авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Боркова Т.В., Марсаков В.А.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

к выполнению специального лабораторного практикума

«Избранные задачи по звездной астрономии»

Ростов-на-Дону

2008

Методическое пособие разработано кандидатом физико-математических наук, старшим преподавателем кафедры физики космоса Борковой Т.В. и доктором физико-математических наук, профессором кафедры физики космоса Марсаковым В.А.

Печатается в соответствии с решением Учного Совета физического факультета ЮФУ, протокол № 8 от 22 апреля 2008 г.

2 Оглавление Введение........................................................................................................................... 1 Кинематика звезд и звездных ансамблей................................................................... § 1 Прямоугольные и цилиндрические системы координат.................................... § 2 Сферические системы координат......................................................................... § 3 Тригонометрические параллаксы звезд............................................................ § 4 Собственные движения звезд............................................................................. § 5 Светимости звезд.................................................................................................. § 6 Пространственные скорости звезд и их компоненты....................................... § 7 Движение Солнца среди звезд............................................................................ § 8 Определение скорости и апекса движения Солнца.......................................... по пространственным скоростям звезд.................................................................... § 9 Определение координат апекса по собственным движениям ( ). Метод Ковальского –Эри....................................................................................................... § 10 Определение солнечного движения по лучевой скорости звезд................... §11 Распределение остаточных скоростей и функция правдоподобия................ 2 Практические задания................................................................................................ 1) Вычисление компонентов скоростей звезд в цилиндрической системе координат и положений звезд в декартовой системе координат с началом в галактическом центре................................................................................................. 2) Нахождение скорости вращения подсистемы звезд по лучевым скоростям... 3) Оценка полноты выборки звезд............................................................................ 4) Нахождение шкалы высоты подсистемы звезд................................................... 5) Нахождение апекса Солнца и скорости его относительно локального центроида..................................................................................................................... 6) Перевод экваториальных координат звезд в галактические............................. Отчет по заданию.......................................................................................................... Список литературы:...................................................................................................... Введение Практическая доступность самых современных наблюдательных данных в сети Интернет и повсеместная распространенность высокоскоростных персональных компьютеров делают возможным решение многих звездно астрономических задач. Из подобных задач можно выделить несколько типовых.

1) Выявление связей между различными характеристиками. Иногда эти связи выражаются формулами, параметры которых определяются из наблюдений, например, методом наименьших квадратов, иногда в виде таблиц или диаграмм.

2) Определение параметров распределений объектов как функции либо одной какой-нибудь их характеристики, либо двух или большего числа характеристик. Например, число звезд зависит от звездной величины.

3) Выявление зависимостей между различными функциями распределения.

Из теории вероятностей и математической статистики в первую очередь необходимы следующие понятия и величины.

1) Характеристики точности при равноточных и неравноточных измерениях – средние квадратичные ошибки, вероятные ошибки. Принципы назначения весов.

2) Функции распределения одномерных совокупностей данных, характеристики этих функций: центр распределения, медиана, мода, дисперсия, эксцесс, асимметрия.

3) Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

4) Двумерные совокупности данных;

корреляционные связи и коэффициенты линейной корреляции, уравнения регрессий, доверительные границы.

5) Критерии согласия, доверительные интервалы, доверительные границы.

6) Метод наименьших квадратов.

7) Метод максимального правдоподобия.

1 Кинематика звезд и звездных ансамблей § 1 Прямоугольные и цилиндрические системы координат Прямоугольная система координат на плоскости (или в пространстве), связана с взаимно перпендикулярными прямыми, которые называются осями координат. Каждой точке плоскости (или пространства) соответствует одна пара (тройка) чисел x, y (x, y, z). (рисунок 1а и 1б). Прямоугольная система координат часто (хотя и не вполне корректно)1 называется декартовой по имени французского философа и математика Декарта, широко применявшего координаты к исследованию многих геометрических вопросов.



Полярная система координат на плоскости ставит в соответствие каждой точке пару чисел (, ), где расстояние от точки S до заданной точки O (полюс), полярный угол между прямой OS и заданной прямой, проходящей через полюс (рисунок 1а).

Цилиндрическая система координат в пространстве – «родственница»

полярной системы на плоскости. Чтобы получить цилиндрическую систему надо на плоскости ввести полярную систему координат и добавить к ней вертикальную ось (рисунок 1б).

Как видно из рисунка 1, полярные координаты легко преобразовать в прямоугольные:

x2 y x cos или (1) y.

y или y sin tan sin x Декарт пользовался не двумя (и тем более не тремя), а одной осью координат, на которой откладывалась абсцисса. Ордината же определялась как расстояние точек на плоскости от оси абсцисс. Эти расстояния Декарт отсчитывал по любому заранее выбранному направлению, а не обязательно по перпендикуляру к оси абсцисс. Как абсциссы, так и ординаты Декарта были всегда величинами положительными, независимо от направления отрезков. Различие направлений на осях знаками «плюс» и «минус» было введено лишь его учениками.

