авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Оглы условия экстремума в негладком анализе

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АББАСОВ Меджид Эльхан оглы Условия экстремума в негладком анализе 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

Работа выполнена на кафедре математической теории моделирования си стем управления факультета прикладной математики–процессов управ ления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант: заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Демьянов Владимир Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Дудов Сергей Иванович Саратовский Государственный Университет имени Н. Г. Чернышевского кандидат физико-математических наук, доцент Моисеев Игорь Анатольевич Санкт-Петербургский Государственный Университет

Ведущая организация: Институт математики и механики (ИММ) Ураль ского отделения РАН (г. Екатеринбург).

Защита состоится 2011 г. в часов на заседании дис сертационного совета Д.212.232.59 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., д. 41/43, аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М.

Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адре су: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор В.Д.Ногин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Около трех веков в матема тике безраздельно правил классический гладкий анализ, однако новые, все более усложняющиеся задачи, решаемые научным сообществом со второй половины XX века, все чаще требовали использования неглад ких функций. Такого рода возникающие проблемы пытались решать, аппроксимируя негладкие функции с некоторой степенью точности глад кими. Но скоро стало очевидно, что такие аппроксимации не могут быть применены для изучения существенно негладких свойств недифферен цируемых функций (таких, как например нахождение нескольких на правлений наискорейшего спуска или подъема), хотя они и позволяют приближенно находить точки экстремума. Поэтому этот подход хотя и помогал эффективно решать ряд задач, не смог обеспечить растущих по требностей исследователей и представлял собой по существу бегство от негладкости.

Негладкий анализ занимается изучением свойств функций, не имею щих производной в классическом смысле, а также множеств, порож денных этими функциями. Можно считать, что научное направление негладкий анализ сформировалось в середине XX века в продолже ние идей классического гладкого анализа, хотя задачи из этой отрас ли математики были поставлены и решены еще П.Л.Чебышевым. Пер выми подробно изученными классами недифференцируемых функций явились выпуклые функции и функции максимума. Было показано, что эти функции являются дифференцируемыми по направлениям, откуда, опираясь на производную по направлению, удалось получить локальные аппроксимации таких функций. Дифференцируемость по направлениям негладких функций изучалась в работах Д.Данскина, В.Ф. Демьянова, И.В. Гирсанова, а также С. И. Дудова, Л. И. Минченко. Появилась воз можность поиска направлений спуска и подъема, а, значит и построения новых оптимизационных алгоритмов, что повлияло на развитие мате матического программирования (см., например, работы Ф.П. Васильева, Б.Т. Поляка).

Эти исследования нашли свое отражение в работах В.В. Гороховика, В.Ф. Демьянова, Ф. Кларка, В.Н. Малоземова, Б.Ш. Мордуховича, Б.Т.

