отрицательная ветвь резонансной кривой "отталкивает" от себя траектории из областей II и III (внешне неустойчивый резонанс).

- V, c 15 I II, град 30 60 - - III - z, c Рисунок 3 – Внешне устойчивый и внешне неустойчивый резонансы Одновременно с этим величина функции Ляпунова V0 при приближении к внешне устойчивому резонансу уменьшается. Следовательно, при щz 0 резонансная кривая соответствует внешне устойчивому резонансу в областях I и II, а при щz 0 – внешне неустойчивому резонансу. Проводились также расчёты нерезонансных траекторий по исходным нелинейным уравнениям, подтвердившие справедливость полученных результатов. При этом оказалось, что при дальнейшем движении внешне устойчивый резонанс, показанный на рисунке 3, переходит во внутренне устойчивый.

Кроме внешней устойчивости резонансов анализируется также условия устойчивости околорезонансных стационарных точек, возникающих при реализации рассматриваемых резонансных эффектов. Производится сравнительный анализ внешней устойчивости резонансов и устойчивости данных стационарных точек.

В пятой главе исследуется внешняя устойчивость резонансов в задаче спуска космического аппарата с малой асимметрией в атмосфере. В этой главе рассматриваются следующие вопросы:

- вывод приближенных уравнений движения асимметричных КА в атмосфере при малых углах атаки (квазилинейные уравнения) и при больших углах атаки (нелинейные низкочастотные уравнения);

- построение резонансных кривых, определяющих положение резонансов в нелинейном случае при движении КА в атмосфере;

- получение усредненных уравнений движения КА на нерезонансных участках движения при малых и больших углах атаки и анализ эволюционных резонансных эффектов по полученным уравнениям;

- анализ влияния различных асимметрий КА на условия внешней устойчивости резонансов в рассматриваемой задаче;

- исследование внешней устойчивости резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул с малой асимметрией;

- сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонанс в вероятностной постановке;

- разработка методики учета эволюционных резонансных эффектов при проектировании спускаемых КА с малой асимметрией.

Учитывается действие следующих возмущений: массово-инерционная асимметрия КА, аэродинамическая асимметрия, влияние демпфирования и медленного изменения параметров движения центра масс. Резонансные эффекты иллюстрируются на примере совместного влияния массово-инерционной и аэродинамической асимметрий на движение в атмосфере КА в нелинейном случае (применяются нелинейные низкочастотные уравнения движения).

Обобщенные параметры асимметрии в данном случае имеют следующий вид:

(mxA1 )2 + (mxA2 )2, щ A ф A (m xs + C y1 y )tgб / L I xy щ1,2 tgб, m x1 = mx = m zп щ (m xc + C y1 z )tgб I xz щ1,2 tgб, m = ( I yz ) 2 + ( I ) 2, sin и 2 = m x1 / m x, A ф 2 A A mx2 = m zп cos и2 = m x 2 / m x, sin 2и3 = I / m, cos 2и3 = I yz / m, z = z / L, y = y / L - относительные A A ф ф смещения центра масс, m xs, m xc - аэродинамические коэффициенты асимметрии формы, I = ( I z I y ) / 2, I = I / I, I yz = I yz / I, I xy = I xy / I, I xz = I xz / I - инерционная асимметрия, c y1, m zп - коэффициенты поперечной аэродинамической силы и восстанавливающего щa = I x щz / 4 + щ2, I x = Ix / I, щ1,2 = I x щx / 2 ± щa, I = (I y + I z ) / 2, момента, щ = m zп qSLctgб / I - частота колебаний при щx = 0, L и S – характерные длина и размер КА, q скоростной напор, I y, I z, I xy, I xz, I yz - моменты инерции КА.

Для анализа возникающих при движении КА в атмосфере резонансов в нелинейном случае разработан метод построения резонансных кривых (Космические исследования.–2003.-Т.41,№ 5).

В данном методе производится разделение решений системы на медленную и быструю составляющие и при помощи метода интегральных многообразий проводится выделение частот, зависящих от медленных переменных, что позволяет строить резонансные кривые (поверхности), определяющие положение резонансов в данной системе.

Усредненные по быстрой фазе и нелинейные уравнения для угловой скорости вращения КА относительно продольной оси щx и для угла атаки б на нерезонансных участках с учетом первых трех приближений имеют вид:

m A m cos(2и 2и ) x 2 dщx 3 f1 7 f 2 4 f 2 =е + 4 dt 8 2 б щx щx f12 2 2 f 3 f12, (17) 2 f + f 24 щx 2 щx 3 щx щx m A m cos(2и 2и ) x f2f 2 2 3 dб = е3 2 + 1 3 щ щx 2 dt 8 x f 2 f 2 2 f 2 + е3 f 4, + 1 3 (18) 3 щx щx щx 2 щ1,2 sin 2 б щ1,2 sin 2 б 4m щ2 SL dq щ2 2щ щ sin б, f 2 = a 1,2, f 4 = zп a ), f3 =.

где f1 = (щx + IFa dt Fa 2щa Ix Ix щ1, m zп qSLctgб + ( I x I 1щx щ1,2 )( I x I 1щx 2щ1,2 ).

Fa = + I cos б Малый параметр е характеризует величину возмущающих моментов от массовой, инерционной и аэродинамической асимметрий. Уравнения (17) и (18) описывают эволюцию угловой скорости щx и угла атаки б на нерезонансных участках движения, вызванную влиянием главного резонанса =0. Эти уравнения содержат в знаменателях резонансные расстройки частот в разных степенях. При приближении к резонансу величина уменьшается, поэтому скорость изменения переменных щx и б увеличивается. Так проявляют себя эволюционные резонансные эффекты, связанные с внешней устойчивостью резонансов. На рисунке 4 показаны эволюции медленной переменной щx, вызванные влиянием резонанса =0. Кривая 1 показывает изменение со временем резонансных значений угловой скорости щx. Кривые 2 и 3 описывают поведение, соответственно, усредненной (согласно уравнению (17)) и не усредненной угловой скорости щx. Из рисунка 4 следует, что усредненные значения медленной щx (17) качественно повторяют поведение этой переменной до ее усреднения. Кроме того, на рисунке 5 наблюдается увеличение скорости изменения переменной щx при приближении к резонансу =0.