Z Y б) а) z S S y r z O y x O X Y x P X Рис. 1 Прямоугольная и полярная системы координат на плоскости а) и в пространстве б).

В пространстве для перехода от цилиндрических координат к прямоугольным используют формулы:

x2 y x cos y y или tan sin (2) или y sin.

x z z z z § 2 Сферические системы координат Положение любого объекта на небесной сфере в любой момент однозначно определяется двумя числами. Одно число определяет угловое расстояние от основной плоскости этой системы или от соответствующих полюсов. Другое число отсчитывается от некоторого условного начала вдоль экватора. Выбор системы сферических координат определяется особенностью поставленной задачи. Вы можете встретиться с несколькими системами координат;

здесь мы опишем две из них: экваториальную и галактическую. Каждая система координат получает свое название по имени основной плоскости, которая используется для отсчета.

Экваториальная система координат. Как подсказывает название, экваториальные координаты отсчитываются относительно земного экватора. Тот Рис. 2 К установлению галактической системы координат: Ц.Г. – центр Галактики, S – звезда с галактическими координатами l, b, штриховая линия – средняя линия Млечного Пути, 123 – позиционный угол эпохи равновесия 1950,0 круга галактической широты l = 0, 33 – галактическая широта восходящего узла галактического экватора (1950,0).

полюс, со стороны которого вращение Земли происходит против часовой стрелки, называется северным полюсом мира ( PN ), а противоположный – южным ( PS ) (см.

рисунок 2).

В настоящее время северный полюс мира расположен вблизи (на расстоянии менее 1 ) от Полярной звезды ( Малой Медведицы). Поэтому Полярная звезда практически неподвижна. Если наблюдатель находится в северном полушарии Земли и будет смотреть на нее длительное время, то увидит, что остальные звезды совершают круговое движение вокруг Полярной звезды.

Кажущее вращение вокруг Полярной звезды (точнее вокруг оси мира) происходит против часовой стрелки и является отражением вращения Земли.

В дальнейшем будем считать, что на небесную сферу мы смотрим снаружи.

Это аналогично взгляду на глобус Земли. Координаты звезд в экваториальной системе в этом случае определяются аналогично широте и долготе на поверхности Земли.

Пусть точка A есть точка пересечения круга склонения звезды и небесного экватора, тогда дуга AS, отсчитываемая от небесного экватора до звезды, называется склонением:

AS =.

Склонение положительно, если звезда находится в северном полушарии, и отрицательно, если в южном. Значит 90 90.

Второй координатой является прямое восхождение. Никакого особого направления в плоскости экватора нет. Поэтому выбор отсчета прямых восхождений произволен. До 1998 года эта точка определялась с момента пересечения Солнцем небесного экватора, когда Солнце переходит из южного полушария в северное. Это происходит примерно 21 марта каждого года и называется точкой весеннего равновесия. Противоположная точка называется точкой осеннего равновесия (примерно 23 сентября). Видимое движение Солнца есть не что иное, как отражение вращения Земли вокруг Солнца, поэтому согласно определению, принятому до 1998г., точки весеннего и осеннего равновесия лежали на линии пересечения небесного экватора и плоскости земной орбиты (плоскость эклиптики). С 1998г. Международным астрономическим союзом (МАС) в качестве реализации небесной системы координат были приняты каталоги внегалактических радиоисточников, на основании которых было переопределено начало системы отсчета прямых восхождений. При таком определении точка весеннего равновесия уже не привязывается к эклиптике. Если точка весеннего равноденствия определена, то дуга экватора A от точки весеннего равноденствия до круга склонения, называется прямым восхождением:





A =.

Прямое восхождение отсчитывается от точки весеннего равновесия против часовой стрелки, если смотреть с северного полюса мира, от 0 до 360.

Галактическая система координат. При решении звездно астрономических задач наиболее естественно пользоваться системой галактических сферических координат, для которой основной плоскостью является плоскость Галактики. Определить положение этой основной плоскости оказалось непросто. Средняя линия Млечного Пути, по отношению к которой объекты Галактики расположены симметрично, оказалась малым кругом небесной сферы, более близким к южному полюсу Галактики. Причина этого – небольшое возвышение Солнца над основной плоскостью Галактики. Начало отсчета галактических долгот ведется от круга галактических широт, проходящего (приблизительно) через центр Галактики и через северный галактический полюс. Этот круг имеет позиционный угол 123 от полюса мира эпохи 1950.0. Возрастание l идет в том же направлении, что и возрастание экваториальной координаты. Следует отметить, что галактические координаты не меняются со временем, как меняются экваториальные координаты. До недавнего времени была принята система галактических координат с полюсом: П = 192°.25 = 12h49m, П = +27°.4. Он соответствовал углу наклона галактического экватора к небесному i 62.6 и восходящего узла = 90° + П = 282°.25 = 18h49m. Раньше галактические долготы отсчитывались от этого узла.