Поляка, Л.Н. Поляковой, Б.Н. Пшеничного, Р. Рокафеллара, А.М. Ру бинова, В.М. Тихомирова, Н.З. Шора и многих других математиков и привели к развитию теории минимакса и выпуклого анализа. Изучение этих классов функций привело к появлению понятия субдифференциала – обобщению классического градиента: в точках гладкости субдиффе ренциал совпадает с градиентом, а в точках существенной негладкости (то есть таких, в которых не существует обычной производной) суб дифференциал превращается в выпуклый компакт. Изучению субдиф ференциалов в абстрактных пространствах посвящены работы А.Г. Ку сраева и С.С. Кутателадзе. Оказалось, что необходимым условием без условного минимума является принадлежность нуля субдифференциа лу, а направление наискорейшего спуска есть вектор, направленный от этого множества к началу координат, вдоль которого достигается мини мум расстояния от субдифференциала до нуля. Было разработано ис числение, руководствуясь которым можно достаточно просто находить субдифференциалы. Открытие этих объектов повлияло и на развитие математического программирования – появилась возможность строить новые численные методы оптимизации. Успехи в этой области заставили задуматься о поиске обобщений понятия субдифференциала на случай более широкого класса функций. Одной из наиболее успешных попы ток в этом направлении явились субдифференциал Шора и его выпук лая оболочка – субдифференциал Кларка. Введение этих понятий позво лило изучать произвольные липшицевые функции, но применение этих объектов на практике оказалось затруднительным – они не позволяли получать аппроксимацию функции в точке, давая возможность лишь проверять условия экстремума в ней. Известны и другие попытки, не лишенные указанного недостатка. Среди них субдифференциал Морду ховича, субдифференциал Мишеля-Пено, приближенные и геометриче ские субдифференциалы Иоффе, контейнеры Варги. Авторы этих обоб щений субдифференциала опирались, как правило, не на производную по направлению, а на некоторые иные конструкции. Кроме того, само построение этих объектов вызывало трудности. Поэтому исследовате лям пришлось искать компромисс между простотой вычисления объек та и мощностью класса функций, которые этот объект обслуживает. В работах В.Ф. Демьянова и А.М. Рубинова было введено понятие квази дифференциала, позволившее получать положительно однородные ап проксимации функции в окрестности точки. Квазидифференциалы яви лись полезным объектом для исследования негладких функций - с их помощью удалось выразить условия экстремума, находить направления спуска и подъема, а следовательно и строить численные методы опти мизации. Но, как выяснилось, квазидифференциальное отображение не является непрерывным, из-за чего возникают трудности со сходимостью численных методов, построенных на его базе. Для того, чтобы избавиться от этого недостатка, были введены кодифферернциалы, позволившие по лучать аппроксимации функции в окрестности точки в виде суммы мак симума и минимума аффинных функций. Кодифференциалы сохранили преимущества квазидифферернциалов (они так же просто вычисляют ся, множество кодифференцируемых функций совпадает с множеством квазидифференцируемых функций), но ради непрерывности пришлось пожертвовать положительной однородностью. Введение кодифференци алов позволило строить более совершенные численные методы. Следу ющим естественным желанием было расширить класс изучаемых функ ций и попытаться применить хорошо зарекомендовавший себя аппарат кодифференциального исчисления к более широкому классу функций.







Далее были введено понятие кодифференциалов второго порядка, изу чением которых занималась Э. Капрари. Все это привело к появлению новых инструментов в негладком анализе – коэкзостеров и, явившихся промежуточным этапом на пути к ним, экзостеров. Б.Н. Пшеничным бы ло введено определение верхних выпуклых и нижних вогнутых аппрокси маций (в.в.а. и н.в.а.). А.М. Рубиновым было предложено рассматривать исчерпывающие семейства в.в.а и н.в.а. Демьянов В.Ф. сформулировал определения экзостеров (являющихся обобщением квазидифференциа лов), а затем и коэкзостеров (являющихся обобщением кодифференциа лов) и развил теорию этих объектов.

Целью диссертации является дальнейшее развитие теории экзо стеров и коэкзостеров и их применение к решению новых возникающих задач.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что она яв ляется дальнейшим развитием исследований в области аппроксимаций негладких функций с помощью аппарата экзостеров и коэкзотеров, впер вые условия экстремума выписываются в терминах несобственных экзо стеров и коэкзостеров. Эти результаты обобщают результаты В.А. Ро щиной. Кроме того, в диссертации обобщается теорема А.М. Рубинова о существовании экзостеров.

Практическая значимость работы определяется тем, что в ней получены условия экстремума, которые могут быть использованы при конструировании новых оптимизационных алгоритмов. Кроме того, как уже упоминалось, класс функций, имеющих коэкзостеры, является бо лее широким, чем класс кодифференцируемых функций. Поэтому приве денное в работе обобщение численного метода мимнимизации негладких функций представляет отдельный интерес.

Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту:

доказано существование обобщенных экзостеров для произвольных функций, заданных и ограниченных на единичной сфере, получены новые условия экстремума в терминах несобственных эк зостеров, получены условия экстремума кусочно-линейных функций, выведены условия экстремума в терминах коэкзостеров, с помощью аппарата коэкзостеров обобщен метод кодифференци ального спуска для минимизации негладких функций, и доказана его сходимость, построено исчисление коэкзостеров второго порядка.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, до кладывались и обсуждались на II международной конференции Con trol and Optimization with Industrial Applications (Баку, 2-4 июня г.), Всероссийской конференции Устойчивость и процессы управле ния, посвященной 80-летию В.И. Зубова (г. Санкт-Петербург, 1-2 июля 2010 г.), Всероссийской конференции Математическое программирова ние и приложения Уро РАН (Екатеринбург, 28 февраля - 2 марта г.), XXXVIII, XXXIX, XL, XLI конференциях Процессы управления и устойчивость факультета прикладной математики – процессов управ ления (г. Санкт-Петербург, апрель 2007 г., апрель 2008 г., апрель 2009 г., апрель 2010 г.), а также на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления (факультет прикладной математики – процессов управления, СПбГУ).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 8 печат ных работ, две из которых в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Вве дения, четырех глав, заключения, списка обозначений и списка литера туры. Определения, утверждения, теоремы, примеры, замечания нуме руются в соответствии с главой, параграфом, в которых они находят ся. Следствия нумеруются в соответствии с теоремами, к которым они относятся. Объем работы составляет 112 страниц. Список литературы включает 73 наименований, 17 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении приводится обзор литературы по теме работы, обсуж дается актуальность исследования, его теоретическая и практическая ценность, научная новизна.

В первой главе даются основные определения из выпуклого ана лиза, кратко излагаются некоторые сведения из негладкого анализа, ис пользуемые в следующих главах. Здесь также дается определение про изводных Дини и Адамара и формулируются условия экстремума в тер минах этих производных. Пусть f : X R, где X Rn открытое множество. Функция f называется дифференцируемой по направлениям по Дини (D-д.п.н.) в точке x X, если для всех g Rn существует конечный предел fD (x, g) = lim [f (x + g) f (x)].

В этом случае имеет место разложение f (x + g) = f (x) + fD (x, g) + ox (g), где ox (g) = 0 g Rn.

lim (1) Функция f называется дифференцируемой по направлениями по Адама ру (H-д.п.н.) в точке x X, если для всех g Rn существует конечный предел [f (x + g ) f (x)].

fH (x, g) = lim [,g ][+0,g] В этом случае имеет место разложение f (x + g) = f (x) + fH (x, g) + ox (g), где ox (g) = 0 g Rn.

lim (2) ||g||0 ||g|| Для того чтобы точка x была точкой глобального или локального минимума f на X, необходимо, чтобы fD (x, g), fH (x, g) 0 g Rn.

Точки, в которых выполнено необходимое условия минимума, называют ся inf-стационарными. Условие fH (x, g) 0 g Rn является доста точным условием строгого локального минимума функции f на X.

Для того чтобы точка x была точкой глобального или локального максимума f на X, необходимо, чтобы fD (x, g), fH (x, g) 0 g Rn.

Точки, в которых выполнено необходимое условия максимума, называ ются sup-стационарными. Условие fH (x, g) 0 g Rn является до статочным условием строгого локального максимума функции f на X.

В главе 2 вводится понятие обобщенных экзостеров: пусть f : X R, где X Rn открытое множество. Будем говорить, что у функции f в точке x существует верхний экзостер E (x) в смысле Дини, если имеет место разложение f (x + g) = f (x) + inf sup(v, g) + ox (g), CE (x) vC где ox (g) удовлетворяет (1), a E (x) – семейство выпуклых множеств в Rn. Если ox (g) удовлетворяет соотношению (2), то E (x) будем назвать верхним экзостером в смысле Адамара.