-,c x, град a б 1 5 t, c t, c 0 0 15 30 45 0 15 30 Рисунок 4 – Резонансный эффект при спуске КА в атмосфере Из уравнений (17) и (18) следует, что скорости изменения переменных щx и б прямо пропорциональны обобщенному параметру асимметрии m x m cos(2и 2 2и3 ). Характер A поведения этих медленных переменных относительно резонанса =0 определяют также выражения, стоящие в фигурных скобках в уравнениях (17) и (18). Например, при выполнении условий 8 f f5 f 6, f 7 + f8, (19) A m m x cos(2и2 2и3 ) f12 f 2 f 2 f 3 7 f 3, f 6 = 1 2 f 2 + где f 5 = + f3, 24 щx б щx 2 щx 3 щx б щx щx f12 2 f 2 f12 f 2 f 2 f 2 f12 f 3, f8 = 1 2, резонанс =0 влияет f7 = + + 4 щx 3 щx 2 3 щx щx 2 щx на изменение переменных щx и б в пределах нерезонансных участков движения («притягивает»

их к себе или «отталкивает» от себя) вне зависимости от того, с какой стороны по отношению к нему происходит эволюция ( 0 или 0). Такое влияние резонанса на эволюцию переменных возможно только для КА с сочетанием нескольких видов асимметрии (одна из которых является инерционной асимметрией с обобщенными параметрами m, и3 ). Напротив, при выполнении условий 8 f f5 f 6, f 7 f8 +, (20) A m m x cos(2и 2и3 ) влияние резонанса =0 на изменение переменных щx и б противоположно на участках справа и слева от него ( 0 или 0). Например, при выполнении первого условия (20), если при резонанс =0 «притягивал» значения угловой скорости x на нерезонансных участках, то при 0 он будет их «отталкивать». Выполнение условия (19) или условия (20) определяется сочетанием параметров асимметрии m x, m, и 2, и3.

A Внешнюю устойчивость главного резонанса =0 для КА с рассматриваемым сочетанием асимметрий удобно анализировать с помощью введения соответствующей функции Ляпунова V = 2. В результате условие внешней устойчивости главного резонанса примет вид:

dщx dб dV = 2 ( + )0. (21) щx dt б dt dt Напротив, если dV / dt 0, то главный резонанс является внешне неустойчивым. При r реализации внешне полуустойчивого резонанса знаки производной dV / dt при щx щx 0 и при 0 щx щx различны. На рисунке 5 показаны эволюции медленных переменных щx ( c 1 ) и r r ( щx, б,V) при полуустойчивых резонансах ± щx. При этом, если б (град) в пространстве r r r щx щx 0 и резонанс щx 0 внешне устойчив ( dV / dt 0 ), то при 0 щx щx тот же r 0 щx щx резонанс является внешне неустойчивым ( dV / dt 0 ). Аналогично, при r r отрицательный резонанс щx 0 является внешне устойчивым, однако, при щx щx 0 тот же резонанс уже внешне неустойчив.

В таблице 1 представлены области внешней устойчивости (неустойчивости) главного резонанса = щx щ1,2 0, соответствующие КА с различными видами асимметрии. На рисунке 6 под цифрами 1 и штриховкой обозначены области внешней устойчивости резонанса, под - V, c, град 30 60 - - - x, c Рисунок 5 – Внешне полуустойчивые резонансы при спуске КА в атмосфере цифрой 2 – область внутренней устойчивости резонанса, а цифрой 3 – области, из которых не происходит притяжения траекторий к внешне устойчивому резонансу. Нижняя граница областей внешней устойчивости 1 по величине совпадает с границей резонансной зоны (порядка е ).

На верхней границе областей внешней устойчивости по величине производная dV / dt по малому параметру имеет порядок больший, чем внутри данных областей, в результате внешней устойчивости резонанса здесь не наблюдается.

Таблица Вид асимметрии Вид внешней Условие внешней Область внешней КА устойчивости устойчивости устойчивости главного резонанса Смещение центра Устойчивый е 1/ е dV = 2е 2 f ( x ) масс и dt аэродинамическая асимметрия Смещение центра Неустойчивый е 1/ е dV = 2е 2 f ( x) масс и dt аэродинамическая асимметрия Массово- Устойчивый е 1/ 3 е dV = 2е 3 f ( x) / 2 инерционная и dt аэродинамическая асимметрия Массово- Неустойчивый е 1/ 3 е dV = 2е 3 f ( x) / 2 инерционная и dt аэродинамическая асимметрия Массово- Полуустойчивый е 1/ 4 е dV = 2е 3 f ( x) / 3 инерционная и dt аэродинамическая dV = 2е 3 f ( x) / 3 асимметрия dt В пятой главе также проводится совместный анализ трех условий: условия внешней устойчивости резонансов (21), условия попадания системы в резонансную область в вероятностной постановке и условия внутренней устойчивости КА с малой аэродинамической и массово-инерционной асимметриями. Установлено, что условие внешней устойчивости главных резонансов при малых углах атаки dV1,2 / dt 0 и условие внутренней устойчивости главных резонансов для космических аппаратов с малой массовой и аэродинамической асимметриями A A зависят от одного обобщенного параметра асимметрии m x m cos(и1 и 2 ).