После запуска искусственного спутника Hipparcos были уточнены координаты полюсов, и величина галактической долготы восходящего узла оказалась равной l 32. 93192 (а не ровно 33, как было ранее). При переходе от экваториальных координат к галактическим пользуются формулами:

tgb tg cos cosec( ) sin ctg ( )l (3).

sin b sin sin cos cos cos( ) § 3 Тригонометрические параллаксы звезд Параллаксом звезды называется малый угол в прямоугольном треугольнике звезда–Земля–Солнце, где расстояние звезда–Солнце является гипотенузой, а малый катет равен 1а.е. Обращение Земли вокруг Солнца вызывает параллактическое смещение звезды. В течение года звезда описывает Земля Звезда a d Солнце Рис. 3. Годичный параллакс параллактический эллипс, большая полуось которого расположена параллельно эклиптике, а центр его соответствует гелиоцентрическому положению звезды.

Из прямоугольного треугольника на рисунке 3 следует, что a d. (4) sin Как правило, годичные параллаксы звезд очень малы и поэтому можно записать:

206265 a, откуда d. Расстояния по этим формулам sin sin получаются в тех же единицах, в которых выражено расстояние Земли от Солнца.

PNG S S cos Экватор Рис. 4 Компоненты собственного движения В астрономии помимо километров приняты следующие единицы расстояний:

астрономическая единица (а.е.) – среднее расстояние Земли от Солнца;

парсек (пк) – расстояние, соответствующее годичному параллаксу в 1 ;

световой год – расстояние, которое свет проходит за один год со скоростью 300000 км/с.

Если 1 а.е. = 146 000 000 км, то 1пк 30.86 1012 км 206265а.е. 3.26св.год 1св.год 9.460 1012 км 63240а.е. 0,3067пк В астрономических единицах обычно выражают расстояние между телами Солнечной системы. Расстояние до звезд и галактик обычно выражают в парсеках, килопарсеках (1000 пк) и мегапарсеках (1000000 пк), а также в световых годах. В этих случаях 1 3. пк и d св.лет.

d (5) Ближайшая к Солнцу звезда «Проксима Кентавра» имеет годичный параллакс 0.772. Следовательно, она находится от нас на расстоянии 1.3 пк или 4.3 св. года.

§ 4 Собственные движения звезд Годичное угловое перемещение звезды называется ее собственным движением ( ). Оно выражается в секундах дуги в год. Собственное движение каждой звезды происходит по дуге большого круга и с постоянной скоростью.

(Небольшие периодические отклонения от дуги в собственном движении вызываются эффектами нутации и прецессии.) Вследствие собственного движения по дуге SS1 (см. рисунок 4) прямое восхождение звезды изменяется на величину, называемую собственным движением по прямому восхождению, а склонение – на величину, называемую собственным движением по склонению. и выражены в секундах дуги, но чаще всего выражается в s секундах часовой меры ( ), тогда s 15 cos. (6) Полное собственное движение вычисляется по формуле:

2 (8), а его направление (позиционный угол) tg (8).

Эта формула получается, если на рисунке 4 вследствие малости собственного движения отрезок дуги считать прямой линией.

От компонентов в экваториальной системе координат: s cos и можно перейти к компонентам в галактической системе координат:

cos cos l, (9) sin cos b где - галактический параллактический угол, т.е. угол при звезде между направлением на галактический полюс и на полюс мира. Для определения этого угла можно воспользоваться формулой:

ctg 0.518cos sec( ) sin tg ( ). (10) § 5 Светимости звезд Для звезд с известными видимыми звездными величинами (m) и параллаксами ( ) можно вычислить их абсолютные звездные величины (M), являющиеся мерой их светимости (L). Видимую звездную величину m, абсолютную MV и параллаксы (или расстояния r) связывают отношения:

M m 5 5log r, (11) M m 5 5log.

При наличии межзвездного поглощения A(r ) M m 5 5log r A(r ), (12) M m 5 5log A(r ).

Величина M, так же, как и m, зависит от выбранной фотометрической системы. Таким образом, можно говорить о M vis, M ph, M V, M B, и т.д. Особое значение имеет M bol болометрическая абсолютная звездная величина.

Полагая, что m измеряется с высокой точностью и, пренебрегая ошибкой в этой величине, можно определить ошибку в M в зависимости только от относительной ошибки :

5Mod 2.17 (13).

M Величину (m M ) называют модулем расстояния.

