авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Существенная размерность и бирациональные инварианты алгебраических торов

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КРУТИКОВ Юрий Юрьевич

СУЩЕСТВЕННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ

ИНВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ

01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии механико–математического факультета Самарского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ВОСКРЕСЕНСКИЙ Валентин Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, член корреспондент РАН ПАНИН Иван Александрович (Санкт-Петербургское отделение Математическо го института им. В.А. Стеклова РАН) кандидат физико-математических наук, доцент ЛУЗГАРЕВ Александр Юрьевич (Санкт-Петербургский государственный универ ситет)

Ведущая организация: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 20 года в ча сов на заседании совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по ад ресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горь кого Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Защита состоится по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, комн. 311 (помещение ПОМИ РАН).

Автореферат разослан 20 года.

Ученый секретарь диссертационного совета В.М. Нежинский.

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Алгебраический тор это один из ба зовых элементов структурной теории алгебраических групп. Если основное поле является алгебраически замкнутым, то теория алгебраических торов тривиальна. Все меняется при рассмотрении алгебраических торов над неза мкнутым полем. Изучение таких торов действительно многогранно, так как приводит к постановке комбинаторных, алгеброгеометрических и арифмети ческих задач. В данной работе мы затрагиваем лишь малую часть этой об ласти математического знания. Более конкретно, мы ведем исследования в двух направлениях: первое из них классическая проблема бирациональ ной классификации алгебраических торов, второе проблема вычисления существенной размерности линейных алгебраических групп. Интерес к про блеме рациональности алгебраических торов, определенных над незамкну тым полем, не ослабевает уже более сорока лет. Эта проблема почти всегда редуцируется к вычислению основного бирационального инварианта алгебра ического тора T. Один из важных результатов В.Е. Воскресенского состоит в том, что тривиальность этого инварианта равносильна стабильной рацио нальности алгебраического тора. Уже в момент появления этого результата была высказана гипотеза, что стабильно рациональный тор является рацио нальным над полем определения. В недавно вышедшей монографии Воскре сенского представлено доказательство этой давно стоявшей проблемы. Заме тим, что данный результат имеет весьма интересное прикладное значение в области торической криптографии: на базе рациональных торов возможно построение криптосистем с очень хорошими параметрами.

Существует несколько путей исследования рациональности алгебраиче ских торов. Один из них связан с рассмотрением максимальных торов в связ ных полупростых алгебраических группах. Известно, что группа разложения gen общего тора Tgen (определенного над полем функций многообразия всех максимальных торов) лежит между группой Вейля и группой автоморфизмов системы корней: W (R) gen A(R). Максимальный k-тор T G называ ется тором без аффекта, если = gen. Бирациональная геометрия торов без аффекта в полупростых группах стала изучаться более четверти века назад.

В пионерской работе данного направления В.Е. Воскресенский и Б.Э. Куняв ский разобрали случаи максимальных торов без аффекта в присоединенных и односвязных классических группах. Их результаты получили обобщение в работе А.А. Клячко, в которой он установил выполнение принципа Хассе и слабой аппроксимации для максимальных торов без аффекта в полупростых алгебраических группах, определенных над полем алгебраических чисел сле дующих типов: внутренние формы Шевалле, односвязные группы, присоеди ненные группы и простые группы. Обе эти работы в основном посвящены вы числению группы H 1 (k, Pic X), которая является бирациональным инвариан том k-тора T. Здесь X это гладкая проективная модель тора T. Напомним, что всякий k-тор T с минимальным полем разложения L может быть вложен в гладкое проективное k-многообразие X, тогда X = X k L и есть проек тивная модель тора T (такая проективная модель для тора существует над любым полем). Когомологический бирациональный инвариант H 1 (k, Pic X) имеет важное значение, так как вычисление этой группы позволяет устано вить выполнение принципа Хассе и слабой аппроксимации, а значит, имеет важное значение не только для бирациональной геометрии алгебраических торов, но и для их арифметических приложений. Затем исследователи скон центрировали свое внимание на проблеме рациональности торов без аффекта в полупростых группах. К настоящему времени эта проблема полностью ре шена. В совместной работе А. Кортелла и Б.Э. Кунявского разобраны все торы без аффекта в простых односвязных и присоединенных группах и уста новлена нерациональность этих торов за исключением пяти рациональных случаев: rk G 2;



G внутренняя форма присоединенной группы типа Al ;

G форма присоединенной группы типа A2l ;

G форма присоединенной группы типа Bl ;

G форма односвязной группы типа Cl. И наконец, полный ответ (включая промежуточные группы) получен в работе Н. Лемир, В.Л.

