авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Методы исследования локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах

На правах рукописи

Муртазина Сария Аширафовна МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ КОРАЗМЕРНОСТИ ДВА В НЕАВТОНОМНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа – 2012

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Юмагулов Марат Гаязович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ильясов Явдат Шавкатович, доктор физико-математических наук, профессор Красносельский Александр Маркович

Ведущая организация: Институт математики и механики Уральского отделения РАН г. Екатеринбург

Защита состоится 6 апреля 2012 г. в 15.00 часов на заседании диссерта ционного совета Д 002.057.01 в Учреждении российской академии наук Ин ститут математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан 1 марта 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук С. В. Попенов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В общей теории динамических систем важное ме сто занимают системы, описываемые дифференциальными уравнениями c пе риодическими коэффициентами. Такие уравнения возникают при изучении колебательных процессов в механике, физике, биологии, химии, экономике и др. Теория дифференциальных уравнений с периодическими коэффициен тами являются хорошо развитой составной частью общей теории дифферен циальных уравнений, благодаря работам А.М. Ляпунова, А. Пуанкаре, Н.Н.

Боголюбова, В. Г. Веретенникова, И.Г. Малкина, Ю.А. Митропольского, В.А.

Плисса, М. Розо, Ж. Флоке, Л. Чезари, И. З. Штокало, В.А. Якубовича и многих других математиков.

Одной из наиболее актуальных задач в теории дифференциальных уравне ний с периодическими коэффициентами представляется исследование поведе ния системы в окрестностях стационарных и периодических решений. Здесь особо актуальными представляются исследования поведения системы в пред положении, что стационарное или периодическое решение является негипер болическим. В этом случае в системе могут происходить различные бифур кационные явления, возникать новые периодические или квазипериодические решения, становится возможным хаотическое поведение системы. Исследова нию этого случая посвяшены работы В.И. Арнольда, М.А. Красносельского, А.М. Красносельского, А.П. Кузнецова, С.П. Кузнецова, В.С. Козякина, Н.А.

Магницкого, Ж.К. Хейла, Л.П. Шильникова и других математиков. Здесь получен ряд важных результатов, связанных с признаками бифуркаций и субфуркаций, построением периодических решений, анализом их устойчиво сти, исследованием вопросов синхронизации и др. При этом большая часть полученных результатов относится к задачам о бифуркациях коразмерно сти один. Существенно меньше изучены задачи о локальных бифуркациях коразмерности два и выше. Здесь особо актуальными являются получение достаточных признаков различных сценариев бифуркаций, разработка ме тодов приближенного построения возникающих колебаний, исследование их устойчивости.

Цель работы. Разработка качественных и приближенных методов ана лиза бифуркационных явлений коразмерности два в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями c периодическими коэффи циентами, получение достаточных признаков основных сценариев локальных бифуркаций, исследование устойчивости возникающих колебаний.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, нели нейного анализа, приближенного решения операторных уравнений, теории Флоке, малого параметра, метод функционализации параметра, метод Ньюто на-Канторовича, метод Розо исследования устойчивости.

Научная новизна определяется впервые проведенными исследования ми, в результате которых разработан математический аппарат для анализа локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах. При этом получены следующие новые научные ре зультаты:

1. Разработан новый операторный метод исследования бифуркационного поведения основных сценариев бифуркационного поведения двупарамет рических неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов в окрестностях стационарных решений;

2. Получены новые достаточные признаки локальных бифуркаций кораз мерности два неавтономных динамических систем и их дискретных ана логов;

3. Разработаны и обоснованы асимптотические формулы, позволяющие опре делить основные гармоники вынужденных и субгармонических колеба ний неавтономных динамических систем в задачах о бифуркации кораз мерности два;

4. Проведен анализ устойчивости вынужденных и субгармонических коле баний, возникающих в неавтономных динамических системах при би фуркиях коразмерности два;

5. Предложены асимптотические формулы в задаче о локализации языков Арнольда неавтономных динамических систем и их дискретных анало гов в основных резонансах.



Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретиче ский характер. В ней предложены и обоснованы аналитический и приближен ный методы исследования задачи об основных сценариях локальных бифур каций коразмерности два в дифференциальных уравнениях с периодически ми коэффициентами. Предлагаемые методы могут быть использованы для анализа бифуркационных явлений в системах, описываемых неавтономны ми дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами.