Будем говорить, что у функции f в точке x существует нижний эк зостер E (x) в смысле Дини, если справедливо разложение f (x + g) = f (x) + sup inf (v, g) + ox (g), CE (x) vC где ox (g) удовлетворяет (1), a E (x) – семейство выпуклых множеств в Rn. Если ox (g) удовлетворяет соотношению (2), то E (x) будем назвать нижним экзостером в смысле Адамара.

Особо обсуждаются условия, при которых справедливы разложения f (x + g) = f (x) + min max(v, g) + ox (g), CE (x) vC f (x + g) = f (x) + max min(v, g) + ox (g), CE (x) vC а верхний E (x) и нижний E (x) экзостеры представляют собой семей ство выпуклых компактов из Rn.

Доказывается теорема существования обобщенных экзостеров:

Теорема 1 Пусть функция h(g) задана и ограничена на единичной сфе ре S = g Rn ||g|| = 1. Для каждого p S строим множество C(p) = v Rn (v, p) h(p).

Тогда имеет место представление h(g) = inf sup (v, g) = inf sup(v, g), CE (x) vC pS vC(p) где E = C(p) p S.

Теорема 2 Пусть функция h(g) задана и ограничена на единичной сфе ре S = g Rn ||g|| = 1. Для каждого p S строим множество C(p) = v Rn (v, p) h(p).

Тогда имеет место представление h(g) = sup inf (v, g) = sup inf (v, g), CE (x) vC pS vC(p) где E = C(p) p S.

Далее выписываются условия экстремума в терминах несобственных экзостеров. Эти результаты обобщают результаты В.А. Рощиной.

Теорема 3 Для того чтобы h(g) = max min(v, g) 0 для любого CE (x) vC g R, где E (x) – семейство выпуклых компактов в Rn, необходимо и n достаточно, чтобы в замкнутом положительном полупространстве, порожденном произвольной гиперплоскостью, проходящей через нуль, всегда лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства E (x), т. е. для любого g Rn должно существовать C E (x) такое, что для всех v C справедливо неравенство (v, g) 0.

Теорема 4 Для того чтобы h(g) = sup inf (v, g) 0 для любого CE (x) vC g Rn \ {0n }, где E (x) – семейство выпуклых множеств в Rn, необ ходимо, а если каждое из множеств, входящих в E (x), замкнуто и ограничено, то и достаточно, чтобы в открытом положительном по лупространстве, порожденном произвольной гиперплоскостью, прохо дящей через нуль, всегда лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства E (x), то есть для любого g Rn \ {0n }, должно существо вать C E (x) такое, что для любого v C будет (v, g) 0.

min max(v, g) 0 для любого Теорема 5 Для того чтобы h(g) = CE (x) vC g Rn, где E (x) – семейство выпуклых компактов в Rn, необходимо и достаточно, чтобы в замкнутом отрицательном полупространстве, порожденном произвольной гиперплоскостью, проходящей через нуль, всегда лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства E (x), т. е. для любого g Rn должно существовать C E (x) такое, что для всех v C справедливо неравенство (v, g) 0.

Теорема 6 Для того чтобы h(g) = inf sup(v, g) 0 для любого CE (x) vC g Rn \ {0n }, где E (x) – семейство выпуклых множеств в Rn, необ ходимо, а если каждое из множеств, входящих в E (x), замкнуто и ограничено, то и достаточно, чтобы в открытом отрицательном по лупространстве, порожденном произвольной гиперплоскостью, прохо дящей через нуль, всегда лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства E (x), то есть для любого g Rn \ {0n } должно существо вать C E (x) такое, что для любого v C (v, g) 0.

Очевидно, если h(g) – производная Дини, то теорема 3 (5) дает необ ходимые условия локального минимума (максимума) в терминах нижне го (верхнего) экзостера.

Если же h(g) – производная Адамара, то теорема 4 (6) дает доста точные условия строгого локального минимума (максимума) в терминах нижнего (верхнего) экзостера.