При определении звездной величины непосредственно из наблюдений измеряется только та часть излучения, которая прошла сквозь земную атмосферу и попала в приемник (например, M V ). Чтобы найти суммарное излучение во всем спектре, необходимо учесть излучение не дошедшее до прибора.

mbol mbol mv M bol MV, (14) M bol MV mbol. (15) Болометрические поправки вычисляются теоретически. Они зависят от эффективной температуры звезды и имеют минимальное значение для тех звезд, которые в видимой области спектра излучают наибольшую долю всей своей энергии.

Поток энергии, излучаемой звездой по всем направлениям, называют светимостью.

Светимости звезд, выражаются в единицах светимости Солнца, т.е. L L* 0.4( M M * ), lg LV (16) L или 2.512 ( M M* ) LV (17).

Для болометрических светимостей, подставляя значение M bol и учитывая (15), получаем:

log L* M bol ).

0.4( M V mbol (18) bol § 6 Пространственные скорости звезд и их компоненты Пространственную скорость звезды относительно Солнца можно определить, зная собственное движение ( ), параллакс ( ) и лучевую скорость (Vr). Сначала по и надо вычислить тангенциальную скорость звезд Vt или иначе проекцию скорости звезды на картинную плоскость а.е.

Vt (19).

год Так как второй кинематический элемент Vr выражен в км/с, то тангенциальную скорость Vt надо выразить также в км/с, умножив на 4.738;

Vt км/с, где 4. множитель 4.738 получен делением числа километров в а.е. на число секунд в тропическом году:

км/с.

4. Тогда пространственная скорость звезд относительно Солнца равна Vr 2 (4.74 d )2, (20) V где d расстояние до звезды в парсеках.

Так как выражается через и, то можно перейти к компонентам V и относительной тангенциальной скорости Vt в экваториальной системе V координат:

км/с и V км/с, 4. V 4.738 (21) где V, V и Vr – прямоугольные компоненты пространственной скорости звезды с началом в точке с координатами и самой звезды, находящейся от нас на расстоянии d.

Аналогично и для галактической системы координат:

км/с и Vb км/с 4. Vl 4.738 (22) b l Прямоугольные компоненты относительных пространственных скоростей звезд выбранной группы U,V,W в галактической системе координат определяются из формул:

U Vl sin l Vb cos l sin b Vr cos l cos b V Vl cos l Vb sin l sin b Vr sin l cos l (23).

W Vb cos b Vr sin b Цилиндрические компоненты (,,W ) определяются из формул:

F Fx cos Fy sin F Fx sin Fy cos, (24) Fz Fz где ( Fx, Fy, Fz ) = ( U,V,W ) и ( F, F, Fz ) = (,,W ), при этом U и направлены на галактический центр.

По теореме синусов мы можем найти угол :

sin l sin d sin b, (25) d d cos b sin b sin sin b sin l RG d cos b cos l где l и b галактические координаты, d – расстояние от Солнца до звезды, RG расстояние от центра галактики до звезды.

§ 7 Движение Солнца среди звезд Анализ и Vr звезд привел к обнаружению движения Солнца среди звезд.

Выяснилось, что Солнечная система движется в пространстве относительно звезд, m видимых невооруженным глазом (т.е. до 6 ). Однако при изучении движения Солнца в пространстве надо иметь в виду, что каждый раз мы получаем его движение относительно какой-нибудь определенной группы объектов.

Изучение движения Солнца в пространстве началось с определения его перемещения относительно звезд до 6m. Не зная масс этих звезд, нельзя отнести движение Солнца к центру масс всего их комплекса. Однако предположив, что массы всех звезд одинаковы, эта точка близка к геометрическому центру совокупности выбранных объектов (конечно при достаточно большом их количестве).

Движение Солнца относительно центроида до звезд 6m, среди которых немало гигантов и сверхгигантов, получило название стандартного движения Солнца.

Кроме «стандартного» выделяют еще основное движение Солнца, относя его к центроиду «близких звезд» главной последовательности (или «локальный центроид Солнца»). Очевидно, что определение движения Солнца относительно этой группы звезд более обосновано, чем определение движения относительно разнородной совокупности звезд до 6m. В этом случае скорости движения Солнца относительно локального центроида будут: U 10 км/с, V 10 км/с, W 6 км/с положительна в направлении на галактический антицентр2, V (при этом U в направлении галактического вращения, W в направлении к северному галактическому Полюсу).

Кроме того, существует движение Солнца относительно центра инерции Галактики, полученное путем прибавления к азимутальному компоненту движения Солнца круговой скорости вращения Галактики на солнечном галактоцентрическом расстоянии. Последние оценки дают круговую скорость 220 км/с на расстоянии Солнца от центра Галактики RG 8.5 кпк.