Известно, что вероятность попадания траектории в резонансную область для КА с данными асимметриями при малых углах атаки определяется величиной параметра A A m x m cos(и1 и2 ). При этом для асимметрии, близкой к ортогональной ( и1 и 2 р или 0), A A m x m cos(и1 и 2 ) может принимать значения (при достаточно большой его параметр величине), приводящие к одновременному выполнению трех перечисленных условий.

Установлено, что для КА с малой инерционной и аэродинамической асимметриями условие внешней устойчивости резонансов зависит от обобщенного параметра асимметрии A m (m ) 2 cos(2и1 2и3 ). Условие гарантированного захвата (вероятность попадания траектории в резонансную область близка к единице) определяется величиной обобщенного параметра A m m cos(и1 и3 ). Следовательно, при больших углах атаки для КА с инерционной и аэродинамической асимметриями внешняя устойчивость главного резонанса и вероятность захвата зависят от величины угла и1 и3. Однако, данная зависимость имеет более сложный характер, чем при малых углах атаки для КА с малой массовой и инерционной асимметриями, так как условие внешней устойчивости определяется через величину 2(и1 и3 ), а вероятность захвата – через величину угла и1 и3.

Кроме того, в данной главе решается задача учета резонансных эффектов при проектировании спускаемых КА. Записываются условия, позволяющие избежать негативного влияния данных явлений на вращательное движение аппарата. По найденным условиям строятся области допустимых отклонений параметров асимметрии КА.

Задачу проектирования баллистического КА, совершающего неуправляемое движение в атмосфере, можно условно разбить на следующие этапы:

- dV/dt, c - -, c 1,07 2, -0, 2,14 - 1, -0,02 -0,31 0 0, 0,31 0,02 0, -0, -0, 3 1 3 2 2 3 1 -0, -0, Рис. Рисунок 6 – Области внешней устойчивости главного резонанса при е = 0, 1) предварительный выбор облика и конструктивно - компоновочной схемы КА;

2) уточнение проектных параметров КА и определение допустимых отклонений параметров от их номинальных значений.

В настоящей работе рассматривается методика проектирования КА с малой начальной угловой скоростью вращения, величина которой определяется неточностью работы системы отделения аппарата от орбитального комплекса. Записывается условие, позволяющее избежать закрутки почти осесимметричного КА за счет влияния эволюционного резонансного эффекта от малых начальных значений угловой скорости щx до значений, при которых реализуется длительный резонанс (рисунок 5). Известно, что длительный резонанс в свою очередь приводит к значительному увеличению угла атаки (до 180 градусов). Такие значения угловой скорости щx и угла атаки б способны привести к аварийным ситуациям (например, к нарушению в работе парашютной системы).

Предполагается, что в невозмущенном случае КА совершает движение при малых углах атаки. Ставится задача нахождения таких максимальных значений параметров асимметрии, при которых угловая скорость щx в процессе спуска КА приближается к своим резонансным r значениям щx, без реализации длительного резонанса = щx щ1,2 0. Ограничения по угловой скорости щx в этом случае имеют вид:

r min щx щx щx = max щx. (22) При малых углах атаки производная угловой скорости щx пропорциональна величине A A обобщенного параметра асимметрии = m x m cos(и1 и 2 ).

Здесь m A = (m1 ) 2 + (m2 ) 2, m x = (m x1 ) 2 + (m x 2 ) 2, A A A A A щ2 ф щ2 щ 2 ф щ A 2 A C x1 z I xz щx, m2 = C x1 y + I xy щx, где m1 = m y0 + mz m z1 m z1 m z1 m z щ2 ф щ sin и1 = m1 / m A, cos и1 = m2 / m A, m x1 = A A A C y1 y I xy щ1,2, m xs m z1 m z щ2 ф щ2 A A A A A 2 б C y1 z I xz щ1,2, sin и2 = m x1 / m x, cos и2 = m x 2 / m x, щ = m zп qsl / I, mx2 = m xc m z1 m z C y1, C x1, m z1, m ф0, m z 0, m xs 0 и m xс 0 - коэффициенты аэродинамических характеристик КА.

ф ф ф y В этом случае С x = С x1, С y = С б б, m zп = m zп б, где коэффициент C x1 и частные б y производные С б и m zп определены при =0. Поэтому условие (22) может быть обеспечено б y выполнением следующего неравенства:

A A = m x m cos(и1 и 2 ) r, (23) где r - максимально допустимое значение параметра, при котором еще выполняется условие (22). Величина r определяется численным моделированием по начальным условиям движения и параметрам асимметрии. Например, для спускаемой капсулы «Радуга», имеющей форму конуса, длиной 1,47 метра и массой 350 кг, получено следующее значение параметра r = 10 4.

Для расчета допустимых значений асимметрий функция представляется в виде:

= k1 I xz y + k1 I xy z + k 2 mФ0 y + k 2 mФ z + k 3 mФ0 I xy + k 3 mФ I xz, (24) y z0 y z C x1 + C y1 C y1, k2 = где k1 =, k3 =.

m z1 (1 I x ) m z1 (1 I x ) m z В неравенстве (23) имеем шесть неизвестных, поэтому для однозначного определения допустимых областей изменения параметров y, z, I xy, I xz, m0, m0 зададимся весовыми y z соотношениями между данными величинами. Пусть выполнено равенство:

m ф0 mф C y1 C y1 I xy I xz y = p6 z 0 = u.

y = p2 z = p p1 = p4 = p5 (25) 1 I x 1 I x m z1 m z1 m z1 m z Здесь pi - положительные действительные числа (веса), для которых справедливо тождество:

pi 6. Знаки в выражении (25) выбраны так, чтобы обеспечить максимальное значение i = параметра. Подстановка соотношения (25) в неравенство (23) позволяет найти искомую область допустимых значений. Однако, в данном решении без внимания остается вопрос об изменении функции в области допустимых значений, что не позволяет однозначно определить значения параметров асимметрии, при которых данная функции максимальна.