Далее показывается разрывность экзостерного отображения. Это оказывает отрицательное влияние на сходимость численных методов, по строенных с использованием условий экстремума в терминах экзостеров.

Чтобы обойти указанные трудности, в главе 3 вводится понятие коэк зостера, позволяющее выделить класс функций, имеющих непрерывное коэкзостерное отображение. Итак, пусть x X и функция f непрерыв на в точке x. Будем говорить, что в точке x у функции f существует верхний коэкзостер в смысле Дини, если имеет место разложение f (x + g) = f (x) + min max [a + (v, g)] + ox (g), (3) CE(x) [a,v]C где E(x) – семейство выпуклых компактов в Rn+1, а ox (g) удовлетворяет (1). Если ox (g) в (3) удовлетворяет (2), то будем говорить, что в точке x у функции f существует верхний коэкзостер в смысле Адамара.

Множество E(x) называется верхним коэкзостером функции f в точ ке x.

Будем говорить, что в точке x у функции f существует нижний ко экзостер в смысле Дини (Адамара), если имеет место разложение f (x + g) = f (x) + max min [b + (v, g)] + ox (g), (4) CE(x) [b,w]C где E(x) – семейство выпуклых компактов в Rn+1, а ox (g) в (4) удо влетворяет (1) ((2)). Множество E(x) называется нижним коэкзостером функции f в точке x.

Затем формулируются и доказываются необходимые условия экстре мума в терминах коэкзостеров.

Теорема 7 Пусть у функции f существует верхний коэкзостер в точке x. Для того чтобы x была точкой минимума функции f на Rn, необходимо, чтобы C E (x ), 0n+1 C где E (x) = {C E(x) | max a = 0}.

[a,v]C Теорема 8 Пусть у функции f существует нижний коэкзостер в точке x. Для того чтобы x была точкой максимума функции f на Rn, необходимо, чтобы C E (x ), 0n+1 C где E (x) = {C E(x) | min b = 0}.

[b,w]C Далее выводятся новые условия экстремума кусочно-линейных функ ций и на их основе получаются условия экстремума в терминах коэкзо стеров.

Теорема 9 Если функция f имеет в точке x0 нижний коэкзостер E(x0 ) и g L C E(x0 ) : (z, g) 0 z C, где L = {[1, g] Rn+1 | g Rn, ||g||, 0}, то точка x0 является inf-стационарной.

Теорема 10 Если функция f имеет в точке x0 нижний коэкзостер E(x0 ) и S(C) Rn+1, + CE(x) где S(C) = {g Rn+1 | (g, z) 0 z C}, Rn+1 = {[a, v] Rn+1 | a 0, v B (0)}, + а 0, то точка x0 является inf-стационарной.

Теорема 11 Если функция f имеет в точке x0 верхний коэкзостер E(x0 ) и g L C E(x) : (z, g) 0 z C, где L = {[1, g] Rn+1 | g Rn, ||g||, 0}, то точка x0 является sup-стационарной.

Теорема 12 Если функция f имеет в точке x0 верхний коэкзостер E(x0 ) и K(C) Rn+1, + CE(x) где K(C) = {g Rn+1 | (g, z) 0 z C}, Rn+1 = {[a, v] Rn+1 | a 0, v B (0)}, + а 0, то точка x0 является sup-стационарной.

Предлагается численный метод наискорейшего коэкзостерного спус ка, обобщающий метод наискорейшего кодифференциального спуска предложенный В.Ф. Демьяновым, и доказывается его сходимость.

Пусть у функции f : Rn R в точке x имеет место разложение f (x + ) = f (x) + min max [a + (v, )] + ox (), [a,v]C (x) где ox () = 0 для любого Rn, lim – множество индексов из некоторого пространства. C (x) для любого – выпуклые компакты в Rn+1. Множество E(x) = C (x) есть верхний коэкзостер в смысле Дини функции f в точке x.