Попова и З. Райхштейна "On the Cayley degree of an algebraic group". Тем не менее на данный момент почти нет информации о когомологических бираци ональных инвариантах H 1 (F, Pic X) для нерациональных торов без аффекта, где F L промежуточное расширение поля k. В данной работе в главе мы вычисляем все когомологические бирациональные инварианты для тора без аффекта в полупростой исключительной группе типа F4.

Другой подход к изучению рациональности алгебраических торов это последовательное изучение торов размерности 1, 2, и т.д. Как известно, все алгебраические торы размерности один и два являются рациональными над полем определения. Первый пример нерационального алгебраического тора (трехмерный тор с биквадратичным полем разложения) был найден К. Ше валле. Б.Э. Кунявский же получил полную бирациональную классификацию трехмерных алгебраических торов. Уже по поводу четырехмерных торов ма ло что известно. Настоящая работа является первым систематическим шагом в получении бирациональной классификации четырехмерных торов.





Кроме этого, диссертация посвящена изучению существенной размерно сти алгебраического тора. Для исследователя, независимо от области иссле дования понятие параметра является базовым. Более того, большой инте рес вызывает любой способ уменьшения количества параметров, определяю щих изучаемую систему. В середине 90-х годов прошлого века Дж. Булер и З. Райхштейн ввели понятие существенной размерности для алгебраических групп над замкнутым полем характеристики 0: неформально говоря, суще ственная размерность равна минимальному количеству параметров, необхо димых для описания данной алгебраической структуры. Они также устано вили связь теории существенной размерности с 13-ой проблемой Гильберта.

Позже в ситуации произвольного поля понятие существенной размерности, используя функториальный подход, дал А.С. Меркурьев. Несмотря на отно сительно простую структуру алгебраического тора, вопрос вычисления су щественной размерности этой алгебраической группы почти не был затронут математиками. Первое значительное продвижение в этом направлении было достигнуто в недавно вышедшем препринте Р. Лотшера, М. МакДональда, А.

Майера и З. Райхштейна "Essential p-dimension of algebraic tori". Настоящая же работа связана с вычислением существенной размерности алгебраических торов малой размерности и получением верхней границы существенной раз мерности для произвольных алгебраических торов.

Цель работы. Целями работы являются изучение бирациональной гео метрии четырехмерных алгебраических торов, а также нахождение границ существенной размерности алгебраических торов.

Методы исследования. Основным инструментом в исследованиях яв ляются методы целочисленных представлений групп Галуа и классификация соответствующих целочисленных решеток. Важный аппарат в исследовании – это группы Пикара соответствующих моделей и их группы когомологий. В работе использован алгебраический метод построения вялых (канонических) резольвент модуля Галуа.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, получен ные автором лично.

Основные результаты. В диссертации получены следующие результа ты:

i. Вычислены когомологические бирациональные инварианты четырех мерных алгебраических торов. Построены вялые резольвенты. Вычислены бирациональные инварианты максимального тора без аффекта в связной по лупростой группе типа F4.

ii. Получена оценка существенной размерности произвольных алгебраиче ских торов, вычислена существенная размерность торов малой размерности.

iii. Получена классификация аффинных представлений трехмерных ал гебраических торов.

Научная новизна. Все представленные в диссертации результаты явля ются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретиче ский характер. Все основные результаты составляют решение задач, имею щих существенное значение для исследования структурной теории и бираци ональной геометрии алгебраических торов. Результаты могут представлять интерес для специалистов Московского, Санкт-Петербургского, Саратовско го, Самарского государственных университетов и Математического институ та им. В.А. Стеклова РАН.

Апробация результатов. Основные научные и практические результа ты исследований по теме диссертации докладывались на научных семинарах кафедры алгебры и геометрии Самарского государственного университета, на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (2007, Самара), на Международной алгебра ической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фад деева (2007, Санкт-Петербург), на Международной алгебраической конфе ренции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша (2008, Москва), на летней школе-конференции по проблемам алгебраической геометрии для молодых математиков европейской части России (2008, Яро славль), на Международной научной конференции, посвящ нной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Вагнера (2008, Саратов), на летней школе конференции для молодых математиков (2009, Самара), на Санкт-Петербург ском алгебраическом семинаре им. Д.К. Фаддеева (руководитель проф.