Поэтому функция (24) исследуется на экстремум и показывается, что экстремальное значение данной функции достигается на границе области.

Подставив соотношение для весов (25) в неравенство (23) окончательно получим искомую область допустимых значений для спускаемых КА в следующем виде:

p m z1 p m z1 p m z1 p m z y z,, 3 p1C y1 3 p 2 C y1 3 p 2 C y 3 p1C y p m z1 p m z1 p m z1 p m z m ф0 ф mz,, (26) y 3 p5 3 p5 3 p6 3 p p (1 I x ) p (1 I x ) p (1 I x ) p (1 I x ) I xy, I xz.

3 p3 3 p3 3 p4 3 p В случае, если параметры асимметрии находятся внутри данной области, то угловая скорость щx не достигает значений, при которых реализуется длительный резонанс.

В шестой главе производится сравнительный анализ движения в атмосфере легких спускаемых капсул (ЛСК) (с баллистическим коэффициентом порядка с xv S / m =0,003…0,03 м 2 / кг ) и классических немалых спускаемых капсул (СК) (с меньшими баллистическими коэффициентами с xv S / m 0,003) с точки зрения влияния на их движение рассматриваемых резонансных эффектов. В результате анализа усредненных уравнений для угловой скорости щx были выявлены отличия в эволюционных резонансных эффектах при движении ЛСК и СК в атмосфере. Остановимся на них подробнее.

p 1. Максимум скоростного напора q и, следовательно, резонансной угловой скорости щx при движении ЛСК достигается ранее (высота 80K 90 км), чем при движении немалого спускаемого аппарата (высота 40 км).

2. При нерезонансной закрутке за счет резонансного эффекта ЛСК раскручивается до больших значений щx, чем СК.

3. Меньший размер ЛСК по сравнению с СК при расчете аэродинамических характеристик приводит к расширению области свободно молекулярного течения газа и смещению данной области вниз по высоте полета ЛСК.

В диссертации проводится сравнительный анализ изменения коэффициента аэродинамического сопротивления от чисел Маха с xv (M) и изменения числа Кнудсена от высоты полета Kn(H) на одной траектории для обеих рассматриваемых капсул ЛСК эксперимента YES2 и СК «Радуга». Показано, что граница области свободно молекулярного течения газа для капсулы M YES2 по сравнению с СК «Радуга» (определяется параметром, где M-число Маха, Re Re число Рейнольдса) смещается вниз со 100 км до 80 км.

На рисунке 7 в качестве примера показаны эволюционные резонансные эффекты при м 2 /кг) движении в атмосфере ЛСК YES2 ( с xv S / m 0,0209 и СК «Радуга»

( с xv S / m 0,00215м 2 /кг). На этом рисунке представлены: угловая скорость щx (кривая 1) и ее резонансные значения (кривая 2) для ЛСК YES2;

угловая скорость щx (кривая 3) и ее резонансные значения (кривая 4) для СК «Радуга». Капсула в проекте YES2 называлась «Фотино» и использовалась в совместном европейско-российском тросовом эксперименте на КА «Фотон» в сентябре 2007 г. Эта капсула имела форму близкую к сферической с радиусом R=0,2 м и массой m=6 кг. Расчеты для рисунка 7 проводились при одинаковых относительных значениях асимметрий и начальных условий движения рассматриваемых капсул.

-,c x 0 t, c 0 100 200 300 Рисунок 7 – эволюции угловой скорости щx для ЛСК YES2 «Фотино» и СА «Радуга»

Особое внимание уделяется анализу условий внешней устойчивости резонансов при движении ЛСК различных форм в атмосфере. Рассматривается внешняя устойчивость ЛСК, имеющих форму шара, конуса и цилиндра. Условие внешней устойчивости для ЛСК при малых углах атаки представляется в виде:

A A dV mx m =± cos(и1 и 2 ) 0. (27) щx 2 2 1/ dt 1 I x щx I x 6+ щ 4щ Здесь щ 2 = 5m zп qрR / 2m. Из условия (27) следует, что для легких спускаемых капсул б сферической, конической и цилиндрической форм уменьшение массы легкой сферической капсулы m, по сравнению с немалыми спускаемыми капсулами, приводит к уменьшению величины производной dV / dt для главного резонанса = щx щ1,2 0. При этом резонансное соотношение частот = щx щ1,2 становится ближе к резонансу 0.

При немалых углах атаки б условие внешней устойчивости главного резонанса V d dV = 0 имеет более сложный вид, так как резонансная расстройка зависит еще от dt dt d dщx dб dщx = + угла атаки б и. Кроме того, зависимость производных и щx dt б dt dt dt dб от массы капсулы m, ее характерного размера и площади, по сравнению со случаем малых dt углов атаки, существенно усложнятся. Поэтому для более точного анализа влияния параметров ЛСК на внешнюю устойчивость главного резонанса при немалых углах атаки требуется, чтобы были известны: геометрическая форма капсулы и диапазоны возможных изменений ее массово геометрических параметров.

В качестве примера исследуются эволюционные резонансные эффекты при движении в атмосфере легкой спускаемой капсулы YES2. Капсула возвращалась на Землю с помощью тросовой системы, развертываемой вне атмосферы. Допустимые параметры асимметрии капсулы определялись автором данной работы по методике, изложенной в пятой главе, исходя из обеспечения ограничений на угловую скорость щx и угол атаки б.

В седьмой главе исследуется внешняя устойчивость резонансов в задаче движения на орбите КА - спутника с магнитной системой ориентации и рассматривается влияние резонансных эффектов на точность ее работы. Магнитная стабилизация движения данного КА обусловлена действием восстанавливающего магнитного момента, возникающего в геомагнитном поле. При этом учитываются возмущающие моменты от малого отклонения вектора напряженности магнита от оси динамической симметрии спутника (угол е1 1 ), момент от вязкого трения в демпфере ( M щ ), моменты, вызванные инерционной асимметрией КА (параметр I ), и малые гравитационные моменты М x, M y, M z.