Выберем некоторые µ 0, 0. Пусть построено xk. Если в точке xk выполнено необходимое условие минимума (см. теорему 7) 0n+1 C (xk ) для любых : max a = 0, то xk – inf-стационарная точка и [a,v]C (xk ) процесс завершается. В противном случае существует, такое что max a = 0, но 0n+1 C (xk ). Определим / [a,v]C (xk ) µ (xk ) = : a µ, 0n+1 C (xk ).

max / [a,v]C (xk ) min ||z||, dk = max (5) µ (xk ) zC (xk ) µ (xk ) = : a µ, min ||z|| dk.

max [a,v]C (xk ) zC (xk ) Очевидно, множество µ (xk ) не пусто, так как ему всегда принадле жит индекс множества, на котором достигается максимум dk из (5). Для каждого µ (xk ) строим k R, zk Rn, min ||z|| = ||z k ||, z k = {k ;

zk }, zC (xk ) и определяем следующую итерацию так:

min f (xk zk ) = f (xk k zk ), f (xk+1 ) = min µ (xk ) xk+1 = xk k zk.

При этом f (xk+1 ) f (xk ).

Теорема 13 (о сходимости метода) Пусть множество P = {x Rn f (x) f (x0 )} ограничено, x – предельная точка последова тельности {xk }, функция ox () = o(x, ) удовлетворяет условию o(x, ) = 0 равномерно из некоторой окрестности x по из lim S = { Rn, |||| = 1}. Предположим также, что отображение C (x) непрерывно в метрике Хаусдорфа для любого. Тогда x – inf-стационарная точка.

Главе 4 посвящена изучению коэкзостеров второго порядка.

Рассмотрим функцию f : X R, X Rn – открытое множество.

Будем говорить, что в точке x функция f имеет верхний коэкзостер (в смысле Дини) второго порядка, если справедливо представление a + (v, ) + (, A) + o(2 ), (6) f (x + ) = f (x) + min max CE(x) [a,v,A]C где o(()2 ) = 0 Rn, lim E(x) – семейство выпуклых компактов в R Rn Rnn. Если в (6) o(||||2 ) lim = 0, ||||0 |||| то говорят, что в точке x функция f имеет верхний коэкзостер (в смысле Адамара) второго порядка.

Множество E(x) называется верхним коэкзостером (в смысле Дини или Адамара) второго порядка функции f в точке x. Аналогично, будем говорить, что в точке x функция f имеет нижний коэкзостер (в смысле Дини) второго порядка, если справедливо представление a + (v, ) + (, A) + o(2 ), (7) f (x + ) = f (x) + max min CE(x) [a,v,A]C o(()2 ) = 0, для всех Rn, E(x) – семейство выпуклых где lim o(||||2 ) n nn компактов в R R R. Если в (7) lim = 0, то говорят, ||||0 |||| что в точке x функция f имеет нижний коэкзостер (в смысле Адамара) второго порядка. Множество E(x) называется нижним коэкзостером (в смысле Дини или Адамара) второго порядка функции f в точке x.

Выводится исчисление коэкзостеров второго порядка и исследуется вопрос их преобразования – то есть перехода от (6) к (7) и наоборот.

Теорема 14 Пусть для функции f1 и f2 существуют коэкзостеры второго порядка E(f1 ) = [E 1, E 1 ] и E(f2 ) = [E 2, E 2 ], соответственно, тогда для функции F = 1 f1 + 2 f2 существует коэкзостер второго порядка E(F ) = [E, E], причем E(F ) = 1 E(f1 ) + 2 E(f2 ) Теорема 15 Пусть для функций f1, f2 существуют коэкзостеры вто рого порядка E(f1 ) = [E 1, E 1 ] и E(f2 ) = [E 2, E 2 ], соответственно, то гда для функции F = f1 · f2 также существует коэкзостер второго порядка E = [E, E], причем E = R(E 1 + E 2 ) + E + f1 E 2 + f2 E 1, E = R(E 1 + E 2 ) + E + f1 E 2 + f2 E 1, где R удовлетворяет соотношению |i | = |ai + (vi, ) + 2 (Ai, )| R, E = C C = [a, v, A], a = a1 a2 + R(a1 + a2 );

v = (v1 + v2 )R + a1 v2 + T + a2 v1 ;