А.В. Яковлев, 2009, Санкт-Петербург).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 2 статьи в журнале из перечня, рекомендованного ВАК, и 5 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка используемой литературы, содержащего 38 наименований, и трех приложений. Начиная с первой, главы разделены на пункты. В каждой главе применены одна нумерация для определений, теорем, следствий, за мечаний и алгоритмов и отдельная нумерация для формул. Для нумерации примеров и таблиц используются сквозные нумерации. Общий объем диссер тации 102 страницы без приложений, 119 страниц с приложениями.

Содержание диссертации Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, фор мулируются задачи, решаемые в диссертации, и дается обзор используемых методов и основных результатов диссертации.

Глава 1 носит подготовительный характер. В ней собран весь необходи мый материал из теории функторов и групповых схем, а также теории суще ственной размерности, требуемый в дальнейшем. Глава содержит краткое из ложение некоторых результатов, касающихся аффинных схем, форм и одно мерных когомологий алгебраических многообразий, группы Пикара неособой проективной модели и основного бирационального инварианта линейной ал гебраической группы, существенной размерности линейных алгебраических групп.

В частности, в этой главе дается определение основного объекта исследо вания настоящей работы алгебраического тора как аффинной k-схемы:

T = Spec(L[Zn ]), где T алгебраический тор, определенный над произвольным полем k, L расширение Галуа поля k с конечной группой, называемое полем разло жения тора T, Zn -модуль. Подобное определение устанавливает двой ственность категорий k-торов, разложимых над L, и категории -модулей конечного Z-ранга без кручения (решеток Галуа).

Для всякого -модуля T можно построить точную последовательность 0 T S N 0, () называемую вялой резольвентой модуля T, где S пермутационный -мо вялый, то есть удовлетворяющий условию H 1 (, N ) = 0 для дуль, а N любой подгруппы группы. Модуль N, называемый модулем Пикара, опре деляемый однозначно с точностью до добавления и сокращения на пермута ционные прямые слагаемые, то есть с точностью до подобия, был введен и изучен В.Е. Воскресенским, поместившим точную последовательность () на титульном листе своей книги "Алгебраические торы". Класс подобия p(T ) вя лого модуля N является бирациональным инвариантом тора T и называется классом Пикара тора T, так как имеет своим представителем геометрический модуль Пикара Pic X проективной неособой модели X T тора T. Наряду с основным бирациональным инвариантом p(T ), алгебраический тор имеет H 1 (, N ), и производные когомологические бирациональные инварианты где является подгруппой группы.

Также в этой главе приведено функториальное понятие существенной раз мерности алгебраической группы. После определения существенной размер ности для ковариантых функторов из категории расширений поля k в малую категорию множеств существенная размерность edk (G) произвольной алгеб раической группы G над полем k определяется следующим образом. Пусть H 1 (K, G) := H 1 (K, G(Ks )), где K расширение поля k, Ks его сепа рабельное замыкание и K = Gal(Ks /K). Тогда, H 1 (, G) является кова риантым функтором из категории расширений поля k в малую категорию множеств, и edk (G) = edk (H 1 (, G)).

Глава 2 посвящена вычислению когомологических бирациональных ин вариантов H 1 (k, Pic X), здесь, как и ранее, X это проективная модель тора T. Первый этап решения этой задачи это построение канонической резоль венты для алгебраического тора. Мы использовали алгебраический метод по строения, предложенный Колье-Теленом и Сансюком. Пусть имеем эпимор физм -модулей S T, где S некоторый пермутационный -модуль.

Рассмотрим гомоморфизмы S (T ) для всех подгрупп группы.

Добавляя, если необходимо, прямые пермутационные слагаемые к S, можно добиться того, что данные отображения станут сюрьективными для любой подгруппы. Тогда рассмотрим точную последовательность:

0 0 N S T 0, () которая в свою очередь индуцирует точную последовательность когомологий 0 0 (N ) S (T ) H 1 (, N ) 0.

А это в свою очередь будет означать, что H 1 (, N ) = 0,. Так как H 1 (, N ) = H 1 (, N ) = 0, то, обратив по двойственности точную последо вательность (), мы получим каноническую резольвенту.