Для анализа движения КА с магнитом на борту используются (по аналогии с задачей о движении КА в атмосфере) низкочастотная нелинейная и квазилинейная системы уравнений.

Квазилинейный случай характеризуется малыми углами нутации и (угол между r продольной осью X КА и вектором напряженности магнитного поля Земли H ). Раскладывая правые части квазилинейной системы в ряды Фурье, нетрудно определить, что наличие малого отклонения оси магнитного момента спутника ( е1 ) и малых гравитационных моментов ( M y 0, M z 0 ) приводит к появлению малых знаменателей следующего вида:

1,2 = щx1 щ1,2 = 0, 3 = 2щx 2 щ1,2 щ2,1 = 0.

r r (28) Здесь щ1,2 = I x щx / 2 ± щи - частоты колебаний КА, щи = I x щx / 4 + щ2, щ - частота колебаний m H cos е спутника при щx =0, щ2 = м, m м - магнитный момент КА. Из уравнений (28) I Ix определяются резонансные угловые скорости: щx1 ±щ / 1 I x, щx 2 0.

r r В результате усреднения квазилинейных уравнений в нерезонансном случае было найдено уравнение для угловой скорости щx, учитывающее первые три приближения метода усреднения:

щx щ щ + е 2 A2 x + е3 A3 x.

dщx / dt = еA1 (29) A I (m щ1,2 ) 2 щ щ щ щ sin 2г A Здесь A1 x = (M x + M щщx ) / I x, A2 x = 0, A3 x = m 4 I x щи 1, A A (щ1,2 ) M b m I a1,2 щ 2 2 A 9( 2щx щ1, 2 ) M b m I щ1,2 щ cos г A m cos г + m щx 22 32 I x щи 1, 4 I x 1,2 щи A A 222 (щи 1 ) M b m I a1,2 щ1,2 щ 9M b m I a1,2 щ1,2 щ A cos г A ± m cos г m щx щx 22 2 4 I x 1,2 32 I x щи 1, 22 24 (щи 2 ) ( M b ) a1,2 щ dщ (щи 2 ) ( I ) a1,2 щ1,2 щ dщ ± + + щx щx 22 dt dt 4 I x 1,2 8 I x 1, р I a1,2 щ1,2 щ2 dщ 2 (щ1,2 ) ( I ) 2 a1,2 щ1,2 щ dщ 22 2 +, m щx 2 4 22 dt 2 I x 1,2 щи dt 8I x 1,2 щи (m1A )2 + (m2A )2, A m1 = M b + M y I 1, m2 = M z I 1, sin г A = m1 / m A, m = m A / щ2, m A = A A A m H sin е cos г A = m2 / m A, M b = м A, M x = 3 м( I z I y )з 2 з 3 / r 3, M y = 3 м( I x I z )з 1з 3 / r 3, I M z = 3 м( I y I x )з 1з 2 / r 3, м- гравитационная постоянная Земли, з1, з 2, з 3 - косинусы углов dщ m м dH r = между радиусом-вектором положения КА r и связанными осями X,Y,Z,, dt 2 Iщ dt Iz Iy Iz + Iy I =, I=, m м = K e d удV, d уд - удельный магнитный момент КА, V- объем тела, 2I K e - некоторый коэффициент пропорциональности, a1,2 - амплитуды угла нутации. В частности, для круговой полярной орбиты напряженность геомагнитного поля изменяется следующим 3 мe sin 2u dH du = образом:. Здесь мe - магнитная постоянная Земли, u – аргумент широты.

dt 2r 3 1 + 3 sin 2 u dt Напряженность геомагнитного поля изменяется периодически в процессе полета КА по орбите.

Применяется модель геомагнитного поля в виде прямого диполя, когда поле планеты моделируется диполем, ось которого совпадает в осью вращения Земли и направлена от северного полюса к южному полюсу.

Внешнюю устойчивость резонансов в данной задаче будем рассматривать на примере спутника с магнитной системой ориентации серии «Транзит», имеющего форму, близкую к сферической с максимальным диаметром 0,37 метра и массу 55 кг. На рисунке 8, построенном при движении полярного спутника по орбите, приводятся эволюции угловой скорости щx (t ), вызванные резонансными эффектами (кривые 1-6). Данные эволюции вызваны влиянием знаменателей 1,2 в уравнении (29) и аналогичны резонансным эффектам в задаче о движении КА с малой асимметрией в атмосфере. Однако, в отличие от этой задачи, при движении спутника с магнитом по орбите на вращательное движение спутника оказывает влияние изменение напряженности магнитного поля планеты. В частности, это приводит к периодическому изменению резонансных угловых скоростей щx1 (t ) (рисунок 8, кривая 7). Кроме того, между r резонансными значениями щx1, r щx 2 0 имеются стационарные значения угловой скорости r c щx = щ / 4 2 I x, I x = I x / I, показанные на рисунке 8 кривыми 8, которые незначительно изменяются периодически в процессе полета.

В таблице 2 записаны обобщенные параметры асимметрии и резонансные расстройки частот, которые в соответствии с уравнением (29) приводят к резонансным эффектам при движении спутника с магнитом по орбите. Следует отметить, что в соответствии с численными исследованиями диссипативный момент влияет на резонансные эффекты незначительно и приводит к некоторому уменьшению колебаний по угловой скорости щx.

Рассматриваются вопросы, связанные с внешней устойчивостью трех резонансов 1 = щx щ1 = 0, 2 = щx щ2 = 0 и 3 = 2щx щ1,2 щ2,1 = 0. Первые два резонанса оказывают -,c x 3 t, c 4 1750 - Рисунок 8 – Резонансные эффекты при движении спутника с магнитом по орбите в случае е1 влияние на нерезонансную эволюцию угловой скорости щx, начиная с третьего приближения метода усреднения. Влияние же третьего резонанса проявляется только в четвертом приближении. Поэтому сначала рассматривается внешняя устойчивость первых двух резонансов.