V Иногда принимают координату X положительной в направлении к центру Галактики, т.е. к точке с координатами l 0, b 0. Очевидно, что в этом случае U берется с обратным знаком.

§ 8 Определение скорости и апекса движения Солнца по пространственным скоростям звезд Компоненты U,V,W относительной пространственной скорости звезд включают в себя компоненты движения центроида выбранной группы звезд относительно Солнца. Иначе говоря U * u, V W* V * v, W (26) w, U где U,V,W компоненты остаточной скорости звезды, u, v, w компоненты вектора остаточной скорости Солнца относительно того же центроида. Так как суммы всех компонентов скоростей звезд относительно центроида должны быть равны нулю (то есть 0 ), то среднее значение компонентов U V W U,V,W, взятые с обратным знаком дадут искомые компоненты скоростей Солнца относительно центроида этой группы звезд:

[U ] [V ] [W ], v, w, u (27) n n n где [U ] (U1 U 2... U n ) гауссово обозначение суммы.

Откуда полная скорость Солнца 2 2 2 (28) V u v w, а координаты апекса относительно этой группы звезд w v, tgD.

tgA (29) 2 u u v § 9 Определение координат апекса по собственным движениям ( ).

Метод Ковальского –Эри Зная и можно определить координаты апекса. Прямоугольные экваториальные координаты звезды равны:

r sin cos, z r sin, x r cos cos, y (30) откуда получим формулы обратного перехода:

z y, tg tg. (31) x2 y x Пренебрегая изменениями r, продифференцируем уравнения (30) по t. Обозначив w, получим:

u, dy dt v, dz dt dx dt d cos sin v u, dt r cos r cos (32) d cos sin sin sin cos u v w.

dt r r r V S Vr к Апексу V Рис. 5 Параллактическая часть относительной лучевой скорости Если рассматривать и за год, то в левых частях уравнений будут стоять и. Величины u, v, w являются суммами скоростей центроида w0 и u0, v0, компонентов пекулярной скорости звезды u, v, w. Полагая, что сумма пекулярных движений относительно центроида равна нулю, т.е.

0, получим u v w u0 v cos sin cos 4.74r 4.74r u0 v0 w cos sin sin sin cos 4.74r 4.74r 4.74r или 4.74r cos u0 sin v0 cos, (33) 4.74r u0 cos sin v0 sin cos w0 cos Решая эти уравнения совместно методом наименьших квадратов получим u0, v0, w0, а затем по формулам (29) - A, D и V. Точность определения элементов движения Солнца будет зависеть от точности значений r. Впервые такой прием использовал в 1939г. П.П.Паренаго, обработав данные примерно о шестистах звездах. Если r неизвестно, то мы можем найти только A и D.

§ 10 Определение солнечного движения по лучевой скорости звезд Этот метод не требует оценок расстояний до звезд и точность определения координат апекса и скорости Солнца не зависит от этих расстояний. В настоящее время лучевые скорости определяются точнее, чем параллаксы, соответственно получаемые величины координат апекса и скорости Солнца получаются значительно точнее.

Представим наблюдаемую относительную лучевую скорость Vr как сумму двух величин: отраженной скорости движения Солнца к апексу (относительно центроида выбранной группы звезд), т.е. параллактической части наблюдаемой Vr, и пекулярной лучевой скорости звезды V r.

Параллактическая часть Vr равняется Vcos, где угловое расстояние звезды от апекса (рис. 5). Если предположить, что нам известны координаты апекса A и D и координаты звезд. и, то определяется по формуле A), cos sin sin D cos cos D cos( (34) Раскрыв cos( A), выразив A, D и V через u0, v0, w0 (29) и учтя, что кроме параллактической части Vr в скорость входит также пекулярная часть лучевой скорости звезды V r, получим уравнение:

Vr u0 cos cos v0 sin cos w0 sin Vr, (35) Решаем условное уравнение вида (35), полагая 0, получим u0, v0, w0. По Vr формулам (29) вычислим A,D, V.

Если координаты апекса известны достаточно точно из анализа собственных движений (см. § 9), то ими можно воспользоваться для определения более точного значения V из условных уравнений вида Vr, Vr V cos (36) где Vr пекулярная часть лучевой скорости звезды.

Решение методом наименьших квадратов дает [Vr cos ], V (37) [cos2 ] Где [ ] гауссово обозначение суммы.

§11 Распределение остаточных скоростей и функция правдоподобия Напомним, что под остаточной скоростью конкретной звезды мы понимаем разность между наблюдаемой и модельной скоростью, т.е. скорость звезды относительно своего центроида. Трехмерная функция распределения остаточной скорости звезды Vloc (re ), может быть записана в общем виде T 32 Vloc }, f ( Vloc ) (2 ) | Lobs | exp{ Vloc (38) где мы убрали явное упоминание о том, что используется принятая шкала расстояний, а | Lloc | и Lobs - соответственно определитель и обратная матрица наблюдаемого тензора ковариации Lobs. Функция распределения имеет смысл плотности вероятности определенного значения остаточной скорости конкретной звезды.