Полученные результаты доведены до расчетных и асимптотических формул.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на региональной научно-технической конференции "Новые программные сред ства для предприятий Урала"(г. Магнитогорск, декабрь 2004 г.);

всероссий ской школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фун даментальная математика и ее приложения в естествознании"(г. Уфа, октября-3 ноября 2007 г.);

научно-практической конференции "Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании"(г. Сибай, 23-24 мая 2008 г.);

международной научной конференции "Дифференциаль ные уравнения и смежные проблемы"(г. Стерлитамак, 24-28 июня 2008 г.);

международной научной конференции "Нелинейные уравнения и комплекс ный анализ"(г. Уфа, 13-17 декабря 2010 г.);

научном семинаре по диффе ренциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН (руководители: д.ф.-м.н., профессор Л.А. Калякин и д.ф. м.н., профессор В.Ю. Новокшенов.);

научных семинарах кафедры приклад ной математики и информационных технологий Сибайского института (фи лиала) Башкирского государственного университета (руководитель - д.ф. м.н., профессор Юмагулов М.Г.);

научном семинаре кафедры дифференци альных уравнений Башкирского государственного университета (руководи тели: д.ф.-м.н., профессор Султанаев Я.Т и д.ф.-м.н., профессор Юмагулов М.Г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]–[14], при этом статьи [1]–[4] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад соискателя. Постановки основных задач принадлежат научному руководителю. Основные результаты диссертации получены авто ром самостоятельно. При выполнении работ [2], [3], [6], [7], [9] и [11], опубли кованных в соавторстве, соискатель принимал участие в разработке и обос новании предлагаемых методов исследования. Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем работы составляет 128 стра ниц. Библиография содержит 92 наименования.

Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулирова ны цель и основные задачи исследования, приводится обзор литературных источников, кратко излагается содержание работы.

Основным объектом исследования работы является система дифференци альных уравнений, зависящих от скалярного или векторного параметра µ с T -периодической по t правой частью:

x RN, µ Rk, x = f (x, t, µ), (1) где функция f (x, t, µ) непрерывна по t и непрерывно дифференцируема по x и µ. Пусть система (1) при всех значениях параметра µ имеет нулевую точку равновесия x = 0, т.е. f (0, t, µ) 0. Уравнение (1) может быть представлено в виде x = A(t, µ)x + a(x, t, µ), (2) где A(t, µ) = fx (0, t, µ) – матрица Якоби вектор-функции f (x, t, µ), вычислен ная в точке x = 0, а нелинейность a(x, t, µ) равномерно по t и µ удовлетворяет соотношению a(x, t, µ) = O( x 2 ) при x 0;

здесь и ниже через · обозначена евклидова норма векторов в пространстве RN.

Обозначим через V (µ) матрицу монодромии линейной системы x = A(t, µ)x. (3) Пусть при µ = µ0 система (3) имеет один или несколько мультипликаторов, равных по модулю 1;

тогда точка равновесия x = 0 системы (1) при µ = µ0 является негиперболической. В этом случае значение µ0 будем называть точкой бифуркации системы (1).

В частности, при близких к µ0 значениях µ у системы (1) в окрестности точки равновесия x = 0 могут возникать T -периодические решения (вынуж денные колебания), kT -периодические решения при k 2 (субгармониче ские колебания), квазипериодические решения и др. Описанию возможных сценариев бифуркационного поведения дифференциальных уравнений c пе риодическими коэффициентами, получению достаточных признаков того или иного сценария бифуркации, разработке схем приближенного исследования бифуркаций, исследованию устойчивости возникающих колебаний и посвя щена диссертационная работа.

В первой главе приводятся необходимые сведения из теории дифферен циальных уравнений с периодическими правыми частями, из теории локаль ных бифуркаций, описываются основные сценарии таких бифуркаций. Основ ное содержание главы составляет обоснование метода качественного и при ближенного исследования задачи о бифуркациях малых решений оператор ных уравнений. Глава носит вспомогательный характер. Приведем некоторые необходимые сведения из первой главы, относящиеся к указанному методу.

Рассматривается операторное уравнение x = B(µ)x + b(x, µ), x RN, µ Rm, (4) где матрица B(µ) непрерывно диффиренцируемо зависит от параметра µ, а нелинейность b(x, µ) содержит слагаемые второй и более высоких степеней по x: b(x, µ) = O( x 2 ) при x 0.