Для исследования внешней устойчивости резонанса 1,2 0 (вне резонансных зон порядка 1,2 = O( е ) ) вводится в рассмотрение функция Ляпунова вида V1,2 = 1,2.

Таблица Обобщенные параметры Резонансы Наличие зависимости асимметрии от a1, щx щ1,2 0 Нет I m sin 2г A A щx щ1,2 2 dщ a12, Mb dt Резонансы щx щ1,2 0, Нет A I M b m cos г A Нерезонансные выражения 2щx щ1, щx щ1,2 2 a1, dщ I dt Резонанс 1,2 0 будет внешне устойчивым при выполнении условия dV1,2 / dt 0.

Напротив, если dV1,2 / dt 0, то резонанс 1,2 0 является внешне неустойчивым.

Производная от функции Ляпунова по времени на нерезонансных участках движения имеет вид 1,2 dщx 1,2 dщ dV1, = 21,2 + 21,2. (30) щx щ dt dt dt 1,2 = щx1 щ1,2 = 0, r Анализ внешней устойчивости резонансов основанный на исследовании знаков выражения (30), показывает, что второе слагаемое в выражении (30) практически не влияет на внешнюю устойчивость резонансов при рассмотрении движения спутника на небольшом интервале времени по орбите. Кроме того, влияние второго слагаемого быстро ослабевает с ростом высоты орбиты спутника. Основное влияние на внешнюю устойчивость резонансов оказывает первое слагаемое выражения (30). При этом, данные главные резонансы будут являться внешне полуустойчивыми, поскольку знак производной dV1,2 / dt при 1,2 0 и при 1,2 0 различен. Третий резонанс реализуется при условии I 0. Внешняя устойчивость третьего резонанса 3 = 2щx щ1,2 щ2,1 = 0 (равенство выполняется при щx =0) при реализации первых двух проявляется в довольно узкой нерезонансной зоне, прилегающей к данному резонансу, и весьма несущественно влияет на эволюцию угловой скорости щx.

В работе предлагаются способы уменьшения и стабилизации угловой скорости щx, которые можно использовать при проектировании и эксплуатации спутников с магнитной системой ориентации.

Способ уменьшения угловой скорости щx. Для уменьшения угловой скорости щx требуется, чтобы рассматриваемый резонанс 1 = 0 ( 2 = 0 ) был внешне неустойчивым ( dV1,2 / dt 0 ) в интервале значений щx между данным резонансом и резонансом 3 = 0.

Обеспечение такого условия неустойчивости способствует эволюции угловой скорости щx до значений щx 0 и осуществляется выбором знака и величины параметров асимметрии A I, M b, m, cos г A.

Способ стабилизации угловой скорости щx. Другой способ стабилизации угловой скорости щx заключается в использовании значений угловой скорости, близких к стационарным 2щx щ1,2 = 0.

точкам Для этого требуется, чтобы выполнялось условие dщx dщ dVс Vc = 2.

= 2с с + 2с с с = 2щx щ1,2, 0, где При этом в c щx dt щ dt dt стационарной точке с = 2щx щ1,2 =0. Отсюда получаем щx = ± щ /(4 2 I x )1 / 2. Обеспечение c такого условия устойчивости осуществляется выбором знака и величины параметров асимметрии A I, M b, m, cos г A.

В приложении к диссертации приведены некоторые выражения в комплексной форме для квазилинейной системы уравнений движения КА в атмосфере, результаты моделирования угловой скорости щx для различных спускаемых аппаратов.

В конце работы приводятся копии актов о внедрении результатов диссертации на различных предприятиях и организациях ракетно-космической отрасли.

Основные результаты работы:

12. Разработаны методы исследования внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА с малой асимметрией, основанные на методе усреднения, методе интегральных многообразий и теории устойчивости движения.

13. Разработан метод построения резонансных кривых, основанный на применении метода интегральных многообразий и позволяющий анализировать условия возникновения резонансов в рассматриваемых нелинейных системах. Данный метод может быть использован для построения резонансных кривых в задачах с произвольными моментными характеристиками КА.

14. Получены усредненные в нерезонансном случае математические модели для аналитического исследования внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах. Показано, что из рассмотренных видов резонансов на внешнюю устойчивость резонансов наиболее существенное влияние оказывает главный резонанс.

15. Сформулирована и доказана теорема о внешней устойчивости резонанса в системе с медленными и быстрыми переменными, в которой определены условия внешней устойчивости резонанса в общем виде.

16. Проанализировано влияние различных сочетаний асимметрий КА на условия внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах.

Показано, что внешняя устойчивость резонансов зависит от ряда найденных обобщенных параметров асимметрии. Показано, что влияние инерционной в сочетании с массовой или аэродинамической асимметриями приводит к реализации внешне полуустойчивых резонансов.

17. Проведено сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонансную область (вероятностная постановка задачи) в задаче динамики движения спускаемых КА в атмосфере. Показано, что для ортогональной асимметрии КА может наблюдаться одновременное выполнение этих трех условий.

18. Разработаны методики учета вешней устойчивости резонансов при проектировании КА – неуправляемых аппаратов, осуществляющих спуск в атмосфере и спутников с магнитной системой ориентации, совершающих движение по орбите. В результате для спускаемых в атмосфере КА разработана методика построения области допустимых значений параметров асимметрии, а для спутников с магнитной системой ориентации предложены способы уменьшения и стабилизации угловой скорости щx.

19. Исследована внешняя устойчивость резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул. Проведено математическое моделирование резонансных эффектов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул эксперимента YES-2.

Определена область допустимых параметров асимметрии данной сферической капсулы.