Поскольку объекты распределены в пространстве скоростей независимо друг от друга, их N-частичная (полная) функция распределения равна произведению функций для всех звезд выборки (по теореме о произведении вероятностей независимых событий):

N f ( Vloc (i)), F ( Vloc (1),..., Vloc ( N )) (39) i где N - число объектов. Суть принципа максимального правдоподобия заключается в том, что мы считаем реальное распределение объектов нашей выборки наиболее вероятным из всех возможных. Следовательно все параметры, описывающие модельное поле скоростей (а также поправка шкалы расстояний), от которых зависит плотность вероятности распределения остаточных скоростей, должны быть подобраны так, чтобы вероятность F на реальной выборке объектов достигала своего максимально возможного значения. Обычно решают задачу, минимизируя взятый с обратным знаком логарифм значения плотности вероятности, т.е. строят так называемую функцию правдоподобия N LF ln F ( Vloc (1),..., Vloc ( N )) ln f ( Vloc (i)), (40) i и сводят задачу к поиску минимума функции правдоподобия LF с использованием какого-либо эффективного алгоритма многомерной оптимизации. Подставив в (40) аналитическое выражение для функции, перепишем его в явном виде:

T 1N 3 (41) LF N ln 2 {ln | Lobs (i) | ( Vloc (i) Lobs (i) Vloc (i)}, 2 2i где индекс i относится к текущему объекту выборки.

Практические замечания: остаточная скорость Vloc (i), тензор ковариации Lobs (i ) для каждой звезды и, следовательно, значение функции правдоподобия LF выражаются через известные из наблюдений величины и текущие значения подбираемых кинематических параметров выборки. Любая используемая для оптимизации программа ищет решение, обеспечивающее минимум функции (41), методом итераций, т.е. путем перебора возможных значений неизвестных параметров. Это замечание относится в равной степени к двумерному и одномерному случаям.

LF является функцией большого числа неизвестных параметров и, решив задачу оптимизации, обычно находятся следующие параметры дифференциально вращающейся подсистемы:

компоненты средней скорости локальной выборки звезд (u0,v0, w0 ) относительно Солнца;

главные оси эллипсоида скоростей для выборки звезд (напомним, w) ( u, v, что они считаются одинаковыми для всей исследуемой области);

угловая скорость вращения подсистемы на расстоянии Солнца и 0,...) ( 0, 0, ее производные;

p - искомая поправка к шкале расстояний;

другие параметры поля скоростей, например, описывающие некруговые движения центроидов.

Если поставлена задача оценки кинематических параметров без уточнения шкалы расстояний, поправку шкалы p во всех формулах следует положить равной 1, тогда принятые расстояния будут тождественны уточняемым.

Выбор значения R0. Несколько слов следует сказать о выборе значения галактоцентрического расстояния Солнца R0. В современной литературе приводятся оценки этого важнейшего структурного параметра Галактики, заключающиеся в интервале от 7 до 8.5 кпк. Дискуссия об этом все еще идет.

Строго говоря, значение R0 почти линейно связано с принятой шкалой расстояний. Попытки вычисления R0 как одного из неизвестных параметров задачи (42) неоднократно предпринимались, но не приводили к надежным результатам. Более того, из-за корреляции R0 с параметром шкалы расстояний одновременное уточнение шкалы и вычисление R0 является совершенно некорректным. В принципе можно попытаться оценить методом R последовательных приближений, меняя его значение после каждого нового шага по уточнению шкалы расстояний.

К счастью, вычисляемые кинематические параметры сравнительно слабо чувствительны к небольшим вариациям принимаемого значения R0. В 1985 г.

МАС рекомендовал использовать значение R0 = 8.5 кпк. Однако во многих работах последних лет выводится средневзвешенное значение R0 (7.5 0.5) кпк. Оно более соответствует короткой шкале расстояний. Рекомендуем использовать это значение как компромиссное. Отметим также, что прямые радиоинтерферометрические измерения тригонометрического параллакса радиоисточников в центре Галактики приводят к еще меньшим значениям R 2 Практические задания 1) Вычисление компонентов скоростей звезд в цилиндрической системе координат и положений звезд в декартовой системе координат с началом в галактическом центре В каталоге переменных звезд типа RR Лиры приведены имена звезд, галактические координаты l, b, параллаксы, металличности [Fe/H] и компоненты полных пространственных скоростей относительно Солнца U,V,W, где U - положительна в направлении на антицентр, V – в направлении вращения и W – в направлении северного полюса Галактики.