Пусть e RN – некоторый ненулевой вектор. Значение µ0 параметра µ на зывают правильной точкой бифуркации уравнения (4) по направлению век тора e, если существуют непрерывные функции µ = µ() и x = x() такие, что: µ(0) = µ0, x(0) = 0;

x()e = o() при 0;

при этом для каждого 0 вектор x() является решением уравнения (4) при µ = µ().

Правильные точки бифуркации уравнения (4) имеет смысл искать лишь среди тех µ0, при которых матрица B(µ0 ) имеет собственное значение 1. Рас сматриваемые в работе задачи о вынужденных колебаниях таковы, что при водят либо к уравнению вида (4), зависящего от скалярного параметра µ, и с матрицей B(µ), имеющей при некотором µ = µ0 простое собственное зна чение 1, либо к уравнению вида (4), зависящего от двумерного параметра µ, с матрицей B(µ), имеющей при некотором µ = µ0 полупростое собствен ное значение 1 кратности 2. При этом в работе основное внимание уделяется разработке операторной схемы приближенного исследования задачи о точ ках бифуркации вынужденных колебаний системы (1) для второго случая, т.е. для бифуркации коразмерности 2.

Пусть параметр µ является двумерным, т.е. µ = (, ), где и – скаляр ные параметры. Положим µ0 = (0, 0 ), B0 = B(0, 0 ). Пусть матрица B имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Пусть e, g, e, g – линейно независимые собственные векторы операторов B0 и B0, отвечающие полупростому собственному значению 1. Эти векторы можно выбрать исходя из соотношений:

(e, e ) = (g, g ) = 1, (e, g ) = (g, e ) = 0. (5) Положим (B (µ0 )e, e ) (B (µ0 )e, e ) Q=. (6) (B (µ0 )e, g ) (B (µ0 )e, g ) Здесь B и B – операторы, полученные дифференцированием оператора B(, ) по и соответственно.

Теорема 1. Пусть det Q = 0. Тогда µ0 является правильной точкой бифур кации уравнения (4) по направлению вектора e.

Во второй главе приводятся новые достаточные признаки бифуркаций вынужденных и субгармонических колебаний системы (1), а также получены асимптотические формулы для возникающих колебаний.

Пусть система (3) при µ = µ0 имеет один или несколько мультиплика торов равных по модулю 1, т.е. матрица V (µ0 ) имеет собственные значения вида e±2i, где 0. В диссертации основное внимание уделяется рас смотрению случаев, когда матрица V (µ0 ) имеет:

S1) простое собственное значение 1;

S2) пару простых собственных значений e±2i, где 0 и рациональ p но: = – несократимая дробь.

q Во обоих случаях предполагается, что остальные собственные значения мат рицы V (µ0 ) не равны 1 по модулю.

В зависимости от этих случаев возможны различные сценарии локальных бифуркаций в окрестности состояния равновесия системы (1).

В случае S1) коразмерность бифуркации равна одному;

в этом случае есте ственным будет предположение, что параметр µ является скалярным. Здесь основным сценарием бифуркации является возникновение у системы (1) в окрестности точки равновесия x = 0 при переходе параметра µ через µ0 (т.е.

либо при µ µ0, либо при µ µ0 ) ненулевых T -периодических колебаний малой амплитуды. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение µ0 параметра µ назовем точкой бифуркации вынужденных ко лебаний системы (1), если каждому 0 соответствует такое µ = µ(), при котором система (1) имеет ненулевое T -периодическое решение x(t, ), причем µ() µ0 и max x(t, ) 0 при 0.

t В случае S2) коразмерность бифуркации равна двум. Поэтому здесь есте ственным будет предположение, что параметр µ является двумерным, т.е.

µ = (, ), где и – скалярные параметры. Здесь в окрестности точки равновесия x = 0 при переходе параметра µ через µ0 могут возникать или исчезать периодические решения различных периодов kT, где k q. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение µ0 параметра µ назовем бифуркацией субгармонических коле баний периода qT cистемы (1), если каждому 0 соответствует такое µ = µ(), при котором система (1) имеет ненулевое qT -периодическое ре шение x(t, ), причем µ() µ0 и max x(t, ) 0 при 0.

t Рассмотрим сначала случай S1). Обозначим через e и e – собственные векторы, соответствующие простому собственному значению 1 матриц V (µ0 ) и V (µ0 ) соответственно;

здесь V (µ) – транспонированная к V (µ) матри ца. Векторы e и e можно выбрать в соответствии с равенствами e = 1, (e, e ) = 1. Обозначим через x0 (t, µ) решение задачи Коши x = A(t, µ)x, (7) x(0) = e, и положим 0 = [x0 (T, µ)]µ=µ0, e.