20. С целью повышения достоверности результатов численного интегрирования и построенных асимптотических решений произведен выбор параметров метода интегрирования, учитывающий неизбежно возникающие погрешности численного интегрирования и методов асимптотического анализа.

Основное результаты диссертации отражены:

в монографии:

1. Любимов, В.В. Вторичные резонансные эффекты и устойчивость при движении твердого тела в атмосфере. Монография [Текст] / В.В. Любимов. – Самара: Изд-во Самарского науч. Центра Рос. акад. Наук, 2005.- 166 с. – ISBN-5-93424-220-2.

в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации:

2. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонанса в нелинейной системе с медленно изменяющихся переменными [Текст] / В.В. Любимов // Известия Рос. акад. наук. Механика твердого тела. - 2002. - № 6. - С.52-58. - ISSN 0572-3299.

3. Любимов, В.В. Об особенностях в возмущенном вращательном движении спутника с сильным магнитом на борту [Текст] / В.В. Любимов // Известия вузов. Авиационная техника. 2009. - № 2. - C.29-31. – ISSN 0579-2975.

4. Любимов, В.В. Определение области допустимых значений параметров асимметрии при проектировании ЛСК «Фотино» [Текст] / В.В. Любимов // Полет. - 2009. - № 6. - C.36-40. – ISSN 1684-1301.

5. Заболотнов, Ю.М. Вторичный резонансный эффект при движении КА в атмосфере [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Космические исследования. – 1998.- Т. 36, № 2. С.206-214.

6. Любимов, В.В. Резонансные эффекты при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в случаях, близких к случаю Лагранжа [Текст] / В.В. Любимов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия технические науки.- 2000.- № 10. - C.40-44. – ISSN 1991-8615.

7. Заболотнов, Ю.М. Вторичные резонансные эффекты при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Известия Рос. акад. наук.

Механика твердого тела. - 2002. - № 1. - С.49-59. – ISSN 0572-3299.

8. Заболотнов, Ю.М. Нелинейные резонансные эволюционные эффекты при движении твердого тела вокруг неподвижной точки [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Прикладная математика и механика. - 2002. - Т.66, Вып. 3. - С. 410-417. –ISSN 0032-8235.

9. Заболотнов, Ю.М. Применение метода интегральных многообразий для построения резонансных кривых в задаче входа КА в атмосферу [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Космические исследования. – 2003.- Т. 41, № 5.- С.481-487. – ISSN 0023-4206.

10. Заболотнов, Ю.М. Устойчивость легкой конической капсулы при спуске в атмосфере [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов, А.В. Усалко // Известия Самарского научного центра Рос. акад. наук, 2005, - Т. 7, № 1. С. 118-123.

11. Любимов, В.В. Эволюция во вращательном движении динамически асимметричных космических аппаратов в атмосфере [Текст] / В.В. Любимов // Известия Самарского научного центра Рос. акад. наук, 2006, - Т. 8, № 3. С. 849-856.

12. Любимов, В.В. Оценка шага численного интегрирования одной усредненной системы уравнений движения твердого тела [Текст] / В.В. Любимов // Вестник транспорта Поволжья (Вестник Самарской государственной академии путей сообщения).- 2008. - №1 (13). - С.58-62.

в других изданиях:

13. Любимов, В.В. Приближенная оценка устойчивости капсулы при спуске в атмосфере [Текст] / В.В. Любимов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия физико-математические науки. - 2005.- № 38. - C.171-172. – ISSN 1991-8615.

14. Любимов, В.В. Оценка вероятности захвата в резонанс при движении динамически несимметричного твердого тела в атмосфере [Текст] / В.В. Любимов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия физико-математические науки. - 2007.- № 2. - C.110 115. – ISSN 1991-8615.

15. Заболотнов, Ю.М. Применение низкочастотного решения для исследования устойчивости резонансного движения КА в атмосфере [Текст] /Ю.М. Заболотнов, В.В.

Любимов// Математическое моделирование систем и явлений. Межвузовский сборник научных трудов. – Самара.- 1995. - С.48-53.

16. Заболотнов, Ю.М. Исследование влияния асимметрии на движение космического аппарата в атмосфере при малых начальных угловых скоростях вращения [Текст] /Ю.М.

Заболотнов, В.В. Любимов// Депонир. в ВИНИТИ, N0 611-B 96.- 1996. - 20 с.

17. Заболотнов, Ю.М. Исследование раскрутки космического аппарата вокруг продольной оси при спуске в атмосфере [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Тезисы докл. XXXI Научных чтений, К.Э. Циолковского.- Калуга.- 1996. -C.57.

18. Заболотнов, Ю.М. Исследование влияния возмущающих моментов на процесс возникновения закрутки космического аппарата при его движении в атмосфере [Текст] / Ю.М.

Заболотнов, В.В. Любимов//Тезисы докл. Всерос. конфер. "Математическое моделирование физико-механических процессов".- Пермь.- 1996.- C. 85-86.

19. Заболотнов, Ю.М. Исследование влияния возмущающих моментов на нерезонансное раскручивание КА в атмосфере [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Тезисы докл. XXI Научных чтений по космонавтике. – М.- ИИЕТ РАН.- 1997. -С. 105.

20. Заболотнов, M.Ю. Оценка вероятности реализации длительных резонансных режимов движения при снижении возвращаемых космических аппаратов в атмосфере [Текст] /М.Ю.

Заболотнов, В.В. Любимов// Тезисы докл. XXII Научных чтений по космонавтике.- М.- ИИЕТ РАН.- 1998. - C.111.

21. Любимов, В.В. Учет влияния вторичного резонансного эффекта при проектировании возвращаемых космических аппаратов [Текст] / В.В. Любимов // Вестник рос. акад. космонавтики им. К.Э. Циолковского. Управление движением и навигация летательных аппаратов. - Самара. 1998. - C.159-161.