Вычислить:

1) Компоненты скоростей звезд в галактической цилиндрической системе координат (,, W ), исправленные за пекулярное движение Солнца относительно локального центроида, где П - положительна в направлении на антицентр, –в направлении вращения и W – в направлении северного полюса Галактики.

Принять скорость Солнца относительно локального центроида (U,V,W ) ( 10,10,6) км/с, линейную круговую скорость вращения локального центроида вокруг галактического центра Vкр = 220 км/с, а расстояние от Солнца до центра Галактики (RG) равным 8.5 кпк.

Построить:

1) гистограмму по для звезд с [Fe/ H] 0.95 и описать ее нормальным законом.

2) диаграмму «Z [Fe/H]», вычислить с ошибками коэффициент корреляции и величину вертикального градиента металличности (gradZ[Fe/H]).

Ответить на вопросы:

О чем говорят среднее значение и дисперсия скоростей у звезд данной выборки?

К какой подсистеме Галактики принадлежат эти звезды (вывод обосновать)?

Какая величина характеризует степень близости корреляционной связи?

О чем говорит полученное значение вертикального градиента металличности?

2) Нахождение скорости вращения подсистемы звезд по лучевым скоростям В каталоге шаровых звездных скоплений Галактики приведены номера NGC, галактические координаты l и b, расстояния от скоплений до Солнца d, металличности [Fe/H] и лучевые скорости Vr скоплений относительно локального центроида Солнца.

Вычислить:

1) галактические прямоугольные координаты XG, YG, ZG и расстояния от скопления до центра Галактики RG, приняв расстояние от Солнца до центра Галактики равным 8.5 кпк;

2) компоненты лучевых скоростей скоплений относительно неподвижного наблюдателя, находящегося на месте Солнца по формуле:

VS = Vr + VLSR· cosA, где VLSR -скорость кругового движения локального центроида Солнца 220 км/с. А - угол между апексом кругового движения локального центроида Солнца и направлением на скопление cos A=YG/RG;

3) величины cos :

R G YG cos, d XG 2 YG где угол между лучом зрения на скопление и вектором вращения вокруг оси Z.

Построить:

1) Кинематическую диаграмму «cos Vs» для скоплений с [Fe/H] 0.95, Определить скорость вращения данной подсистемы, предполагая, что она вращается нетвердотельно (с ошибкой).

2) Диаграмму «Z [Fe/H]», для всех шаровых скоплений. Вычислить с ошибкой вертикальный градиент металличности. Повторить отдельно для выборок с [Fe/H] 0.95 и с [Fe/H] 0.95.

Ответить на вопросы:

Имея в виду, что в предположении нетвердотельного вращения подсистемы с постоянной скоростью Vвр, которая и определяется наклоном прямой регрессии, указать к какой подсистеме Галактики принадлежат данные скопления?

О чем говорят величины полученных вертикальных градиентов металличности? Дать сравнительный анализ.

3) Оценка полноты выборки звезд В каталоге звезд приведены их названия, галактические координаты l и b,, видимые звездные величины Vm и металличности [Fe/H], параллаксы Вычислить:

для всех звезд расстояния от Солнца (d), расстояния от центра Галактики (RG), прямоугольные галактические координаты XG, YG, ZG и абсолютные величины MV.

Построить:

1) Диаграммы «RG – Mv» и «RG [Fe/H]» и определить радиальные градиенты.

2) Гистограмму по d и аппроксимировать участок d 50 пк функцией вида n = d. Для нахождения коэффициентов и методом наименьших квадратов следует построить в координатах (lg n – lg d) прямую регрессию. Нанести полученную зависимость на гистограмму по d.

Ответить на вопросы:

Каков градиент металличности у звезд выборки?

Зависит ли абсолютная величина звезд от расстояния до галактического центра?

Оценить, до какого расстояния d выборку можно признать полной (при равномерном заполнении исследуемого объема пространства звездами их численность должна возрастать пропорционально квадрату расстояния от Солнца). Для этого надо найти такое предельное расстояние d, дальше которого величина начинает убывать.

4) Нахождение шкалы высоты подсистемы звезд В каталоге близких звезд приведены их номера HD, BD, галактические координаты l и b, параллаксы, собственные движения в экваториальной системе координат и лучевые скорости Vr.

, Вычислить для всей выборки:

1) компоненты пространственных скоростей звезд U, V, W и их полную остаточную скорость относительно локального центроида Vост, принимая скорость Солнца относительно локального центроида (U,V,W ) ( 10,10,6) км/с;

2) галактические координаты, XG, YG, ZG и RG.

Построить:

1) диаграмму «Vост – V» и на ней прямую регрессию, используя графический редактор Origin;

2) гистограмму по Z и аппроксимировать распределение экспоненциальным Z /Z законом по формуле n(Z ) Ce 0, где шкала высоты, а n – число звезд Z в столбцах гистограммы по оси y. Чтобы найти коэффициенты С и Z/Z0 надо построить прямую регрессию в координатах «Z – lnn(Z)». найти ошибки коэффициентов.