A = A1 (a2 + R) + A2 (a1 + R) + (v1, v2 ), [a1, v1, A1 ] E 1, [a2, v2, A2 ] E 2, E= C C = [a, v, A] a = a1 a2 + R(a1 + a2 );

v = (v1 + v2 )R + a1 v2 + T + a2 v1 ;

A = A1 (a2 + R) + A2 (a1 + R) + (v1, v2 ), [a1, v1, A1 ] E 1, [a2, v2, A2 ] E 2.

Теорема 16 Пусть у функции f существует коэкзостер второго порядка E(f ) = [E(f ), E(f )]. Тогда для функции F (x) = f (x) также существует коэкзостер второго порядка E(F ) = [E(F ), E(F )], причем E(f ) E(F ) = + 3 (2RE(f ) + E), f 2 (x) f (x) E(f ) E(F ) = + 3 (2RE(f ) + E), f 2 (x) f (x) где R удовлетворяет соотношению || = |a + (v, ) + 2 (A, )| R, E = {C C = [a, v, A] a = a(a+2R);

v = 2v(a+R);

A = A(2a+R)+(v, v T )} [a, v, A] E(f ), E = {C C = [a, v, A] a = a(a+2R);

v = 2v(a+R);

A = A(2a+R)+(v, v T )} [a, v, A] E(f ).

Теорема 17 Пусть для функции fi, i I существуют коэкзостеры E(fi ) = [E i ;

E i ]. Тогда 1) для функции F1 (x) = max fi существует нижний коэкзостер iI R(x) = {i I fi = F1 }, E1 = Ei iR(x) 2) для функции F2 (x) = min fi существует верхний коэкзостер iI Q(x) = {i I fi = F1 }.

E2 = Ei iQ(x) В Заключении дается краткий обзор всей работы с перечислением полученных результатов и обсуждением направлений дальнейших иссле дований.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК рецен зируемых научных журналов 1. Аббасов М.Э. Условия экстремума в терминах несобственных эк зостеров // Вестн. С.-Петеpб. ун-та, Сеp. 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления, Вып. 2, 2011. С. 3–8.

2. Аббасов М.Э., Демьянов В.Ф. Условия экстремума негладкой функции в терминах экзостеров и коэкзостеров. // Труды института ма тематики и механики УрО РАН, Т. 15, 2009. С. 10-19.

Публикации в других изданиях 3. Аббасов М.Э. Исчисление коэкзостеров второго порядка // Про цессы управления и устойчивость: Труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш.

Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2008. С. 9-14.

4. Аббасов М.Э. Метод минимизации первого порядка в негладком анализе // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й междуна родной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В.

Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010.

С. 9-13.

5. Аббасов М.Э. Нахождение стационарных точек функций, допуска ющих неоднородные аппроксимации приращения // Тез. докл. Всеросс.

конф. Устойчивость и Процессы Управления, СПб, СПбГУ ф-т ПМ-ПУ, 2010. С. 191-192.

6. Аббасов М.Э. Необходимые условия минимума в терминах коэк зостеров // Процессы управления и устойчивость: Труды 38-й между народной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А.

В. Платонова, Н. В. Смирнова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. С.

9–13.

7. Аббасов М.Э. Преобразование коэкзостеров второго порядка // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной на учной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 9-13.

8. Аббасов М.Э. Условия экстремума в терминах несобственных экзо стеров // Информационный бюллетень АМП, N 12 (Тез. докл. Всеросс.

конф. МпиП), Екатеринбург, Уро РАН, 2011. С. 17-18.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.