Реализация этого метода привела к алгоритму оптимального перебора подгрупп, результат работы этого алгоритма это список тех подгрупп в группе, для которых достаточно проверить условие сюрьективности отоб ражения S (T ), чтобы получить вялую резольвенту.

Пусть T произвольный четырехмерный k-тор. Следуя определению то ра как аффинной групповой k-схемы, тор T задается двумя объектами: мини мальным полем разложения L и действием = Gal(L/k) на группе характе ров тора T, то есть представлением : GL(4, Z) (образ () также будем обозначать, так как из контекста можно понять, о какой группе идет речь).

Группа называется группой разложения тора T, она является конечной подгруппой в GL(4, Z). Согласно теореме Жордана, содержится в одной из максимальных конечных подгрупп W в GL(4, Z). Таких подгрупп конечное число;

все они описаны С.С. Рышковым. Если мы построим каноническую резольвенту с вялым модулем N для алгебраического тора с максимальной группой разложения, то ограничение на подгруппу даст нам каноническую резольвенту и для тора T, а значит, мы вычислим и H 1 (, N ). Таким образом, задача вычисления H 1 (k, Pic X) для произвольного четырехмерного k-тора сведена к вычислению таблиц инвариантов H 1 (, N ), где произвольная подгруппа в максимальной конечной подгруппе в GL(4, Z). Заметим, что нам достаточно рассмотреть неразложимые максимальные подгруппы, так как в противном случае рассматриваемый тор T является прямым произведением торов меньшей размерности, для которых бирациональная классификация уже проведена. В обозначениях С.С. Рышкова максимальные конечные под группы в GL(4, Z) являются группами автоморфизмов следующих квадра тичных форм:

C4 : x2 + x2 + x2 + x2, 1 2 3 S4 : x 2 + x 2 + x 2 + x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4, 1 2 3 P4 : 4x2 + 4x2 + 4x2 + 4x2 2x1 x2 2x1 x3 2x1 x4 2x2 x3 2x2 x4 2x3 x4, 1 2 3 T : 4x2 + 4x2 + 4x2 + 4x2 + 2x1 x2 4x1 x3 4x1 x4 4x2 x3 4x2 x4 + 2x3 x4, 1 2 3 B : x2 + x2 + x2 + x2 x1 x2 x3 x4, 1 2 3 Q4 : x2 + x2 + x2 + x2 + x1 x2 x1 x3 x1 x4 x2 x3 x2 x4.

1 2 3 Торы с этими группами разложения будем обозначать так же, как обознача ются сами квадратичные формы, а сами группы разложения W0, W S, W P, W T, W B и W Q соответственно. Далее мы рассматриваем случай за случаем.

Торы C4 и S4 рациональны, это следует из результатов Воскресенского и совместного результата Воскресенского и Кунявского. Для торов P4, T, B бы ли построены канонические резольвенты для силовских нециклических под групп в соответствующих группах разложения. Несмотря на то, что основной бирациональный инвариант этих торов мог оказаться ненулевым (например, для P4 это следует из результатов Л. Ле Брюна), когомологические инвариан ты оказались тривиальными. Наконец, рассмотрим тор Q4. Этот тор является максимальным тором без аффекта в связной полупростой группе типа F4. Это замечание позволило использовать комбинаторику группы Вейля W (F4 ) для упрощения вычислений.

Во-первых, мы предложили следующий метод перечисления элементов W (F4 ) с помощью четырехмерных массивов. Так как Группа W (F4 ) сопря жена над Q группе ортогональных матриц O(4, Q), более точно, W (F4 ) = 1 0 0 1/ 0 1 0 1/ = T 1 O(4, Q) T, где T = матрица перехода от базиса 0 0 1 1/ 0 0 0 1/ стандартной решетки L0 к базису стандартной решетки L2. В свою очередь группа O(4, Q) в качестве нормальной подгруппы содержит группу O(4, f0 ) целочисленных автоморфизмов квадратичной формы f0 = x2 + x2 + x2 + x2.

1 2 3 Z4, причем Эта группа является полупрямым произведением S4 1 1 1 1 1 1 ( ) O(4, Q) = O(4, f0 ),, где = 1 1 1 1.