Ответить на вопросы:

О чем свидетельствует ход зависимости азимутальной компоненты скорости звезды V от полной остаточной скорости Vост?

Чему равна шкала высоты звезд данной выборки?

О чем говорит ее величина и ошибка?

5) Нахождение апекса Солнца и скорости его относительно локального центроида В каталоге близких звезд приведены их названия (HD, BD, и т.д.), параллаксы, лучевые скорости Vr, координаты l, b, компоненты скоростей относительно Солнца U,V,W и металличности [Fe/H].

Вычислить для всех звезд каталога:

1) расстояния каждой звезды от Солнца (d = 1/) и от центра Галактики RG;

2) галактические координаты XG, YG, ZG. Расстояние от Солнца до центра Галактики принять равным R = 8.5 кпк.

3) долготу A и широту D апекса Солнца и скорость Солнца V относительно центроида всей выборки.

4) То же для выборок:

0.3 [ Fe / H ] 0. 0.4 [ Fe / H ] 0. 0.6 [ Fe / H ] 0. 1.0 [ Fe / H ] 0. 1.5 [ Fe / H ] 1. 2.5 [ Fe / H ] 1. Построить:

диаграммы " A [ F / H ]", " D [ F / H ]", "V [ F / H ]", " A RG ", и по средним значениям металличности и " D RG " "V RG " соответствующим значениям координат апексов Солнца указанных выборок звезд.

Ответить на вопросы:

Что такое центроид Солнца?

Как и почему зависят координаты апекса Солнца от металличности звезд?

6) Перевод экваториальных координат звезд в галактические В каталоге близких звезд приведены их номера HD, BD, координаты,, параллаксы, лучевые скорости Vr и металличности [Fe/H].

Вычислить для всех звезд каталога:

1) Галактические координаты l, b (пересчет из,, данных на 2000 год). В этой системе координаты полюсов следующие:

= 192.85948, = + 27. NGP: NG NG = 12.85948, SGP: = -27. SG SG Галактический центр: GC= 266.40500, = -28. GC (l = 90, b = 0) = 48.32964.

= 318.00439, 90,0 90, Расстояние от Солнца до центра Галактики принимать равным 8.5 кпк.

Подробнее о переводе из одной системы координат в другую см. §1 и [1, 3].

2) Используя параллаксы звезд, вычислить их расстояния от Солнца (d).

Построить:

1) диаграммы «l b» и гистограммы [Fe/H] для всех звезд, а также для выборок звезд, отобранных по расстояниям от Солнца: d 25пк, 25пк d 50пк, 50пк d 100пк, d 100пк 2) Построить диаграмму «Vr [Fe/H]», вычислить с ошибками коэффициенты прямой регрессии и нанести ее на график.

Ответить на вопросы:

Какое свойство отличает галактическую систему координат звезд от других систем?

О чем говорит различие распределений звезд с разными d по галактическим координатам?

Почему металличности и лучевые скорости обнаруживают корреляцию?

Отчет по заданию представить в виде реферата (документ Word, Tex) в распечатанном виде. Для всех вычислений должны быть написаны программы на языке Фортран. Для построения графиков необходимо использовать графический пакет Origin. В реферате должны быть описаны все программы и все графики, а также даны полные ответы на вопросы по данному заданию. Все файлы (включая сам реферат) также сдаются в электронном виде не позднее, чем за 3 дня до зачета.

Зачет будет приниматься в виде защиты данного реферата. К зачету допускаются студенты, которые своевременно отдали на проверку выполненные задания. В электронном виде необходимо сдать:

1. Файл формата *.doc (либо *.tex) с подробным описанием выполнения работы (использовать редактор Word либо Tex) 2. Программа (ы) на фортране.

3. Каталог с исходными данными ishod.dat, и результирующий файл rez.dat, в котором должно быть полное повторение данных из исходного файла и добавлены новые столбцы с вычисленными данными.

4. Графические файлы редактора Origin с соответствующими аппроксимациями графиков.

Список литературы:

1. П.Г. Куликовский, Звездная астрономия, [Текст]: монография. - М: Наука, - 1978. – 272 с.

2. Б.М. Щиголев, Математическая обработка наблюдений, [Текст]: монография. М: Наука, -1969. -344 с.

3. П.И. Бакулин, Э.В.Кононович, В.И.Мороз, Курс общей астрономии [Текст]:

монография. М: Наука, -1985. – 542 с.

4. Ю.И. Рыжиков, «Современный фортран», [Текст]: монография.-Изд-во Корона-Принт, 2004. - 288 с. (подойдет любая другая книга).



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.