22. Заболотнов, Ю.М. Вторичные резонансные эффекты при движении космических аппаратов в атмосфере с малыми углами атаки [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Вестник рос. акад. космонавтики им. К.Э. Циолковского. Часть I. Управление движением и навигация летательных аппаратов. – Самара. -2000. -C.83-86.

23. Любимов, В.В. Оценка вероятности захвата в резонанс при движении твёрдого тела в сопротивляющейся среде [Текст] / В.В. Любимов // Сб. науч. трудов. Повышение надёжности и долговечности зданий и сооружений на железнодорожном транспорте. Выпуск 2. - Самара. 2001. - С.54-65.

24. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонанса при движении твёрдого тела относительно неподвижной точки с малыми углами нутации [Текст] /В.В. Любимов // Тезисы докл. 2-й международной конференции "Актуальные проблемы современной науки".

Естественные. науки. Часть 1. –Самара.- 2001. - С.159.

25. Любимов, В.В. Анализ внешней устойчивости резонанса при входе асимметричного космического аппарата в атмосферу [Текст] /В.В. Любимов// Рос.-амер. науч. журнал.

Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем: процессы, модели, эксперимент.

– Дайтона Бич, Казань.- 2001.- Т.6.- Вып.2.- С.86-96.

26. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонансов при движении ИСЗ с сильным магнитом [Текст] /В.В. Любимов // Тезисы докл. XXVI Академических чтений по космонавтике.

– М.- ИИЕТ РАН. - 2002. - С.105.

27. Любимов, В.В. Об условии реализации закрутки космических аппаратов с малой асимметрией в атмосфере [Текст] /В.В. Любимов // Сб. трудов X Всероссийского научно-техн.

семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Управление движением и навигация летательных аппаратов:

- Самара. - 2002.- С.102-106.

28. Любимов, В.В. Устойчивость стационарных нерезонансных точек в системе с медленно изменяющимися переменными [Текст] /В.В. Любимов // Межвуз. сб. науч. трудов с межд. участием. Исследования и разработка ресурсосберегающих технологий на железно дорожном транспорте. – Самара.- 2002. - Выпуск 23.- С.470-473.

29. Заболотнов Ю.М. Резонансные эффекты при вращательном движении космического аппарата с малой инерционной несимметрией в атмосфере [Текст] /Ю.М. Заболотнов, В.В.

Любимов, А.В. Иванов // Сб. трудов XI Всерос. науч.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. – Самара. - 2003.- С. 74-77.

30. Lyubimov V.V. Influence of asymmetry at rotational motion of lightweight re-entry vehicles in the atmosphere [Текст] /V.V. Lyubimov // Proceedings of the Russian-European Sumer Space School "Future Space Technologies and Experiments in Space". European Space Agency.- Samara.- 2003. - pp.

167-168.

31. Любимов, В.В. Эволюционные резонансные эффекты при возмущенном движении тела относительно неподвижной точки [Текст] /В.В. Любимов // Сб. науч. трудов с международным участием. Актуальные проблемы развития транспортных систем Российской Федерации. – Самара.- 2004. - С. 92-96.

32. Любимов, В.В. Вращательное движение твердого тела с аэродинамической и инерционной асимметриями [Текст] /В.В. Любимов // Сб. науч. трудов. Повышение надежности и долговечности зданий и сооружений на железнодорожном транспорте. - Самара. - 2005. - Выпуск 3. - С.112-116.

33. Любимов, В.В. Обеспечение устойчивости движения капсулы по углу атаки для безопасной доставки грузов на поверхность [Текст] /В.В. Любимов // Сб. науч. трудов.

Актуальные проблемы развития транспортных систем Российской Федерации. – Самара.- 2005. С. 111-115.

34. Любимов, В.В. Влияние шага интегрирования на точность вычислений при моделировании резонансного эффекта в нелинейной системе с малым параметром [Текст] /В.В.

Любимов //Труды науч.-техн. конференции с междунар. участием. Перспективные информационные технологии в науч. исследованиях, проектировании и обучении. Том 2.– Самара.- 2006.- С.44-47.

35. Любимов, В.В. Влияние момента Магнуса на резонансное движение асимметричной возвращаемой капсулы в атмосфере [Текст] /В.В. Любимов, А.В. Усалко// Тезисы докл.V международной конференции. «Авиация и космонавтика-2006». -Москва. - 2006.- 62 с.

36. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонанса при движении в атмосфере космического аппарата с аэродинамической и инерционной асимметриями [Текст] /В.В.

Любимов // Сб. трудов XII Всероссийского научно-технического семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. – Самара.- 2006. -С. 90-94.

37. Любимов, В.В. Построение области допустимых значений геометрических параметров для информационной поддержки космического аппарата, совершающего неуправляемый спуск в атмосфере [Текст] /В.В. Любимов //Сб. докладов II межрегиональной научно-практической конференции «Информационные технологии в высшем профессиональном образовании». – Самара.- 2007.- С.94-95.

38. Любимов, В.В. Резонансный эффект при возмущенном вращательном движении спутника с сильным магнитом на борту [Текст] /В.В. Любимов //Сб. трудов XIII Всероссийского научно-технического семинара «Управление движением и навигация летательных аппаратов».

Часть1. – Самара.- 2007. -С.180-184.

39. Любимов, В.В. Исследование проблем доставки груза на поверхность с помощью легких капсул, совершающих неуправляемый спуск в атмосфере [Текст] /В.В. Любимов // Сб.

докл. IV международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы развития транспортного комплекса». - Самара.-2008.- С.279-281.

40. Любимов, В.В. Исследование динамики вращательного движения легкой спускаемой капсулы YES2, совершившей неуправляемый спуск в атмосфере [Текст] /В.В. Любимов //Тезисы докладов международной конференции «Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках».- Самара.- 2008.- С.148.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.