1 1 Со всякой матрицей ||aij || из O(4, f0 ) можно биективно связать отображе ние : {1, 2, 3, 4} {±1, ±2, ±3, ±4} такое, что (k) = ik равно номе ру строки в k-ом столбце матрицы ||aij ||, содержащей ненулевой элемент, умноженному на знак этого элемента. Табличная запись отображения име ет вид. Если зафиксируем первую строку этой таблицы, i1 i2 i3 i то для задания достаточно записать вторую строку. По этой записи лег ко восстановить соответствующую матрицу из W (F4 ). Зафиксируем обозна чение для элемента W (F4 ) вида T 1 T, который нельзя представить 4 элементным массивом. В силу ( ) любой элемент W (F4 ) можно записать в виде · i, i = 0..2, где соответствует некоторому 4-элементному массиву.

Далее мы классифицировали все нециклические подгруппы в силовской 2-группе W (F4 ) с точностью до сопряжения, используя тот факт, что эта группа изоморфна D4 Z4. Мы построили каноническую резольвенту для тора Q4. Средствами го мологической алгебры мы вычислили когомологические инварианты этого тора для всех с точностью до сопряжения подгрупп группы W (F4 ). Наконец, собирая вместе все вычислительные результаты этой главы, а также резуль таты С.Ю. Попова о трехмерных алгебраических торах, получаем основную теорему 2.8.

Теорема 2.8. Пусть T четырехмерный алгебраический k-тор с группой разложения W, X гладкая проективная модель тора T, X = X ks. Тогда i. когомологический бирациональный инвариант H 1 (W, Pic X) = Z2 тогда и только тогда, когда i.i. тор T = T1 k T3, где T1 произвольный одномерный k-тор, а T трехмерный k-тор, группа разложения которого целочисленно эквивалентна одной из следующих групп:

1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1, 1 0 1, 0, 0 1 0, 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1, 1 0 0 0 1 1 1 или i.ii. группа W целочисленно эквивалентна одной из следующих групп в обозначениях замечания 2. Порядок подгруппы W Система образующих W є (1 234), (12 3 4) 1 (12 34), (1432) 2 (12 34), (1 23 4), (1432) 3 (143 2), (12 34) 4 (12 34), (1432), (1 23 4) 5 (1 4 32), (1 2 34) 6 (34 1 2), (12 34) 7 (143 2), (123 4), (12 34) 8 (2341), (1 23 4) 9 (34 1 2), (1432), (12 34) 10 (34 1 2), (1 234), (21 43) 11 (2341), (14 32) 12 (2341), (1432), (1 23 4) 13 (2431) ·, (1 234) 14 (2341), 15 (12 34) ·, (2341) 16 Таблица 8.

ii. когомологический бирациональный инвариант H 1 (W, Pic X) = Z2 Z тогда и только тогда, когда группа W целочисленно эквивалентна одной из следующих групп в обозначениях замечания 2. Порядок подгруппы W Система образующих W є (34 1 2), (2 1 43) 1 (2 4 31) ·, (3 412) 2 Таблица 9.

iii. в остальных случаях H 1 (W, Pic X) = 0.

Глава 3 посвящена оценке и вычислению существенной размерности ал гебраических k-торов. Если k это алгебраически замкнутое поле, то алгеб раический тор это специальная группа Серра, а значит, его существенная размерность равна 0. Мы рассматриваем случай произвольного поля k и ис пользуем функториальное определение существенной размерности алгебра ической группы, которое принадлежит А.С. Меркурьеву. Непосредственное применение определения существенной размерности приводит к верхней гра нице, которую мы обозначили ed(T ), для существенной размерности алгеб раического тора T.

Теорема 3.1. Пусть T алгебраический k-тор, тогда edk (T ) min dim(T1 ), (3.2) где минимум берется по всем точным последовательностям алгебраических k-торов 1 T S T1 1, где S квазиразложимый алгебраический тор.

Отметим, что имеются случаи, когда неравенство в теореме 3.1 строгое.

Опишем его. Пусть L6 /k циклическое расширение поля k, [L : k] = 6, 2 = Gal(L6 /k) =, = 1 и L2 = L, L3 = L. Рассмотрим 6 следующий k-тор T, заданный точной последовательностью N ·N 1 T RL2 /k (Gm ) RL3 /k (Gm ) 3 Gm 1, где N2 и N3 нормы расширений L2 /k и L3 /k, соответственно. Имеем edk (T ) = 0, а по теореме 3.1 ed(T ) = 1.

Далее мы предлагаем алгоритм вычисления ed(T ) для произвольного ал гебраического тора. После чего приводим тип алгебраических торов, для ко торых этот алгоритм дает точное значение существенной размерности.