Теорема 2. Пусть выполнено условие S1 и 0 = 0. Тогда µ0 является точ кой бифуркации вынужденных колебаний системы (1).

Рассмотрим теперь случай S2). Положим B(µ) = V q (µ);

тогда матрица B(µ0 ) (а вместе с ней и транспонированная матрица B (µ0 )) имеет полу простое собственное значение 1 кратности 2. Обозначим через e, g и e, g соответствующие линейно независимые собственные векторы матриц B(µ0 ) и B (µ0 ). Векторы e, g, e и g будем считать выбранными в соответствии с соотношениями (5). Пусть x0 (t, µ) – решение задачи Коши (7).

Положим ([x0 (qT, µ)]µ=µ0, e ) ([x0 (qT, µ)]µ=µ0, e ) 0 =.

([x0 (qT, µ)]µ=µ0, g ) ([x0 (qT, µ)]µ=µ0, g ) Теорема 3. Пусть выполнено условие S2 и 0 = 0. Тогда µ0 = (0, 0 ) явля ется точкой бифуркации субгармонических колебаний периода qT системы (1).

Во второй главе работы также приведены асимптотические формулы для существующих в условиях теорем 2 и 3 бифурцирующих решений. Получен ные в работе асимптотические формулы используют квадратичную и кубиче скую нелинейности, входящие в правые части основных дифференциальных уравнений. Здесь ограничимся приведением асимптотических формул для уравнения (2), когда нелинейность a(x, t, µ) представима в виде a(x, t, µ) = a2 (x, t, µ) + a3 (x, t, µ), (8) где a2 (x, t, µ) содержит квадратичные по x слагаемые, а нелинейность a3 (x, t, µ) удовлетворяет соотношению a3 (x, t, µ) = O( x 3 ) при x 0 равномерно по t и µ.

Теорема 4. Существующие в условиях теоремы 2 бифурцирующие решения x(t, ) системы (1) и соответствующие значения параметра µ() предста вимы в виде:

x(t, ) = e(t) + 2 e1 (t) + e11 (t, ), µ() = µ0 + µ1 + µ11 (). (9) Здесь e(t) = x0 (t, µ0 );

для функции e1 (t) и числа µ1 в диссертации так же получены расчетные формулы, а функции µ11 (), e11 (t, ) удовлетворяют соотношениям µ11 () = O(2 ), max e11 (t, ) = O(3 ) при 0.

t Теорема 5. Существующие в условиях теоремы 3 бифурцирующие реше ния x(t, ) системы (1) и соответствующие значения параметра µ() = ((), ()) представимы в виде:

x(t, ) = e(t) + 2 e1 (t) + e11 (t, ), (10) () = 0 + 1 + 11 (), () = 0 + 1 + 11 ().

Здесь e(t) = x0 (t, µ0 );

для функции e1 (t), чисел 1, 1 в диссертации также получены расчетные формулы, а функции 11 (), 11 (), e11 (t, ) удовлетворя ют соотношениям 11 () = O(2 ), 11 () = O(2 ), max e11 (t, ) = O(3 ) t при 0.

Полученные во второй главе асимптотические формулы вида (10) позво ляют получить приближенные представления языков Арнольда – множеств соответствующих рационально синхронизированным соотношениям парамет ров и. Функции = () и = () на плоскости параметров (, ) описывают некоторую кривую, начинающуюся в точке (0, 0 ). Эту кривую называют кривой синхронизации. Она получена в предположении, что в ка честве направления бифуркации выбран один из собственных веторов, отве чающим полупростому собственному значению 1 кратности 2 матрицы B(µ0 ), а именно вектор e. Для различных собственных векторов получаются разные кривые синхронизации. Совокупность этих кривых и образует язык Арноль да.

Основной задачей исследования в третьей главе является анализ устой чивости бифурцирующих решений, возникающих в условиях теорем 2 и 3.

Ограничимся рассмотрением случая S1). Здесь основным объектом исследо вания является система (2), в котором матрица A(t, µ) представима в виде A(t, µ) = A0 + (µ µ0 )A1 (t) + A2 (t, µ).

Предполагается, что постоянная матрица A0 имеет простое собственное значение 0, матрицы A1 (t) и A2 (t, µ) являются T -периодическими, причем max A2 (t, µ) = O(|µ µ0 |2 ), при |µ µ0 | 0.

t Предлагаемая схема анализа устойчивости использует методы М. Розо.

исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с перио дическими коэффициентами.

Определим число T [µ1 A1 ( ) + a2x (e( ),, µ0 )]d e, e ).

=( Теорема 6. Пусть нелинейность a(x, t, µ) имеет вид (8). Тогда при всех малых значениях 0 бифурцирующие решения x(t, ) системы (2), суще ствующие в условиях теоремы 2, асимптотически устойчивы, если 0, и неустойчивы, если 0.

Здесь a2x (x, t, µ) – матрица Якоби квадратичной нелинейности a2 (x, t, µ).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю М.Г. Юмагулову за неоценимую помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых изданиях из списка ВАК 1. Муртазина С.А. Бифуркации вынужденных колебаний в системах авто матического регулирования // Вестник Тамбовского университета: об щие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2009): материалы международной конференции Колмогоровские чтения, Тамбов, 2009. T.14.

Вып. 4. С. 773 – 775.

2. Вышинский А. А., Ибрагимова Л. С., Муртазина С. А., Юмагулов М. Г.

Операторный метод приближенного исследования правильной бифурка ции в многопараметрических динамических системах // Уфимский ма тематический журнал, Уфа, 2010. Т 2, № 4. С. 3 – 26.

3. Юмагулов М.Г., Вышинский А.А., Нуров И.Д., Муртазина С.А. Опе раторный метод исследования локальных бифуркаций многопараметри ческих динамических систем // Вестник Санкт-Петербургского госуни верситета: прикладная математика, информатика, процессы управления, С.-Петербург, 2009. Серия 10. Вып. 2. С. 146 – 155.

4. Муртазина С.А. Исследование устойчивости вынужденных колебаний в многопараметрических системах // Вестник Тамбовского университета:

общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2011): материалы международной конференции Колмогоровские чтения - V, Тамбов, 2011.

T.16. Вып. 4. С. 1135 – 1137.

В других изданиях 5. Муртазина. С.А. Метод малого параметра в задачах приближенного по строения малых автоколебаний. //Новые программные средства для пред приятий Урала: сборник трудов региональной научно-технической кон ференции, Магнитогорск, 2004. Вып. 3. С. 199 – 201.

6. Вышинский А.А. Муртазина С.А. Приближенное исследование бифур кации малых решений операторных уравнений // Новые программные средства для предприятий Урала: сборник научных трудов, Магнито горск, 2006. Вып. 5. С. 100 – 102.

7. Вышинский А. А., Муртазина С. А. Асимптотические формулы в задаче о бифуркациях нелинейных колебаний // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: материалы Всероссийской школы конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых, Уфа, 2007.

С. 20 – 21.

8. Муртазина С.А. Алгоритмы приближенного построения периодических колебаний в двупараметрических системах автоматического управления //Создание и внедрение корпоративных информационных систем (КИС) на промышленных предприятиях РФ: сборник трудов Международной научo-технической конференции, Магнитогорск, 2007. Вып. 2. С. 300 – 301.

9. Юмагулов. М.Г., Муртазина С.А. Коразмерность бифуркации векторных полей //Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании: материалы научно-практической конференции, Сибай, 2008. C. 102 – 109.

10. Муртазина С.А. Асимптотические формулы в задаче о бифуркации вы нужденных колебаний в многопараметрических системах управления // Прикладная математика и информационные технологии в науке и обра зовании: материалы научно-практической конференции, Сибай, 2008. C.

59 – 65.

11. Юмагулов. М.Г., Муртазина С.А. Бифуркация вынужденных колебаний в многопараметрических системах управления // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: труды международной научной конфе ренции, Стерлитамак, 2008. Т.3. C. 51 – 55.

12. Муртазина С.А. Признаки бифуркации вынужденных колебаний в дву параметрических системах // Уральский регион Республики Башкор тостан: человек, природа, общество: материалы региональной научно практической конференции, Сибай, 2009. C. 365 – 369.

13. Муртазина С.А. Бифуркация субгармонических колебаний в многопара метрических динамических системах // Дифференциальные уравнения и их приложения: труды Всероссийской научной конференции с между народным участием, Стерлитамак, 2011. C. 113 – 115.

14. Муртазина С.А. Расчет устойчивости вынужденных колебаний многопа раметрических динамических систем // Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах: международ ный сборник научных трудов, Магнитогорск, 2011. Ч. 1. С. 198 – 203.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.