Теорема 3.4. Если T = RM/F (Gm ) норменный F -тор, где F/k и M/F промежуточные сепарабельные расширения для расширения L/k и k F M L, тогда edk (RF/k (T )) = [F : k].

Эта теорема имеет важное следствие, которое позволяет получить ниж нюю оценку существенной размерности для достаточно широкого класса ал гебраических торов.

Следствие 3.5. Если алгебраический k-тор T допускает замкнутое вло жение в тор N = RF/k (RM/F (Gm )), где F/k, M/F конечные сепарабельные расширения полей и k F M L, то edk (T ) [F : k].

Далее мы рассматриваем торы малой размерности, используя их аффин ную реализацию. Так как чаще всего мы получаем верхнюю и нижнюю оцен ки edk (T ), то в силу неравенств для алгебраических k-торов max{edk (T1 ), edk (T2 )} edk (T1 T2 ) edk (T1 ) + edk (T2 ), мы сконцентрировали свое внимание на неразложимых алгебраических то рах. Результаты вычислений представлены в теоремах 3.7, 3.8, 3.9 и соот ветствующих таблицах 10, 13, 14.

Теорема 3.7. (о существенной размерности двумерных алгебра ических торов) Существенная размерность неразложимых двумерных ал гебраических k-торов удовлетворяет условиям таблицы 10.

Двумерный алгебраический тор ed T1 = RL/k (Gm ) = 2 1 2 T2 = RL/k (Gm ), T6 = RL/F (Gm ) = 2 1 2 T3 = RF/k RL/F (Gm ), T4 = RF/k RL/F (Gm ), = 2 T7 = RF2 /k RF4 /F2 (Gm ) 2 1 T5 = RF2 /k RL/F2 (Gm ) RF3 /k RL/F3 (Gm ), 2 1 T8 = RF3 /k RF6 /F3 (Gm ) RF2 /k RF6 /F2 (Gm ) Таблица 10.

Мы приводим аффинную реализацию тридцати четырех неразложимых трехмерных алгебраических торов и фиксируем их нумерацию T1, T2,..., T34.

Теорема 3.8. Для неразложимых трехмерных алгебраических торов T существенная размерность удовлетворяет условиям таблицы 13 (используем нумерацию торов из Таблицы 11) Трехмерный алгебраический тор ed T1, T10 = T3, T6, T16, T20, T29 = T2, T5, T7, T T8, T9, T18, T19, T23, T26, T27, T32 = T4, T T11, T13, T14, T17, T22, T24, T28, T T21, T25, T30, T31, T Таблица 13.

Теорема 3.9. Для четырехмерных алгебраических торов с максималь ной группой разложения существенная размерность определяется следующей таблицей Четырехмерные алгебраические торы ed C4 = P B T S Q Таблица 14.

Приложение A, B, C. Здесь приведены результаты работы алгоритмов вычисления когомологических бирациональных инвариантов для четырех мерных алгебраических торов из главы 2.

Список публикаций по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Крутиков Ю.Ю. Аффинные представления трехмерных алгебраических торов // Вестник Самарского государственного университета, естественнона учная серия, №7(57), Самара, 2007, C. 92-106.

2. Крутиков Ю.Ю. Бирациональные инварианты тора без аффекта в исклю чительной группе типа F4 // Вестник Самарского государственного универ ситета, естественнонаучная серия, №6(72), Самара, 2009, C. 58-68.

В прочих изданиях:

3. Крутиков Ю.Ю. Аффинные представления трехмерных торов // Тезисы докладов Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвя щенной 80-летию В.Е. Воскресенского. Самара, 2007. С. 31-32.

4. Крутиков Ю.Ю. Ane representations of three dimensional algebraic tori.

// Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвя щенной 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева. Санкт-Петербург, 2007.

С.128-129.

5. Крутиков Ю.Ю. Каноническая резольвента торов типа Tpqr // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященная 100 летию со дня рождения А.Г. Куроша. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008, с. 142-143.

6. Крутиков Ю.Ю. Каноническая резольвента торов типа Tpqr // Тезисы до кладов Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Вагнера. Саратов: Изд-во Саратовского уни верситета, 2008, с. 83-85.

7. Крутиков Ю.Ю. Существенная размерность алгебраических торов // Тези сы докладов летней школы-конференции "Алгебра Ли, алгебраические груп пы и теория инвариантов", Самара, 2009, С. 29-30.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.